Начало Векторите могат да бъдат представени графично чрез насочени сегменти. Дължината се избира в определена скала, за да се посочи векторна величина , а посоката на сегмента представлява векторна посока
. Например, ако приемем, че 1 cm представлява 5 km/h, тогава североизточен вятър със скорост 15 km/h ще бъде представен от насочен сегмент с дължина 3 cm, както е показано на фигурата. вектор на равнина е насочен сегмент. Два вектора равен ако имат същоторазмер и.
посока Помислете за вектор, начертан от точка А до точка Б. Точката се наричаотправна точка вектор, а точка B се наричакрайна точка . Символното обозначение за този вектор е (разчетено като „вектор AB“). Векторите също са представени с удебелени букви като U, V и W. Четирите вектора на фигурата вляво имат еднаква дължина и посока. Следователно те представляватравен 
ветрове; тоест
В контекста на векторите използваме =, за да посочим, че те са равни. Дължина, иливеличина
се изразява като ||. За да определим дали векторите са равни, намираме техните големини и посоки.Пример 1 
Векторите u, , w са показани на фигурата по-долу. Докажете, че u = = w.Решение
Първо намираме дължината на всеки вектор, използвайки формулата за разстояние:
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Оттук
|u| = | = |w|. 
Векторите u, , и w, както се вижда от фигурата, изглежда имат една и съща посока, но ще проверим техния наклон. Ако линиите, на които са разположени, имат еднакви наклони, тогава векторите имат една и съща посока. Ние изчисляваме наклоните:
Тъй като u, и w имат равни величини и еднаква посока,
u = = w.
Имайте предвид, че равните вектори изискват само същата величина и същата посока, а не едно и също местоположение. Най-горната фигура показва пример за векторно равенство. Да предположим, че човек прави 4 крачки на изток и след това 3 крачки на север. След това лицето ще бъде на 5 стъпки от началната точка в посоката, показана вляво. Вектор с дължина 4 единици и посока надясно представлява 4 стъпки на изток, а вектор с дължина 3 единици с посока нагоре представлява 3 стъпки на север. от тези два вектора има вектор с 5 стъпки на величина и в показаната посока. Сумата също се нарича в резултат два вектора.
Като цяло два ненулеви вектора u и v могат да се добавят геометрично чрез поставяне на началната точка на вектора v в крайната точка на вектора u и след това намиране на вектор, който има същата начална точка като вектора u и същия край точка като вектор v, както е показано на фигурата по-долу. 
Сумата е вектор, представен от насочен сегмент от точка A на вектор u до крайната точка C на вектор v. Така, ако u = и v = , тогава
u + v = + =
Можем също да опишем събирането на вектори като поставяне на началните точки на векторите заедно, конструиране на успоредник и намиране на диагонала на успоредника. (на фигурата по-долу.) Това добавяне понякога се нарича като правило на успоредник
добавяне на вектори. Векторното добавяне е комутативно. Както е показано на фигурата, двата вектора u + v и v + u са представени от една и съща насочена отсечка. 
Ако две сили F 1 и F 2 действат върху един обект, в резултатсилата е сумата от F 1 + F 2 на тези две отделни сили. 
ПримерДве сили от 15 нютона и 25 нютона действат върху един обект перпендикулярно една на друга. Намерете техния сбор или резултантната сила и ъгъла, който сключва с по-голямата сила.
Векторите u, , w са показани на фигурата по-долу. Докажете, че u = = w.Нека начертаем условието на проблема, в този случай правоъгълник, използвайки v или за представяне на резултата. За да намерим стойността му, използваме Питагоровата теорема:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Тук |v| обозначава дължината или величината на v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
За да намерите посоката, имайте предвид, че тъй като OAB е прав ъгъл,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Използвайки калкулатор, намираме θ, ъгълът, който по-голямата сила прави с общата сила:
θ = тен - 1 (0,6) ≈ 31°
Резултатът има величина 29,2 и ъгъл 31° с по-голяма сила.
Пилотите могат да коригират посоката на полета си, ако има страничен вятър. Вятърът и скоростта на самолета могат да бъдат представени като ветрове.
Пример 3. Скорост и посока на самолета.Самолетът се движи по азимут 100° със скорост 190 км/ч, при скорост на вятъра 48 км/ч и азимут 220°. Намерете абсолютната скорост на самолета и посоката на движението му, като вземете предвид вятъра.
Векторите u, , w са показани на фигурата по-долу. Докажете, че u = = w.Нека първо да направим чертеж. Вятърът е представен и векторът на скоростта на самолета е . Полученият вектор на скоростта е v, сумата от двата вектора. Ъгълът θ между v и се нарича ъгъл на дрейфа
.
Имайте предвид, че стойността на COA = 100° - 40° = 60°. Тогава стойността на CBA също е равна на 60° (противоположните ъгли на успоредника са равни). Тъй като сборът от всички ъгли на успоредник е 360° и COB и OAB са с еднаква величина, всеки трябва да бъде 120°. от косинусово правило
в OAB, имаме
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
След това |v| се равнява на 218 км/ч. Според правило на синусите
, в същия триъгълник,
48
/sinθ = 218
/грях 120°,
или
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
След това, θ = 11°, до най-близкия цял ъгъл. Абсолютната скорост е 218 км/ч, а посоката на движение при отчитане на вятъра: 100° - 11°, или 89°.
Като е даден вектор w, можем да намерим два други вектора u и v, чиято сума е w. Векторите u и v се наричат компоненти w и процесът на намирането им се нарича разграждане , или представянето на вектор чрез неговите векторни компоненти.
Когато разширяваме вектор, обикновено търсим перпендикулярни компоненти. Много често обаче единият компонент ще бъде успореден на оста x, а другият ще бъде успореден на оста y. Поради това те често се наричат хоризонтална
размер вертикален
векторни компоненти. На фигурата по-долу векторът w = се разлага като сбор от u = и v =. 
Хоризонталната компонента на w е u, а вертикалната компонента е v.
Пример 4Векторът w има величина 130 и наклон 40° спрямо хоризонталата. Декомпозирайте вектора на хоризонтални и вертикални компоненти.
Векторите u, , w са показани на фигурата по-долу. Докажете, че u = = w.Първо ще начертаем картина с хоризонтални и вертикални вектори u и v, чиято сума е w. 
От ABC намираме |u| и |v|, използвайки дефинициите на косинус и синус:
cos40° = |u|/130, или |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, или |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Тогава хоризонталният компонент на w е 100 надясно, а вертикалният компонент на w е 84 нагоре.
Основата на пространствототе наричат такава система от вектори, в която всички други вектори в пространството могат да бъдат представени като линейна комбинация от вектори, включени в основата.
На практика всичко това се изпълнява доста просто. Основата, като правило, се проверява на равнина или в пространството и за това трябва да намерите детерминанта на матрица от втори, трети ред, съставена от векторни координати. По-долу са написани схематично условия, при които векторите формират основа
до разширете вектор b в базисни вектори
e,e...,e[n] е необходимо да се намерят коефициентите x, ..., x[n], за които линейната комбинация от вектори e,e...,e[n] е равна на вектор б:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
За да направите това, векторното уравнение трябва да се преобразува в система от линейни уравнения и да се намерят решения. Това също е доста лесно за изпълнение.
Намерените коефициенти x, ..., x[n] се наричат координати на вектор b в основата e,e...,e[n].
Да преминем към практическата страна на темата.
Разлагане на вектор на базисни вектори
Задача 1. Проверете дали векторите a1, a2 образуват базис на равнината
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Съставяме детерминанта от координатите на векторите и я пресмятаме
Детерминантът не е нула, следователно векторите са линейно независими, което означава, че образуват основа.
2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Решение: Изчисляваме детерминантата, съставена от вектори 
Детерминантата е равна на 13 (не е равна на нула) - от това следва, че векторите a1, a2 са основа на равнината.
---=================---
Нека разгледаме типични примери от програмата MAUP по дисциплината „Висша математика“.
Задача 2. Покажете, че векторите a1, a2, a3 формират основата на тримерно векторно пространство и разширете вектора b според тази основа (използвайте метода на Крамър при решаване на система от линейни алгебрични уравнения).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Решение: Първо, разгледайте системата от вектори a1, a2, a3 и проверете детерминантата на матрица A
изграден върху ненулеви вектори. Матрицата съдържа един нулев елемент, така че е по-подходящо детерминантата да се изчисли като график в първата колона или третия ред. 
В резултат на изчисленията установихме, че детерминантата е различна от нула, следователно векторите a1, a2, a3 са линейно независими.
По дефиниция векторите формират основа в R3. Нека запишем графика на вектор b въз основа на 
Векторите са равни, когато съответните им координати са равни.
Следователно от векторното уравнение получаваме система от линейни уравнения 
Нека решим SLAE Методът на Крамър. За да направим това, записваме системата от уравнения във формата
Главният детерминант на SLAE винаги е равен на детерминантата, съставена от базисни вектори
Следователно на практика не се брои два пъти. За да намерим спомагателни детерминанти, поставяме колона със свободни термини на мястото на всяка колона от основната детерминанта. Детерминантите се изчисляват с помощта на правилото на триъгълника 
Нека заместим намерените детерминанти във формулата на Крамър 
И така, разширението на вектора b по отношение на основата има формата b=-4a1+3a2-a3. Координатите на вектор b в основата a1, a2, a3 ще бъдат (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяваме векторите за базис - съставяме детерминанта от координатите на векторите и я изчисляваме 
Следователно детерминантата не е равна на нула векторите формират основа в пространството. Остава да се намери разписанието на вектор b през тази база. За да направим това, ние пишем векторното уравнение 
и се трансформира в система от линейни уравнения 
Записваме матричното уравнение
След това за формулите на Крамър намираме спомагателни детерминанти 
Прилагаме формулите на Крамер 
Така че даден вектор b има график през два базисни вектора b=-2a1+5a3, а координатите му в основата са равни на b(-2,0, 5).
Тестови задачи
Задача 1 - 10. Дадени са вектори.
Покажете, че векторите образуват основа на триизмерното пространство и намерете координатите на вектора в тази основа:
Дадени вектори ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Покажете, че векторите формират основата на тримерното пространство и намерете координатите на вектора X в тази основа.
Тази задача се състои от две части. Първо трябва да проверите дали векторите формират основа. Векторите образуват база, ако детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула, в противен случай векторите не са базисни и векторът X не може да бъде разширен върху тази база.
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Нека изчислим детерминантата на матрицата:
Детерминантата на матрицата е ∆ =37
Тъй като детерминантата е различна от нула, векторите образуват база, следователно векторът X може да бъде разширен върху тази база. Тези. има числа α 1, α 2, α 3, за които е в сила равенството:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Нека запишем това равенство в координатна форма:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Използвайки свойствата на векторите, получаваме следното равенство:
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
По свойството за равенство на векторите имаме:
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1 Решаваме получената система от уравненияМетод на Гаус или.
Методът на Крамър
X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3
Решението е получено и обработено с помощта на услугата:
Векторни координати в основата
Наред с този проблем те решават и:
Решаване на матрични уравнения
Метод на Крамер
Метод на Гаус
Обратна матрица по метода на Йордано-Гаус
Обратна матрица чрез алгебрични допълнения
Онлайн умножение на матрици
Стандартна дефиниция: „Векторът е насочен сегмент.“ Обикновено това е степента на познания на завършилия за векторите. Кой се нуждае от „насочени сегменти“?
Прогноза за времето. "Вятър северозапад, скорост 18 метра в секунда." Съгласете се, както посоката на вятъра (откъде духа), така и модулът (тоест абсолютната стойност) на скоростта му имат значение.
Величините, които нямат посока, се наричат скаларни. Масата, работата, електрическият заряд не са насочени никъде. Те се характеризират само с цифрова стойност - "колко килограма" или "колко джаула".
Физическите величини, които имат не само абсолютна стойност, но и посока, се наричат векторни величини.
Скорост, сила, ускорение - вектори. За тях е важно „колко“ и „къде“. Например ускорение поради гравитация 
насочен към повърхността на Земята, а магнитудът му е 9,8 m/s 2. Импулсът, напрегнатостта на електрическото поле, индукцията на магнитното поле също са векторни величини.
Нали се сещате, че физическите величини се означават с букви, латински или гръцки. Стрелката над буквата показва, че количеството е векторно:
Ето още един пример.
Кола се движи от А до Б. Крайният резултат е неговото движение от точка А до точка Б, тоест движение по вектор.
Сега е ясно защо векторът е насочен сегмент. Моля, обърнете внимание, че краят на вектора е там, където е стрелката. Дължина на векторасе нарича дължина на този сегмент. Обозначава се с: или
Досега сме работили със скаларни величини, съгласно правилата на аритметиката и елементарната алгебра. Векторите са нова концепция. Това е друг клас математически обекти. Те имат свои собствени правила.
Имало едно време дори не знаехме нищо за числата. Запознанството ми с тях започна още в началното училище. Оказа се, че числата могат да се сравняват едно с друго, да се събират, изваждат, умножават и делят. Научихме, че има число едно и число нула.
Сега се запознахме с векторите.
Понятията „повече“ и „по-малко“ за вектори не съществуват - в крайна сметка посоките им могат да бъдат различни. Могат да се сравняват само дължини на вектори.
Но има концепция за равенство за векторите.
Равенвектори, които имат еднаква дължина и еднаква посока се наричат. Това означава, че векторът може да се пренесе успоредно на себе си във всяка точка от равнината.
Неженене вектор, чиято дължина е 1. Нула е вектор, чиято дължина е нула, т.е. началото му съвпада с края.
Най-удобно е да работим с вектори в правоъгълна координатна система - същата, в която чертаем графики на функции. На всяка точка от координатната система съответстват две числа – нейните координати x и y, абциса и ордината.
Векторът също се определя от две координати:
Тук координатите на вектора са записани в скоби - в x и y.
Те се намират просто: координатата на края на вектора минус координатата на началото му.
Ако са дадени координатите на вектора, неговата дължина се намира по формулата
Векторно добавяне
Има два начина за добавяне на вектори.
1. Правило на успоредник. За да добавим векторите и , поставяме началото на двата в една и съща точка. Изграждаме до успоредник и от същата точка чертаем диагонал на успоредника. Това ще бъде сумата от векторите и .
Помните ли баснята за лебеда, рака и щуката? Много се стараха, но така и не помръднаха количката от мястото й. В крайна сметка векторната сума на силите, които те приложиха към количката, беше равна на нула.
2. Вторият начин за добавяне на вектори е правилото на триъгълника. Нека вземем същите вектори и . Ще добавим началото на втория към края на първия вектор. Сега нека свържем началото на първия и края на втория. Това е сумата от векторите и .
Използвайки същото правило, можете да добавите няколко вектора. Подреждаме ги един след друг, след което свързваме началото на първия с края на последния.
Представете си, че отивате от точка A до точка B, от B до C, от C до D, след това до E и до F. Крайният резултат от тези действия е движение от А до F.
Когато добавяме вектори и получаваме:
Векторно изваждане
Векторът е насочен противоположно на вектора. Дължините на векторите и са равни.
Сега е ясно какво е векторно изваждане. Векторната разлика и е сумата от вектора и вектора .
Умножение на вектор по число
Когато един вектор се умножи по числото k, се получава вектор, чиято дължина е k пъти различна от дължината . Той е съпосочен с вектора, ако k е по-голямо от нула, и срещуположно, ако k е по-малко от нула.
Точково произведение на вектори
Векторите могат да се умножават не само по числа, но и помежду си.
Скаларното произведение на векторите е произведението на дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях.
Моля, обърнете внимание, че умножихме два вектора и резултатът беше скалар, тоест число. Например във физиката механичната работа е равна на скаларното произведение на два вектора - сила и преместване:
Ако векторите са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е нула.
Ето как скаларното произведение се изразява чрез координатите на векторите и:
От формулата за скаларното произведение можете да намерите ъгъла между векторите:
Тази формула е особено удобна в стереометрията. Например в задача 14 от профилния единен държавен изпит по математика трябва да намерите ъгъла между пресичащи се линии или между права линия и равнина. често векторен методзадача 14 се решава няколко пъти по-бързо от класическата.
В училищната програма по математика се изучава само скаларното произведение на векторите.
Оказва се, че в допълнение към скаларното произведение има и векторно произведение, когато резултатът от умножаването на два вектора е вектор. Кой дава под наем Единен държавен изпит по физика, знае какво е силата на Лоренц и силата на Ампер. Формулите за намиране на тези сили включват векторни продукти.
Векторите са много полезен математически инструмент. Ще видите това през първата си година.
