Nok og nik numre definition. Finde GCD ved hjælp af den euklidiske algoritme og ved hjælp af primfaktorisering

Lad os fortsætte samtalen om det mindste fælles multiplum, som vi startede i afsnittet "LCM - mindste fælles multiplum, definition, eksempler." I dette emne vil vi se på måder at finde LCM for tre eller flere tal, og vi vil se på spørgsmålet om, hvordan man finder LCM for et negativt tal.

Beregning af Least Common Multiple (LCM) via GCD

Vi har allerede etableret forholdet mellem det mindste fælles multiplum og den største fælles divisor. Lad os nu lære, hvordan man bestemmer LCM gennem GCD. Lad os først finde ud af, hvordan man gør dette for positive tal.

Definition 1

Du kan finde det mindste fælles multiplum gennem den største fælles divisor ved at bruge formlen LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Eksempel 1

Du skal finde LCM for tallene 126 og 70.

Løsning

Lad os tage a = 126, b = 70. Lad os erstatte værdierne i formlen for at beregne det mindste fælles multiplum gennem den største fælles divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Finder gcd af tallene 70 og 126. Til dette har vi brug for den euklidiske algoritme: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, derfor GCD (126 , 70) = 14 .

Lad os beregne LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Svar: LCM(126; 70) = 630.

Eksempel 2

Find tallet 68 og 34.

Løsning

GCD i dette tilfælde er ikke svært at finde, da 68 er deleligt med 34. Lad os beregne det mindste fælles multiplum ved hjælp af formlen: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Svar: LCM(68; 34) = 68.

I dette eksempel brugte vi reglen til at finde det mindste fælles multiplum af positive heltal a og b: Hvis det første tal er deleligt med det andet, vil LCM for disse tal være lig med det første tal.

Finde LCM ved at faktorisere tal til primfaktorer

Lad os nu se på metoden til at finde LCM, som er baseret på faktorisering af tal til primfaktorer.

Definition 2

For at finde det mindste fælles multiplum skal vi udføre en række enkle trin:

  • vi sammensætter produktet af alle primfaktorer af de tal, som vi skal finde LCM for;
  • vi udelukker alle primære faktorer fra deres resulterende produkter;
  • produktet opnået efter eliminering af de fælles primfaktorer vil være lig med LCM for de givne tal.

Denne metode til at finde det mindste fælles multiplum er baseret på ligheden LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Hvis man ser på formlen, vil det blive klart: produktet af tallene a og b er lig med produktet af alle de faktorer, der deltager i nedbrydningen af ​​disse to tal. I dette tilfælde er gcd af to tal lig med produktet af alle primfaktorer, der samtidig er til stede i faktoriseringerne af disse to tal.

Eksempel 3

Vi har to numre 75 og 210. Vi kan indregne dem som følger: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Hvis du sammensætter produktet af alle faktorerne af de to oprindelige tal, får du: 2 3 3 5 5 5 7.

Hvis vi ekskluderer de faktorer, der er fælles for både tallene 3 og 5, får vi et produkt af følgende form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dette produkt vil være vores LCM for numrene 75 og 210.

Eksempel 4

Find LCM af tal 441 Og 700 , idet begge tal indregnes i primfaktorer.

Løsning

Lad os finde alle primfaktorerne for tallene givet i betingelsen:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Vi får to talkæder: 441 = 3 3 7 7 og 700 = 2 2 5 5 7.

Produktet af alle faktorer, der deltog i nedbrydningen af ​​disse tal vil have formen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Lad os finde fælles faktorer. Dette er nummer 7. Lad os udelukke det fra det samlede produkt: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det viser sig, at NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Svar: LOC(441; 700) = 44.100.

Lad os give en anden formulering af metoden til at finde LCM ved at dekomponere tal i primfaktorer.

Definition 3

Tidligere udelukkede vi fra det samlede antal faktorer, der er fælles for begge tal. Nu vil vi gøre det anderledes:

  • Lad os indregne begge tal i primfaktorer:
  • læg til produktet af primfaktorerne for det første tal de manglende faktorer af det andet tal;
  • vi opnår produktet, som vil være den ønskede LCM af to numre.

Eksempel 5

Lad os vende tilbage til tallene 75 og 210, som vi allerede ledte efter LCM i et af de foregående eksempler. Lad os opdele dem i simple faktorer: 75 = 3 5 5 Og 210 = 2 3 5 7. Til produktet af faktor 3, 5 og 5 numrene 75 tilføjer de manglende faktorer 2 Og 7 nummer 210. Vi får: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Dette er LCM for tallene 75 og 210.

Eksempel 6

Det er nødvendigt at beregne LCM for tallene 84 og 648.

Løsning

Lad os faktorisere tallene fra betingelsen til simple faktorer: 84 = 2 2 3 7 Og 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lad os tilføje faktorerne 2, 2, 3 og til produktet 7 tal 84 mangler faktorer 2, 3, 3 og
3 nummer 648. Vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Dette er det mindste fælles multiplum af 84 og 648.

Svar: LCM(84, 648) = 4.536.

Finde LCM for tre eller flere tal

Uanset hvor mange tal vi har med at gøre, vil algoritmen for vores handlinger altid være den samme: Vi vil sekventielt finde LCM for to tal. Der er et teorem for denne sag.

Sætning 1

Lad os antage, at vi har heltal a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k disse tal findes ved sekventielt at beregne m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Lad os nu se på, hvordan sætningen kan anvendes til at løse specifikke problemer.

Eksempel 7

Du skal beregne det mindste fælles multiplum af fire tal 140, 9, 54 og 250 .

Løsning

Lad os introducere notationen: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Lad os starte med at beregne m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Lad os anvende den euklidiske algoritme til at beregne GCD for tallene 140 og 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Vi får: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Derfor er m 2 = 1.260.

Lad os nu beregne ved hjælp af den samme algoritme m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Under beregningerne får vi m 3 = 3 780.

Vi skal bare beregne m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Vi følger samme algoritme. Vi får m 4 = 94 500.

LCM for de fire numre fra eksempelbetingelsen er 94500.

Svar: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Som du kan se, er beregningerne enkle, men ret arbejdskrævende. For at spare tid kan du gå en anden vej.

Definition 4

Vi tilbyder dig følgende handlingsalgoritme:

  • vi dekomponerer alle tal i primfaktorer;
  • til produktet af faktorerne af det første tal lægger vi de manglende faktorer fra produktet af det andet tal;
  • til produktet opnået i det foregående trin tilføjer vi de manglende faktorer af det tredje nummer osv.;
  • det resulterende produkt vil være det mindste fælles multiplum af alle tal fra betingelsen.

Eksempel 8

Du skal finde LCM for fem tal 84, 6, 48, 7, 143.

Løsning

Lad os indregne alle fem tal i primfaktorer: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Primtal, som er tallet 7, kan ikke indregnes i primtal. Sådanne tal falder sammen med deres nedbrydning til primfaktorer.

Lad os nu tage produktet af primfaktorerne 2, 2, 3 og 7 af tallet 84 og tilføje de manglende faktorer af det andet tal. Vi dekomponerede tallet 6 i 2 og 3. Disse faktorer er allerede i produktet af det første tal. Derfor undlader vi dem.

Vi fortsætter med at tilføje de manglende multiplikatorer. Lad os gå videre til tallet 48, fra produktet af hvis primfaktorer vi tager 2 og 2. Derefter tilføjer vi primfaktoren 7 fra det fjerde tal og faktorerne 11 og 13 af det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dette er det mindste fælles multiplum af de oprindelige fem tal.

Svar: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48.048.

Find det mindste fælles multiplum af negative tal

For at finde det mindste fælles multiplum af negative tal, skal disse tal først erstattes af tal med det modsatte fortegn, og derefter skal beregningerne udføres ved hjælp af ovenstående algoritmer.

Eksempel 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) og LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Sådanne handlinger er tilladte på grund af det faktum, at hvis vi accepterer det -en Og − a– modsatte tal,
derefter mængden af ​​multipla af et tal -en matcher mængden af ​​multipla af et tal − a.

Eksempel 10

Det er nødvendigt at beregne LCM for negative tal − 145 Og − 45 .

Løsning

Lad os erstatte tallene − 145 Og − 45 til deres modsatte tal 145 Og 45 . Nu, ved hjælp af algoritmen, beregner vi LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, efter tidligere at have bestemt GCD ved hjælp af den euklidiske algoritme.

Vi får, at tallenes LCM er − 145 og − 45 lige med 1 305 .

Svar: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Euklids algoritme er en algoritme til at finde den største fælles divisor (GCD) af et par heltal.

Største fælles deler (GCD) er et tal, der deler to tal uden en rest og selv er deleligt uden en rest med en anden divisor af de givne to tal. Kort sagt er dette det største tal, som to tal, som gcd'en søges for, kan divideres med uden en rest.

Algoritme til at finde GCD ved division

  1. Divider det største tal med det mindre tal.
  2. Hvis det deles uden en rest, er det mindste tal GCD (du skal forlade cyklussen).
  3. Hvis der er en rest, skal du erstatte det største tal med resten af ​​divisionen.
  4. Lad os gå videre til punkt 1.

Eksempel:
Find gcd til 30 og 18.
30/18 = 1 (resten 12)
18/12 = 1 (resten 6)
12/6 = 2 (resten 0)
Slut: GCD er en divisor af 6.
GCD(30; 18) = 6

a = 50 b = 130, mens a != 0 og b != 0 : hvis a > b: a = a % b ellers : b = b % a print (a + b)

I løkken skrives resten af ​​divisionen til variablen a eller b. Sløjfen slutter, når mindst én af variablerne er nul. Det betyder, at den anden indeholder en gcd. Vi ved dog ikke præcis hvilken. Derfor finder vi for GCD summen af ​​disse variable. Da en af ​​variablerne er nul, har den ingen effekt på resultatet.

Algoritme til at finde GCD ved subtraktion

  1. Træk det mindre tal fra det større tal.
  2. Hvis resultatet er 0, betyder det, at tallene er lig med hinanden og er GCD (du skal forlade sløjfen).
  3. Hvis resultatet af subtraktionen ikke er lig med 0, skal du erstatte det større tal med resultatet af subtraktionen.
  4. Lad os gå videre til punkt 1.

Eksempel:
Find gcd til 30 og 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Slut: GCD er en minuend eller subtrahend.
GCD(30; 18) = 6

a = 50 b = 130, mens a != b: hvis a > b: a = a - b ellers : b = b - a print (a)

En divisor er et heltal, der deler et andet heltal uden at efterlade en rest. For flere numre kan du finde fælles faktorer, blandt hvilke de største vil være. Det er den største fælles divisor, der har en række nyttige egenskaber.

Største fælles divisor

Divisor af et heltal A er et heltal B, som A er divideret med uden en rest. For eksempel er divisorerne for tallet 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Hvert tal er deleligt med sig selv og med en, så vi kan ignorere disse divisorer. Tal, der kun er delelige med sig selv og et, betragtes som primtal og har en række unikke egenskaber. For de fleste tal kan vi dog vælge divisorer, hvoraf nogle vil være almindelige. For tallet 36 vil sådanne faktorer f.eks. være 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18. De fleste af dem falder sammen med faktorerne for tallet 24 ovenfor, men den største af dem er 12. Dette er gcd for parret 24 og 36. Begrebet mindste fælles divisor er meningsløst, da det altid er en.

Finder gcd

Tre metoder bruges til at beregne GCD. Den første, den nemmeste at forstå, men samtidig den mest tidskrævende, er en simpel søgning af alle divisorer af et par og at vælge den største af dem. For eksempel findes GCD for 12 og 16 som følger:

  • nedskriv divisorerne for 12 - 2, 3, 4 og 6;
  • nedskriv divisorerne for 16 - 2, 4 og 8;
  • bestemme de fælles divisorer af tal - 2, 4;
  • vælg den største af dem - 4.

Den anden metode er sværere at forstå, men mere beregningseffektiv. I dette tilfælde findes GCD ved at faktorisere tallene i primfaktorer. For at faktorisere til primfaktorer er det nødvendigt at sekventielt opdele et tal uden en rest i tal fra rækken af ​​primtal 2, 3, 5, 7, 11, 13...

For de samme tal beregnes GCD i henhold til følgende skema:

  • vi indregner 12 i primfaktorer og får 2 × 2 × 3;
  • læg ud 16 - 2 × 2 × 2 × 2;
  • vi filtrerer ikke-matchende faktorer fra og får 2 × 2;
  • gange faktorerne og bestem gcd = 4.

Den tredje metode er bedst egnet til at bestemme gcd af par af alle, uanset hvor store, tal. Euklidisk algoritme er en metode til at finde den største fælles divisor af et par heltal A og B, givet A>B.

Ifølge algoritmen skal vi dividere A med B, hvilket vil resultere i:

hvor A1 er et heltal, C er resten af ​​divisionen.

Derefter divideres B med resten C, og resultatet angives som B1. Nu har vi et nyt talpar A1 og B1.

Lad os gentage trinene. Divider A1 med B1, hvilket resulterer i A2 og C1. Derefter divideres B1 med C1 og få B2. Algoritmen gentages, indtil resten af ​​Cn er lig med nul.

Lad os se på det i detaljer ved hjælp af tallene 1729 og 1001. Fremgangsmåden er som følger. Vi har et par (1001, 1729). For at bruge den euklidiske algoritme skal det første tal i parret være større. Lad os udføre transformationen for den korrekte drift af algoritmen - vi vil lade det mindre tal være på plads og erstatte det større med deres forskel, da hvis begge tal er delelige med GCD, så er deres forskel også deleligt. Vi får (1001, 728). Lad os lave beregningerne:

  • (1001, 728) = (728, 273) = (273, 182) - i stedet for at lede efter forskellen mange gange, kan du skrive resten af ​​728 divideret med 273.
  • (273, 182) = (91, 182) = (91, 0) = 91.

Således er gcd for parret 1001 og 1729 91.

Bruger GCD

I praksis bruges den største fælles divisor ved løsning af diofantiske ligninger på formen ax + by = d. Hvis GCD (a, b) ikke deler d uden en rest, så kan ligningen ikke løses i heltal. Således har den diofantiske ligning kun heltalsrødder, hvis forholdet d / GCD (a, b) er et heltal.

Vores online lommeregner giver dig mulighed for hurtigt at finde den største fælles divisor for både et par og et hvilket som helst vilkårligt antal tal.

Eksempler fra det virkelige liv

Skoleopgave

Det aritmetiske problem kræver, at man finder gcd af fire tal: 21, 49, 56, 343. For at løse ved hjælp af en lommeregner behøver vi kun at angive antallet af tal og indtaste dem i de relevante celler. Herefter vil vi modtage svaret, at gcd (21, 49, 56, 343) = 7.

Diofantisk ligning

Lad os have en diophantisk ligning på formen 1001 x + 1729 y = 104650. Vi skal tjekke, om den kan løses i heltal. Vi har allerede beregnet gcd for dette par ved hjælp af den euklidiske algoritme. Lad os kontrollere nøjagtigheden af ​​beregningerne og genberegne GCD på lommeregneren. GCD (1001, 1729) = 91. Vi kontrollerer muligheden for en heltalsløsning ved at bruge betingelsen d / GCD (a, b) = 104650/91 = 1150. Følgelig har denne ligning heltalsrødder.

Konklusion

Vi studerer den største fælles divisor i skolen, men vi forstår ikke altid, hvorfor det er nødvendigt i fremtiden. GCD er dog et vigtigt begreb inden for talteori og bruges inden for mange områder af matematikken. Brug vores lommeregner til at finde GCD for et vilkårligt antal tal.

Husk!

Hvis et naturligt tal kun er deleligt med 1 og sig selv, så kaldes det primtal.

Ethvert naturligt tal er altid deleligt med 1 og sig selv.

Tallet 2 er det mindste primtal. Dette er det eneste lige primtal; alle andre primtal er ulige.

Der er mange primtal, og det første blandt dem er tallet 2. Der er dog ikke noget sidste primtal. I afsnittet "Til undersøgelse" kan du downloade en tabel med primtal op til 997.

Men mange naturlige tal er også delelige med andre naturlige tal.

For eksempel:

  • tallet 12 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
  • Tallet 36 er deleligt med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.

De tal, som tallet er deleligt med en hel (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kaldes divisorer af tallet.

Husk!

Divisoren for et naturligt tal a er et naturligt tal, der deler det givne tal "a" uden en rest.

Et naturligt tal, der har mere end to divisorer, kaldes sammensat.

Bemærk venligst, at tallene 12 og 36 har fælles faktorer. Disse tal er: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største divisor af disse tal er 12.

Den fælles divisor for to givne tal "a" og "b" er det tal, som begge givne tal "a" og "b" er divideret med uden rest.

Husk!

Største fælles divisor(GCD) af to givne tal "a" og "b" er det største tal, som begge tal "a" og "b" er divideret med uden en rest.

Kort fortalt er den største fælles divisor af tallene "a" og "b" skrevet som følger:

GCD (a; b).

Eksempel: gcd (12; 36) = 12.

Divisorer af tal i løsningsposten er angivet med det store bogstav "D".

D (7) = (1, 7)

D (9) = (1, 9)

GCD (7; 9) = 1

Tallene 7 og 9 har kun én fælles divisor - tallet 1. Sådanne numre kaldes coprimtal.

Husk!

Coprime tal- det er naturlige tal, der kun har én fælles divisor - tallet 1. Deres gcd er 1.

Sådan finder du den største fælles divisor

For at finde gcd'en for to eller flere naturlige tal skal du bruge:

  1. nedbryde tallenes divisorer i primfaktorer;

Det er praktisk at skrive beregninger ved hjælp af en lodret streg. Til venstre for linjen skriver vi først dividenden ned, til højre - divisoren. Dernæst skriver vi ned værdierne af kvotienterne i venstre kolonne.

Lad os forklare det med det samme med et eksempel. Lad os indregne tallene 28 og 64 til primfaktorer.


  1. Vi lægger vægt på de samme primfaktorer i begge tal.
    28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2

  2. Find produktet af identiske primfaktorer og skriv svaret ned;
    GCD (28; 64) = 2 2 = 4

    Svar: GCD (28; 64) = 4

Du kan formalisere placeringen af ​​GCD'en på to måder: i en kolonne (som gjort ovenfor) eller "i en række".

Fælles divisor flere tal er det tal, som hvert af de givne tal er divideret med. For eksempel givet to tal: 6 og 9. Tallet 6 har divisor 1, 2, 3, 6. Tallet 9 har divisor 1, 3, 9. Vi ser, at tallene 6 og 9 har fælles divisor 1 og 3.

Største fælles divisor(forkortet GCD) af flere tal kaldes den største fælles divisor, som hvert af disse tal er divideret med uden en rest.

Af alle de fælles faktorer for tallene 6 og 9 er den største fælles faktor tallet 3.

Normalt skrives den største fælles divisor som følger: GCD ( -en, b, ...) = x.

Ifølge dette nedskriver vi den største fælles divisor af tallene 6 og 9:

GCD (6, 9) = 3.

Tal, hvis gcd er lig med én, kaldes coprimtal. For eksempel er tallene 14 og 15 relativt primtal: GCD (14, 15) = 1.

GCD lommeregner

Denne lommeregner hjælper dig med at finde den største fælles divisor af tal. Indtast blot tal adskilt af mellemrum eller kommaer, og klik på knappen Beregn GCD.