Ортогонална функционална система

система от функции ((φ п(х)}, п= 1, 2,..., ортогонален с тегло ρ ( X) на сегмента [ А, b], т.е. такова, че

Примери. Тригонометрична система 1, cos nx, грях nx; п= 1, 2,..., - О.с. f. с тежест 1 върху сегмента [-π, π]. Функции на Бесел n = 1, 2,..., J ν ( х), образуват за всяко ν > - 1/2 O. s. f. с тегло Xна сегмента.

Ако всяка функция φ ( X) от О. с. f. е това х) по номер

Систематично изследване на O. s. f. стартира във връзка с метода на Фурие за решаване на гранични проблеми на уравнения на математическата физика. Този метод води например до намиране на решения на проблема на Щурм-Лиувил (вижте проблема на Щурм-Лиувил) за уравнението [ρ( X) y" ]" + р(х) г = λ при, удовлетворяващи граничните условия при(А) + хей"(а) = 0, г(b) + хай"(b) = 0, където чи Н- постоянен. Тези решения са т.нар. собствените функции на проблема образуват O.s. f. с тегло ρ ( X) на сегмента [ а, b].

Изключително важен клас O. s. f. - Ортогонални полиноми - открити са от П. Л. Чебишев в изследванията му върху интерполацията по метода на най-малките квадрати и проблема за моментите. През 20 век изследвания върху О. с. f. се извършват главно на основата на интегралната теория и мярката на Лебег. Това допринесе за отделянето на тези изследвания в самостоятелен клон на математиката. Една от основните задачи на теорията на О. с. е. - задача за разлагане на функция f(х) в серия от формата p ( X)) - О. с. f. Ако го кажем формално p( X)) - нормализиран O. s. f., и позволяват възможността за интегриране член по член, след което умножете тази серия по φ п(X) ρ( X) и интегриране от Акъм b, получаваме:

Коефициенти S p, наречени коефициенти на Фурие на функцията спрямо системата (φ п(х)), имат следното екстремално свойство: линейна форма x):

има най-малката стойност в сравнение с дадените грешки за същото пдруги линейни изрази на формата

Серия ∑ ∞ n=1 C n φ n (x)с коефициенти S p, изчислена по формула (*), се нарича ред на Фурие на функцията f(х) според нормализирания O. s. f. (φ п(х)). За приложенията въпросът от първостепенно значение е дали функцията е уникално дефинирана f(х) чрез техните коефициенти на Фурие. О. с. f., за които това се случва, се наричат ​​пълни или затворени. Условия за закрити О. с. f. могат да бъдат дадени в няколко еквивалентни форми. 1) Всяка непрекъсната функция f(х) може да се апроксимира средно с всякаква степен на точност чрез линейни комбинации от функции φ к(х), тоест C n φ n (x) се сближава средно към функцията f(х)]. 2) За всяка функция f(х), чийто квадрат интегрираме по отношение на теглото ρ( X), условието за затвореност на Ляпунов-Стеклов е изпълнено:

3) Няма ненулева функция с интегрируема на интервала [ а, b] квадрат, ортогонален на всички функции φ п(х), п = 1, 2,....

Ако разглеждаме функции с интегрируем квадрат като елементи на Хилбертово пространство (Вижте Хилбертово пространство), тогава нормализираният O.S. f. ще бъдат системи от координатни единични вектори на това пространство, а разширението на серията в нормализирани O.s. f. - разгъване на вектора в единични вектори. С този подход много концепции на теорията на нормализираните операционни системи. f. придобиват ясен геометричен смисъл. Например формула (*) означава, че проекцията на вектора върху единичния вектор е равна на скаларното произведение на вектора и единичната единица; равенството на Ляпунов - Стеклов може да се тълкува като Питагоровата теорема за безкрайномерно пространство: квадратът на дължината на вектор е равен на сумата от квадратите на неговите проекции върху координатните оси; изолация O. s. f. означава, че най-малкото затворено подпространство, съдържащо всички вектори на тази система, съвпада с цялото пространство и т.н.

Лит.:Толстов G.P., Серия на Фурие, 2 изд., М., 1960; Natanson I.P., Конструктивна теория на функциите, M. - L., 1949; от него, Теория на функциите на реална променлива, 2 изд., М., 1957; Джаксън Д., Редове на Фурие и ортогонални полиноми, прев. от англ., М., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Теория на ортогоналните серии, прев. от немски, М., 1958 г.

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво е „Ортогонална система от функции“ в други речници:

- (гръцки orthogonios правоъгълен) крайна или изброима система от функции, принадлежащи към (отделяемото) хилбертово пространство L2(a,b) (квадратично интегрируеми функции) и отговарящи на условията F tion g(x), наречени. с тегло O. s. f.,* означава... ... Физическа енциклопедия

Система от функции??n(x)?, n=1, 2,..., зададена на сегмента ОРТОГОНАЛНА ТРАНСФОРМАЦИЯ линейна трансформация на евклидово векторно пространство, запазваща непроменени дължини или (което е еквивалентно на това) скаларни произведения на вектори. .. Голям енциклопедичен речник

Система от функции (φn(x)), n = 1, 2, ..., определени в интервала [a, b] и удовлетворяващи следното условие за ортогоналност: за k≠l, където ρ(x) е някаква функция наречено тегло. Например тригонометричната система е 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Енциклопедичен речник

Система от функции ((фn(х)), n=1, 2, ..., дефинирана на интервала [a, b] и удовлетворяваща следата, условието за ортогоналност за k не е равна на l, където p(x ) е определена функция, наречена тегло, например тригонометрична система 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Естествознание. Енциклопедичен речник

Вижте чл. Ортогонална система от функции. Физическа енциклопедия. В 5 тома. М.: Съветска енциклопедия. Главен редактор А. М. Прохоров. 1988 г. ... Физическа енциклопедия

1) О. с. вектори е набор от ненулеви вектори на евклидовото (Хилбертово) пространство със скаларния продукт (. , .), така че за (ортогоналност) и (нормализираемост). М. И. Войцеховски. 2) О. с. функции и система от функции на пространството... ... Математическа енциклопедия

Конструкция за дадена система от функции (fn(x)), интегрируема с квадрат върху интервала [a, b]функции на ортогоналната система (jn(x)) чрез прилагане на определен процес на ортогонализиране или чрез разширяване на функциите fn( x). … … Математическа енциклопедия

Определение 1. ) се нарича ортогонален, ако всички негови елементи са ортогонални по двойки:

Теорема 1.Ортогонална система от ненулеви вектори е линейно независима.

(Да приемем, че системата е линейно зависима: и, за да сте сигурни, Нека скаларно умножим равенството по . Като вземем предвид ортогоналността на системата, получаваме: }

Определение 2.Система от вектори на евклидовото пространство ( ) се нарича ортогонален, ако е ортогонален и нормата на всеки елемент е равна на единица.

От теорема 1 веднага следва, че една ортонормална система от елементи винаги е линейно независима. От тук следва от своя страна, че в п– в многомерно евклидово пространство ортонормална система от пвектори образува основа (например, ( i, j, k ) на 3 X– мерно пространство). Такава система се нарича ортонормална основа,и неговите вектори са базисни вектори.

Координатите на вектор в ортонормална база могат лесно да бъдат изчислени с помощта на скаларното произведение: if Наистина, умножаване на равенството на , получаваме посочената формула.

Като цяло всички основни величини: скаларното произведение на векторите, дължината на вектора, косинуса на ъгъла между векторите и т.н. имат най-простата форма в ортонормална основа. Нека разгледаме скаларното произведение: , тъй като

И всички други членове са равни на нула. От тук веднага получаваме: ,

* Помислете за произволна основа. Скаларното произведение в тази основа ще бъде равно на:

(Тук αiи β j – координати на вектори в базиса ( f), и са скаларни произведения на базисни вектори).

Количества γ ijобразуват матрица Ж, наречена Грам матрица.Скаларното произведение в матрична форма ще изглежда така: *

Теорема 2.Във всеки п– в дименсионалното евклидово пространство има ортонормиран базис. Доказателството на теоремата има конструктивен характер и се нарича

9. Процес на ортогонализиране на Грам–Шмид.

Нека ( a 1 ,...,a n ) − произволна основа п– размерно евклидово пространство (съществуването на такава основа се дължи на п– измерение на пространството). Алгоритъмът за конструиране на ортонормал на базата на дадена база е следният:

1.b 1 = a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |д 1|= 1.

2.б 2^e 1, защото (e 1, a 2)- проекция а 2 на e 1, b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|б 2|, |д 2|= 1.

3.б 3^a 1, b 3^a 2 , b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2 , e 3 = b 3/|б 3|, |д 3|= 1.

.........................................................................................................

к. b k^a 1 ,..., b k^a k-1, b k = a k -С i=1 k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Продължавайки процеса, получаваме ортонормална основа ( e 1 ,...,e n }.

Бележка 1. Използвайки разглеждания алгоритъм, е възможно да се конструира ортонормална основа за всяка линейна обвивка, например ортонормална база за линейната обвивка на система, която има ранг три и се състои от петизмерни вектори.

Пример.х =(3,4,0,1,2), г =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Бележка 2.Особени случаи

Процесът на Грам-Шмид може да се приложи и към безкрайна последователност от линейно независими вектори.

Освен това процесът на Грам-Шмид може да се приложи към линейно зависими вектори. В този случай издава 0 (нулев вектор) на стъпка й , Ако a j е линейна комбинация от вектори a 1 ,...,a j -1 . Ако това може да се случи, тогава, за да се запази ортогоналността на изходните вектори и да се предотврати делене на нула по време на ортонормализация, алгоритъмът трябва да провери за нулеви вектори и да ги отхвърли. Броят на векторите, произведени от алгоритъма, ще бъде равен на размерността на подпространството, генерирано от векторите (т.е. броят на линейно независимите вектори, които могат да бъдат разграничени сред оригиналните вектори).

10. Геометрични векторни пространства R1, R2, R3.

Нека подчертаем, че само пространствата имат пряко геометрично значение

R 1, R 2, R 3. Пространството R n за n > 3 е абстрактен чисто математически обект.

1) Нека е дадена система от два вектора а и b . Ако системата е линейно зависима, тогава един от векторите, да кажем а , се изразява линейно чрез друг:

а= k b.

Два вектора, свързани с такава зависимост, както вече беше споменато, се наричат ​​колинеарни. И така, система от два вектора е линейно зависима тогава и само

когато тези вектори са колинеарни. Имайте предвид, че това заключение се отнася не само за R3, но и за всяко линейно пространство.

2) Нека системата в R3 се състои от три вектора a, b, c . Линейна зависимост означава, че един от векторите, да речем а , се изразява линейно чрез остатъка:

А= k b+ л c . (*)

Определение. Три вектора a, b, c в R 3, лежащи в една и съща равнина или успоредни на същата равнина, се наричат ​​компланарни

(на фигурата вляво са посочени векторите a, b, c от една равнина, а отдясно същите вектори са начертани от различни начални точки и са успоредни само на една равнина).

Така че, ако три вектора в R3 са линейно зависими, тогава те са компланарни. Обратното също е вярно: ако векторите a, b, c от R3 са копланарни, тогава те са линейно зависими.

Векторни произведения на изкуствотовектор а, към вектор b в пространството се нарича вектор c , отговарящи на следните изисквания:

Обозначение:

Помислете за подредена тройка от некомпланарни вектори a, b, c в триизмерното пространство. Нека комбинираме началото на тези вектори в точката А(тоест избираме точка произволно в пространството Аи преместете всеки вектор успоредно, така че началото му да съвпадне с точката А). Краищата на векторите, комбинирани с техните начала в точка А, не лежат на една права, тъй като векторите не са копланарни.

Подредена тройка от некомпланарни вектори a, b, c в триизмерното пространство се нарича точно, ако от края на вектора c най-кратък завой от вектор а към вектор b видими за наблюдателя обратно на часовниковата стрелка. Обратно, ако най-късият завой се вижда по посока на часовниковата стрелка, тогава се извиква тройката наляво.

Друго определение е свързано с дясна ръкалице (виж снимката), откъдето идва името.

Всички десни (и леви) тройки вектори се наричат ​​еднакво ориентирани.

Равно на нула:

.

Една ортогонална система, ако е пълна, може да се използва като основа за пространство. В този случай разлагането на всеки елемент може да се изчисли по формулите: , където .

Случаят, когато нормата на всички елементи се нарича ортонормална система.

Ортогонализация

Всяка пълна линейно независима система в крайномерно пространство е основа. Следователно от проста основа може да се премине към ортонормална база.

Ортогонално разлагане

При декомпозиране на векторите на векторно пространство според ортонормална база, изчисляването на скаларното произведение е опростено: , където и .

Вижте също

Фондация Уикимедия.

2010 г.

Вижте какво е „Ортогонална система“ в други речници: Математическа енциклопедия

- (гръцки orthogonios правоъгълен) крайна или изброима система от функции, принадлежащи към (отделяемото) хилбертово пространство L2(a,b) (квадратично интегрируеми функции) и отговарящи на условията F tion g(x), наречени. с тегло O. s. f.,* означава... ... Физическа енциклопедия

Система от функции??n(x)?, n=1, 2,..., зададена на сегмента ОРТОГОНАЛНА ТРАНСФОРМАЦИЯ линейна трансформация на евклидово векторно пространство, запазваща непроменени дължини или (което е еквивалентно на това) скаларни произведения на вектори. .. Голям енциклопедичен речник

Система от функции (φn(x)), n = 1, 2, ..., определени в интервала [a, b] и удовлетворяващи следното условие за ортогоналност: за k≠l, където ρ(x) е някаква функция наречено тегло. Например тригонометричната система е 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Енциклопедичен речник

Система от функции ((фn(х)), n=1, 2, ..., дефинирана на интервала [a, b] и удовлетворяваща следата, условието за ортогоналност за k не е равна на l, където p(x ) е определена функция, наречена тегло, например тригонометрична система 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Естествознание. Енциклопедичен речник

1) О... Велика съветска енциклопедия

Ортогоналните координати са тези, в които метричният тензор има диагонална форма. където d В ортогонални координатни системи q = (q1, q², …, qd) координатните повърхности са ортогонални една спрямо друга. По-специално, в декартовата координатна система... ... Wikipedia

ортогонална многоканална система- - [L.G.Sumenko. Английско-руски речник по информационни технологии. M .: Държавно предприятие TsNIIS, 2003.] Теми информационни технологии като цяло EN ортогонален мултиплекс ...

координатна система на (фотограметрично) изображение- Дясна ортогонална пространствена координатна система, фиксирана върху фотограметрично изображение чрез изображения на опорни знаци. [GOST R 51833 2001] Теми: фотограметрия... Ръководство за технически преводач

система- 4.48 система: Комбинация от взаимодействащи елементи, организирани за постигане на една или повече определени цели. Бележка 1 Системата може да се разглежда като продукт или услугите, които предоставя. Забележка 2 На практика... ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

система от функции ((φ п(х)}, п= 1, 2,..., ортогонален с тегло ρ ( X) на сегмента [ А, b], т.е. такова, че

Примери. Тригонометрична система 1, cos nx, грях nx; п= 1, 2,..., - О.с. f. с тежест 1 върху сегмента [-π, π]. Функции на Бесел n = 1, 2,..., J ν ( х), образуват за всяко ν > - 1/2 O. s. f. с тегло Xна сегмента.

Ако всяка функция φ ( X) от О. с. f. е това х) по номер

Систематично изследване на O. s. f. стартира във връзка с метода на Фурие за решаване на гранични проблеми на уравнения на математическата физика. Този метод води например до намиране на решения на проблема на Щурм-Лиувил (вижте проблема на Щурм-Лиувил) за уравнението [ρ( X) y" ]" + р(х) г = λ при, удовлетворяващи граничните условия при(А) + хей"(а) = 0, г(b) + хай"(b) = 0, където чи Н- постоянен. Тези решения са т.нар. собствените функции на проблема образуват O.s. f. с тегло ρ ( X) на сегмента [ а, b].

Изключително важен клас O. s. f. - Ортогонални полиноми - открити са от П. Л. Чебишев в изследванията му върху интерполацията по метода на най-малките квадрати и проблема за моментите. През 20 век изследвания върху О. с. f. се извършват главно на основата на интегралната теория и мярката на Лебег. Това допринесе за отделянето на тези изследвания в самостоятелен клон на математиката. Една от основните задачи на теорията на О. с. е. - задача за разлагане на функция f(х) в серия от формата p ( X)) - О. с. f. Ако го кажем формално p( X)) - нормализиран O. s. f., и позволяват възможността за интегриране член по член, след което умножете тази серия по φ п(X) ρ( X) и интегриране от Акъм b, получаваме:

Коефициенти S p, наречени коефициенти на Фурие на функцията спрямо системата (φ п(х)), имат следното екстремално свойство: линейна форма x):

има най-малката стойност в сравнение с дадените грешки за същото пдруги линейни изрази на формата

Серия ∑ ∞ n=1 C n φ n (x)с коефициенти S p, изчислена по формула (*), се нарича ред на Фурие на функцията f(х) според нормализирания O. s. f. (φ п(х)). За приложенията въпросът от първостепенно значение е дали функцията е уникално дефинирана f(х) чрез техните коефициенти на Фурие. О. с. f., за които това се случва, се наричат ​​пълни или затворени. Условия за закрити О. с. f. могат да бъдат дадени в няколко еквивалентни форми. 1) Всяка непрекъсната функция f(х) може да се апроксимира средно с всякаква степен на точност чрез линейни комбинации от функции φ к(х), тоест C n φ n (x) се сближава средно към функцията f(х)]. 2) За всяка функция f(х), чийто квадрат интегрираме по отношение на теглото ρ( X), условието за затвореност на Ляпунов-Стеклов е изпълнено:

3) Няма ненулева функция с интегрируема на интервала [ а, b] квадрат, ортогонален на всички функции φ п(х), п = 1, 2,....

Ако разглеждаме функции с интегрируем квадрат като елементи на Хилбертово пространство (Вижте Хилбертово пространство), тогава нормализираният O.S. f. ще бъдат системи от координатни единични вектори на това пространство, а разширението на серията в нормализирани O.s. f. - разгъване на вектора в единични вектори. С този подход много концепции на теорията на нормализираните операционни системи. f. придобиват ясен геометричен смисъл. Например формула (*) означава, че проекцията на вектора върху единичния вектор е равна на скаларното произведение на вектора и единичната единица; равенството на Ляпунов - Стеклов може да се тълкува като Питагоровата теорема за безкрайномерно пространство: квадратът на дължината на вектор е равен на сумата от квадратите на неговите проекции върху координатните оси; изолация O. s. f. означава, че най-малкото затворено подпространство, съдържащо всички вектори на тази система, съвпада с цялото пространство и т.н.

Лит.:Толстов G.P., Серия на Фурие, 2 изд., М., 1960; Natanson I.P., Конструктивна теория на функциите, M. - L., 1949; от него, Теория на функциите на реална променлива, 2 изд., М., 1957; Джаксън Д., Редове на Фурие и ортогонални полиноми, прев. от англ., М., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Теория на ортогоналните серии, прев. от немски, М., 1958 г.

• - групата от всички линейни трансформации на n-мерното векторно пространство V над полето k, запазвайки фиксирана неизродена квадратна форма Q върху V)=Q за всяко)...

  Математическа енциклопедия

• - матрица над комутативен пръстен R с единица 1, за която транспонираната матрица съвпада с обратната. Детерминантата на O. m е равна на +1...

  Математическа енциклопедия

• - мрежа, в която допирателните в определена точка към линии от различни семейства са ортогонални. Примери за операционни системи: асимптотична мрежа върху минимална повърхност, мрежа с кривина на линията. А.В.Иванов...

  Математическа енциклопедия

• - 1) О....

  Математическа енциклопедия

• - ортогонален масив, OA - матрица с размер kx N, чиито елементи са числата 1, 2, .....

  Математическа енциклопедия

• - виж Изогонална траектория...

  Математическа енциклопедия

• - ортонормална система от функции (j) на определено хилбертово пространство H, така че в H не съществува функция, ортогонална на всички функции от дадено семейство...

  Математическа енциклопедия

• - виж Проекция...

  Голям енциклопедичен политехнически речник

• - определяне на подчинението на функциите на различни обекти...

  Речник на бизнес термините

• - укрепване на функциите, една от гл. начини за прогресивна трансформация на органи по време на еволюцията на животните. I.f. обикновено се свързва с усложняване на структурата на органите и тялото като цяло...

  Биологичен енциклопедичен речник

• - укрепване на функциите, един от основните начини за прогресивна трансформация на органите по време на еволюцията на животните. I.f. е свързано с усложняване на структурата на органите и води до общо повишаване на нивото на жизнената активност...
• - поръчайте n Matrix...

  Велика съветска енциклопедия

• - специален случай на паралелна проекция, когато оста или равнината на проекциите е перпендикулярна на посоката на проекция...

  Велика съветска енциклопедия

• - система от функции (), n = 1, 2,..., ортогонални с тегло ρ върху сегмента, т.е. такива, че Примери. Тригонометрична система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. с тегло 1 на сегмента...

  Велика съветска енциклопедия

• - такава система от функции Ф = (φ), определени на интервал, че няма функция f, за която,...

  Велика съветска енциклопедия

• - ОРТОГОНАЛНА система от ФУНКЦИИ - система от функции??n?, n=1, 2,.....

  Голям енциклопедичен речник

"Ортогонална система от функции" в книгите

Параграф XXIV Старата система на окопната война и съвременната система на маршовете

От книгата Стратегия и тактика в изкуството на войната автор Жомини Генрих Вениаминович

Параграф XXIV Старата система за позиционна война и съвременната система на маршовете Под системата от позиции се има предвид старият метод за водене на методична война, с армии, спящи в палатки, разполагащи с провизии под ръка, ангажирани да се наблюдават една друга; една армия

19. Понятието „данъчна система на Руската федерация“. Връзката между понятията „данъчна система“ и „данъчна система“

От книгата Данъчно право автор Микидзе С Г

19. Понятието „данъчна система на Руската федерация“. Връзката между понятията „данъчна система“ и „данъчна система“ Данъчната система е набор от федерални данъци, регионални и местни данъци, установени в Руската федерация. Неговата структура е залегнала в чл. 13–15 Данъчен кодекс на Руската федерация в съответствие с

От книгата Как наистина се случи. Реконструкция на истинска история автор Носовски Глеб Владимирович

23. Геоцентрична система на Птолемей и хелиоцентрична система на Тихо Брахе (и Коперник) Системата на света според Тихо Брахе е показана на фиг. 90. В центъра на света е Земята, около която се върти Слънцето. Всички други планети обаче вече обикалят около Слънцето. точно така

23. Геоцентрична система на Птолемей и хелиоцентрична система на Тихо Брахе (и Коперник)

От книгата на автора

23. Геоцентрична система на Птолемей и хелиоцентрична система на Тихо Брахе (и Коперник) Системата на света според Тихо Брахе е показана на фиг. 90. В центъра на света е Земята, около която се върти Слънцето. Всички други планети обаче вече обикалят около Слънцето. точно така

Пълна система от функции

От книгата Велика съветска енциклопедия (ПО) на автора TSB

Ортогонална матрица

TSB

Ортографска проекция

От книгата Велика съветска енциклопедия (OR) на автора TSB

Ортогонална функционална система

От книгата Велика съветска енциклопедия (OR) на автора TSB

Съвет 46: Предавайте функционални обекти на алгоритми вместо на функции

От книгата Ефективно използване на STL от Майерс Скот

Съвет 46: Предавайте функционални обекти на алгоритми вместо на функции Често се казва, че увеличаването на нивото на абстракция на езиците от високо ниво води до по-малко ефективен генериран код. Александър Степанов, изобретателят на STL, някога е разработил малък комплекс

12.3.5. Функционални адаптери за функционални обекти

От книгата C++ за начинаещи от Липман Стенли

12.3.5. Функционални адаптери за функционални обекти Стандартната библиотека също така съдържа редица функционални адаптери за специализиране и разширяване както на унарни, така и на двоични функционални обекти. Адаптерите са специални класове, разделени на следните два

11/19/2. Извикване на функции от функционален файл

От книгата Linux и UNIX: програмиране на shell. Ръководство за разработчици. от Тейнсли Дейвид

11/19/2. Извикване на функции от функционален файл Вече разгледахме как функциите се извикват от командния ред. Тези типове функции обикновено се използват от помощни програми, които създават системни съобщения. Сега нека отново използваме описаната по-горе функция, но в този случай

Системата на обективното (позитивното) право и системата на законодателството: връзката на понятията

От книгата Юриспруденция автор Мардалиев Р. Т.

Системата на обективното (позитивно) право и системата на законодателството: връзката на понятията Системата на обективното (позитивно) право е вътрешната структура на правото, разделяйки го на отрасли, подсектори и институции в съответствие с предмета и метода на юридически

31. Френска държавна система, избирателно право и избирателна система

От книгата Конституционно право на чужди страни автор Имашева Е Г

31. Френска държавна система, избирателно право и избирателна система Във Франция има смесено (или полупрезидентско) републиканско правителство. Системата на управление във Франция е изградена на принципа на разделение на властите

Терапевтични движения за възстановяване на двигателните функции и при болки в гърба Възстановяване на двигателните функции

От книгата Енциклопедия на терапевтичните движения за различни заболявания автор Асташенко Олег Игоревич

Терапевтични движения за възстановяване на двигателните функции и при болки в гърба Възстановяване на двигателните функции Има много упражнения за възстановяване на гръбначния стълб. Можете или да ги измислите сами, или да ги намерите в различни видове гимнастика. Въпреки това, просто

Терапевтични движения за възстановяване на двигателните функции и при болки в гърба

От книгата Основен ремонт на гръбначния стълб автор Асташенко Олег Игоревич

Терапевтични движения за възстановяване на двигателните функции и двигателните функции при болки в гърба Възстановяване на двигателните функции Има много упражнения за възстановяване на гръбначния стълб. Можете или да ги измислите сами, или да ги намерите в различни видове гимнастика.

x =λ 0 e +z, къдетоz L. За да изчислим λ 0, умножаваме скаларно двете страни на равенството по e. Тъй като (z,e) = 0, получаваме (x,e) =λ 0 (e,e) =λ 0.

Ортогонални и ортонормални системи

Определение 5.5. Ако L е подпространство на хилбертово пространство H, тогава колекцията M от всички елементи от H, които са ортогонални на L, се нарича

ортогонално допълнение към L.

Нека докажем, че M също е подпространство.

1) От свойство 3) за ортогонални елементи следва, че M е линейно подмножество на пространството H.

2) Нека z n M и z n → z . По дефиниция M z n y за всяко y L , а по свойството 4) за ортогонални елементи имаме z y . Следователно z M и M са затворени.

За всяко x H, съгласно теорема 5.3 има уникално разширение

от формата x =y +z, където y L,z M, т.е. образуват подпространства L и M

ортогонално разлагане на пространството H.

Лема 5.1. Нека е дадено ограничено или изброимо множество от по двойки ортогонални подпространства L n и нека елементът x H бъде представен във формата

x = ∑ y n , където y L . Тогава такова представяне е уникално и y n = Pr L n x .

Определение 5.6. Система от ортогонални подпространства L n се нарича пълна, ако в пространството H няма ненулев елемент, ортогонален на всички L n .

Определение 5.7. Крайна или изброима система от елементи h n на хилбертово пространство H се нарича ортогонална, ако h n h m за n ≠m. Определение 5.8. Ортогоналната система h n се нарича ортонормална, ако ||h n || = 1.

Определение 5.9. Една ортогонална система h n се нарича пълна, ако няма ненулев елемент x H такъв, че x h n за всички n .

Можете да проверите тованенулевите елементи на ортогоналната система са линейно независими.

Пример за пълна ортонормална система в l 2 е системата от всички координатни единични вектори.

Генерирани от елементи h n	едноизмерен		подпространства L n
ортогонален. Проекции на елементи				подпространства
изчислено по формулата		x = anhn.
	PrL n
Числата α n = (x ,h n ) се наричат	коефициенти			Елемент на Фуриеx
спрямо системата от елементи h n.

Теорема 5.4. Ако елементът x H може да бъде представен като

x = ∑ λ n h n , тогава това представяне е уникално и коефициентите λ n са равни

Това е представление x се нарича разширение на Фурие (ортогонално разширение) на елемента x в елементите hn.

Теорема 5.5. За да може всеки елемент x H да бъде представен чрез неговото разширение на Фурие върху елементите h n на една ортонормална система, е необходимо и достатъчно тази система да е пълна.

От тази теорема следва, че в n-мерно хилбертово пространство пълната ортонормална система трябва да се състои от n елемента. От друга страна, ако в n-мерно хилбертово пространство е даден произволен базис, състоящ се от по двойки ортогонални елементи, то от теорема 5.5 следва, че тази система е пълна.

Определение 5.10. Пълна ортогонална система от елементи се нарича

ортонормална основа Хилбертово пространство.

Определение 5.11. Съотношение

	∑ α n 2=
където α n	– Коефициенти на Фурие на елемент x, наречен уравнение
изолация.

Теорема 5.6.

За произволна ортонормална система (h n ), следните твърдения относно елементите x H са еквивалентни:

1) за елемента x H е валидно разширението на Фурие (5.7);

2) елементът x H е включен в подпространството, генерирано от множеството елементи (h n);

3) за елемента x H е изпълнено уравнението на затвореност (5.8). От теореми 5.5 и 5.6 следва, че за да бъде една ортонормална система пълна, е необходимо и достатъчно, че

за всеки x H уравнението за затвореност е изпълнено.

Теорема 5.7. Ако елементът x H може да бъде представен чрез неговото разширение на Фурие (5.7) върху елементите на ортонормалната система (h n ), тогава за всеки y H

(x ,y )= ∑ α n β n ,

където α n са коефициентите на Фурие на elementx, β n са коефициентите на Фурие на elementy спрямо системата (h n).

Теорема 5.8. Крайномерното нормирано пространство е сепарабилно. Всяко пространство с изброима основа е разделимо.

От теореми 5.8 и 5.9 следва, че краен или преброим ортонормален базис може да съществува само в отделими пространства.

Ортогонализация на система от линейно независими елементи

Нека крайна или изброима система от линейно независими елементи g 1 ,g 2 , ... е дадена в хилбертово пространство H , ... Нека конструираме ортонормална система от елементи h 1 , h 2 , ... така че всеки h n има формата

h n =μ n 1 g 1 +μ n 2 g 2 +...+μ nn g n,
и всеки g n има формата
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n .

Първо, нека изградим ортогонална система от елементи f 1 , f 2 , ... , приемайки последователно

k = 1

Коефициентите λ ik трябва да бъдат избрани по такъв начин, че елементите f 1 , f 2 , ... да са по двойки ортогонални. Нека коефициентите λ ik за елементите f 1 , f 2 , ..., f n- 1 вече са намерени. Тогава, когато аз

n− 1		n− 1
(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i ) –∑ λ nk (f k ,f i ).
k = 1		k = 1
Тъй като f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 вече	са ортогонални, тогава (f k ,f i ) = 0 за		k ≠ i,
получаваме	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni ||f i ||2 .
(бел
Тъй като всеки елемент		е линейна комбинация линейно
независими елементи g 1,	g 2 , ...,g n и коефициента		при g n

единица, тогава f n ≠ 0. За да бъде изпълнено условието (f n ,f i ) = 0, коефициентът λ ni трябва да се определи по формулата

λni=		g n,		е и)

Построихме ортогонална система f 1 ,f 2 , .... Сега да сложим

h n=

Елементите h 1 ,h 2 , ... са по двойки ортогонални, ||h n || = 1 и всеки елемент h n е линейна комбинация от елементи g 1 ,g 2 , ...,g n , следователно има искания вид (5.9). От друга страна, от формула (5.11) е ясно, че всеки g n е линейна комбинация от елементите f 1, f 2, ..., f n и следователно елементите h 1, h 2, ..., h n , т.е. има формата (5.10). Така получихме необходимата ортонормална система.

Освен това, ако първоначалната система (gn) е безкрайна, тогава процесът на ортогонализиране се състои от безкраен брой стъпки и системата (hn) също ще бъде безкрайна. Ако първоначалната система се състои от m елемента, тогава получената система ще има същия брой.

Забележете, че от условия (5.9) и (5.10) следва, че линейните обвивки на системите от елементи (gn) и (hn) съвпадат.

Ако L е крайномерно подпространство на пространството H и g 1 ,g 2 , ...,g n е неговата произволна база, тогава чрез прилагане на процеса на ортогонализиране към системата (g n ), ние ще конструираме ортонормална база на подпространството

Изоморфизъм на произволно разделимо хилбертово пространство с пространството l²

Теорема 5.10. В сепарабилно хилбертово пространство H, съдържащо ненулеви елементи, съществува краен или изброим ортонормален базис.

Доказателство.

По дефиницията за разделимост съществува изброимо навсякъде плътно множество A в H. Нека преномерираме всички елементи от множество A. Нека изберем от A крайна или изброима система B от линейно независими елементи, чийто линеен обхват съвпада с линейния обхват на множеството A. В този случай всички елементи, изхвърлени от A, са линейни комбинации от елементи на система B. Ще подложим система B на процеса на ортогонализиране и ще конструираме крайна или изброима ортонормална система от елементи h n . Нека докажем

че е пълен.

Нека x H е ортогонален на всички h n . Тъй като елементите на система B са линейни комбинации от елементи h n , tox е ортогонален на всички елементи

системи Б. Набор A се различава от B по това, че съдържа още няколко елемента, които са представени като линейни комбинации от елементи на система B. Следователно x е ортогонален на всички елементи от множеството A. Но тъй като A е навсякъде плътен в H, тогава x = 0 по свойство 5) за ортогонални елементи. Така пълнотата на системата от елементи h n е доказана.

Нека прехвърлим дефинициите на алгебричен изоморфизъм и изометрия за евклидови пространства към всякакви нормирани пространства.

Определение 5.12. Две нормирани пространства E и E 1 се наричат

алгебрично изоморфен и изометричен , ако между техните елементи може да се установи съответствие едно към едно, така че:

а) алгебричните операции върху елементи от E съответстват на същите операции върху техните изображения в E 1 ;

б) нормите на съответните елементи от E и от E 1 са равни.

Теорема 5.11. Всяко безкрайномерно отделимо хилбертово пространство H е алгебрично изоморфно и изометрично на пространството l 2 .

Доказателство.

Съгласно теорема 5.10 има изброима ортонормална база в H: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... По теорема 5.5 за всяко x H разширението в

		x = ∑ α n hn .				сравними
		n= 1
последователност от неговите коефициенти					(α n), т.е. n= 1 Векторът a и ще се нарича образ на елементите. Ако α n са коефициентите на Фурие на елементите, а β n са коефициентите сумата от образите на елементите x и y. По подобен начин се проверява, че ако a е образът на елементите, тогава λ a е образът на елемента λ x. Това означава, че алгебричните операции върху елементи от H съответстват на същите операции върху техните изображения в l 2. Нека покажем, че всеки вектор a = (α n )l 2 е образ на някои x H . За да направим това, като имаме предвид дадената стойност, съставяме серията ∑ α n h n . Тъй като членовете на поредицата са по двойки ортогонални и n= 1 ∑ ||α n h n ||2 = ∑ α n 2< +∞, n= 1 n= 1 тогава по теорема 5.2 редът се събира. Ако означим сбора му с x, тогава съгласно теорема 5.4α n ще бъдат коефициентите на Фурие за това, следователно, даденият вектор a ще бъде негов образ. Сега нека проверим дали установеното съответствие между елементи от H и вектори от l 2 е едно към едно. Действително, ако векторите a и b са образи на елементи в y, съответно, тогава, от доказаното, a – b е образ на елементи – y и по (5.12) a − b = x − y. Следователно, ако x ≠ y, тогава ia ≠ b. С други думи, ако ортонормалната система е пълна и два елемента x и y имат съответно еднакви коефициенти на Фурие, тогава x = y. Това не е вярно за непълна система. Така установихме съответствие между елементи от H и вектори от l 2, което представлява алгебричен изоморфизъм и според (5.12) е изометричен. Теоремата е доказана. Сега доказваме, че изоморфизмът между H и l 2 също е установен с запазвайки стойността на скаларното произведение. Теорема 5.12. С изоморфизма между пространствата H и l 2, установен в теорема 5.11, скаларното произведение на всеки два елемента от H . е равно на скаларното произведение на техните изображения в l 2. доказателство Нека векторите a и b са изображения на елементите uy, съответно, a= (α n),b= (β n). Тогава: x = ∑ α n h n ,y =∑ β n h n . n= 1 n= 1 Като вземем предвид теорема 5.7 и дефиницията на скаларното произведение в l 2, намираме