Selles artiklis selgitame välja, mis see on kraad. Siin anname arvude astme definitsioonid, samas käsitleme üksikasjalikult kõiki võimalikke eksponente, alustades loomulikust astendajast ja lõpetades irratsionaalsega. Materjalist leiate palju näiteid kraadide kohta, mis hõlmavad kõiki esilekerkivaid peensusi.

Leheküljel navigeerimine.

Naturaalastendajaga aste, arvu ruut, arvu kuup

Alustame . Tulevikku vaadates oletame, et arvu a astme definitsioon koos loomulik näitaja n on antud a jaoks, mida me kutsume kraadi alus, ja n, mida me nimetame eksponent. Samuti märgime, et naturaalse astendajaga aste määratakse korrutise kaudu, nii et alloleva materjali mõistmiseks peab teil olema arusaam arvude korrutamisest.

Definitsioon.

Arvu aste naturaalastendajaga n on avaldis kujul a n, mille väärtus on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a-ga, see tähendab .
Eelkõige on arvu a astmeks astendaja 1 arv a ise, see tähendab, et a 1 =a.

Tasub kohe mainida kraadide lugemise reegleid. Universaalne meetod kirje a n lugemine on: "a astmeni n". Mõnel juhul on vastuvõetavad ka järgmised valikud: „a n-nda astmeni” ja „a n-nda astmeni”. Näiteks võtame astme 8 12, see on "kaheksa kaheteistkümne astmeni" või "kaheksa kuni kaheteistkümnendik aste" või "kaheksateistkümnes aste".

Arvu teisel astmel ja ka arvu kolmandal astmel on oma nimed. Arvu teist astet nimetatakse ruudus number Näiteks 7 2 loetakse "seitsme ruuduna" või "arvu seitsme ruuduna". Arvu kolmandat astet nimetatakse kuubikujulised numbrid, näiteks 5 3 võib lugeda kui "viie kuubikut" või öelda "numbri 5 kuup".

On aeg tuua naturaalastendajatega kraadide näited. Alustame astmest 5 7, siin on 5 astme alus ja 7 astendaja. Toome veel ühe näite: 4.32 on alus ja naturaalarv 9 on astendaja (4.32) 9 .

Pange tähele, et sisse viimane näide Astme alus 4.32 kirjutatakse sulgudesse: lahknevuste vältimiseks paneme sulgudesse kõik astme alused, mis erinevad naturaalarvudest. Näitena anname naturaalastendajatega järgmised kraadid , nende alused ei ole naturaalarvud, seega kirjutatakse need sulgudesse. Noh, täieliku selguse huvides näitame siinkohal erinevust, mis sisalduvad vormide (−2) 3 ja −2 3 kirjetes. Avaldis (−2) 3 on astme −2 aste, mille naturaalne astendaja on 3 ja avaldis −2 3 (selle võib kirjutada kui −(2 3) ) vastab arvule, astme väärtusele 2 3 .

Pange tähele, et on olemas arvu a astme märge, mille astendaja n on kujul a^n. Veelgi enam, kui n on mitme väärtusega naturaalarv, võetakse eksponent sulgudes. Näiteks 4^9 on teine ​​tähis 4 9 astme kohta. Ja siin on veel mõned näited kraadide kirjutamisest sümboliga “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Edaspidi kasutame eeskätt vormi a n kraaditähistust.

Üks probleeme, mis on vastupidine loomuliku astendajaga astmele tõstmisele, on astme aluse leidmise probleem teadaolev väärtus kraadid ja tuntud näitaja. See ülesanne viib .

On teada, et ratsionaalarvude hulk koosneb täisarvudest ja murdudest ning igaühest murdarv võib esitada positiivse või negatiivsena harilik murd. Määratlesime kraadi täisarvulise astendajaga kui eelmine lõik, seega täiendada kraadi määratlust ratsionaalne näitaja, peate andma tähenduse arvu a astmele murdosalise astendajaga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Teeme seda.

Vaatleme vormi murdosa eksponendiga kraadi. Et võimu-võimu omadus jääks kehtima, peab kehtima võrdsus . Kui võtta arvesse saadud võrdsust ja seda, kuidas me määrasime , siis on loogiline sellega nõustuda eeldusel, et antud m, n ja a puhul on avaldis mõttekas.

Lihtne on kontrollida, et kõik täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad (seda tehti ratsionaalse astendajaga astme omaduste osas).

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist järeldus: kui antud m, n ja a avaldis on mõttekas, siis a astmet murdeksponentiga m/n nimetatakse a astme m n-ndaks juureks.

See väide viib meid murdosalise astendajaga astme määratluse lähedale. Jääb üle vaid kirjeldada, milles m, n ja a avaldis on mõttekas. Olenevalt m, n ja a seatud piirangutest on kaks peamist lähenemist.

Lihtsaim viis on kehtestada a-le piirang, võttes positiivse m puhul a≥0 ja negatiivse m puhul a>0 (kuna m≤0 korral ei ole m 0-astet määratletud). Siis saame järgmine määratlus kraadi murdosa astendajaga.

Definitsioon.

Positiivse arvu a võimsus murdeksponentiga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse arvu a n-ndaks juureks m astmeni, see tähendab .

Nulli murdosa määratakse ka ainsa hoiatusega, et indikaator peab olema positiivne.

Definitsioon.

Nulli võimsus murdarvuga positiivne näitaja m/n, kus m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv, on defineeritud kui .
Kui aste pole määratud, see tähendab arvu nulli aste murdosaga negatiivne näitaja pole mõtet.

Tuleb märkida, et selle murdeksponentiga astme määratluse puhul on üks hoiatus: mõne negatiivse a ning mõne m ja n puhul on avaldis mõttekas ning me jätsime need juhud kõrvale, lisades tingimuse a≥0. Näiteks on sissekanded mõttekad või , ja ülaltoodud definitsioon sunnib meid ütlema, et astmed vormi murdosalise astendajaga pole mõtet, kuna alus ei tohiks olla negatiivne.

Teine lähenemine astme määramiseks murdosa astendajaga m/n on juure paaris- ja paaritu eksponentide eraldi käsitlemine. See lähenemine nõuab lisatingimus: arvu astmeks, mille astendaja on , loetakse arvu astmeks, mille astendaja on vastav taandamatu murdosa(Selle tingimuse tähtsust selgitatakse allpool). See tähendab, et kui m/n on taandamatu murd, siis mis tahes naturaalarvu k korral asendatakse aste esmalt arvuga .

Paaris n ja positiivse m korral on avaldis mõttekas mis tahes mittenegatiivse a korral (negatiivse arvu paarisjuurel pole mõtet); negatiivse m korral peab arv a siiski nullist erinema (muidu toimub jagamine nulliga). Ja paaritu n ja positiivse m korral võib arv a olla mis tahes (paaritu astme juur on defineeritud mis tahes reaalarvu jaoks) ja negatiivse m korral peab arv a olema nullist erinev (et ei oleks jagamist null).

Ülaltoodud arutluskäik juhatab meid selle murdosaastendajaga kraadi määratluse juurde.

Definitsioon.

Olgu m/n taandamatu murd, m täisarv ja n naturaalarv. Iga taandatava murru puhul asendatakse aste väärtusega . Taandamatu murdeksponentiga arvu võimsus m/n on jaoks



Selgitame, miks taandatava murdeksponendiga aste asendatakse esmalt taandamatu astendajaga astmega. Kui me lihtsalt defineeriksime astme kui , ja ei teeks reservatsiooni murru m/n taandatamatuse suhtes, siis seisaksime silmitsi järgmiste olukordadega: kuna 6/10 = 3/5, siis peab võrdus kehtima. , Aga , A.

saab leida korrutamise abil. Näiteks: 5+5+5+5+5+5=5x6. Selline avaldis on väidetavalt see, et võrdsete liikmete summa volditakse korrutiseks. Ja vastupidi, kui loeme seda võrdsust paremalt vasakule, leiame, et oleme võrdsete liikmete summat laiendanud. Samamoodi saate ahendada mitme võrdse teguri korrutist 5x5x5x5x5x5=5 6.

See tähendab, et kuue identse teguri 5x5x5x5x5x5 korrutamise asemel kirjutavad nad 5 6 ja ütlevad "viis kuni kuuenda astmeni".

Avaldis 5 6 on arvu aste, kus:

5 - kraadi alus;

6 - eksponent.

Nimetatakse toiminguid, millega võrdsete tegurite korrutis taandatakse astmeks võimule tõstmine.

IN üldine vaade aste alusega "a" ja astendajaga "n" kirjutatakse nii

Arvu a tõstmine astmeni n tähendab n teguri korrutise leidmist, millest igaüks on võrdne a-ga

Kui astme “a” alus on võrdne 1-ga, siis on mis tahes naturaalarvu n astme väärtus võrdne 1-ga. Näiteks 1 5 =1, 1 256 =1

Kui tõstate numbri "a" väärtusele esimene kraad, siis saame numbri a ise: a 1 = a

Kui tõstate suvalise numbri null kraadi, siis arvutuste tulemusena saame ühe. a 0 = 1

Arvu teist ja kolmandat astet peetakse eriliseks. Nad mõtlesid neile välja nimed: kutsutakse teist kraadi ruudus number, kolmas - kuubik see number.

Iga arvu saab tõsta astmeni – positiivseks, negatiivseks või nulliks. Sel juhul järgmised reeglid ei kehti:

Positiivse arvu astme leidmisel on tulemuseks positiivne arv.

Arvutades nulli loomuliku võimsusega, saame nulli.

x m · x n = x m + n

näiteks: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

To jagada võimu samade alustega Me ei muuda alust, vaid lahutame eksponendid:

x m / x n = x m - n , Kus, m > n,

näiteks: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Arvutamisel võimu tõstmine võimuks Me ei muuda alust, vaid korrutame eksponendid üksteisega.

(kell m ) n = y m n

näiteks: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · a m ,

näiteks: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

Arvutuste tegemisel vastavalt murdosa astmeks tõstmine me oleme sees see kraad tõsta murru lugejat ja nimetajat

(x/y)n = x n / a n

näiteks: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Arvutuste jada kraadi sisaldavate avaldistega töötamisel.

Sulgudeta, kuid astmeid sisaldavate avaldiste arvutuste tegemisel sooritavad nad ennekõike astendamise, seejärel korrutamise ja jagamise ning alles seejärel liitmise ja lahutamise tehteid.

Kui teil on vaja arvutada sulgusid sisaldav avaldis, tehke esmalt sulgudes olevad arvutused ülaltoodud järjekorras ja seejärel ülejäänud toimingud samas järjekorras vasakult paremale.

Väga laialdaselt kasutatav praktilistes arvutustes arvutuste lihtsustamiseks. valmis lauad kraadid.

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraade vaja? Kus te neid vajate? Miks peaksite nende uurimiseks aega võtma?

Et õppida kõike kraadi kohta, milleks need on mõeldud ja kuidas oma teadmisi kasutada Igapäevane elu lugege seda artiklit.

Ja loomulikult viivad teadmised kraadidest teid edule lähemale OGE läbimine või ühtne riigieksam ja vastuvõtt oma unistuste ülikooli.

Lähme... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui näete valemite asemel gobbledygooki, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul).

ESIMESE TASE

Võimule tõstmine on sama matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd ma selgitan kõike inimkeel väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, aga selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Igaühel on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat on? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näite koolaga saab kirjutada erinevalt: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Milliseid nutikaid loendamisnippe on laisad matemaatikud veel välja mõelnud? Õige - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on... Ja nad lahendavad sellised probleemid oma peas – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Kõik, mida pead tegema, on pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks seda nimetatakse teiseks astmeks? ruut numbrid ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on üks meeter korda üks meeter. Bassein on teie suvilas. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga... basseinil pole põhja! Basseini põhi tuleb katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhjapinda.

Saate lihtsalt näpuga näidates arvutada, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teil on plaate üks meeter korda üks meeter, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa selliseid plaate näinud oled? Plaat on suure tõenäosusega cm kaupa. Ja siis piinatakse teid "näpuga loendamisega". Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutage ja saate plaadid ().

Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna me korrutame sama arvu, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui teil on neid palju, on nende tõstmine astmeni palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu Ühtse riigieksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine ​​aste on (). Või võime öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine ​​aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide päriselust nr 2

Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades arvu ruutu... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu arvutamiseks tuleb kaheksa korrutada kaheksaga või... kui märkad, et malelaud on küljega ruut, siis saad kaheksa ruutu. Sa saad rakke. () Nii et?

Näide päriselust nr 3

Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Muide, mahtusid ja vedelikke mõõdetakse kuupmeetrit. Ootamatu, eks?) Joonistage bassein: meetri pikkune põhi ja meetri sügavus ning proovige kokku lugeda, mitu kuubikut mõõtudega meeter korda meeter teie basseini mahub.

Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm... Kui palju sa said? Pole kadunud? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke eeskuju matemaatikutelt. Nad on laisad, nii et nad märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad ka seda lihtsustaksid. Me taandasime kõik ühele tegevusele. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest... Mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi ära kasutada. Niisiis, see, mida sa kunagi oma sõrmega lugesid, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubikut on võrdne. See on kirjutatud nii: .

Alles jääb vaid mäleta kraaditabelit. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid jätkata näpuga loendamist.

Noh, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid suitsetamisest loobujad ja kavalad inimesed, et lahendada eluprobleemid, ja et mitte teile probleeme tekitada, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4

Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga sinu miljon kahekordistub iga aasta alguses. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa istud praegu ja “loendate näpuga”, tähendab see, et olete väga töökas mees ja .. loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Nii et esimesel aastal - kaks korrutati kahega... teisel aastal - mis juhtus, veel kahega, kolmandal aastal... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes suudab kõige kiiremini lugeda, saab need miljonid... Tasub meeles pidada arvude jõude, kas te ei arva?

Näide päriselust nr 5

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni eest kaks rohkem. Suurepärane, kas pole? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta - korrutage teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest olete juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Seega on see neljanda astme jaoks võrdne miljoniga. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et kui tõstate arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Terminid ja mõisted... et mitte segadusse sattuda

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid selge ja kergesti meeldejääv...

Noh, samal ajal, mida selline kraadi alus? Veelgi lihtsam - see on number, mis asub allpool, aluses.

Siin on hea mõõdupuu joonis.

Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta... Astet, mille alus on " " ja astendaja " ", loetakse "kraadini" ja kirjutatakse järgmisel viisil:

Naturaalastendajaga arvu võimsus

Tõenäoliselt juba arvasite: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis see on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need arvud, mida kasutatakse loendamisel objektide loetlemisel: üks, kaks, kolm... Objekte loendades ei ütle me: “miinus viis”, “miinus kuus”, “miinus seitse”. Samuti ei ütle me: "üks kolmandik" või "null koma viis". Need ei ole naturaalarvud. Mis need numbrid teie arvates on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke arve (st miinusmärgiga võetud) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade näitamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalsed arvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puuduvad naturaalarvud pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud... Huvitav, kas pole?

Kas on veel irratsionaalsed arvud. Mis need numbrid on? Ühesõnaga lõputult kümnend. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

1. Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
2. Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
3. Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolmekordset korrutamist:

Definitsioon. Tõstke numbrit kuni loomulik kraad- tähendab arvu korrutamist iseendaga:
.

Kraadide omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan teile nüüd.

Vaatame: mis see on Ja ?

A-prioor:

Mitu kordajat on kokku?

See on väga lihtne: lisasime teguritele kordajad ja tulemuseks on kordajad.

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste astendajaga, see tähendab: , mida oli vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peab olema identsed põhjused!
Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

ainult jõudude korrutisele!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

2. ongi kõik arvu aste

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, st definitsiooni kohaselt on see arvu th:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?

Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Võimsus negatiivse alusega

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema aluseks?

Volitustel loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude võimsus?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui me korrutame sellega, siis see töötab.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Kas said hakkama?

Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 näidet harjutamiseks

Lahenduse analüüs 6 näidet

Kui me ignoreerime kaheksandat võimsust, mida me siin näeme? Meenutagem 7. klassi kava. Niisiis, kas sa mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame hoolega nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Tingimuste järjekord on vale. Kui need ümber pöörata, võiks reegel kehtida.

Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.

Maagiliselt muutsid terminid kohti. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame hõlpsasti muuta.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Terve nimetame naturaalarvudeks, nende vastanditeks (see tähendab märgiga " ") ja arvuks.

positiivne täisarv, ja see ei erine looduslikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Suvaline number sisse null kraadi võrdne ühega:

Nagu alati, küsigem endalt: miks see nii on?

Mõelgem mingil määral alusega. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvu arvuga ja saime sama, mis see oli - . Millise arvuga tuleks korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Ühest küljest peab see olema võrdne mis tahes kraadiga - ükskõik kui palju sa nulli iseendaga korrutad, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga nullastmega arv, peab see olema võrdne. Niisiis, kui palju sellest on tõsi? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullvõimsusele tõstmast. See tähendab, et nüüd ei saa me mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta seda nullastmeni.

Liigume edasi. Täisarvud hõlmavad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivseid arve. Et mõista, mis on negatiivne kraad, tehkem nagu kirjeldatud viimane kord: korrutage mõned tavaline number sama eest sisse negatiivne aste:

Siit on lihtne väljendada, mida otsite:

Laiendame nüüd saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Arv negatiivsele astmele on sama arvu pöördväärtus positiivne aste. Aga samas Alus ei saa olla null:(sest te ei saa jagada).

Teeme kokkuvõtte:

I. Avaldis ei ole juhul määratletud. Kui siis.

II. Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega: .

III. Number, mitte võrdne nulliga, negatiivsel astmel on sama arvu pöördväärtus positiivsel astmel: .

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, nagu tavaliselt, näited sõltumatu otsus:

Probleemide analüüs iseseisvaks lahendamiseks:

Ma tean, ma tean, numbrid on hirmutavad, aga ühtsel riigieksamil tuleb kõigeks valmis olla! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendusi, kui te ei suutnud neid lahendada, ja õpite eksamil nendega hõlpsalt toime tulema!

Jätkame eksponendiks “sobivate” arvude vahemiku laiendamist.

Nüüd kaalume ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdena, kus ja on täisarvud ja.

Et mõista, mis see on "murdjärguline aste", kaaluge murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Tuletame nüüd meelde reeglit "kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on astme juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu () astme juur on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et th astme juur on astmeks tõstmise pöördtehing: .

Selgub, et. Ilmselgelt see erijuhtum saab laiendada: .

Nüüd lisame lugeja: mis see on? Vastust on lihtne saada võimsuse võimsuse reegli abil:

Aga kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Meenutagem reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada isegi juuri!

See tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta murdosa võimsus paarisnimetajaga ehk väljendil pole mõtet.

Aga väljend?

Siin aga tekib probleem.

Arvu võib esitada muude, taandatavate murdude kujul, näiteks või.

Ja selgub, et see on olemas, kuid pole olemas, kuid need on vaid kaks erinevad sissekanded sama number.

Või teine ​​näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kui aga indikaatorit erinevalt kirja panna, jääme jälle hätta: (ehk saime hoopis teistsuguse tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaalume ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.

Nii et kui:

• - naturaalarv;
• - täisarv;

Näited:

Ratsionaalastendajad on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 näidet harjutamiseks

5 näite analüüs koolituseks

Noh, nüüd tuleb kõige raskem osa. Nüüd mõtleme selle välja aste irratsionaalse astendajaga.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadi puhul, erandiga

Lõppude lõpuks on definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega.

Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...arv nulli astmeni- see on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et nad pole seda veel korrutama hakanud, mis tähendab, et arv ise pole isegi veel ilmunud - seetõttu on tulemuseks ainult teatud "tühi number" , nimelt number;

...negatiivse täisarvu aste- nagu oleks midagi juhtunud" vastupidine protsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, loodusteadustes kraad koos keeruline näitaja, see tähendab, et indikaator pole ühtlane tegelik arv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

KUHU OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame tavalisest reeglist astme astmeks tõstmiseks:

Nüüd vaadake indikaatorit. Kas ta ei tuleta sulle midagi meelde? Tuletame meelde ruutude erinevuse lühendatud korrutamise valemit:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Taandame eksponentide murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, kasutame kraadide tavalisi omadusi:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Kraadi määramine

Kraad on vormi: , kus:

• — kraadi alus;
• - eksponent.

Kraad loomuliku indikaatoriga (n = 1, 2, 3,...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Kraad täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)

Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:

Ehitus null kraadini:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see igal astmel ja teiselt poolt mis tahes arv kuni astmeni see.

Kui eksponendiks on negatiivne täisarv number:

(sest te ei saa jagada).

Veelkord nullidest: avaldis ei ole käändes defineeritud. Kui siis.

Näited:

Võimsus ratsionaalse astendajaga

• - naturaalarv;
• - täisarv;

Näited:

Kraadide omadused

Probleemide lahendamise hõlbustamiseks proovime mõista: kust need omadused pärinevad? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

A-prioor:

Niisiis, selle väljendi paremal küljel saame järgmise toote:

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis Tingimata peavad olema samad põhjused. Seetõttu ühendame volitused baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste korrutis!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume kraadi määratluse juurde:

Rühmitame selle töö ümber järgmiselt:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga kordadega, st definitsiooni kohaselt on see arvu th:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudest välja võtmiseks". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku: !

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Võimsus negatiivse alusega.

Siiani oleme vaid arutanud, milline see peaks olema indeks kraadid. Aga mis peaks olema aluseks? Volitustel loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude võimsus?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. 6. klassist mäletame lihtsat reeglit: "miinus miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame - .

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutusega märk muutub. Saame sõnastada järgmise lihtsad reeglid:

1. isegi aste, - number positiivne.
2. Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - number negatiivne.
3. Positiivne number mis tahes määral on positiivne arv.
4. Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole ka kõik nii hirmutav, kui tundub: lõppude lõpuks pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Alus pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab see selgeks, mis tähendab, et baas on nullist väiksem. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteisega, jagame paarideks ja saame:

Enne lahti võtmist viimane reegel, lahendame mõned näited.

Arvutage avaldised:

Lahendused :

Kui me ignoreerime kaheksandat võimsust, mida me siin näeme? Meenutagem 7. klassi kava. Niisiis, kas sa mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Vaatame hoolega nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Tingimuste järjekord on vale. Kui need oleksid vastupidised, võiks kehtida reegel 3. Aga kuidas? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja ühtlane aste aitab meid siin.

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Nüüd selgub aga nii:

Maagiliselt muutsid terminid kohti. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlaselt: sulgudes olevaid märke saame hõlpsasti muuta. Kuid on oluline meeles pidada: Kõik märgid muutuvad samal ajal! Te ei saa seda asendada, muutes ainult ühte puudust, mis meile ei meeldi!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame seda:

Noh, nüüd avame sulgud. Mitu tähte on kokku? korda kordajatega – mida see teile meelde tuletab? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: Seal olid ainult kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:

Näide:

Kraad irratsionaalse astendajaga

Lisaks teabele keskmise taseme kraadide kohta analüüsime kraadi irratsionaalse astendajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (st. , on irratsionaalarvud kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalarvud).

Naturaalsete, täisarvude ja ratsionaalsete eksponentide abil kraadide uurimisel lõime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega. Näiteks loomuliku astendajaga aste on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; arv nullastmeni on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et nad pole seda veel korrutama hakanud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemus ainult kindel "tühi number", nimelt number; aste täisarvulise negatiivse eksponendiga - justkui oleks toimunud mingi "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). See on pigem puhas matemaatiline objekt, mille matemaatikud lõid astme mõiste laiendamiseks kogu arvude ruumile.

Muide, loodusteadustes kasutatakse sageli keerulise astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalne näitaja kraadid? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

1)

2)

3)

Vastused:

1. Meenutagem ruutude valemit. Vastus:.
2. Murrud taandame samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks: .
3. Ei midagi erilist, kasutame kraadide tavalisi omadusi:

OSA JA PÕHIVALEMITE KOKKUVÕTE

Kraad nimetatakse vormi väljendiks: , kus:

Kraad täisarvu astendajaga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Võimsus ratsionaalse astendajaga

aste, mille eksponendiks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

aste, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadide omadused

Kraadide omadused.

• Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - number positiivne.
• Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - number negatiivne.
• Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
• Null on võrdne mis tahes võimsusega.
• Mis tahes arv nullastmega on võrdne.

NÜÜD ON SUL SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Kirjutage allpool kommentaaridesse, kas teile meeldis või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest kraadi atribuutide kasutamisel.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

Määratluseks saab allolev valem kraadid naturaalse astendajaga(a on astme ja kordusteguri alus ning n on astendaja, mis näitab, mitu korda tegurit korratakse):

See avaldis tähendab, et arvu a võimsus naturaalse astendajaga n on n teguri korrutis, hoolimata asjaolust, et iga tegur on võrdne a-ga.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - baaskraad,

5 - eksponent,

1419857 — kraadi väärtus.

Astendaja nulliga võimsus on võrdne 1-ga, eeldusel, et a\neq 0:

a^0=1 .

Näiteks: 2^0=1

Millal kirjutada suur number Tavaliselt kasutatakse astmeid 10.

Näiteks üks iidsemaid dinosauruseid Maal elas umbes 280 miljonit aastat tagasi. Tema vanus on kirjutatud järgmiselt: 2,8 \cdot 10^8 .

Iga arvu, mis on suurem kui 10, saab kirjutada kui \cdot 10^n, eeldusel, et 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют standardvaade numbrid.

Selliste numbrite näited: 6978 = 6,978 \cdot 10^3, 569000 = 5,69 \cdot 10^5.

Võite öelda nii "a n-nda astmeni" kui ka "arvu a n-nda astmeni" ja "a n-nda astmeni".

4^5 - "neli 5 astmeni" või "4 viienda astmeni" või võite öelda ka "viie astme 4"

IN selles näites 4 on astme alus, 5 on astendaja.

Toome nüüd näite murdude ja negatiivsete arvudega. Segaduste vältimiseks on tavaks kirjutada sulgudesse muud alused peale naturaalarvude:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 jne.

Pange tähele ka erinevust:

(-5)^6 – tähendab negatiivse arvu −5 astet, mille naturaalastendaja on 6.

5^6 - vastab vastupidisele numbrile 5^6.

Kraadide omadused naturaalastendajaga

Kraadi põhiomadus

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Alus jääb samaks, kuid eksponendid lisatakse.

Näiteks: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Samade alustega jagatisastmete omadus

a^n: a^k=a^(n-k), kui n > k .

Eksponentid lahutatakse, kuid alus jääb samaks.

See piirang n > k kehtestatakse selleks, et mitte ületada loomulikke eksponente. Tõepoolest, n > k korral on astendaja a^(n-k). naturaalarv, vastasel juhul läheb ka negatiivne arv(k< n ), либо нулем (k-n ).

Näiteks: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Võimu võimsuseks tõstmise omadus

(a^n)^k=a^(nk)

Alus jääb samaks, korrutatakse ainult eksponendid.

Näiteks: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Toote eksponentsiatsiooni omadus

Iga tegur tõstetakse astmeni n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Näiteks: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Murru astendamise omadus

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Nii murdosa lugeja kui ka nimetaja tõstetakse astmeni. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)