Tilnærmet beregning ved hjælp af rektangelformler. Numerisk integration

Det er ikke altid muligt at beregne integraler ved hjælp af Newton-Leibniz formlen. Ikke alle integrander har antiderivater af elementære funktioner, så det bliver urealistisk at finde det nøjagtige tal. Når man løser sådanne problemer, er det ikke altid nødvendigt at få præcise svar ved udgangen. Der er et koncept med en omtrentlig værdi af et integral, som er specificeret af en numerisk integrationsmetode, såsom metoden med rektangler, trapezoider, Simpson og andre.

Denne artikel er viet specifikt til dette afsnit, der opnår omtrentlige værdier.

Essensen af ​​Simpsons metode vil blive bestemt, vi vil få formlen for rektangler og estimater af den absolutte fejl, metoden for højre og venstre trekanter. På den sidste fase vil vi konsolidere vores viden ved at løse problemer med detaljerede forklaringer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Essensen af ​​rektangelmetoden

Hvis funktionen y = f (x) har kontinuitet på intervallet [ a ; b ] og det er nødvendigt at beregne værdien af ​​integralet ∫ a b f (x) d x .

Det er nødvendigt at bruge begrebet et ubestemt integral. Så skal du opdele segmentet [a; b] for antallet n af dele x i-1; x i, i = 1, 2, . . . . , n, hvor a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . В промежутке отрезка x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n выберем точку со значением ζ i . Из определения имеем, что существует определенный тип интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка, который уже разбили. Это выражается формулой λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 , тогда получаем, что любая из таких интегральных сумм – приближенное значение интеграла ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) .

Essensen af ​​rektangelmetoden er, at den omtrentlige værdi betragtes som en integral sum.

Hvis vi opdeler det integrerbare segment [a; b ] i identiske dele ved punkt h , så får vi a = x 0 , x 1 = x 0 + h , x 2 = x 0 + 2 h , . . . , x - 1 = x 0 + (n - 1) h , x n = x 0 + n h = b , det vil sige h = x i - x i - 1 = b - a n , i = 1 , 2 , . . . n. Midtpunkterne af punkterne ζ i er valgt til at være elementære segmenter x i - 1; x i, i = 1, 2, . . . , n, betyder ζ i = x i - 1 + h 2, i = 1, 2, . . . n.

Definition 1

Så skrives den omtrentlige værdi ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (xi - x i - 1) således ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 . Denne formel kaldes rektangelmetodeformlen.

Metoden modtager dette navn på grund af arten af ​​valget af punkter ζ i, hvor segmentpartitionen tages som h = b - a n.

Lad os se på denne metode i figuren nedenfor.

Tegningen viser tydeligt, at tilnærmelsen til det stykkevise trin fungerer

y = f x 0 + h 2, x ∈ [ x 0 ; x 1) f x 1 + h 2 , x ∈ [ x 1 ; x2). . . f x n - 1 + h 2 , x ∈ [ x n - 1 ; x n ] forekommer i hele integrationsgrænsen.

Fra den geometriske side har vi, at den ikke-negative funktion y = f (x) på det eksisterende segment [ a ; b ] har den nøjagtige værdi af det bestemte integral og ligner en buet trapez, hvis areal skal findes. Lad os se på figuren nedenfor.

Estimering af den absolutte fejl af den gennemsnitlige rektangelmetode

For at estimere den absolutte fejl er det nødvendigt at evaluere den over et givet interval. Det vil sige, at du skal finde summen af ​​de absolutte fejl i hvert interval. Hvert segment x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n har den omtrentlige lighed ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f x i - 1 + h 2 · h = f x i - 1 + h 2 · (x i - x i - 1) . Den absolutte fejl af denne trekantmetode δi, der tilhører segmentet i, beregnes som forskellen mellem den nøjagtige og omtrentlige definition af integralet. Vi har, at δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 . Vi får, at f x i - 1 + h 2 er et bestemt tal, og x i - x i - 1 = ∫ x i - 1 x i d x, så udtrykket f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 ifølge definitionens 4. egenskab af integraler skrives på formen f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 = ∫ x - 1 x f x i - 1 + h 2 d x . Fra dette får vi, at segment i har en absolut fejl af formen

δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 x i - x i - 1 = = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - ∫ x i - 1 x i x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f (x) = - f x i - 1 + h 2 d x

Hvis vi tager, at funktionen y = f (x) har andenordens afledte i punktet x i - 1 + h 2 og dens omgivelser, så udvides y = f (x) i en Taylor-række i potenser x - x i - 1 + h 2 med et restled i form af en Lagrange-udvidelse. Det forstår vi

f (x) = f x i - 1 + h 2 + f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2 ⇔ ⇔ f (x) = f (x i - 1 + h 2) = f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2

Ud fra egenskaben af ​​det bestemte integral kan ligheden integreres led for led. Så får vi det

∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 d x + + ∫ x i - 1 x i f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 2 2 d x = = f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 2 2 x i - 1 x i + f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 3 6 x i - 1 x i = = f " x i - 1 + h 2 x i - h 2 2 2 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 2 2 + + f "" ε i x i - h 2 3 6 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 3 6 = = f "x i - 1 + h 2 h 2 8 - h 2 8 + f "" (ε i) h 3 48 + h 3 48 = f "" ε i h 3 24

hvor vi har ε i ∈ x i - 1 ; x i.

Ud fra dette får vi, at δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = f "" ε i · h 3 24 .

Absolut fejl af formlen for rektangler i segmentet [a; b ] er lig med summen af ​​fejlene i hvert elementært interval. Det har vi

δ n = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x og δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = b - a 3 24 n 2 .

Uligheden er et skøn over den absolutte fejl af rektangelmetoden.

For at ændre metoden skal du overveje formlerne.

Definition 2

∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) er den venstre trekants formel.

∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) er formlen for retvinklede trekanter.

Lad os se på eksemplet nedenfor.

Forskellen mellem metoden med gennemsnitlige rektangler er valget af punkter ikke i midten, men på venstre og højre grænser for disse elementære segmenter.

Denne absolutte fejl i venstre og højre trekant metoder kan skrives som

δn ≤ m a x x ∈ [a; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n

Det er nødvendigt at overveje at løse eksempler, hvor du skal beregne den omtrentlige værdi af et eksisterende bestemt integral ved hjælp af rektangelmetoden. To typer problemløsning overvejes. Essensen af ​​det første tilfælde er at specificere antallet af intervaller til opdeling af integrationssegmentet. Essensen af ​​den anden er tilstedeværelsen af ​​en acceptabel absolut fejl.

Opgavernes ordlyd er som følger:

• udføre en tilnærmet beregning af et bestemt integral ved hjælp af rektangelmetoden, opdeling i n antallet af integrationssegmenter;
• find den omtrentlige værdi af et bestemt integral ved hjælp af rektangelmetoden med en nøjagtighed på en hundrededel.

Lad os overveje løsninger i begge tilfælde.

Som et eksempel valgte vi opgaver, der kan transformeres for at finde deres antiderivater. Så bliver det muligt at beregne den nøjagtige værdi af et bestemt integral og sammenligne det med en tilnærmet værdi ved hjælp af rektangelmetoden.

Eksempel 1

Beregn det bestemte integral ∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x ved hjælp af rektangelmetoden, og opdel integrationssegmentet i 10 dele.

Løsning

Ud fra betingelsen har vi, at a = 4, b = 9, n = 10, f (x) = x 2 sin x 10. For at anvende ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 er det nødvendigt at beregne trinstørrelsen h og værdien af ​​funktionen f (x) = x 2 sin x 10 i punkterne x i - 1 + h2, i = 12,. . . , 10 .

Vi beregner trinværdien og får det

h = b - a n = 9 - 4 10 = 0 . 5 .

Fordi x i - 1 = a + (i - 1) · h, i = 1, . . . , 10, derefter xi - 1 + h2 = a + (i - 1) · h + h2 = a + i - 0. 5 · h, i = 1, . . . , 10 .

Da i = 1, får vi x i - 1 + h 2 = x 0 + h 2 = a + (i - 0,5) h = 4 + (1 - 0,5) 0. 5 = 4. 25.

Så skal du finde værdien af ​​funktionen

f x i - 1 + h 2 = f x 0 + h 2 = f (4,25) = 4. 25 2 sin (4 . 25) 10 ≈ - 1 . 616574

For i = 2 får vi x i - 1 + h 2 = x 1 + h 2 = a + i - 0. 5 h = 4 + (2 - 0,5) 0. 5 = 4. 75.

At finde den tilsvarende funktionsværdi tager formen

f x i - 1 + h 2 = f x 1 + h 2 = f (4,75) = 4. 75 2 sin (4 . 75) 10 ≈ - 2 . 254654

Lad os præsentere disse data i tabellen nedenfor.

jeg	1	2	3	4	5
x i - 1 + h 2	4 . 25	4 . 75	5 . 25	5 . 75	6 . 25
f x i - 1 + h 2	- 1 . 616574	- 2 . 254654	- 2 . 367438	- 1 . 680497	- 0 . 129606

jeg	6	7	8	9	10
x i - 1 + h 2	6 . 75	7 . 25	7 . 75	8 . 25	8 . 75
f x i - 1 + h 2	2 . 050513	4 . 326318	5 . 973808	6 . 279474	4 . 783042

Funktionsværdierne skal erstattes i rektangelformlen. Så får vi det

∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 = = 0 . 5 · - 1 . 616574 - 2. 25654 - 2. 367438 - 1. 680497 - 0 . 129606 + + 2 . 050513 + 4 . 326318 + 5 . 973808 + 6 . 279474 + 4 . 783042 = = 7 . 682193

Det oprindelige integral kan beregnes ved hjælp af Newton-Leibniz formlen. Det forstår vi

∫ 4 9 x 2 · sin x 10 d x = - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x 4 9 = = 7 5 cos 4 - 4 5 sin 4 - 79 10 cos 9 + 9 5 sin 9 ≈ 7 . 630083

Vi finder antiderivatet af udtrykket - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x svarende til funktionen f (x) = x 2 sin x 10. Finding udføres ved metoden med integration af dele.

Dette viser, at det bestemte integral adskiller sig fra værdien opnået ved at løse rektanglermetoden, hvor n = 10, med 6 dele af enhed. Lad os se på figuren nedenfor.

Eksempel 2

Beregn den omtrentlige værdi af det bestemte integral ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ved hjælp af venstre og højre rektangelmetode med en nøjagtighed på en hundrededel.

Løsning

Ud fra betingelsen har vi, at a = 1, b = 2 og f (x) = - 0. 03 x 3 + 0. 26 x-0. 26.

For at anvende formlen for højre og venstre rektangler skal du kende trinstørrelsen h, og for at beregne den opdeler vi integrationssegmentet i n segmenter. Ved betingelse har vi, at nøjagtigheden skal være op til 0,01, så er det muligt at finde n ved at estimere den absolutte fejl af venstre og højre rektangelmetode.

Det er kendt, at δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n. For at opnå den nødvendige grad af nøjagtighed er det nødvendigt at finde en værdi af n, for hvilken uligheden m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0 . 01 vil blive udført.

Lad os finde den største værdi af modulet af den første afledede, det vil sige værdien m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) af integrandfunktionen f (x) = - 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26, defineret på intervallet [ 1 ; 2 ]. I vores tilfælde er det nødvendigt at udfør følgende beregninger:

f" (x) = - 0,03 x 3 + 0,26 x - 0,26" = - 0. 09 x 2 + 0. 26

En parabel er en graf over integranden med nedadgående grene defineret på segmentet [1; 2 ], og med en monotont aftagende graf. Det er nødvendigt at beregne den absolutte værdi af derivaterne i enderne af segmenterne og vælge den største værdi fra dem. Det forstår vi

f " (1) = - 0,09 · 1 2 + 0. 26 = 0, 17 f " (2) = - 0 . 09 · 2 2 + 0 . 26 = 0. 1 → m a x x ∈ [ 1 ; 2 ] f" (x) = 0 . 17

At løse komplekse integrander involverer at se på de største og mindste værdiafsnit af funktionen.

Så finder vi, at den største værdi af funktionen har formen:

m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0. 01 ⇔ ⇔ 0. 17 · (2 ​​- 1) 2 2 n ≤ 0. 01 ⇔ 0. 085 n ≤ 0. 01 ⇔ n ≥ 8,5

Brøkdelen af ​​tallet n er udelukket, da n er et naturligt tal. At nå frem til en præcision på 0. 01, ved at bruge højre og venstre rektangelmetode, skal du vælge en hvilken som helst værdi af n. For klarhed over beregningerne, lad os tage n = 10.

Så vil formlen for de venstre rektangler have formen ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) , og formlen for de højre vil have formen ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) . For at anvende dem i praksis er det nødvendigt at finde værdien af ​​trindimensionen h og f (x i), i = 0, 1, . . . , n, hvor n = 10.

Det forstår vi

h = b - a n = 2 - 1 10 = 0 . 1

Bestemmelse af punkterne i segmentet [ a ; b ] fremstilles ved hjælp af x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . n.

For i = 0 får vi x i = x 0 = a + i · h = 1 + 0 · 0. 1 = 1 og f (xi) = f (x 0) = f (1) = - 0. 03 · 1 3 + 0 . 26 · 1-0. 26 = - 0. 03.

For i = 1 får vi x i = x 1 = a + i · h = 1 + 1 · 0. 1 = 1. 1 og f (xi) = f (x 1) = f (1, 1) = - 0 . 03 · (1 . 1) 3 + 0 . 26 · (1 . 1) - 0 . 26 = - 0. 01393.

Beregninger udføres op til i = 10.

Beregningerne skal præsenteres i nedenstående tabel.

jeg	0	1	2	3	4	5
x i	1	1 . 1	1 . 2	1 . 3	1 . 4	1 . 5
f (x i)	- 0 . 03	- 0 . 01393	0 . 00016	0 . 01209	0 . 02168	0 . 02875

jeg	6	7	8	9	10
x i	1 . 6	1 . 7	1 . 8	1 . 9	2
f (x i)	0 . 03312	0 . 03461	0 . 03304	0 . 02823	0 . 02

Erstat formlen for venstre trekanter

∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) = = 0 . 10 . 03 - 0. 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + + 0 . 02875 + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 = = 0 . 014775

Erstat i formlen for retvinklede trekanter

∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) = = 0 . 10 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + 0 . 02875 + + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 + 0 . 02 = 0. 019775

Lad os udføre beregningen ved hjælp af Newton-Leibniz formlen:

∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x = = - 0 . 03 x 4 4 + 0 . 13 x 2-0. 26 x 1 2 = 0 . 0175

Overvej figuren nedenfor.

Kommentar

At finde den største værdi af modulet af den første afledte er arbejdskrævende arbejde, så vi kan eliminere brugen af ​​ulighed til at estimere den absolutte fejl og numeriske integrationsmetoder. Tilladt at bruge ordningen.

Vi tager værdien n = 5 for at beregne den omtrentlige værdi af integralet. Det er nødvendigt at fordoble antallet af integrationssegmenter, derefter n = 10, hvorefter den omtrentlige værdi beregnes. det er nødvendigt at finde forskellen mellem disse værdier for n = 5 og n = 10. Når forskellen ikke opfylder den krævede nøjagtighed, anses den omtrentlige værdi for at være n = 10, afrundet til nærmeste ti.

Når fejlen overstiger den krævede nøjagtighed, fordobles n, og omtrentlige værdier sammenlignes. Beregninger udføres, indtil den nødvendige nøjagtighed er opnået.

For midterste rektangler udføres lignende handlinger, men beregninger på hvert trin kræver forskellen mellem de opnåede omtrentlige integralværdier for n og 2 n. Denne beregningsmetode kaldes Runges regel.

Lad os beregne integralerne med en nøjagtighed på en tusindedel ved hjælp af venstre rektangelmetode.

For n = 5 finder vi, at ∫ 1 2 (- 0,03 x 3 + 0,26 x - 0,26) d x ≈ 0. 0116, og for n = 10 - ∫ 1 2 (- 0, 03 x 3 + 0, 26 x - 0, 26) d x ≈ 0. 014775. Da vi har den 0. 0116 - 0. 014775 = 0 . 003175 > 0 . 001, lad os tage n = 20. Vi finder, at ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x ≈ 0 . 01619375. Vi har 0. 014775 - 0 . 01619375 = 0 . 00141875 > 0 . 001, tag værdien n = 40, så får vi ∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x ≈ 0. 01686093. Vi har den 0. 1619375 - 0 . 01686093 = 0 . 00066718< 0 . 001 , тогда после округления значения проверим, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x равняется значению 0 , 017 с погрешностью 0 , 001 . Из оценок абсолютных погрешностей видно, что данный метод дает максимальную точность в отличие от метода левых и правых координат для заданного n . Отдается предпочтение методу средних прямоугольников.

Kontinuerlige integrander med uendelig opdeling i segmenter, dette omtrentlige antal har en tendens til det nøjagtige. Oftest udføres denne metode ved hjælp af specielle programmer på en computer. Derfor, jo større værdien af ​​n er, desto større er beregningsfejlen.

For den mest nøjagtige beregning er det nødvendigt at udføre præcise mellemtrin, helst med en nøjagtighed på 0,0001.

Resultater

For at beregne det ubestemte integral ved rektangelmetoden skal du bruge en formel på formen ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 og estimere den absolutte fejl ved hjælp af δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " " (x) · b - a 3 24 n 2 .

For at løse ved hjælp af højre og venstre rektangel metoder, brug formler på formen ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) og ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (xi). Den absolutte fejl estimeres ved hjælp af en formel på formen δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · b - a 2 2 n .

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Og det paradoksale er, at af denne grund (tilsyneladende) det er ret sjældent i praksis. Det er ikke overraskende, at denne artikel dukkede op flere år efter, at jeg talte om de mere almindelige trapez- og Simpson-metoder, hvor jeg kun nævnte rektangler i forbifarten. Men i dag afsnittet vedr integraler er næsten færdig, og derfor er det tid til at lukke dette lille hul. Læs, forstå og se videoen! ….om hvad? Om integraler, selvfølgelig =)

Redegørelsen af ​​problemet er allerede blevet angivet i ovenstående lektion, og nu opdaterer vi hurtigt materialet:

Lad os overveje integralet. Han er ubrydelig. Men på den anden side integrand-funktionen sammenhængende på segmentet, hvilket betyder sidste område eksisterer. Hvordan beregner man det? Rundt regnet. Og i dag, som du måske kan gætte, ved hjælp af rektangelmetoden.

Vi opdeler integrationsintervallet i 5, 10, 20 eller mere lige (selvom dette ikke er påkrævet) segmenter, jo flere, jo mere nøjagtig vil tilnærmelsen være. På hvert segment konstruerer vi et rektangel, hvis ene sider ligger på aksen, og den modsatte side skærer grafen for integranden. Vi beregner arealet af den resulterende trinvise figur, som vil være et omtrentligt estimat af området buet trapez(skraveret på 1. billede).

Det er klart, at rektangler kan konstrueres på mange måder, men 3 modifikationer overvejes normalt:

1) venstre rektangel metode;
2) ret rektangel metode;
3) metode til gennemsnitlige rektangler.

Lad os udarbejde yderligere beregninger inden for rammerne af en "fuldgyldig" opgave:

Eksempel 1

Beregn det bestemte integral cirka:
a) venstre rektangelmetode;
b) metoden med retvinklede rektangler.

Opdel integrationsintervallet i lige store segmenter, afrund beregningsresultaterne til 0,001

Løsning: Jeg indrømmer med det samme, jeg valgte bevidst en så lille værdi - af grunde til at alt kunne ses på tegningen - som jeg skulle betale for nøjagtigheden af ​​tilnærmelserne.

Lad os beregne trin skillevægge (længden af ​​hvert mellemsegment):

Metode venstre rektangler fik sit navn pga

Hvad HØJDER rektangler på mellemliggende segmenter er lige store funktionsværdier i venstre ender af disse segmenter:

I intet tilfælde glemmer vi, at afrunding skal ske til tre decimaler - dette er et væsentligt krav til tilstanden, og "amatøraktivitet" her er fyldt med bemærkningen "formater opgaven korrekt."

Lad os beregne arealet af den trinformede figur, som er lig med summen af ​​rektanglerne:


Altså området buet trapez: . Ja, tilgangen er monstrøst barsk (overdrivelsen er tydeligt synlig på tegningen), men også et eksempel, jeg gentager, en demonstration. Det er helt klart, at ved at overveje et større antal mellemliggende segmenter (raffinering af partitionen), vil den trinformede figur være meget mere lig en buet trapez, og vi vil få et bedre resultat.

Når du bruger den "rigtige" metode HØJDER rektangler er lige store funktionsværdier til højre ender af mellemliggende segmenter:

Lad os beregne den manglende værdi og arealet af den trinformede figur:


– her, som man kunne forvente, er tilnærmelsen stærkt undervurderet:

Lad os skrive formlerne i generel form. Hvis funktionen er kontinuert på segmentet , og den er opdelt i lige store dele: , så kan det bestemte integral beregnes tilnærmelsesvis ved hjælp af formlerne:
– venstre rektangler;
– rette rektangler;
(formel i næste opgave)- mellemstore rektangler,
hvor er partitionstrinnet.

Hvad er deres formelle forskel? I den første formel er der ingen term, og i den anden -

I praksis er det praktisk at indtaste de beregnede værdier i en tabel:


og selve beregningerne udføres i Excel. Og hurtigt og uden fejl:

Svar:

Du har sikkert allerede forstået, hvad den midterste rektangelmetode er:

Eksempel 2

Beregn et tilnærmelsesvis bestemt integral ved hjælp af rektangelmetoden med en nøjagtighed på 0,01. Begynd at dividere integrationsintervallet med segmenter.

Løsning: For det første skal du være opmærksom på, at integralet skal beregnes nøjagtig til 0,01. Hvad betyder denne formulering?

Hvis den tidligere opgave kræves bare runde op resultater med 3 decimaler (og hvor sande de vil være er ikke vigtigt), så bør den fundne omtrentlige værdi af området ikke afvige fra sandheden med mere end .

Og for det andet siger problemformuleringen ikke, hvilken modifikation af rektangelmetoden, der skal bruges til løsningen. Og egentlig, hvilken?

Som standard skal du altid bruge metoden mellem rektangler

Hvorfor? Og alt andet lige, han (samme partition) giver en meget mere nøjagtig tilnærmelse. Dette er strengt begrundet i teorien, og dette er meget tydeligt synligt på tegningen:

Højden af ​​rektanglerne er taget her funktionsværdier, beregnet i midten mellemliggende segmenter og generelt formlen for omtrentlige beregninger vil blive skrevet som følger:
, hvor er trinnet i standard "lige segment" partitionen.

Det skal bemærkes, at formlen for midterste rektangler kan skrives på flere måder, men for at undgå forvirring vil jeg fokusere på den eneste mulighed, som du ser ovenfor.

Det er praktisk at opsummere beregningerne, som i det foregående eksempel, i en tabel. Længden af ​​de mellemliggende segmenter er naturligvis den samme: - og det er åbenlyst, at afstanden mellem segmenternes midtpunkter er lig med det samme antal. Da den nødvendige nøjagtighed af beregninger er , skal værdierne afrundes "med en margin" - 4-5 decimaler:


Lad os beregne arealet af den trinvise figur:

Lad os se, hvordan du automatiserer denne proces:

Således ifølge formlen for midterste rektangler:

Hvordan vurderer man nøjagtigheden af ​​tilnærmelsen? Med andre ord, hvor langt er resultatet fra sandheden? (areal af en buet trapez)? Der er en speciel formel til at estimere fejlen, men i praksis er dens anvendelse ofte vanskelig, og derfor vil vi bruge den "anvendte" metode:

Lad os beregne en mere nøjagtig tilnærmelse - med dobbelt antal partitionssegmenter: . Løsningsalgoritmen er nøjagtig den samme: .

Lad os finde midten af ​​det første mellemsegment og læg derefter 0,3 til den resulterende værdi. Tabellen kan designes i "økonomiklasse", men det er stadig bedre ikke at springe over kommentaren om, hvad der ændres fra 0 til 10:


I Excel udføres beregninger "i en række" (øv i øvrigt), men i en notesbog skal bordet højst sandsynligt laves i to etager (medmindre du selvfølgelig har en superlille håndskrift).

Lad os beregne det samlede areal af ti rektangler:

Så en mere præcis tilnærmelse er:

Hvilket jeg foreslår, at du studerer!

Eksempel 3: Løsning: beregn partitionstrinet:
Lad os udfylde beregningstabellen:


Lad os beregne integralet tilnærmelsesvis ved hjælp af følgende metode:
1) venstre rektangler:
;
2) rette rektangler:
;
3) mellemstore rektangler:
.

Lad os beregne integralet mere nøjagtigt ved hjælp af Newton-Leibniz formlen:

og de tilsvarende absolutte regnefejl:

Svar :

Generelt venstre rektangelformel på segmentet som følger (21) :

I denne formel x 0 =a, x n =b, da ethvert integral generelt ser sådan ud: (se formel 18 ).

h kan beregnes ved hjælp af formlen 19 .

y 0 , y 1 ,..., y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x jeg =x i-1 +h).

Formel for rette rektangler.

Generelt ret rektangel formel på segmentet som følger (22) :

I denne formel x 0 =a, x n =b(se formel for venstre rektangler).

h kan beregnes ved hjælp af samme formel som i formlen for de venstre rektangler.

y 1 , y 2 ,..., y n er værdierne af den tilsvarende funktion f(x) ved punkter x 1 , x 2 ,..., x n (x jeg =x i-1 +h).

Formel til mellemstore rektangler.

Generelt mellem rektangelformel på segmentet som følger (23) :

Hvor x jeg =x i-1 +h.

I denne formel, som i de foregående, kræves h for at gange summen af ​​værdierne af funktionen f(x), men ikke blot ved at erstatte de tilsvarende værdier x 0 ,x 1 ,...,x n-1 ind i funktionen f(x), og tilføjelse til hver af disse værdier h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), og derefter kun substituere dem i den givne funktion.

h kan beregnes ved hjælp af den samme formel som i formlen for de venstre rektangler." [ 6 ]

I praksis implementeres disse metoder som følger:

Mathcad ;

Excel .

Mathcad ;

Excel .

For at beregne integralet ved hjælp af formlen for gennemsnitlige rektangler i Excel, skal du udføre følgende trin:

Fortsæt med at arbejde i det samme dokument, som når du beregner integralet ved hjælp af formlerne for venstre og højre rektangler.

Indtast teksten xi+h/2 i celle E6, og i F6 - f(xi+h/2).

Indtast formlen =B7+$B$4/2 i celle E7, kopier denne formel ved at trække til celleområdet E8:E16

Indtast formlen =ROOT(E7^4-E7^3+8) i celle F7, kopier denne formel ved at trække til celleområdet F8:F16

Indtast formlen =SUM(F7:F16) i celle F18.

Indtast formlen =B4*F18 i celle F19.

Indtast tekstgennemsnittene i celle F20.

Som et resultat får vi følgende:

Svar: værdien af ​​det givne integral er 13,40797.

Baseret på de opnåede resultater kan vi konkludere, at formlen for de midterste rektangler er mere nøjagtig end formlerne for højre og venstre rektangler.

1. Monte Carlo metode

"Hovedideen med Monte Carlo-metoden er at gentage tilfældige tests flere gange. Et karakteristisk træk ved Monte Carlo-metoden er brugen af ​​tilfældige tal (numeriske værdier af en tilfældig variabel). Sådanne tal kan opnås vha. tilfældige tal sensorer.Fx er der i programmeringssproget Turbo Pascal standard funktion tilfældig, hvis værdier er tilfældige tal ensartet fordelt på segmentet . Det betyder, at hvis du deler det angivne segment op i et vist antal lige store intervaller og beregner værdien af ​​den tilfældige funktion et stort antal gange, så vil der falde omtrent det samme antal tilfældige tal ind i hvert interval. I bassinprogrammeringssproget er en lignende sensor rnd-funktionen. I MS Excel regneark processor funktionen RAND returnerer et ensartet fordelt tilfældigt tal større end eller lig med 0 og mindre end 1 (ændres ved genberegning)" [ 7 ].

For at beregne det, skal du bruge formlen () :

Hvor (i=1, 2, …, n) er tilfældige tal, der ligger i intervallet .

For at opnå sådanne tal baseret på en sekvens af tilfældige tal x i, ensartet fordelt i intervallet, er det nok at udføre transformationen x i =a+(b-a)x i.

I praksis implementeres denne metode som følger:

For at beregne integralet ved hjælp af Monte Carlo-metoden i Excel, skal du udføre følgende trin:

Indtast teksten n= i celle B1.

Indtast teksten a= i celle B2.

Indtast teksten b= i celle B3.

Indtast tallet 10 i celle C1.

Indtast tallet 0 i celle C2.

Indtast tallet 3.2 i celle C3.

Indtast I i celle A5, xi i B5, f(xi) i C5.

Udfyld celler A6:A15 med tallene 1,2,3, ...,10 – da n=10.

Indtast formlen =RAND()*3.2 i celle B6 (tal i området fra 0 til 3.2 genereres), kopier denne formel ved at trække den ind i celleområdet B7:B15.

Indtast formlen =ROOT(B6^4-B6^3+8) i celle C6 og kopier denne formel ved at trække til celleområdet C7:C15.

Indtast teksten "beløb" i celle B16, "(b-a)/n" i B17, "I =" i B18.

Indtast formlen =SUM(C6:C15) i celle C16.

Indtast formlen =(C3-C2)/C1 i celle C17.

Indtast formlen =C16*C17 i celle C18.

Som et resultat får vi:

Svar: værdien af ​​det givne integral er 13,12416.

Lad os gå videre til ændringer af rektangelmetoden.

Det her venstre rektangel metode formel.

- Det her ret rektangel metodeformel.

Forskellen fra metoden med midterste rektangler er, at punkter er valgt ikke i midten, men på henholdsvis venstre og højre grænser for elementære segmenter.

Den absolutte fejl for venstre og højre rektangelmetode estimeres til .

Blokdiagram

For at beregne integralet ved hjælp af den rigtige rektangelformel i Excel, skal du udføre følgende trin:

1. Fortsæt med at arbejde i det samme dokument som ved beregning af integralet ved hjælp af den venstre rektangelformel.

2. Indtast teksten y1,…,yn i celle D6.

3. Indtast formlen =ROOT(B8^4-B8^3+8) i celle D8, kopier denne formel ved at trække til celleområdet D9:D17

4. Indtast formlen =SUM(D7:D17) i celle D18.

5. Indtast formlen =B4*D18 i celle D19.

6. Indtast teksten direkte i celle D20.

Som et resultat får vi følgende:

For at beregne integralet ved hjælp af den rigtige rektangelformel i Mathcad, skal du udføre følgende trin:

1. Indtast følgende udtryk i indtastningsfeltet på én linje i nogen afstand: a:=0, b:=3.2, n:=10.

2. I den næste linje skal du indtaste formlen fra tastaturet h:=(b-a)/n ( ).

3. Vis værdien af ​​dette udtryk ved siden af ​​det; for at gøre dette skal du skrive fra tastaturet: h=.

4. Nedenfor skal du indtaste formlen til beregning af integrand-funktionen, for at gøre dette skal du skrive f(x):= fra tastaturet, og derefter åbne værktøjslinjen "Aritmetik", enten ved hjælp af ikonet eller på følgende måde:

Vælg derefter "Kvadratrod" på værktøjslinjen "Aritmetik": , indtast derefter udtrykket fra tastaturet x^4-x^3+8 i den mørke firkant, der vises, flyt markøren ved hjælp af pilene på tastaturet ( Bemærk venligst, at dette udtryk i indtastningsfeltet straks konverteres til standardformularen).

5. Indtast udtrykket I1:=0 nedenfor.

6. Indtast udtrykket pr_p(a,b,n,h,I1):= nedenfor.

7. Vælg derefter værktøjslinjen "Programmering" (enten: "Vis" - "Værktøjslinjer" - "Programmering", eller: ikon ).

8. På værktøjslinjen "Programmering" tilføjer du programlinjen: , placer derefter markøren i det første mørke rektangel og vælg "for" på værktøjslinjen "Programmering".

9. I den resulterende linje, efter ordet for, skal du placere markøren i den første af rektanglerne og skrive i.

10. Vælg derefter værktøjslinjen "Matrix" (enten: "Vis" - "Værktøjslinjer" - "Matrix", eller: ikon).

11. Placer markøren i det næste mørke rektangel og på værktøjslinjen "Matrix" klik på: , hvor du skriver de to rektangler, der vises, henholdsvis: 1 og n.

12. Placer markøren i det mørke rektangel nedenfor, og tilføj programlinjen to gange.

13. Efter dette, returner markøren til det første rektangel, der vises, og skriv x1, klik derefter på "Lokal tildeling" i "Programmering"-panelet: og skriv derefter a+h.

14. Placer markøren i det næste mørke rektangel, hvor du skriver I1 og tildeler (knappen “Lokal tildeling”) I1+f(x1).

15. Placer markøren i det næste mørke rektangel, hvor skriv en tildeling (knap "Lokal tildeling") x1.

16. I det næste mørke rektangel tilføjer du en programlinje, hvor du i det første af de resulterende rektangler skriver I1 og tildeler (knappen “Lokal tildeling”) I1*h ( Bemærk venligst, at multiplikationstegnet i indtastningsfeltet automatisk bliver til et standardtegn).

17. Skriv I1 i det sidste mørke rektangel.

18. Indtast pr_p(a,b,n,h,I1) nedenfor og tryk på =-tegnet.

19. For at formatere svaret skal du dobbeltklikke på det resulterende tal og angive antallet af decimaler - 5.

Som et resultat får vi:

Svar: værdien af ​​det givne integral er 14,45905.

Rektangelmetoden er bestemt meget praktisk til at beregne det bestemte integral. Arbejdet var meget spændende og lærerigt.

Referencer

http://www.cleverstudents.ru/method_of_rectangles.html

(metoder til beregning af integraler)

http://algmet.narod.ru/theory_a4m/integr_prav/index.htm

(essensen af ​​metoden)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%EF%F0%FF%EC%EE%F3%E3%EE%EB%FC%ED%E8%EA%EE %E2

(wikipedia)

1) introduktion og teori

2) Essensen af ​​metoden og løsninger på eksempler

3) Pascal

Grafisk billede:

Lad os beregne den omtrentlige værdi af integralet. For at vurdere nøjagtigheden bruger vi beregningsmetoden for venstre og højre rektangler.

Lad os beregne trinnet, når vi opdeler i 10 dele:

Et segments splitpunkter er defineret som:

Lad os beregne den omtrentlige værdi af integralet ved hjælp af formlerne for de venstre rektangler:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Lad os beregne den omtrentlige værdi af integralet ved hjælp af formlerne for rette rektangler:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Løsning af et grænseværdiproblem for en almindelig differentialligning ved sweep-metoden.

For tilnærmelsesvis at løse en almindelig differentialligning kan du bruge sweep-metoden.

Lad os overveje en lineær differentialligning.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

med topunkts lineære grænsebetingelser

Lad os introducere følgende notation:

Sweep-metoden består af et "forlæns gennemløb", hvor koefficienterne bestemmes:

Efter at have udført "fremadgående bevægelse", fortsæt til "omvendt bevægelse", som består i at bestemme værdierne for den ønskede funktion ved hjælp af formlerne:

Ved hjælp af sweep-metoden komponer du en løsning på grænseværdiproblemet for en almindelig differentialligning med nøjagtighed; Trin h=0,05

2; A=1; =0; B=1,2;

Dirichlet-problem for Laplace-ligningen ved brug af grid-metoden

Find en kontinuerlig funktion u (x, y), der opfylder Laplaces ligning inde i det rektangulære område

og acceptere givne værdier ved grænsen af ​​regionen, dvs.

hvor fl, f 2, f 3, f 4 er givet funktioner.

Ved at introducere notationen tilnærmer vi de partielle afledte og ved hver indre gitterknude ved andenordens centrale differensafledte

og erstatte Laplaces ligning med finite-difference-ligningen

Fejlen ved at erstatte en differentialligning med en differensligning er størrelsen.

Ligninger (1) danner sammen med værdierne ved grænseknuderne et system af lineære algebraiske ligninger vedrørende funktionens omtrentlige værdier og (x, y) ved gitterknudepunkterne. Dette system har den enkleste form, når:

Ved opnåelse af gitterligninger (2) blev nodediagrammet vist i fig. 1 brugt. 1. Sættet af noder, der bruges til at tilnærme en ligning i et punkt, kaldes en skabelon.

Billede 1

Den numeriske løsning af Dirichlet-problemet for Laplace-ligningen i et rektangel består i at finde omtrentlige værdier af den ønskede funktion u(x, y) ved de interne gitterknuder. For at bestemme mængder er det nødvendigt at løse et system af lineære algebraiske ligninger (2).

I dette arbejde er det løst ved Gauss--Seidel metoden, som består i at konstruere en sekvens af iterationer af formen

(den hævede skrift s angiver iterationsnummeret). Når sekvensen konvergerer til en nøjagtig løsning af system (2). Som betingelse for afslutningen af ​​den iterative proces, kan vi tage

Således består fejlen i den omtrentlige løsning opnået ved gittermetoden af ​​to fejl: fejlen ved tilnærmelse af differentialligningen ved differensligninger; fejl, der opstår som følge af en tilnærmet løsning af differensligningssystemet (2).

Det er kendt, at forskelsskemaet beskrevet her har egenskaberne stabilitet og konvergens. Ordningens stabilitet betyder, at små ændringer i de indledende data fører til små ændringer i løsningen af ​​forskelsproblemet. Kun sådanne ordninger giver mening at blive brugt i rigtige beregninger. Konvergensen af ​​skemaet betyder, at når gittertrinnet har en tendens til nul (), tenderer løsningen til forskelsproblemet på en måde til løsningen på det oprindelige problem. Ved at vælge et tilstrækkeligt lille trin h kan man således løse det oprindelige problem så præcist som ønsket.

Ved hjælp af gittermetoden komponer du en tilnærmet løsning til Dirichlet-problemet for Laplace-ligningen i en kvadratisk ABCD med toppunkter A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); trin h=0,02. Når du løser problemet, skal du bruge Liebman iterative gennemsnitsproces, indtil der opnås et svar med en nøjagtighed på 0,01.

1) Lad os beregne værdierne af funktionen på siderne:

• 1. På AB-siden: ifølge formlen. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
• 2. På BC-siden=0
• 3. På siden CD=0

• 4. På AD-siden: ifølge formlen u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)= 29,44 u(1;0)=0
• 2) For at bestemme værdierne af funktionen ved de indre punkter i regionen ved hjælp af gittermetoden erstatter vi den givne Laplace-ligning i hvert punkt med en finit-differensligning i henhold til formlen

Ved hjælp af denne formel vil vi oprette en ligning for hvert indre punkt. Som et resultat får vi et ligningssystem.

Vi løser dette system ved hjælp af en iterativ metode af Liebman-typen. For hver værdi opretter vi en sekvens, som vi bygger indtil konvergens i hundrededele. Lad os nedskrive relationerne, ved hjælp af hvilke vi finder elementerne i alle sekvenser:

For at beregne ved hjælp af disse formler skal du bestemme startværdierne, der kan findes på en eller anden måde.

3) For at opnå en indledende omtrentlig løsning på problemet, vil vi antage, at funktionen u(x,y) er ensartet fordelt langs områdets horisontaler.

Overvej først en vandret linje med grænsepunkter (0;0.2) og (1;0.2).

Lad os angive de nødvendige værdier for funktionen på interne punkter med.

Da segmentet er opdelt i 5 dele, er funktionens måletrin

Så får vi:

På samme måde finder vi værdierne af funktionen i de indre punkter af andre vandrette linjer. For en vandret linje med grænsepunkter (0;0.4) og (1;0.4) har vi

For en vandret linje med grænsepunkter (0;0.6) og (1;0.6) har vi

Lad os endelig finde værdierne for vandret med grænsepunkter (0;0.8) og (1;0.8).

Vi præsenterer alle de opnåede værdier i følgende tabel, som kaldes nul-skabelonen: