Et polynomium er summen af monomer. Hvis alle vilkårene i et polynomium er skrevet i standardform (se afsnit 51), og lignende vilkår reduceres, vil du få et polynomium af standardform.
Ethvert heltalsudtryk kan konverteres til et polynomium af standardform - dette er formålet med transformationer (simplifikationer) af heltalsudtryk.
Lad os se på eksempler, hvor et helt udtryk skal reduceres til standardformen af et polynomium.
Løsning. Lad os først bringe vilkårene for polynomiet til standardform. Vi opnår Efter at have bragt lignende udtryk får vi et polynomium af standardformen
Løsning. Hvis der er et plustegn foran parenteserne, så kan parenteserne udelades, mens fortegnene for alle termer i parentes bevares. Ved at bruge denne regel til at åbne parenteser får vi:
Løsning. Hvis parenteserne er foranstillet af et minustegn, kan parenteserne udelades ved at ændre fortegnene for alle led i parentes. Ved at bruge denne regel til at skjule parenteser får vi:
Løsning. Produktet af et monomial og et polynomium er ifølge den distributive lov lig med summen af produkterne af dette monomial og hvert medlem af polynomiet. Vi får
Løsning. Vi har
Løsning. Vi har
Det er tilbage at give lignende udtryk (de er understreget). Vi får:
53. Forkortede multiplikationsformler.
I nogle tilfælde udføres at bringe et helt udtryk til standardformen af et polynomium ved hjælp af identiteterne:
Disse identiteter kaldes forkortede multiplikationsformler,
Lad os se på eksempler, hvor du skal konvertere et givet udtryk til standardform myogochlea.
Eksempel 1. .
Løsning. Ved hjælp af formel (1) får vi:
Eksempel 2. .
Løsning.
Eksempel 3. .
Løsning. Ved hjælp af formel (3) får vi:
Eksempel 4.
Løsning. Ved hjælp af formel (4) får vi:
54. Faktoreringspolynomier.
Nogle gange kan du transformere et polynomium til et produkt af flere faktorer - polynomier eller subnomialer. En sådan identitetstransformation kaldes faktorisering af polynomiet. I dette tilfælde siges polynomiet at være deleligt med hver af disse faktorer.
Lad os se på nogle måder at faktorisere polynomier på,
1) At tage den fælles faktor ud af parentes. Denne transformation er en direkte konsekvens af den distributive lov (for klarhedens skyld skal du bare omskrive denne lov "fra højre til venstre"):
Eksempel 1: Faktor et polynomium
Løsning. .
Normalt, når man tager den fælles faktor ud af parentes, tages hver variabel, der er inkluderet i alle termer af polynomiet, ud med den laveste eksponent, den har i dette polynomium. Hvis alle koefficienterne for polynomiet er heltal, tages den største i modul som koefficienten for den fælles faktor fælles divisor alle polynomiets koefficienter.
2) Brug af forkortede multiplikationsformler. Formler (1) - (7) fra afsnit 53, læst fra højre mod venstre, viser sig i mange tilfælde at være nyttige til faktorisering af polynomier.
Eksempel 2: Faktor .
Løsning. Vi har. Ved at anvende formel (1) (forskel mellem kvadrater) får vi . Ved at ansøge
Nu formler (4) og (5) (sum af terninger, forskel af terninger), får vi:
Eksempel 3. .
Løsning. Lad os først sætte det ud af parentes fælles multiplikator. For at gøre dette finder vi den største fælles divisor af koefficienterne 4, 16, 16 og de mindste eksponenter, som variablerne a og b indgår med i komponenterne givet polynomium monomialer. Vi får:
3) Metode til gruppering. Det er baseret på, at det er kommutativt og associative love tilføjelser giver dig mulighed for at gruppere termer i et polynomium forskellige veje. Nogle gange er det muligt at gruppere på en sådan måde, at efter at have taget de fælles faktorer ud af parentes, forbliver det samme polynomium i parentes i hver gruppe, som igen, som en fælles faktor, kan tages ud af parentes. Lad os se på eksempler på faktorisering af et polynomium.
Eksempel 4. .
Løsning. Lad os lave grupperingen som følger:
I den første gruppe, lad os tage den fælles faktor ud af parenteserne ind i den anden - den fælles faktor 5. Vi får Nu sætter vi polynomiet som en fælles faktor ud af parenteserne: Således får vi:
Eksempel 5.
Løsning. .
Eksempel 6.
Løsning. Her vil ingen gruppering føre til fremkomsten af det samme polynomium i alle grupper. I sådanne tilfælde er det nogle gange nyttigt at repræsentere et medlem af polynomiet som en sum og derefter prøve grupperingsmetoden igen. I vores eksempel er det tilrådeligt at repræsentere det som en sum Vi får
Eksempel 7.
Løsning. Add og subtraher et monomial Vi får
55. Polynomier i én variabel.
Et polynomium, hvor a, b er variable tal, kaldes et polynomium af første grad; et polynomium, hvor a, b, c er variable tal, kaldet et polynomium af anden grad eller kvadratisk trinomium; et polynomium hvor a, b, c, d er tal, variablen kaldes et polynomium af tredje grad.
Generelt, hvis o er en variabel, så er det et polynomium
kaldet lsmogochnolenol grad (i forhold til x); , m-led for polynomiet, koefficienter, polynomiets førende led, a er koefficienten for det førende led, polynomiets frie led. Typisk skrives et polynomium i faldende potenser af en variabel, dvs. potenserne af en variabel falder gradvist, især er det førende led på førstepladsen, og det frie led er på sidstepladsen. Graden af et polynomium er graden af det højeste led.
For eksempel et polynomium af femte grad, hvor det førende led, 1, er polynomiets frie led.
Roden af et polynomium er den værdi, hvorved polynomiet forsvinder. For eksempel er tallet 2 roden af et polynomium siden
I denne lektion vil vi huske de grundlæggende definitioner af dette emne og overveje nogle typiske problemer, nemlig at bringe et polynomium til en standardform og beregne den numeriske værdi af givne værdier variabler. Vi vil løse flere eksempler, hvor reduktion til standardform vil blive brugt til at løse forskellige slags opgaver.
Emne:Polynomier. Aritmetiske operationer over monomialer
Lektie:Reduktion af et polynomium til standardform. Typiske opgaver
Lad os huske den grundlæggende definition: et polynomium er summen af monomialer. Hvert monomial, der er en del af et polynomium som et led, kaldes dets medlem. For eksempel:
Binomial;
Polynomium;
Binomial;
Da et polynomium består af monomialer, følger den første handling med et polynomium herfra - du skal bringe alle monomialer til en standardform. Lad os minde dig om, at du for dette skal gange alle de numeriske faktorer - få numerisk koefficient, og formere sig tilsvarende grader- få brevdelen. Lad os derudover være opmærksomme på sætningen om produktet af potenser: når potenser ganges, summeres deres eksponenter.
Lad os overveje vigtig operation- bringe polynomiet til standardform. Eksempel:
Kommentar: for at bringe et polynomium til en standardform, skal du bringe alle de monomer, der er inkluderet i dets sammensætning, til en standardform, hvorefter, hvis der er lignende monomer - og disse er monomer med samme bogstavdel - udføre handlinger med dem .
Så vi så på det første typiske problem - at bringe et polynomium til en standardform.
Næste typisk opgave- udregning specifik betydning polynomium for givet numeriske værdier de variabler, der er inkluderet i den. Lad os fortsætte med at se på det forrige eksempel og indstille værdierne for variablerne:
Kommentar: huske på, at en enhed i evt naturlig grad lig med én og nul til enhver naturlig kraft lig med nul Husk desuden, at når vi multiplicerer et hvilket som helst tal med nul, får vi nul.
Lad os se på en række eksempler på typiske operationer for at reducere et polynomium til en standardform og beregne dets værdi:
Eksempel 1 - bring til standardform:
Kommentar: det første trin er at bringe monomialerne til standardformularen, du skal bringe den første, anden og sjette; anden handling - vi bringer lignende vilkår, det vil sige, vi udfører de givne opgaver på dem aritmetiske operationer: vi tilføjer den første med den femte, den anden med den tredje, resten omskrives uden ændringer, da de ikke har lignende.
Eksempel 2 - beregn værdien af polynomiet fra eksempel 1 givet værdierne af variablerne:
Kommentar: når du regner, skal du huske, at en til enhver naturlig potens er en, hvis det er svært at beregne potenser af to, kan du bruge tabellen over potenser.
Eksempel 3 - i stedet for en stjerne, sæt et monomial, således at resultatet ikke indeholder en variabel:
Kommentar: uanset opgaven er den første handling altid den samme - bring polynomiet til en standardform. I vores eksempel kommer denne handling ned til at bringe lignende udtryk. Herefter bør du omhyggeligt læse tilstanden igen og tænke over, hvordan vi kan slippe af med monomiet. Det er klart, for dette skal du tilføje det samme monomial til det, men med modsat fortegn- . Dernæst erstatter vi stjernen med denne monomial og sikrer os, at vores løsning er korrekt.
Når man studerer emnet polynomier, er det værd at nævne separat, at polynomier forekommer i både standard- og ikke-standardformer. I dette tilfælde kan et polynomium af en ikke-standardform reduceres til en standardform. Faktisk vil dette spørgsmål blive diskuteret i denne artikel. Lad os forstærke forklaringerne med eksempler med en detaljeret trin-for-trin beskrivelse.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Betydningen af at reducere et polynomium til standardform
Lad os dykke lidt dybere ned i selve konceptet, handlingen - "at bringe et polynomium til en standardform."
Polynomier, som alle andre udtryk, kan transformeres identisk. Som et resultat opnår vi i dette tilfælde udtryk, der er identisk lig med det oprindelige udtryk.
Definition 1
Reducer polynomiet til standardform– betyder at erstatte det oprindelige polynomium med et tilsvarende polynomium af standardform, opnået fra det oprindelige polynomium ved hjælp af identiske transformationer.
En metode til at reducere et polynomium til standardform
Lad os spekulere over emnet præcis, hvilke identitetstransformationer der vil føre polynomiet til standardformen.
Definition 2
Ifølge definitionen består hvert polynomium af en standardform af monomer af en standardform og indeholder ikke lignende udtryk. Et polynomium af en ikke-standardform kan omfatte monomer af en ikke-standardform og lignende udtryk. Fra ovenstående udledes naturligvis en regel om, hvordan man reducerer et polynomium til en standardform:
- først og fremmest reduceres monomierne, der udgør et givet polynomium, til standardform;
- derefter gennemføres reduktionen af tilsvarende medlemmer.
Eksempler og løsninger
Lad os i detaljer undersøge eksempler, hvor vi reducerer polynomiet til standardform. Vi vil følge reglen afledt ovenfor.
Bemærk, at nogle gange har vilkårene for et polynomium i den oprindelige tilstand allerede en standardform, og det eneste, der er tilbage, er at bringe lignende vilkår. Det sker, at der efter det første trin af handlinger ikke er sådanne vilkår, så springer vi over det andet trin. I generelle tilfælde er det nødvendigt at udføre begge handlinger fra reglen ovenfor.
Eksempel 1
Polynomier er givet:
5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,
0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Det er nødvendigt at bringe dem til en standardform.
Løsning
Lad os først overveje polynomiet 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : dets medlemmer har en standardform, der er ingen lignende udtryk, hvilket betyder, at polynomiet er specificeret i en standardform, og der kræves ingen yderligere handlinger.
Lad os nu se på polynomiet 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Det omfatter ikke-standard monomialer: 2 · a 3 · 0, 6 og − b · a · b 4 · b 5, dvs. vi skal bringe polynomiet til standardform, hvor det første trin er at transformere monomierne til standardform:
2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;
− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , således får vi følgende polynomium:
0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.
I det resulterende polynomium er alle termer standard, der er ingen lignende termer, hvilket betyder, at vores handlinger for at bringe polynomiet til standardform er fuldført.
Overvej det tredje givne polynomium: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8
Lad os bringe medlemmerne til standardform og få:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8.
Vi ser, at polynomiet indeholder lignende medlemmer, lad os bringe lignende medlemmer:
2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1
Det givne polynomium 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 har således standardformen − x y + 1 .
Svar:
5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- polynomiet er sat som standard;
0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .
I mange problemer er handlingen med at reducere et polynomium til en standardform mellemliggende, når man søger efter et svar på stillede spørgsmål. Lad os overveje dette eksempel.
Eksempel 2
Polynomiet 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 er givet. 5 · z 2 + z 3 . Det er nødvendigt at bringe det til en standardform, angive dets grad og arrangere vilkårene for et givet polynomium i faldende grader af variablen.
Løsning
Lad os reducere vilkårene for det givne polynomium til standardformen:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .
Næste skridt Her er nogle lignende udtryk:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2
Vi har opnået et polynomium af standardform, som giver os mulighed for at udpege graden af polynomiet (lig med den højeste grad af dets konstituerende monomialer). Naturligvis er den nødvendige grad 5.
Det eneste, der er tilbage, er at arrangere termerne i aftagende potenser af variablerne. Til dette formål omarrangerer vi blot vilkårene i det resulterende polynomium af standardform under hensyntagen til kravet. Således får vi:
z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.
Svar:
11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, mens graden af polynomiet - 5; som et resultat af at arrangere polynomiets vilkår i faldende grader variabelt polynomium vil have formen: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
I denne lektion vil vi huske de grundlæggende definitioner af dette emne og overveje nogle typiske problemer, nemlig at reducere et polynomium til en standardform og beregne en numerisk værdi for givne værdier af variable. Vi vil løse flere eksempler, hvor reduktion til en standardform vil blive brugt til at løse forskellige typer problemer.
Emne:Polynomier. Aritmetiske operationer på monomer
Lektie:Reduktion af et polynomium til standardform. Typiske opgaver
Lad os huske den grundlæggende definition: et polynomium er summen af monomialer. Hvert monomial, der er en del af et polynomium som et led, kaldes dets medlem. For eksempel:
Binomial;
Polynomium;
Binomial;
Da et polynomium består af monomialer, følger den første handling med et polynomium herfra - du skal bringe alle monomialer til en standardform. Lad os minde dig om, at for at gøre dette skal du gange alle de numeriske faktorer - få en numerisk koefficient og gange de tilsvarende potenser - få bogstavdelen. Lad os derudover være opmærksomme på sætningen om produktet af potenser: når potenser ganges, summeres deres eksponenter.
Lad os overveje en vigtig operation - at reducere et polynomium til standardform. Eksempel:
Kommentar: for at bringe et polynomium til en standardform, skal du bringe alle de monomer, der er inkluderet i dets sammensætning, til en standardform, hvorefter, hvis der er lignende monomer - og disse er monomer med samme bogstavdel - udføre handlinger med dem .
Så vi så på det første typiske problem - at bringe et polynomium til en standardform.
Det næste typiske problem er at beregne den specifikke værdi af et polynomium for givne numeriske værdier af de variable, der er inkluderet i det. Lad os fortsætte med at se på det forrige eksempel og indstille værdierne for variablerne:
Kommentar: lad os huske, at en til enhver naturlig potens er lig med en, og nul til enhver naturlig potens er lig med nul, desuden husker vi, at når vi multiplicerer ethvert tal med nul, får vi nul.
Lad os se på en række eksempler på typiske operationer for at reducere et polynomium til en standardform og beregne dets værdi:
Eksempel 1 - bring til standardform:
Kommentar: det første trin er at bringe monomialerne til standardformularen, du skal bringe den første, anden og sjette; anden handling - vi bringer lignende udtryk, det vil sige, vi udfører de givne aritmetiske operationer på dem: vi tilføjer den første med den femte, den anden med den tredje, vi omskriver resten uden ændringer, da de ikke har nogen lignende.
Eksempel 2 - beregn værdien af polynomiet fra eksempel 1 givet værdierne af variablerne:
Kommentar: når du regner, skal du huske, at en til enhver naturlig potens er en, hvis det er svært at beregne potenser af to, kan du bruge tabellen over potenser.
Eksempel 3 - i stedet for en stjerne, sæt et monomial, således at resultatet ikke indeholder en variabel:
Kommentar: uanset opgaven er den første handling altid den samme - bring polynomiet til en standardform. I vores eksempel kommer denne handling ned til at bringe lignende udtryk. Herefter bør du omhyggeligt læse tilstanden igen og tænke over, hvordan vi kan slippe af med monomiet. For at gøre dette skal du naturligvis tilføje det samme monomiale til det, men med det modsatte tegn - . Dernæst erstatter vi stjernen med denne monomial og sikrer os, at vores løsning er korrekt.
Vi sagde, at der er både standard og ikke-standard polynomier. Der bemærkede vi, at alle kan bringe polynomiet til standardform. I denne artikel vil vi først finde ud af, hvilken betydning denne sætning har. Dernæst viser vi trinene til at konvertere et hvilket som helst polynomium til standardform. Lad os endelig se på løsninger typiske eksempler. Vi vil beskrive løsningerne meget detaljeret for at forstå alle de nuancer, der opstår, når polynomier reduceres til standardform.
Sidenavigation.
Hvad vil det sige at reducere et polynomium til standardform?
Først skal du klart forstå, hvad der menes med at reducere et polynomium til standardform. Lad os finde ud af det.
Polynomier, som alle andre udtryk, kan udsættes for identiske transformationer. Som et resultat af at udføre sådanne transformationer opnås udtryk, der er identisk lig med det oprindelige udtryk. Udførelse af visse transformationer med polynomier af ikke-standardform giver således mulighed for at gå videre til polynomier, der er identisk lige med dem, men skrevet i standardform. Denne overgang kaldes at reducere polynomiet til standardform.
Så, reducere polynomiet til standardform- dette betyder at erstatte det oprindelige polynomium med et identisk ens polynomium af en standardform, opnået fra det oprindelige ved at udføre identiske transformationer.
Hvordan reducerer man et polynomium til standardform?
Lad os tænke på, hvilke transformationer der vil hjælpe os med at bringe polynomiet til en standardform. Vi vil tage udgangspunkt i definitionen af et standardform polynomium.
Per definition er hvert led i et polynomium af standardform et monomial af standardform, og et polynomium af standardform indeholder ingen lignende udtryk. Til gengæld kan polynomier skrevet i en anden form end standard en bestå af monomer i en ikke-standardform og kan indeholde lignende udtryk. Dette følger logisk næste regel, forklarer hvordan man reducerer et polynomium til standardform:
- først skal du bringe de monomialer, der udgør det oprindelige polynomium, til standardform,
- udfør derefter reduktionen af lignende vilkår.
Som et resultat opnås et polynomium af standardform, da alle dets udtryk vil blive skrevet i standardform, og det vil ikke indeholde lignende udtryk.
Eksempler, løsninger
Lad os se på eksempler på at reducere polynomier til standardform. Når vi løser, vil vi følge trinene dikteret af reglen fra forrige afsnit.
Her bemærker vi, at nogle gange skrives alle vilkårene i et polynomium umiddelbart i standardform i dette tilfælde, det er nok bare at give lignende vilkår. Nogle gange, efter at have reduceret vilkårene for et polynomium til en standardform, er der ingen lignende vilkår, derfor er stadiet med at bringe lignende vilkår udeladt i dette tilfælde. I almindelig sag du skal gøre begge dele.
Eksempel.
Præsenter polynomierne på standardform: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Og .
Løsning.
Alle led i polynomiet 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 er skrevet i standardform, og derfor er dette polynomium allerede præsenteret i standardform.
Lad os gå videre til det næste polynomium 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Dens form er ikke standard, som det fremgår af vilkårene 2·a 3 ·0,6 og −b·a·b 4 ·b 5 i en ikke-standardform. Lad os præsentere det i standardform.
På det første trin med at bringe det oprindelige polynomium til standardform, skal vi præsentere alle dets udtryk i standardform. Derfor reducerer vi monomial 2·a 3 ·0.6 til standardform, vi har 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3, hvorefter vi tager monomial −b·a·b 4 ·b 5 , vi har −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Dermed, . I det resulterende polynomium er alle termer skrevet i standardform. Desuden er det indlysende, at der ikke er lignende udtryk i det. Følgelig fuldender dette reduktionen af det oprindelige polynomium til standardform.
Det er tilbage at præsentere det sidste af de givne polynomier i standardform. Efter at have bragt alle sine medlemmer til standardform, vil det blive skrevet som 
. Det har lignende medlemmer, så du skal caste lignende medlemmer: 
Så det oprindelige polynomium tog standardformen −x·y+1.
Svar:
5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – allerede i standardform, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .
Ofte er at bringe et polynomium til en standardform kun et mellemtrin i besvarelsen af det spørgsmål, der stilles til problemet. For eksempel, at finde graden af et polynomium kræver dets foreløbige repræsentation i standardform.
Eksempel.
Giv et polynomium 
til standardformularen, angiv dens grad og arranger termerne i faldende grader af variablen.
Løsning.
Først bringer vi alle termerne i polynomiet til standardform: 
.
Nu præsenterer vi lignende udtryk: 
Så vi bragte det oprindelige polynomium til en standardform, dette giver os mulighed for at bestemme graden af polynomiet, som er lig med den højeste grad af de monomialer, der er inkluderet i det. Det er åbenbart lig med 5.
Det er tilbage at arrangere polynomiets vilkår i aftagende potenser af variablerne. For at gøre dette skal du bare omarrangere vilkårene i det resulterende polynomium af standardform under hensyntagen til kravet. Største grad har et led z 5, graderne af led , −0,5·z 2 og 11 er lig med henholdsvis 3, 2 og 0. Derfor vil et polynomium med termer arrangeret i aftagende potenser af variablen have formen 
.
Svar:
Graden af polynomiet er 5, og efter at have arrangeret dets led i faldende grader af variablen, tager det formen .
Bibliografi.
- Algebra: lærebog for 7. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 17. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 240 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebog for elever uddannelsesinstitutioner/ A. G. Mordkovich. - 17. udg., tilføje. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Algebra og startede matematisk analyse. 10. klasse: lærebog. til almen uddannelse institutioner: basis og profil. niveauer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; redigeret af A. B. Zhizhchenko. - 3. udg. - M.: Uddannelse, 2010.- 368 s. : syg. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual for dem, der går ind på tekniske skoler): Proc. godtgørelse.- M.; Højere skole, 1984.-351 s., ill.