Функция се нарича четна (нечетна), ако за всяко и равенството 
.
Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста 
.
Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.
Пример 6.2.
1)
;
2)
;
3)
.
Проверете дали дадена функция е четна или нечетна.
Решение 
1) Функцията е дефинирана, когато 
.
. Ще намерим 
Тези.
. Това означава, че тази функция е четна. 
. Ще намерим 
2) Функцията е дефинирана, когато
. Следователно тази функция е странна.
,
3) функцията е дефинирана за , т.е. За
3. Изследване на функцията за монотонност. 
функция
се нарича нарастваща (намаляваща) на определен интервал, ако в този интервал всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функцията.
Функциите, нарастващи (намаляващи) за определен интервал, се наричат монотонни. 
Ако функцията 
диференцируеми на интервала 
и има положителна (отрицателна) производна 
, след това функцията
се увеличава (намалява) през този интервал.
1)
;
3)
.
Проверете дали дадена функция е четна или нечетна.
Пример 6.3. Намерете интервали на монотонност на функциите
1) Тази функция е дефинирана върху цялата числова ос. Нека намерим производната. 
Производната е равна на нула, ако 
И 
,
. Областта на дефиниране е числовата ос, разделена на точки
на интервали. Нека определим знака на производната във всеки интервал. 
В интервала
на интервали. Нека определим знака на производната във всеки интервал. 
производната е отрицателна, функцията намалява на този интервал.
производната е положителна, следователно функцията нараства през този интервал. 
2) Тази функция е дефинирана, ако
.
или
Определяме знака на квадратния трином във всеки интервал.
По този начин областта на дефиниция на функцията 
,
Нека намерим производната 
, Ако 
, т.е. 
, Но 
.
на интервали. Нека определим знака на производната във всеки интервал. 
. Нека определим знака на производната в интервалите 
производната е отрицателна, следователно функцията намалява на интервала 
. В интервала 
.
4. Изследване на функцията в екстремума. 
Точка 
наречена максимална (минимум) точка на функцията 
, ако има такава близост на точката 
това е за всички 
.
от тази съседство неравенството е в сила
Функциите, нарастващи (намаляващи) за определен интервал, се наричат монотонни. 
Максималните и минималните точки на функцията се наричат точки на екстремум. 
в точката
Точките, в които производната е нула или не съществува, се наричат критични.
5. Достатъчни условия за съществуване на екстремум.Правило 1. Ако при прехода (отляво надясно) през критичната точка 
производна 
променя знака от „+“ на „–“, след това в точката 
функция 
има максимум; ако от "–" до "+", тогава минимумът; Ако 
не променя знака, тогава няма екстремум.
Правило 2. Нека в точката 
първа производна на функция 
равно на нула 
, а втората производна съществува и е различна от нула. Ако 
, Това 
– максимална точка, ако 
, Това 
– минимална точка на функцията.
Пример 6.4. Разгледайте максималните и минималните функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение.
1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала 
.
По този начин областта на дефиниция на функцията 
и реши уравнението 
, Ако 
.Оттук 
– критични точки.
Нека определим знака на производната в интервалите , 
.
При преминаване през точки 
Производната е равна на нула, ако 
производната променя знака от "–" на "+", следователно, съгласно правило 1 
– минимум точки.
При преминаване през точка 
производната променя знака от “+” на “–”, така че 
– максимална точка.
,
.
2) Функцията е дефинирана и непрекъсната в интервала 
. Нека намерим производната 
.
След като реши уравнението 
, ще намерим 
Производната е равна на нула, ако 
– критични точки. Ако знаменателят 
, Ако 
, тогава производната не съществува. така че 
– трета критична точка. Нека определим знака на производната в интервали.
Следователно функцията има минимум в точката 
, максимум в точки 
Производната е равна на нула, ако 
.
3) Функцията е дефинирана и непрекъсната, ако 
, т.е. при 
.
По този начин областта на дефиниция на функцията 
.
Нека намерим критичните точки: 
Окръжности на точките 
не принадлежат към областта на дефиницията, следователно не са екстремуми. Така че, нека разгледаме критичните точки 
Производната е равна на нула, ако 
.
4) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала 
. Нека използваме правило 2. Намерете производната 
.
Нека намерим критичните точки:
Нека намерим втората производна 
и определете неговия знак в точките 
По точки 
функция има минимум.
По точки 
функцията има максимум.
Равномерна функция.
Функция, чийто знак не се променя при промяна на знака, се нарича четна. х.
хима равенство f(–х) = f(х). Знак хне засяга знака г.
Графиката на четната функция е симетрична спрямо координатната ос (фиг. 1).
Примери за четна функция:
г=cos х
г = х 2
г = –х 2
г = х 4
г = х 6
г = х 2 + х
Обяснение:
Да вземем функцията г = х 2 или г = –х 2 .
За всякаква стойност хфункцията е положителна. Знак хне засяга знака г. Графиката е симетрична спрямо координатната ос. Това е равномерна функция.
Странна функция.
Функция, чийто знак се променя при промяна на знака, се нарича нечетна. х.
С други думи, за всяка стойност хима равенство f(–х) = –f(х).
Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (фиг. 2).
Примери за нечетна функция:
г= грях х
г = х 3
г = –х 3
Обяснение:
Да вземем функцията y = – х 3 .
Всички значения прище има знак минус. Това е знак хвлияе върху знака г. Ако независимата променлива е положително число, тогава функцията е положителна, ако независимата променлива е отрицателно число, тогава функцията е отрицателна: f(–х) = –f(х).
Графиката на функцията е симетрична спрямо началото. Това е странна функция.
Свойства на четни и нечетни функции:
ЗАБЕЛЕЖКА:
Не всички функции са четни или нечетни. Има функции, които не се подчиняват на такова градиране. Например функцията root при = √Xне се отнася нито за четни, нито за нечетни функции (фиг. 3). Когато се изброяват свойствата на такива функции, трябва да се даде подходящо описание: нито четно, нито нечетно.
Периодични функции.
Както знаете, периодичността е повторението на определени процеси през определен интервал. Функциите, които описват тези процеси, се наричат периодични функции. Тоест това са функции, в чиито графики има елементи, които се повтарят на определени числови интервали.
За да направите това, използвайте милиметрова хартия или графичен калкулатор. Изберете произволен брой числови стойности за независимата променлива x (\displaystyle x) и ги включете във функцията, за да изчислите стойностите за зависимата променлива y (\displaystyle y). Начертайте намерените координати на точките в координатната равнина и след това свържете тези точки, за да изградите графика на функцията.
- Заместете положителните числови стойности x (\displaystyle x) и съответните отрицателни числови стойности във функцията. Например, като се има предвид функцията. Заменете следните стойности x (\displaystyle x) в него:
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) (\ displaystyle (1,3)) .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Получихме точка с координати (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Получихме точка с координати (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Получихме точка с координати (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .
Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо оста Y. Под симетрия разбираме огледалния образ на графиката спрямо оста Y. Ако частта от графиката вдясно от оста Y (положителни стойности на независимата променлива) е същата като частта от графиката вляво от оста Y (отрицателни стойности на независимата променлива ), графиката е симетрична спрямо оста Y. Ако функцията е симетрична спрямо оста y, функцията е четна.
- Можете да проверите симетрията на графиката, като използвате отделни точки. Ако стойността на y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) съвпада със стойността на y (\displaystyle y), която съвпада със стойността на − x (\displaystyle -x), функцията е четна. В нашия пример с функцията f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) получихме следните координати на точките:
- (1.3) и (-1.3)
- (2,9) и (-2,9)
- Обърнете внимание, че за x=1 и x=-1 зависимата променлива е y=3, а за x=2 и x=-2 зависимата променлива е y=9. Така функцията е четна. Всъщност, за да определите точно формата на функцията, трябва да вземете предвид повече от две точки, но описаният метод е добро приближение.
Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо началото.
- Началото е точката с координати (0,0). Симетрия относно произхода означава, че положителна стойност на y (\displaystyle y) (за положителна стойност на x (\displaystyle x) ) съответства на отрицателна стойност на (\displaystyle y) (\displaystyle y) (за отрицателна стойност на x (\displaystyle x) ) и обратно. Нечетните функции имат симетрия относно произхода.
- Ако замените няколко положителни и съответните отрицателни стойности на x (\displaystyle x) във функцията, стойностите на y (\displaystyle y) ще се различават по знак. Например, дадена е функция f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Заменете няколко стойности на x (\displaystyle x) в него:
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Получихме точка с координати (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Имаме точка с координати (-2,-10).
Така f(x) = -f(-x), тоест функцията е нечетна.
- Проверете дали графиката на функцията има някаква симетрия.
- Последният тип функция е функция, чиято графика няма симетрия, т.е. няма огледален образ както спрямо ординатната ос, така и спрямо началото. Например, като се има предвид функцията.
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Имаме точка с координати (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Получихме точка с координати (2,10).
- f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2) . Получихме точка с координати (2,-2).
- Според получените резултати няма симетрия. Стойностите на y (\displaystyle y) за противоположни стойности на x (\displaystyle x) не са еднакви и не са противоположни. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна.
- Моля, обърнете внимание, че функцията f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) може да бъде записана по следния начин: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Когато е написана в тази форма, функцията се появява четна, защото има четен показател. Но този пример доказва, че типът функция не може да бъде бързо определен, ако независимата променлива е оградена в скоби. В този случай трябва да отворите скобите и да анализирате получените показатели.
Функцията е едно от най-важните математически понятия. Функция е зависимостта на променливата y от променливата x, ако всяка стойност на x съответства на една единствена стойност на y. Променливата x се нарича независима променлива или аргумент. Променливата y се нарича зависима променлива. Всички стойности на независимата променлива (променлива x) формират областта на дефиниране на функцията. Всички стойности, които зависимата променлива (променлива y) приема, формират диапазона от стойности на функцията.
Графиката на функция е набор от всички точки на координатната равнина, чиито абсцисите са равни на стойностите на аргумента, а ординатите са съответните стойности на функцията, т.е. на променливата x се нанасят по абсцисната ос, а стойностите на променливата y се нанасят по ординатната ос. За да начертаете графика на функция, трябва да знаете свойствата на функцията. Основните свойства на функцията ще бъдат разгледани по-долу!
За да изградите графика на функция, препоръчваме да използвате нашата програма - Graphing functions online. Ако имате някакви въпроси, докато изучавате материала на тази страница, винаги можете да ги зададете на нашия форум. Също във форума те ще ви помогнат да решите задачи по математика, химия, геометрия, теория на вероятностите и много други теми!
Основни свойства на функциите.
1) Областта на дефиниране на функцията и диапазона от стойности на функцията.
Домейнът на функция е множеството от всички валидни реални стойности на аргумента x (променлива x), за които е дефинирана функцията y = f(x).
Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности на y, които функцията приема.
В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа.
2) Нули на функцията.
Извикват се стойности на x, за които y=0 функционални нули. Това са абсцисите на точките на пресичане на графиката на функцията с оста Ox.
3) Интервали с постоянен знак на функция.
Интервали с постоянен знак на функция - такива интервали от стойности x, на които стойностите на функцията y са или само положителни, или само отрицателни, се наричат интервали с постоянен знак на функцията.
4) Монотонност на функцията.
Нарастваща функция (в определен интервал) е функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.
Намаляваща функция (в определен интервал) е функция, при която на по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства по-малка стойност на функцията.
5) Четност (нечетност) на функцията.
Четна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична спрямо началото и за всяко x f(-x) = f(x). Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата.
Нечетна функция е функция, чиято дефиниционна област е симетрична спрямо началото и за всяко x от дефиниционната област е вярно равенството f(-x) = - f(x). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.
Равномерна функция
1) Дефиниционната област е симетрична по отношение на точката (0; 0), т.е. ако точка a принадлежи към дефиниционната област, то точка -a също принадлежи към дефиниционната област.
2) За всяка стойност x f(-x)=f(x)
3) Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста Oy.
Нечетната функция има следните свойства:
1) Областта на дефиниция е симетрична спрямо точката (0; 0).
2) за всяка стойност x, принадлежаща към областта на дефиниция, равенството f(-x)=-f(x) е изпълнено
3) Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (0; 0).
Не всяка функция е четна или нечетна. Функции общ изгледне са нито четни, нито нечетни.
6) Ограничени и неограничени функции.
Една функция се нарича ограничена, ако има положително число M такова, че |f(x)| ≤ M за всички стойности на x. Ако такъв номер не съществува, тогава функцията е неограничена.
7) Периодичност на функцията.
Функция f(x) е периодична, ако има ненулево число T, така че за всяко x от областта на дефиниране на функцията е валидно следното: f(x+T) = f(x). Това най-малко число се нарича период на функцията. Всички тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули).
Функция f се нарича периодична, ако съществува такова число, че за всяко x от областта на дефиницията е валидно равенството f(x)=f(x-T)=f(x+T). T е периодът на функцията.
Всяка периодична функция има безкраен брой периоди. На практика обикновено се взема предвид най-малкият положителен период.
Стойностите на периодична функция се повтарят след интервал, равен на периода. Това се използва при конструиране на графики.
Как да вмъкнете математически формули в уебсайт?
Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.
Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математически нотации в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.
Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.
Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:
Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.
Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). това е всичко Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.
Всеки фрактал се конструира според определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.
Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.