Научно-практическа конференция
Общинско учебно заведение "Средно" общообразователно училище№ 23"
град Вологда
раздел: естествени науки
проектиране и изследователска работа
ВИДОВЕ СИМЕТРИЯ
Работата е изпълнена от ученик от 8 клас
Кренева Маргарита
Ръководител: висш учител по математика
2014 година
Структура на проекта:
1. Въведение.
2. Цели и задачи на проекта.
3. Видове симетрия:
3.1. Централна симетрия;
3.2. Аксиална симетрия;
3.3. Огледална симетрия (симетрия спрямо равнина);
3.4. Ротационна симетрия;
3.5. Преносима симетрия.
4. Изводи.
Симетрията е идеята, чрез която човекът от векове се е опитвал да разбере и създаде ред, красота и съвършенство.
Г. Уайл
Въведение.
Темата на моята работа беше избрана след изучаване на раздела „Аксиална и централна симетрия“ в курса „Геометрия за 8 клас“. Много се заинтересувах от тази тема. Исках да знам: какви видове симетрия съществуват, как се различават един от друг, какви са принципите за конструиране на симетрични фигури във всеки тип.
Цел на работата : Въведение в различните видове симетрия.
Задачи:
Проучете литературата по този въпрос.
Обобщете и систематизирайте изучения материал.
Подгответе презентация.
В древни времена думата „СИМЕТРИЯ“ се е използвала със значението на „хармония“, „красота“. В превод от гръцки тази дума означава „съразмерност, пропорционалност, еднаквост в подреждането на частите на нещо според противоположни страниот точка, линия или равнина.
Има две групи симетрии.
Първата група включва симетрия на позиции, форми, структури. Това е симетрията, която може да се види директно. Може да се нарече геометрична симетрия.
Втората група характеризира симетрията физични явленияи законите на природата. Тази симетрия е в самата същност природонаучна картинасвят: може да се нарече физическа симетрия.
Ще спра да учагеометрична симетрия .
От своя страна също има няколко вида геометрична симетрия: централна, аксиална, огледална (симетрия спрямо равнината), радиална (или ротационна), преносима и други. Днес ще разгледам 5 вида симетрия.
Централна симетрия
Две точки А и А 1 се наричат симетрични по отношение на точка O, ако лежат на права линия, минаваща през точка O и са разположени по различни странина същото разстояние от него. Точка O се нарича център на симетрия.
Казва се, че фигурата е симетрична спрямо точкатаОТНОСНО , ако за всяка точка от фигурата има точка, симетрична на нея спрямо точкатаОТНОСНО също принадлежи към тази фигура. ТочкаОТНОСНО наречен център на симетрия на фигура, се казва, че фигурата има централна симетрия.
Примери за фигури с централна симетрия са кръг и успоредник.
Фигурите, показани на слайда, са симетрични спрямо определена точка
2. Аксиална симетрия
Две точких И Y се наричат симетрични спрямо права линияT , ако тази права минава през средата на отсечката XY и е перпендикулярна на нея. Трябва също да се каже, че всяка точка е права линияT се счита за симетрично на себе си.
НаправоT – ос на симетрия.
Казва се, че фигурата е симетрична спрямо права линияT, ако за всяка точка от фигурата има точка, симетрична на нея спрямо праватаT също принадлежи към тази фигура.
НаправоTнаречена ос на симетрия на фигура, се казва, че фигурата има аксиална симетрия.
Неразвитият ъгъл, равнобедреният ъгъл и ъгълът имат аксиална симетрия. равностранен триъгълники правоъгълник и ромб,писма (вижте презентацията).
Огледална симетрия (симетрия спрямо равнина)
Две точки П 1 И Казват, че P са симетрични по отношение на равнината и ако лежат на права линия, перпендикулярна на равнината a, и са на същото разстояние от него
Огледална симетрия добре познат на всеки човек. Той свързва всеки обект и неговото отражение в него плоско огледало. Казват, че една фигура е огледално симетрична на друга.
На равнина фигура с безброй оси на симетрия беше кръг. В пространството една топка има безброй равнини на симетрия.
Но ако един кръг е единствен по рода си, то в триизмерния свят има цяла линиятела с безкраен брой равнини на симетрия: прав цилиндър с кръг в основата, конус с кръгла основа, топка.
Лесно е да се установи, че всяка симетрична плоска фигура може да бъде подравнена сама със себе си с помощта на огледало. Учудващо е, че такива сложни фигури, като звезда с пет лъча или равностранен петоъгълник, също са симетрични. Тъй като това следва от броя на осите, те се отличават с висока симетрия. И обратното: не е толкова лесно да се разбере защо това изглежда правилна фигура, като наклонен успоредник, е асиметричен.
4. П ротационна симетрия (или радиална симетрия)
Ротационна симетрия - това е симетрия, запазване на формата на обектпри завъртане около определена ос на ъгъл, равен на 360°/н(или кратно на тази стойност), къдетон= 2, 3, 4, … Посочената ос се нарича ротационна осн-та поръчка.
Приn=2 всички точки на фигурата са завъртяни на ъгъл 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) около оста, като формата на фигурата се запазва, т.е. всяка точка от фигурата отива в точка от същата фигура (фигурата се трансформира в себе си). Оста се нарича ос от втори ред.
Фигура 2 показва ос от трети ред, Фигура 3 - 4-ти ред, Фигура 4 - 5-ти ред.
Един обект може да има повече от една ос на въртене: Фиг. 1 - 3 оси на въртене, Фиг. 2 - 4 оси, Фиг. 3 - 5 оси, Фиг. 4 – само 1 ос
Добре познатите букви „I” и „F” имат ротационна симетрия.Ако завъртите буквата „I” на 180° около ос, перпендикулярна на равнината на буквата и минаваща през нейния център, буквата ще се изравни със себе си. С други думи, буквата "I" е симетрична по отношение на завъртане от 180°, 180°= 360°: 2,н=2, което означава, че има симетрия от втори ред.
Имайте предвид, че буквата "F" също има ротационна симетрия от втори ред.
Освен това буквата има център на симетрия, а буквата F има ос на симетрия
Да се върнем към примери от живота: чаша, конусовидна лира сладолед, парче тел, лула.
Ако погледнем по-отблизо тези тела, ще забележим, че всички те, по един или друг начин, се състоят от кръг, през безкрайно множествочиито оси на симетрия минават през безброй равнини на симетрия. Повечето от тези тела (те се наричат тела на въртене) също имат, разбира се, център на симетрия (център на окръжност), през който минава поне една ротационна ос на симетрия.
Например, ясно се вижда оста на фунийката на сладоледа. Тя минава от средата на кръга (стърчи от сладоледа!) до острия край на конуса на фунията. Ние възприемаме съвкупността от елементи на симетрия на едно тяло като вид мярка на симетрия. Топката, без съмнение, по отношение на симетрията е ненадминато въплъщение на съвършенството, идеал. Древните гърци са го възприемали като най-съвършеното тяло, а кръгът, естествено, като най-съвършената плоска фигура.
За да се опише симетрията на конкретен обект, е необходимо да се посочат всички оси на въртене и техният ред, както и всички равнини на симетрия.
Да разгледаме например геометрично тяло, съставено от две еднакви правилни четириъгълни пирамиди.
Има една ротационна ос от 4-ти ред (ос AB), четири ротационни оси от 2-ри ред (оси CE,DF, MP, NQ), пет равнини на симетрия (равниниCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).
5 . Преносима симетрия
Друг вид симетрия епреносим с симетрия.
За такава симетрия се говори, когато при преместване на фигура по права линия на някакво разстояние "а" или разстояние, което е кратно на тази стойност, тя съвпада със себе си Правата линия, по която се извършва прехвърлянето, се нарича ос на прехвърляне, а разстоянието "а" се нарича елементарен пренос, период или стъпка на симетрия.
А
Периодично повтарящ се модел върху дълга лента се нарича граница. В практиката бордюрите се срещат в различни форми (стенопис, чугун, гипсови барелефи или керамика). Границите се използват от художници, когато декорират стая. За да направите тези орнаменти, се прави шаблон. Преместваме шаблона, обръщаме го или не, проследяваме контура, повтаряме шаблона и получаваме орнамент (визуална демонстрация).
Границата е лесна за изграждане с помощта на шаблон (началния елемент), преместване или обръщане и повтаряне на шаблона. Фигурата показва пет вида шаблони:А ) асиметричен;b, c ) с една ос на симетрия: хоризонтална или вертикална;Ж ) централно симетричен;д ) с две оси на симетрия: вертикална и хоризонтална.
За изграждане на граници се използват следните трансформации:
А
) паралелен трансфер;b
) симетрия спрямо вертикалната ос;V
) централна симетрия;Ж
) симетрия спрямо хоризонталната ос.
По същия начин можете да изградите гнезда. За да направите това, кръгът е разделен нан равни сектори, като в един от тях се прави образец на шаблона и след това последният се повтаря последователно в останалите части на кръга, като шаблонът се завърта всеки път на ъгъл 360°/н .
Ярък пример за използването на аксиална и преносима симетрия е оградата, показана на снимката.
Заключение: Следователно има различни видовесиметрии, симетричните точки във всеки от тези видове симетрия се изграждат според определени закони. В живота се сблъскваме с един вид симетрия навсякъде и често в обектите, които ни заобикалят, могат да се отбележат няколко вида симетрия наведнъж. Това създава ред, красота и съвършенство в света около нас.
ЛИТЕРАТУРА:
Ръководство за елементарна математика. М.Я. Вигодски. – Издателство “Наука”. – Москва 1971г – 416 страници.
Модерен речник чужди думи. - М.: Руски език, 1993.
История на математиката в училищеIX - хкласове. Г.И. Глейзър. – Издателство „Просвещение”. – Москва 1983г – 351 страници.
Нагледна геометрия 5-6 клас. И.Ф. Шаригин, Л.Н. Ерганжиева. – Издателство „Дрофа”, Москва 2005г. – 189 страници
Енциклопедия за деца. Биология. С. Исмаилова. – Издателство Аванта+. – Москва 1997г – 704 страници.
Урманцев Ю.А. Симетрия на природата и природата на симетрията - М.: Мисл arxitekt / архкомп2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/
Нека g е фиксирана права (фиг. 191). Нека вземем произволна точка X и пуснем перпендикуляра AX на правата g. В продължението на перпендикуляра отвъд точка А оставяме настрана сегмента AX", равен на сегментаОХ Казва се, че точка X" е симетрична на точка X спрямо права линия g.
Ако точка X лежи на права g, тогава точката, симетрична на нея, е самата точка X. Очевидно точката, симетрична на точката X, е точка X.
Трансформацията на фигура F във фигура F", при която всяка нейна точка X минава към точка X", симетрична спрямо дадена права g, се нарича трансформация на симетрия спрямо права g. В този случай фигурите F и F" се наричат симетрични по отношение на права линия g (фиг. 192).
Ако трансформация на симетрия по отношение на права g приема фигура F в себе си, тогава тази фигура се нарича симетрична по отношение на права g, а правата g се нарича ос на симетрия на фигурата.
Например, прави линии, минаващи през пресечната точка на диагоналите на правоъгълник, успоредни на неговите страни, са осите на симетрия на правоъгълника (фиг. 193). Правите, върху които лежат диагоналите на ромба, са неговите оси на симетрия (фиг. 194).
Теорема 9.3. Трансформацията на симетрията спрямо права линия е движение.
Доказателство. Нека вземем тази права линия като оста у Декартова системакоординати (фиг. 195). Нека произволна точка A (x; y) на фигурата F минава към точката A" (x"; y") на фигурата F". От определението за симетрия по отношение на права линия следва, че точките А и А" имат равни ординати, а абсцисите се различават само по знак:
x"= -x.
Да вземем две произволни точки A(x 1; y 1) и B (x 2; y 2) – Те ще се преместят в точки A" (- x 1, y 1) и B" (-x 2; y 2).
AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.
От това става ясно, че AB = A "B". И това означава, че трансформацията на симетрията спрямо права линия е движение. Теоремата е доказана.
симетрия архитектурна фасада сграда
Симетрията е понятие, което отразява съществуващия в природата ред, пропорционалност и пропорционалност между елементите на всяка система или обект на природата, подреденост, баланс на системата, стабилност, т.е. някакъв елемент на хармония.
Минаха хилядолетия, преди човечеството в хода на своята обществена и производствена дейност да осъзнае необходимостта да изрази в определени понятия двете тенденции, установени преди всичко в природата: наличието на строга подреденост, пропорционалност, баланс и тяхното нарушаване. Хората отдавна обръщат внимание на правилната форма на кристалите, геометричната строгост на структурата на пчелните пити, последователността и повторяемостта на подреждането на клони и листа на дървета, венчелистчета, цветя, семена на растения и отразяват тази подреденост в техните практически дейности, мислене и изкуство.
Обектите и явленията от живата природа имат симетрия. Той не само радва окото и вдъхновява поети от всички времена и народи, но позволява на живите организми да се адаптират по-добре към околната среда и просто да оцелеят.
В живата природа по-голямата част от живите организми проявяват различни видове симетрии (форма, сходство, относително местоположение). Освен това организми с различна анатомична структура могат да имат един и същ тип външна симетрия.
Принципът на симетрията гласи, че ако пространството е хомогенно, преместването на система като цяло в пространството не променя свойствата на системата. Ако всички посоки в пространството са еквивалентни, тогава принципът на симетрията позволява въртенето на системата като цяло в пространството. Принципът на симетрията се спазва, ако произходът на времето се промени. В съответствие с принципа е възможно да се направи преход към друга референтна система, движеща се спрямо тази система с постоянна скорост. Неживият свят е много симетричен. Често нарушения на симетрията в квантова физика елементарни частици- това е проява на още по-дълбока симетрия. Асиметрията е структурообразуващ и творчески принцип на живота. В живите клетки функционално значимите биомолекули са асиметрични: протеините се състоят от лявовъртящи аминокиселини (L-форма) и нуклеинова киселинаТе съдържат, в допълнение към хетероцикличните бази, дясновъртящи се въглехидрати - захари (D-форма), освен това самата ДНК - основата на наследствеността е дясна двойна спирала.
Принципите на симетрията са в основата на теорията на относителността, квантова механика, физици твърдо, ядрени и ядрена физика, физика на елементарните частици. Тези принципи са най-ясно изразени в инвариантните свойства на законите на природата. Тук не става въпрос само за физични закони, но и други, например биологични. Пример за биологичен закон за запазване е законът за наследството. Основава се на инвариантност биологични свойствавъв връзка с прехода от едно поколение към друго. Съвсем очевидно е, че без законите за опазване (физически, биологични и други), нашият свят просто не би могъл да съществува.
По този начин симетрията изразява запазването на нещо въпреки някои промени или запазването на нещо въпреки промяната. Симетрията предполага неизменност не само на самия обект, но и на всяко негово свойство по отношение на трансформациите, извършени върху обекта. Неизменността на определени обекти може да се наблюдава по отношение на различни операции - ротации, транслации, взаимна замяна на части, отражения и др.
Нека разгледаме видовете симетрия в математиката:
- * централно (спрямо точката)
- * аксиален (сравнително прав)
- * огледало (спрямо самолета)
- 1. Централна симетрия (Приложение 1)
Една фигура се нарича симетрична спрямо точка O, ако за всяка точка от фигурата точка, симетрична спрямо точка O, също принадлежи на тази фигура. Точка O се нарича център на симетрия на фигурата.
Концепцията за център на симетрия се среща за първи път през 16 век. В една от теоремите на Клавий, която гласи: „ако паралелепипед се разреже от равнина, минаваща през центъра, тогава той се разделя наполовина и, обратно, ако паралелепипед се разреже наполовина, тогава равнината минава през центъра.“ Лежандр, който пръв представи елементарна геометрияелементи от учението за симетрията, показва, че прав паралелепипедима 3 равнини на симетрия, перпендикулярни на ръбовете, а кубът има 9 равнини на симетрия, от които 3 са перпендикулярни на ръбовете, а останалите 6 минават през диагоналите на лицата.
Примери за фигури, които имат централна симетрия, са кръгът и успоредникът.
В алгебрата, когато се изучават четни и нечетни функции, се разглеждат техните графики. Когато е построена, графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатната ос, а графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото, т.е. точка O. Така че, не дори функцияима централна симетрия, а четната функция е аксиална.
2. Аксиална симетрия (Приложение 2)
Една фигура се нарича симетрична спрямо права a, ако за всяка точка от фигурата точка, симетрична спрямо права a, също принадлежи на тази фигура. Правата а се нарича ос на симетрия на фигурата. Също така се казва, че фигурата има аксиална симетрия.
В повече в тесен смисълоста на симетрия се нарича ос на симетрия от втори ред и говори за „аксиална симетрия“, която може да се дефинира по следния начин: фигура (или тяло) има аксиална симетрия спрямо определена ос, ако всяка нейна точка E съответства на точка F, принадлежаща на същата фигура, така че отсечката EF е перпендикулярна на оста, пресича я и в пресечната точка е разделена наполовина.
Ще дам примери за фигури, които имат аксиална симетрия. Неразвитият ъгъл има една ос на симетрия - правата линия, на която е разположена ъглополовящата на ъгъла. Равнобедреният (но не равностранен) триъгълник също има една ос на симетрия, а равностранният триъгълник има три оси на симетрия. Правоъгълник и ромб, които не са квадрати, имат по две оси на симетрия, а квадратът има четири оси на симетрия. Кръгът има безкраен брой от тях - всяка права линия, минаваща през центъра му, е ос на симетрия.
Има фигури, които нямат нито една ос на симетрия. Такива фигури включват успоредник, различен от правоъгълник, и мащабиран триъгълник.
3. Огледална симетрия (Приложение 3)
Огледалната симетрия (симетрия спрямо равнина) е преобразуване на пространството върху себе си, при което всяка точка M преминава в точка M1, която е симетрична спрямо нея спрямо тази равнина.
Огледалната симетрия е добре позната на всеки човек от ежедневните наблюдения. Както показва самото име, огледалната симетрия свързва всеки обект и неговото отражение в плоско огледало. Една фигура (или тяло) се нарича огледално симетрична спрямо друга, ако заедно образуват огледално симетрична фигура (или тяло).
Играчите на билярд отдавна са запознати с действието на отражението. Техните „огледала“ са страните на игралното поле, а ролята на лъч светлина се играе от траекториите на топките. След като удари страната близо до ъгъла, топката се търкаля към страната, разположена под прав ъгъл, и след като се отрази от нея, се движи обратно успоредно на посоката на първия удар.
Трябва да се отбележи, че две симетрични фигуриили две симетрични части на една фигура с всичките им прилики, равенство на обеми и повърхности, в общ случай, са неравни, т.е. те не могат да се комбинират помежду си. Това са различни фигури, те не могат да бъдат заменени една с друга, например дясната ръкавица, ботуш и т.н. не е подходящ за лява ръка или крак. Елементите могат да имат един, два, три и т.н. равнини на симетрия. Например права пирамида, чиято основа е равнобедрен триъгълник, е симетрична спрямо една равнина P. Призма със същата основа има две равнини на симетрия. Правилният шестоъгълна призмаима седем от тях. Тела на въртене: топка, тор, цилиндър, конус и др. имат безкраен бройравнини на симетрия.
Древните гърци са вярвали, че Вселената е симетрична, просто защото симетрията е красива. Въз основа на съображения за симетрия те направиха редица предположения. Така Питагор (5 век пр.н.е.), считайки сферата за най-симетрична и перфектна форма, направи заключение за сферичността на Земята и нейното движение по сферата. В същото време той вярваше, че Земята се движи по сферата на определен „централен огън“. Според Питагор шестте планети, известни по онова време, както и Луната, Слънцето и звездите, трябваше да се въртят около един и същ „огън“.
От древни времена човекът е развил идеи за красотата. Всички творения на природата са красиви. Хората са красиви по свой начин, животните и растенията са невероятни. Гледката на скъпоценен камък или солен кристал радва окото, трудно е да не се възхитите на снежинка или пеперуда. Но защо това се случва? Струва ни се, че външният вид на обектите е правилен и пълен, дясната и лявата половина на които изглеждат еднакви, сякаш в огледален образ.
Очевидно хората на изкуството бяха първите, които се замислиха за същността на красотата. Древни скулптори, които са изучавали структурата човешкото тяло, още през 5 век пр.н.е. Започва да се използва понятието "симетрия". Тази дума има гръцки произходи означава хармония, пропорционалност и сходство в разположението на съставните части. Платон твърди, че само това, което е симетрично и пропорционално, може да бъде красиво.
В геометрията и математиката се разглеждат три вида симетрия: аксиална симетрия (спрямо права линия), централна (спрямо точка) и огледална симетрия (спрямо равнина).
Ако всяка от точките на даден обект има собствено точно картографиране в него спрямо центъра си, има централна симетрия. Примери за това са: геометрични телакато цилиндър, топка, правилна призмаи т.н.
Аксиалната симетрия на точките спрямо права линия предвижда, че тази права линия пресича средата на сегмента, свързващ точките, и е перпендикулярна на нея. Примери за ъглополовяща на неразвит ъгъл равнобедрен триъгълник, всяка права линия, прекарана през центъра на кръга и т.н. Ако аксиалната симетрия е характерна, дефиницията на огледалните точки може да се визуализира чрез просто огъване по оста и поставяне на равни половини "лице в лице". Желаните точки ще се допират една до друга.
При огледална симетрияточките на един обект са разположени еднакво спрямо равнината, която минава през неговия център.
Природата е мъдра и рационална, затова почти всички нейни творения имат хармонична структура. Това се отнася както за живи същества, така и за неодушевени обекти. Структурата на повечето форми на живот се характеризира с един от трите вида симетрия: двустранна, радиална или сферична.
Най-често аксиален може да се наблюдава при растения, развиващи се перпендикулярно на повърхността на почвата. В този случай симетрията е резултат от въртенето на еднакви елементи обща ос, разположен в центъра. Ъгълът и честотата на тяхното местоположение могат да бъдат различни. Примери са дървета: смърч, клен и др. При някои животни се среща и аксиална симетрия, но това е по-рядко. Разбира се, природата рядко се характеризира с математическа точност, но сходството на елементите на един организъм все още е поразително.
Биолозите често разглеждат не аксиалната симетрия, а двустранната (двустранна) симетрия. Пример за това са крилата на пеперуда или водно конче, листа от растения, цветни венчелистчета и др. Във всеки случай дясната и лявата част на живия обект са равни и са огледални изображения една на друга.
Сферичната симетрия е характерна за плодовете на много растения, някои риби, мекотели и вируси. Примери за радиална симетрия са някои видове червеи и бодлокожи.
В човешките очи асиметрията най-често се свързва с неправилност или непълноценност. Следователно в повечето творения на човешки ръце може да се проследи симетрия и хармония.
Определение. Симетрията (означава „пропорционалност“) е свойството на геометричните обекти да се комбинират със себе си при определени трансформации. Под симетрияразбере всяка коректност в вътрешна структуратела или фигури.
Симетрия спрямо точка- това е централна симетрия (фиг. 23 по-долу), и симетрия спрямо права линия- това е аксиална симетрия (фиг. 24 по-долу).
Симетрия спрямо точкапредполага, че има нещо от двете страни на една точка на равни разстояния, като други точки или локусточки (прави линии, криви линии, геометрични фигури).
Ако свържете симетрични точки (точки на геометрична фигура) с права линия през точка на симетрия, тогава симетричните точки ще лежат в краищата на правата линия, а точката на симетрия ще бъде нейната среда. Ако фиксирате точката на симетрия и завъртите правата линия, тогава симетричните точки ще описват криви, всяка точка от които също ще бъде симетрична на точката на другата крива линия.
Симетрия спрямо права линия(ос на симетрия) предполага, че по протежение на перпендикуляр, прекаран през всяка точка от оста на симетрия, две симетрични точки са разположени на еднакво разстояние от нея. Същите геометрични фигури могат да бъдат разположени спрямо оста на симетрия (правата линия), както спрямо точката на симетрия.
Пример може да бъде лист от тетрадка, който е сгънат наполовина, ако се начертае права линия по линията на сгъване (ос на симетрия). Всяка точка от едната половина на листа ще има симетрична точка от втората половина на листа, ако са разположени на същото разстояние от линията на сгъване и перпендикулярно на оста.
Линията на аксиална симетрия, както на фигура 24, е вертикална, а хоризонталните ръбове на листа са перпендикулярни на нея. Тоест, оста на симетрия служи като перпендикуляр към средните точки на хоризонталните прави линии, ограничаващи листа. Симетричните точки (R и F, C и D) са разположени на същото разстояние от аксиалната линия - перпендикулярно на линиите, свързващи тези точки. Следователно всички точки на перпендикуляра (ос на симетрия), начертан през средата на сегмента, са на еднакво разстояние от неговите краища; или която и да е точка, перпендикулярна (ос на симетрия) към средата на сегмент, е на еднакво разстояние от краищата на този сегмент.
6.7.3. Аксиална симетрия
Точки АИ A 1са симетрични по отношение на правата m, тъй като правата m е перпендикулярна на отсечката АА 1и минава през средата му.
м– ос на симетрия.
Правоъгълник ABCDима две оси на симетрия: права мИ л.
Ако чертежът е огънат в права линия мили по права линия л,тогава двете части на чертежа ще съвпаднат.
Квадрат ABCDима четири оси на симетрия: права м, л, кИ с.
Ако квадратът е огънат по някоя от правите линии: м, л, кили с, тогава двете страни на квадрата ще съвпаднат.
Окръжност с център в точка O и радиус OA има безкраен брой оси на симетрия. Това са прави линии: m, m 1, m 2, м 3 .
Упражнение. Конструирайте точка A 1, симетрична точка A(-4; 2) спрямо оста Ox.
Постройте точка A 2 симетрична на точка A(-4; 2) спрямо оста Oy.
Точка A 1 (-4; -2) е симетрична на точка A (-4; 2) спрямо оста Ox, тъй като оста Ox е перпендикулярна на сегмента AA 1 и минава през средата му.
За точки, симетрични спрямо оста Ox, абсцисите съвпадат, а ординатите са противоположни числа.
Точка A 2 (4; -2) е симетрична на точка A (-4; 2) спрямо оста Oy, тъй като оста Oy е перпендикулярна на сегмента AA 2 и минава през средата му.
За точки, симетрични спрямо оста Oy, ординатите съвпадат, а абсцисите са противоположни числа.
www.mathematics-repetition.com
wiki.eduVdom.com
Потребителски инструменти
Инструменти за сайтове
Страничен панел
Геометрия:
Контакти
Централна и аксиална симетрия
Централна симетрия
Две точки A и A 1 се наричат симетрични спрямо точка O, ако O е средата на отсечката AA 1 (фиг. 1). Точка O се счита за симетрична на себе си.
Пример централна симетрия
Една фигура се нарича симетрична спрямо точка O, ако за всяка точка от фигурата точка, симетрична спрямо точка O, също принадлежи на тази фигура. Точка O се нарича център на симетрия на фигурата. Твърди се също, че фигурата има централна симетрия.
Примери за фигури с централна симетрия са кръг и успоредник (фиг. 2).
Центърът на симетрия на окръжност е центърът на окръжността, а центърът на симетрия на успоредник е пресечната точка на неговите диагонали. Правата линия също има централна симетрия, но за разлика от окръжността и успоредника, които имат само един център на симетрия (точка O на фиг. 2), правата има безкраен брой от тях - всяка точка от правата е нейната център на симетрия.
Аксиална симетрия
Две точки A и A 1 се наричат симетрични по отношение на правата a, ако тази права минава през средата на сегмента AA 1 и е перпендикулярна на него (фиг. 3). Всяка точка от линия a се счита за симетрична на себе си.
Една фигура се нарича симетрична спрямо права a, ако за всяка точка от фигурата точка, симетрична спрямо права a, също принадлежи на тази фигура. Правата а се нарича ос на симетрия на фигурата.
Примери за такива фигури и техните оси на симетрия са показани на фигура 4.
Имайте предвид, че за окръжност всяка права линия, минаваща през нейния център, е ос на симетрия.
Сравнение на симетрии
Централна и аксиална симетрия
Колко оси на симетрия има фигурата, показана на фигурата?
wiki.eduvdom.com
Урок „Аксиална и централна симетрия“
Кратко описание на документа:
Симетрията е достатъчна интересна темав геометрията, тъй като това понятие много често се среща не само в процеса на човешкия живот, но и в природата.
Първата част на видеопрезентацията „Аксиална и централна симетрия” дава дефиницията на симетрията на две точки спрямо права линия в равнина. Условието за тяхната симетрия е възможността през тях да се начертае отсечка, през средата на която да минава дадена права. Задължително условиеТакава симетрия е перпендикулярността на отсечка и права линия.
Следващата част от видео урока дава ясен примердефиниция, която е показана под формата на чертеж, където няколко двойки точки са симетрични спрямо права линия и всяка точка на тази права линия е симетрична на себе си.
След като получат първоначални концепции за симетрията, учениците се насърчават да сложно определениефигура, която е симетрична спрямо права линия. Дефиницията се предлага под формата на текстово правило и е придружена от глас от високоговорителя. Тази част завършва с примери за симетрични и асиметрични фигури, спрямо права линия. Интересното е, че има геометрични фигури, които имат няколко оси на симетрия - всички те са ясно представени под формата на рисунки, където осите са подчертани в отделен цвят. Можете да направите предложения материал по-лесен за разбиране по този начин: обект или фигура е симетричен, ако съвпада точно при сгъване на двете половини около оста си.
В допълнение към аксиалната симетрия има симетрия около една точка. Именно тази концепция е посветена следваща частвидео презентации. Първо се дава дефиниция на симетрията на две точки спрямо трета, след това се дава пример под формата на фигура, която показва симетрична и асиметрична двойка точки. Тази част от урока завършва с примери. геометрични форми, които имат или нямат център на симетрия.
В края на урока учениците са поканени да се запознаят с най-много ярки примерисиметрии, които могат да се открият в околния свят. Разбирането и способността за изграждане на симетрични фигури са просто необходими в живота на хората, които се занимават с най-много различни професии. В основата си симетрията е в основата на всичко човешката цивилизация, тъй като 9 от 10 обекта около човек имат един или друг вид симетрия. Без симетрия изграждането на много големи архитектурни структури не би било възможно, не би било възможно да се постигнат впечатляващи индустриални мощности и т.н. В природата симетрията също е много често срещано явление, а ако в неодушевени предметиПочти невъзможно е да го откриете, но живият свят буквално гъмжи от него - почти цялата флора и фауна, с редки изключения, имат аксиална или централна симетрия.
Редовен училищна програмае разработен по такъв начин, че да може да бъде разбран от всеки ученик, допуснат до урока. Видео презентацията улеснява този процес няколко пъти, тъй като едновременно засяга няколко центъра за развитие на информацията, предоставя материал в няколко цвята, като по този начин принуждава учениците да концентрират вниманието си върху най-важното по време на урока. За разлика от обичайния начин на преподаване в училищата, когато не всеки учител има възможност или желание да отговаря на уточняващи въпроси на учениците, видео урокът може лесно да се превърти на желаното място, за да слушате отново оратора и да го прочетете необходимата информацияотново, докато не се разбере напълно. Като се има предвид простотата на представяне на материала, видео презентация може да се използва не само по време на училищни дейности, но и у дома, като независим методобучение.
urokimatematici.ru
Презентация „Движения. аксиална симетрия"
Документи в архива:
Името на документа 8.
Описание на презентацията по отделни слайдове:
Централната симетрия е един пример за движение
Определение: Аксиалната симетрия с оста a е преобразуване на пространството върху себе си, при което всяка точка K преминава в точка K1, симетрична спрямо нея спрямо оста a
1) Oxyz - правоъгълна системакоординати Oz - ос на симетрия 2) M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), симетрични спрямо оста Oz Формулите също ще бъдат верни, ако точката M ⊂ Oz Осовата симетрия е движението Z X Y M( x; y; z) M1(x1; y1; z1) O
Докажете: Задача 1, при аксиална симетрия, права линия, образуваща ъгъл φ с оста на симетрия, се нанася върху права линия, също образуваща ъгъл φ с оста на симетрия. Решение: при аксиална симетрия, права линия, образуваща ъгъл φ с оста на симетрия се нанася върху права линия, която също образува ъгъл с оста на симетрия ос на симетрия ъгъл φ A F E N m l a φ φ
Дадено е: 2) △ABD - правоъгълен, според Питагоровата теорема: 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) △BDD2 - правоъгълен, според Питагоровата теорема: Задача 2 Намерете: BD2 Решение:
Кратко описание на документа:
Презентация „Движения. Осева симетрия“ представлява нагледен материалда обяснят основните положения на тази тема в училищен урок по математика. В тази презентация аксиалната симетрия се разглежда като друг вид движение. По време на презентацията на учениците се припомня изучаваната концепция за централна симетрия, дава се дефиниция на аксиалната симетрия, доказва се твърдението, че аксиалната симетрия е движение и се решават две задачи, в които е необходимо да се работи с концепцията за е описана аксиална симетрия.
Ротационната симетрия е движение, така че представянето й на черна дъска е предизвикателство. По-ясни, разбираеми конструкции могат да бъдат направени с помощта на електронни средства. Благодарение на това структурите са ясно видими от всяко бюро в класната стая. В чертежите е възможно да се подчертаят детайлите на конструкцията в цвят и да се съсредоточи вниманието върху характеристиките на операцията. За същата цел се използват анимационни ефекти. С помощта на инструменти за презентация е по-лесно за учителя да постигне целите на обучението, така че презентацията се използва за повишаване на ефективността на урока.
Демонстрацията започва с напомняне на учениците за типа движение, което са научили - централна симетрия. Пример за приложение на операцията е симетричното показване на нарисувана круша. В равнината се отбелязва точка, спрямо която всяка точка от изображението става симетрична. По този начин показаното изображение е обърнато. В този случай всички разстояния между точките на обекта се запазват с централна симетрия.
Вторият слайд въвежда концепцията за аксиална симетрия. Фигурата показва триъгълник, всеки от неговите върхове се трансформира в симетричен връх на триъгълника спрямо определена ос. Определението за аксиална симетрия е подчертано в полето. Отбелязва се, че с него всяка точка от обекта става симетрична.
След това в правоъгълна координатна система се разглежда аксиалната симетрия, свойствата на координатите на обект, показани с помощта на аксиална симетрия, и също така е доказано, че при това картографиране се запазват разстоянията, което е знак за движение. От дясната страна на слайда има правоъгълна координатна система Oxyz. Оста Oz се приема за ос на симетрия. В пространството е отбелязана точка M, която с подходящо картографиране се превръща в M 1. Фигурата показва, че при аксиална симетрия точката запазва своето приложение.
Отбелязва се, че средноаритметичното на абсцисата и ординатата на това картографиране с аксиална симетрия е равно на нула, тоест (x+ x 1)/2=0; (y+ y 1)/2=0. В противен случай това показва, че x=-x 1 ; y=-y 1; z=z 1 . Правилото важи и ако точка M е отбелязана върху самата ос Oz.
За да се прецени дали разстоянията между точките са запазени с аксиална симетрия, е описана операция върху точки A и B. Показани спрямо оста Oz, описаните точки влизат в A1 и B1. За определяне на разстоянието между точките използваме формула, в която разстоянието се изчислява по координати. Отбелязва се, че AB=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), а за показаните точки A 1 B 1 =√(-x 2 +x 1) 2 +(-y 2 +y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2). Като се вземат предвид свойствата на квадратурата, може да се отбележи, че AB = A 1 B 1. Това предполага, че се поддържат разстояния между точките - основна характеристикадвижения. Това означава, че аксиалната симетрия е движение.
Слайд 5 разглежда решението на задача 1. В него е необходимо да се докаже твърдението, че права линия, минаваща под ъгъл φ спрямо оста на симетрия, образува същия ъгъл φ с нея. За задачата е дадено изображение, върху което е начертана оста на симетрия, както и права линия m, сключваща с оста на симетрия ъгъл φ, като спрямо оста й изображението й е права линия l. Доказателството на твърдението започва с изграждането на допълнителни точки. Отбелязва се, че правата m пресича оста на симетрия в A. Ако маркираме точка F≠A на тази права линия и пуснем перпендикуляр от нея към оста на симетрия, получаваме пресечната точка на перпендикуляра с оста на симетрия в точка E. При аксиална симетрия сегментът FE преминава в сегмента NE. В резултат на тази конструкция се получиха правоъгълни триъгълници ΔAEF и ΔAEN. Тези триъгълници са равни, тъй като AE е общата им страна, а FE = NE са равни по конструкция. Съответно ъгълът ∠EAN=∠EAF. От това следва, че показаната права линия също образува ъгъл φ с оста на симетрия. Проблемът е решен.
Последният слайд обсъжда решението на задача 2, в която ви е даден куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 със страна a. Известно е, че след симетрия спрямо оста, съдържаща ръба B 1 D 1, точка D преминава в D 1. Проблемът изисква намиране на BD 2. За проблема се прави конструкция. Фигурата показва куб, от който се вижда, че оста на симетрия е диагоналът на лицето на куба B 1 D 1. Сегментът, образуван от движението на точка D, е перпендикулярен на равнината на лицето, към която принадлежи оста на симетрия. Тъй като разстоянията между точките се поддържат по време на движение, тогава DD 1 = D 1 D 2 =a, т.е. разстоянието DD 2 =2a. от правоъгълен триъгълникΔABD по Питагоровата теорема следва, че BD=√(AB 2 +AD 2)=a√2. От правоъгълния триъгълник ΔВDD 2 следва по Питагоровата теорема BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2) = а√6. Проблемът е решен.
Презентация „Движения. Аксиална симетрия" се използва за повишаване на ефективността училищен урокматематика. Освен това този метод на визуализация ще помогне на учителя да го приложи дистанционно обучение. Материалът може да бъде предложен за самостоятелно разглеждане от ученици, които не са усвоили достатъчно добре темата на урока.
Защо съпругата напусна и не подава молба за развод Практически форум за истинската любов Съпругата подава молба за развод. Помощ! Жена ми подава молба за развод. Помощ! Съобщение от MIRON4IK » 23 октомври 2009, 16:22 Съобщение от raz » 23 октомври 2009, 19:17 Съобщение от MIRON4IK » 23 октомври 2009, 22:21 Съобщение от edon » […]