Sammen med progressive og roterende bevægelser I kroppens mekanik er oscillerende bevægelser også af væsentlig interesse. Mekaniske vibrationer er bevægelser af kroppe, der gentager sig nøjagtigt (eller cirka) med lige store tidsintervaller. Loven om bevægelse af et legeme, der svinger, er specificeret ved hjælp af en bestemt periodisk funktion tid x = f (t). Grafisk billede denne funktion giver visuel repræsentation om forløbet af den oscillerende proces over tid.

Eksempler på simple oscillerende systemer omfatter en belastning på en fjeder el matematisk pendul(Fig. 2.1.1).

Mekaniske vibrationer, som enhver andens oscillerende processer fysisk natur, måske gratis Og tvunget. Gratis vibrationer er begået under indflydelse indre kræfter system efter at systemet er bragt ud af ligevægt. Svingninger af en vægt på en fjeder eller svingninger af et pendul er frie svingninger. Vibrationer, der opstår under påvirkning ydre periodisk skiftende kræfter kaldes tvunget .

Den enkleste form for oscillerende proces er enkle harmoniske vibrationer , som er beskrevet af ligningen

x = x mcos(ω t + φ 0).

Her x- forskydning af kroppen fra ligevægtspositionen, x m - amplitude af oscillationer, dvs. maksimal forskydning fra ligevægtspositionen, ω - cyklisk eller cirkulær frekvens tøven, t- tid. Størrelsen under cosinustegnet φ = ω t+ φ 0 kaldes fase harmonisk proces. På t= 0 φ = φ 0, derfor kaldes φ 0 indledende fase. Det minimale tidsinterval, hvorigennem en kropsbevægelse gentages, kaldes svingningsperiode T. Fysisk mængde, kaldes det reciproke af svingningsperioden vibrationsfrekvens:

Oscillationsfrekvens f viser hvor mange svingninger der sker på 1 s. Frekvensenhed - hertz(Hz). Oscillationsfrekvens f relateret til den cykliske frekvens ω og oscillationsperioden T forhold:

I fig. 2.1.2 viser kroppens positioner med lige store tidsintervaller under harmoniske vibrationer. Et sådant billede kan opnås eksperimentelt ved at belyse et oscillerende legeme med korte periodiske lysglimt ( stroboskop belysning). Pilene repræsenterer kroppens hastighedsvektorer på forskellige tidspunkter.

Ris. 2.1.3 illustrerer de ændringer, der sker på grafen for en harmonisk proces, hvis enten amplituden af ​​oscillationer ændres x m, eller punktum T(eller frekvens f), eller indledende fase φ 0 .

Når et legeme svinger langs en ret linje (akse OKSE) hastighedsvektoren er altid rettet langs denne rette linje. Hastighed υ = υ x kropsbevægelsen bestemmes af udtrykket

I matematik er proceduren for at finde grænsen for et forhold ved Δ t→ 0 kaldes at beregne den afledede af funktionen x (t) Med tiden t og er betegnet som eller som x"(t) eller endelig ligesom . For den harmoniske lov om bevægelse fører beregning af den afledede til følgende resultat:

Forekomsten af ​​udtrykket + π / 2 i cosinusargumentet betyder en ændring i den indledende fase. Maksimale absolutte værdier af hastighed υ = ω x m opnås på de tidspunkter, hvor kroppen passerer gennem ligevægtspositioner ( x= 0). Acceleration bestemmes på lignende måde -en = -enx legemer under harmoniske vibrationer:

deraf accelerationen -en er lig med den afledede af funktionen υ ( t) Med tiden t, eller den anden afledede af funktionen x (t). Beregninger giver:

Minustegnet i dette udtryk betyder, at accelerationen -en (t) har altid et tegn, modsat fortegn forskydninger x (t), og derfor, ifølge Newtons anden lov, er den kraft, der får kroppen til at udføre harmoniske svingninger, altid rettet mod ligevægtspositionen ( x = 0).

Den samme krop kan deltage i to eller flere bevægelser samtidigt. Et simpelt eksempel er bevægelsen af ​​en bold kastet i en vinkel i forhold til vandret. Vi kan antage, at bolden deltager i to uafhængige indbyrdes vinkelrette bevægelser: ensartet vandret og ensartet variabel lodret. Samme krop ( materiale punkt) kan deltage i to (eller flere) oscillerende bevægelser.

Under tilføjelse af svingninger forstå definitionen af ​​loven om resulterende vibration, hvis det oscillerende system samtidigt deltager i flere oscillerende processer. Der er to begrænsende tilfælde - tilføjelse af svingninger i én retning og tilføjelse af indbyrdes vinkelrette svingninger.

2.1. Tilføjelse af harmoniske vibrationer i én retning

1. Tilføjelse af to svingninger i samme retning(co-directional oscillationer)

kan gøres ved hjælp af vektordiagrammetoden (figur 9) i stedet for at tilføje to ligninger.

Figur 2.1 viser amplitudevektorerne EN 1(t) og EN 2 (t) tilføjede svingninger på et vilkårligt tidspunkt t, når faserne af disse svingninger er henholdsvis ens Og . Tilføjelsen af ​​oscillationer kommer ned til definitionen . Lad os udnytte det faktum, at i et vektordiagram er summen af ​​projektionerne af de vektorer, der tilføjes, lig med projektionen vektor sum disse vektorer.

Den resulterende oscillation svarer i vektordiagrammet til amplitudevektor og fase.

Figur 2.1 – Tilføjelse af co-directional oscillationer.

Vektor størrelse EN(t) kan findes ved hjælp af cosinussætningen:

Fasen af ​​den resulterende oscillation er givet ved formlen:

.

Hvis frekvenserne af de tilføjede oscillationer ω 1 og ω 2 ikke er ens, så er både fasen φ(t) og amplituden EN(t) De resulterende udsving vil ændre sig over tid. Tilføjede svingninger kaldes usammenhængende I dette tilfælde.

2. To harmoniske vibrationer x 1 og x 2 kaldes sammenhængende, hvis deres faseforskel ikke afhænger af tid:

Men da, for at opfylde betingelsen om sammenhæng mellem disse to svingninger, skal deres cykliske frekvenser være ens.

Amplituden af ​​den resulterende oscillation opnået ved at tilføje kodirektionelle oscillationer med lige frekvenser (kohærente svingninger) er lig med:

Den indledende fase af den resulterende oscillation er let at finde, hvis du projicerer vektorerne EN 1 og EN 2 på koordinatakser OX og OU (se figur 9):

.

Så, den resulterende oscillation opnået ved at tilføje to harmoniske co-directional oscillationer med ens frekvenser er også en harmonisk oscillation.

3. Lad os studere afhængigheden af ​​amplituden af ​​den resulterende oscillation af forskellen i de indledende faser af de tilføjede svingninger.

Hvis , hvor n er et hvilket som helst ikke-negativt heltal

(n = 0, 1, 2…), så minimum. De tilføjede svingninger på tidspunktet for tilføjelsen var inde modfase. Når den resulterende amplitude er nul.

Hvis , At , dvs. den resulterende amplitude vil være maksimum. På tidspunktet for tilføjelsen var de tilføjede svingninger i én fase, dvs. var i fase. Hvis amplituderne af de tilføjede svingninger er de samme , At .

4. Tilføjelse af co-directional oscillationer med uens, men lignende frekvenser.

Frekvenserne af de tilføjede svingninger er ikke ens, men frekvensforskellen meget mindre end både ω 1 og ω 2. Betingelsen for de tilføjede frekvensers nærhed er skrevet af relationerne.

Et eksempel på tilføjelse af co-directional oscillationer med lignende frekvenser er bevægelsen af ​​en vandret fjederpendul, hvis fjederstivhed er lidt forskellig k 1 og k 2.

Lad amplituderne af de tilføjede svingninger være de samme , og de indledende faser er lig med nul. Så har ligningerne for de tilføjede oscillationer formen:

, .

Den resulterende oscillation beskrives ved ligningen:

Den resulterende oscillationsligning afhænger af produktet af to harmoniske funktioner: en med frekvens , den anden – med hyppighed , hvor ω er tæt på frekvenserne af de tilføjede oscillationer (ω 1 eller ω 2). Den resulterende oscillation kan betragtes som harmonisk svingning med amplitude varierende i henhold til en harmonisk lov. Sådan oscillerende proces hedder beats. Strengt taget er det resulterende udsving i almindelig sag er ikke en harmonisk svingning.

Den absolutte værdi af cosinus tages, fordi amplituden er en positiv størrelse. Afhængighedens art x res. under slag er vist i figur 2.2.

Figur 2.2 – Afhængighed af forskydning af tid under slag.

Amplituden af ​​taktslagene ændrer sig langsomt med frekvensen. Den absolutte værdi af cosinus gentages, hvis dens argument ændres med π, hvilket betyder, at værdien af ​​den resulterende amplitude vil blive gentaget efter et tidsinterval τ b, kaldet beat periode(Se figur 12). Værdien af ​​taktperioden kan bestemmes ud fra følgende forhold:

Værdien er slagperioden.

Størrelse er perioden for den resulterende oscillation (figur 2.4).

2.2. Tilføjelse af indbyrdes vinkelrette vibrationer

1. En model, hvorpå tilføjelsen af ​​indbyrdes vinkelrette svingninger kan påvises, er præsenteret i figur 2.3. Et pendul (et materialepunkt med massen m) kan svinge langs OX- og OU-akserne under påvirkning af to elastiske kræfter rettet indbyrdes vinkelret.

Figur 2.3

De foldede svingninger har formen:

Oscillationsfrekvenserne er defineret som , , hvor , er fjederstivhedskoefficienterne.

2. Overvej tilfældet med at tilføje to indbyrdes vinkelrette svingninger med samme frekvenser , hvilket svarer til tilstanden (identiske fjedre). Så vil ligningerne for de tilføjede oscillationer have formen:

Når et punkt er involveret i to bevægelser samtidigt, kan dets bane være forskellig og ret kompleks. Ligningen for banen for de resulterende svingninger på OXY-planet, når der tilføjes to indbyrdes vinkelrette med lige frekvenser, kan bestemmes ved at ekskludere tiden t fra de oprindelige ligninger for x og y:

Typen af ​​bane bestemmes af forskellen i de indledende faser af de tilføjede svingninger, som afhænger af begyndelsesbetingelser(se § 1.1.2). Lad os overveje de mulige muligheder.

og hvis , hvor n = 0, 1, 2…, dvs. de tilføjede oscillationer er i fase, så vil baneligningen have formen:

(Figur 2.3 a).

Figur 2.3.a	Figur 2.3 b

b) Hvis (n = 0, 1, 2...), dvs. de tilføjede oscillationer er i modfase, så skrives baneligningen som følger:

(Figur 2.3b).

I begge tilfælde (a, b) vil den resulterende bevægelse af punktet være en svingning langs en ret linje, der går gennem punktet O. Frekvensen af ​​den resulterende svingning er lig med frekvensen af ​​de tilføjede svingninger ω 0, amplituden bestemmes ved forholdet.

EN) Kroppen deltager i to harmoniske svingninger med de samme cirkulære frekvenserw , men med forskellige amplituder og indledende faser.

Ligningen for disse svingninger vil blive skrevet på følgende måde:

x 1 = a 1 cos(wt + j 1)

x 2 = a 2 cos(wt + j 2),

Hvor x 1 Og x 2- forskydning; en 1 Og en 2- amplituder; w- cirkulær frekvens af begge vibrationer; j 1 Og j 2- indledende faser af svingninger.

Lad os tilføje disse svingninger ved hjælp af et vektordiagram. Lad os repræsentere begge oscillationer som amplitudevektorer. Til dette fra vilkårligt punktÅh, liggende på aksen x, lad os plotte to vektorer henholdsvis 1 og 2 i vinkler j 1 Og j 2 til denne akse (fig. 2).

Projektioner af disse vektorer på aksen x vil være lig med forskydningerne x 1 Og x 2 ifølge udtryk (2). Når begge vektorer roteres mod uret med Vinkelhastighed w projektioner af deres ender på aksen x vil udføre harmoniske svingninger. Da begge vektorer roterer med samme vinkelhastighed w, så vinklen mellem dem j=j1-j2 forbliver konstant. Ved at tilføje både vektor 1 og 2 i henhold til parallelogramreglen får vi den resulterende vektor . Som det kan ses af fig. 2, er projektionen af ​​denne vektor på aksen x lig med summen af ​​projektionerne af vektorernes vilkår x=x 1 + x 2. På den anden side: x=a·cos(wt+jo).

Som følge heraf roterer vektoren med samme vinkelhastighed som vektor 1 og 2 og udfører en harmonisk svingning, der forekommer langs den samme rette linie som komponenterne i svingningerne, og med en frekvens lig med frekvensen af ​​de oprindelige svingninger. Her j o - den indledende fase af den resulterende oscillation.

Som det kan ses af fig. 2, for at bestemme amplituden af ​​den resulterende oscillation, kan du bruge cosinussætningen, ifølge hvilken vi har:

a 2 = a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a = a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos(j 2 - j 1)(3)

Fra udtryk (3) er det klart, at amplituden af ​​den resulterende oscillation afhænger af forskellen i de indledende faser ( j 2 - j 1) komponenter af vibrationer. Hvis de indledende faser er ens ( j 2 = j 1), så er det fra formel (3) klart, at amplituden EN lig med summen en 1 Og en 2. Hvis faseforskellen ( j 2 - j 1) er lig med ±180 o (dvs. begge svingninger er i modfase), så er amplituden af ​​den resulterende oscillation lig med absolut værdi forskel i vibrationsamplituder : a = |a 1 - a 2 |.

b) Kroppen deltager i to svingninger med samme amplituder, indledende faser, lig med nul og forskellige frekvenser.

Ligningerne for disse svingninger vil se sådan ud:

x 1 = а·sinw 1 t,

x 2 = a·sinw 2 t.

Det antages at w 1 afviger lidt i størrelse fra w 2. Tilføjer vi disse udtryk får vi:

x=x1 +x2 =2a cos[(w1-w2)/2]t+synd[(w1+w2)/2]t=

=2a cos[(w1-w2)/2]t synd wt (4)

Den resulterende bevægelse er en kompleks oscillation kaldet beats(Fig. 3) Siden værdien w 1 - w 2 lille i forhold til størrelsen w 1 + w 2, så kan denne bevægelse betragtes som en harmonisk svingning med en frekvens lig med halvdelen af ​​summen af ​​frekvenserne af de tilføjede svingninger w=(w1+w2)/2 og variabel amplitude.

Af (4) følger det, at amplituden af ​​den resulterende oscillation varierer alt efter periodisk lov cosinus. Fuld cyklusændringer i værdierne af cosinusfunktionen opstår, når argumentet ændres med 360 0, og funktionen passerer gennem værdier fra +1 til -1. Tilstanden af ​​systemet slår til tider svarende til angivne værdier Cosinusfunktionerne i formel (4) er ikke anderledes. Med andre ord forekommer slagcyklusser med en periodicitet svarende til en ændring i cosinusargumentet i formel (4) med 180 0. Altså perioden T aændringer i amplitude under slag (slagperiode) bestemmes ud fra betingelsen:

Ta = 2p/(w1 - w2).

Overvejer det w=2pn, vi får:

Ta = 2 p /2 p (n 1 - n 2) = 1/(n 1 - n 2). (5)

Hyppigheden af ​​ændring i amplituden af ​​den resulterende oscillation er lig med forskellen i frekvenserne af de tilføjede svingninger:

n=1/Ta =n1-n2.

Tilføjelse harmoniske vibrationer en retning.

Beats

Lad os betragte et oscillerende system med én grad af frihed, hvis tilstand bestemmes af afhængigheden af ​​en vis mængde på tid. Lad oscillationen i dette system være summen af ​​to harmoniske svingninger med samme frekvens, men forskellige amplituder og begyndelsesfaser, dvs.

Siden "offset" oscillerende system fra ligevægtspositionen sker langs en enkelt "retning", så i dette tilfælde taler de om tilføjelsen af ​​harmoniske svingninger i en retning. På vektordiagrammet vil de tilføjede svingninger blive afbildet i form af to vektorer og , roteret i forhold til hinanden med en vinkel (Fig. 6.1). Da frekvenserne af de tilføjede svingninger er de samme, vil deres relative position forblive uændret til enhver tid, og den resulterende oscillation vil blive repræsenteret af en vektor, lig med beløbet vektorer og . Tilføjelse af vektorer efter parallelogramreglen og ved hjælp af cosinussætningen får vi

. (6.3)

Dermed, når man tilføjer to harmoniske svingninger i samme retning med samme frekvenser, opnås en harmonisk svingning af samme frekvens, hvis amplitude og begyndelsesfase bestemmes af udtrykkene(6.2), (6.3).

To harmoniske svingninger, der forekommer ved samme frekvens og har en konstant faseforskel, kaldes sammenhængende. Når man tilføjer kohærente svingninger, opnås der følgelig en harmonisk svingning af samme frekvens, hvis amplitude og begyndelsesfase bestemmes af amplituderne og indledende faser af de tilføjede svingninger.

Hvis de tilføjede oscillationer har forskellige frekvenser og men samme amplituder , så får vi ved at bruge det fra trigonometrien kendte udtryk for summen af ​​cosinus af to vinkler

Fra det resulterende udtryk er det klart, at den resulterende oscillation er ikke harmonisk.

Lad frekvenserne af de tilføjede svingninger være tæt på hinanden, så og . Denne sag kaldes slag af to frekvenser.

Efter at have udpeget , Og , kan vi skrive

. (6.5)

Af udtryk (6.5) følger, at den resulterende svingning kan repræsenteres som en harmonisk svingning med en bestemt gennemsnitsfrekvens, hvis amplitude ændrer sig langsomt (med frekvensen) over tid. Tid hedder beat periode, A – slagfrekvens. Slaggrafen er vist i figur 6.2. Slå opstår når den samtidige lyd af to stemmegafler af samme tonalitet. De kan observeres ved hjælp af et oscilloskop ved at tilføje de harmoniske svingninger fra to generatorer, der er indstillet til samme frekvens. I begge tilfælde vil frekvenserne af vibrationskilderne være lidt forskellige, hvilket resulterer i slag.

Da svingninger opstår med forskellige frekvenser, så ændres faseforskellen af ​​de tilføjede svingninger over tid, derfor er svingningerne ikke sammenhængende. Ændringen i tid af amplituden af ​​de resulterende svingninger er en karakteristisk konsekvens af inkohærensen af ​​de tilføjede svingninger.

Tilføjelsen af ​​svingninger observeres meget ofte i elektriske kredsløb og især i radiokommunikationsudstyr. I nogle tilfælde gøres dette målrettet for at opnå et signal med de angivne parametre. For eksempel i en heterodyn modtager tilføjes (blandes) det modtagne signal med lokaloscillatorsignalet for at opnå en mellemfrekvensoscillation som et resultat af efterfølgende behandling. I andre tilfælde sker tilføjelsen af ​​oscillationer spontant, når der ud over det nyttige signal kommer en form for interferens til enhedens indgang. Faktisk er hele rækken af ​​elektriske signalformer resultatet af tilføjelsen af ​​to eller mere harmoniske vibrationer.

Tilføjelse af vibrationer

Tilføjelse af to harmoniske svingninger med samme amplituder og frekvenser

Lad os se på et eksempel lydbølger, når to kilder skaber bølger med samme amplituder A og frekvenser?. Vi vil installere en følsom membran i en afstand fra kilderne. Når bølgen "vandrer" afstanden fra kilden til membranen, vil membranen komme til oscillerende bevægelse. Virkningen af ​​hver bølge på membranen kan beskrives ved følgende forhold ved hjælp af oscillerende funktioner:

x1(t) = A cos(?t + ?1),

x2(t) = A cos(?t + ?2).

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1,27)

Udtrykket i parentes kan skrives forskelligt vha trigonometrisk funktion summer af cosinus:

For at forenkle funktionen (1.28) introducerer vi nye mængder A0 og?0, der opfylder betingelsen:

A0 = ?0 = (1,29)

Ved at erstatte udtryk (1.29) med funktion (1.28), får vi

Altså summen af ​​harmoniske vibrationer med de samme frekvenser? er der en harmonisk svingning af samme frekvens?. I dette tilfælde bestemmes amplituden af ​​den totale oscillation A0 og den indledende fase?0 af relationer (1.29).

Tilføjelse af to harmoniske svingninger med samme frekvens, men forskellig amplitude og indledende fase

Overvej nu den samme situation, ændring af oscillationsamplituderne i funktion (1.26). For funktionen x1 (t) erstatter vi amplituden A med A1, og for funktionen x2 (t) A med A2. Derefter vil funktioner (1.26) blive skrevet i følgende form

xl (t) = A1 cos(at + a1), x2 (t) = A2 cos (at + a2); (1,31)

Lad os finde summen af ​​harmoniske funktioner (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1,32)

Udtryk (1.32) kan skrives anderledes ved at bruge den trigonometriske sum cosinus funktion:

x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) - (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1,33)

For at forenkle funktionen (1.33) introducerer vi nye mængder A0 og?0, der opfylder betingelsen:

Lad os kvadre hver ligning af systemet (1.34) og tilføje de resulterende ligninger. Så får vi følgende relation for tallet A0:

Lad os overveje udtryk (1.35). Lad os bevise, at mængden under roden ikke kan være negativ. Siden cos(?1 - ?2) ? -1, hvilket betyder, at dette er den eneste størrelse, der kan påvirke fortegnet for tallet under roden (A12 > 0, A22 > 0 og 2A1A2 > 0 (fra definitionen af ​​amplitude)). Lad os overveje det kritiske tilfælde (cosinus er lig med minus en). Under roden er formlen for kvadratet af forskellen, som altid er en positiv størrelse. Hvis vi begynder gradvist at øge cosinus, så vil udtrykket, der indeholder cosinus, også begynde at stige, så vil værdien under roden ikke ændre sit fortegn.

Lad os nu beregne forholdet for mængden?0 ved at dividere den anden systemligning (1.34) med den første og beregne arctangensen:

Lad os nu erstatte værdierne fra system (1.34) med funktion (1.33)

x = A0(cos(?0) cos?t - sin(?0) sin?t) (1,37)

Ved at transformere udtrykket i parentes ved hjælp af cosinussumformlen får vi:

x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1,38)

Og igen viste det sig, at summen af ​​to harmoniske funktioner af formen (1.31) også er harmonisk funktion samme type. Mere præcist, tilføjelsen af ​​to harmoniske vibrationer med de samme frekvenser? er også en harmonisk svingning med samme frekvens?. I dette tilfælde bestemmes amplituden af ​​den resulterende oscillation af relation (1,35), og den indledende fase - af relation (1,36).