Õppige võtma funktsioonide tuletisi. Tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust teatud punktis, mis asub selle funktsiooni graafikul. IN sel juhul Graafik võib olla kas sirge või kõverjoon. See tähendab, et tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust konkreetsel ajahetkel. Pea meeles üldreeglid, mille abil võetakse tuletised, ja alles siis jätkake järgmise sammuga.
- Loe artiklit.
- Kuidas võtta kõige lihtsamad tuletised, näiteks tuletis eksponentsiaalvõrrand, kirjeldatud. Aastal esitatud arvutused järgmised sammud, põhinevad seal kirjeldatud meetoditel.
Õppige eristama ülesandeid, milles kalle tuleb arvutada funktsiooni tuletise kaudu. Probleemid ei nõua alati funktsiooni tõusu või tuletise leidmist. Näiteks võidakse teil paluda leida funktsiooni muutumise kiirus punktis A(x,y). Samuti võidakse teil paluda leida puutuja kalle punktis A(x,y). Mõlemal juhul on vaja võtta funktsiooni tuletis.
Võtke teile antud funktsiooni tuletis. Siin pole vaja graafikut koostada - vajate ainult funktsiooni võrrandit. Meie näites võtame funktsiooni tuletise. Võtke tuletis vastavalt ülalmainitud artiklis kirjeldatud meetoditele:
- Tuletis:
Asenda kalde arvutamiseks leitud tuletis sulle antud punkti koordinaadid. Funktsiooni tuletis on võrdne kaldega teatud punktis. Teisisõnu, f"(x) on funktsiooni kalle mis tahes punktis (x, f(x)). Meie näites:
- Leia funktsiooni f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) kalle punktis A(4,2).
- Funktsiooni tuletis:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x) = 4x+6)
- Asendage selle punkti "x" koordinaadi väärtus:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x) = 4 (4) + 6)
- Leidke kalle:
- Funktsiooni f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) kalle punktis A(4,2) on 22.
Võimalusel kontrolli oma vastust graafikult. Pidage meeles, et kallet ei saa arvutada igas punktis. Diferentsiaalarvutus kaalub keerukad funktsioonid ja kompleksgraafikud, kus igas punktis ei saa kallet arvutada ja mõnel juhul ei asu punktid graafikutel üldse. Võimalusel kasutage graafikakalkulaatorit, et kontrollida, kas teile antud funktsiooni kalle on õige. IN muidu tõmmake graafikule puutuja teile antud punktis ja mõelge, kas leitud kalde väärtus vastab graafikul nähtule.
- Puutujal on teatud punktis sama kalle kui funktsiooni graafikul. Antud punktis puutuja joonistamiseks liigutage X-teljel vasakule/paremale (meie näites 22 väärtust paremale) ja seejärel Y-teljel üks üles ja seejärel ühendage see teile antud punkt. Meie näites ühendage punktid koordinaatidega (4,2) ja (26,3).
Kuidas sisestada matemaatilised valemid veebisaidile?
Kui teil on kunagi vaja veebilehele lisada üks või kaks matemaatilist valemit, on lihtsaim viis seda teha artiklis kirjeldatud viisil: matemaatilised valemid sisestatakse saidile hõlpsasti piltide kujul, mille Wolfram Alpha genereerib automaatselt. . Lisaks lihtsusele on see universaalne meetod aitab parandada veebisaidi nähtavust otsingumootorites. See on töötanud pikka aega (ja ma arvan, et töötab igavesti), kuid on juba moraalselt vananenud.
Kui kasutate oma saidil pidevalt matemaatilisi valemeid, siis soovitan teil kasutada MathJaxi – spetsiaalset JavaScripti teeki, mis kuvab matemaatiline tähistus MathML-i, LaTeX-i või ASCIIMathML-i märgistust kasutavates veebibrauserites.
MathJaxi kasutamise alustamiseks on kaks võimalust: (1) lihtsa koodi abil saate kiiresti oma saidiga ühendada MathJaxi skripti, mis õige hetk automaatselt laaditakse kaugserverist (serverite loend); (2) laadige MathJaxi skript kaugserverist oma serverisse alla ja ühendage see oma saidi kõigi lehtedega. Teine meetod – keerulisem ja aeganõudvam – kiirendab teie saidi lehtede laadimist ning kui MathJaxi emaserver muutub mingil põhjusel ajutiselt kättesaamatuks, ei mõjuta see teie saiti kuidagi. Vaatamata nendele eelistele valisin esimese meetodi, kuna see on lihtsam, kiirem ja ei nõua tehnilisi oskusi. Järgige minu eeskuju ja juba 5 minuti pärast saate oma saidil kasutada kõiki MathJaxi funktsioone.
Saate ühendada MathJaxi teegi skripti kaugserverist, kasutades kahte MathJaxi põhiveebisaidilt või dokumentatsioonilehelt võetud koodivalikut:
Üks neist koodivalikutest tuleb kopeerida ja kleepida oma veebilehe koodi, eelistatavalt siltide vahele ja või kohe pärast märgendit. Esimese variandi järgi laadib MathJax kiiremini ja aeglustab lehte vähem. Kuid teine valik jälgib ja laadib automaatselt MathJaxi uusimad versioonid. Kui sisestate esimese koodi, tuleb seda perioodiliselt värskendada. Kui sisestate teise koodi, laaditakse lehed aeglasemalt, kuid te ei pea pidevalt MathJaxi värskendusi jälgima.
Lihtsaim viis MathJaxi ühendamiseks on Bloggeris või WordPressis: lisage saidi juhtpaneelile vidin, mis on mõeldud kolmanda osapoole JavaScripti koodi sisestamiseks, kopeerige sellesse ülaltoodud allalaadimiskoodi esimene või teine versioon ja asetage vidin lähemale. malli algusesse (muide, see pole üldse vajalik, kuna MathJaxi skript laaditakse asünkroonselt). See on kõik. Nüüd õppige MathML-i, LaTeX-i ja ASCIIMathML-i märgistussüntaksit ning olete valmis oma saidi veebilehtedele matemaatilisi valemeid sisestama.
Iga fraktal konstrueeritakse vastavalt teatud reegel, mida rakendatakse järjestikku piiramatu arv kordi. Iga sellist aega nimetatakse iteratsiooniks.
Mengeri käsna konstrueerimise iteratiivne algoritm on üsna lihtne: algne kuubik küljega 1 jagatakse selle tahkudega paralleelsete tasapindade abil 27 võrdseks kuubiks. Sellest eemaldatakse üks keskne kuubik ja 6 selle külge külgnevat kuubikut. Tulemuseks on komplekt, mis koosneb ülejäänud 20 väiksemast kuubikust. Tehes sama iga kuubikuga, saame komplekti, mis koosneb 400 väiksemast kuubikust. Seda protsessi lõputult jätkates saame Mengeri käsna.
Kalle on sirge. Käesolevas artiklis vaatleme matemaatika ühtsesse riigieksamisse kaasatud koordinaattasandiga seotud probleeme. Need on ülesanded:
— sirge nurgateguri määramine, kui on teada kaks punkti, mida see läbib;
— kahe tasapinna sirge lõikepunkti abstsissi või ordinaadi määramine.
Selles jaotises kirjeldati, mis on punkti abstsiss ja ordinaat. Selles oleme juba käsitlenud mitmeid koordinaattasandiga seotud probleeme. Mida peate vaadeldava probleemitüübi puhul mõistma? Natuke teooriat.
Sisselülitatud sirge võrrand koordinaattasand on kujul:
Kus k – see on joone kalle.
Järgmine hetk! Otsene kalle võrdne puutujaga sirgjoone kaldenurk. See on nurk antud sirge ja telje vahel Oh.
See on vahemikus 0 kuni 180 kraadi.
See tähendab, et kui me taandame sirgjoone võrrandi vormiks y = kx + b, siis saame alati määrata koefitsiendi k (kaldekordaja).
Samuti, kui tingimuse põhjal saame määrata sirge kaldenurga puutuja, siis leiame selle nurga koefitsiendi.
Järgmine teoreetiline punkt! Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand. Valem näeb välja selline:
Mõelgem probleemidele (sarnaselt probleemidele, mis pärinevad avatud pankülesanded):
Leia koordinaatidega (–6;0) ja (0;6) punkte läbiva sirge kalle.
Selles probleemis kõige rohkem ratsionaalne viis Lahenduseks on leida x-telje ja antud sirge vahelise nurga puutuja. On teada, et see on võrdne kaldega. Vaatleme täisnurkset kolmnurka, mille moodustavad sirgjoon ja teljed x ja oy:
Nurga puutuja sisse täisnurkne kolmnurk on suhe vastaspool külgnevale:
*Mõlemad jalad on võrdsed kuuega (need on nende pikkused).
kindlasti, see ülesanne saab lahendada kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi leidmise valemi abil. Kuid see on pikem lahendus.
Vastus: 1
Leidke koordinaatidega (5;0) ja (0;5) punkte läbiva sirge kalle.
Meie punktidel on koordinaadid (5;0) ja (0;5). Tähendab,
Paneme valemi vormi y = kx + b
Leidsime, et kalle k = – 1.
Vastus: -1
Otse a läbib punkte koordinaatidega (0;6) ja (8;0). Otse b läbib punkti koordinaatidega (0;10) ja on paralleelne sirgega a b teljega oh.
Selles ülesandes leiate sirge võrrandi a, määrake selle kalle. Sirgjoonel b kalle on sama, kuna need on paralleelsed. Järgmisena leiate sirge võrrandi b. Ja seejärel, asendades selle väärtusega y = 0, leidke abstsiss. AGA!
Sel juhul on lihtsam kasutada kolmnurkade sarnasuse omadust.
Nende (paralleelsete) sirgete ja koordinaattelgede moodustatud täisnurksed kolmnurgad on sarnased, mis tähendab, et nende vastavate külgede suhted on võrdsed.
Nõutav abstsiss on 40/3.
Vastus: 40/3
Otse a läbib punkte koordinaatidega (0;8) ja (–12;0). Otse b läbib punkti koordinaatidega (0; –12) ja on paralleelne sirgega a. Leidke sirge lõikepunkti abstsiss b teljega oh.
Selle ülesande jaoks on kõige ratsionaalsem viis selle lahendamiseks kasutada kolmnurkade sarnasuse omadust. Kuid me lahendame selle teistmoodi.
Me teame punkte, mida joon läbib A. Võime kirjutada sirge võrrandi. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandi valem on järgmine:
Tingimuse järgi on punktidel koordinaadid (0;8) ja (–12;0). Tähendab,
Toome selle meelde y = kx + b:
Sain selle nurga kätte k = 2/3.
*Nurgakoefitsiendi saab leida nurga puutuja kaudu täisnurkses kolmnurgas, mille jalad on 8 ja 12.
On teada, et paralleelsetel joontel on võrdsed nurgakoefitsiendid. See tähendab, et punkti (0;-12) läbiva sirge võrrandil on järgmine kuju:
Leidke väärtus b saame asendada abstsissi ja ordineerida võrrandisse:
Seega näeb sirgjoon välja selline:
Nüüd, et leida soovitud joone ja x-telje lõikepunkti abstsiss, peate asendama y = 0:
Vastus: 18
Leia telje lõikepunkti ordinaat oh ja sirge, mis läbib punkti B(10;12) ning on paralleelne alguspunkti ja punkti A(10;24) läbiva sirgega.
Leiame koordinaatidega (0;0) ja (10;24) punkte läbiva sirge võrrandi.
Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandi valem on järgmine:
Meie punktidel on koordinaadid (0;0) ja (10;24). Tähendab,
Toome selle meelde y = kx + b
Paralleelsete joonte nurgakoefitsiendid on võrdsed. See tähendab, et punkti B(10;12) läbiva sirge võrrandil on järgmine kuju:
Tähendus b Leiame, asendades selles võrrandis punkti B(10;12) koordinaadid:
Saime sirgjoone võrrandi:
Selle sirge ja telje lõikepunkti ordinaat leidmiseks OU tuleb leitud võrrandisse asendada X= 0:
* Lihtsaim lahendus. Abiga paralleelne ülekanne liigutage seda joont mööda telge allapoole OU punktini (10;12). Nihe toimub 12 ühiku võrra, see tähendab, et punkt A(10;24) on “nihutatud” punkti B(10;12) ja punkt O(0;0) “nihutatud” punkti (0;–12). See tähendab, et saadud sirgjoon lõikub teljega OU punktis (0;–12).
Nõutav ordinaat on –12.
Vastus: -12
Leia võrrandiga antud sirge lõikepunkti ordinaat
3x + 2у = 6, teljega Oy.
Antud sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU on kujul (0; juures). Asendame võrrandis abstsissi X= 0 ja leidke ordinaat:
Sirge ja telje lõikepunkti ordinaat OU võrdub 3.
*Süsteem on lahendatud:
Vastus: 3
Leidke võrranditega antud sirgete lõikepunkti ordinaat
3x + 2a = 6 Ja y = – x.
Kui on antud kaks sirget ja küsimus on nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmises, lahendatakse nende võrrandite süsteem:
Esimeses võrrandis asendame - X selle asemel juures:
Ordinaat on võrdne miinus kuuega.
Vastus: – 6
Leia koordinaatidega (–2;0) ja (0;2) punkte läbiva sirge kalle.
Leidke koordinaatidega (2;0) ja (0;2) punkte läbiva sirge kalle.
Joon a läbib punkte koordinaatidega (0;4) ja (6;0). Sirg b läbib punkti koordinaatidega (0;8) ja on paralleelne sirgega a. Leidke sirge b ja Ox-telje lõikepunkti abstsiss.
Leia oy telje ja punkti B (6;4) läbiva sirge lõikepunkti ordinaat, mis on paralleelne alguspunkti ja punkti A läbiva sirgega (6;8).
1. On vaja selgelt mõista, et sirge nurga koefitsient võrdub sirge kaldenurga puutujaga. See aitab teil lahendada paljusid seda tüüpi probleeme.
2. Tuleb mõista kahte etteantud punkti läbiva sirge leidmise valemit. Selle abiga leiate alati sirge võrrandi, kui on antud selle kahe punkti koordinaadid.
3. Pidage meeles, et paralleelsete joonte kalded on võrdsed.
4. Nagu aru saate, on mõne ülesande puhul mugav kasutada kolmnurga sarnasuse funktsiooni. Probleemid lahendatakse praktiliselt suuliselt.
5. Lahendatakse ülesandeid, mille puhul on antud kaks sirget ja nende lõikepunkti abstsiss või ordinaat tuleb leida. graafiliselt. See tähendab, et ehitage need koordinaattasandile (paberilehele ruudus) ja määrake ristumispunkt visuaalselt. *Kuid see meetod ei ole alati rakendatav.
6. Ja lõpuks. Kui on antud sirge ja selle lõikumispunktide koordinaadid koordinaatide telgedega, siis on selliste ülesannete puhul mugav leida nurgakoefitsient, leides moodustatud täisnurksest kolmnurgast nurga puutuja. Allpool on skemaatiliselt näidatud, kuidas seda kolmnurka tasapinnal erinevate sirgjoonte asenditega "näha":
>> Sirge kaldenurk 0 kuni 90 kraadi > Sirge kaldenurk 90 kuni 180 kraadi