የትሪጎኖሜትሪ ጥናታችንን የምንጀምረው በ የቀኝ ሶስት ማዕዘን. ሳይን እና ኮሳይን ምን እንደሆኑ እንዲሁም ታንጀንት እና ኮታንጀንት ምን እንደሆኑ እንገልጽ አጣዳፊ ማዕዘን. ይህ የትሪግኖሜትሪ መሰረታዊ ነገሮች ነው.

ያንን እናስታውስህ ቀኝ ማዕዘንከ 90 ዲግሪ ጋር እኩል የሆነ አንግል ነው. በሌላ አነጋገር ግማሽ የዞረ ማዕዘን.

ሹል ጥግ- ከ 90 ዲግሪ ያነሰ.

የተደበቀ አንግል- ከ 90 ዲግሪ በላይ. ከእንዲህ ዓይነቱ አንግል ጋር በተገናኘ “ድብርት” ስድብ አይደለም ፣ ግን የሂሳብ ቃል ነው :-)

ትክክለኛውን ሶስት ማዕዘን እንሳል. ቀኝ አንግል አብዛኛውን ጊዜ በ. እባክዎን ከማዕዘኑ ተቃራኒው ጎን በተመሳሳይ ፊደል እንደሚጠቁም ልብ ይበሉ ፣ ትንሽ ብቻ። ስለዚህ, የጎን ተቃራኒው አንግል A ይመደባል.

አንግል በተዛማጅነት ይገለጻል የግሪክ ፊደል.

ሃይፖቴንነስየቀኝ ትሪያንግል ጎን ተቃራኒ ነው። ቀኝ ማዕዘን.

እግሮች- ጎን ለጎን አጣዳፊ ማዕዘኖች ተቃራኒ ናቸው።

ከማዕዘኑ በተቃራኒ የተኛ እግር ይባላል ተቃራኒ(ከአንግል አንፃር)። በአንደኛው የማዕዘን ጎኖች ላይ የተቀመጠው ሌላኛው እግር ይባላል አጎራባች.

ሳይነስበቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ያለው አጣዳፊ አንግል ጥምርታ ነው። በተቃራኒው በኩልወደ hypotenuse;

ኮሳይንበቀኝ ትሪያንግል ውስጥ አጣዳፊ አንግል - ከጎን ያለው እግር ከ hypotenuse ጋር ያለው ጥምርታ;

ታንጀንትአጣዳፊ አንግል በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ - የተቃራኒው ጎን ከአጠገቡ ጋር ያለው ጥምርታ

ሌላ (ተመጣጣኝ) ፍቺ፡ የአጣዳፊ አንግል ታንጀንት የማዕዘን ሳይን እና የአጎት ልጅ ጥምርታ ነው።

ኮንቴይነንትየቀኝ ትሪያንግል ውስጥ አጣዳፊ አንግል - የአጎራባች ጎን ጥምርታ ወደ ተቃራኒው (ወይም ተመሳሳይ ነው ፣ የኮሳይን እና ሳይን ሬሾ)

ለሳይን፣ ኮሳይን፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት መሰረታዊ ግንኙነቶችን ከዚህ በታች አስተውል። ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ጠቃሚ ይሆናሉ.

አንዳንዶቹን እናረጋግጥ።

እሺ፣ ትርጓሜዎችን ሰጥተናል እና ቀመሮችን ጽፈናል። ግን ለምን አሁንም ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ያስፈልገናል?

ያንን እናውቃለን የማንኛውም ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው።.

መካከል ያለውን ግንኙነት እናውቃለን ፓርቲዎችየቀኝ ሶስት ማዕዘን. ይህ የፓይታጎሪያን ቲዎረም ነው፡.

በሶስት ማዕዘን ውስጥ ሁለት ማዕዘኖችን ማወቅ, ሶስተኛውን ማግኘት ይችላሉ. የቀኝ ትሪያንግል ሁለት ጎኖችን ማወቅ, ሶስተኛውን ማግኘት ይችላሉ. ይህ ማለት ማዕዘኖቹ የራሳቸው ጥምርታ አላቸው, እና ጎኖቹ የራሳቸው አላቸው. ነገር ግን በትክክለኛው ሶስት ማዕዘን ውስጥ አንድ ማዕዘን (ከትክክለኛው ማዕዘን በስተቀር) እና አንድ ጎን ካወቁ ምን ማድረግ አለብዎት, ነገር ግን ሌሎች ጎኖቹን ማግኘት አለብዎት?

በጥንት ጊዜ ሰዎች የአከባቢውን እና በከዋክብት የተሞላውን ሰማይ ካርታ ሲሰሩ ያጋጠሙት ይህ ነው። ከሁሉም በላይ, የሶስት ማዕዘን ሁሉንም ጎኖች በቀጥታ ለመለካት ሁልጊዜ አይቻልም.

ሳይን, ኮሳይን እና ታንጀንት - እነሱም ይባላሉ ትሪግኖሜትሪክ ማዕዘን ተግባራት- መካከል ግንኙነቶችን መስጠት ፓርቲዎችእና ማዕዘኖችትሪያንግል. ማዕዘኑን ማወቅ, ሁሉንም ማግኘት ይችላሉ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትበልዩ ሠንጠረዦች መሠረት. እና የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች እና የአንዱ ጎኖቹን ሳይኖች ፣ ኮሳይኖች እና ታንጀቶች ማወቅ የቀረውን ማግኘት ይችላሉ።

እንዲሁም የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮንቴንታንት ለ “ጥሩ” ማዕዘኖች ከ እስከ እሴት ሰንጠረዥ እንሳልለን።

እባኮትን በሠንጠረዡ ውስጥ ያሉትን ሁለት ቀይ ሰረዞች ልብ ይበሉ። በተገቢው የማዕዘን እሴቶች፣ ታንጀንት እና ኮንቴይነንት አይኖሩም።

ከ FIPI ተግባር ባንክ በርካታ ትሪጎኖሜትሪ ችግሮችን እንይ።

1. በሶስት ማዕዘን ውስጥ, አንግል ነው, . አግኝ።

ችግሩ በአራት ሰከንድ ውስጥ ተፈትቷል.

ምክንያቱም , .

2. በሶስት ማዕዘን ውስጥ, አንግል,,,. አግኝ።

የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም እናገኘው።

ችግሩ ተፈቷል.

ብዙውን ጊዜ በችግሮች ውስጥ ሶስት ማዕዘኖች ያሉት ማዕዘኖች እና ወይም ማዕዘኖች እና. ለእነሱ መሰረታዊ ሬሾዎችን በልብ አስታውስ!

ለሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች እና ከማዕዘኑ ተቃራኒው እግር እኩል ነው። የ hypotenuse ግማሽ.

ማዕዘን ያለው ሶስት ማዕዘን እና isosceles ነው. በእሱ ውስጥ, hypotenuse ከእግር በእጥፍ ይበልጣል.

ትክክለኛ ትሪያንግሎችን የሚፈቱ ችግሮችን ተመልክተናል - ማለትም መፈለግ የማይታወቁ ወገኖችወይም ማዕዘኖች. ግን ያ ብቻ አይደለም! ውስጥ የተዋሃዱ የስቴት ፈተና አማራጮችበሂሳብ ውስጥ የሶስት ማዕዘን ውጫዊ አንግል ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ወይም ብክለት በሚታዩበት ጊዜ ብዙ ችግሮች አሉ። በሚቀጥለው ርዕስ ስለዚህ ጉዳይ ተጨማሪ.

ሳይነስየቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል α ጥምርታ ነው። ተቃራኒእግር ወደ hypotenuse.
እሱም እንደሚከተለው ይገለጻል-ኃጢአት α.

ኮሳይንየቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል α ከጎን ያለው እግር ከ hypotenuse ጋር ያለው ጥምርታ ነው።
እንደሚከተለው ተሰይሟል፡ cos α.

ታንጀንትአጣዳፊ አንግል α የተቃራኒው ጎን ከጎን በኩል ያለው ጥምርታ ነው።
እንደሚከተለው ተሰይሟል፡ tg α.

ኮንቴይነንትአጣዳፊ አንግል α ከጎን በኩል ወደ ተቃራኒው ጎን ያለው ጥምርታ ነው።
እንደሚከተለው ተሰይሟል፡ ctg α.

የማዕዘን ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት በማእዘኑ መጠን ላይ ብቻ የተመካ ነው።

ደንቦች፡-

መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችበቀኝ ሦስት ማዕዘን ውስጥ;

(α - ከእግር ተቃራኒው አጣዳፊ አንግል ለ እና ከእግር አጠገብ ሀ . ጎን ጋር - hypotenuse; β - ሁለተኛ አጣዳፊ አንግል)።

ለ ኃጢአት α = - ሐ	ኃጢአት 2 α + cos 2 α = 1
ሀ cos α = - ሐ	1 1 + ታን 2 α = -- cos 2 α
ለ ታን α = - ሀ	1 1 + ctg 2 α = -- ኃጢአት 2 α
ሀ ctg α = - ለ	1 1 1 + -- = -- ታን 2 α ኃጢአት 2 α
ኃጢአት α tg α = -- cos α

አጣዳፊ ማዕዘን ሲጨምርኃጢአት α እናታን α መጨመር, እናcos α ይቀንሳል.

ለማንኛውም አጣዳፊ አንግል α፡-

ኃጢአት (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = ኃጢአት α

ምሳሌ - ማብራሪያ:

የቀኝ ትሪያንግል አስገባ ABC
AB = 6፣
ዓክልበ = 3፣
አንግል A = 30º

የማዕዘን ሀ እና የማዕዘን ቢን ኮሳይን እንፈልግ።

መፍትሄ.

1) በመጀመሪያ ፣ የማዕዘን ቢ ዋጋን እናገኛለን ። ሁሉም ነገር እዚህ ቀላል ነው-በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የአጣዳፊ ማዕዘኖች ድምር 90º ፣ ከዚያ አንግል B = 60º ነው።

B = 90º - 30º = 60º።

2) ኃጢአትን እናሰላ ሀ. ያንን ኃጢአት እናውቃለን ከሬሾው ጋር እኩል ነውከ hypotenuse ተቃራኒ ጎን። ለአንግል A, ተቃራኒው ጎን ከክርስቶስ ልደት በፊት ጎን ነው. ስለዚህ፡-

BC 3 1
ኃጢአት ሀ = -- = - = -
AB 6 2

3) አሁን cos B እናሰላለን። ለ አንግል B, የተጠጋው እግር ከክርስቶስ ልደት በፊት ተመሳሳይ ጎን ነው. ይህ ማለት እንደገና BCን በ AB መከፋፈል አለብን - ማለትም ፣ የማዕዘን ሀን ሲሰላ ተመሳሳይ ድርጊቶችን መፈጸም አለብን።

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

ውጤቱ፡-
ኃጢአት A = cos B = 1/2.

ኃጢአት 30º = cos 60º = 1/2።

ከዚህ በመነሳት በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የአንድ አጣዳፊ ማዕዘን ሳይን ነው ከኮሳይን ጋር እኩል ነው።ሌላ አጣዳፊ አንግል - እና በተቃራኒው። ሁለቱ ቀመሮቻችን ማለት ይህ ነው፡-
ኃጢአት (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = ኃጢአት α

ይህንን በድጋሚ እናረጋግጥ፡-

1) α = 60º። የ α እሴትን ወደ ሳይን ቀመር በመተካት፡-
ኃጢአት (90º - 60º) = cos 60º።
ኃጢአት 30º = cos 60º።

2) α = 30º። የ α እሴትን ወደ ኮሳይን ቀመር በመተካት፡-
cos (90° – 30º) = ኃጢአት 30º።
cos 60° = ኃጢአት 30º።

(ስለ ትሪጎኖሜትሪ የበለጠ መረጃ ለማግኘት የአልጀብራን ክፍል ይመልከቱ)

ትሪግኖሜትሪ - ክፍል የሂሳብ ሳይንስ, ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን እና በጂኦሜትሪ ውስጥ አጠቃቀማቸውን የሚዳስስ. የትሪግኖሜትሪ እድገት የተጀመረው በጥንቷ ግሪክ ነው። በመካከለኛው ዘመን ጠቃሚ አስተዋጽኦየመካከለኛው ምስራቅ እና የህንድ ሳይንቲስቶች ለዚህ ሳይንስ እድገት አስተዋጽኦ አድርገዋል.

ይህ ጽሑፍ የተዘጋጀው ለ መሰረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦችእና የትሪግኖሜትሪ ፍቺዎች. እሱ የመሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ትርጓሜዎች ያብራራል-ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት። ትርጉማቸው በጂኦሜትሪ አውድ ውስጥ ተብራርቷል እና ተብራርቷል.

Yandex.RTB R-A-339285-1

መጀመሪያ ላይ፣ ክርክራቸው አንግል የሆነ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ትርጓሜዎች የተገለጹት ከቀኝ ትሪያንግል ጎኖች ጥምርታ አንፃር ነው።

የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ፍቺዎች

የማዕዘን ኃጢያት (sin α) ከዚህ አንግል ከ hypotenuse ጋር ተቃራኒ የሆነ የእግር ሬሾ ነው።

የማዕዘን ኮሳይን (cos α) - ከጎን በኩል ያለው እግር ከ hypotenuse ጋር ያለው ጥምርታ.

አንግል ታንጀንት (t g α) - የተቃራኒው ጎን ከጎን በኩል ያለው ጥምርታ.

አንግል ኮታንጀንት (c t g α) - ከጎን በኩል ወደ ተቃራኒው ጎን ያለው ጥምርታ.

እነዚህ ትርጓሜዎች የተሰጡት ለትክክለኛው የሶስት ማዕዘን አንግል!

ምሳሌ እንስጥ።

ውስጥ ትሪያንግል ኤቢሲከቀኝ አንግል C ጋር ፣ የማዕዘን A sine ከእግር BC እና hypotenuse AB ሬሾ ጋር እኩል ነው።

የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ትርጓሜዎች የእነዚህን ተግባራት እሴቶች ከሦስት ማዕዘኑ ጎኖች ከሚታወቁት ርዝመቶች ለማስላት ያስችሉዎታል።

ማስታወስ ጠቃሚ ነው!

የሲን እና ኮሳይን ዋጋ ከ -1 ወደ 1 ነው. በሌላ አነጋገር ሳይን እና ኮሳይን ከ -1 እስከ 1 እሴቶችን ይወስዳሉ. የታንጀንት እና ኮንቴይነንት እሴት አጠቃላይ የቁጥር መስመር ነው. ያም ማለት እነዚህ ተግባራት ማንኛውንም እሴቶች ሊወስዱ ይችላሉ.

ከላይ የተገለጹት ትርጓሜዎች አጣዳፊ ማዕዘኖች ላይ ተፈጻሚ ይሆናሉ። በትሪግኖሜትሪ ውስጥ የማሽከርከር አንግል ጽንሰ-ሀሳብ አስተዋውቋል ፣ እሴቱ እንደ አጣዳፊ አንግል ሳይሆን ከ 0 እስከ 90 ዲግሪዎች ብቻ የተገደበ አይደለም ። በዲግሪዎች ወይም ራዲያን ውስጥ ያለው የማዞሪያ አንግል በማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ከ - ∞ እስከ + ∞ ይገለጻል ። .

በዚህ አውድ፣ ሳይን፣ ኮሳይን፣ ታንጀንት እና የዘፈቀደ መጠን አንግል ብክለትን መግለፅ እንችላለን። በካርቴሲያን መጋጠሚያ ስርዓት መነሻ ላይ ከመሃል ጋር አንድ ክብ ክብ እናስብ።

የመነሻ ነጥብ A ከመጋጠሚያዎች (1, 0) ጋር በመሃል ላይ ይሽከረከራል ዩኒት ክብወደ አንዳንድ አንግል α እና ወደ ነጥብ A 1 ይሄዳል. ትርጉሙ የተሰጠው ነጥብ A 1 (x፣ y) መጋጠሚያዎች አንጻር ነው።

የማዞሪያው አንግል ሳይን (ኃጢአት)

የመዞሪያው አንግል α የነጥብ A 1 (x፣ y) መጋጠሚያ ነው። ኃጢአት α = y

የማዞሪያው አንግል ኮሳይን (ኮስ)

የመዞሪያው አንግል α ኮሳይን የነጥብ A 1 (x፣ y) abcissa ነው። cos α = x

የመዞሪያው አንግል ታንጀንት (tg)

የመዞሪያው አንግል α ታንጀንት የነጥብ A 1 (x፣ y) ከ abcissa ጋር ያለው ጥምርታ ነው። ቲ g α = y x

የማዞሪያው አንግል ኮታንጀንት (ctg)

የመዞሪያው አንግል α የነጥብ A 1 (x፣ y) abcissa ከ ordinate ጋር ያለው ጥምርታ ነው። ሐ t g α = x y

ሳይን እና ኮሳይን ለማንኛውም የማዞሪያ አንግል ይገለፃሉ። ይህ አመክንዮአዊ ነው, ምክንያቱም አቢሲሳ እና የነጥብ ማሽከርከር በማንኛውም ማዕዘን ሊወሰን ይችላል. ሁኔታው ከታንጀንት እና ከቆሻሻ ማጠራቀሚያ ጋር የተለየ ነው. ከመሽከርከር በኋላ አንድ ነጥብ ዜሮ አቢሲሳ (0, 1) እና (0, - 1) ወዳለው ነጥብ ሲሄድ ታንጀቱ አልተገለጸም. እንደዚህ ባሉ አጋጣሚዎች ታንጀንት t g α = y x የሚለው አገላለጽ በዜሮ መከፋፈል ስላለው በቀላሉ ትርጉም አይሰጥም። ሁኔታው ከኮንቴይነር ጋር ተመሳሳይ ነው. ልዩነቱ የንጥሉ ወሰን ወደ ዜሮ በሚሄድበት ጊዜ ኮንቴይነንት አልተገለጸም።

ማስታወስ ጠቃሚ ነው!

ሳይን እና ኮሳይን ለማንኛውም ማዕዘኖች α ይገለጻሉ።

ታንጀንት ከ α = 90° + 180° k፣ k ∈ Z (α = π 2 + π k፣ k ∈ Z) በስተቀር ለሁሉም ማዕዘኖች ይገለጻል።

ኮታንጀንት ከ α = 180° k፣ k ∈ Z (α = π k፣ k ∈ Z) በስተቀር ለሁሉም ማዕዘኖች ይገለጻል።

ሲወስኑ ተግባራዊ ምሳሌዎች"የማዞሪያ አንግል α" አትበል። “የማሽከርከር አንግል” የሚሉት ቃላት በቀላሉ ተትተዋል፣ ይህም ከዐውዱ ምን እየተወያየ እንደሆነ አስቀድሞ ግልጽ መሆኑን ያመለክታል።

ቁጥሮች

የመዞሪያ አንግል ሳይሆን ሳይን፣ ኮሳይን፣ ታንጀንት እና የቁጥር ይዘት ያለው ፍቺስ?

ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ የቁጥር ይዘት

ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የቁጥር ንጥረ ነገር ቲበቅደም ተከተል ከሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ከኮታንጀንት ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው። ቲራዲያን.

ለምሳሌ, የቁጥር 10 π ሳይን ከ 10 π ራድ የማዞሪያ አንግል ሳይን ጋር እኩል ነው.

የቁጥር ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ብክለትን ለመወሰን ሌላ አቀራረብ አለ። እስቲ ጠለቅ ብለን እንየው።

ማንም እውነተኛ ቁጥር ቲበክበቡ ላይ ያለው ነጥብ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት መነሻ ላይ ካለው ማእከል ጋር የተያያዘ ነው. ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት በዚህ ነጥብ መጋጠሚያዎች ይወሰናሉ።

በክበቡ ላይ ያለው የመነሻ ነጥብ A ከ መጋጠሚያዎች (1, 0) ጋር ነው.

አዎንታዊ ቁጥር ቲ

አሉታዊ ቁጥር ቲበክበቡ ዙሪያ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ የሚንቀሳቀስ ከሆነ የመነሻ ነጥቡ ከሚሄድበት ነጥብ ጋር ይዛመዳል እና መንገድ ይሄዳልቲ.

አሁን በክበብ ላይ ባለው የቁጥር እና ነጥብ መካከል ያለው ግንኙነት ተፈጥሯል, ወደ ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮታንጀንት ፍቺ እንሄዳለን.

ኃጢአት (ኃጢአት) የቲ

የቁጥር ሳይን ቲ- ከቁጥሩ ጋር በሚዛመደው የንጥሉ ክበብ ላይ የነጥብ አቀማመጥ ቲ. ኃጢአት t = y

ኮሳይን (ኮስ) የቲ

የቁጥር ኮሳይን። ቲ- ከቁጥሩ ጋር የሚዛመደው የንጥል ክበብ ነጥብ abcissa ቲ. cos t = x

ታንጀንት (tg) የቲ

የቁጥር ታንጀንት ቲ- ከቁጥሩ ጋር በሚዛመደው የንጥል ክበብ ላይ ያለው የነጥብ ነጥብ ወደ abscissa የ ordinate ሬሾ ቲ. t g t = y x = ኃጢአት t cos t

የቅርብ ጊዜዎቹ ፍቺዎች በዚህ አንቀጽ መጀመሪያ ላይ ከተሰጠው ትርጉም ጋር የሚጣጣሙ ናቸው እና አይቃረኑም። በክበብ ላይ አንድ ነጥብ ከቁጥሩ ጋር የሚዛመድ ቲ, በአንድ ማዕዘን ከታጠፈ በኋላ የመነሻው ነጥብ ከሚሄድበት ነጥብ ጋር ይጣጣማል ቲራዲያን.

የማዕዘን እና የቁጥር ክርክር ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት

እያንዳንዱ የማዕዘን α እሴት ይዛመዳል የተወሰነ እሴትየዚህ አንግል ሳይን እና ኮሳይን. ልክ እንደ ሁሉም አንግሎች α ከ α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ከተወሰነ የታንጀንት እሴት ጋር ይዛመዳሉ። ኮታንጀንት ከላይ እንደተገለጸው ለሁሉም α ከ α = 180° k፣ k ∈ Z (α = π k፣ k ∈ Z) በስተቀር ለሁሉም ይገለጻል።

ኃጢአት α፣ cos α፣ t g α፣ c t g α የማዕዘን አልፋ ወይም የማዕዘን ክርክር ተግባራት ናቸው ማለት እንችላለን።

በተመሳሳይም ስለ ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮታንጀንት እንደ ተግባራት መነጋገር እንችላለን የቁጥር ክርክር. እያንዳንዱ እውነተኛ ቁጥር ቲየአንድ ቁጥር ሳይን ወይም ኮሳይን የተወሰነ እሴት ጋር ይዛመዳል ቲ. ከ π 2 + π · k፣ k ∈ Z በስተቀር ሁሉም ቁጥሮች ከታንጀንት እሴት ጋር ይዛመዳሉ። ኮታንጀንት በተመሳሳይ መልኩ ከ π · k፣ k ∈ Z በስተቀር ለሁሉም ቁጥሮች ይገለጻል።

የትሪግኖሜትሪ መሰረታዊ ተግባራት

ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮታንጀንት መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ናቸው.

ብዙውን ጊዜ ከየትኛው የትሪግኖሜትሪክ ተግባር (የማዕዘን ነጋሪ እሴት ወይም የቁጥር ነጋሪ እሴት) ጋር እየተገናኘን እንደሆነ ከዐውደ-ጽሑፉ ግልጽ ነው።

በመጀመሪያ ወደ ተሰጡት ትርጓሜዎች እና ከ 0 እስከ 90 ዲግሪ ባለው ክልል ውስጥ ወዳለው የአልፋ አንግል እንመለስ። ትሪግኖሜትሪክ ፍቺዎችሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮታንጀንት ከ ጋር ሙሉ በሙሉ ይጣጣማሉ የጂኦሜትሪክ ፍቺዎችየቀኝ ትሪያንግል ምጥጥን በመጠቀም የተሰጠ። እናሳየው።

አራት ማዕዘን ላይ ከመሃል ጋር አንድ ክብ ክብ ውሰድ የካርቴሲያን ስርዓትመጋጠሚያዎች የመነሻ ነጥቡን A (1, 0) እስከ 90 ዲግሪ በማእዘን እናዞረው እና ከተገኘው ነጥብ A 1 (x, y) ወደ abscissa ዘንግ ቀጥ ያለ እንሳል. በውጤቱ የቀኝ ትሪያንግል፣ አንግል A 1 O H ከማዕዘን ጋር እኩል ነውአዙር α, የእግር O H ርዝመት ከ A 1 (x, y) abscissa ጋር እኩል ነው. የማዕዘን ተቃራኒው የእግር ርዝመት ከ A 1 (x, y) መጋጠሚያ ጋር እኩል ነው, እና የሃይፖቴኑዝ ርዝመት ከአንድ ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም የዩኒት ክብ ራዲየስ ነው.

ከጂኦሜትሪ ፍቺው ጋር በተዛመደ, የማዕዘን α ሳይን ከተቃራኒው ጎን ከ hypotenuse ጋር እኩል ነው.

ኃጢአት α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

ይህ ማለት የጠንካራ አንግልን ሳይን በቀኝ ትሪያንግል በንፅፅር ምጥጥነ ገጽታ መለየት የመዞሪያ አንግል α ሳይን ከመወሰን ጋር እኩል ነው፣ አልፋ ከ 0 እስከ 90 ዲግሪ ባለው ክልል ውስጥ ይተኛል።

በተመሳሳይም የትርጓሜዎች ተዛማችነት ለኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ሊታዩ ይችላሉ።

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እንዴት መስጠት እንዳለብን እናሳያለን በትሪግኖሜትሪ ውስጥ የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የአንግል እና የቁጥር ትርጓሜዎች. እዚህ ስለ ማስታወሻዎች እንነጋገራለን, የመግቢያ ምሳሌዎችን እንሰጣለን እና ስዕላዊ መግለጫዎችን እንሰጣለን. በማጠቃለያው ፣ በትሪግኖሜትሪ እና በጂኦሜትሪ ውስጥ በሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ትርጓሜዎች መካከል ትይዩ እናድርግ።

የገጽ አሰሳ።

የሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮታንጀንት ፍቺ

የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮንቴንታንት ሀሳብ እንዴት እንደተመሰረተ እንይ የትምህርት ቤት ኮርስሒሳብ. በጂኦሜትሪ ትምህርቶች ውስጥ የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የአጣዳፊ አንግል የቀኝ ትሪያንግል ፍቺ ተሰጥቷል። እና በኋላ ላይ ትሪጎኖሜትሪ ያጠናል ፣ እሱም ስለ ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የመዞሪያ እና የቁጥር አንግል የሚያወራ። እነዚህን ሁሉ ትርጓሜዎች እናቅርብ, ምሳሌዎችን እንስጥ እና አስፈላጊ አስተያየቶችን እንስጥ.

አጣዳፊ አንግል በቀኝ ሶስት ማዕዘን

ከጂኦሜትሪ ኮርስ የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የአጣዳፊ አንግል የቀኝ ትሪያንግል ትርጓሜዎችን እናውቃለን። እንደ የቀኝ ትሪያንግል ጎኖች ጥምርታ ይሰጣሉ። ቀመራቸውን እንስጥ።

ፍቺ

የቀኝ ትሪያንግል ውስጥ አጣዳፊ አንግል ሳይንየተቃራኒው ጎን ከ hypotenuse ጋር ያለው ሬሾ ነው.

ፍቺ

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የአጣዳፊ አንግል ኮሳይን።ከጎን ያለው እግር ከ hypotenuse ጋር ያለው ጥምርታ ነው.

ፍቺ

የቀኝ ትሪያንግል ውስጥ አጣዳፊ አንግል ታንጀንት- ይህ የተቃራኒው ጎን ከጎን በኩል ያለው ሬሾ ነው.

ፍቺ

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የአጣዳፊ አንግል ብክለት- ይህ ከጎን በኩል ወደ ተቃራኒው ጎን ያለው ጥምርታ ነው.

የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ስያሜዎች እዚያም አስተዋውቀዋል - sin ፣ cos ፣ tg እና ctg ፣ በቅደም ተከተል።

ለምሳሌ፣ ኤቢሲ የቀኝ አንግል ሐ ያለው ቀኝ ትሪያንግል ከሆነ፣ የአጣዳፊ አንግል ሀ ሳይን ከBC ተቃራኒው ጎን ከክርስቶስ ልደት በፊት ከ hypotenuse AB ማለትም sin∠A=BC/AB ጋር እኩል ነው።

እነዚህ ትርጓሜዎች የቀኝ ትሪያንግል ጎኖች ከሚታወቁት ርዝመቶች የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ የታንጀንት እና የአጣዳፊ አንግል እሴቶችን ለማስላት ያስችሉዎታል ። የታወቁ እሴቶችሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ ኮታንጀንት እና የአንዱን ጎኖቹን ርዝመት በመጠቀም የሌላውን ጎኖች ርዝማኔ ያግኙ። ለምሳሌ በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ እግሩ AC ከ 3 እና hypotenuse AB ከ 7 ጋር እኩል መሆኑን ካወቅን የአኩሱን አንግል A ኮሳይን ዋጋ በትርጉም ማስላት እንችላለን፡ cos∠A=AC/ AB=3/7

የማዞሪያ አንግል

በትሪግኖሜትሪ ውስጥ, አንግልን በስፋት መመልከት ይጀምራሉ - የመዞር አንግል ጽንሰ-ሐሳብን ያስተዋውቃሉ. የማዞሪያው አንግል ልክ እንደ አጣዳፊ አንግል ከ 0 እስከ 90 ዲግሪ ብቻ የተገደበ አይደለም፤ የማዞሪያው አንግል በዲግሪ (እና በራዲያን) ከ -∞ እስከ +∞ ባለው በማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ሊገለጽ ይችላል።

በዚህ ብርሃን ውስጥ የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ትርጓሜዎች የተሰጡት በአጣዳፊ አንግል ሳይሆን በዘፈቀደ መጠን - የመዞሪያው አንግል ነው። እነሱ በነጥብ A 1 x እና y መጋጠሚያዎች የተሰጡ ሲሆን መነሻ ነጥብ A(1፣ 0) ተብሎ የሚጠራው ከዞረ በኋላ የሚሄደው በአንግል α በነጥብ O ዙሪያ - አራት ማዕዘን ቅርፅ ያለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት መጀመሪያ ነው። እና የክፍሉ ክበብ መሃል።

ፍቺ

የማዞሪያ አንግል ሳይንα የነጥብ A 1 ደረጃ ነው ፣ ማለትም ፣ sinα=y።

ፍቺ

የመዞሪያው አንግል ኮሳይንα የነጥብ A 1 abscissa ይባላል፣ ያም ማለት cosα=x።

ፍቺ

የመዞሪያ አንግል ታንጀንትα የነጥብ ሀ 1 ሬሾ ሬሾ ነው abcissa፣ ያም ማለት tanα=y/x።

ፍቺ

የማዞሪያው አንግል ኮንቴነርα የነጥብ A 1 abscissa ሬሾ ነው ከሥርጁ ጋር፣ ማለትም፣ ctgα=x/y።

ሳይን እና ኮሳይን ለየትኛውም አንግል α ይገለፃሉ ፣ ምክንያቱም የነጥቡን አቢሲሳ እና ordinate ሁልጊዜ መወሰን ስለምንችል የመነሻ ነጥቡን በማእዘን α በማዞር የሚገኘው። ነገር ግን ታንጀንት እና ኮታንጀንት ለየትኛውም ማዕዘን አልተገለጹም. ታንጀንቱ ለኣንግሎች አልተገለጸም የመነሻ ነጥቡ ዜሮ abscissa (0, 1) ወይም (0, -1) ወዳለው ነጥብ የሚሄድ ሲሆን ይህም በ 90°+180° k, kZ (π (π) ማዕዘኖች ላይ ይከሰታል. /2+π·k ራድ)። በእርግጥም በእንደዚህ አይነት የማዞሪያ ማዕዘኖች tgα=y/x የሚለው አገላለጽ በዜሮ መከፋፈልን ስለሚይዝ ትርጉም አይሰጥም። የመነሻ ነጥቡ ከዜሮ ሬንጅ (1, 0) ወይም (-1, 0) ጋር ወደ ነጥቡ የሚሄድበት አንግሎች α አልተገለጸም, እና ይህ የሚከሰተው በ 180 ° k, k Z አንግሎች ነው. (π·k ራድ)።

ስለዚህ ሳይን እና ኮሳይን ለየትኛውም የማዞሪያ ማዕዘኖች ይገለፃሉ፣ ታንጀንት ከ90°+180°k፣ k∈Z (π/2+πk ራድ) በስተቀር ለሁሉም ማዕዘኖች ይገለጻል እና ኮታንጀንት ከ180° ·k በስተቀር ለሁሉም ማዕዘኖች ይገለጻል። ፣ k∈Z (π·k ራዲ)።

ትርጉሞቹ ቀደም ሲል ለእኛ የታወቁትን ኃጢአቶች ፣ cos ፣ tg እና ctg ያካትታሉ ፣ እነሱም ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የመዞሪያ አንግል ብክለትን ለመሰየም ያገለግላሉ (አንዳንድ ጊዜ ታን እና ከታንጀንት እና ኮታንጀንት ጋር የሚዛመዱ ስያሜዎችን ማግኘት ይችላሉ) . ስለዚህ የ 30 ዲግሪ የማዞሪያ አንግል ሳይን እንደ sin30 ° ፣ ግቤቶች tg(-24°17′) እና ctgα ከመዞሪያው አንግል ታንጀንት -24 ዲግሪ 17 ደቂቃ እና የመዞሪያው አንግል α ጋር ይዛመዳሉ። . የማዕዘን ራዲያን መለኪያ በሚጽፉበት ጊዜ "ራድ" የሚለው ስያሜ ብዙውን ጊዜ እንደሚቀር ያስታውሱ. ለምሳሌ፣ የሶስት ፒራድ የማዞሪያ አንግል ኮሳይን አብዛኛውን ጊዜ cos3·π ይገለጻል።

በዚህ ነጥብ ማጠቃለያ, ስለ ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና የመዞሪያው አንግል ብክለት በሚናገሩበት ጊዜ "የማሽከርከር አንግል" ወይም "ማሽከርከር" የሚለው ቃል ብዙ ጊዜ እንደሚጠፋ ልብ ሊባል ይገባል. ያም ማለት "ሳይን ኦፍ ዘ ሮቴሽን አንግል አልፋ" ከሚለው ሐረግ ይልቅ "የአልፋ አንግል ሳይን" ወይም እንዲያውም አጭር "ሳይን አልፋ" የሚለው ሐረግ በአብዛኛው ጥቅም ላይ ይውላል. ኮሳይን፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ላይም ተመሳሳይ ነው።

እንዲሁም በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ያለው ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የአጣዳፊ አንግል ትርጓሜዎች ለሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ከ 0 እስከ 90 ዲግሪ የሚደርስ የማሽከርከር አንግል ከተሰጡት ትርጓሜዎች ጋር ተመሳሳይ ናቸው እንላለን። ይህንን እናረጋግጣለን.

ቁጥሮች

ፍቺ

ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የቁጥር ንጥረ ነገር t ቁጥሩ ነው። ከሳይን ጋር እኩል ነው, ኮሳይን, ታንጀንት እና የማዞሪያው አንግል በቲ ራዲያን ውስጥ በቅደም ተከተል.

ለምሳሌ፣ የቁጥር 8 π በትርጉም ኮሳይን ቁጥሩ ነው። ከኮሳይን ጋር እኩል ነው።የ 8 · π ራድ. እና የማዕዘን ኮሳይን 8 π ራድ ነው ከአንድ ጋር እኩል ነው።ስለዚህ፣ የቁጥር 8 ·π ኮሳይን ከ 1 ጋር እኩል ነው።

የቁጥር ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ብክለትን ለመወሰን ሌላ አቀራረብ አለ። እሱም እያንዳንዱ እውነተኛ ቁጥር t መጀመሪያ ላይ መሃል ጋር ዩኒት ክበብ ላይ አንድ ነጥብ ጋር የተያያዘ መሆኑን እውነታ ውስጥ ያካትታል አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓትመጋጠሚያዎች, እና ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮታንጀንት የሚወሰኑት በዚህ ነጥብ መጋጠሚያዎች በኩል ነው. ይህንን በዝርዝር እንመልከተው።

በእውነተኛ ቁጥሮች እና በክበብ ላይ ባሉ ነጥቦች መካከል ደብዳቤ እንዴት እንደሚመሰረት እናሳይ፡-

• ቁጥር 0 የመነሻ ነጥብ A (1, 0) ተሰጥቷል;
• አዎንታዊ ቁጥር t ከመነሻ ቦታው በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ እና በክበቡ ከሄድን ከምንደርስበት የዩኒት ክበብ ነጥብ ጋር የተያያዘ ነው እና መንገዱን እንሂድርዝመት t;
• አሉታዊ ቁጥር t ከዩኒት ክብ ነጥብ ጋር የተቆራኘ ሲሆን ከመነሻው በሰዓት አቅጣጫ በክበቡ ከተጓዝን እና የርዝመት መንገድ ከተጓዝን እናደርሳለን |t| .

አሁን ወደ ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የቁጥር ይዘት ወደ t እንሸጋገራለን ። እናስብ t ቁጥሩ በክበቡ ላይ ካለው ነጥብ A 1 (x, y) ጋር ይዛመዳል (ለምሳሌ, ቁጥሩ &pi/2; ከ A 1 (0, 1) ነጥብ ጋር ይዛመዳል).

ፍቺ

የቁጥር ሳይን t ከቁጥር t ጋር የሚዛመደው በዩኒት ክብ ላይ ያለው የነጥብ መጋጠሚያ ነው ፣ ማለትም ፣ sint=y።

ፍቺ

የቁጥር ኮሳይን t ከቁጥር t ጋር የሚዛመደው የንጥሉ ክበብ ነጥብ abcissa ይባላል ፣ ማለትም ወጪ = x።

ፍቺ

የቁጥር ታንጀንት t ከቁጥር t ጋር የሚዛመደው በዩኒት ክብ ላይ ያለው የነጥብ ሬሾ እና abcissa ሬሾ ነው፣ ማለትም tgt=y/x። በሌላ ተመሳሳይ አጻጻፍ፣ የቁጥር t ታንጀንት የዚህ ቁጥር ሳይን እና ኮሳይን ጥምርታ ነው፣ ​​ማለትም tgt=sint/cost።

ፍቺ

የቁጥሩ መያዣ t የ abscissa ሬሾ እና በዩኒት ክብ ላይ ካለው የነጥብ መጠን t ከቁጥር t ጋር የሚዛመደው ማለትም ctgt=x/y ነው። ሌላው አጻጻፍ ይህ ነው፡ የቁጥር ታንጀንት የቁጥር ኮሳይን ጥምርታ ነው t የቁጥር ሳይን ጥምርታ t: ctgt=cost/sint.

እዚህ ላይ አሁን የተሰጡት ትርጓሜዎች በዚህ አንቀጽ መጀመሪያ ላይ ከተሰጠው ፍቺ ጋር የሚጣጣሙ መሆናቸውን እናስተውላለን። በእርግጥ, ከቁጥር t ጋር የሚዛመደው የንጥል ክበብ ላይ ያለው ነጥብ የመነሻውን ነጥብ በቲ ራዲያን አንግል በማዞር ከተገኘው ነጥብ ጋር ይጣጣማል.

አሁንም ይህንን ነጥብ ግልጽ ማድረግ ተገቢ ነው. የመግቢያ ሀጢያት አለን እንበል3. ስለ ቁጥር 3 ኃጢአት ወይም ስለ 3 ራዲያን የማዞሪያ አንግል ሳይን እየተነጋገርን መሆኑን እንዴት ልንረዳ እንችላለን? ይህ በአብዛኛው ከዐውደ-ጽሑፉ ግልጽ ነው፣ በ አለበለዚያይህ ምናልባት መሠረታዊ ጠቀሜታ ላይኖረው ይችላል.

የማዕዘን እና የቁጥር ክርክር ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት

በ ውስጥ ባለው መረጃ መሠረት የቀድሞ አንቀጽትርጓሜዎች፣ እያንዳንዱ የማዞሪያ አንግል α በደንብ ከተገለጸው ጋር ይዛመዳል የኃጢአት ዋጋα, ልክ እንደ cosα ዋጋ. በተጨማሪም ሁሉም የማዞሪያ ማዕዘኖች ከ90°+180°k፣ k∈Z (π/2+πk rad) ከ tgα እሴቶች ጋር ይዛመዳሉ፣ እና ከ180°k፣ k∈Z (πk rad) - እሴቶች የ ctgα. ስለዚህ sina, cosα, tana እና ctgα የማዕዘን α ተግባራት ናቸው. በሌላ አነጋገር, እነዚህ የማዕዘን ነጋሪ እሴቶች ተግባራት ናቸው.

ስለ ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የቁጥር ነጋሪ እሴቶችን በተመለከተ በተመሳሳይ ሁኔታ መናገር እንችላለን። በእርግጥ, እያንዳንዱ እውነተኛ ቁጥር t በጣም የተወሰነ ዋጋ sint, እንዲሁም ወጪ ጋር ይዛመዳል. በተጨማሪም፣ ከ π/2+π·k፣ k∈Z በስተቀር ሁሉም ቁጥሮች ከ tgt እሴቶች ጋር ይዛመዳሉ፣ እና ቁጥሮች π·k፣ k∈Z - እሴቶች ctgt።

ተግባራቶቹ ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ይባላሉ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት.

ብዙውን ጊዜ ከዐውደ-ጽሑፉ ግልጽ የሚሆነው የአንድ ማዕዘን ነጋሪ እሴት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ወይም የቁጥር ነጋሪ እሴቶችን ነው። ያለበለዚያ፣ ገለልተኛውን ተለዋዋጭ እንደ የማዕዘን መለኪያ (የማዕዘን ነጋሪ እሴት) እና የቁጥር ነጋሪ እሴት አድርገን ልናስበው እንችላለን።

ነገር ግን፣ በትምህርት ቤት በዋነኝነት ያጠናሉ። የቁጥር ተግባራትማለትም እንደ ተጓዳኝ የተግባር እሴታቸው ነጋሪ እሴቶች ቁጥሮች የሆኑ ተግባራት። ስለዚህ, ከሆነ እያወራን ያለነውበተለይም ስለ ተግባራት፣ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን እንደ የቁጥር ነጋሪ እሴቶች ተግባራት መቁጠር ተገቢ ነው።

ከጂኦሜትሪ እና ትሪግኖሜትሪ ትርጓሜዎች መካከል ያለው ግንኙነት

የማዞሪያውን አንግል α ከ 0 እስከ 90 ዲግሪዎች ከግምት ውስጥ ካስገባን የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የመዞሪያ አንግል በትሪግኖሜትሪ አውድ ውስጥ ያሉ ትርጓሜዎች ሙሉ በሙሉ ከሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ትርጓሜዎች ጋር ይጣጣማሉ። በጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ የተሰጡ የቀኝ ትሪያንግል ውስጥ አጣዳፊ አንግል። ይህንን እናረጋግጠው።

በአራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው የካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ኦክሲ ውስጥ ያለውን የዩኒት ክበብ እናሳይ። የመነሻ ነጥቡን A(1፣ 0) ላይ ምልክት እናድርግ። ከ 0 እስከ 90 ዲግሪ ባለው አንግል α እናዞረው፣ ነጥብ A 1 (x፣ y) እናገኛለን። ቀጥታውን A 1 H ከ ነጥብ A 1 ወደ ኦክስ ዘንግ እንጥል.

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ፣ አንግል A 1 OH ከመዞሪያው አንግል α ጋር እኩል እንደሆነ ለመረዳት ቀላል ነው፣ ከዚህ አንግል አጠገብ ያለው የእግር OH ርዝመት ከ ነጥብ A 1 abcissa ጋር እኩል ነው፣ ማለትም |OH |=x፣ የእግሩ ርዝመት A 1 ሸ ከማእዘኑ ጋር ተቃራኒ ነጥብ A 1፣ ማለትም |A 1 H|=y፣ እና የ hypotenuse OA 1 ርዝመት ከአንድ ጋር እኩል ነው። የንጥል ክበብ ራዲየስ ስለሆነ. ከዚያም፣ በጂኦሜትሪ ፍቺ፣ የአጣዳፊ አንግል ሀ ቀኝ ትሪያንግል A 1 OH ከተቃራኒ እግር እና ሃይፖቴኑዝ ሬሾ ጋር እኩል ነው፣ ማለትም sinα=|A 1 H|/|OA 1|= y/1=y. እና በትሪግኖሜትሪ ትርጉም፣ የማዞሪያው አንግል α ሳይን ከነጥብ A 1 ፣ ማለትም sinα=y ጋር እኩል ነው። ይህ የሚያሳየው በትክክለኛ ትሪያንግል ውስጥ የአጣዳፊ አንግል ሳይን መወሰን α ከ 0 እስከ 90 ዲግሪ በሚሆንበት ጊዜ የማዞሪያውን አንግል α ሳይን ከመወሰን ጋር እኩል ነው።

በተመሳሳይም የኮሳይን ፣ የታንጀንት እና የአጣዳፊ አንግል α ትርጓሜዎች ከኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የመዞሪያ አንግል α ትርጓሜዎች ጋር የሚጣጣሙ መሆናቸውን ማሳየት ይቻላል ።

መጽሃፍ ቅዱስ።

1. ጂኦሜትሪ 7-9 ክፍሎች: የመማሪያ መጽሐፍ ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [L. S. Atanasyan, V.F. Buttuzov, S.B. Kadomtsev, ወዘተ.]. - 20 ኛ እትም. M.: ትምህርት, 2010. - 384 p.: የታመመ. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.ጂኦሜትሪ: የመማሪያ መጽሐፍ. ለ 7-9 ክፍሎች. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / A. V. Pogorelov. - 2 ኛ እትም - M.: ትምህርት, 2001. - 224 p.: የታመመ. - ISBN 5-09-010803-X.
3. አልጀብራ እና የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት : አጋዥ ስልጠናለ 9 ኛ ክፍል ተማሪዎች ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት/ ኢ.ኤስ. ኮቼትኮቭ, ኢ.ኤስ. Kochetkova; በዶክተር የፊዚካል እና የሂሳብ ሳይንስ O.N. Golovin የተስተካከለ - 4 ኛ እትም. መ: ትምህርት, 1969.
4. አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 9 ኛ ክፍል. አማካኝ ትምህርት ቤት/ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ኢድ. S.A. Telyakovsky. - M.: ትምህርት, 1990. - 272 pp.: ታሞ - ISBN 5-09-002727-7
5. አልጀብራእና የመተንተን መጀመሪያ፡- ፕሮ. ለ 10-11 ክፍሎች. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn እና ሌሎች; ኢድ. A. N. Kolmogorov. - 14 ኛ እትም - ኤም.: ትምህርት, 2004. - 384 pp.: ታሞ - ISBN 5-09-013651-3.
6. ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ እና የትንታኔ ጅምር። 10ኛ ክፍል። በ 2 p. ክፍል 1: አጋዥ ስልጠና ለ የትምህርት ተቋማት (የመገለጫ ደረጃ) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 4 ኛ እትም ፣ ያክሉ። - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. አልጀብራእና ጀመረ የሂሳብ ትንተና. 10 ኛ ክፍል: የመማሪያ መጽሐፍ. ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት: መሰረታዊ እና መገለጫ. ደረጃዎች / [ዩ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M. I. Shabunin]; የተስተካከለው በ ኤ.ቢ. ዚዝቼንኮ. - 3 ኛ እትም. - I.: ትምህርት, 2010.- 368 p.: ሕመምተኛ.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. ባሽማኮቭ ኤም.አይ.አልጀብራ እና የትንታኔ ጅምር፡ የመማሪያ መጽሀፍ። ለ 10-11 ክፍሎች. አማካኝ ትምህርት ቤት - 3 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 1993. - 351 p.: የታመመ. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A.፣ Mordkovich A.G.ሒሳብ (የቴክኒክ ትምህርት ቤቶች ለሚገቡ ሰዎች መመሪያ): Proc. አበል.- M.; ከፍ ያለ ትምህርት ቤት, 1984.-351 p., የታመመ.

አማካይ ደረጃ

የቀኝ ሶስት ማዕዘን. የተሟላው ሥዕል መመሪያ (2019)

የቀኝ ሶስት ማዕዘን የመጀመሪያ ደረጃ.

በችግሮች ውስጥ, ትክክለኛው አንግል በጭራሽ አስፈላጊ አይደለም - የታችኛው ግራ, ስለዚህ በዚህ ቅጽ ውስጥ የቀኝ ትሪያንግልን መለየት መማር ያስፈልግዎታል.

እና በዚህ ውስጥ

እና በዚህ ውስጥ

የቀኝ ትሪያንግል ምን ጥሩ ነው? ደህና ... በመጀመሪያ, ልዩ አሉ የሚያምሩ ስሞችለጎኖቹ.

ለሥዕሉ ትኩረት ይስጡ!

አስታውስ እና አታደናግር፡- ሁለት እግሮች አሉ, እና አንድ hypotenuse ብቻ አለ(አንድ እና ብቸኛ, ልዩ እና ረጅም)!

ደህና, ስሞቹን ተወያይተናል, አሁን በጣም አስፈላጊው ነገር: የፓይታጎሪያን ቲዎረም.

የፓይታጎሪያን ቲዎረም.

ይህ ቲዎሬም የቀኝ ትሪያንግልን የሚያካትቱ ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ቁልፍ ነው። ፓይታጎረስ ሙሉ በሙሉ አረጋግጧል ጊዜ የማይረሳእና ከዚያን ጊዜ ጀምሮ ለሚያውቋት ብዙ ጥቅም አስገኝታለች። እና ስለ እሱ በጣም ጥሩው ነገር ቀላል ነው።

ስለዚህ፣ የፓይታጎሪያን ቲዎረም

"የፓይታጎሪያን ሱሪዎች በሁሉም ጎኖች እኩል ናቸው!" የሚለውን ቀልድ ታስታውሳለህ?

እነዚህን ተመሳሳይ የፓይታጎሪያን ሱሪዎችን እንሳል እና እንያቸው።

አንድ ዓይነት ቁምጣ አይመስልም? ደህና, በየትኞቹ ጎኖች እና የት እኩል ናቸው? ቀልዱ ለምን እና ከየት መጣ? እና ይህ ቀልድ በትክክል ከፓይታጎሪያን ቲዎረም ጋር ወይም በትክክል ፓይታጎራስ ራሱ የንድፈ ሃሳቡን ካዘጋጀበት መንገድ ጋር የተገናኘ ነው። እንዲህም አዘጋጀው።

" ድምር የካሬዎች ቦታዎች, በእግሮቹ ላይ የተገነባ, እኩል ነው ካሬ አካባቢበ hypotenuse ላይ የተገነባ።

በእርግጥ ትንሽ የተለየ ይመስላል? እና ስለዚህ, ፓይታጎረስ የንድፈ ሃሳቡን መግለጫ ሲሳል, ይህ በትክክል የወጣው ምስል ነው.

በዚህ ሥዕል ላይ የትንሽ ካሬዎች ቦታዎች ድምር ከትልቅ ካሬው ስፋት ጋር እኩል ነው. እና ልጆች የእግሮቹ ካሬዎች ድምር ከ hypotenuse ካሬ ጋር እኩል መሆኑን በተሻለ ሁኔታ እንዲያስታውሱ ፣ አንድ ሰው ጠንቋይ ስለ ፓይታጎሪያን ሱሪዎች ይህን ቀልድ አቀረበ።

አሁን ለምን የፓይታጎሪያን ቲዎረም እየቀረፅን ነው?

ፓይታጎረስ ተሠቃይቷል እና ስለ ካሬዎች ተናግሯል?

አየህ በጥንት ዘመን... አልጀብራ አልነበረም! ምንም ምልክቶች አልነበሩም እና ወዘተ. ምንም የተቀረጹ ጽሑፎች አልነበሩም። ለድሆች የጥንት ተማሪዎች ሁሉንም ነገር በቃላት ማስታወሳቸው ምን ያህል አስከፊ እንደሆነ መገመት ትችላላችሁ?! እና የፒታጎሪያን ቲዎረም ቀላል ቀመር ስላለን ደስ ሊለን ይችላል። በደንብ ለማስታወስ እንደገና እንድገመው፡-

አሁን ቀላል መሆን አለበት፡-

የ hypotenuse ካሬ ከድምሩ ጋር እኩል ነው።የእግር ካሬዎች.

ደህና, ስለ ትክክለኛ ትሪያንግሎች በጣም አስፈላጊው ቲዎሪ ተብራርቷል. እንዴት እንደተረጋገጠ ለማወቅ ከፈለጉ የሚከተሉትን የንድፈ ሃሳቦች ደረጃ ያንብቡ እና አሁን እንቀጥል... ወደ ጥቁር ጫካ... ትሪጎኖሜትሪ! ለአስፈሪዎቹ ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት።

ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ ኮታንጀንት በትክክለኛ ትሪያንግል።

እንደ እውነቱ ከሆነ, ሁሉም ነገር በጭራሽ አስፈሪ አይደለም. እርግጥ ነው, የሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮንቴይነንት "እውነተኛ" ፍቺ በአንቀጹ ውስጥ መታየት አለበት. ግን በእርግጥ አልፈልግም, አይደል? ደስ ሊለን እንችላለን-ስለ ትክክለኛ ትሪያንግል ችግሮችን ለመፍታት በቀላሉ የሚከተሉትን ቀላል ነገሮች መሙላት ይችላሉ-

ለምንድነው ሁሉም ነገር ስለ ጥግ ብቻ የሆነው? ጥግ የት ነው? ይህንን ለመረዳት 1 - 4 መግለጫዎች በቃላት እንዴት እንደሚጻፉ ማወቅ ያስፈልግዎታል. ይመልከቱ ፣ ተረዱ እና ያስታውሱ!

1.
በእውነቱ እንደዚህ ይመስላል።

ስለ ማእዘኑስ? ከማዕዘኑ ተቃራኒ የሆነ እግር አለ, ማለትም ተቃራኒ (ለአንግል) እግር? በእርግጥ አለን! ይህ እግር ነው!

ስለ ማእዘኑስ? በጥንቃቄ ይመልከቱ. ከማዕዘኑ አጠገብ ያለው የትኛው እግር ነው? እርግጥ ነው, እግር. ይህ ማለት ለአንጎው እግሩ አጠገብ ነው, እና

አሁን ትኩረት ይስጡ! ያገኘነውን ተመልከት፡-

እንዴት አሪፍ እንደሆነ ይመልከቱ፡-

አሁን ወደ ታንጀንት እና ኮንቴይነንት እንሂድ.

አሁን ይህንን በቃላት እንዴት መፃፍ እችላለሁ? ከማዕዘን ጋር በተያያዘ እግሩ ምንድን ነው? ተቃራኒ ፣ በእርግጥ - ከማእዘኑ ተቃራኒ “ውሸት” ነው። ስለ እግርስ? ወደ ጥግ አጠገብ. ታዲያ ምን አግኝተናል?

አሃዛዊው እና አካፋይ እንዴት ቦታዎችን እንደተለዋወጡ ይመልከቱ?

እና አሁን ማዕዘኖቹ እንደገና ተለዋወጡ።

ማጠቃለያ

የተማርነውን ሁሉ ባጭሩ እንፃፍ።

የፓይታጎሪያን ቲዎረም

ስለ ቀኝ ትሪያንግሎች ዋናው ንድፈ ሃሳብ የፓይታጎሪያን ቲዎረም ነው።

የፓይታጎሪያን ቲዎረም

በነገራችን ላይ እግሮች እና hypotenuse ምን እንደሆኑ በደንብ ታስታውሳለህ? በጣም ጥሩ ካልሆነ, ምስሉን ይመልከቱ - እውቀትዎን ያድሱ

ቀደም ሲል የፓይታጎሪያን ቲዎረምን ብዙ ጊዜ ተጠቅመህ ሊሆን ይችላል፣ ግን እንዲህ ያለው ጽንሰ ሐሳብ እውነት የሆነው ለምን እንደሆነ ጠይቀህ ታውቃለህ? እንዴት ነው ማረጋገጥ የምችለው? እንደ ጥንታውያን ግሪኮች እናድርግ። አንድ ካሬ ከጎን ጋር እንሳል.

ጎኖቹን በቁመት እንዴት እንደከፈልን ተመልከት እና!

አሁን ምልክት የተደረገባቸውን ነጥቦች እናያይዛለን።

እዚህ ግን ሌላ ነገር አስተውለናል, ግን እርስዎ እራስዎ ስዕሉን ተመልክተው ይህ ለምን እንደሆነ ያስቡ.

አካባቢው ከምን ጋር እኩል ነው? ትልቅ ካሬ? ቀኝ, . ትንሽ አካባቢስ? በእርግጠኝነት,. የአራቱ ማዕዘኖች አጠቃላይ ስፋት ይቀራል. በአንድ ጊዜ ሁለት ወስደን በሃይፖቴኒዝናቸው ተደግፈን እንይ እንበል። ምን ሆነ? ሁለት አራት ማዕዘኖች. ይህ ማለት የ "ቁራጮች" አካባቢ እኩል ነው.

አሁን ሁሉንም አንድ ላይ እናስቀምጥ።

እንቀይር፡-

ስለዚህ ፓይታጎረስን ጎበኘን - ቲዎሪውን በጥንታዊ መንገድ አረጋግጠናል.

የቀኝ ትሪያንግል እና ትሪግኖሜትሪ

ለቀኝ ትሪያንግል፣ የሚከተሉት ግንኙነቶች ይያዛሉ፡

የአጣዳፊ አንግል ሳይን ከተቃራኒው ጎን ከ hypotenuse ሬሾ ጋር እኩል ነው።

የአጣዳፊ አንግል ኮሳይን ከጎን ካለው እግር እና hypotenuse ሬሾ ጋር እኩል ነው።

የአጣዳፊ አንግል ታንጀንት ከተቃራኒው ጎን ከጎን በኩል ካለው ጥምርታ ጋር እኩል ነው።

የአጣዳፊ አንግል ብክለት ከጎን በኩል ካለው ተቃራኒው ጎን ሬሾ ጋር እኩል ነው።

እና ይህ ሁሉ በጡባዊ መልክ እንደገና።

በጣም ምቹ ነው!

የቀኝ ትሪያንግሎች እኩልነት ምልክቶች

I. በሁለት በኩል

II. በእግር እና hypotenuse

III. በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን

IV. በእግር እና አጣዳፊ ማዕዘን

ሀ)

ለ)

ትኩረት! እግሮቹ "ተገቢ" መሆናቸውን እዚህ በጣም አስፈላጊ ነው. ለምሳሌ፣ እንዲህ ከሆነ፡-

ከዚያ ትሪያንግሎች እኩል አይደሉምምንም እንኳን አንድ ተመሳሳይ አጣዳፊ ማዕዘን ቢኖራቸውም.

ያስፈልጋል በሁለቱም ትሪያንግሎች ውስጥ እግሩ አጠገብ ነበር, ወይም በሁለቱም ተቃራኒ ነበር.

የቀኝ ትሪያንግሎች እኩልነት ምልክቶች ከተለመዱት የሶስት ማዕዘን ምልክቶች እንዴት እንደሚለያዩ አስተውለሃል? ርዕሱን ተመልከት "እና ለ "ተራ" ትሪያንግሎች እኩልነት ሦስት ንጥረ ነገሮች እኩል መሆን አለባቸው የሚለውን እውነታ ትኩረት ይስጡ-ሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል, ሁለት ማዕዘኖች እና በመካከላቸው ያለው ጎን ወይም ሶስት ጎኖች. ነገር ግን ለትክክለኛዎቹ ትሪያንግሎች እኩልነት ሁለት ተጓዳኝ አካላት ብቻ በቂ ናቸው. በጣም ጥሩ, ትክክል?

ከቀኝ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት ምልክቶች ጋር ሁኔታው ​​በግምት ተመሳሳይ ነው።

የቀኝ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት ምልክቶች

I. በአጣዳፊ ማዕዘን

II. በሁለት በኩል

III. በእግር እና hypotenuse

ሚድያን በቀኝ ትሪያንግል

ይህ ለምን ሆነ?

ከቀኝ ትሪያንግል ይልቅ አንድ ሙሉ አራት ማዕዘን ያስቡ።

አንድ ሰያፍ እንሳል እና አንድ ነጥብ እንመልከት - የዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ። ስለ አራት ማዕዘኑ ዲያግናልስ ምን ያውቃሉ?

እና ከዚህ ምን ይከተላል?

ስለዚህም እንደዚያ ሆነ

1. - መካከለኛ;

ይህንን እውነታ አስታውስ! በጣም ይረዳል!

በጣም የሚያስደንቀው ግን ተቃራኒው እውነት ነው.

ወደ hypotenuse የሚቀርበው ሚዲያን ከግማሽ hypotenuse ጋር እኩል ከሆነ ምን ጥሩ ነገር ሊገኝ ይችላል? ምስሉን እንይ

በጥንቃቄ ይመልከቱ. እኛ አለን: ማለትም ከነጥቡ እስከ ሦስቱም የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች ድረስ ያሉት ርቀቶች እኩል ሆነው ተገኝተዋል። ነገር ግን በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ አንድ ነጥብ ብቻ አለ, ከሦስቱም የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች ርቀቶች እኩል ናቸው, እና ይህ የክበብ ማእከል ነው. ታዲያ ምን ተፈጠረ?

እንግዲያውስ በዚህ “በተጨማሪ...” እንጀምር።

እስቲ እንመልከት እና.

ግን ተመሳሳይ ትሪያንግሎችሁሉም ማዕዘኖች እኩል ናቸው!

ስለ እና ተመሳሳይ ነገር ማለት ይቻላል

አሁን አንድ ላይ እንሳበው፡-

ከዚህ “ሦስትዮሽ” መመሳሰል ምን ጥቅም ማግኘት ይቻላል?

ደህና ፣ ለምሳሌ - ለቀኝ ትሪያንግል ቁመት ሁለት ቀመሮች።

የተጓዳኙን ወገኖች ግንኙነት እንፃፍ፡-

ቁመቱን ለማግኘት, መጠኑን እንፈታለን እና እናገኛለን የመጀመሪያው ቀመር "በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ቁመት":

ስለዚ፡ ተመሳሳሊ ነገር እንተገብረ፡ .

አሁን ምን ይሆናል?

እንደገና መጠኑን እንፈታዋለን እና ሁለተኛውን ቀመር እናገኛለን

እነዚህን ሁለቱንም ቀመሮች በደንብ ማስታወስ እና የበለጠ ምቹ የሆነውን መጠቀም ያስፈልግዎታል. እንደገና እንጽፋቸው

የፓይታጎሪያን ቲዎረም

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ፣ የ hypotenuse ካሬ ከእግሮቹ ካሬ ድምር ጋር እኩል ነው።

የቀኝ ትሪያንግሎች እኩልነት ምልክቶች:

• በሁለት በኩል;
• በእግር እና hypotenuse: ወይም
• በእግር እና በአጠገብ ያለው አጣዳፊ ማዕዘን: ወይም
• በእግር እና በተቃራኒው አጣዳፊ ማዕዘን: ወይም
• በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን: ወይም.

የቀኝ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት ምልክቶች:

• አንድ አጣዳፊ ጥግ: ወይም
• ከሁለት እግሮች ተመጣጣኝነት;
• ከእግር እና hypotenuse ተመጣጣኝነት: ወይም.

ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ ኮታንጀንት በትክክለኛ ትሪያንግል

• የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ኃጢያት የተቃራኒው ጎን ከ hypotenuse ጋር ያለው ጥምርታ ነው።
• የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ኮሳይን ከጎን ያለው እግር ከ hypotenuse ጋር ያለው ጥምርታ ነው።
• የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ታንጀንት የተቃራኒው ጎን ከአጎራባች ጎን ሬሾ ነው፡
• የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ብክለት የተቃራኒው ጎን የጎን ጥምርታ ነው።

የቀኝ ትሪያንግል ቁመት: ወይም.

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ፣ ከቀኝ አንግል ወርድ ላይ ያለው ሚዲያን ከ hypotenuse ግማሽ ጋር እኩል ነው።

የቀኝ ትሪያንግል አካባቢ;

• በእግሮች በኩል;