Konverter et polynomium til et udtryk. Hurtig multiplikation af polynomier ved hjælp af Fourier-transformationen er let

Et polynomium er summen af ​​monomer, det vil sige produkter af tal og variable. Det er mere bekvemt at arbejde med det, da konvertering af et udtryk til et polynomium oftest giver dig mulighed for at forenkle det betydeligt.

Instruktioner

Udvid alle parenteser af udtrykket. For at gøre dette skal du bruge formler, for eksempel (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Hvis du ikke kender formlerne, eller de er svære at anvende på et givet udtryk, skal du åbne parenteserne sekventielt. For at gøre dette skal du gange det første led i det første udtryk med hvert led i det andet udtryk, derefter det andet led i det første udtryk med hvert led i det andet osv. Som følge heraf vil alle elementer i begge parenteser blive ganget sammen.

Hvis du har tre udtryk i parentes, skal du først gange de to første, så det tredje udtryk forbliver urørt. Efter at have forenklet resultatet opnået ved at transformere de første parenteser, ganges det med det tredje udtryk.

Følg omhyggeligt skiltene foran monomiale faktorer. Hvis du multiplicerer to led med det samme fortegn (for eksempel er begge positive eller begge negative), vil monomialet have et "+"-tegn. Hvis et udtryk har et "-" foran sig, så glem ikke at overføre det til produktet.

Reducer alle monomer til standardform. Det vil sige, omarranger faktorerne indeni og forenkle. For eksempel vil udtrykket 2x*(3,5x) være lig med (2*3,5)*x*x=7x^2.

Når alle monomialerne er standardiserede, kan du prøve at forenkle polynomiet. For at gøre dette skal du gruppere termer, der har samme del, med variable, for eksempel (2x+5x-6x)+(1-2). Forenklet udtrykket får du x-1.

Vær opmærksom på tilstedeværelsen af ​​parametre i udtrykket. Nogle gange er det nødvendigt at simplificere et polynomium, som om parameteren var et tal.

For at konvertere et udtryk, der indeholder en rod, til et polynomium, skal du udskrive det udtryk, der vil blive kvadreret under det. Brug for eksempel formlen a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2, og fjern derefter rodtegnet sammen med den lige potens. Hvis du ikke kan slippe af med rodtegnet, vil du ikke være i stand til at konvertere udtrykket til et standardpolynomium.

"Forbedring af numeriske færdigheder" - Talsammensætning. Gentagelse af handlinger. Multiplikation. Tilføjelse. Regler for åbning af parenteser. Tilføjelse negative tal. Subtraktion. Tilføjelse almindelige brøker. Tilføjelse af tal med forskellige fortegn. Forbedring af computerfærdigheder. Subtraktion enkeltcifret nummer. Referencediagram. Handling i en kolonne. Multiplicer et monomer med et polynomium.

"Forskel mellem kvadrater af tal" - Firkant. Forkortet multiplikationsformel. Forskel mellem kvadrater af to udtryk. Arbejde med et bord. Forskel på firkanter. Geometrisk betydning formler. Hvordan kan du læse formlen? Gør multiplikationen. Påvirker rækkefølgen, som parenteserne skrives i, resultatet? Formel (a+b)(a-b)=a2-b2. Produktet af forskellen mellem to udtryk og deres sum.

"Multiplikation af et polynomium med et polynomium" - Reglen for at gange et polynomium med et polynomium. Spil "Åbn billedet". Åbn billedet. Hvert led i det første polynomium ganges efter tur med hvert led i det andet polynomium. Lad os betragte produktet af de simpleste polynomier, nemlig binomialer. Et polynomium har m led, og det andet har n led. Lektionsplan.

"Faktorering af et polynomium" - Foreløbig transformation. Klassificer disse polynomier efter faktoriseringsmetoden. At tage den fælles faktor ud af parentes. Anvendelse af forkortede multiplikationsformler. Udvælgelsesmetode fuld firkant. Testor. Svar: Lektionsoversigt: Confucius. Forkortede multiplikationsformler. Grupperingsmetode.

"Konvertering af et heltalsudtryk til et polynomium" - Hvilke af udtrykkene er heltal: Eksempler på heltalsudtryk er følgende udtryk: Lektionens mål: Øv eleverne i reduktion lignende vilkår. Polynomier og især monomer er heltalsudtryk. Udvikle elevernes computerfærdigheder. Introducer begrebet et helt udtryk. Konvertering af heltalsudtryk.

"Lektion om forkortede multiplikationsformler" - Formålet med lektionen: At gentage og opsummere praktiske færdigheder og evner om emnet "Forkortede multiplikationsformler." Lektionens emne: FORMLER TIL REDUCERET MULTIPLIKATION. Forbered dig på, hvad der kommer prøvearbejde. Opgave: Siderne på den første firkant er 1 cm flere sider den anden firkant, og arealet af den første firkant er 9 cm2 mere område anden firkant.

Der er i alt 24 oplæg i emnet

Blandt de forskellige udtryk, der betragtes i algebra, indtager summer af monomialer en vigtig plads. Her er eksempler på sådanne udtryk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Summen af ​​monomer kaldes et polynomium. Begreberne i et polynomium kaldes vilkår for polynomiet. Monomier er også klassificeret som polynomier, idet man betragter et monomer som et polynomium bestående af et medlem.

For eksempel et polynomium
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.

Lad os repræsentere alle udtryk i form af monomialer af standardformen:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Lad os præsentere lignende udtryk i det resulterende polynomium:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynomium, hvis alle udtryk er monomer af standardformen, og blandt dem er der ingen lignende. Sådanne polynomier kaldes polynomier af standardform.

Bag grad af polynomium af en standardform tage den højeste af medlemmernes beføjelser. Således har binomialet \(12a^2b - 7b\) den tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den anden.

Typisk er vilkårene for standardformpolynomier, der indeholder én variabel, arrangeret i faldende rækkefølge af eksponenter. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Summen af ​​flere polynomier kan transformeres (forenklet) til et polynomium af standardform.

Nogle gange skal vilkårene for et polynomium opdeles i grupper, der omslutter hver gruppe i parentes. Da omsluttende parenteser er den omvendte transformation af åbne parenteser, er det let at formulere regler for åbning af parenteser:

Hvis et "+"-tegn er placeret foran parenteserne, skrives termerne i parentes med de samme tegn.

Hvis et "-"-tegn er placeret foran parenteserne, skrives termerne i parenteserne med modsatte tegn.

Transformation (simplificering) af produktet af et monomer og et polynomium

Ved hjælp af fordelingsejendom multiplikationer kan konverteres (forenklet) til et polynomium, produktet af et monomial og et polynomium. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produktet af et monomial og et polynomium er identisk lig med summen af ​​produkterne af dette monomial og hver af polynomiets vilkår.

Dette resultat er normalt formuleret som en regel.

For at gange et monomer med et polynomium skal du gange det monomial med hver af polynomiets vilkår.

Vi har allerede brugt denne regel flere gange til at gange med en sum.

Produkt af polynomier. Transformation (simplificering) af produktet af to polynomier

Generelt er produktet af to polynomier identisk lig med summen af ​​produktet af hvert led af det ene polynomium og hvert led af det andet.

Normalt bruges følgende regel.

For at gange et polynomium med et polynomium skal du gange hvert led i det ene polynomium med hvert led i det andet og tilføje de resulterende produkter.

Forkortede multiplikationsformler. Sum kvadrater, forskelle og forskel af kvadrater

Med nogle udtryk i algebraiske transformationer har at gøre med oftere end andre. De måske mest almindelige udtryk er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), dvs. kvadratet af summen, kvadratet af forskellen og forskellen på kvadrater. Du har bemærket, at navnene på disse udtryk ser ud til at være ufuldstændige, for eksempel er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke kun kvadratet af summen, men kvadratet af summen af ​​a og b . Kvadraten af ​​summen af ​​a og b forekommer dog ikke særlig ofte; som regel indeholder det i stedet for bogstaverne a og b forskellige, nogle gange ret komplekse, udtryk.

Udtrykkene \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan nemt konverteres (forenklet) til polynomier af standardformen; faktisk har du allerede stødt på denne opgave, når du multiplicerer polynomier:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Det er nyttigt at huske de resulterende identiteter og anvende dem uden mellemliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjælper dette.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadratet af summen er lig med summen af ​​kvadraterne og dobbeltproduktet.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet af forskellen er lig med summen af ​​kvadrater uden det fordoblede produkt.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskellen mellem kvadrater er lig med produktet af forskellen og summen.

Disse tre identiteter gør det muligt at udskifte dens venstre dele med højrehåndsdele i transformationer og omvendt - højrehåndsdele med venstrehåndede. Det sværeste er at se de tilsvarende udtryk og forstå, hvordan variablerne a og b erstattes i dem. Lad os se på flere eksempler på brug af forkortede multiplikationsformler.

Et polynomium er summen af ​​monomer, det vil sige produkter af tal og variable. Det er mere behageligt at arbejde med det, fordi det oftere end ikke er, at reformere et udtryk til et polynomium giver dig mulighed for at forenkle det meget mere.

Instruktioner

1. Udvid alle parenteser af udtrykket. For at gøre dette skal du bruge formlerne, f.eks. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Hvis du ikke kender formlerne, eller de er svære at anvende på et givet udtryk, skal du åbne parenteserne trin for trin. For at gøre dette skal du gange det 1. led i det første udtryk med hele det andet udtryk, derefter det 2. led i det første udtryk med hele det andet udtryk osv. Som følge heraf vil alle elementer i begge parenteser blive ganget sammen.

2. Hvis du har tre udtryk i parentes, skal du først gange de to første, så det tredje udtryk forbliver urørt. Efter at have forenklet resultatet opnået som et resultat af omdannelse af de første parenteser, multiplicer du det med det tredje udtryk.

3. Vær omhyggelig med at observere tegnene foran monomiale faktorer. Hvis du multiplicerer to led med det samme fortegn (f.eks. begge er korrekte eller begge er negative), vil monomialet have et "+"-tegn. Hvis et udtryk har et "-" foran sig, så glem ikke at overføre det til værket.

4. Reducer alle monomer til standardform. Det vil sige, omarranger faktorerne indeni og forenkle. Lad os sige, at udtrykket 2x*(3,5x) vil være lig med (2*3,5)*x*x=7x^2.

5. Når alle monomialerne er standardiserede, kan du prøve at forenkle polynomiet. For at gøre dette, gruppemedlemmer, der har identiske dele med variable, f.eks. (2x+5x-6x)+(1-2). Forenklet udtrykket får du x-1.

6. Bemærk tilstedeværelsen af ​​parametre i udtrykket. Af og til skal relieffet af et polynomium laves, som om parameteren var et tal.

7. For at konvertere et udtryk, der indeholder en rod, til et polynomium, skal du udskrive et udtryk, der vil blive kvadreret under det. Lad os sige, brug formlen a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2, og fjern derefter rodtegnet sammen med den lige grad. Hvis det er umuligt at slippe af med rodtegnet, vil du ikke kunne konvertere udtrykket til et polynomium af standardformen.

Kortfattethed, som man siger, er gavens søster. Alle vil gerne vise sig for ingenting, men hans søster er en svær ting. Af en eller anden grund tager fænomenale tanker form af komplekse sætninger med de fleste deltagende cyklusser. Det er dog inden for din magt at forenkle dine forslag og gøre dem forståelige og tilgængelige for alle.

Instruktioner

1. For at gøre livet lettere for modtageren (uanset om det er lytter eller læser), prøv at erstatte deltagelses- og deltidscyklusser med korte bisætninger, kun hvis der er for mange af ovenstående cyklusser i én sætning. "En kat, der kom hjem, lige efter at have spist en mus, spindede højlydt, kærtegnede sin ejer og prøvede at se ham i øjnene i håb om at tigge om fisk bragt fra butikken" - dette vil ikke fungere. Bryd en lignende konstruktion i flere dele, skynd dig ikke og prøv ikke at sige alt i en sætning, og du vil være i lyksalighed.

2. Hvis du planlagde en talentfuld udtalelse, men det viste sig at have for meget underordnede klausuler(især med én konjunktion), så er det bedre at dele udsagnet op i flere separate sætninger eller udelade et element. "Vi besluttede, at han ville fortælle Marina Vasilyevna, at Katya ville fortælle Vita at..." - man kan fortsætte i det uendelige. Stop rettidigt og husk den person, der vil læse eller lytte til dette.

3. Faldgruber ligger dog ikke kun i sætningens struktur. Vær opmærksom på ordforrådet. Fremmedord, lange sigt, ord taget fra fiktion 1800-tallet - alt dette vil kun komplicere opfattelsen. Du skal selv afklare, for hvilket publikum du komponerer teksten: Teknikere er selvfølgelig opmærksomme på både svære termer og specifikke ord; men hvis du tilbyder de samme ord til en litteraturlærer, er det usandsynligt, at hun forstår dig.

4. En gave er en stor ting. Hvis du er et geni (og der er ingen mennesker uden evner), åbner der sig mange veje foran dig. Men gaven ligger ikke i vanskeligheder, men i enkelhed, uanset hvor usædvanlig. Hold det enkelt, og dine gaver vil være klare og tilgængelige for alle.

Video om emnet

Selv den sværeste ligning holder op med at se skræmmende ud, hvis du reducerer den til en form, som du allerede har stødt på. Især enkel metode, den, der gemmer i enhver situation, er reduktionen af ​​polynomier til en standardform. Dette er et udgangspunkt, hvorfra du kan bevæge dig hen imod en løsning.

Du får brug for

• papir
• farvede kuglepenne

Instruktioner

1. Husk standardformen for et polynomium, så du ved, hvad du skal få til sidst. Selv skriverækkefølgen er vigtig: medlemmer med i højere grad. Derudover er det sædvanligt først at skrive ukendte ned, angivet med bogstaver i begyndelsen af ​​alfabetet.

2. Skriv det indledende polynomium ned, og begynd at søge efter lignende udtryk. Disse er medlemmer af ligningen givet til dig, som har en identisk bogstavdel og/eller en digital del. For større klarhed skal du fremhæve de detekterede par. Bemærk venligst, at lighed ikke betyder identitet - det vigtigste er, at et medlem af parret indeholder den 2. Således vil udtrykkene xy, xy2z og xyz ligne hinanden - de har en universel del i form af produktet af x og y. Det samme gælder magtudtryk.

3. Mærk forskellige lignende medlemmer forskelligt. For at opnå dette skal du fremhæve med enkelte, dobbelte og tredobbelte linjer, farve og andre linjeformer.

4. Når du har fundet alle lignende medlemmer, skal du begynde at kombinere dem. For at gøre dette skal du fjerne lignende udtryk fra parentes i de detekterede par. Glem det ikke i standard formular Et polynomium har ingen lignende udtryk.

5. Tjek for at se, om du har nogen identiske elementer tilbage i din post. I nogle tilfælde kan du igen have lignende medlemmer. Gentag operationen ved at kombinere dem.

6. Sørg for at udfylde de andre data, der kræves for at skrive et polynomium i standardform: hele dets deltager skal afbildes som et monomial i standardform: i første omgang er den numeriske faktor, for det andet er den eller de variabler, der følger i angivet rækkefølge. I dette tilfælde har bogstavsekvensen angivet af alfabetet prioritet. Aftagende grader tages sekundært i betragtning. Så, standard visning Den monomiale notation er 7xy2, mens y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 ikke opfylder kravene.

Video om emnet

Matematisk videnskab forstår forskellige designs, rækkefølger af tal, sammenhænge mellem dem, opstilling af ligninger og løsning af dem. Det her formelt sprog, som får lov til klart at beskrive de næsten perfekte egenskaber af virkelige objekter, der forstås inden for andre videnskabsområder. En sådan konstruktion er et polynomium.

Instruktioner

1. Polynomium eller polynomium (fra det græske "poly" - mange og det latinske "nomen" - navn) - klasse elementære funktioner klassisk algebra og algebraisk geometri. Dette er en funktion af én variabel, som har formen F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n, hvor c_i er faste indikatorer, x er en variabel.

2. Polynomier bruges på mange områder, herunder nul, negative og komplekse tal, gruppeteori, ringe, knob, mængder osv. Brugen af ​​polynomieberegninger gør det meget lettere at udtrykke egenskaberne for forskellige objekter.

3. Grundlæggende definitioner af et polynomium: Hvert led i et polynomium kaldes et monomial eller monomial. Et polynomium bestående af 2 monomialer kaldes et binomial eller binomial. Polynomiske koefficienter – reelle eller komplekse tal. Hvis den førende eksponent er 1, kaldes polynomiet unitært (reduceret). Potenserne af en variabel i enhver monomial er heltal ikke-negative tal, maksimal grad bestemmer graden af ​​et polynomium, og dets fulde grad kaldes et heltal, lig med summen alle grader. Monomial tilsvarende nul grader, kaldes et gratis medlem. Et polynomium, hvis monomer alle har identiske fuld grad, kaldes homogen.

4. Nogle ofte brugte polynomier er opkaldt efter navnet på den videnskabsmand, der definerede dem og også beskrev de funktioner, de definerer. Lad os sige, Newtons binomiale er en formel til at dekomponere et polynomium af 2 variable i individuelle termer til beregning af potenser. Det er de berømte skolepensum skriv kvadraterne af summen og forskellen (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^ 2 og differenskvadrater (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b).

5. Hvis vi tillader negative grader i notationen af ​​et polynomium, får vi et polynomium eller en Laurent-række; Chebyshev polynomiet bruges i tilnærmelsesteori; Hermit polynomium - i sandsynlighedsteori; Lagrange - til numerisk integration og interpolation; Taylor - ved tilnærmelse af en funktion mv.

Bemærk!
Newtons binomiale er ofte nævnt i bøger ("Mesteren og Margarita") og film ("Stalker"), når karaktererne bestemmer matematiske problemer. Denne term velkendt og betragtes derfor som det mest kendte polynomium.

Udtryk reformeres oftere end ikke for at gøre dem lettere. Til dette formål anvendes særlige forhold samt regler for nedsættelse og nedsættelse af tilsvarende.

Du får brug for

• – operationer med fraktioner;
• – forkortede multiplikationsformler;
• - lommeregner.

Instruktioner

1. Den enkleste reform er at bringe lignende. Hvis der er flere udtryk, der er monomer med identiske faktorer, kan eksponenten for dem tilføjes under hensyntagen til de tegn, der vises foran disse eksponenter. Lad os sige udtryk 2 n-4n+6n-n=3 n.

2. Hvis identiske faktorer har forskellige grader, er det ikke tilladt at bringe lignende sammen på lignende måde. Gruppér kun de indikatorer, der har faktorer med identiske grader. Lad os sige forenkle udtryk 4 k-6 k+5 k-5 k-+k-2 k-=3 k-k-5 k.

3. Hvis dette er muligt, skal du bruge forkortede multiplikationsformler. Særligt berømte omfatter terningen og kvadratet af summen eller forskellen på 2 tal. De repræsenterer særlig situation Newtons binomiale. Forkortede multiplikationsformler inkluderer også forskellen mellem kvadraterne af 2 tal. Lad os sige, for at opdage værdierne af udtrykket 625-1150+529=(25-23)?=4. Eller 1296-576=(36+24) (36-24)=720.

4. Hvornår skal man konvertere udtryk, som er en naturlig brøk, adskiller alle tæller og nævner fælles multiplikator og reducere tælleren og nævneren med det. Lad os sige, reducere fraktionen 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). For at gøre dette skal du transformere det til formen 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Klip det ned udtryk med 3 (a+b) får du 1/(4 (a-b)).

5. Transformerer trigonometriske udtryk, bruge kendte trigonometriske identiteter. Disse omfatter hovedidentiteten sin?(x)+cos?(x)=1, såvel som tangentformler og dens forhold til cotangens sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tan(x) = ctg(x). Formler for summen af ​​forskellen mellem argumenter, såvel som flere argumenter. Lad os sige konvertere udtryk(cos?(x)-sin?(x)) cos?(x) tan(x)= cos(2x) cos?(x) sin(x)/cos(x)= cos(2x) cos(x) sin(x)= cos(2x) cos(x) sin(x) 2/2= cos(2x) sin(2x)/2=cos(2x) sin(2x) 2/4= sin(4x)/4 . Det her udtryk meget nemmere at beregne.

Proceduren til at reformere formler bruges i enhver videnskab, der bruger matematikkens formelle sprog. Formler består af specielle symboler forbundet med hinanden i henhold til bestemte regler.

Du får brug for

• Kendskab til reglerne for matematiske identitetsreformeringer, tabel over matematiske identiteter.

Instruktioner

1. Undersøg udtrykket for tilstedeværelsen af ​​fraktioner. En brøks tæller og nævner kan ganges eller divideres med det samme udtryk, hvorved nævneren slippes. Når du omformaterer en ligning, skal du kontrollere, om der er nogen variable i nævnerne. Hvis ja, tilføj en betingelse om, at nævnerudtrykket ikke er lig med nul. Vælg data fra denne ugyldige værdier variabler, det vil sige begrænsninger i definitionsdomænet.

2. Anvend reglerne for operationer med beføjelser til identiske grundlag. Som følge heraf vil antallet af terminer falde.

3. Flyt termerne, der indeholder variablen, til den ene side af ligningen, og dem, der ikke gør - til den anden. Anvend matematiske identiteter på hver del af ligningen for at gøre det lettere.

4. Grupper homogene termer. For at gøre dette skal du tage den universelle variabel ud af parentes, indeni hvilken nedskriv summen af ​​indikatorerne under hensyntagen til tegnene. Graden af ​​den samme variabel behandles som en anden variabel.

5. Kontroller, om formlen indeholder eksempler på identiske reformationer af polynomier. Lad os sige, er der på højre eller venstre side af formlen forskellen af ​​kvadrater, summen af ​​terninger, kvadratet af forskellen, kvadratet af summen osv. Hvis der er, skal du erstatte den opdagede prøve med dens forenklede prøve. analog og forsøg igen at gruppere termerne.

6. I tilfælde af reform trigonometriske ligninger, uligheder eller lette udtryk, finde mønstre i dem trigonometriske identiteter og bruge metoden til at erstatte en del af et udtryk med et identisk forenklet udtryk. Denne reform giver dig mulighed for at slippe af med unødvendige sinus eller cosinus.

7. At reformere vinkler til alle generel opfattelse eller i radianform, brug reduktionsformlerne. Senere reformation beregne værdien dobbelt vinkel eller halv vinkel afhængig af pi.

AFSNIT IV.

DEKOMPONERING AF UDTRYK I ENKLE FAKTORER.

§ 1. Konvertering af polynomier til produkter uden brug af forkortede multiplikations- og divisionsformler.

Hvis alle led i et polynomium indeholder en fælles faktor, så kan du dividere hele polynomiet med denne faktor og angive multiplikationen af ​​den samme faktor med den resulterende polynomiekvotient. Fra dette dette udtryk vil ikke ændre hans måder kvantitativ værdi, men vil tage form af et produkt. For eksempel binomial ab+ac kan repræsenteres i formen EN (b+c ).

Denne formtransformation kaldes at tage den fælles faktor ud af parentes. Når du udfører denne handling, skal du sørge for at sætte alt, hvad der er muligt ud af parentes, så der ikke forbliver en fælles faktor i vilkårene for kvotienten i parentes.

Nogle gange, når det tages ud af parentes, gives et minustegn til den generelle term. I dette tilfælde er medlemmerne af kvotienten i parentes skrevet med tegn modsat dem, som medlemmerne havde foran dem givet polynomium. Negativt tegn den fælles faktor gælder for hele produktet. For eksempel binomial - ab+ac kan repræsenteres som (- EN )(b-c ), og i stedet skriver de - EN (b-c ), og minus gælder ikke længere for én faktor EN , men til hele værket.

Når medlemmerne af et polynomium ikke har en fælles faktor, kan man nogle gange, ved at gruppere medlemmerne i flere grupper indeholdende flere medlemmer i hver gruppe, finde en fælles og desuden polynomiel faktor i disse dannede grupper. Ofte er det for en sådan gruppering tilstrækkeligt at sætte flere medlemmer i parentes med et +-tegn eller et --tegn.

For eksempel at have et treledsudtryk EN (b +Med )+b+c vi sætter de to sidste led i parentes med et plus og finder udtrykket EN (b +Med )+(b+c ), som kan betragtes som et binomium, og som omdannes til produktet ( EN +1 )(b+c ).

Svarende til dette i udtrykket EN (b-c )-b+c vi sætter de to sidste led i parentes med et minus, hvilket får udtrykket til at tage formen EN (b-c )-(b-c ), og derefter omdannet til produktet ( EN - 1 )(b-c ).

I de fleste tilfælde, man støder på i praksis, kræves det for at opdage en fælles polynomiel faktor ikke kun at kombinere vilkårene for et givet polynomium i grupper, men også at udlede en fælles monomial faktor i disse grupper, forskellig for hver. grupper. Med et vellykket valg af grupper og under den obligatoriske betingelse at udtage alt, hvad der er muligt, er den fælles faktor for hele det givne polynomium let at opdage.

For eksempel at have et polynomium EN 3 +a 2 b +2ab 2 +2b 3 , forbinder vi de to første led i en gruppe og de sidste to i en anden og sætter dem i parentes i den første gruppe EN 2 og i den anden 2b 2 ; vi får EN 2 (a+b )+ 2b 2 (a+b ) eller ( a+b )(EN 2 +2b 2 ). Det samme resultat kan opnås ved at udtage faktoren i første og tredje termin EN , og i anden og fjerde multiplikatoren b .

På samme måde ved at kombinere i et polynomium 3EN 3 - 3EN 2 b-ab 2 +b 3 det første led med det tredje og det andet med det fjerde og udtag multiplikatoren i den første gruppe EN , og i den anden faktor - b, modtage EN (3EN 2 -b 2 )-b (3EN 2 -b 2 ) eller ( a-b )(3EN 2 -b 2 ). Det samme resultat ville være opnået, hvis de to første led blev taget ud af parentes 3EN 2 , og fra de sidste to -b 2 .

Det skal bemærkes, at transformationer af denne art er meget forskellige, især når de kombineres med andre algebraiske operationer. Derfor er det umuligt at give generelle og fuldstændigt definerede regler for disse transformationer; færdigheder i dem erhverves kun gennem grundig og metodisk øvelse.

Nogle gange, før du grupperer termerne i et polynomium for at udlede en polynomiel faktor i det, er det nødvendigt at udvide nogle af termerne til algebraisk sum nye medlemmer svarende til nedbrydelige. I dette tilfælde er dele af de udvidede udtryk grupperet som forskellige grupper. Lad os anvende ekspansionsmetoden til transformation af treledsudtryk.

At konvertere et trinomium x 2 +5x+6 , udvider vi udtrykket 5 x til summen af ​​medlemmer 2 x Og 3 x . Således får vi:

x 2 +5x+6 = x 2 +2x+ 3 x +6 = x (x +2 )+3 (x +2 )==(x +2 )(x +3 ).

At konvertere et trinomium x 2 +2x -15 , udvider vi udtrykket + 2x i summen af ​​medlemmer + 5x Og - 3x Lad os finde:

x 2 +2x -15 = x 2 +5x - 3x -15 = x (x +5 )-3 (x +5 )==(x -3 )(x +5 ).

Der er en generel regel, der angiver, hvornår det er muligt at omdanne trinomialer af denne form til et produkt, og hvordan man udfører en sådan transformation. For at udlede og forstå denne regel behøver du kun at udvide de fire typer trinomial x 2 ± ( a+b )x +ab Og x 2 ± ( a-b )x -ab , tager hver af dem separat og starter transformationen ved at åbne parenteserne. Så viser det sig, at de trinomialer, hvis første koefficient kl x 2 der er en, den anden koefficient kl x hvad du kan lide, men den tredje koefficient eller udtryk, der ikke indeholder x er det algebraiske produkt af netop de mængder, i hvis algebraiske sum den anden koefficient er dekomponeret. Altså i trinomialet x 2 +5x+6 koefficient 5 er summen af ​​tal 3 Og 2 , A 6 er produktet af de samme tal i et trinomium x 2 +2x -15 koefficient - 2 er summen af ​​mængder - 5 og + 3 , A - 15 er produktet af de samme mængder. For at transformere et trinomium, når det er muligt, skal du bruge fortegnene og numeriske værdier af den tredje og anden koefficient til at finde en måde at dekomponere den tredje koefficient til produktet af to størrelser og den anden til summen af samme mængder. Lad os se på nogle eksempler:

Lad for eksempel få en trekantet x 2 -11x+24 . Siden koefficienten 24 er positiv, så skal de påkrævede producenter af det have samme tegn. At dømme efter det faktum, at den anden koefficient er 11 negativ, ser vi, at disse koefficientproducenter 24 eller koefficientvilkår - 11 begge er negative. Til sidst nedbrydes 24 af to negativ multiplikator og sammenligne deres sum med - 11 , lad os sørge for, at for at omdanne trinomialet til et produkt, skal vi udvide gennemsnitligt medlem - 11 x på medlemmer - 3 x Og - 8 X.

Lad os også antage, at vi får et trinomium x 2 - 7x-30 . Her er koefficienten 30 negativ; det er derfor producenterne har det forskellige tegn. Koefficient -7 negativ; Når man sammensætter det ved addition, har det negative led, som altså har en større numerisk værdi, derfor forrang. Derfor er medlemmet 7x skal opdeles i medlemmer - 10x Og +3x.

Trinomialer, hvis første koefficient ikke er enhed, omdannes også ofte til et produkt. For sådanne transformationer vil vi ikke nu angive almindelig regel, hvis konklusion kræver mere kompleks begrundelse.

Ved at udvikle den ovenfor overvejede metode til at transformere trinomier til et produkt, kan vi udvide polynomier højere grader i de tilfælde, hvor de repræsenterer produkter af de simpleste binomialer af første grad. For at forenkle sådanne transformationer er det nyttigt at præcisere følgende bemærkning: antag, at et hvilket som helst polynomium som en faktor indeholder et binomium x + a . Siden dette binomiale, ved udskiftning x igennem - EN , forsvinder, derefter polynomiet indeholdende x+a multiplikator skal også forsvinde med denne udskiftning. Tilsvarende, hvis et polynomium indeholder et binomium som en faktor Ha , som forsvinder ved udskiftning x igennem EN, så forsvinder selve polynomiet med den samme erstatning. Det modsatte er også sandt: hvis et polynomium indeholder forskellige grader x , forsvinder ved udskiftning x igennem - EN eller igennem EN , så er den vel i første tilfælde delt i x+a , og i den anden på Ha , fordi polynomiet, der forsvinder under en af ​​de angivne substitutioner, kun kan forklares ved, at polynomiet indeholder den tilsvarende binomiale faktor. Ovenstående bemærkninger giver et simpelt middel til at opdage binomialfaktoren i et polynomium, og så kan denne faktor sættes i parentes ved at dekomponere polynomiets midterled til algebraiske summer.

Tag for eksempel polynomiet x 3 +6x 2 +11x+6 . Den forsvinder, når den udskiftes x igennem - 1 og er derfor opdelt i x +1. Når vi kender denne faktor på forhånd, gør vi det nemmere for os selv at opdele termerne til summer ved bestemt at vælge for hver term, begyndende med den højeste, del af den næste term, så parret af grupperede termer indeholder faktoren x +1 . Derfor udføres transformationen som følger:

x 3 +6x 2 +11x+6 = x 3 +x 2 +5x 2 +5x+6x+6 = x 2 (x +1 )+ 5x (x +1 )+ 6 (x +1 )= (x +1 )(x 2 +5x +6 ) =
= (x +1 )(x +2 )(x +3 )

På samme måde bemærker vi, at polynomiet x 3 -4x 2 -11x+30 går til nul ved udskiftning x igennem 2 og er derfor opdelt i X- 2 . Derfor udfører vi transformationen sådan her:

x 3 -4x 2 -11x+30 = x 3 -2x 2 -2x 2 +4x-15x+30 = x 2 (x -2 ) -2x(x-2)-15 (x -2 )=
=(x -2 )(x 2 -2x -15 )=(x -2 )(x +3 )(x -5 ).

Den indledende udvælgelse af multiplikatoren gøres lettere af det faktum, at det kun er nødvendigt at substituere disse mængder i polynomiet numerisk værdi som indgår som en faktor i polynomiets sidste led. Dette afsløres, når man betragter polynomiets udtryk generel form arbejder ( x +EN )(x +b )(x +c ). Det sidste led i dette polynomium er abc.