Hvilken formel udtrykker frekvensen af ​​et fjederpendul? Svingninger af en belastning på en fjeder

Studiet af pendulsvingninger udføres ved hjælp af en opsætning, hvis diagram er vist i fig. Installationen består af et fjederpendul, et vibrationsregistreringssystem baseret på en piezoelektrisk sensor, et tvungen vibrationsexcitationssystem og et informationsbehandlingssystem på en personlig computer. Det undersøgte fjederpendul består af en stålfjeder med en stivhedskoefficient k og pendullegemer m, i hvis centrum en permanent magnet er monteret. Pendulets bevægelse sker i en væske og ved lave oscillationshastigheder kan den resulterende friktionskraft tilnærmes med tilstrækkelig nøjagtighed ved en lineær lov, dvs.

Fig.5 Blokdiagram over forsøgsopstillingen

For at øge modstandskraften, når man bevæger sig i en væske, er pendulets krop lavet i form af en skive med huller. Til registrering af vibrationer bruges en piezoelektrisk sensor, hvortil en pendulfjeder er ophængt. Under pendulets bevægelse er den elastiske kraft proportional med forskydningen x,
Da EMF, der opstår i den piezoelektriske sensor, igen er proportional med trykkraften, vil signalet modtaget fra sensoren være proportionalt med pendullegemets forskydning fra ligevægtspositionen.
Oscillationer exciteres ved hjælp af et magnetfelt. Det harmoniske signal, der skabes af pc'en, forstærkes og føres til en excitationsspole placeret under pendullegemet. Som et resultat af denne spole dannes et magnetfelt, der er variabelt i tid og uensartet i rummet. Dette felt virker på en permanent magnet monteret i pendulets krop og skaber en ekstern periodisk kraft. Når et legeme bevæger sig, kan drivkraften repræsenteres som en superposition af harmoniske funktioner, og pendulets svingninger vil være en superposition af svingninger med frekvenser mw. Det er dog kun kraftkomponenten ved frekvensen, der vil have en mærkbar effekt på pendulets bevægelse w, da den er tættest på resonansfrekvensen. Derfor svinger amplituderne af komponenterne i pendulet ved frekvenser mw vil være lille. Det vil sige, at i tilfælde af en vilkårlig periodisk påvirkning, kan svingningerne med en høj grad af nøjagtighed betragtes som harmoniske ved frekvensen w.
Informationsbehandlingssystemet består af en analog-til-digital-konverter og en personlig computer. Det analoge signal fra den piezoelektriske sensor er repræsenteret i digital form ved hjælp af en analog-til-digital-konverter og ført til en personlig computer.

Styring af den eksperimentelle opsætning ved hjælp af en computer
Efter at have tændt for computeren og indlæst programmet, vises hovedmenuen på monitorskærmen, hvis generelle udseende er vist i fig. 5. Ved hjælp af piletasterne , , , , kan du vælge et af menupunkterne. Efter at have trykket på knappen GÅ IND computeren begynder at udføre den valgte driftstilstand. De enkleste tip om den valgte driftstilstand er indeholdt i den fremhævede linje nederst på skærmen.
Lad os overveje de mulige driftstilstande for programmet:
Statik- dette menupunkt bruges til at behandle resultaterne af den første øvelse (se fig. 5) Efter tryk på knappen GÅ IND computeren anmoder om massen af ​​pendulbob. Tryk på næste knap GÅ IND et nyt billede med en blinkende markør vises på skærmen. Skriv sekventielt massen af ​​belastningen i gram på skærmen og, efter at have trykket på mellemrumstasten, mængden af ​​spænding af fjederen. Presser GÅ IND gå til en ny linje og skriv igen vægten af ​​belastningen og mængden af ​​spænding af fjederen. Dataredigering inden for den sidste linje er tilladt. For at gøre dette skal du trykke på tasten Backspace fjern den forkerte masse- eller fjederstrækningsværdi og skriv den nye værdi. For at ændre data i andre linjer skal du successivt trykke på Esc Og GÅ IND, og gentag derefter resultatsættet.
Efter indtastning af data skal du trykke på funktionstasten F2. Værdierne af fjederstivhedskoefficienten og frekvensen af ​​pendulets frie svingninger, beregnet ved hjælp af mindste kvadraters metode, vises på skærmen. Efter at have klikket på GÅ IND En graf over den elastiske kraft i forhold til mængden af ​​fjederforlængelse vises på monitorskærmen. Tilbage til hovedmenuen sker efter tryk på en vilkårlig tast.
Eksperiment- denne vare har flere underpunkter (fig. 6). Lad os se på funktionerne i hver af dem.
Frekvens- i denne tilstand, ved hjælp af piletasterne, indstilles frekvensen af ​​drivkraften. I tilfælde af at et eksperiment udføres med frie svingninger, så er det nødvendigt at indstille frekvensværdien lig med 0 .
Start- i denne tilstand efter at have trykket på knappen GÅ IND programmet begynder at fjerne den eksperimentelle afhængighed af pendulets tidsafvigelse. I det tilfælde, hvor frekvensen af ​​drivkraften er nul, vises et billede af dæmpede svingninger på skærmen. Værdierne for oscillationsfrekvensen og dæmpningskonstanten registreres i et separat vindue. Hvis frekvensen af ​​den spændende kraft ikke er nul, så sammen med graferne for afhængighederne af pendulets afvigelse og drivkraften til tiden, værdierne for drivkraftens frekvens og dens amplitude samt den målte frekvens og amplitude af penduloscillationerne, optages på skærmen i separate vinduer. Tryk på en tast Esc du kan gå ud til hovedmenuen.
Gemme- hvis resultatet af forsøget er tilfredsstillende, så kan det gemmes ved at trykke på den tilsvarende menutast.
Ny Serie- dette menupunkt bruges, hvis der er behov for at opgive dataene fra det aktuelle eksperiment. Efter at have trykket på tasten GÅ IND i denne tilstand slettes resultaterne af alle tidligere eksperimenter fra maskinens hukommelse, og en ny række målinger kan startes.
Efter eksperimentet skifter de til tilstanden Målinger. Dette menupunkt har flere underpunkter (fig. 7)
Frekvensrespons graf- dette menupunkt bruges efter eksperimentets afslutning til at studere tvangssvingninger. Amplitude-frekvenskarakteristikken for tvangssvingninger er plottet på monitorskærmen.
FFC tidsplan- I denne tilstand, efter afslutningen af ​​eksperimentet for at studere tvungne svingninger, plottes en fase-frekvenskarakteristik på monitorskærmen.
Bord- dette menupunkt giver dig mulighed for at vise værdierne for amplituden og fasen af ​​svingninger på monitorskærmen afhængigt af frekvensen af ​​drivkraften. Disse data kopieres til en notesbog til rapporten om dette arbejde.
Computer menupunkt Afslut- slutningen af ​​programmet (se f.eks. Fig. 7)

Øvelse 1. Bestemmelse af fjederstivhedskoefficienten ved hjælp af den statiske metode.

Målinger udføres ved at bestemme forlængelsen af ​​en fjeder under påvirkning af belastninger med kendte masser. Det anbefales at bruge mindst 7-10 målinger af fjederforlængelse ved gradvist at ophænge vægte og derved ændre belastningen fra 20 Før 150 d. Brug af menupunktet for programbetjening Statistikker resultaterne af disse målinger gemmes i computerens hukommelse, og fjederstivhedskoefficienten bestemmes ved hjælp af mindste kvadraters metode. Under øvelsen er det nødvendigt at beregne værdien af ​​pendulets naturlige svingningsfrekvens

Virkningen af ​​de fleste mekanismer er baseret på de simpleste love i fysik og matematik. Konceptet med et fjederpendul er blevet ret udbredt. En sådan mekanisme er blevet meget udbredt, da fjederen giver den nødvendige funktionalitet og kan være et element i automatiske enheder. Lad os se nærmere på en sådan enhed, dens driftsprincip og mange andre punkter mere detaljeret.

Definitioner af et fjederpendul

Som tidligere nævnt er fjederpendulet blevet meget udbredt. Blandt funktionerne er følgende:

1. Enheden er repræsenteret af en kombination af en vægt og en fjeder, hvis masse ikke kan tages i betragtning. En række genstande kan fungere som last. Samtidig kan det være påvirket af en ydre kraft. Et almindeligt eksempel er oprettelsen af ​​en sikkerhedsventil, der er installeret i et rørledningssystem. Belastningen er fastgjort til fjederen på forskellige måder. I dette tilfælde anvendes udelukkende den klassiske skrueversion, som er den mest udbredte. De grundlæggende egenskaber afhænger i vid udstrækning af den type materiale, der anvendes i fremstillingen, diameteren af ​​spolen, korrekt justering og mange andre punkter. Yderdrejningerne er ofte lavet på en sådan måde, at de kan modstå en stor belastning under drift.
2. Før deformation begynder, er der ingen total mekanisk energi. I dette tilfælde påvirkes kroppen ikke af elastisk kraft. Hver fjeder har en startposition, som den bevarer over en lang periode. Men på grund af en vis stivhed er kroppen fikseret i udgangspositionen. Det betyder noget, hvordan kraften påføres. Et eksempel er, at den skal rettes langs fjederens akse, da der ellers er mulighed for deformation og mange andre problemer. Hver fjeder har sine egne specifikke kompressions- og forlængelsesgrænser. I dette tilfælde er maksimal kompression repræsenteret af fraværet af et mellemrum mellem individuelle drejninger under spænding, der er et øjeblik, hvor der opstår irreversibel deformation af produktet. Hvis ledningen forlænges for meget, sker der en ændring i de grundlæggende egenskaber, hvorefter produktet ikke vender tilbage til sin oprindelige position.
3. I det pågældende tilfælde opstår vibrationer på grund af virkningen af ​​elastisk kraft. Det er kendetegnet ved et ret stort antal funktioner, der skal tages i betragtning. Effekten af ​​elasticitet opnås på grund af et bestemt arrangement af drejninger og den type materiale, der anvendes under fremstillingen. I dette tilfælde kan den elastiske kraft virke i begge retninger. Oftest forekommer kompression, men strækning kan også udføres - det hele afhænger af karakteristikaene i den særlige sag.
4. En krops bevægelseshastighed kan variere over et ret bredt område, det hele afhænger af påvirkningen. For eksempel kan et fjederpendul flytte en ophængt last i et vandret og lodret plan. Effekten af ​​den rettede kraft afhænger i høj grad af den lodrette eller vandrette installation.

Generelt kan vi sige, at definitionen af ​​et fjederpendul er ret generel. I dette tilfælde afhænger objektets bevægelseshastighed af forskellige parametre, for eksempel størrelsen af ​​den påførte kraft og andre momenter. Før de egentlige beregninger laves et diagram:

1. Støtten, som fjederen er fastgjort til, er angivet. Ofte tegnes en streg med bagskravering for at vise det.
2. Fjederen er vist skematisk. Det er ofte repræsenteret af en bølget linje. I en skematisk visning er længden og diametralindikatoren ligegyldig.
3. Liget er også afbildet. Det behøver ikke at matche dimensionerne, men placeringen af ​​direkte fastgørelse er vigtig.

Et diagram er påkrævet for skematisk at vise alle de kræfter, der påvirker enheden. Kun i dette tilfælde kan vi tage højde for alt, hvad der påvirker bevægelseshastigheden, inerti og mange andre aspekter.

Fjederpendler bruges ikke kun til beregninger eller løsning af forskellige problemer, men også i praksis. Imidlertid er ikke alle egenskaber ved en sådan mekanisme anvendelige.

Et eksempel er tilfældet, når oscillerende bevægelser ikke er nødvendige:

1. Oprettelse af låseelementer.
2. Fjedermekanismer forbundet med transport af forskellige materialer og genstande.

Beregninger af fjederpendulet giver dig mulighed for at vælge den bedst egnede kropsvægt såvel som fjedertypen. Det er kendetegnet ved følgende funktioner:

1. Diameter af drejninger. Det kan være meget forskelligt. Diameteren afgør i høj grad, hvor meget materiale der kræves til produktionen. Spolernes diameter bestemmer også, hvor meget kraft der skal påføres for at opnå fuld kompression eller delvis forlængelse. Men at øge størrelsen kan skabe betydelige vanskeligheder med installationen af ​​produktet.
2. Diameteren af ​​tråden. En anden vigtig parameter er den diametrale størrelse af ledningen. Det kan variere over en bred vifte, afhængig af styrken og graden af ​​elasticitet.
3. Produktets længde. Denne indikator bestemmer, hvor meget kraft der kræves for fuldstændig kompression, samt hvilken elasticitet produktet kan have.
4. Den anvendte type materiale bestemmer også de grundlæggende egenskaber. Oftest er fjederen lavet ved hjælp af en speciel legering, der har de passende egenskaber.

I matematiske udregninger er der ikke taget højde for mange point. Den elastiske kraft og mange andre indikatorer bestemmes ved beregning.

Typer af fjederpendul

Der findes flere forskellige typer fjederpendler. Det er værd at overveje, at klassificering kan udføres i henhold til typen af ​​installeret fjeder. Blandt funktionerne bemærker vi:

1. Lodrette vibrationer er blevet ret udbredte, da der i dette tilfælde ikke er nogen friktionskraft eller anden indflydelse på belastningen. Når lasten er placeret lodret, øges graden af ​​påvirkning af tyngdekraften betydeligt. Denne udførelsesmulighed er almindelig, når der udføres en bred vifte af beregninger. På grund af tyngdekraften er der mulighed for, at kroppen ved udgangspunktet vil udføre et stort antal inertibevægelser. Dette lettes også af kroppens elasticitet og inerti ved slutningen af ​​slaget.
2. Der anvendes også et vandret fjederpendul. I dette tilfælde er belastningen på den understøttende overflade, og friktion opstår også på bevægelsestidspunktet. Når den er placeret vandret, virker tyngdekraften noget anderledes. Kroppens vandrette stilling er blevet udbredt i forskellige opgaver.

Bevægelsen af ​​et fjederpendul kan beregnes ved hjælp af et tilstrækkeligt stort antal forskellige formler, som skal tage højde for indflydelsen af ​​alle kræfter. I de fleste tilfælde er en klassisk fjeder installeret. Blandt funktionerne bemærker vi følgende:

1. Den klassiske oprullede trykfjeder er blevet meget udbredt i dag. I dette tilfælde er der et mellemrum mellem svingene, som kaldes en pitch. Trykfjederen kan strække sig, men ofte er den ikke installeret til dette. Et karakteristisk træk er, at de sidste drejninger er lavet i form af et plan, hvilket sikrer ensartet kraftfordeling.
2. En stretch-version kan installeres. Den er designet til installation i tilfælde, hvor den påførte kraft forårsager en stigning i længden. Til fastgørelse sættes kroge.

Resultatet er en svingning, der kan vare i lang tid. Ovenstående formel giver dig mulighed for at udføre en beregning under hensyntagen til alle punkter.

Formler for perioden og frekvensen af ​​oscillation af et fjederpendul

Ved design og beregning af hovedindikatorerne er der også meget opmærksomhed på svingningsfrekvensen og -perioden. Cosinus er en periodisk funktion, der bruger en værdi, der ikke ændrer sig efter et vist tidsrum. Denne indikator kaldes oscillationsperioden for et fjederpendul. Bogstavet T bruges til at betegne denne indikator. Begrebet, der karakteriserer værdien omvendt til oscillationsperioden (v), bruges også ofte. I de fleste tilfælde bruges formlen T=1/v i beregninger.

Oscillationsperioden beregnes ved hjælp af en noget kompliceret formel. Det er som følger: T=2п√m/k. For at bestemme oscillationsfrekvensen bruges formlen: v=1/2п√k/m.

Den betragtede cykliske frekvens af oscillation af et fjederpendul afhænger af følgende punkter:

1. Massen af ​​en last, der er fastgjort til en fjeder. Denne indikator betragtes som den vigtigste, da den påvirker en række parametre. Inertikraften, hastigheden og mange andre indikatorer afhænger af massen. Derudover er lastens masse en mængde, hvis måling ikke giver problemer på grund af tilstedeværelsen af ​​specielt måleudstyr.
2. Elasticitetskoefficient. For hvert forår er denne indikator markant anderledes. Elasticitetskoefficienten er angivet for at bestemme fjederens hovedparametre. Denne parameter afhænger af antallet af vindinger, produktets længde, afstanden mellem vindingerne, deres diameter og meget mere. Det bestemmes på en række forskellige måder, ofte ved hjælp af specialudstyr.

Glem ikke, at når fjederen er stærkt strakt, ophører Hookes lov med at gælde. I dette tilfælde begynder perioden med fjederoscillation at afhænge af amplituden.

Den universelle tidsenhed, i de fleste tilfælde sekunder, bruges til at måle perioden. I de fleste tilfælde beregnes amplituden af ​​oscillationer ved løsning af en række problemer. For at forenkle processen er der konstrueret et forenklet diagram, der viser hovedkræfterne.

Formler for amplituden og den indledende fase af et fjederpendul

Efter at have besluttet funktionerne i de involverede processer og kende oscillationsligningen for fjederpendulet såvel som startværdierne, kan du beregne amplituden og den indledende fase af fjederpendulet. Værdien af ​​f bruges til at bestemme den indledende fase, og amplituden er angivet med symbolet A.

For at bestemme amplituden kan formlen bruges: A = √x 2 +v 2 /w 2. Den indledende fase beregnes ved hjælp af formlen: tgf=-v/xw.

Ved hjælp af disse formler kan du bestemme de vigtigste parametre, der bruges i beregningerne.

Vibrationsenergi af et fjederpendul

Når man overvejer svingningen af ​​en belastning på en fjeder, skal man tage højde for, at pendulets bevægelse kan beskrives med to punkter, det vil sige, at den er retlinet. Dette tidspunkt bestemmer opfyldelsen af ​​betingelserne vedrørende den pågældende styrke. Vi kan sige, at den samlede energi er potentiel.

Det er muligt at beregne oscillationsenergien for et fjederpendul ved at tage hensyn til alle funktionerne. Hovedpunkterne er følgende:

1. Oscillationer kan finde sted i det vandrette og lodrette plan.
2. Nul potentiel energi er valgt som ligevægtsposition. Det er på dette sted, at oprindelsen af ​​koordinater etableres. Som regel bevarer fjederen i denne position sin form, forudsat at der ikke er nogen deformerende kraft.
3. I det pågældende tilfælde tager den beregnede energi af fjederpendulet ikke højde for friktionskraften. Når belastningen er lodret, er friktionskraften ubetydelig, når belastningen er vandret, kroppen er på overfladen, og friktion kan forekomme under bevægelse.
4. For at beregne vibrationsenergien bruges følgende formel: E=-dF/dx.

Ovenstående information indikerer, at loven om energibevarelse er som følger: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=konst. Den anvendte formel siger følgende:

Det er muligt at bestemme oscillationsenergien for et fjederpendul ved løsning af en række problemer.

Frie svingninger af et fjederpendul

Når man overvejer, hvad der forårsager de frie vibrationer af et fjederpendul, skal man være opmærksom på virkningen af ​​indre kræfter. De begynder at dannes næsten umiddelbart efter bevægelse er blevet overført til kroppen. Funktioner af harmoniske svingninger omfatter følgende punkter:

1. Der kan også opstå andre typer kræfter af påvirkende karakter, som opfylder alle lovens normer, kaldet kvasi-elastiske.
2. Hovedårsagerne til lovens handling kan være indre kræfter, der dannes umiddelbart i det øjeblik, hvor kroppens position ændres i rummet. I dette tilfælde har belastningen en vis masse, kraften skabes ved at fastgøre den ene ende til en stationær genstand med tilstrækkelig styrke, den anden til selve belastningen. I mangel af friktion kan kroppen udføre oscillerende bevægelser. I dette tilfælde kaldes den faste belastning lineær.

Vi bør ikke glemme, at der simpelthen er et stort antal forskellige typer systemer, hvori oscillerende bevægelse forekommer. Elastisk deformation forekommer også i dem, hvilket bliver årsagen til deres brug til at udføre ethvert arbejde.

Definition

Fjeder pendel kaldes et system, der består af en elastisk fjeder, som en last er fastgjort til.

Lad os antage, at belastningens masse er $m$ og fjederens elasticitetskoefficient er $k$. Fjederens masse i et sådant pendul tages normalt ikke i betragtning. Hvis vi betragter lastens lodrette bevægelser (fig. 1), så bevæger den sig under påvirkning af tyngdekraften og elastisk kraft, hvis systemet tages ud af ligevægt og overlades til sig selv.

Svingningsligninger af et fjederpendul

Et fjederpendul, der svinger frit, er et eksempel på en harmonisk oscillator. Lad os antage, at pendulet svinger langs X-aksen Hvis svingningerne er små, er Hookes lov opfyldt, så har bevægelsesligningen for belastningen formen:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\venstre(1\højre),\]

hvor $(нu)^2_0=\frac(k)(m)$ er den cykliske frekvens af svingninger af fjederpendulet. Løsningen til ligning (1) er funktionen:

hvor $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ er den cykliske frekvens af svingninger af pendulet, $A$ er amplituden af ​​svingninger; $((\omega )_0t+\varphi)$ - oscillationsfase; $\varphi $ og $(\varphi )_1$ er de indledende faser af oscillationer.

I eksponentiel form kan svingningerne af et fjederpendul skrives som:

Formler for perioden og frekvensen af ​​oscillation af et fjederpendul

Hvis Hookes lov er opfyldt i elastiske vibrationer, beregnes svingningsperioden for et fjederpendul ved hjælp af formlen:

Da oscillationsfrekvensen ($\nu $) er den reciproke af perioden, så:

\[\nu =\frac(1)(T)=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\venstre(5\højre).\]

Formler for amplituden og den indledende fase af et fjederpendul

Ved at kende ligningen for svingninger for et fjederpendul (1 eller 2) og startbetingelserne, kan man fuldstændigt beskrive de harmoniske svingninger af et fjederpendul. De indledende betingelser er bestemt af amplituden ($A$) og den indledende fase af svingninger ($\varphi $).

Amplituden kan findes som:

den indledende fase i dette tilfælde:

hvor $v_0$ er lastens hastighed ved $t=0\ c$, når lastens koordinat er $x_0$.

Vibrationsenergi af et fjederpendul

I den endimensionelle bevægelse af et fjederpendul er der kun én vej mellem to punkter i dets bevægelse, derfor er betingelsen om kraftpotentialitet opfyldt (enhver kraft kan betragtes som potentiel, hvis den kun afhænger af koordinaterne). Da kræfterne, der virker på et fjederpendul, er potentielle, kan vi tale om potentiel energi.

Lad fjederpendulet svinge i vandret plan (fig. 2). Lad os tage positionen af ​​dens ligevægt som den potentielle nulenergi af pendulet, hvor vi placerer oprindelsen af ​​koordinater. Vi tager ikke højde for friktionskræfter. Brug af formlen, der relaterer potentiel kraft og potentiel energi for det endimensionelle tilfælde:

under hensyntagen til, at for et fjederpendul $F=-kx$,

så er fjederpendulets potentielle energi ($E_p$) lig med:

Vi skriver loven om bevarelse af energi for et fjederpendul som:

\[\frac(m(\dot(x))^2)(2)+\frac(m((\omega )_0)^2x^2)(2)=const\ \left(10\right), \]

hvor $\dot(x)=v$ er lastens hastighed; $E_k=\frac(m(\dot(x))^2)(2)$ er pendulets kinetiske energi.

Ud fra formel (10) kan følgende konklusioner drages:

• Den maksimale kinetiske energi af et pendul er lig med dets maksimale potentielle energi.
• Oscillatorens tidsgennemsnitlige kinetiske energi er lig med dens tidsgennemsnitlige potentielle energi.

Eksempler på problemer med løsninger

Eksempel 1

Dyrke motion. En lille kugle med en masse på $m=0,36$ kg er fastgjort til en vandret fjeder, hvis elasticitetskoefficient er lig med $k=1600\ \frac(N)(m)$. Hvad var den indledende forskydning af bolden fra ligevægtspositionen ($x_0$), hvis den svinger gennem den med en hastighed på $v=1\ \frac(m)(s)$?

Løsning. Lad os lave en tegning.

Ifølge loven om bevarelse af mekanisk energi (da vi antager, at der ikke er friktionskræfter), skriver vi:

hvor $E_(pmax)$ er boldens potentielle energi ved dens maksimale forskydning fra ligevægtspositionen; $E_(kmax\ )$ er boldens kinetiske energi i det øjeblik, den passerer ligevægtspositionen.

Potentiel energi er lig med:

I overensstemmelse med (1.1), vi sidestiller højre side af (1.2) og (1.3), har vi:

\[\frac(mv^2)(2)=\frac(k(x_0)^2)(2)\venstre(1.4\højre).\]

Fra (1.4) udtrykker vi den påkrævede værdi:

Lad os beregne den indledende (maksimale) forskydning af belastningen fra ligevægtspositionen:

Svar.$x_0=1,5$ mm

Eksempel 2

Dyrke motion. Et fjederpendul svinger efter loven: $x=A(\cos \venstre(\omega t\right),\ \ )\ $hvor $A$ og $\omega $ er konstanter. Når gendannelseskraften først når $F_0,$ er lastens potentielle energi $E_(p0)$. På hvilket tidspunkt vil dette ske?

Løsning. Genopretningskraften for et fjederpendul er den elastiske kraft svarende til:

Vi finder den potentielle vibrationsenergi af belastningen som:

På det tidspunkt, der skulle findes $F=F_0$; $E_p=E_(p0)$, betyder:

\[\frac(E_(p0))(F_0)=-\frac(A)(2)(\cos \left(\omega t\right)\ )\to t=\frac(1)(\omega ) \arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ ).\]

Svar.$t=\frac(1)(\omega )\ arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ )$

Lad os overveje det enkleste system, hvor mekaniske vibrationer kan realiseres. Lad os antage, at en last med masse $m$ er ophængt på en elastisk fjeder, hvis stivhed er $k,$. Belastningen bevæger sig under påvirkning af tyngdekraften og elasticiteten, hvis systemet tages ud af ligevægt og overlades til sig selv. Vi anser fjederens masse for at være lille i forhold til belastningens masse.

Ligningen for belastningens bevægelse under sådanne svingninger har formen:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\venstre(1\højre),\]

hvor $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ er fjederpendulets cykliske svingningsfrekvens. Løsningen til ligning (1) er funktionen:

hvor $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ er den cykliske frekvens af svingninger af pendulet, $A$ og $B$ er amplituden af ​​oscillationer; $((\omega )_0t+\varphi)$ - oscillationsfase; $\varphi $ og $(\varphi )_1$ er de indledende faser af oscillationer.

Hyppighed og periode for oscillation af et fjederpendul

Cosinus (sinus) er en periodisk funktion, forskydningen $x$ vil tage de samme værdier med visse lige store tidsintervaller, som kaldes oscillationsperioden. Perioden er betegnet med bogstavet T.

En anden størrelse, der karakteriserer oscillationer, er den gensidige af oscillationsperioden, den kaldes frekvens ($\nu $):

Perioden er relateret til den cykliske frekvens af svingninger som:

Ved at vide, at for et fjederpendul $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, definerer vi dets svingningsperiode som:

Fra udtryk (5) ser vi, at svingningsperioden for et fjederpendul afhænger af massen af ​​belastningen placeret på fjederen og fjederens elasticitetskoefficient, men afhænger ikke af svingningsamplituden (A). Denne egenskab ved oscillationer kaldes isokroni. Isokroni gælder, så længe Hookes lov gælder. Ved store strækninger af kilden bliver Hookes lov overtrådt, og der opstår en afhængighed af svingningerne af amplituden. Bemærk, at formel (5) til beregning af svingningsperioden for et fjederpendul er gyldig for små svingninger.

Måleenheden for en periode er tid, i det internationale system af enheder er det sekunder:

\[\venstre=с.\]

Eksempler på problemer for perioden med svingning af et fjederpendul

Eksempel 1

Dyrke motion. En lille belastning blev fastgjort til en elastisk fjeder, og fjederen strakt med $\Delta x$=0,09 m. Hvad vil svingningsperioden være for dette fjederpendul, hvis det bliver slynget ud af balance?

Løsning. Lad os lave en tegning.

Lad os overveje ligevægtstilstanden for et fjederpendul. Vægten påsættes, hvorefter fjederen strækkes med mængden $\Delta x$, pendulet er i ligevægtstilstand. Der er to kræfter, der virker på belastningen: tyngdekraft og elastisk kraft. Lad os nedskrive Newtons anden lov for belastningens ligevægtstilstand:

Lad os skrive projektionen af ​​ligning (1.1) på Y-aksen:

Da belastningen i henhold til problemets betingelser er lille, strakte fjederen sig ikke meget, derfor er Hookes lov opfyldt, vi finder størrelsen af ​​den elastiske kraft som:

Ved hjælp af udtryk (1.2) og (1.3) finder vi forholdet $\frac(m)(k)$:

Svingningsperioden for et fjederpendul for små svingninger kan findes ved hjælp af udtrykket:

Ved at erstatte forholdet mellem belastningsmassen og fjederstivheden med højre side af udtryk (1.4), får vi:

Lad os beregne oscillationsperioden for vores pendul, hvis $g=9.8\ \frac(m)(s^2)$:

Svar.$T$=0,6 s

Eksempel 2

Dyrke motion. To fjedre med stivhed $k_1$ og $k_2$ er forbundet i serie (fig. 2), en belastning af masse $m$ er fastgjort til enden af ​​den anden fjeder Hvad er svingningsperioden for dette fjederpendul, hvis fjedrenes masser kan negligeres, den elastiske kraft, der virker på belastningen, overholder Hookes lov.

Løsning. Svingningsperioden for et fjederpendul er lig med:

Hvis to fjedre er forbundet i serie, er deres resulterende stivhed ($k$) fundet som:

\[\frac(1)(k)=\frac(1)(k_1)+\frac(1)(k_2)\til k=\frac(k_1k_2)(k_1(+k)_2)\venstre(2.2\ højre).\]

I stedet for $k$ i formlen til beregning af perioden for et fjederpendul, erstatter vi højre side af udtrykket (2.2), vi har:

Svar.$T=2\pi \sqrt(\frac(m(k_1(+k)_2))(k_1k_2))$

), hvis den ene ende er stift fast, og på den anden er der en last med masse m.

Når en elastisk kraft virker på et massivt legeme og returnerer det til en ligevægtsposition, svinger det rundt om denne position. Sådan et legeme kaldes et fjederpendul. Oscillationer opstår under påvirkning af en ekstern kraft. Svingninger, der fortsætter efter den ydre kraft er ophørt med at virke, kaldes frie. Oscillationer forårsaget af påvirkning af en ekstern kraft kaldes forceret. I dette tilfælde kaldes selve kraften forcering.

I det enkleste tilfælde er et fjederpendul et stift legeme, der bevæger sig langs et vandret plan, fastgjort med en fjeder til en væg.

Newtons anden lov for et sådant system, forudsat at der ikke er nogen ydre kræfter og friktionskræfter, har formen:

Hvis systemet er påvirket af eksterne kræfter, vil vibrationsligningen blive omskrevet som følger:

, Hvor f(x)- dette er resultatet af eksterne kræfter relateret til en enhedsmasse af lasten.

I tilfælde af dæmpning proportional med oscillationshastigheden med koefficienten c:

se også

Links

Wikimedia Foundation. 2010.

Se, hvad et "forårspendul" er i andre ordbøger:

Dette udtryk har andre betydninger, se Pendulum (betydninger). Svingninger af et pendul: pile angiver vektorerne for hastighed (v) og acceleration (a) ... Wikipedia

Pendulum- en enhed, der ved at oscillere regulerer urmekanismens bevægelse. Fjeder pendel. En regulerende del af et ur, bestående af et pendul og dets fjeder. Før opfindelsen af ​​pendulfjederen blev ure drevet af et pendul.... ... Ordbog over ure

PENDUL- (1) matematisk (eller simpel) (fig. 6) et legeme af lille størrelse, frit ophængt fra et fast punkt på en uudvidelig tråd (eller stang), hvis masse er ubetydelig sammenlignet med massen af ​​et legeme, der udfører harmonisk (se) ... ... Big Polytechnic Encyclopedia

En solid krop, der udfører under påvirkning af en applikation. vibrationskræfter ca. fikspunkt eller akse. Matematisk matematik kaldes et materiale punkt ophængt fra et fast punkt på en vægtløs uudvidelig tråd (eller stang) og under påvirkning af kraft... ... Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

Fjeder pendul ur- fjederpendul - den regulerende del af et ur, også brugt i mellemstore og små ure (bærbare ure, bordure osv.) ... Urordbog - en lille spiralfjeder fastgjort i enderne til pendulet og dets hammer. Fjederpendlet regulerer uret, hvis nøjagtighed afhænger til dels af kvaliteten af ​​pendulfjederen... Ures ordbog

GOST R 52334-2005: Tyngdekraftsudforskning. Begreber og definitioner- Terminologi GOST R 52334 2005: Tyngdekraftsudforskning. Begreber og definitioner originalt dokument: (gravimetrisk) undersøgelse Gravimetrisk undersøgelse udført på land. Definitioner af begrebet fra forskellige dokumenter: (gravimetrisk) undersøgelse 95... ... Ordbogsopslagsbog med vilkår for normativ og teknisk dokumentation