Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис в триизмерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение:Първо, нека се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е тази база, не ни интересува. Заинтересовани ли сте? следващото нещо: може да се образуват три вектора нова основа. И първият етап напълно съвпада с решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите са наистина линейно независими;

Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:

, което означава, че векторите са линейно независими и формират основата на триизмерното пространство.

! важно: векторни координати Задължителнозаписвам в колонидетерминанта, а не в низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.

Сега да си спомним теоретична част: ако векторите формират основа, тогава всеки вектор може да бъде единствения начинразширяване върху даден базис: , където са координатите на вектора в базиса.

Тъй като нашите вектори формират основата на триизмерното пространство (това вече е доказано), векторът може да бъде разширен по уникален начин върху тази основа:
, където са координатите на вектора в базиса.

Според условието и се изисква намиране на координатите.

За по-лесно обяснение ще разменя частите: . За да го намерите, трябва да запишете това равенство координата по координата:

На каква база се определят коефициентите? Всички коефициенти от лявата страна са точно прехвърлени от детерминантата , координатите на вектора са записани от дясната страна.

Оказа се система от три линейни уравненияс три неизвестни. Обикновено се решава от Формули на Крамер, често дори в изложението на проблема има такова изискване.

Основната детерминанта на системата вече е открита:
, което означава, че системата има уникално решение.

Следващото е въпрос на техника:

По този начин:
– разлагане на вектора по базис.

Отговор:

Както вече отбелязах, проблемът е алгебричен по природа. Векторите, които бяха разгледани, не са непременно тези вектори, които могат да бъдат начертани в пространството, но, на първо място, вектори на абстрактни курсове линейна алгебра. За случая на двумерни вектори подобен проблем може да бъде формулиран и решен; На практика обаче никога не съм срещал подобна задача, поради което я пропуснах в предишния раздел.

Същият проблем с триизмерни вектори за независимо решение:

Пример 9

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис и намерете координатите на вектора в този базис. Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер.

Цялостно решениеИ приблизителна пробазавършване в края на урока.

По подобен начин можем да разгледаме четириизмерни, петизмерни и т.н. векторни пространства, където векторите имат съответно 4, 5 или повече координати. За тези векторни пространства съществува и концепцията за линейна зависимост, линейна независимост на векторите, има база, включително ортонормална база, разширение на вектор по отношение на база. Да, такива пространства не могат да бъдат начертани геометрично, но всички правила, свойства и теореми на двумерни и тримерни случаи работят в тях - чиста алгебра. Всъщност, о философски въпросиВече се изкуших да говоря в статията Частични производни функции на трипроменливи, който се появи по-рано от този урок.

Обичайте векторите и векторите ще ви харесат!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: нека направим пропорция от съответните координати на векторите:

Отговор: при

Пример 4: Доказателство: ТрапецЧетириъгълник се нарича четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни.
1) Нека проверим успоредността на противоположните страни и .
Нека намерим векторите:


, което означава, че тези вектори не са колинеарни и страните не са успоредни.
2) Нека проверим успоредността на противоположните страни и .
Нека намерим векторите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:
, което означава, че тези вектори са колинеарни и .
Заключение: Две страни на четириъгълник са успоредни, но другите две страни не са успоредни, което означава, че той е трапец по дефиниция. Q.E.D.

Пример 5: Решение:
б) Да проверим дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.
По-прост дизайн:
– втората и третата координата не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.
Отговор: векторите не са колинеарни.
в) Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

Съответните координати на векторите са пропорционални, което означава
Това е мястото, където методът на дизайна „шампанско“ се проваля.
Отговор:

Пример 6: Решение: b) Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати (детерминантата се разкрива в първия ред):

, което означава, че векторите са линейно зависими и не формират основата на триизмерното пространство.
Отговор : тези вектори не образуват основа

Пример 9: Решение:Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:


Така векторите са линейно независими и образуват базис.
Нека представим вектора като линейна комбинация от базисни вектори:

По координати:

Нека решим системата с помощта на формулите на Cramer:
, което означава, че системата има уникално решение.

Отговор:Векторите формират основа,

Висша математика за задочници и още >>>

(Отидете на главната страница)

Векторни произведения на изкуствотовектори.
Смесено произведение на вектори

В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: векторно произведение на векториИ смесена работавектори. Всичко е наред, понякога се случва, че за пълно щастие, в допълнение към скаларно произведение на вектори, изискват се все повече и повече. Това е векторна зависимост. Може да изглежда, че навлизаме в дивата природа аналитична геометрия. Това е грешно. IN този раздел висша математикаКато цяло няма достатъчно дърва за огрев, може би достатъчно за Пинокио. Всъщност материалът е много общ и прост - едва ли е по-сложен от същия скаларно произведение, дори ще има по-малко типични задачи. Основното в аналитичната геометрия, както мнозина ще се убедят или вече са се убедили, е ДА НЕ СЕ ГРЕШИ В ИЗЧИСЛЕНИЯТА. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи =)

Ако векторите искрят някъде далеч, като светкавица на хоризонта, няма значение, започнете с урока Вектори за манекениза възстановяване или повторно придобиване основни познанияотносно векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията избирателно; опитах се да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическа работа

Какво ще ви направи щастливи веднага? Когато бях малък, можех да жонглирам с две или дори три топки. Получи се добре. Сега изобщо няма да ви се налага да жонглирате, тъй като ще помислим само пространствени вектори, а плоските вектори с две координати ще бъдат пропуснати. Защо? Така се раждат тези действия – векторът и смесеният продукт от вектори са дефинирани и работят в триизмерно пространство. Вече е по-лесно!

Линейна зависимости линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В аулата има количка с шоколадови бонбони, а всеки посетител днес ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще засегне едновременно два раздела от висшата математика и ще видим как те съществуват съвместно в една обвивка. Направете си почивка, изяжте Twix! ...по дяволите, какви глупости. Въпреки че, добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да имате положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна векторна независимост, основа на вектории други термини имат не само геометрично тълкуване, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие „вектор“ от гледна точка на линейната алгебра не винаги е „обикновеният“ вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: – температура и Атмосферно наляганесъответно. Примерът, разбира се, е некоректен от гледна точка на свойствата векторно пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и т.н.) се отнасят за всички вектори от алгебрична гледна точка, но ще бъдат дадени геометрични примери. Така всичко е просто, достъпно и ясно. В допълнение към проблемите на аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачиалгебра За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекениИ Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Помислете за вашия самолет бюро за компютър(само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно, че ще са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички обекти на масата.

Не се учудвайте, в началото обясненията ще са на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете показалецлява ръкана ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място Малък пръст дясна ръка на ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво можем да кажем за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линеенизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е някакво число, различно от нула.

Можете да видите снимка на това действие в клас. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърното бюро? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад напречно сампосока, а равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линейно" обозначават факта, че в математически уравнения, изразите не съдържат квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и др. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има ъгъл между тях, различен от 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинеен Независими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се смущавате, че основата се оказа „изкривена“ с неперпендикулярни вектори с различна дължина. Много скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинсе разширява според основата:
, където са реални числа. Извикват се номерата векторни координатив тази основа.

Също така се казва, че векторпредставен като линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганепо основаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, можем да кажем, че векторът е разложен по ортонормална основа на равнината, или можем да кажем, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме определение за основаформално: Основата на самолетасе нарича двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисни вектори.

Съществен момент от дефиницията е фактът, че векторите са взети V в определен ред . Бази – това са две напълно различни бази! Както се казва, не можете да замените малкия пръст на лявата си ръка вместо малкия пръст на дясната си ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатна мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се скитат из цялата равнина. И така, как да зададете координати на онези малки мръсни петна по масата, останали от един див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава забележителност е точка, позната на всички - произходът на координатите. Нека разберем координатната система:

Ще започна с „училищната“ система. Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои разлики между правоъгълната координатна система и ортонормалната основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорят за правоъгълна координатна система, тогава най-често означават началото на координатите, координатни осии мащаб по осите. Опитайте да напишете „правоъгълна координатна система“ в търсачката и ще видите, че много източници ще ви разкажат за познатите от 5-6 клас координатни оси и как да начертаете точки върху равнина.

От друга страна изглежда, че правоъгълна системакоординатите могат да бъдат напълно определени чрез ортонормална основа. И това е почти вярно. Формулировката звучи по следния начин:

произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна равнинна координатна система . Тоест правоъгълната координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометрични задачиЧесто (но не винаги) се чертаят както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да бъде номерирано“.

Задължени ли са координатни векторида бъдат изолирани? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Помислете за точка и две ортогонален векторпроизволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори се определя от координатна мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има своите координати в дадена основа. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори V общ случай имат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните основи на равнината и пространството, се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по оста x съдържа 4 см, една единица по ординатната ос съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате „нестандартните“ координати в „нашите обичайни сантиметри“.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено, е дали ъгълът между базисните вектори трябва да е равен на 90 градуса? Не! Както гласи дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, И неколинеарнивектори, , комплект афинна равнинна координатна система :

Понякога се нарича такава координатна система кососистема. Като примери чертежът показва точки и вектори:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна; формулите за дължините на векторите и сегментите, които обсъдихме във втората част на урока, не работят в нея Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, формулите за разделяне на отсечка в тази връзка, както и някои други видове задачи, които скоро ще разгледаме, са валидни.

И изводът е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Ето защо най-често трябва да я виждаш, скъпа моя. ...Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които косият ъгъл (или някой друг напр. полярен) координатна система. И хуманоидите може да харесат такива системи =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълната координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарност на равнинни вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са били колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционалниПо същество това е детайлизиране на очевидната връзка координата по координата.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Нека разберем дали има за вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенствата:

Определено ще ви разкажа за „шампанския“ вариант на прилагане на това правило, който работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорцията и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Нека съкратим:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно

Връзката може да бъде направена обратното, това е еквивалентен вариант:

За самопроверка можете да използвате факта, че колинеарните вектори са линейно изразени един през друг. IN в такъв случайима равенства . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че от второ уравнениеследва, че означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Нека направим пропорция от съответните координати на векторите :
, което означава, че тези вектори са линейно независими и образуват базис.

Обикновено тази опция не се отхвърля от рецензентите, но възниква проблем в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение „шампанско“.

Отговор:а), б) форма.

малък творчески примерза независимо решение:

Пример 2

При каква стойност на параметъра са векторите колинеарни ли ще са?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме знанията си и ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват базис;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминанта, съставена от координатите на тези вектори, равно на нула .

Наистина, наистина се надявам на това този моментвече разбирате всички термини и твърдения, които срещате.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да приложите тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти.

Нека решимПример 1 по втория начин:

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, което означава, че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати :
, което означава, че векторите са линейно независими и образуват основа.

Отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решение с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти и прави линии. Нека разгледаме няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да се изгражда чертеж в задачата, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Нека си припомним дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) паралелизъм на противоположните страни и.

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е същият вектор („училищен стил“ - равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре решението да се формализира ясно, с подреждане. Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:
, което означава, че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: Противоположни страничетириъгълниците са успоредни по двойки, което означава, че е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още фигуридобри и различни:

Пример 4

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача, която трябва да решите сами. Пълно решение в края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат колинеарни два пространствени вектора, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Да проверим дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се формализира чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Съществува метод за проверка на пространствени вектори за колинеарност чрез детерминанта от трети ред, този методобхванати в статията Векторно произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави линии.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на векторите в тримерното пространство.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от моделите, които изследвахме в самолета, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да минимизирам теоретичните бележки, защото лъвски дялинформацията вече е предъвкана. Все пак препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърното бюро, ние изследваме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Някой сега е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за да се изгради основа, ще са необходими три пространствени вектори. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите си. Моля, вдигнете ръката си и я разперете различни страни палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължинии има различни ъглипомежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, няма нужда да демонстрирате това на учителите, колкото и да въртите пръстите си, но няма бягство от определения =)

След това да попитаме важен въпрос, три вектора формират ли основата на триизмерното пространство? Моля, натиснете здраво с три пръста горната част на компютърното бюро. Какво стана? Три вектора са разположени в една равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измеренията - височината. Такива вектори са компланарени съвсем очевидно е, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, в която могат да бъдат успоредни равнини(просто не правете това с пръстите си, само Салвадор Дали е успял по този начин =)).

Определение: вектори се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три компланарен векторвинаги линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота, нека отново си представим, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, те могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (а защо е лесно да се досетите от материалите в предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен реди всеки вектор на пространството единствения начинсе разлага върху даден базис, където са координатите на вектора в този базис

Нека ви напомня, че можем също да кажем, че векторът е представен във формата линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда по абсолютно същия начин, както за случая с една точка и три линейни независими вектори:

произход, И некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

със сигурност координатна мрежа„косо“ и неудобно, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, някои формули, които вече споменах, няма да работят в афинната координатна система на пространството.

Най-познатият и удобен специален случай на афинна координатна система, както всички предполагат, е правоъгълна пространствена координатна система:

Точка в пространството, наречена произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна пространствена координатна система . Позната снимка:

Преди да преминем към практически задачи, нека отново систематизираме информацията:

За три вектораинтервал следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват базис;
3) векторите не са копланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Мисля, че противоположните твърдения са разбираеми.

Линейната зависимост/независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). оставащи практически задачище има подчертан алгебричен характер. Време е да окачите геометричната пръчка и да размахате бейзболната бухалка на линейната алгебра:

Три вектора на пространствотоса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Бих искал да насоча вниманието ви към малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени от това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За онези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминантите или може би изобщо не ги разбират, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основата на триизмерното пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати (детерминантата се разкрива в първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерното пространство.

Отговор: тези вектори формират основа

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Запознайте се и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на тези вектори е равна на нула:

По същество трябва да решите уравнение с детерминанта. Ние се спускаме върху нули като хвърчила върху тушканчета - най-добре е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

Отговор: при

Тук е лесно да проверите; трябва да замените получената стойност в оригиналната детерминанта и да се уверите, че , отваряйки го отново.

В заключение, нека да разгледаме още един типична задача, който е по-алгебричен по природа и традиционно се включва в курса по линейна алгебра. Толкова често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора формират основата на триизмерното пространство
и намерете координатите на 4-ия вектор в тази основа

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис в триизмерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Първо, нека се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е тази база, не ни интересува. Интересно е следното: три вектора може да образуват нова основа. И първият етап напълно съвпада с решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите са наистина линейно независими;

Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:

, което означава, че векторите са линейно независими и формират основата на триизмерното пространство.

! важно : векторни координати Задължителнозаписвам в колонидетерминанта, а не в низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.

Основата на пространствототе наричат ​​такава система от вектори, в която всички други вектори в пространството могат да бъдат представени като линейна комбинация от вектори, включени в основата.
На практика всичко това се изпълнява доста просто. Основата, като правило, се проверява на равнина или в пространството и за това трябва да намерите детерминанта на матрица от втори, трети ред, съставена от векторни координати. По-долу са написани схематично условия, при които векторите формират основа

Да се разширете вектор b в базисни вектори
e,e...,e[n] е необходимо да се намерят коефициентите x, ..., x[n], за които линейната комбинация от вектори e,e...,e[n] е равна на вектор б:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
За това векторно уравнениетрябва да се преобразува в система от линейни уравнения и да се намерят решения. Това също е доста лесно за изпълнение.
Намерените коефициенти x, ..., x[n] се наричат координати на вектор b в основата e,e...,e[n].
Да преминем към практическата страна на темата.

Разлагане на вектор на базисни вектори

Задача 1. Проверете дали векторите a1, a2 образуват базис на равнината

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Съставяме детерминанта от координатите на векторите и я пресмятаме

Детерминантът не е нула, следователно векторите са линейно независими, което означава, че образуват основа.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Решение: Изчисляваме детерминантата, съставена от вектори

Детерминантата е равна на 13 (не е равна на нула) - от това следва, че векторите a1, a2 са основа на равнината.

---=================---

Нека разгледаме типични примери от програмата MAUP по дисциплината „Висша математика“.

Задача 2. Покажете, че векторите a1, a2, a3 формират основата на тримерно векторно пространство и разширете вектора b според тази основа (при решаване на система от линейни алгебрични уравненияизползвайте метода на Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Решение: Първо, разгледайте системата от вектори a1, a2, a3 и проверете детерминантата на матрица A

изграден върху ненулеви вектори. Матрицата съдържа един нулев елемент, така че е по-подходящо детерминантата да се изчисли като график в първата колона или третия ред.

В резултат на изчисленията установихме, че детерминантата е различна от нула, следователно векторите a1, a2, a3 са линейно независими.
По дефиниция векторите формират основа в R3. Нека запишем графика на вектор b въз основа на

Векторите са равни, когато съответните им координати са равни.
Следователно от векторното уравнение получаваме система от линейни уравнения

Нека решим SLAE Методът на Крамер. За да направите това, нека напишем система от уравнениякато

Основната детерминанта на SLAE винаги е равна на детерминантата, съставена от базисни вектори

Следователно на практика не се брои два пъти. За да намерим спомагателни детерминанти, поставяме колона със свободни термини на мястото на всяка колона от основната детерминанта. Детерминантите се изчисляват с помощта на правилото на триъгълника



Нека заместим намерените детерминанти във формулата на Крамър



И така, разширението на вектора b по отношение на основата има формата b=-4a1+3a2-a3. Координатите на вектор b в основата a1, a2, a3 ще бъдат (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяваме векторите за базис - съставяме детерминанта от координатите на векторите и я изчисляваме

Следователно детерминантата не е равна на нула векторите формират основа в пространството. Остава да се намери разписанието на вектор b през тази база. За да направим това, ние пишем векторното уравнение

и се трансформира в система от линейни уравнения

Записване матрично уравнение

След това за формулите на Крамър намираме спомагателни квалификатори



Прилагаме формулите на Крамер



Така че даден вектор b има график през два базисни вектора b=-2a1+5a3, а координатите му в основата са равни на b(-2,0, 5).

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

Решение. Нека покажем, че векторите 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) образуват основа. Нека намерим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори.

Извършваме елементарни трансформации:

Извадете от ред 3 ред 1, умножено по (-1)

Извадете ред 2 от ред 3, извадете ред 2 от ред 4

Нека разменим редове 3 и 4.

В този случай детерминантата ще промени знака си на противоположния:

защото детерминантата не е равна на нула, следователно векторите са линейно независими и образуват базис.

Нека разложим вектора на вектори дадена основа: , Тук, ? желаните координати на вектора в основата, . В координатна форма това уравнение е (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) приема формата:

Решаваме системата, използвайки метода на Гаус:

Нека запишем системата под формата на разширена матрица

За по-лесно изчисление, нека разменим редовете:

Умножете 3-тия ред по (-1). Нека добавим третия ред към втория. Умножете 3-тия ред по 2. Добавете 4-тия ред към 3-тия:

Умножете първия ред по 3. Умножете втория ред по (-2). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

Умножете втория ред по 5. Умножете третия ред по 3. Добавете третия ред към втория:

Умножете втория ред по (-2). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

От 1-ви ред изразяваме?4

От 2-ри ред изразяваме? 3

От 3-ти ред изразяваме? 2