Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.
Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждаха по един или друг начин апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ...дискусиите продължават и до днес, за да се стигне до общо мнение за същността на парадоксите научна общностдосега не беше възможно... участвахме в проучването на въпроса математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.
От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. доколкото разбирам, математически апаратИзползването на променливи мерни единици или все още не е разработено, или не е приложено към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. СЪС физическа точкаОт гледна точка изглежда, че времето се забавя, докато спре напълно в момента, в който Ахил настига костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.
Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.
Как да избегнем този логически капан? Остани вътре постоянни единициизмервания на времето и не отиват до реципрочни величини. На езика на Зенон това изглежда така:
За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. За следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще избяга още хиляда крачки, а костенурката ще пропълзи сто крачки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.
Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но не е цялостно решениепроблеми. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.
Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:
Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.
В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент една летяща стрела е в покой в различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали една кола се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка различни моментивреме, но от тях не може да се определи разстоянието. За да определите разстоянието до колата, ви трябват две снимки, направени от различни точкипространство в един момент от времето, но е невъзможно да се определи фактът на движение от тях (естествено, все още са необходими допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). Това, което искам да отбележа специално внимание, е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не трябва да се бъркат, защото предоставят различни възможности за изследване.
Сряда, 4 юли 2018 г
Разликите между набор и мултимножество са описани много добре в Wikipedia. да видим
Както можете да видите, "не може да има два еднакви елемента в набор", но ако има идентични елементи в набор, такъв набор се нарича "мултисет". Разумните същества никога няма да разберат такава абсурдна логика. Това е нивото говорещи папагалии дресирани маймуни, които нямат интелигентност от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.
Имало едно време инженерите, които построили моста, били в лодка под моста, докато тествали моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.
Колкото и да се крият математиците зад фразата „имайте предвид, аз съм в къщата“, или по-скоро „математика изучава абстрактни понятия", има една пъпна връв, която неразривно ги свързва с реалността. Тази пъпна връв са парите. Кандидатствайте математическа теориязадава на самите математици.
Учихме много добре математика и сега седим на касата и даваме заплати. И така, един математик идва при нас за парите си. Ние му преброяваме цялата сума и я поставяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща деноминация. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и я предаваме на математика." математически наборзаплати." Обясняваме на математика, че ще получи останалите сметки само когато докаже, че множество без еднакви елементи не е равно на множество с еднакви елементи. Тук започва забавлението.
На първо място ще работи логиката на депутатите: „Това може да се приложи към другите, но не и към мен!“ След това ще започнат да ни уверяват, че банкнотите с една и съща номинална стойност имат различни номера на банкнотите, което означава, че не могат да се считат за едни и същи елементи. Добре, да броим заплатите в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът ще започне трескаво да си спомня физиката: на различни монети има различни количествакал, кристална структураи подредбата на атомите във всяка монета е уникална...
А сега имам най-много интересен въпрос: къде е линията, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, тук науката дори не лъже.
Вижте тук. Избираме футболни стадиони с еднаква площ. Площите на полетата са еднакви - което означава, че имаме мултимножество. Но ако погледнем имената на същите тези стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Кое е правилното? И ето че математикът-шаман-шарпист вади асо коз от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.
За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като неединно цяло“ или „немислимо като единно цяло“.
Неделя, 18 март 2018 г
Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те затова са шамани, за да учат потомците на своите умения и мъдрост, иначе шаманите просто ще измрат.
Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. Няма формула в математиката, която може да се използва за намиране на сумата от цифрите на произволно число. Все пак числата са графични символи, с помощта на който пишем числа и на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат да го направят лесно.
Нека разберем какво и как правим, за да намерим сбора на числата даден номер. И така, нека имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.
1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Преобразуваме числото в графичен числов символ. Това не е математическа операция.
2. Нарежете една получена картина на няколко картинки, съдържащи отделни числа. Изрязването на картина не е математическа операция.
3. Преобразувайте отделни графични символи в числа. Това не е математическа операция.
4. Съберете получените числа. Сега това е математика.
Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са „курсовете по кроене и шиене“ от шаманите, които математиците използват. Но това не е всичко.
От математическа гледна точка няма значение в коя бройна система записваме едно число. И така, в различни системиВ смятането сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. СЪС голям брой 12345 Не искам да си заблуждавам главата, нека погледнем числото 26 от статията за . Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп; вече сме го направили. Нека да видим резултата.
Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Това е същото, както ако определите площта на правоъгълник в метри и сантиметри, ще получите напълно различни резултати.
Нулата изглежда еднакво във всички бройни системи и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как в математиката се обозначава нещо, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо освен числата? Това мога да го позволя за шаманите, но не и за учените. Реалността не е само в числа.
Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са мерни единици за числа. В крайна сметка не можем да сравняваме числата с различни единициизмервания. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.
Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът математическа операцияне зависи от размера на числото, използваната мерна единица и кой извършва действието.
о! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на бездефилната святост на душите по време на възнесението им на небето! Ореол отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?
Жена... Ореолът отгоре и стрелката надолу са мъжки.
Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,
Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:
Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, числото четири, обозначение на градуси). И не мисля, че това момиче е глупаво, не с познания по физика. Тя просто има архи стереотип на възприятие графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.
1А не е „минус четири градуса“ или „едно а“. Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичен запис. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат число и буква като един графичен символ.
Знаем, че стойностите на косинуса са в диапазона [-1; 1], т.е. -1 ≤ cos α ≤ 1. Следователно, ако |a| > 1, тогава уравнението cos x = a няма корени. Например уравнението cos x = -1,5 няма корени.
Нека разгледаме няколко проблема.
Решете уравнението cos x = 1/2.
Решение.
Спомнете си, че cos x е абсцисата на точка от окръжност с радиус, равен на 1, получена чрез завъртане на точка P (1; 0) на ъгъл x около началото.
Абсцисата 1/2 е в две точки от окръжността M 1 и M 2. Тъй като 1/2 = cos π/3, можем да получим точка M 1 от точка P (1; 0) чрез завъртане на ъгъл x 1 = π/3, както и на ъгли x = π/3 + 2πk, където k = +/-1, +/-2, …
Точка M 2 се получава от точка P (1; 0) чрез завъртане на ъгъл x 2 = -π/3, както и на ъгли -π/3 + 2πk, където k = +/-1, +/-2 , ...
Така че всички корени cos уравнения x = 1/2 може да се намери с помощта на формулите
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,
Представените две формули могат да бъдат комбинирани в една:
x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Решете уравнението cos x = -1/2.
Решение.
Две точки от окръжността M 1 и M 2 имат абциса, равна на – 1/2. Тъй като -1/2 = cos 2π/3, тогава ъгъл x 1 = 2π/3 и следователно ъгъл x 2 = -2π/3.
Следователно всички корени на уравнението cos x = -1/2 могат да бъдат намерени с помощта на формулата: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Така всяко от уравненията cos x = 1/2 и cos x = -1/2 има безкрайно множествокорени. В интервала 0 ≤ x ≤ π всяко от тези уравнения има само един корен: x 1 = π/3 е коренът на уравнението cos x = 1/2 и x 1 = 2π/3 е коренът на уравнението cos х = -1/2.
Числото π/3 се нарича аркосинус на числото 1/2 и се записва: arccos 1/2 = π/3, а числото 2π/3 се нарича аркосинус на числото (-1/2) и се записва : arccos (-1/2) = 2π/3 .
Като цяло уравнението cos x = a, където -1 ≤ a ≤ 1, има само един корен в интервала 0 ≤ x ≤ π. Ако a ≥ 0, тогава коренът се съдържа в интервала ; ако а< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Така аркосинусът на числото a € [-1; 1 ] е число a €, чийто косинус е равен на a:
arccos а = α, ако cos α = а и 0 ≤ а ≤ π (1).
Например arccos √3/2 = π/6, тъй като cos π/6 = √3/2 и 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, тъй като cos 5π/6 = -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
По същия начин, както беше направено в процеса на решаване на задачи 1 и 2, може да се покаже, че всички корени на уравнението cos x = a, където |a| ≤ 1, изразено с формулата
x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).
Решете уравнението cos x = -0,75.
Решение.
Използвайки формула (2), намираме x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
Стойността на arcos (-0,75) може да бъде приблизително намерена на фигурата чрез измерване на ъгъла с помощта на транспортир. Приблизителните стойности на аркосинуса могат да бъдат намерени и с помощта на специални таблици (таблици на Bradis) или микрокалкулатор. Например, стойността на arccos (-0,75) може да се изчисли на микрокалкулатор, като приблизителна стойност 2,4188583. И така, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Следователно arccos (-0,75) ≈ 139°.
Отговор: arccos (-0,75) ≈ 139°.
Решете уравнението (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Решение.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.
отговор. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.
Може да се докаже, че за всяко a € [-1; 1] важи формулата arccos (-а) = π – arccos а (3).
Тази формула ви позволява да изразите стойностите на аркосинусите отрицателни числачрез стойности на аркосинус положителни числа. Например:
arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
от формула (2) следва, че корените на уравнението cos x = a за a = 0, a = 1 и a = -1 могат да бъдат намерени с помощта на по-прости формули:
cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)
cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Примери:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Аргумент и смисъл
Косинус на остър ъгъл
Косинус на остър ъгълможе да се определи с помощта на правоъгълен триъгълник - той е равен на отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Пример :
1) Нека е даден ъгъл и трябва да определим косинуса на този ъгъл.
2) Нека завършим всеки правоъгълен триъгълник върху този ъгъл.
3) След като измерихме необходимите страни, можем да изчислим косинуса.
Косинус на число
Цифровият кръг ви позволява да определите косинуса на всяко число, но обикновено намирате косинуса на числата по някакъв начин свързан с: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Например за числото \(\frac(π)(6)\) - косинусът ще бъде равен на \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . А за числото \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ще бъде равно на \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (приблизително \ (-0 ,71\)).
За косинус за други числа, които често се срещат в практиката, вижте.
Косинусовата стойност винаги е в диапазона от \(-1\) до \(1\). В този случай косинусът може да се изчисли за абсолютно всеки ъгъл и число.
Косинус на всеки ъгъл
Благодарение на числов кръгможете да определите не само косинус остър ъгъл, но също и тъп, отрицателен и дори по-голям от \(360°\) ( пълен оборот). Как да направите това е по-лесно да видите веднъж, отколкото да чуете \(100\) пъти, така че погледнете снимката.
Сега едно обяснение: да предположим, че трябва да определим косинуса на ъгъла KOAс степенна мяркав \(150°\). Комбиниране на точката ЗАс центъра на кръга и страната добре– с оста \(x\). След това оставете настрана \(150°\) обратно на часовниковата стрелка. След това ординатата на точката Аще ни покаже косинуса на този ъгъл.
Ако се интересуваме от ъгъл с градусна мярка, например в \(-60°\) (ъгъл KOV), правим същото, но задаваме \(60°\) по посока на часовниковата стрелка.
И накрая, ъгълът е по-голям от \(360°\) (ъгъл CBS) - всичко е подобно на глупавото, само след пълно завъртане по посока на часовниковата стрелка, отиваме във втория кръг и „получаваме липсата на градуси“. По-конкретно, в нашия случай ъгълът \(405°\) се изобразява като \(360° + 45°\).
Лесно е да се досетите, че за да начертаете ъгъл, например в \(960°\), трябва да направите две завъртания (\(360°+360°+240°\)), а за ъгъл в \(2640 °\) - цели седем.
Както бихте могли да замените, косинусът на число и косинусът на произволен ъгъл са дефинирани почти идентично. Променя се само начинът, по който се намира точката върху окръжността.
Знаци за косинус по четвъртинки
Използвайки косинусовата ос (т.е. абсцисната ос, подчертана в червено на фигурата), е лесно да се определят знаците на косинусите по числовата (тригонометрична) окръжност:
Когато стойностите на оста са от \(0\) до \(1\), косинусът ще има знак плюс (I и IV четвърти - зелена зона),
- където стойностите на оста са от \(0\) до \(-1\), косинусът ще има знак минус (II и III четвърти - лилава област).
Връзка с други тригонометрични функции:
- същия ъгъл (или номер): основен тригонометрична идентичност\(\sin^2x+\cos^2x=1\)- същия ъгъл (или число): по формулата \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- и синус на същия ъгъл (или число): формулата \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
За други най-често използвани формули вж.
Решение на уравнението \(\cosx=a\)
Решението на уравнението \(\cosx=a\), където \(a\) е число не по-голямо от \(1\) и не по-малко от \(-1\), т.е. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Ако \(a>1\) или \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).Решение:
Нека решим уравнението с помощта на числовата окръжност. За да направите това:
1) Нека изградим осите.
2) Нека построим кръг.
3) На косинусовата ос (ос \(y\)) маркирайте точката \(\frac(1)(2)\) .
4) Начертайте перпендикуляр на косинусовата ос през тази точка.
5) Маркирайте пресечните точки на перпендикуляра и окръжността.
6) Нека подпишем стойностите на тези точки: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Нека запишем всички стойности, съответстващи на тези точки, като използваме формулата \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
отговор: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Функция \(y=\cos(x)\)
Ако начертаем ъглите в радиани по оста \(x\) и стойностите на косинуса, съответстващи на тези ъгли по оста \(y\), получаваме следната графика:
Тази графика се нарича и има следните свойства:
Домейнът на дефиницията е всяка стойност на x: \(D(\cos(x))=R\)
- диапазон от стойности - от \(-1\) до \(1\) включително: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- дори: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- периодичен с период \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- точки на пресичане с координатни оси:
абсцисната ос: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), където \(n ϵ Z\)
Y ос: \((0;1)\)
- интервали на постоянство на знака:
функцията е положителна на интервалите: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), където \(n ϵ Z\)
функцията е отрицателна на интервалите: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), където \(n ϵ Z\)
- интервали на увеличаване и намаляване:
функцията нараства на интервалите: \((π+2πn;2π+2πn)\), където \(n ϵ Z\)
функцията намалява на интервалите: \((2πn;π+2πn)\), където \(n ϵ Z\)
- максимуми и минимуми на функцията:
функцията има максимална стойност \(y=1\) в точки \(x=2πn\), където \(n ϵ Z\)
функцията има минимална стойност \(y=-1\) в точки \(x=π+2πn\), където \(n ϵ Z\).
Примери:
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Как се решават тригонометрични уравнения:
Всяко тригонометрично уравнение трябва да бъде сведено до един от следните типове:
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
където \(t\) е израз с x, \(a\) е число. Такива тригонометрични уравнения се наричат най-простият. Те могат лесно да бъдат решени с помощта на () или специални формули:
Пример . Решете тригонометричното уравнение \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\).
Решение:
отговор: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)
Какво означава всеки символ във формулата за корените на тригонометричните уравнения, вижте.
внимание!Уравненията \(\sinx=a\) и \(\cosx=a\) нямат решения, ако \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Тъй като синус и косинус за всяко x са по-големи или равни на \(-1\) и по-малки или равни на \(1\):
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Пример
. Решете уравнението \(\cosx=-1,1\).
Решение:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
отговор
: няма решения.
Пример . Решете тригонометричното уравнение tg\(x=1\).
Решение:
|
|
Нека решим уравнението с помощта на числовата окръжност. За да направите това: |
Пример
. Решете тригонометричното уравнение \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\).
Решение:
|
|
Нека отново използваме числовия кръг. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Както обикновено, ще изразим \(x\) в уравнения. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
Намаляването на тригонометричните уравнения до най-простите е творческа задача, тук трябва да използвате и двете специални методи за решаване на уравнения:
- Метод (най-популярният в Единния държавен изпит).
- Метод.
- Метод на спомагателните аргументи.
Нека разгледаме пример за решаване на квадратно тригонометрично уравнение
Пример . Решете тригонометричното уравнение \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)Решение:
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Нека направим замяната \(t=\cosx\). |
|
Нашето уравнение стана типично. Можете да го разрешите с помощта на. |
|
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
|
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Правим обратна замяна. |
|
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
Решаваме първото уравнение с помощта на числовата окръжност. |
 |
Нека напишем всички числа, лежащи в тези точки. |
Пример за решаване на тригонометрично уравнение с изследване на ODZ:
Пример (USE) . Решете тригонометричното уравнение \(=0\)|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Има дроб и има котангенс - това означава, че трябва да го запишем. Нека ви напомня, че котангенсът всъщност е дроб: ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Следователно ODZ за ctg\(x\): \(\sinx≠0\). |
|
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Нека отбележим „нерешенията“ върху числовата окръжност. |
|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Нека се отървем от знаменателя в уравнението, като го умножим по ctg\(x\). Можем да направим това, тъй като по-горе написахме, че ctg\(x ≠0\). |
|
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Нека приложим формулата за двоен ъгъл за синус: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Ако ръцете ви се протегнат, за да разделите на косинус, дръпнете ги назад! Можете да разделите на израз с променлива, ако тя определено не е равна на нула (например тези: \(x^2+1.5^x\)). Вместо това, нека поставим \(\cosx\) извън скоби. |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
Нека "разделим" уравнението на две. |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Нека решим първото уравнение с помощта на числовата окръжност. Нека разделим второто уравнение на \(2\) и преместим \(\sinx\) в дясната страна. |
 |
|
|
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Получените корени не се включват в ОДЗ. Затова няма да ги запишем в отговор. |
|
Отново използваме кръг. |
|
|
|
Тези корени не са изключени от ODZ, така че можете да ги напишете в отговора. |
Тригонометричните уравнения не са лесна тема. Те са твърде разнообразни.) Например тези:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
И подобни...
Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища имат две общи и задължителни характеристики. Първо - няма да повярвате - в уравненията има тригонометрични функции.) Второ: всички изрази с x са намерени в рамките на същите тези функции.И само там! Ако X се появи някъде навън,например, sin2x + 3x = 3,това вече ще е уравнение от смесен тип. Такива уравнения изискват индивидуален подход. Няма да ги разглеждаме тук.
В този урок също няма да решаваме зли уравнения.) Тук ще се занимаваме с най-простите тригонометрични уравнения.защо Да, защото решението всякаквитригонометричните уравнения се състоят от два етапа. На първия етап злото уравнение се свежда до просто чрез различни трансформации. На втория се решава това най-просто уравнение. Иначе няма как.
Така че, ако имате проблеми на втория етап, първият етап няма много смисъл.)
Как изглеждат елементарните тригонометрични уравнения?
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = a
тук А означава произволно число. Всякакви.
Между другото, вътре в една функция може да няма чисто X, а някакъв вид израз, като:
cos(3x+π /3) = 1/2
и други подобни. Това усложнява живота, но не засяга метода за решаване на тригонометрично уравнение.
Как се решават тригонометрични уравнения?
Тригонометричните уравнения могат да се решават по два начина. Първият начин: използване на логиката и тригонометричната окръжност. Ще разгледаме този път тук. Вторият начин - използване на памет и формули - ще бъде разгледан в следващия урок.
Първият начин е ясен, надежден и трудно се забравя.) Добър е за решаване на тригонометрични уравнения, неравенства и всякакви трудни нестандартни примери. Логиката е по-силна от паметта!)
Решаване на уравнения с помощта на тригонометрична окръжност.
Включваме елементарна логика и умение да използваме тригонометричния кръг. Не знаеш ли как? Въпреки това... Ще ви е трудно в тригонометрията...) Но това няма значение. Разгледайте уроците "Тригонометрична окръжност...... Какво е това?" и "Измерване на ъгли върху тригонометрична окръжност." Там всичко е просто. За разлика от учебниците...)
О, знаеш ли!? И дори усвои „Практическа работа с тригонометричния кръг“!? честито Тази тема ще ви бъде близка и разбираема.) Особено радващото е, че тригонометричната окръжност не се интересува какво уравнение решавате. Синус, косинус, тангенс, котангенс – всичко му е едно и също. Има само един принцип на решение.
Така че вземаме всяко елементарно тригонометрично уравнение. Поне това:
cosx = 0,5
Трябва да намерим X. Казано на човешки език, имате нужда намерете ъгъла (x), чийто косинус е 0,5.
Как използвахме кръга преди? Начертахме ъгъл върху него. В градуси или радиани. И то веднага видях тригонометрични функции на този ъгъл. Сега нека направим обратното. Нека начертаем косинус върху окръжността, равен на 0,5 и веднага ще видим ъгъл. Остава само да напиша отговора.) Да, да!
Начертайте кръг и маркирайте косинуса, равен на 0,5. По косинусовата ос, разбира се. като това:
Сега нека начертаем ъгъла, който ни дава този косинус. Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблета си) и ще видишточно този ъгъл X.
Косинусът на кой ъгъл е 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Някои хора ще се усмихнат скептично, да... Като, струваше ли си да направим кръг, когато всичко вече е ясно... Можете, разбира се, да се усмихнете...) Но факт е, че това е грешен отговор. Или по-скоро недостатъчно. Познавачите на кръговете разбират, че тук има цял куп други ъгли, които също дават косинус от 0,5.
Ако завъртите подвижната страна OA пълен оборот, точка А ще се върне в първоначалната си позиция. Със същия косинус равен на 0,5. Тези. ъгълът ще се променис 360° или 2π радиана и косинус - не.Новият ъгъл 60° + 360° = 420° също ще бъде решение на нашето уравнение, т.к.
Могат да бъдат направени безкраен брой такива пълни завъртания... И всички тези нови ъгли ще бъдат решения на нашето тригонометрично уравнение. И всички те трябва да бъдат записани по някакъв начин в отговор. Всички.Иначе решението не се брои, да...)
Математиката може да направи това просто и елегантно. Запишете в един кратък отговор безкрайно множестворешения. Ето как изглежда нашето уравнение:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ще го дешифрирам. Все пак пиши смисленоПо-приятно е, отколкото глупаво да рисувате мистериозни букви, нали?)
π /3 - това е същият ъгъл, който ние видяхвърху кръга и определенспоред косинусната таблица.
2π е една пълна революция в радиани.
п - това е броят на пълните, т.е. цялооб/мин Ясно е, че п може да бъде равно на 0, ±1, ±2, ±3.... и така нататък. Както е посочено от кратък запис:
n ∈ Z
п принадлежи на ( ∈ ) набор от цели числа ( З ). Между другото, вместо писмото п буквите могат да бъдат използвани к, м, т и т.н.
Тази нотация означава, че можете да вземете всяко цяло число п . Най-малко -3, поне 0, поне +55. Каквото искаш. Ако замените това число в отговора, ще получите конкретен ъгъл, който определено ще бъде решението на нашето сурово уравнение.)
Или, с други думи, x = π /3 е единственият корен на безкрайно множество. За да получите всички други корени, е достатъчно да добавите произволен брой пълни обороти към π /3 ( п ) в радиани. Тези. 2π n радиан.
всички? не Нарочно удължавам удоволствието. За да запомним по-добре.) Получихме само част от отговорите на нашето уравнение. Ще напиша тази първа част от решението така:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 1 - не само един корен, а цяла поредица от корени, записани в кратка форма.
Но има и ъгли, които също дават косинус от 0,5!
Да се върнем към нашата снимка, от която записахме отговора. Ето го:
Задръжте мишката върху изображението и виждамедруг ъгъл, който също дава косинус от 0,5.На какво мислите, че е равно? Триъгълниците са еднакви... Да! То е равно на ъгъла X , само забавено в отрицателна посока. Това е ъгълът -X. Но ние вече изчислихме x. π /3 или 60°. Следователно можем спокойно да напишем:
x 2 = - π /3
Е, разбира се, добавяме всички ъгли, които се получават чрез пълни обороти:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Това е всичко сега.) На тригонометричната окръжност ние видях(който разбира, разбира се)) Всичкиъгли, които дават косинус от 0,5. И ние записахме тези ъгли в кратка математическа форма. Отговорът доведе до две безкрайни серии от корени:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Това е правилният отговор.
надежда, общ принцип за решаване на тригонометрични уравненияизползването на кръг е ясно. Отбелязваме върху окръжност косинуса (синус, тангенс, котангенс) от даденото уравнение, начертаваме съответстващите му ъгли и записваме отговора.Разбира се, трябва да разберем какви ъгли сме видяхвърху кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, казах, че тук е необходима логика.)
Например, нека разгледаме друго тригонометрично уравнение:
Моля, имайте предвид, че числото 0,5 не е единственото възможно число в уравненията!) Просто ми е по-удобно да го напиша, отколкото корени и дроби.
Ние работим според общия принцип. Начертаваме кръг, маркираме (на синусовата ос, разбира се!) 0,5. Начертаваме всички ъгли, съответстващи на този синус наведнъж. Получаваме тази снимка:
Нека първо се заемем с ъгъла X през първото тримесечие. Спомняме си таблицата на синусите и определяме стойността на този ъгъл. Това е проста работа:
x = π /6
Спомняме си за пълните завои и с чиста съвест записваме първата серия от отговори:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Половината работа е свършена. Но сега трябва да определим втори ъгъл...По-сложно е от косинусите, да... Но логиката ще ни спаси! Как да определим втория ъгъл през х? Лесно е! Триъгълниците на снимката са еднакви, както и червеният ъгъл X равен на ъгъл X . Само той се брои от ъгъла π в отрицателна посока. Затова е червен.) А за отговора ни трябва ъгъл, измерен правилно от положителната полуос OX, т.е. от ъгъл 0 градуса.
Задръжте курсора върху чертежа и виждаме всичко. Премахнах първия ъгъл, за да не усложнявам картината. Ъгълът, който ни интересува (начертан в зелено), ще бъде равен на:
π - х
X ние знаем това π /6 . Следователно вторият ъгъл ще бъде:
π - π /6 = 5π /6
Отново си спомняме за добавянето на пълни обороти и записваме втората серия от отговори:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Това е. Пълният отговор се състои от две серии от корени:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Тангенсните и котангенсните уравнения могат лесно да бъдат решени, като се използва същият общ принцип за решаване на тригонометрични уравнения. Ако, разбира се, знаете как да начертаете тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност.
В примерите по-горе използвах табличната стойност на синус и косинус: 0,5. Тези. едно от онези значения, които ученикът знае длъжен.Сега нека разширим възможностите си до всички други стойности.Решете, така че решете!)
И така, да кажем, че трябва да решим това тригонометрично уравнение:
В кратките таблици няма такава косинусова стойност. Хладно игнорираме този ужасен факт. Начертайте кръг, маркирайте 2/3 върху косинусната ос и начертайте съответните ъгли. Получаваме тази снимка.
Нека да разгледаме първо ъгъла през първата четвърт. Само ако знаехме на какво е равно x, веднага щяхме да запишем отговора! Не знаем... Провал!? спокойно! Математиката не оставя своя народ в беда! Тя измисли дъгови косинуси за този случай. не знам Напразно. Разберете, това е много по-лесно, отколкото си мислите. На този линк няма нито едно сложно заклинание за "обратни тригонометрични функции"... Това е излишно в тази тема.
Ако сте наясно, просто си кажете: "X е ъгъл, чийто косинус е равен на 2/3." И веднага, чисто по дефиницията на аркосинус, можем да напишем:
Спомняме си за допълнителните обороти и спокойно записваме първата серия от корени на нашето тригонометрично уравнение:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Втората поредица от корени за втория ъгъл се записва почти автоматично. Всичко е същото, само X (arccos 2/3) ще бъде с минус:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
И това е! Това е правилният отговор. Дори по-лесно, отколкото с таблични стойности. Няма нужда да помните нищо.) Между другото, най-внимателните ще забележат, че тази снимка показва решението чрез аркосинус по същество не се различава от картината за уравнението cosx = 0,5.
точно така! Общият принцип е точно такъв! Нарочно нарисувах две почти еднакви картини. Кръгът ни показва ъгъла X по своя косинус. Дали е табличен косинус или не, не е известно на всички. Какъв вид ъгъл е това, π /3, или какво е арккосинус - това зависи от нас да решим.
Същата песен със синуса. Например:
Начертайте отново кръг, маркирайте синуса, равен на 1/3, начертайте ъглите. Това е картината, която получаваме:
И отново картината е почти същата като при уравнението sinx = 0,5.Отново започваме от корнер през първата четвърт. На какво е равно X, ако неговият синус е 1/3? Няма въпрос!
Сега първият пакет корени е готов:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Нека се заемем с втория ъгъл. В примера с таблична стойност от 0,5 тя е равна на:
π - х
И тук ще бъде абсолютно същото! Само х е различно, arcsin 1/3. И какво от това!? Можете спокойно да запишете втория пакет корени:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Това е напълно правилен отговор. Въпреки че не изглежда много познато. Но е ясно, надявам се.)
Ето как тригонометричните уравнения се решават с помощта на кръг. Този път е ясен и разбираем. Той е този, който спестява в тригонометрични уравнения с избор на корени на даден интервал, в тригонометрични неравенства - те обикновено се решават почти винаги в кръг. Накратко, във всякакви задачи, които са малко по-трудни от стандартните.
Да приложим знанията на практика?)
Решете тригонометрични уравнения:
Първо, по-просто, направо от този урок.
Сега е по-сложно.
Съвет: тук ще трябва да помислите за кръга. Лично.)
И сега те са външно прости... Наричат ги още специални случаи.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Подсказка: тук трябва да разберете в кръг къде има две серии от отговори и къде има една... И как да напишете една вместо две серии от отговори. Да, за да не се загуби нито един корен от безкраен брой!)
Е, много просто):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Съвет: тук трябва да знаете какво са арксинус и аркосинус? Какво е арктангенс, арккотангенс? Най-простите определения. Но не е необходимо да помните стойности на таблица!)
Отговорите, разбира се, са бъркотия):
х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2
Не всичко се получава? Случва се. Прочетете урока отново. само замислено(има такава остаряла дума...) И следвайте връзките. Основните връзки са за кръга. Без нея тригонометрията е като пресичане на пътя със завързани очи. Понякога работи.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.