en række cosinus og sinus af flere buer, altså en række af formen
eller i kompleks form
Hvor en k,b k eller i overensstemmelse hermed c k hedder T.r.-koefficienter
For første gang T. r. fundet i L. Euler (L. Euler, 1744). Han fik nedbrydning
Alle R. 1700-tallet I forbindelse med undersøgelsen af problemet med fri vibration af en streng opstod spørgsmålet om muligheden for at repræsentere den funktion, der karakteriserer strengens begyndelsesposition i form af en sum af tr. Dette spørgsmål forårsagede ophedet debat, der varede adskillige årtier, blandt tidens bedste analytikere - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler (L. Eu1er). Tvisterne vedrørte indholdet af funktionsbegrebet. På det tidspunkt var funktioner normalt forbundet med deres analytiske funktioner. opgave, hvilket førte til overvejelse af kun analytiske eller stykkevis analytiske funktioner. Og her blev det nødvendigt for en funktion, hvis graf er en ret vilkårlig kurve, at konstruere en TR, der repræsenterer denne funktion. Men betydningen af disse stridigheder er større. Faktisk blev spørgsmål relateret til mange grundlæggende vigtige begreber og ideer om matematik diskuteret i dem eller opstod i forbindelse med dem. analyse generelt - repræsentation af funktioner ved Taylor-serier og analytisk. fortsættelse af funktioner, brug af divergerende rækker, permutation af grænser, uendelige ligningssystemer, interpolation af funktioner ved polynomier mv.
Og i fremtiden, som i denne indledende periode, vil teorien om tr. fungerede som en kilde til nye ideer i matematik. Spørgsmålet, som førte til stridigheder blandt matematikere i det 18. århundrede, blev løst i 1807 af J. Fourier, som angav formler til beregning af termodynamikkens koefficienter. (1), hvilket burde. repræsentere funktionen f(x):
og anvendte dem til at løse problemer med termisk ledningsevne. Formler (2) kaldes Fourier-formler, selvom de tidligere blev fundet i A. Clairaut (1754), og L. Euler (1777) nåede frem til dem ved hjælp af term-for-term integration. T.r. (1), hvis koefficienter er bestemt af formlerne (2), kaldet. Fourierrækker af funktionen f, og tallene a k, b k- Fourierkoefficienter.
Arten af de opnåede resultater afhænger af, hvordan repræsentationen af en funktion ved en række forstås, hvordan integralet i formlerne (2) forstås. Moderne syn på teorien om tr. erhvervet efter fremkomsten af Lebesgue-integralet.
Teorien om T. r. kan opdeles i to store afsnit - teori Fourier-serien, hvor det antages, at rækken (1) er Fourierrækken af en bestemt funktion, og teorien om generel termodynamik, hvor en sådan antagelse ikke er lavet. Nedenfor er de vigtigste resultater opnået i teorien om generel termodynamik. (i dette tilfælde forstås mængden af mængder og målbarheden af funktioner ifølge Lebesgue).
Den første systematiske Studiet af TR, hvor det ikke blev antaget, at disse serier er Fourier-serier, var W. Riemanns afhandling (W. Riemann, 1853). Derfor er teorien om generel T. r. hedder undertiden Riemannsk teori om T. r.
At studere egenskaberne af en vilkårlig TR. (1) med koefficienter, der tenderer til nul. Riemann betragtede den kontinuerte funktion F(x) ,
som er summen af en ensartet konvergent række
opnået efter dobbelt termin-for-term integration af serier (1). Hvis serie (1) konvergerer i et bestemt punkt x til et tal s, så eksisterer der på dette punkt og er lig med s en anden symmetrisk. afledet af funktion F:
så fører dette til summeringen af serie (1), genereret af faktorerne 
hedder Riemann summeringsmetode. Ved hjælp af funktionen F formuleres Riemann-lokaliseringsprincippet, hvorefter opførselen af serie (1) i punktet x kun afhænger af opførselen af funktionen F i et vilkårligt lille naboskab til dette punkt.
Hvis T. r. konvergerer på et sæt af positive mål, så har dens koefficienter tendens til nul (Cantor-Lebesgue-sætning). Stræber efter nul-koefficienter for TR. følger også af dens konvergens på et sæt af den anden kategori (W. Young, W. Young, 1909).
Et af de centrale problemer i teorien om generel tr. er problemet med at repræsentere en vilkårlig funktion af en TR. Efter at have styrket resultaterne af N. N. Luzin (1915) om repræsentationen af funktioner af TR, sammenfattet næsten overalt ved Abel-Poisson og Riemann metoder, beviste D. E. Menshov (1940) følgende teorem, der vedrører det vigtigste tilfælde, hvor repræsentationen af funktionen f forstås som konvergensen af T. r. Til f(x) næsten overalt. For hver funktion f, der er målbar og finit næsten overalt, eksisterer der en lineær ligning, der konvergerer til den næsten overalt (Menshovs sætning). Det skal bemærkes, at selvom funktionen f er integrerbar, så er det generelt set umuligt at tage Fourierrækken af funktionen f som en sådan række, da der er Fourierrækker, der divergerer overalt.
Menshovs sætning ovenfor giver mulighed for følgende præcisering: hvis en funktion f er målbar og endelig næsten overalt, så eksisterer der en kontinuerlig funktion, således at 
næsten overalt og den termmæssigt differentierede Fourier-række af funktionen j konvergerer til f(x) næsten overalt (N.K. Bari, 1952).
Det er uvist (1984), om det er muligt at udelade betingelsen om endelighed af funktionen f næsten overalt i Menshovs sætning. Især er det uvist (1984), om T. r. konvergere næsten overalt til
Derfor blev problemet med at repræsentere funktioner, der kan tage uendelige værdier på et sæt positive mål, overvejet for det tilfælde, hvor konvergens næsten overalt erstattes af et svagere krav - konvergens i mål. Konvergens i mål til funktioner, der kan tage uendelige værdier, er defineret som følger: en sekvens af partielle summer T. p. s n(x) konvergerer i mål til funktionen f(x) .
hvis hvor fn(x) konvergerer til / (x) næsten overalt, og sekvensen konvergerer til nul i mål. I denne formulering er spørgsmålet om at repræsentere funktioner fuldstændig løst: for hver målbar funktion er der en TR, der konvergerer til den i mål (D. E. Menshov, 1948).
Mange undersøgelser er blevet afsat til problemet med TR'ernes unikke karakter: om to forskellige TR'er kan afvige til den samme funktion; i en anden formulering: hvis T. r. konvergerer til nul, så følger det, at alle koefficienter i rækken er lig med nul. Her kan vi mene konvergens på alle punkter eller på alle punkter uden for et bestemt sæt. Svaret på disse spørgsmål afhænger i det væsentlige af det pågældende sæts egenskaber, uden for hvilket konvergens ikke antages.
Følgende terminologi er etableret. Mange navne unikhed af mange eller U- sæt, hvis fra konvergensen af T. r. til nul overalt, undtagen måske sættets punkter E, det følger, at alle koefficienter i denne serie er lig med nul. Ellers Yenaz. M-sæt.
Som G. Cantor (1872) viste, er den tomme mængde, såvel som enhver endelig mængde, U-sæt. Et vilkårligt tælligt sæt er også et U-sæt (W. Jung, 1909). På den anden side er hvert sæt positive mål et M-sæt.
Eksistensen af M-sæt med mål nul blev fastslået af D. E. Menshov (1916), som konstruerede det første eksempel på et perfekt sæt med disse egenskaber. Dette resultat er af fundamental betydning i unikhedsproblemet. Fra eksistensen af M-sæt med mål nul, følger det, at når funktioner i en trekantet række er repræsenteret som konvergerende næsten overalt, bestemmes disse rækker på en åbenlyst unik måde.
Perfekte sæt kan også være U-sæt (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). I problemet med unikhed spiller meget subtile karakteristika ved sæt af mål nul en væsentlig rolle. Et generelt spørgsmål om klassificeringen af sæt af nulmål i M- og U-sættet forbliver (1984) åbent. Det er ikke løst selv for perfekte sæt.
Følgende problem er relateret til unikhedsproblemet. Hvis T. r. konvergerer til en funktion 
så skal denne serie være en Fourier-række af funktionen /. P. Du Bois-Reymond (1877) gav et positivt svar på dette spørgsmål, hvis f er Riemann-integrerbar, og serien konvergerer til f(x) på alle punkter. Fra resultaterne af III. J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) følger, at svaret er positivt selv i det tilfælde, hvor rækken overalt, bortset fra et tælleligt sæt af punkter, konvergerer, og dens sum er endelig.
Hvis en serierække konvergerer absolut ved et bestemt punkt x 0, så er konvergenspunkterne for denne serie, såvel som punkterne for dens absolutte konvergens, placeret symmetrisk i forhold til punktet x 0
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Ifølge Denjoy - Luzin-sætning fra den absolutte konvergens af TR. (1) på et sæt positive mål konvergerer serien 
og følgelig den absolutte konvergens af serie (1) for alle X. Sæt af den anden kategori, såvel som visse sæt af mål nul, har også denne egenskab.
Denne anmeldelse dækker kun endimensionelle TR'er. (1). Der er separate resultater relateret til generel T. r. fra flere variabler. Her er det i mange tilfælde stadig nødvendigt at finde naturlige problemformuleringer.
Lit.: Bari N.K., Trigonometric series, M., 1961; Zygmund A., Trigonometrisk serie, trans. fra engelsk, bind 1-2, M., 1965; Luzin N.N., Integral og trigonometrisk serie, M.-L., 1951; Riemann B., Soch., overs. fra German, M.-L., 1948, s. 225-61.
S. A. Telyakovsky.
- - en endelig trigonometrisk sum, - et udtryk for formen med reelle koefficienter a 0, og k, bk, k=l, . . ., n;nummer n kaldet. bestil T. 0)...
Matematisk encyklopædi
- - en række cosinus og sinus af flere buer, dvs. en række af formen eller i kompleks form, hvor ak, bk eller henholdsvis ck kaldes. T.r.-koefficienter For første gang T. r. mødes med L. Euler...
Matematisk encyklopædi
- - trianguleringspunkt, - geodætisk punkt, hvis position på jordens overflade bestemmes af trianguleringsmetoden...
Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary
- - se Triangulering...
Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Euphron
- - i geodæsi, en struktur installeret på jorden ved trigonometriske punkter. T.Z. består af to dele - ekstern og underjordisk...
Store sovjetiske encyklopædi
- - en funktionel række af formen, det vil sige en række placeret langs sinus og cosinus af flere buer. Ofte T.r. skrevet i kompleks form...
I en række tilfælde kan det ved at undersøge koefficienterne for serier af formen (C) fastslås, at disse serier konvergerer (undtagen måske individuelle punkter) og er Fourierrækker for deres summer (se f.eks. den foregående afsnit), men i alle disse tilfælde opstår naturligvis spørgsmålet,
hvordan man finder summen af disse rækker eller - mere præcist - hvordan man udtrykker dem i endelig form gennem elementære funktioner, hvis de overhovedet er udtrykt i denne form. Euler (og også Lagrange) brugte med succes analytiske funktioner af en kompleks variabel til at summere trigonometriske serier i endelig form. Ideen med Eulers metode er som følger.
Lad os antage, at for et bestemt sæt koefficienter konvergerer rækken (C) og til funktioner overalt i intervallet, måske kun enkelte punkter ekskl. Lad os nu betragte en potensrække med de samme koefficienter, arrangeret i potenser af den komplekse variabel
På omkredsen af enhedscirklen, dvs. ved denne serie, konvergerer ved antagelse, eksklusive individuelle punkter:
I dette tilfælde, ifølge den velkendte egenskab ved potensrækker, konvergerer rækken (5) naturligvis ved dvs. inde i enhedscirklen og definerer der en bestemt funktion af en kompleks variabel. Ved at bruge det, vi kender [se § 5 i kapitel XII] udvidelse af elementære funktioner af en kompleks variabel, er det ofte muligt at reducere funktionen til dem. Så har vi:
og ifølge Abels sætning, så snart serie (6) konvergerer, opnås dens sum som grænsen
Normalt er denne grænse simpelthen lig, hvilket giver os mulighed for at beregne funktionen i dens endelige form
Lad for eksempel den foreslåede serie
Udsagn bevist i det foregående afsnit fører til den konklusion, at begge disse serier konvergerer (den første - eksklusive punkt 0 og
tjene som Fourier-serier for de funktioner, de definerer.Men hvad er disse funktioner? For at besvare dette spørgsmål, lad os oprette en serie
Baseret på dens lighed med den logaritmiske serie, kan dens sum let bestemmes:
derfor,
Nu giver en nem beregning:
så modulet af dette udtryk er , og argumentet er .
og dermed endelig
Disse resultater er velkendte for os og blev endda engang opnået ved hjælp af "komplekse" overvejelser; men i det første tilfælde tog vi udgangspunkt i funktionerne og , og i det andet - fra den analytiske funktion. Her tjente for første gang selve serierne som udgangspunkt. Læseren vil finde yderligere eksempler af denne art i næste afsnit.
Vi understreger endnu en gang, at du på forhånd skal være sikker på konvergensen af serien (C) og at have ret til at bestemme deres summer ved hjælp af grænseligheden (7). Alene eksistensen af en grænse på højre side af denne lighed tillader endnu ikke at drage en konklusion om konvergensen af de nævnte serier. For at vise dette med et eksempel, overvej serien
Inden for videnskab og teknologi har vi ofte at gøre med periodiske processer: svingende bevægelser af maskindele, instrumenter, bevægelse af himmellegemer og elementarpartikler, elektromagnetiske svingninger mv. Matematisk er sådanne processer beskrevet af periodiske funktioner.
Fungeref(x), defineret på hele den numeriske akse, måske undtagen for nogle punkter, kaldes periodisk med periode T, hvis der er et tal T≠0, således at for enhver værdi x fra definitionsdomænet for funktionen gælder følgende lighed:
f(x + T) = f(x).
Hvis nummeret T er funktionens periode f(x), det nummer T·p for enhver helhed P vil også være perioden for denne funktion.
Den mindste positive periode af en given funktion kaldes funktionens hovedperiode.
For eksempel kan enhver konstant betragtes som en periodisk funktion med en hvilken som helst periode. De mest berømte periodiske funktioner med en periode T = 2π er trigonometriske funktioner y = synd x, y = cos X..
Egenskaber for periodiske funktioner
Sum, forskel, produkt og kvotient af periodiske funktioner med periode T der er en periodisk funktion med samme periode.
2. Hvis funktionen f(x) har en menstruation T, derefter funktionen f(-en· x) har en periode hvor a ≠0, a =konst.
For eksempel siden funktionerne y
=
synd x,
y
=
cos x
er periodiske med periode T=2π, derefter funktionerne y=
synd kx
Og y=
cos kx
er også periodiske og har en periode 
. Funktioner y
=
synd kx
Og på=
cos kx
hedder "ark med harmoniske."
3. Det bestemte integral af en periodisk funktion over et segment, der er lig med perioden, afhænger ikke af integrationssegmentets position på aksen, dvs. Hvis f(x)
=
f(x
+
T),
derefter 
.
Geometrisk betyder denne egenskab for ikke-negative funktioner ligheden mellem områderne af de skraverede områder af figurerne (figur 2).
Figur 2
4.2. Ortogonale funktionssystemer
Lad os overveje flere hjælpebegreber , som vi får brug for senere.
Funktionerf(x) og φ(x) kaldes ortogonale på segmentet[EN,b], hvis de er defineret, kan integreres på dette interval, og ligheden gælder
.
Overvej for eksempel funktionerne f(x)= x Og 
på segmentet .
De er definerede og kontinuerlige på segmentet .
Lad os finde det bestemte integral af produktet af disse funktioner over det angivne segment:
.
Derfor funktionerne f(x)
=
x
Og 
ortogonalt på segmentet.
Funktionssystemf,(x), f 2 (x),…, f n (x) kaldes ortogonal på segmentet[-en, b],hvis to forskellige funktioner er ortogonale, dvs.
Som et eksempel giver vi systemet (1 , cos x, synd x, cos2 x , synd2 x ,..., cos nx, synd nx,... }, PZ, som er et ortogonalt system af funktioner på intervallet [-π, π], dvs. er et ortogonalt system med et interval svarende til perioden for disse funktioner.
4.3. Harmoniske vibrationer. Trigonometrisk serie
Et af de vigtigste begreber inden for radioelektronik er elektriske svingninger. Disse er udsving i spænding, strøm, ladning. For eksempel er radiobølger vibrationer af et elektromagnetisk felt. Harmonisk vibration vi kalder enhver proces, der er beskrevet af en periodisk funktion med en periode 
eller, som er ækvivalent, en funktion af formen
Denne funktion kaldes sinusformet eller harmonisk; A er amplituden af vibrationer, dette er den største værdi af svingområdet; ω -vinkelfrekvens, viser, hvor mange gange et givet periodisk fænomen vil gentage sig i 2 π (tidsenhed); φ - indledende fase harmonisk vibration.
Hvis vi tilføjer periodiske funktioner
hvis frekvenser
ω, 2ω,…, kω,…
er multipla af den mindste af dem, og perioderne er tilsvarende lige store 
, så får vi som et resultat funktionen
som også er periodisk med punktum T, men vil afvige væsentligt fra sinusfunktionen.
Det viser sig, at hvis vi tager et uendeligt antal simple harmoniske, så kan enhver periodisk funktion, dog med visse egenskaber, repræsenteres som deres sum eller, som de siger, i form af en trigonometrisk række.
Trigonometrisk serie kaldes en funktionel række af formen
=
.
Tal EN P
Og b n ,
Hvor n=1,2,3,...,
hedder seriekoefficienter. Frileddet (nul harmonisk) er skrevet i formen 
for ensartethed af efterfølgende formler.
At studere en kompleks oscillation beskrevet af funktionen f(x), periodisk med punktum T=2π, det kan repræsenteres som en sum af simple harmoniske svingninger, dvs. udvides til en trigonometrisk seriefunktion
.
Opgaven kræver løsning af tre spørgsmål:
Under hvilke forhold fungerer en periodisk f(x) med periode T Kan det repræsenteres som en trigonometrisk række?
Er dette den eneste nedbrydning?
Hvordan beregnes koefficienterne for denne serie?
Vi starter med at besvare de to sidste spørgsmål.
Inden for videnskab og teknologi har vi ofte at gøre med periodiske fænomener, dvs. dem, der gengives efter et vist tidsrum T, kaldet en periode. Den enkleste af de periodiske funktioner (bortset fra en konstant) er den sinusformede størrelse: Som i(x+ ), harmonisk svingning, hvor der er en "frekvens" relateret til perioden med forholdet: . Ud fra sådanne simple periodiske funktioner kan mere komplekse sammensættes. Det er klart, at de sinusformede komponentstørrelser skal have forskellige frekvenser, eftersom tilføjelsen af sinusformede mængder af samme frekvens resulterer i en sinusformet størrelse med samme frekvens. Hvis du lægger flere mængder af formularen sammen
Som et eksempel gengiver vi her tilføjelsen af tre sinusformede størrelser: . Lad os se på grafen for denne funktion
Denne graf er væsentligt forskellig fra en sinusbølge. Dette er endnu mere sandt for summen af en uendelig række sammensat af termer af denne type. Lad os stille spørgsmålet: kan denne periodiske funktion af perioden være T repræsentere det som summen af et endeligt eller i det mindste uendeligt sæt af sinusformede størrelser? Det viser sig, at i forhold til en stor klasse af funktioner kan dette spørgsmål besvares bekræftende, men det er kun, hvis vi involverer hele den uendelige række af sådanne udtryk. Geometrisk betyder det, at grafen for en periodisk funktion fås ved at overlejre en række sinusoider. Hvis vi betragter hver sinusformet værdi som en harmonisk oscillerende bevægelse, så kan vi sige, at dette er en kompleks svingning karakteriseret ved en funktion eller blot dens harmoniske (første, anden osv.). Processen med at nedbryde en periodisk funktion til harmoniske kaldes harmonisk analyse.
Det er vigtigt at bemærke, at sådanne udvidelser ofte viser sig at være nyttige i studiet af funktioner, der kun er specificeret i et bestemt begrænset interval og ikke genereret af nogen oscillerende fænomener.
Definition. En trigonometrisk række er en række af formen:
Eller 
(1).
Reelle tal kaldes koefficienter af den trigonometriske række. Denne serie kan også skrives sådan:
Hvis en serie af typen præsenteret ovenfor konvergerer, så er dens sum en periodisk funktion med periode 2p.
Definition. Fourier-koefficienterne for en trigonometrisk række kaldes: 
(2)
(3)
(4)
Definition. Fourier i nærheden for funktion f(x) kaldes en trigonometrisk række, hvis koefficienter er Fourier-koefficienter.
Hvis Fourier-rækken af funktionen f(x) konvergerer til det på alle dets kontinuitetspunkter, så siger vi, at funktionen f(x) udvides til en Fourier-serie.
Sætning.(Dirichlets sætning) Hvis en funktion har en periode på 2p og er kontinuert på et interval eller har et endeligt antal diskontinuitetspunkter af den første slags, kan intervallet opdeles i et endeligt antal segmenter, således at funktionen inden for hver af dem er monoton, så konvergerer Fourierrækken for funktionen for alle værdier x, og på punkter med kontinuitet af funktionen dens sum S(x) er lig med , og på diskontinuitetspunkterne er dens sum lig med , dvs. det aritmetiske middelværdi af grænseværdierne til venstre og højre.
I dette tilfælde Fourier-serien af funktionen f(x) konvergerer ensartet på ethvert segment, der hører til funktionens kontinuitetsintervall.
En funktion, der opfylder betingelserne for denne sætning, kaldes stykkevis glat på segmentet.
Lad os overveje eksempler på udvidelsen af en funktion i en Fourier-række.
Eksempel 1. Udvid funktionen til en Fourier-serie f(x)=1-x, har en menstruation 2 p og angivet på segmentet.
Løsning. Lad os plotte denne funktion
Denne funktion er kontinuert på segmentet, det vil sige på et segment af længde en periode, derfor kan det udvides til en Fourier-serie, der konvergerer til det på hvert punkt i dette segment. Ved hjælp af formel (2) finder vi koefficienten for denne serie: .
Lad os anvende integrationen efter deleformel og finde fra henholdsvis formlerne (3) og (4):
Substitution af koefficienterne i formel (1), får vi 
eller .
Denne lighed gælder på alle punkter undtagen punkter og (punkter, hvor graferne er forbundet). På hvert af disse punkter er summen af serien lig med det aritmetiske middelværdi af dens grænseværdier til højre og venstre, dvs.
Lad os præsentere en algoritme til at dekomponere funktionen i Fourier-serien.
Den generelle procedure for at løse problemet er som følger.