ትክክለኛው ቁጥር t ምንም ይሁን ምን፣ በልዩ ሁኔታ ከተገለጸ ቁጥር sin t ጋር ሊዛመድ ይችላል። እውነት ነው, የማዛመጃው ህግ በጣም የተወሳሰበ ነው, ከላይ እንዳየነው, እንደሚከተለው ነው.
ቁጥር t በመጠቀም የኃጢአት t ዋጋ ለማግኘት፣ ያስፈልግዎታል፡-
1) የክበቡ መሃከል ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር እንዲገጣጠም የቁጥር ክበብን በማስተባበር አውሮፕላን ውስጥ ያስቀምጡ ፣ እና የክበቡ መነሻ ነጥብ ሀ በ (1; 0) ላይ ይወድቃል።
2) ከቁጥር t ጋር የሚዛመድ ክበብ ላይ አንድ ነጥብ ያግኙ;
3) የዚህን ነጥብ ነጥብ ይፈልጉ.
ይህ ሥርዓት ኃጢአት t ነው.
በእውነቱ እኛ የምንናገረው ስለ ተግባር u = sin t ነው ፣ እሱም t ማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ነው።
እነዚህ ሁሉ ተግባራት ተጠርተዋል የቁጥር ነጋሪ እሴት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት t.
የተለያዩ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን እሴቶችን የሚያገናኙ በርካታ ግንኙነቶች አሉ ፣ ከእነዚህ ግንኙነቶች ውስጥ አንዳንዶቹን አግኝተናል-
ኃጢአት 2 t+cos 2 t = 1
ከመጨረሻዎቹ ሁለት ቀመሮች tg t እና ctgtን የሚያገናኝ ግንኙነት ማግኘት ቀላል ነው።
እነዚህ ሁሉ ቀመሮች ጥቅም ላይ የሚውሉት የትሪግኖሜትሪክ ተግባርን ዋጋ በማወቅ የሌሎች ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን እሴቶችን ማስላት በሚያስፈልግበት ጊዜ ነው።
“ሳይን”፣ “ኮሳይን”፣ “ታንጀንት” እና “ኮታንጀንት” የሚሉት ቃላቶች በእውነቱ የተለመዱ ነበሩ፣ ሆኖም ግን አሁንም ትንሽ ለየት ባለ አተረጓጎም ጥቅም ላይ ውለው ነበር፡ በጂኦሜትሪ እና ፊዚክስ ውስጥ ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ይቆጥሩታል። በጭንቅላቱ ላይ(ግን አይደለም
ቁጥሮች, ቀደም ባሉት አንቀጾች ውስጥ እንደነበረው).
ከጂኦሜትሪ መረዳት እንደሚቻለው የአጣዳፊ አንግል ሳይን (ኮሳይን) የአንድ ቀኝ ትሪያንግል እግሮች ጥምርታ እና ሃይፖቴኑዝ ሲሆን የማዕዘን ታንጀንት (contangent) ደግሞ የቀኝ ትሪያንግል እግሮች ሬሾ ነው። በቀደሙት አንቀጾች ውስጥ ስለ ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት እና ኮንቴንሽን ጽንሰ-ሐሳቦች የተለየ አቀራረብ ተዘጋጅቷል. እንደ እውነቱ ከሆነ, እነዚህ አካሄዶች እርስ በርስ የተያያዙ ናቸው.
በዲግሪ ልኬት b o ያለውን አንግል ወስደን በስእል ላይ እንደሚታየው በ "ቁጥር ክበብ ውስጥ ባለ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት" ሞዴል ውስጥ እናስቀምጠው. 14
የማዕዘን ጫፍ ከመሃል ጋር ይጣጣማል
ክበቦች (ከአስተባባሪ ስርዓቱ አመጣጥ ጋር) ፣
እና የማዕዘን አንድ ጎን ከ ጋር ተኳሃኝ ነው
የ x-ዘንግ አወንታዊ ጨረር. አራት ነጥብ
ጋር የማዕዘን ሁለተኛ ጎን መገናኛ
ኤም ኦርዲና የሚለውን ፊደል በክበቡ አመልክት-
ምስል 14 b o, እና የዚህ ነጥብ abscissa የማዕዘን b o ኮሳይን ነው.
የማዕዘንን ሳይን ወይም ኮሳይን ለማግኘት b o እነዚህን በጣም ውስብስብ ግንባታዎች በእያንዳንዱ ጊዜ ማድረግ አስፈላጊ አይደለም.
የ arc AM ከቁጥር ክብ ርዝመት ጋር ተመሳሳይ የሆነ ክፍል እንደ አንግል b o ከ 360 ° ጥግ እንደሚሠራ ማስተዋሉ በቂ ነው። የ arc AM ርዝመት በቲ ፊደል ከተገለፀ እናገኛለን፡-
ስለዚህም
ለምሳሌ,
30 ° የአንድ ማዕዘን የዲግሪ መለኪያ ነው ተብሎ ይታመናል, እና ተመሳሳይ ማዕዘን ያለው ራዲያን: 30 ° = ራድ. ፈጽሞ:
በተለይም, በተራው, ከየት እንደምናገኘው ደስ ብሎኛል.
ስለዚህ 1 ራዲያን ምንድን ነው? የተለያዩ የክፍሎች ርዝመት መለኪያዎች አሉ-ሴንቲሜትር ፣ ሜትሮች ፣ ያርድ ፣ ወዘተ. እንዲሁም የአንግሎችን መጠን የሚያመለክቱ የተለያዩ እርምጃዎች አሉ። የክፍሉን ክብ ማዕከላዊ ማዕዘኖች እንመለከታለን. የ 1 ° አንግል ማዕከላዊው ማዕዘን በክበብ አካል በሆነው ቅስት የታጠፈ ነው። የ 1 ራዲያን አንግል ማእከላዊው አንግል በ 1 ርዝማኔ የተቀበረ ነው ፣ i.e. ርዝመቱ ከክብ ራዲየስ ጋር እኩል በሆነ ቅስት ላይ. ከቀመርው ውስጥ 1 ሬድ = 57.3 ° እናገኛለን.
ተግባር u = sin t (ወይም ሌላ ማንኛውም ትሪግኖሜትሪክ ተግባር) ስናጤን በቀደሙት አንቀጾች ላይ እንደነበረው ገለልተኛውን ተለዋዋጭ t የቁጥር ክርክር አድርገን ልንወስደው እንችላለን ነገር ግን ይህንን ተለዋዋጭ መለኪያ መለኪያ አድርገን ልንወስደው እንችላለን አንግል, ማለትም. የማዕዘን ክርክር. ስለዚህ, ስለ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ሲናገሩ, በተወሰነ መልኩ የቁጥር ወይም የማዕዘን ክርክር ተግባር አድርጎ መቁጠር ምንም ለውጥ አያመጣም.
ፍቺ 1፡በቀመር y=sin x የተሰጠው የቁጥር ተግባር ሳይን ይባላል።
ይህ ኩርባ ይባላል- ሳይን ሞገድ.
የተግባሩ ባህሪያት y=sin x
2. የተግባር እሴት ክልል፡ E (y)=[-1; 1]
3. የተመጣጣኝነት ተግባር፡-
y=ኃጢአት x – ጎዶሎ፣.
4. ወቅታዊነት፡ sin(x+2πn)= sin x፣ n የት ኢንቲጀር ነው።
ይህ ተግባር ከተወሰነ ጊዜ በኋላ ተመሳሳይ እሴቶችን ይወስዳል። ይህ የአንድ ተግባር ንብረት ይባላል ድግግሞሽ.ክፍተቱ የተግባር ጊዜ ነው.
ለተግባሩ y=sin x ጊዜው 2π ነው።
ተግባር y=sin x ወቅታዊ ነው፣በጊዜ Т=2πn፣ n ኢንቲጀር ነው።
ትንሹ አዎንታዊ ጊዜ T=2π ነው።
በሂሳብ፣ ይህ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡ sin(x+2πn)= sin x፣ n የት ኢን ኢንቲጀር ነው።
ፍቺ 2፡በቀመር y=cosx የተሰጠው የቁጥር ተግባር ኮሳይን ይባላል።
የተግባሩ ባህሪያት y=cos x
1. የተግባር ጎራ፡ D(y)=R
2. የተግባር እሴት ቦታ፡ E (y)=[-1;1]
3. የተመጣጣኝነት ተግባር፡-
y=cos x – እንኳን።
4. ወቅታዊነት፡ cos(x+2πn)=cos x፣ n የት ኢንቲጀር ነው።
ተግባሩ y=cos x ወቅታዊ ነው፣ ከወቅቱ Т=2π ጋር።
ፍቺ 3፡በቀመር y=tan x የተሰጠው የቁጥር ተግባር ታንጀንት ይባላል።
የተግባሩ ባህሪያት y=tg x
1. የተግባሩ ጎራ፡ D(y) - ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ከ π/2+πk፣ k - ኢንቲጀር በስተቀር። ምክንያቱም በእነዚህ ነጥቦች ላይ ታንጀንት አልተገለጸም.
3. የተመጣጣኝነት ተግባር፡-
y=tg x - እንግዳ።
4. ፔሪዮዲሲቲ፡ tg(x+πk)=tg x፣ k የት ኢንቲጀር ነው።
ተግባር y=tg x ከወቅት π ጋር በየጊዜው ነው።
ፍቺ 4፡በቀመር y=ctg x የተሰጠው አሃዛዊ ተግባር ኮታንጀንት ይባላል።
የተግባሩ ባህሪያት y=ctg x
1. የተግባሩ ፍቺ ጎራ፡ D(y) - ከ πk በስተቀር ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች፣ k ኢንቲጀር ነው። ምክንያቱም በእነዚህ ነጥቦች ላይ ኮንቴይነሩ አልተገለጸም.
2. የተግባር ክልል፡ E(y)=R.
የቁጥር ነጋሪ እሴት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት።
የቁጥር ነጋሪ እሴት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትቲየቅጹ ተግባራት ናቸው y= ዋጋ ቲ፣
y= ኃጢአት y= tg ቲ y= ctg ቲ.
እነዚህን ቀመሮች በመጠቀም፣ በሚታወቀው የአንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር እሴት፣ የሌሎች ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የማይታወቁ እሴቶችን ማግኘት ይችላሉ።
ማብራሪያዎች.
1) ቀመሩን cos 2 t + sin 2 t = 1 ይውሰዱ እና አዲስ ቀመር ለማውጣት ይጠቀሙበት።
ይህንን ለማድረግ የቀመርውን ሁለቱንም ጎኖች በ cos 2 t (ለ t ≠ 0 ማለትም t ≠ π/2 + π) ይከፋፍሏቸው። ክ). ስለዚህ፡-
cos 2 t ኃጢአት 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
የመጀመሪያው ቃል ከ 1 ጋር እኩል ነው. የሲን እና ኮንስ ጥምርታ ታንጀንት መሆኑን እናውቃለን, ይህም ማለት ሁለተኛው ቃል ከ tg 2 t ጋር እኩል ነው. በውጤቱም፣ አዲስ (እና እርስዎ የሚያውቁት) ቀመር እናገኛለን፡-
2) አሁን cos 2 t + sin 2 t = 1 በኃጢአት 2 ቲ (ለ t ≠ π) አካፍል። ክ):
cos 2 t ኃጢአት 2 t 1
--- + --- = ---፣ የት t ≠ π ክ + π ክ, ክ- ኢንቲጀር
ኃጢአት 2 t ኃጢአት 2 t ኃጢአት 2 ት
የኮሳይን እና ሳይን ጥምርታ ብክለት ነው። ማለት፡-
የሂሳብ መሰረታዊ መርሆችን በማወቅ እና የትሪግኖሜትሪ መሰረታዊ ቀመሮችን በመማር፣ አብዛኛዎቹን ሌሎች ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች በራስዎ በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ። እና ይህ እነሱን ከማስታወስ የበለጠ ጥሩ ነው-በልብ የተማሩት በፍጥነት ይረሳሉ ፣ ግን የተረዱት ለረጅም ጊዜ ይታወሳሉ ፣ ግን ለዘላለም ካልሆነ። ለምሳሌ, የአንድ እና የታንጀንት ካሬው ድምር ምን ያህል እኩል እንደሆነ ማስታወስ አስፈላጊ አይደለም. ከረሱት, ቀላሉን ነገር ካወቁ በቀላሉ ማስታወስ ይችላሉ-ታንጀንት የሳይን እና ኮሳይን ጥምርታ ነው. በተጨማሪም ክፍልፋዮችን ከተለያዩ ክፍሎች ጋር የመደመር ቀላል ህግን ይተግብሩ እና ውጤቱን ያግኙ።
ኃጢአት 2 t 1 ኃጢአት 2 t cos 2 t + ኃጢአት 2 ቲ 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
በተመሳሳይ መልኩ የአንዱን ድምር እና የኮታንጀንት ካሬ እንዲሁም ሌሎች ብዙ ማንነቶችን በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ።
የማዕዘን ክርክር ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት።
ተግባራት ውስጥበ = cosቲ, በ = ኃጢአትቲ, በ = tgቲ, በ = ctgቲተለዋዋጭt ከቁጥር ክርክር በላይ ሊሆን ይችላል። እንዲሁም የማዕዘን መለኪያ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል - ማለትም የማዕዘን ክርክር.
የቁጥር ክብ እና አስተባባሪ ስርዓቱን በመጠቀም የማንኛውም አንግል ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮንቴይነንት በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ሁለት አስፈላጊ ሁኔታዎች መሟላት አለባቸው.
1) የማዕዘኑ ጫፍ የክበቡ መሃል መሆን አለበት, እሱም ደግሞ የመጋጠሚያው ዘንግ መሃል ነው;
2) የማዕዘን ጎኖች አንዱ አወንታዊ ዘንግ ጨረር መሆን አለበት። x.
በዚህ ሁኔታ, ክብ እና የማዕዘን ሁለተኛ ጎን የሚያቋርጡበት የነጥብ መራመጃ የዚህ አንግል ሳይን ነው, እና የዚህ ነጥብ abscissa የዚህ ማዕዘን ኮሳይን ነው.
ማብራሪያ. አንድ አንግል እንሳል, አንደኛው ጎን የአክሱ አወንታዊ ጨረር ነው x, እና ሁለተኛው ጎን ከመጋጠሚያው ዘንግ (እና ከክበቡ መሃል) በ 30º ማዕዘን ላይ ካለው አመጣጥ ይወጣል (ሥዕሉን ይመልከቱ). ከዚያም የሁለተኛው ጎን ከክበቡ ጋር ያለው የመገናኛ ነጥብ ከ π/6 ጋር ይዛመዳል. የዚህን ነጥብ አባባሎች እና አቢሲሳ እናውቃለን። እንዲሁም የእኛ ማዕዘን ኮሳይን እና ሳይን ናቸው፡-
√3 1
--; --
2 2
እና የአንድን አንግል ሳይን እና ኮሳይን ማወቅ፣ ታንጀቱን እና ተላላፊውን በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ።
ስለዚህ, የቁጥር ክበብ, በተቀናጀ ስርዓት ውስጥ የሚገኘው, የማዕዘን ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት ወይም ኮንቴንት ለማግኘት ምቹ መንገድ ነው.
ግን ቀላል መንገድ አለ. ክብ እና የተቀናጀ ስርዓት መሳል የለብዎትም. ቀላል እና ምቹ ቀመሮችን መጠቀም ይችላሉ-
ምሳሌ፡ ከ60º ጋር እኩል የሆነ የማዕዘን ሳይን እና ኮሳይን ያግኙ።
መፍትሄ፡
π 60 π √3
ኃጢአት 60º = ኃጢአት --- = ኃጢአት -- = --
180 3 2
π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2
ማብራሪያ የ60º አንግል ሳይን እና ኮሳይን በክበብ π/3 ላይ ካለው ነጥብ እሴቶች ጋር እንደሚዛመዱ ደርሰንበታል። በመቀጠል, የዚህን ነጥብ ዋጋዎች በሰንጠረዡ ውስጥ በቀላሉ እናገኛለን - እና ስለዚህ የእኛን ምሳሌ እንፈታዋለን. የቁጥር ክበብ ዋና ዋና ነጥቦች የሳይንስ እና ኮሲኖች ሰንጠረዥ በቀድሞው ክፍል እና በ "ሰንጠረዦች" ገጽ ላይ ነው.
በዚህ ምእራፍ ውስጥ የቁጥር ክርክር ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን እናስተዋውቃለን። በሂሳብ ፣ በሜካኒክስ ፣ በፊዚክስ እና በሌሎች ሳይንሶች ውስጥ ያሉ ብዙ ጥያቄዎች ወደ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ይመራሉ የማዕዘን (አርክ) ብቻ ሳይሆን ፍጹም የተለየ ተፈጥሮ (ርዝመት ፣ ጊዜ ፣ ሙቀት ፣ ወዘተ) ክርክር። እስካሁን ድረስ፣ የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ክርክር በዲግሪ ወይም በራዲያን የሚለካ አንግል እንደሆነ ተረድቷል። አሁን የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ ኮታንጀንት ፣ ሴካንት እና ኮሴከንት ጽንሰ-ሀሳቦችን እንደ የቁጥር ክርክር ተግባር በማስተዋወቅ እናጠቃላቸዋለን።ፍቺ የቁጥር ነጋሪ እሴት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ከራዲያን ጋር እኩል የሆነ አንግል ተመሳሳይ ስም ያላቸው ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ናቸው።
ይህንን ፍቺ ከተወሰኑ ምሳሌዎች ጋር እናብራራ።
ምሳሌ 1. እሴቱን እናሰላው. እዚህ ላይ ረቂቅ ኢ-ምክንያታዊ ቁጥር ማለታችን ነው። እንደ ትርጉሙ. ስለዚህ,.
ምሳሌ 2. እሴቱን እናሰላው. እዚህ 1.5 ስንል ረቂቅ ቁጥር ማለታችን ነው። እንደተገለጸው (አባሪ II ይመልከቱ)።
ምሳሌ 3. እሴቱን አስሉ ከላይ ካለው ጋር ተመሳሳይ እናገኛለን (አባሪ IIን ይመልከቱ)።
ስለዚህ፣ ወደፊት፣ በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ክርክር አንግል (አርክ) ወይም ቁጥር ብቻ እንረዳለን፣ በምንፈታው ችግር ላይ በመመስረት። እና በአንዳንድ ሁኔታዎች ክርክሩ ሌላ መጠን ያለው መጠን ሊሆን ይችላል ለምሳሌ ጊዜ እና ወዘተ. አንድን ክርክር አንግል (አርክ) ብለን ስንጠራው በራዲያን የሚለካበትን ቁጥር ማለት እንችላለን.
በርዕሱ ላይ ያለው ትምህርት እና የዝግጅት አቀራረብ: "የቁጥር ነጋሪ እሴት ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ፣ ፍቺ ፣ ማንነቶች"
ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ ። ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.
ለ10ኛ ክፍል በIntegral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ የማስተማሪያ መርጃዎች እና አስመሳይዎች
ከ9-11ኛ ክፍል ጋር የአልጀብራ ችግሮች
የሶፍትዌር አካባቢ "1C: የሂሳብ ገንቢ 6.1"
የምናጠናው፡-
1. የቁጥር ክርክር ፍቺ.
2. መሰረታዊ ቀመሮች.
3. ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች.
4. ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌዎች እና ተግባራት.
የቁጥር ነጋሪ እሴት ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ፍቺ
ሰዎች፣ ሳይን፣ ኮሳይን፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ምን እንደሆኑ እናውቃለን።የአንዳንድ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እሴቶችን በመጠቀም የሌሎች ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እሴቶችን ማግኘት ይቻል እንደሆነ እንይ?
የአንድ አሃዛዊ አካል ትሪግኖሜትሪክ ተግባር እንደሚከተለው እንገልፀው፡ $y= sin(t)$፣ $y= cos(t)$፣ $y=tg(t)$፣ $y= ctg(t)$።
መሰረታዊ ቀመሮችን እናስታውስ፡-
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$። በነገራችን ላይ የዚህ ቀመር ስም ማን ይባላል?
$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$፣ በ$t≠\frac(π)(2)+πk$።
$ctg(t)=\frac(cos(t))(ኃጢአት(t))$፣ ለ$t≠πk$።
አዳዲስ ቀመሮችን እናምጣ።
ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች
መሠረታዊውን ትሪግኖሜትሪክ ማንነት እናውቃለን፡$ sin^2(t)+cos^2(t)=1$።ጓዶች፣ የማንነቱን ሁለቱንም ወገኖች በ$cos^2(t)$ እንከፋፍል።
እናገኛለን፡ $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^) 2 (ቲ))$
እንለውጥ፡ $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)))።$
ማንነቱን እናገኛለን፡$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$፣በ$t≠\frac(π)(2)+πk$።
አሁን የማንነቱን ሁለቱንም ጎኖች በ$ sin^2(t)$ እንከፋፍል።
እናገኛለን፡ $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)( sin^ 2 (ቲ))$
እንለውጥ፡ $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)( sin^2(t)))።$
ማስታወስ የሚገባን አዲስ ማንነት አግኝተናል፡-
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$፣ ለ$t≠πk$።
ሁለት አዳዲስ ቀመሮችን ለማግኘት ችለናል። አስታውሳቸው።
እነዚህ ቀመሮች ጥቅም ላይ የሚውሉት ከአንዳንድ ከሚታወቀው የትሪግኖሜትሪክ ተግባር እሴት የሌላ ተግባርን ዋጋ ማስላት አስፈላጊ ከሆነ ነው።
በቁጥር ነጋሪ እሴት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ላይ ምሳሌዎችን መፍታት
ምሳሌ 1.$cos (t) =\frac(5)(7)$፣ $ sin(t)$ን ፈልግ፤ $tg (t)$; $ctg(t)$ ለሁሉም t.
መፍትሄ፡-
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$።
ከዚያም $ sin^2(t)=1-cos^2(t)$።
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49) ዶላር
$ sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$
$tg (t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt (\ frac (49) (25) -1) = ±\sqrt (\frac (24) (25)) = ± \ frac (\sqrt (24)) (5) $.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)( sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49)))-1)= ±\sqrt (\ frac (49) (24) -1) = ±\sqrt (\frac (25) (24)) = ± \ frac (5) (\sqrt (24)) $.
ምሳሌ 2.
$tg(t) = \frac(5)(12)$፣ $ sin(t)$ን ፈልግ፤ $cos(t)$; $ctg(t)$፣ ለሁሉም $0 መፍትሄ፡-
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$።
ከዚያም $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$።
ያንን $cos^2(t)=\frac(144)(169)$ እናገኛለን።
ከዚያ $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$፣ ግን $0
እኛ እናገኛለን: $ sin (t) = tg (t) * cos (t) = \ frac (5) (12) * \ frac (12) (13) = \ frac (5) (13) $.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$።በተናጥል ለመፍታት ችግሮች
1. $tg (t) = - \ frac (3) (4) $, አግኝ $ sin (t) $; $cos(t)$; $ctg(t)$፣ ለሁሉም $\frac(π)(2)
4. $cos (t) = \ frac (12) (13) $, አግኝ $ sin (t) $; $tg (t)$; $ctg(t)$ ለሁሉም $t$።