Мисля, че заслужаваш повече от това. Ето моя ключ към тригонометрията:

• Начертайте купола, стената и тавана
• Тригонометричните функции не са нищо друго освен проценти от тези три форми.

Метафора за синус и косинус: купол

Вместо просто да гледате самите триъгълници, представете си ги в действие, като намерите някои специален примерот живота.

Представете си, че сте в средата на купол и искате да окачите екран за филмов проектор. Насочвате пръста си към купола под определен ъгъл „x“ и екранът трябва да виси от тази точка.

Ъгълът, към който сочите, определя:

• синус(x) = sin(x) = височина на екрана (от пода до точката на монтиране на купола)
• косинус(x) = cos(x) = разстояние от вас до екрана (по етаж)
• хипотенуза, разстоянието от вас до горната част на екрана, винаги едно и също, равно на радиуса на купола

Искате ли екранът да е възможно най-голям? Закачете го точно над вас.

Искате ли екранът да виси възможно най-далече от вас? Закачете го право перпендикулярно. Екранът ще има нулева височина в тази позиция и ще виси най-далече, както поискахте.

Височината и разстоянието от екрана са обратно пропорционални: колкото по-близо виси екранът, толкова по-голяма е височината му.

Синус и косинус са проценти

Никой през годините на обучение, уви, не ми обясни, че тригонометричните функции синус и косинус не са нищо повече от проценти. Техните стойности варират от +100% до 0 до -100%, или от положителен максимум до нула до отрицателен максимум.

Да кажем, че съм платил данък от 14 рубли. Не знаеш колко е. Но ако кажете, че съм платил 95% данък, ще разберете, че просто са ме изчистили.

Абсолютната височина не означава нищо. Но ако синусовата стойност е 0,95, тогава разбирам, че телевизорът виси почти на върха на вашия купол. Много скоро той ще стигне максимална височинав центъра на купола и след това отново започва да намалява.

Как можем да изчислим този процент? Много е просто: разделете текущата височина на екрана на максималната възможна (радиусът на купола, наричан още хипотенуза).

Ето защони се казва, че "косинус = противоположната страна / хипотенуза." Всичко е въпрос на получаване на интерес! Най-добре е да дефинирате синуса като „процента на текущата височина от максималната възможна“. (Синусът става отрицателен, ако вашият ъгъл сочи „под земята“. Косинусът става отрицателен, ако ъгълът сочи към купола зад вас.)

Нека опростим изчисленията, като приемем, че сме в центъра единична окръжност(радиус = 1). Можем да пропуснем делението и просто да вземем синуса равен на височината.

Всеки кръг по същество е единица, увеличена или намалена в мащаб правилния размер. Така че определете връзките на единичния кръг и приложете резултатите към вашия конкретен размер на кръга.

Експериментирайте: вземете произволен ъгъл и вижте какъв процентвисочина към ширина, която показва:

Графиката на растежа на синусовата стойност не е просто права линия. Първите 45 градуса покриват 70% от височината, но последните 10 градуса (от 80° до 90°) покриват само 2%.

Така ще ви стане по-ясно: ако вървите в кръг, при 0° се издигате почти вертикално, но с наближаването на върха на купола височината се променя все по-малко.

Тангенс и секанс. Стена

Един ден един съсед построи стена точно един до другкъм вашия купол. Изплакана гледка от прозореца и добра цена за препродажба!

Но възможно ли е по някакъв начин да спечелите в тази ситуация?

разбира се да. Ами ако окачим филмов екран точно на стената на съседа? Насочвате ъгъла (x) и получавате:

• tan(x) = tan(x) = височина на екрана на стената
• разстояние от вас до стената: 1 (това е радиусът на вашия купол, стената не се движи никъде от вас, нали?)
• секант(x) = сек(х) = „дължина на стълбата“ от вас, стоящ в центъра на купола, до върха на окачения екран

Нека изясним няколко точки относно тангентата или височината на екрана.

• започва от 0 и може да стигне безкрайно високо. Можете да опънете екрана все по-високо и по-високо на стената, за да създадете безкрайно платно за гледане на любимия ви филм! (За такъв огромен, разбира се, ще трябва да похарчите много пари).
• тангенсът е просто по-голяма версия на синуса! И докато увеличаването на синуса се забавя, докато се придвижвате към върха на купола, тангентата продължава да расте!

Sekansu също има с какво да се похвали:

• Секансът започва от 1 (стълбата е на пода, от вас до стената) и започва да се издига оттам
• Секансът винаги е по-дълъг от тангентата. Наклонената стълба, която използвате, за да окачите екрана си, трябва да е по-дълга от самия екран, нали? (При нереалистични размери, когато екранът е толкова дълъг и стълбата трябва да бъде поставена почти вертикално, размерите им са почти еднакви. Но дори тогава секансът ще бъде малко по-дълъг).

Не забравяйте, че стойностите са процента. Ако решите да окачите екрана под ъгъл от 50 градуса, tan(50)=1,19. Вашият екран е с 19% по-голям от разстоянието до стената (радиус на купола).

(Въведете x=0 и проверете интуицията си - tan(0) = 0 и sec(0) = 1.)

Котангенс и косеканс. Таван

Невероятно, вашият съсед сега е решил да построи покрив над купола ви. (Какво му става? Явно не иска да го шпионирате, докато се разхожда гол из двора...)

Е, време е да изградите изход към покрива и да говорите със съседа си. Избирате ъгъла на наклон и започвате строителството:

• вертикалното разстояние между изхода на покрива и пода винаги е 1 (радиусът на купола)
• котангенс(x) = cot(x) = разстояние между горната част на купола и изходната точка
• косеканс(x) = csc(x) = дължина на вашия път до покрива

Тангенс и секанс описват стената, а COтангенс и COsecans описват тавана.

Нашите интуитивни заключения този път са подобни на предишните:

• Ако вземете ъгъла равен на 0°, изходът ви към покрива ще продължи вечно, тъй като никога няма да достигне тавана. проблем.
• Най-късата „стълба“ към покрива ще се получи, ако я изградите под ъгъл от 90 градуса спрямо пода. Котангенсът ще бъде равен на 0 (ние изобщо не се движим по покрива, излизаме строго перпендикулярно), а косекансът ще бъде равен на 1 („дължината на стълбата“ ще бъде минимална).

Визуализирайте връзките

Ако и трите случая са начертани в комбинация купол-стена-таван, ще се получи следното:

Е, все още е същият триъгълник, увеличен по размер, за да стигне до стената и тавана. Имаме вертикални страни (синус, тангенс), хоризонтални страни (косинус, котангенс) и „хипотенузи“ (секанс, косеканс). (По стрелките можете да видите до къде стига всеки елемент. Косекансът е общото разстояние от вас до покрива).

Малко магия. Всички триъгълници имат еднакви равенства:

От Питагоровата теорема (a 2 + b 2 = c 2) виждаме как са свързани страните на всеки триъгълник. В допълнение, съотношенията „височина към ширина“ също трябва да бъдат еднакви за всички триъгълници. (Просто се отдръпнете от самия голям триъгълниккъм по-малко. Да, размерът е променен, но съотношенията ще останат същите).

Знаейки коя страна във всеки триъгълник е равна на 1 (радиуса на купола), можем лесно да изчислим, че „sin/cos = tan/1”.

Винаги съм се опитвал да запомня тези факти чрез проста визуализация. На снимката ясно виждате тези зависимости и разбирате откъде идват. Тази техника е много по-добре от запаметяванетосухи формули.

Не забравяйте за други ъгли

Psst... Не се спирайте на една графика, мислейки, че тангенса винаги е по-малък от 1. Ако увеличите ъгъла, можете да стигнете до тавана, без да стигнете до стената:

Питагоровите връзки винаги работят, но относителни размериможе да е различно.

(Може би сте забелязали, че съотношенията на синусите и косинусите винаги са най-малки, защото се съдържат в купола).

За да обобщим: какво трябва да запомним?

За повечето от нас бих казал, че това ще е достатъчно:

• тригонометрията обяснява анатомията на математически обекти като кръгове и повтарящи се интервали
• Аналогията купол/стена/покрив показва връзката между различни тригонометрични функции
• резултат тригонометрични функцииса процентите, които прилагаме към нашия скрипт.

Не е необходимо да запомняте формули като 1 2 + cot 2 = csc 2 . Подходящи са само за глупави тестове, при което познаването на даден факт се представя за разбирането му. Отделете минута, за да нарисувате полукръг под формата на купол, стена и покрив, надпишете елементите и всички формули ще дойдат при вас на хартия.

Приложение: обратни функции

Всяка тригонометрична функция приема ъгъл като входен параметър и връща резултата като процент. sin(30) = 0,5. Това означава, че ъгъл от 30 градуса заема 50% от максималната височина.

Обратната тригонометрична функция се записва като sin -1 или arcsin. Също така често се пише като in различни езиципрограмиране.

Ако нашата височина е 25% от височината на купола, какъв е нашият ъгъл?

В нашата таблица с пропорции можете да намерите съотношение, където секансът е разделен на 1. Например секансът на 1 (хипотенузата спрямо хоризонталата) ще бъде равен на 1, делено на косинуса:

Да кажем, че нашият секанс е 3,5, т.е. 350% от радиуса на единична окръжност. На какъв ъгъл на наклон спрямо стената отговаря тази стойност?

Приложение: Няколко примера

Пример: Намерете синуса на ъгъл x.

Скучна задача. Нека усложним баналното „намерете синуса“ до „Каква е височината като процент от максимума (хипотенуза)?“

Първо забележете, че триъгълникът е завъртян. Няма нищо лошо в това. Триъгълникът също има височина, тя е означена в зелено на фигурата.

На какво е равна хипотенузата? Според Питагоровата теорема знаем, че:

3 2 + 4 2 = хипотенуза 2 25 = хипотенуза 2 5 = хипотенуза

Добре! Синус е процентът на височината от най-дългата страна на триъгълника или хипотенузата. В нашия пример синусът е 3/5 или 0,60.

Разбира се, можем да отидем по няколко начина. След като знаем, че синусът е 0,60, можем просто да намерим арксинуса:

Asin(0,6)=36,9

Ето още един подход. Обърнете внимание, че триъгълникът е „с лице към стената“, така че можем да използваме тангенса вместо синус. Височината е 3, разстоянието до стената е 4, така че допирателната е ¾ или 75%. Можем да използваме арктангенса, за да преминем от процентна стойност обратно към ъгъл:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Пример: Ще доплуваш ли до брега?

Вие сте в лодка и имате достатъчно гориво, за да изминете 2 км. Сега сте на 0,25 км от брега. Под какъв максимален ъгъл спрямо брега можете да плувате до него, за да имате достатъчно гориво? Допълнение към формулировката на проблема: имаме само таблица с аркосинусни стойности.

какво имаме брегова линияможе да се представи като „стена“ в известния ни триъгълник, а „дължината на стълба“, прикрепена към стената, е максималното възможно разстояние, което може да се измине с лодка до брега (2 км). Появява се секанс.

Първо, трябва да отидете на проценти. Имаме 2 / 0,25 = 8, тоест можем да преплуваме разстояние, което е 8 пъти разстоянието по права линия до брега (или до стената).

Възниква въпросът: "Какво е секансът на 8?" Но не можем да отговорим, тъй като имаме само дъгови косинуси.

Ние използваме нашите получени преди това зависимости, за да свържем секанса с косинуса: „sec/1 = 1/cos“

Секанс 8 равно на косинус⅛. Ъгъл, чийто косинус е ⅛, е равен на acos(1/8) = 82,8. И това е най-големият ъгъл, който можем да си позволим на лодка с определеното количество гориво.

Не е лошо, нали? Без аналогията купол-стена-таван щях да се изгубя в куп формули и изчисления. Визуализирането на проблема значително опростява търсенето на решение и също така е интересно да се види коя тригонометрична функция в крайна сметка ще помогне.

Мислете, когато решавате всеки проблем както следва: Интересувам ли се от купол (sin/cos), стена (tan/sec) или таван (cot/csc)?

И тригонометрията ще стане много по-приятна. Лесни изчисления за вас!

Урок на тема „Синус, косинус и тангенс остър ъгълправоъгълен триъгълник"

Цели на урока:

образователни - въвеждат понятието синус, косинус, тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, изследват зависимостите и връзките между тези величини;

развитие - формиране на концепцията за синус, косинус, тангенс като функции на ъгъл, област на дефиниране на тригонометрични функции, развитие логическо мислене, развитие на правилна математическа реч;

образователни - развитие на умения за самостоятелна работа, култура на поведение, точност при водене на записи.

Напредък на урока:

1. Организационен момент

„Образованието не е броят взети уроци, а броят разбрани. Така че, ако искате да продължите напред, бързайте бавно и внимавайте."

2. Мотивация на урока.

Един мъдър човек каза: „ Върховно проявлениедухът е умът. Най-висшето проявление на разума е геометрията. Геометричната клетка е триъгълник. То е неизчерпаемо като Вселената. Кръгът е душата на геометрията. Познайте кръга и не само ще познаете душата на геометрията, но и ще издигнете душата си.”

Ще се опитаме да направим малко проучване заедно с вас. Нека споделим вашите идеи, които ви идват наум, и не се страхувайте да правите грешки, всяка мисъл може да ни даде нова посока за търсене. Нашите постижения може да не изглеждат големи за някого, но те ще бъдат наши собствени постижения!

3. Актуализиране на основни знания.

Какви ъгли може да има?

Какво представляват триъгълниците?

Кои са основните елементи, които определят триъгълника?

Какви видове триъгълници има в зависимост от страните?

Какви видове триъгълници има в зависимост от ъглите?

Какво е крак?

Какво е хипотенуза?

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник?

Какви връзки между страните и ъглите на този триъгълник знаете?

Защо трябва да знаете връзките между страни и ъгли?

Какви задачи в живота могат да доведат до необходимостта от пресмятане непознати странив триъгълник?

Терминът "хипотенуза" идва от гръцка дума„hyponeinouse“, което означава „разтягане върху нещо“, „свиване“. Думата произлиза от изображението на древногръцките арфи, на които струните са опънати в краищата на две взаимно перпендикулярни стойки. Терминът "катетус" идва от гръцката дума "kathetos", което означава начало на "отвес", "перпендикуляр".

Евклид е казал: "Краката са страните, които ограждат прав ъгъл."

IN Древна Гърциявече беше известен метод за конструиране на правоъгълен триъгълник на земята. За да направят това, те използваха въже, на което бяха вързани 13 възела, на същото разстояние един от друг. При строежа на пирамидите в Египет по този начин са правени правоъгълни триъгълници. Сигурно затова правоъгълен триъгълниксъс страни 3,4,5 и нар Египетски триъгълник.

4. Изучаване на нов материал.

В древни времена хората са наблюдавали звездите и въз основа на тези наблюдения са водили календар, изчислявали са датите на сеитба и времето на разливането на реките; корабите в морето и караваните на сушата навигираха своето пътуване от звездите. Всичко това доведе до необходимостта да се научим как да изчисляваме страните в триъгълник, чиито два върха са на земята, а третият е представен от точка на звездното небе. Въз основа на тази необходимост възниква науката тригонометрия - наука, която изучава връзките между страните на триъгълника.

Смятате ли, че връзките, които вече познаваме, са достатъчни за решаване на подобни проблеми?

Целта на днешния урок е да се изследват нови връзки и зависимости, да се изведат връзки, използвайки които в следващите уроци по геометрия ще можете да решавате такива задачи.

Нека се почувстваме като в ролята научни работниции следвайки гениите на древността Талес, Евклид, Питагор да вървим по пътятърсене на истината.

За това имаме нужда от теоретична основа.

Маркирайте ъгъл A и крак BC в червено.

Маркирайте зеленокрак AC.

Нека изчислим каква част е противоположната страна за остър ъгъл А към неговата хипотенуза, за това създаваме съотношението срещуположния краккъм хипотенузата:

Тази връзка има специално име - такова, че всеки човек във всяка част на планетата го разбира ние говорим заоколо число, представляващо отношението на противоположната страна на остър ъгъл към хипотенузата. Тази дума е синус. Запишете го. Тъй като думата синус без името на ъгъла губи всякакво значение, математическата нотация е следната:

Сега съставете отношението на съседния катет към хипотенузата за остър ъгъл A:

Това съотношение се нарича косинус. Математическата му нотация:

Нека разгледаме друго съотношение за остър ъгъл А: съотношението на срещуположната страна към съседен крак:

Това съотношение се нарича тангенс. Математическата му нотация:

5. Затвърдяване на нов материал.

Нека консолидираме нашите междинни открития.

Синус е...

Косинус е...

Тангенса е...

грях А =	грях ЗА =	грях А 1 =
cos A =	cos ЗА =	защото А 1 =
тен A =	tg ЗА =	тен А 1 =

Решете устно NoNo 88, 889, 892 (работа по двойки).

Използване на придобитите знания за решаване практически проблем:

„От кулата на фара, висока 70 м, се вижда кораб под ъгъл 3° спрямо хоризонта. Какво е като

разстояние от фара до кораба?

Задачата се решава фронтално. По време на преговора правим рисунка и необходимите бележки на дъската и в тетрадките.

При решаването на проблема се използват таблици на Bradis.

Разгледайте решението на задача 175.

Решете № 902 (1).

6. Упражнение за очите.

Без да обръщате глава, огледайте стената на класната стая около периметъра по посока на часовниковата стрелка, дъската около периметъра обратно на часовниковата стрелка, триъгълника, изобразен на стойката, по посока на часовниковата стрелка и равния триъгълник обратно на часовниковата стрелка. Обърнете главата си наляво и погледнете линията на хоризонта, а сега и върха на носа си. Затворете очи, пребройте до 5, отворете очи и...

Ще сложим длани на очите си,
Да разтворим силните си крака.
Обръщайки се надясно
Да се ​​огледаме величествено.
И вие също трябва да отидете наляво
Погледнете изпод дланите си.
И – надясно! И още нещо
През лявото рамо!
Сега да продължим да работим.

7. Самостоятелна работастуденти.

Решете бр.

8. Обобщение на урока. Отражение. D/z.

Какви нови неща научихте? В клас:

обмислял ли си...

анализирал си...

получихте...

заключихте...

сте попълнили речников запасследните условия...

Световната наука започва с геометрията. Човек не може истински да се развие културно и духовно, ако не е учил геометрия в училище. Геометрията е възникнала не само от практическите, но и от духовните нужди на човека.

Така тя поетично обясни любовта си към геометрията

Обичам геометрията...

Преподавам геометрия, защото я обичам

Имаме нужда от геометрия, без нея не можем да стигнем никъде.

Синус, косинус, обиколка - всичко е важно тук,

Всичко е необходимо тук

Просто трябва да научите и разберете всичко много ясно,

Изпълнявайте задачите и тестовете навреме.

Нека са дадени някаква правоъгълна координатна система и права линия . Нека И - две различни равнини, пресичащи се по права линия и дадени съответно чрез уравнения. Тези две уравнения заедно определят правата линия ако и само ако те не са успоредни и не съвпадат един с друг, т.е. нормални вектори
И
тези равнини не са колинеарни.

Определение.Ако коефициентите на уравненията

не са пропорционални, тогава тези уравнения се наричат общи уравнения права линия, определена като линия на пресичане на равнини.

Определение.Всеки ненулев вектор, успореден на права, се нарича водещ вектортази права линия.

Нека изведем уравнението на правата преминаващ през дадена точка
пространство и имащ даден насочващ вектор
.

Нека точката
- произволна точка на права линия . Тази точка лежи на права тогава и само ако векторът
, с координати
, колинеарна на вектора на посоката
директен. Съгласно (2.28), условието за колинеарност на векторите
И изглежда като

. (3.18)

Уравненията (3.18) се наричат канонични уравненияправа линия, минаваща през точка
и има вектор на посоката
.

Ако прав се дава от общи уравнения (3.17), тогава векторът на посоката тази права е ортогонална на нормалните вектори
И
равнини, определени с уравнения. вектор
според свойството векторен продукт, той е ортогонален на всеки от векторите И . Според дефиницията, като вектор на посоката директен можете да вземете вектор
, т.е.
.

Да намериш точка
разгледайте системата от уравнения
. Тъй като равнините, определени от уравненията, не са успоредни и не съвпадат, тогава поне едно от равенствата не е валидно
. Това води до факта, че поне една от детерминантите ,
,
различен от нула. За категоричност ще приемем, че
. След това вземане на произволна стойност , получаваме система от уравнения за неизвестните И :

.

Според теоремата на Крамър тази система има уникално решение, определено от формулите

,
. (3.19)

Ако вземете
, тогава правата, дадена от уравнения (3.17), минава през точката
.

Така за случая, когато
, канонични уравненияправите линии (3.17) имат формата

.

Каноничните уравнения на правата линия (3.17) се записват по подобен начин за случая, когато детерминантата е различна от нула
или
.

Ако една права минава през две различни точки
И
, тогава неговите канонични уравнения имат формата

. (3.20)

Това следва от факта, че правата минава през точката
и има вектор на посоката.

Нека разгледаме каноничните уравнения (3.18) на правата линия. Нека вземем всяка от релациите като параметър , т.е.
. Един от знаменателите на тези дроби е различен от нула и съответният числител може да приеме произволна стойност, така че параметърът може да приеме всякакви реални стойности. Като се има предвид, че всяко от съотношенията е равно , получаваме параметрични уравнения директно:

,
,
. (3.21)

Нека самолетът се дава от общо уравнение и правата линия - параметрични уравнения
,
,
. Точка
пресечна точка на права линия и самолети трябва да принадлежат едновременно на равнина и права. Това е възможно само ако параметърът удовлетворява уравнението, т.е.
. По този начин точката на пресичане на права линия и равнина има координати

,

,

.

Пример 32. Напишете параметрични уравнения за права, минаваща през точките
И
.

Решение.За насочващ вектор на правата приемаме вектора

. Права линия минава през точка , следователно, съгласно формула (3.21), търсените уравнения на права линия имат формата
,
,
.

Пример 33. Върхове на триъгълника
имат координати
,
И
съответно. Съставете параметрични уравнения за медианата, изтеглена от върха .

Решение.Нека
- средата на страната
, Тогава
,
,
. Като водещ вектор на медианата вземаме вектора
. Тогава параметричните уравнения на медианата имат вида
,
,
.

Пример 34. Съставете каноничните уравнения на права, минаваща през точка
успоредна на правата
.

Решение.Правата линия се дефинира като линия на пресичане на равнини с нормални вектори
И
. Като водещ вектор вземете вектора на тази линия
, т.е.
. Съгласно (3.18) търсеното уравнение има вида
или
.

3.8. Ъгълът между прави линии в пространството. Ъгъл между права и равнина

Нека две прави линии И в пространството са дадени от техните канонични уравнения
И
. След това един от ъглите между тези редове равен на ъгълмежду техните насочващи вектори
И
. Използвайки формула (2.22), за да определите ъгъла получаваме формулата

. (3.22)

Втори ъгъл между тези линии е равен
И
.

Условие за успоредни прави И е еквивалентно на условието за колинеарност на векторите
И
и се крие в пропорционалността на техните координати, т.е. условието за успоредни прави има формата

. (3.23)

Ако прав И са перпендикулярни, то техните насочващи вектори са ортогонални, т.е. условието за перпендикулярност се определя от равенството

. (3.24)

Помислете за самолет , дадено от общото уравнение, и правата линия , дадени от каноничните уравнения
.

Ъгъл между правата линия и самолет е комплементарна на ъгъла между насочващия вектор на правата и нормалния вектор на равнината, т.е.
И
, или

. (3.24)

Условие за успоредност на права и самолети е еквивалентно на условието, че насочващият вектор на правата и нормалният вектор на равнината са перпендикулярни, т.е. скаларното произведение на тези вектори трябва да е равно на нула:

Ако правата е перпендикулярна на равнината, тогава векторът на посоката на правата и нормалният вектор на равнината трябва да са колинеарни. В този случай координатите на векторите са пропорционални, т.е.

. (3.26)

Пример 35. Намерете тъп ъгълмежду прави линии
,
,
И
,
,
.

Решение.Насочващите вектори на тези линии имат координати
И
. Следователно един ъгъл между прави линии се определя от отношението, т.е.
. Следователно условието на задачата е изпълнено от втория ъгъл между правите, равен на
.

3.9. Разстояние от точка до права в пространството

Нека
 точка в пространството с координати
, права линия, зададена от канонични уравнения
. Да намерим разстоянието от точка
към права линия .

Нека приложим водещ вектор
до точката
. Разстояние от точка
към права линия е височината на успоредник, изграден от вектори И
. Нека намерим площта на успоредник, използвайки кръстосаното произведение:

От другата страна,. От равенството на десните части на последните две отношения следва, че

. (3.27)

3.10. Елипсоид

Определение. Елипсоиде повърхност от втори ред, която в някаква координатна система се определя от уравнението

. (3.28)

Уравнение (3.28) се нарича канонично уравнение на елипсоида.

От уравнение (3.28) следва, че координатните равнини са равнини на симетрия на елипсоида, а началото на координатите е центърът на симетрия. Числа
се наричат ​​полуоси на елипсоида и представляват дължините на отсечките от началото до пресечната точка на елипсоида с координатните оси. Елипсоидът е ограничена повърхност, затворена в паралелепипед
,
,
.

Нека установим геометричната форма на елипсоида. За да направите това, нека разберем формата на линиите на пресичане на неговите равнини, успоредни на координатните оси.

За да бъдем конкретни, помислете за линиите на пресичане на елипсоида с равнините
, успоредна на равнината
. Уравнение за проекцията на пресечната линия върху равнина
се получава от (3.28), ако поставим в него
. Уравнението на тази проекция е

. (3.29)

Ако
, тогава (3.29) е уравнението на въображаема елипса и точките на пресичане на елипсоида с равнината
не От това следва, че
. Ако
, тогава правата (3.29) се изражда в точки, т.е. равнини
докоснете елипсоида в точки
И
. Ако
, Това
и можете да въведете нотацията

,
. (3.30)

Тогава уравнение (3.29) приема формата

, (3.31)

т.е. проекция върху равнина
пресечни линии на елипсоида и равнината
е елипса с полуоси, които се определят от равенства (3.30). Тъй като линията на пресичане на повърхността с равнини, успоредни на координатните равнини, е проекция, „повдигната“ на височина , то самата пресечна линия е елипса.

При намаляване на стойността полуоски И нарастват и достигат най-голямата си стойност при
, т.е. в сечението на елипсоида с координатната равнина
се получава най-голямата елипса с полуоси
И
.

Идеята за елипсоид може да се получи по друг начин. Помислете в самолета
семейство от елипси (3.31) с полуоси И , определени от съотношения (3.30) и в зависимост от . Всяка такава елипса е линия на ниво, тоест линия, във всяка точка на която е стойността същото. „Издигане“ на всяка такава елипса на височина , получаваме пространствен изглед на елипсоида.

Подобна картина се получава, когато дадена повърхност се пресича от равнини, успоредни на координатните равнини
И
.

По този начин елипсоидът е затворена елипсовидна повърхност. В случай
Елипсоидът е сфера.

Линията на пресичане на елипсоид с всяка равнина е елипса, тъй като такава линия е ограничена линия от втори ред, а единствената ограничена линия от втори ред е елипса.

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, от които се нуждаете успешно завършванеЕдинен държавен изпит по математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитпо математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Всички необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачии теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, референтен материал, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие пространствено въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решение сложни задачи 2 части от Единния държавен изпит.