المشتقات المعقدة. مشتق لوغاريتمي.
مشتق من دالة الأسية
نواصل تحسين تقنية التمايز لدينا. في هذا الدرس، سنقوم بدمج المواد التي تناولناها، وننظر إلى المشتقات الأكثر تعقيدًا، ونتعرف أيضًا على التقنيات والحيل الجديدة لإيجاد المشتقة، على وجه الخصوص، المشتقة اللوغاريتمية.
لأولئك القراء الذين لديهم مستوى منخفضالتحضير، يجب عليك الرجوع إلى هذه المادة كيفية العثور على المشتقة؟ أمثلة على الحلولمما سيسمح لك برفع مهاراتك من الصفر تقريبًا. بعد ذلك، عليك أن تدرس الصفحة بعناية مشتق من وظيفة معقدةوفهم وحل الجميعالأمثلة التي أعطيتها. هذا الدرس هو الدرس الثالث منطقيًا، وبعد إتقانه ستميز بثقة بين الوظائف المعقدة إلى حد ما. من غير المرغوب فيه اتخاذ موقف "أين آخر؟" نعم هذا يكفي”، حيث أن جميع الأمثلة والحلول مأخوذة من الواقع الاختباراتوغالبا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
لنبدأ بالتكرار. في الصف مشتق من وظيفة معقدةنظرنا إلى عدد من الأمثلة مع تعليقات مفصلة. أثناء دراسة حساب التفاضل والتكامل والأقسام الأخرى التحليل الرياضي- سيتعين عليك التمييز في كثير من الأحيان، وليس من المناسب دائمًا (وليس من الضروري دائمًا) وصف الأمثلة بقدر كبير من التفصيل. ومن ثم، سوف نتدرب على إيجاد المشتقات شفويًا. "المرشحون" الأكثر ملاءمة لذلك هم مشتقات أبسط الدوال المعقدة، على سبيل المثال:
وفقا لقاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة 
:
عند دراسة مواضيع ماتان أخرى في المستقبل، غالبا ما لا يكون هذا التسجيل التفصيلي مطلوبا؛ فمن المفترض أن الطالب يعرف كيفية العثور على مثل هذه المشتقات على الطيار الآلي. لنتخيل أنه في الساعة الثالثة صباحًا كان هناك مكالمة هاتفية، و صوت لطيفسُئل: ما مشتقة مماس اثنين X؟ يجب أن يتبع ذلك إجابة فورية ومهذبة تقريبًا: 
.
سيتم تخصيص المثال الأول على الفور قرار مستقل.
مثال 1
أوجد المشتقات التالية شفوياً في إجراء واحد مثلاً: . لإكمال المهمة، ما عليك سوى استخدامه جدول مشتقات الوظائف الأولية(إذا لم تكن تتذكره بعد). إذا واجهت أي صعوبات، أنصحك بإعادة قراءة الدرس مشتق من وظيفة معقدة.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
الإجابات في نهاية الدرس
المشتقات المعقدة
بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. ربما يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فكل شيء آخر تقريبًا موجود حساب التفاضل والتكاملسوف يبدو وكأنه نكتة الطفل.
مثال 2
أوجد مشتقة الدالة 
كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك خدعة مفيدة: نأخذ القيمة التجريبية لـ "x"، على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدالها قيمة معينةإلى "تعبير رهيب".
1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.
2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:
4) ثم مكعب جيب التمام:
5) في الخطوة الخامسة الفرق:
6) وأخيرًا، الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي: 
صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة 
سيتم استخدامها في ترتيب عكسي، من الوظيفة الخارجية إلى الأعمق. نحن نقرر:
يبدو أنه لا توجد أخطاء..
(1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.
(2) نأخذ مشتقة الفرق باستخدام القاعدة 
(٣) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).
(4) خذ مشتق جيب التمام.
(5) خذ مشتقة اللوغاريتم.
(6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.
قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.
المثال التالي هو الحل بنفسك.
مثال 3
أوجد مشتقة الدالة
تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات
الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس اثنين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق من منتجات ثلاثةمضاعفات؟
مثال 4
أوجد مشتقة الدالة 
لننظر أولاً، هل من الممكن تحويل منتج ثلاث وظائف إلى منتج دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا الحدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح القوسين. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة، الأس، واللوغاريتم.
في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج 
مرتين
الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا 
– هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:
الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية 
بين قوسين:
لا يزال بإمكانك أن تكون منحرفًا وتخرج شيئًا ما بين قوسين، ولكن في في هذه الحالةمن الأفضل ترك الإجابة في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.
يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية: 
كلا الحلين متكافئان تمامًا.
مثال 5
أوجد مشتقة الدالة
هذا مثال للحل المستقل؛ في العينة تم حله باستخدام الطريقة الأولى.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.
مثال 6
أوجد مشتقة الدالة 
هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:
أو مثل هذا:
لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا 
، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:
ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟ دعونا نختصر تعبير البسط إلى القاسم المشتركو دعونا نتخلص من الكسر المكون من ثلاثة طوابق:
عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.
مثال أبسط لحلها بنفسك:
مثال 7
أوجد مشتقة الدالة
نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح لوغاريتم "فظيع" للتمايز
مثال 8
أوجد مشتقة الدالة
هنا يمكنك قطع شوط طويل، باستخدام قاعدة التمييز بين دالة معقدة:
لكن الخطوة الأولى تغرقك على الفور في حالة من اليأس - عليك أن تأخذ المشتق غير السار من قوة كسرية، ثم من الكسر أيضًا.
لهذا السبب قبلكيفية أخذ مشتق اللوغاريتم "المعقد" يتم تبسيطه أولاً باستخدام خصائص المدرسة المعروفة:
! إذا كان لديك دفتر تدريبي في متناول يدك، فانسخ هذه الصيغ مباشرة هناك. إذا لم يكن لديك دفتر ملاحظات، فانسخه على قطعة من الورق، لأن الأمثلة المتبقية من الدرس ستدور حول هذه الصيغ.
الحل نفسه يمكن كتابته بشيء من هذا القبيل:
دعونا نحول الوظيفة:
إيجاد المشتقة: 
أدى التحويل المسبق للوظيفة نفسها إلى تبسيط الحل إلى حد كبير. وبالتالي، عندما يتم اقتراح لوغاريتم مماثل للتمايز، فمن المستحسن دائمًا "تقسيمه".
والآن إليك بعض الأمثلة البسيطة التي يمكنك حلها بنفسك:
مثال 9
أوجد مشتقة الدالة 
مثال 10
أوجد مشتقة الدالة
جميع التحويلات والإجابات موجودة في نهاية الدرس.
مشتق لوغاريتمي
إذا كان مشتق اللوغاريتمات موسيقى حلوة، فإن السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن في بعض الحالات تنظيم اللوغاريتم بشكل مصطنع؟ يستطيع! وحتى ضرورية.
مثال 11
أوجد مشتقة الدالة 
لقد نظرنا مؤخرًا إلى أمثلة مماثلة. ما يجب القيام به؟ يمكنك تطبيق قاعدة اشتقاق الحاصل بشكل تسلسلي، ثم قاعدة اشتقاق المنتج. عيب هذه الطريقة هو أنه سينتهي بك الأمر بجزء ضخم من ثلاثة طوابق، وهو ما لا ترغب في التعامل معه على الإطلاق.
ولكن من الناحية النظرية والتطبيقية هناك شيء رائع مثل المشتق اللوغاريتمي. يمكن تنظيم اللوغاريتمات بشكل مصطنع عن طريق "تعليقها" على كلا الجانبين:
أنت الآن بحاجة إلى "تفكيك" لوغاريتم الجانب الأيمن قدر الإمكان (الصيغ أمام عينيك؟). سأصف هذه العملية بتفصيل كبير:
لنبدأ بالتمايز.
نستنتج كلا الجزأين تحت الرئاسة:
إن مشتقة الجانب الأيمن بسيطة جدًا، ولن أعلق عليها، لأنك إذا كنت تقرأ هذا النص، فيجب أن تكون قادرًا على التعامل معه بثقة.
ماذا عن الجانب الأيسر؟
على الجانب الأيسر لدينا وظيفة معقدة. أتوقع السؤال: "لماذا يوجد حرف واحد "Y" تحت اللوغاريتم؟"
الحقيقة هي أن هذه "لعبة الحرف الواحد" - هي في حد ذاتها وظيفة(إذا لم يكن الأمر واضحًا جدًا، فارجع إلى المقالة مشتق من دالة محددة ضمنيًا). وبالتالي فإن اللوغاريتم هو دالة خارجية، والحرف "y" هو دالة خارجية وظيفة داخلية. ونستخدم القاعدة لاشتقاق دالة معقدة 
:
على الجانب الأيسر، كما لو كان بالسحر العصا السحريةلدينا مشتق . بعد ذلك، وفقًا لقاعدة التناسب، نقوم بنقل "y" من مقام الجانب الأيسر إلى أعلى الجانب الأيمن:
والآن دعونا نتذكر ما نوع وظيفة "اللاعب" التي تحدثنا عنها أثناء التمايز؟ دعونا نلقي نظرة على الحالة: 
الجواب النهائي: 
مثال 12
أوجد مشتقة الدالة
هذا مثال عليك حله بنفسك. مثال على تصميم المثال من هذا النوعفي نهاية الدرس.
باستخدام المشتق اللوغاريتمي، كان من الممكن حل أي من الأمثلة رقم 4-7، والشيء الآخر هو أن الوظائف هناك أبسط، وربما، استخدام المشتق اللوغاريتمي غير مبرر للغاية.
مشتق من دالة الأسية
لم نفكر في هذه الوظيفة بعد. دالة الأس الأسية هي دالة لها تعتمد كل من الدرجة والقاعدة على "x". مثال كلاسيكيوالتي سيتم تقديمها لك في أي كتاب مدرسي أو في أي محاضرة:
كيفية العثور على مشتق دالة القوة الأسية؟
من الضروري استخدام التقنية التي تمت مناقشتها للتو - المشتق اللوغاريتمي. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين:
كقاعدة عامة، على الجانب الأيمن يتم إخراج الدرجة من تحت اللوغاريتم:
ونتيجة لذلك، لدينا على الجانب الأيمن حاصل ضرب دالتين، وسيتم الاشتقاق بهما الصيغة القياسية 
.
نجد المشتقة، للقيام بذلك، نضع كلا الجزأين تحت الحدود:
الإجراءات الإضافية بسيطة:
أخيراً: 
إذا لم يكن أي تحويل واضحًا تمامًا، فيرجى إعادة قراءة شرح المثال رقم 11 بعناية.
في المهام العمليةستكون دالة الأس الأسية دائمًا أكثر تعقيدًا من المثال الذي تمت مناقشته في المحاضرة.
مثال 13
أوجد مشتقة الدالة
نستخدم المشتقة اللوغاريتمية. 
على الجانب الأيمن لدينا ثابت وحاصل ضرب عاملين - "x" و"لوغاريتم اللوغاريتم x" (يوجد لوغاريتم آخر متداخل تحت اللوغاريتم). عند الاشتقاق، كما نتذكر، من الأفضل نقل الثابت فورًا خارج علامة المشتقة حتى لا يعيق الطريق؛ وبالطبع نطبق القاعدة المألوفة 
:
كما ترون، فإن خوارزمية استخدام المشتق اللوغاريتمي لا تحتوي على أي حيل أو حيل خاصة، وعادةً لا يرتبط العثور على مشتق دالة أسية بـ "العذاب".
يقرر المهام الجسديةأو الأمثلة في الرياضيات مستحيلة تمامًا دون معرفة المشتقة وطرق حسابها. المشتق هو واحد من أهم المفاهيمالتحليل الرياضي. هذا موضوع أساسيقررنا أن نخصص مقال اليوم. ما هو المشتق، ما هو المادي و معنى هندسيكيفية حساب مشتق دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟
المعنى الهندسي والمادي للمشتق
يجب أن تكون هناك وظيفة و (خ) ، محددة في فترة زمنية معينة (أ، ب) . تنتمي النقطتان x وx0 إلى هذا الفاصل الزمني. عندما يتغير x، تتغير الدالة نفسها. تغيير الحجة - الفرق في قيمها x-x0 . يتم كتابة هذا الاختلاف كما دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. التغيير أو الزيادة في الدالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف المشتق:
مشتق الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيط عندما يميل الأخير إلى الصفر.
وإلا فإنه يمكن كتابتها مثل هذا:
ما الفائدة من إيجاد مثل هذا الحد؟ وهذا ما هو عليه:
مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX ومماس الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.
المعنى الجسديالمشتق: مشتق المسار بالنسبة إلى الزمن يساوي سرعة الحركة المستقيمة.
في الواقع، منذ أيام المدرسة يعلم الجميع أن السرعة هي طريق معين س = و (ر) والوقت ر . متوسط السرعةلفترة معينة من الزمن:
لمعرفة سرعة الحركة في لحظة زمنية ما ر0 تحتاج إلى حساب الحد:
القاعدة الأولى: تعيين ثابت
يمكن إخراج الثابت من علامة المشتقة. علاوة على ذلك، يجب القيام بذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات، خذها كقاعدة - إذا كان بإمكانك تبسيط تعبير ما، فتأكد من تبسيطه .
مثال. دعونا نحسب المشتق:
القاعدة الثانية: مشتقة مجموع الدوال
مشتق مجموع دالتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتقة اختلاف الوظائف.
ولن نقدم برهانًا على هذه النظرية، بل سنأخذ مثالًا عمليًا.
أوجد مشتقة الدالة:
القاعدة الثالثة: مشتقة حاصل ضرب الدوال
يتم حساب مشتق منتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:
مثال: إيجاد مشتقة الدالة:
حل: 
من المهم التحدث عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة هنا. مشتقة دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة ومشتقة الوسيطة الوسيطة بالنسبة إلى المتغير المستقل.
في المثال أعلاه نواجه التعبير:
في هذه الحالة، الوسيطة الوسيطة هي 8x مرفوعة للقوة الخامسة. من أجل حساب مشتقة مثل هذا التعبير، نحسب أولاً مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة، ثم نضرب في مشتقة الوسيطة نفسها بالنسبة إلى المتغير المستقل.
القاعدة الرابعة: مشتقة حاصل قسمة دالتين
صيغة لتحديد مشتق حاصل دالتين:
حاولنا التحدث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بسيطًا كما يبدو، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.
إذا كانت لديك أي أسئلة حول هذا الموضوع والمواضيع الأخرى، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. ل على المدى القصيرسنساعدك على حل أصعب الاختبارات وحل المسائل، حتى لو لم تقم بإجراء عمليات حسابية مشتقة من قبل.
بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. قد يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فإن كل شيء آخر تقريبًا في حساب التفاضل والتكامل سيبدو وكأنه مزحة طفل.
مثال 2
أوجد مشتقة الدالة
كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك بتقنية مفيدة: نأخذ القيمة التجريبية لـ "x"، على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".
1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.
2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:
4) ثم مكعب جيب التمام:
5) في الخطوة الخامسة الفرق:
6) وأخيرًا، الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي: 
صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة 
يتم تطبيقها بترتيب عكسي، من الوظيفة الخارجية إلى الوظيفة الأعمق. نحن نقرر:
يبدو بدون أخطاء:
1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.
2) أوجد مشتقة الفرق باستخدام القاعدة 
3) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).
4) خذ مشتق جيب التمام.
6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.
قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.
المثال التالي هو الحل بنفسك.
مثال 3
أوجد مشتقة الدالة
تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات
الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس وظيفتين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق المنتج من ثلاثة عوامل؟
مثال 4
أوجد مشتقة الدالة 
لننظر أولاً، هل من الممكن تحويل منتج ثلاث وظائف إلى منتج دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا الحدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح القوسين. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة، الأس، واللوغاريتم.
في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج 
مرتين
الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا 
- هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:
الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية بين قوسين:
يمكنك أيضًا التحريف ووضع شيء ما خارج الأقواس، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة بالضبط في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.
يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:
كلا الحلين متكافئان تمامًا.
مثال 5
أوجد مشتقة الدالة
هذا مثال للحل المستقل؛ في العينة تم حله باستخدام الطريقة الأولى.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.
مثال 6
أوجد مشتقة الدالة 
هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:
أو مثل هذا:
لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا 
، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:
ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟
دعونا نختصر تعبير البسط إلى قاسم مشترك ونتخلص من بنية الكسر المكونة من ثلاثة طوابق:
عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.
مثال أبسط لحلها بنفسك:
مثال 7
أوجد مشتقة الدالة
نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح لوغاريتم "فظيع" للتمايز
يتم إعطاء أمثلة لحساب المشتقات باستخدام صيغة مشتقة دالة معقدة.
هنا نعطي أمثلة لحساب مشتقات الوظائف التالية:
;
;
;
;
.
إذا كان من الممكن تمثيل الوظيفة كـ وظيفة معقدة V النموذج التالي:
,
ثم يتم تحديد مشتقه بالصيغة:
.
وفي الأمثلة أدناه سنكتب هذه الصيغة على النحو التالي:
.
أين .
هنا، تشير الحروف السفلية أو الموجودة تحت علامة المشتقة إلى المتغيرات التي يتم من خلالها إجراء التمايز.
عادة، في جداول المشتقات، يتم إعطاء مشتقات الوظائف من المتغير x.
ومع ذلك، x هي معلمة رسمية. يمكن استبدال المتغير x بأي متغير آخر. لذلك، عند تمييز دالة من متغير، نقوم ببساطة بتغيير المتغير x إلى المتغير u في جدول المشتقات.
أمثلة بسيطة
مثال 1
.
أوجد مشتقة دالة معقدة
حل دعونا نكتبهاوظيفة معينة
.
في شكل معادل:
;
.
في جدول المشتقات نجد:
.
وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:
هنا .
إجابة
مثال 2
.
أوجد مشتقة دالة معقدة
نخرج الثابت 5 من إشارة المشتقة ومن جدول المشتقات نجد:
.
.
وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:
هنا .
مثال 3
أوجد المشتقة
.
أوجد مشتقة دالة معقدة
نحن نخرج ثابتا -1
من أجل علامة المشتقة ومن جدول المشتقات نجد:
;
من جدول المشتقات نجد:
.
نطبق صيغة مشتقة دالة معقدة:
.
وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:
هنا .
أمثلة أكثر تعقيدا
في المزيد أمثلة معقدةنطبق قاعدة التمييز بين دالة معقدة عدة مرات. في هذه الحالة، نحسب المشتقة من النهاية. أي أننا نقوم بتقسيم الدالة إلى الأجزاء المكونة لها وإيجاد مشتقات أبسط الأجزاء باستخدام جدول المشتقات. نحن نستخدم أيضا قواعد التمييز بين المبالغوالمنتجات والكسور. ثم نقوم بإجراء البدائل وتطبيق صيغة مشتقة دالة معقدة.
مثال 4
أوجد المشتقة
.
أوجد مشتقة دالة معقدة
دعونا نسلط الضوء على أكثر من غيرها جزء بسيطالصيغة وإيجاد مشتقتها. .
.
لقد استخدمنا هنا الترميز
.
نجد مشتقة الجزء التالي من الدالة الأصلية باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها. نحن نطبق قاعدة التمييز بين المبلغ:
.
مرة أخرى، نطبق قاعدة التمييز بين الوظائف المعقدة.
.
وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:
هنا .
مثال 5
أوجد مشتقة الدالة
.
أوجد مشتقة دالة معقدة
دعنا نختار أبسط جزء من الصيغة ونجد مشتقته من جدول المشتقات. .
نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة.
.
هنا
.
سنتحدث في هذه المقالة عن مفهوم رياضي مهم كدالة معقدة، وسنتعلم كيفية العثور على مشتقة دالة معقدة.
قبل أن نتعلم كيفية العثور على مشتقة دالة معقدة، دعونا نفهم مفهوم الوظيفة المعقدة، وما هي، "وماذا تؤكل"، و"كيفية طهيها بشكل صحيح".
دعونا نفكر وظيفة تعسفية، على سبيل المثال، مثل هذا:
لاحظ أن الوسيطة الموجودة على الجانبين الأيمن والأيسر من معادلة الدالة هي نفس الرقم أو التعبير.
وبدلا من المتغير يمكننا أن نضع مثلا التعبير التالي: . وبعد ذلك نحصل على الدالة
لنسمي التعبير وسيطة وسيطة، والدالة وظيفة خارجية. انها ليست صارمة المفاهيم الرياضيةولكنها تساعد على فهم معنى مفهوم الوظيفة المعقدة.
التعريف الصارم لمفهوم الوظيفة المعقدة هو:
دع الوظيفة يتم تعريفها على مجموعة وتكون مجموعة قيم هذه الوظيفة. اجعل المجموعة (أو مجموعتها الفرعية) هي مجال تعريف الوظيفة. دعونا نخصص رقمًا لكل منهم. وبالتالي، سيتم تعريف الوظيفة على المجموعة. يطلق عليه تكوين الوظيفة أو الوظيفة المعقدة.
في هذا التعريف، إذا استخدمنا مصطلحاتنا، فإن الدالة الخارجية هي وسيطة وسيطة.
يتم العثور على مشتق دالة معقدة وفقًا للقاعدة التالية:
ولتوضيح الأمر أكثر، أحب أن أكتب هذه القاعدة على النحو التالي:
في هذا التعبير، يشير الاستخدام إلى وظيفة وسيطة.
لذا. للعثور على مشتق دالة معقدة، تحتاج
1. تحديد الوظيفة الخارجية والعثور على المشتقة المقابلة من جدول المشتقات.
2. تحديد وسيطة وسيطة.
الصعوبة الأكبر في هذا الإجراء هي العثور على الوظيفة الخارجية. يتم استخدام خوارزمية بسيطة لهذا:
أ. اكتب معادلة الدالة.
ب. تخيل أنك بحاجة إلى حساب قيمة دالة لبعض قيمة x. للقيام بذلك، يمكنك استبدال قيمة x هذه في معادلة الدالة وإنتاجها العمليات الحسابية. الإجراء الأخير الذي تقوم به هو الوظيفة الخارجية.
على سبيل المثال، في الدالة
الإجراء الأخير هو الأسي.
دعونا نجد مشتقة هذه الوظيفة. للقيام بذلك، نكتب حجة وسيطة