Numbrilised intervallid hõlmavad kiiri, segmente, intervalle ja poolintervalle.
Numbriliste intervallide tüübid
| Nimi | Pilt | Ebavõrdsus | Määramine |
|---|---|---|---|
| Avatud tala | x > a | (a; +∞) | |
| x < a | (-∞; a) | ||
| Suletud valgusvihk | x ⩾ a | [a; +∞) | |
| x ⩽ a | (-∞; a] | ||
| Joonelõik | a ⩽ x ⩽ b | [a; b] | |
| Intervall | a < x < b | (a; b) | |
| Poolintervall | a < x ⩽ b | (a; b] | |
| a ⩽ x < b | [a; b) |
Laual a Ja b on piiripunktid ja x- muutuja, mis võib võtta mis tahes arvulisesse intervalli kuuluva punkti koordinaadi.
Piiripunkt- see on punkt, mis määrab numbrilise intervalli piiri. Piiripunkt võib, aga ei pruugi kuuluda arvvahemikku. Joonistel on vaadeldavasse numbrivahemikku mittekuuluvad piiripunktid tähistatud avatud ringiga, nendesse kuuluvad aga täidetud ringiga.
Avatud ja suletud tala
Avatud tala on punktide kogum joonel, mis asub ühel pool piiripunktist, mida see hulk ei hõlma. Kiirt nimetatakse avatuks just tema juurde mittekuuluva piiripunkti tõttu.
Vaatleme koordinaatjoone punktide komplekti, mille koordinaat on suurem kui 2 ja mis asuvad seetõttu punktist 2 paremal:
Sellist hulka saab määratleda ebavõrdsusega x> 2. Avatud kiirte tähistamiseks kasutatakse sulgusid - (2; +∞), see kirje kõlab järgmiselt: avatud numbrikiir kahest pluss lõpmatuseni.
Hulk, millele ebavõrdsus vastab x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Suletud valgusvihk on punktide hulk sirgel, mis asub antud hulka kuuluva piiripunkti ühel küljel. Joonistel on vaadeldavasse komplekti kuuluvad piiripunktid tähistatud täidetud ringiga.
Suletud arvkiired on määratletud mitterangete ebavõrdsustega. Näiteks ebavõrdsused x 2 ja x 2 saab kujutada järgmiselt:
Need suletud kiired on tähistatud järgmiselt: , seda loetakse järgmiselt: numbriline kiir kahest plusslõpmatuseni ja arvuline kiir miinuslõpmatusest kaheni. Märkustes olev nurksulg näitab, et punkt 2 kuulub arvvahemikku.
Joonelõik
Joonelõik on punktide hulk sirgel, mis asub antud hulka kuuluva kahe piiripunkti vahel. Sellised hulgad on määratletud kahekordse mitterange ebavõrdsusega.
Vaatleme koordinaatjoone lõiku, mille otsad on punktides -2 ja 3:
Antud lõigu moodustavate punktide kogumi saab määrata topeltvõrratusega -2 x 3 või tähistada [-2; 3], selline kirje kõlab järgmiselt: segment miinus kahest kolmeni.
Intervall ja poolintervall
Intervall- see on punktide kogum joonel, mis asub kahe piiripunkti vahel, mis ei kuulu sellesse hulka. Sellised hulgad on määratletud topelt range ebavõrdsusega.
Vaatleme koordinaatjoone lõiku, mille otsad on punktides -2 ja 3:
Antud intervalli moodustavate punktide hulga saab määrata topeltvõrratusega -2< x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Poolintervall on punktide hulk sirgel, mis asub kahe piiripunkti vahel, millest üks kuulub hulka ja teine mitte. Sellised hulgad on määratletud topeltvõrratustega:
Need poolintervallid on tähistatud järgmiselt: (-2; 3] ja [-2; 3), loetakse järgmiselt: poolintervall miinus kahest kolmeni, sealhulgas 3, ja poolintervall miinus kahest kolmeni , sealhulgas miinus kaks.
Numbriline intervall
Intervall, avatud vahemik, intervall- kahe etteantud arvu vahelisel arvujoonel olevate punktide kogum a Ja b, see tähendab arvude komplekti x, mis vastab tingimusele: a < x < b . Intervall ei sisalda lõppu ja seda tähistatakse ( a,b) (Mõnikord ] a,b[ ), erinevalt segmendist [ a,b] (suletud intervall), sealhulgas otsad, st koosneb punktidest.
Salvestamisel ( a,b), numbrid a Ja b nimetatakse intervalli otsteks. Intervall sisaldab kõiki reaalarve, intervall sisaldab kõiki väiksemaid arve a ja intervall – kõik numbrid on suured a .
Tähtaeg intervall kasutatakse keerukates mõistetes:
- integreerimisel - integreerimisintervall,
- võrrandi juurte selgitamisel - isolatsiooni ulatus
- astmeridade konvergentsi määramisel - astmeridade konvergentsi intervall.
Muide, inglise keeles sõna intervall nimetatakse segmendiks. Ja intervalli mõiste tähistamiseks kasutatakse terminit avatud intervall.
Kirjandus
- Vygodsky M. Ya. Kõrgema matemaatika käsiraamat. M.: "Astrel", "AST", 2002
Vaata ka
Lingid
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "numbriline intervall" teistes sõnaraamatutes:
Alates lat. intervall intervall, kaugus: Muusikas: Intervall on kahe tooni kõrguste suhe; nende toonide helisageduste suhe. Matemaatikas: Intervall (geomeetria) on punktide kogum joonel punktide A ja B vahel, ... ... Wikipedia
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Intervall, avatud intervall, intervall on punktide kogum arvjoonel, mis on suletud kahe antud arvu a ja b vahele, see tähendab arvude hulk x, mis vastavad tingimusele: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Intervall või täpsemalt arvurea intervall on reaalarvude kogum, millel on omadus, et see sisaldab koos mis tahes kahe arvuga mis tahes arvu nende vahel. Loogilisi sümboleid kasutades on see definitsioon... ... Wikipedia
Meenutagem mõningate reaalarvude põhiliste alamhulkade määratlusi. Kui, siis nimetatakse hulka laiendatud arvurea R segmendiks ja tähistatakse tähisega, st segmendi puhul ... Wikipedia
Jada Arvjada on elementide jada arvuruumis. Numbrilised numbrid... Vikipeedia
MIKROSKOOP- (kreeka keelest mikros small ja skopeo I look), optiline instrument väikeste objektide uurimiseks, mis pole palja silmaga otseselt nähtavad. On olemas lihtsad mikroskoobid ehk luubid ja keerulised mikroskoobid ehk mikroskoobid õiges tähenduses. Suurendusklaas... ... Suur meditsiiniline entsüklopeedia
GOST R 53187-2008: Akustika. Linnapiirkondade müraseire- Terminoloogia GOST R 53187 2008: Akustika. Linnapiirkondade müraseire originaaldokument: 1 Päevane hinnanguline helitase. 2 Õhtune hinnanguline maksimaalne helitase. 3 öine hinnanguline helirõhutase... Normatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni terminite sõnastik-teatmik
Segmenti võib nimetada üheks kahest seotud mõistest geomeetrias ja matemaatilises analüüsis. Segment on punktide kogum, et ... Wikipedia
Korrelatsioonikordaja- (Korrelatsioonikordaja) Korrelatsioonikordaja on kahe juhusliku suuruse sõltuvuse statistiline näitaja Korrelatsioonikordaja definitsioon, korrelatsioonikordaja tüübid, korrelatsioonikordaja omadused, arvutamine ja rakendamine... ... Investorite entsüklopeedia
Vastus – hulka (-∞;+∞) nimetatakse arvujooneks ja suvaline arv on selle sirge punkt. Olgu a suvaline punkt arvteljel ja δ
Positiivne number. Intervalli (a-δ; a+δ) nimetatakse punkti a δ-naabruskonnaks.
Hulk X on ülalt (altpoolt) piiratud, kui on olemas arv c, mille korral iga x ∈ X korral kehtib võrratus x≤с (x≥c). Arvu c nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks (alumiseks) piiriks. Hulka, mis on piiratud nii ülalt kui ka altpoolt, nimetatakse piirituks. Väikseimat (suurimat) hulga ülemistest (alumistest) piiridest nimetatakse selle hulga täpseks ülemiseks (alumiseks) piiriks.
Arvintervall on reaalarvude ühendatud hulk, see tähendab, et kui sellesse hulka kuulub 2 arvu, siis kuuluvad sellesse hulka ka kõik nendevahelised arvud. Mittetühje arvu intervalle on mitut erinevat tüüpi: joon, avatud kiir, suletud kiir, segment, poolintervall, intervall
Numbririda
Kõigi reaalarvude hulka nimetatakse ka arvujooneks. Nad kirjutavad.
Praktikas puudub vajadus eristada geomeetrilises mõttes koordinaadi või arvsirge mõistet selle definitsiooniga kasutusele võetud arvsirge mõistest. Seetõttu tähistatakse neid erinevaid mõisteid sama terminiga.
Avatud tala
Arvude kogum, mida nimetatakse avatud arvukiireks. Nad kirjutavad 
või vastavalt: 
.
Suletud valgusvihk
Arvude kogum, mida nimetatakse suletud arvureaks. Nad kirjutavad 
või vastavalt:.
Arvude kogumit nimetatakse arvusegmendiks.
Kommenteeri. Definitsioon seda ette ei näe. Eeldatakse, et juhtum on võimalik. Seejärel muutub numbriline intervall punktiks.
Intervall
Arvude kogum, mida nimetatakse arvuliseks intervalliks.
Kommenteeri. Avatud tala, sirgjoone ja intervalli tähistuste kokkulangemine pole juhuslik. Avatud kiirt võib mõista kui intervalli, mille üks ots on eemaldatud lõpmatuseni, ja arvurida - kui intervalli, mille mõlemad otsad on eemaldatud lõpmatuseni.
Poolintervall
Sellist arvude komplekti nimetatakse numbriliseks poolintervalliks.
Nad kirjutavad või vastavalt
3. Funktsioon. Funktsiooni graafik. Funktsiooni määramise meetodid.
Vastus – Kui on antud kaks muutujat x ja y, siis öeldakse, et muutuja y on muutuja x funktsioon, kui nende muutujate vahel on antud selline seos, mis võimaldab igal väärtusel üheselt määrata y väärtust.
Tähistus F = y(x) tähendab, et vaadeldakse funktsiooni, mis võimaldab sõltumatu muutuja x mis tahes väärtusel (nende hulgast, mida argument x üldiselt võib võtta), et leida sõltuvale muutujale y vastav väärtus.
Funktsiooni määramise meetodid.
Funktsiooni saab määrata valemiga, näiteks:
y = 3x2 – 2.
Funktsiooni saab määrata graafikuga. Graafiku abil saate määrata, milline funktsiooni väärtus vastab määratud argumendi väärtusele. Tavaliselt on see funktsiooni ligikaudne väärtus.
4.Funktsiooni põhiomadused: monotoonsus, paarsus, perioodilisus.
Vastus - Perioodilisuse määratlus. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui selline arv on olemas 
, et f(x+ 
)=f(x), kõigi x-ide jaoks 
D(f). Loomulikult on selliseid numbreid lugematu arv. Väikseimat positiivset arvu ^ T nimetatakse funktsiooni perioodiks. Näited. A. y = cos x, T = 2 
. V. y = tg x, T = 
. S. y = (x), T = 1. D. y = 
, see funktsioon ei ole perioodiline. Pariteedi määratlus. Funktsiooni f kutsutakse välja isegi siis, kui omadus f(-x) = f(x) kehtib D(f) kõigi x kohta. Kui f(-x) = -f(x), siis nimetatakse funktsiooni paarituks. Kui ükski näidatud seostest ei ole täidetud, nimetatakse funktsiooni üldfunktsiooniks. Näited. A. y = cos (x) – paaris; V. y = tg (x) - paaritu; S. y = (x); y=sin(x+1) – üldkuju funktsioonid. Monotoonsuse määratlus. Funktsiooni f: X -> R nimetatakse suurenevaks (kahanevaks), kui see on olemas 
tingimus on täidetud: 
Definitsioon. Funktsiooni X -> R nimetatakse monotoonseks X-l, kui see X-il suureneb või väheneb. Kui f on mõnel X-i alamhulgal monotoonne, nimetatakse seda tükipõhiseks monotoonseks. Näide. y = cos x - tükkhaaval monotoonne funktsioon.
B) Arvurida
Mõelge numbritele (joonis 6):
Mõelge ratsionaalarvude hulgale
Iga ratsionaalarvu kujutab arvteljel teatud punkt. Niisiis, numbrid on joonisel märgitud.
Tõestame seda.
Tõestus. Olgu murdosa: . Meil on õigus pidada seda murdosa taandamatuks. Kuna , siis - arv on paaris: - paaritu. Asendades selle avaldise, leiame: , mis tähendab, et see on paarisarv. Oleme saanud vastuolu, mis väidet tõestab.
Seega ei esinda kõik arvutelje punktid ratsionaalseid arve. Need punktid, mis ei esinda ratsionaalseid numbreid, tähistavad kutsutud numbreid irratsionaalne.
Mis tahes arv vormis , on kas täisarv või irratsionaalne arv.
Numbrilised intervallid
Numbrilisi segmente, intervalle, poolintervalle ja kiiri nimetatakse numbrilisteks intervallideks.
| Arvvahemikku määrav ebavõrdsus | Numbrilise intervalli määramine | Numbriintervalli nimi | See kõlab nii: |
| a ≤ x ≤ b | [a; b] | Numbriline segment | Segment a-st b-ni |
| a< x < b | (a; b) | Intervall | Intervall a-st b-ni |
| a ≤ x< b | [a; b) | Poolintervall | Poolintervall alates a enne b, kaasa arvatud a. |
| a< x ≤ b | (a; b] | Poolintervall | Poolintervall alates a enne b, kaasa arvatud b. |
| x ≥ a | [a; +∞) | Numbrikiir | Numbrikiir alates a kuni pluss lõpmatuseni |
| x>a | (a; +∞) | Avage numbrikiir | Ava numbrikiir alates a kuni pluss lõpmatuseni |
| x ≤ a | (- ∞; a] | Numbrikiir | Arvukiir miinus lõpmatusest kuni a |
| x< a | (- ∞; a) | Avage numbrikiir | Ava arvukiir miinus lõpmatusest kuni a |
Esitagem numbreid koordinaatjoonel a Ja b, samuti number x nende vahel.
Kõigi tingimusele vastavate arvude hulk a ≤ x ≤ b, kutsus numbriline segment või lihtsalt segment. See on tähistatud järgmiselt: [ a; b] – see kõlab järgmiselt: segment a-st b-ni.
Tingimusele vastavate numbrite komplekt a< x < b , kutsus intervall. See on tähistatud järgmiselt: ( a; b)
See kõlab järgmiselt: intervall a-st b-ni.
Tingimustele a ≤ x vastavad arvude hulgad< b или a<x ≤ b, kutsutakse poolintervallid. Nimetused:
Määra ≤ x< b обозначается так:[a; b), kõlab nii: poolintervall alates a enne b, kaasa arvatud a.
Trobikond a<x ≤ b on märgitud järgmiselt:( a; b], kõlab järgmiselt: poolintervall alates a enne b, kaasa arvatud b.
Nüüd kujutame ette Ray täpiga a, millest paremal ja vasakul on numbrite komplekt.
a, vastab tingimusele x ≥ a, kutsus numbrikiir.
See on tähistatud järgmiselt: [ a; +∞)-Loeb nii: numbriline kiir alates a pluss lõpmatuseni.
Numbrite komplekt punktist paremal a, mis vastab ebavõrdsusele x>a, kutsus avatud numbrikiir.
See on tähistatud järgmiselt: ( a; +∞)-Loeb nii: avatud numbriline kiir alates a pluss lõpmatuseni.
a, vastab tingimusele x ≤ a, kutsus numbriline kiir miinus lõpmatusest kunia .
See on tähistatud järgmiselt:( - ∞; a]-Loeb nii: numbriline kiir miinus lõpmatusest kuni a.
Numbrite komplekt punktist vasakul a, mis vastab ebavõrdsusele x< a , kutsus avatud arvukiir miinus lõpmatusest kunia .
See on tähistatud järgmiselt: ( - ∞; a)-Loeb nii: avatud arvukiir miinus lõpmatusest kuni a.
Reaalarvude komplekti esindab kogu koordinaatjoon. Teda kutsutakse numbririda. See on tähistatud järgmiselt: ( - ∞; + ∞ )
3) Ühe muutujaga lineaarvõrrandid ja võrratused, nende lahendused:
Muutujat sisaldavat võrrandit nimetatakse ühe muutujaga võrrandiks või ühe tundmatuga võrrandiks. Näiteks ühe muutujaga võrrand on 3(2x+7)=4x-1.
Võrrandi juur või lahend on muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeliseks arvuliseks võrdsuseks. Näiteks arv 1 on võrrandi 2x+5=8x-1 lahend. Võrrandil x2+1=0 pole lahendust, sest võrrandi vasak pool on alati suurem kui null. Võrrandil (x+3)(x-4) =0 on kaks juurt: x1= -3, x2=4.
Võrrandi lahendamine tähendab selle kõigi juurte leidmist või juurte puudumise tõestamist.
Võrrandeid nimetatakse ekvivalentseteks, kui kõik esimese võrrandi juured on teise võrrandi juured ja vastupidi, kõik teise võrrandi juured on esimese võrrandi juured või kui mõlemal võrrandil pole juuri. Näiteks võrrandid x-8=2 ja x+10=20 on samaväärsed, sest esimese võrrandi juur x=10 on ka teise võrrandi juur ja mõlemal võrrandil on sama juur.
Võrrandite lahendamisel kasutatakse järgmisi omadusi:
Kui liigutate võrrandis oleva liikme ühest osast teise, muutes selle märki, saate antud võrrandiga samaväärse võrrandi.
Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.
Võrrandit ax=b, kus x on muutuja ning a ja b on mõned arvud, nimetatakse ühe muutujaga lineaarvõrrandiks.
Kui a¹0, siis on võrrandil ainulaadne lahendus.
Kui a=0, b=0, siis on võrrand täidetud mis tahes x väärtusega.
Kui a=0, b¹0, siis pole võrrandil lahendeid, sest 0x=b ei käivitata muutuja ühegi väärtuse puhul.
Näide 1. Lahendage võrrand: -8(11-2x)+40=3(5x-4)
Avame võrrandi mõlemal poolel olevad sulud, nihutame kõik terminid x-ga võrrandi vasakule poole ja terminid, mis ei sisalda x-i paremale poole, saame:
16x-15x=88-40-12
Näide 2. Lahendage võrrandid:
x3-2x2-98x+18=0;
Need võrrandid ei ole lineaarsed, kuid näitame, kuidas selliseid võrrandeid saab lahendada.
3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Korrutis on võrdne nulliga, kui üks teguritest on võrdne nulliga, saame x1=0; x2 = .
Vastus: 0; .
Korrigeerige võrrandi vasak pool:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), st. (x-2) (x-3) (x+3)=0. See näitab, et selle võrrandi lahendid on arvud x1=2, x2=3, x3=-3.
c) Kujutage ette 7x kui 3x+4x, siis on meil: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, seega x1=-3, x2=- 4.
Vastus: -3; - 4.
Näide 3. Lahendage võrrand: ½x+1ç+½x-1ç=3.
Tuletagem meelde arvu mooduli määratlust: 
Näiteks: ½3½=3, ½0½=0, ½– 4½= 4.
Selles võrrandis on mooduli märgi all arvud x-1 ja x+1. Kui x on väiksem kui –1, siis arv x+1 on negatiivne, siis ½x+1½=-x-1. Ja kui x>-1, siis ½x+1½=x+1. Kui x=-1 ½x+1½=0.
Seega 
Samamoodi
a) Vaatleme seda võrrandit ½x+1½+½x-1½=3 x £-1 jaoks, see on samaväärne võrrandiga -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, see arv kuulub hulka x £-1.
b) Olgu -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
c) Vaatleme juhtumit x>1.
x+1+x-1=3, 2x=3, x= . See arv kuulub hulka x>1.
Vastus: x1=-1,5; x2 = 1,5.
Näide 4. Lahendage võrrand:½x+2½+3½x½=2½x-1½.
Näitame lühidalt võrrandi lahendit, paljastades mooduli märgi "intervallide üle".
x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2П(1; +¥)
Vastus: [-2; 0]
Näide 5. Lahendage võrrand: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), parameetri a kõigi väärtuste jaoks.
Selles võrrandis on tegelikult kaks muutujat, kuid pidage x tundmatuks ja a parameetriks. Parameetri a mis tahes väärtuse korral on vaja lahendada muutuja x võrrand.
Kui a=1, siis on võrrandi kuju 0×x=0; iga arv vastab sellele võrrandile.
Kui a=-1, siis näeb võrrand välja nagu 0×x=-2; seda võrrandit ei rahulda ükski arv.
Kui a¹1, a¹-1, siis on võrrandil ainulaadne lahendus.
Vastus: kui a=1, siis x on suvaline arv;
kui a=-1, siis lahendeid pole;
kui a¹±1, siis .
B) Lineaarsed võrratused ühe muutujaga.
Kui muutujale x on antud suvaline arvväärtus, siis saame arvulise võrratuse, mis väljendab kas tõest või vale väidet. Olgu näiteks antud võrratus 5x-1>3x+2. Kui x=2 saame 5·2-1>3·2+2 – tõene väide (tõene arvuline väide); x=0 juures saame 5·0-1>3·0+2 – vale väide. Iga muutuja väärtust, mille juures antud võrratus muutujaga muutub tõeliseks arvuliseks võrratuseks, nimetatakse ebavõrdsuse lahendiks. Võrratuse lahendamine muutujaga tähendab kõigi selle lahendite hulga leidmist.
Kahte sama muutujaga x võrratust nimetatakse samaväärseks, kui nende võrratuste lahendite hulgad langevad kokku.
Ebavõrdsuse lahendamise põhiidee on järgmine: asendame antud ebavõrdsuse teise, lihtsama, kuid antud ebavõrdsusega; asendame saadud võrratuse jälle sellega võrdväärse lihtsama võrratusega jne.
Sellised asendused tehakse järgmiste väidete alusel.
Teoreem 1. Kui ühe muutujaga võrratuse suvaline liige kantakse üle ühest võrratuse osast teise vastupidise märgiga, jättes võrratuse märki muutmata, siis saadakse võrratus, mis on samaväärne antud võrratusega.
Teoreem 2. Kui ühe muutujaga võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada sama positiivse arvuga, jättes võrratuse märgi muutmata, siis saadakse võrratus, mis on võrdne antud võrratusega.
Teoreem 3. Kui ühe muutujaga võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada sama negatiivse arvuga, muutes samas võrratuse märki vastupidiseks, siis saadakse võrratus, mis on võrdne antud võrratusega.
Ebavõrdsust kujul ax+b>0 nimetatakse lineaarseks (vastavalt ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Näide 1. Lahendage võrratus: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
Sulgude avamisel saame 2x-6+5-5x³6x-15,
Numbrilised intervallid. Kontekst. Definitsioon
Võrdsusel (võrrandil) on arvuteljel üks punkt (kuigi see punkt sõltub tehtud teisendustest ja valitud juurtest). Võrrandi enda lahendus on arvuline komplekt (mis mõnikord koosneb ühest arvust). Kuid seda kõike arvureal (reaalarvude hulga visualiseerimine) kuvatakse ainult punktsuunas, kuid kahe arvu vahel on ka üldistatumaid seoseid - ebavõrdsusi. Nendes jagatakse arvurida teatud arvuga ja sellest lõigatakse ära teatud osa - avaldise või numbrilise intervalli väärtused.
On loogiline arutleda arvuliste intervallide teemal koos ebavõrdsustega, kuid see ei tähenda, et see oleks seotud ainult nendega. Numbrilised intervallid (intervallid, segmendid, kiired) on muutuvate väärtuste kogum, mis rahuldab teatud ebavõrdsust. See tähendab, et see on sisuliselt kõigi arvujoone punktide kogum, mis on piiratud mingi raamistikuga. Seetõttu on mõistega kõige tihedamalt seotud numbriliste intervallide teema muutuv. Kui arvureal on muutuja ehk suvaline punkt x ja seda kasutatakse, on ka arvulised intervallid, intervallid - x väärtused. Sageli võib väärtus olla ükskõik milline, kuid see on ka kogu arvurida hõlmav numbriline intervall.
Tutvustame kontseptsiooni numbriline intervall. Arvhulkade, st hulkade, mille objektid on arvud, hulgas eristatakse nn arvulisi intervalle. Nende väärtus seisneb selles, et on väga lihtne ette kujutada kindlale arvulisele intervallile vastavat hulka ja vastupidi. Seetõttu on nende abiga mugav kirjutada üles palju ebavõrdsuse lahendusi. Kui võrrandi lahendite kogumiks ei ole mitte numbriline intervall, vaid lihtsalt mitu numbrit arvureal, koos ebavõrdsustega ehk teisisõnu muutuja väärtuse piirangutega, siis ilmnevad arvulised intervallid.
Arvuintervall on kõigi arvujoone punktide kogum, mis on piiratud etteantud arvu või arvudega (punktid arvujoonel).
Mis tahes arvulist intervalli (teatud arvude vahele suletud x väärtuste kogum) saab alati esitada kolme tüüpi matemaatilise tähistusega: intervallide spetsiaalne tähistus, võrratuste ahelad (üksikvõrratus või kahekordne võrratus) või geomeetriliselt arvul. rida. Põhimõtteliselt on kõigil neil nimetustel sama tähendus. Need pakuvad piirangu(d) mõne matemaatilise objekti, muutuja (mõne muutuja, mis tahes muutujaga avaldis, funktsioon jne) väärtustele.
Eeltoodust võib aru saada, et kuna arvujoone pindala saab piirata erineval viisil (on erinevat tüüpi ebavõrdsusi), siis on numbriliste intervallide tüübid erinevad.
Numbriliste intervallide tüübid
Igal numbrilise intervalli tüübil on oma nimi, spetsiaalne tähistus. Numbriliste intervallide tähistamiseks kasutatakse ümar- ja nurksulge. Sulg tähendab, et viimane, piiri määrav punkt selle sulu arvjoonel (lõpus) ei kuulu selle intervalli punktide hulka. Ruudusulg tähendab, et ots sobib pilusse. Lõpmatusega (sellel küljel intervall ei ole piiratud) kasutage sulgu. Mõnikord võite sulgude asemel kirjutada vastupidises suunas pööratud nurksulud: (a;b) ⇔]a;b[
| Vahe tüüp (nimi) | Geomeetriline kujutis (arvureal) | Määramine | Ebavõrdsust kasutades kirjutamine (alati lühiduse huvides aheldatud) |
|---|---|---|---|
| Intervall (avatud) | (a;b) | a< x < b | |
| Segment (jaotis) | a ≤ x ≤ b | ||
| Poolintervall (poolsegment) | a< x ≤ b | ||
| Ray | x ≤ b | ||
| Avatud tala | (a;+∞) | x>a | |
| Avatud tala | (-∞;b) | x< b | |
| Kõigi arvude hulk (koordinaadireal) | (-∞;+∞) , kuigi siin on vaja märkida algebra konkreetne hulgakandja, millega tööd tehakse; näide: | x ∈(tavaliselt räägivad nad reaalarvude hulgast; kompleksarvude esitamiseks kasutavad nad komplekstasandit, mitte sirget) | |
| Võrdsus | või x=a | x = a(mitterange ebavõrdsuse erijuhtum: a ≤ x ≤ a- intervall pikkusega 1, kus mõlemad otsad langevad kokku - segment, mis koosneb ühest punktist) | |
| Tühi komplekt | ∅ | Tühi hulk on ka intervall - muutujal x pole väärtusi (tühi hulk). Määramine: x∈∅⇔x∈( ). |
Intervallide nimed võivad segadust tekitada: valikuid on tohutult palju. Seetõttu on alati parem need täpselt märkida. Ingliskeelses kirjanduses kasutatakse ainult seda terminit intervall ("intervall") - avatud, suletud, poolavatud (poolsuletud). Variatsioone on palju.
Intervallidega matemaatikas tähistatakse väga suurt hulka asju: võrrandite lahendamisel on isolatsiooniintervallid, lõimimisintervallid, jadade koondumisintervallid. Funktsiooni uurimisel kasutatakse selle väärtusvahemiku ja määratluspiirkonna tähistamiseks alati intervalle. Lüngad on väga olulised, näiteks neid on Bolzano-Cauchy teoreem(Lisateavet saate Vikipeediast).
Süsteemid ja ebavõrdsuse hulgad
Ebavõrdsuse süsteem
Seega saab muutujat x või mõne avaldise väärtust võrrelda mõne konstantse väärtusega – see on ebavõrdsus, aga seda avaldist saab võrrelda mitme suurusega – topeltvõrratus, võrratuste ahel jne. ülal näidatud - intervalli ja segmendina. Mõlemad on ebavõrdsuse süsteem.
Seega, kui ülesandeks on leida kahele või enamale võrrandile ühiste lahendite kogum, siis saame rääkida võrratussüsteemi lahendamisest (nagu võrrandite puhulgi - kuigi võime öelda, et võrrandid on erijuhtum).
Siis on ilmne, et võrratustes kasutatava muutuja väärtust, mille juures igaüks neist tõeseks saab, nimetatakse võrratuste süsteemi lahenduseks.
Kõik süsteemis sisalduvad ebavõrdsused on ühendatud lokkis sulguga - "(". Mõnikord kirjutatakse need kujul kahekordne ebavõrdsus(nagu ülal näidatud) või isegi ebavõrdsuse ahel. Tüüpilise kirje näide: f x ≤ 30 g x 5 .
Ühe muutujaga lineaarsete võrratuste süsteemide lahendus taandub üldjuhul neljale tüübile: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.
Mis tahes süsteemi saab graafiliselt lahendada numbrirea abil. Seal, kus süsteemi moodustavate võrratuste lahendused ristuvad, leidub lahendus ka süsteemile endale.
Esitame iga juhtumi jaoks graafilise lahenduse.
(1) x>b (2) aLisaks võib ebavõrdsussüsteeme liigitada samaväärseteks, kui neil on ühine lahenduskomplekt. Siit (nagu eespool näha) järeldub, et keerukamaid süsteeme saab lihtsustada (näiteks geomeetrilise lahenduse abil).
Jämedalt öeldes võib lokkis sulgu nimetada sidesõna ekvivalendiks " JA" ebavõrdsuse eest
Ebavõrdsuse hulk
Siiski on ka teisi juhtumeid. Seega on lisaks lahendushulkade ristumiskohale ka nende liit: kui ülesandeks on leida muutuja kõigi selliste väärtuste hulk, millest igaüks on vähemalt ühe antud võrratuse lahendus, siis nad ütlevad, et on vaja lahendada ebavõrdsuse hulk.
Seega ühendab kõik agregaadi ebavõrdsused agregaadi sulg "[". Kui muutuja väärtus rahuldab populatsioonist vähemalt ühe ebavõrdsuse, siis kuulub see kogu üldkogumi lahendite hulka. Sama kehtib ka võrrandite kohta (neid võib jällegi nimetada erijuhtumiks).
Kui lokkis traks on Ja, siis on koondsulg tinglikult, lihtsas sõnastuses, vaste ühendusele " VÕI" ebavõrdsuse jaoks (kuigi see on loomulikult loogiline või, sealhulgas mõlemale tingimusele vastav juhtum).
Seega on võrratuste hulga lahenduseks muutuja väärtus, mille juures vähemalt üks võrratus muutub tõeseks.
Lahenduste komplekti, nii ebavõrdsuse kogumeid kui ka süsteeme, saab määratleda kahe põhilise kahendtehte abil hulgaga töötamiseks - ristmik ja liit. Ebavõrdsuse süsteemi lahenduste hulk on ristmik selle moodustavate ebavõrdsuste lahenduste komplektid. Ebavõrdsuse hulga lahendite hulk on liit selle moodustavate ebavõrdsuste lahenduste komplektid. Seda saab ka illustreerida. Oletame, et meil on süsteem ja kahe ebavõrdsuse hulk. Tähistame esimese lahenduste hulka A, ja tähistada teise lahenduste hulka B. Suurepärane näide oleks Euleri-Venni diagramm.
A ∪ B - võrratussüsteemi lahendus A ∩ B - võrratuste hulga lahendus