ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ፅንሰ-ሀሳቦች ዋና ዋና የትሪጎኖሜትሪ ምድቦች ፣የሂሳብ ቅርንጫፍ ናቸው እና ከማእዘን ፍቺ ጋር የማይነጣጠሉ ናቸው። የዚህ ባለቤትነት የሂሳብ ሳይንስቀመሮችን እና ቲዎሬሞችን ማስታወስ እና መረዳትን እንዲሁም የቦታ አስተሳሰብን ማዳበር ይጠይቃል። ለዚህም ነው የትምህርት ቤት ልጆች እና ተማሪዎች ትሪግኖሜትሪክ ስሌቶችብዙውን ጊዜ ችግሮች ያመጣሉ. እነሱን ለማሸነፍ ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት እና ቀመሮች ጋር የበለጠ መተዋወቅ አለብዎት።
በትሪግኖሜትሪ ውስጥ ጽንሰ-ሐሳቦች
ለመረዳት መሠረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦችትሪግኖሜትሪ ፣ በመጀመሪያ ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን እና በክበብ ውስጥ ያለው አንግል ምን እንደሆኑ እና ለምን ሁሉም መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ስሌቶች ከነሱ ጋር እንደተያያዙ መወሰን አለብዎት። ከማዕዘኖቹ አንዱ 90 ዲግሪ የሚለካበት ትሪያንግል አራት ማዕዘን ነው። ከታሪክ አኳያ፣ ይህ አኃዝ ብዙውን ጊዜ ሰዎች በሥነ ሕንፃ፣ በአሰሳ፣ በሥነ ጥበብ እና በሥነ ፈለክ ጥናት ውስጥ ይጠቀሙበት ነበር። በዚህ መሠረት, የዚህን ምስል ባህሪያት በማጥናት እና በመተንተን, ሰዎች የእሱን መለኪያዎች ተጓዳኝ ሬሾዎችን ለማስላት መጡ.
ከቀኝ ትሪያንግሎች ጋር የተያያዙት ዋና ዋና ምድቦች hypotenuse እና እግሮች ናቸው. Hypotenuse - የሶስት ማዕዘን ጎን ተቃራኒ ቀኝ ማዕዘን. እግሮቹ በቅደም ተከተል, የቀሩት ሁለት ጎኖች ናቸው. የማንኛውም ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ሁልጊዜ 180 ዲግሪ ነው።
ሉላዊ ትሪጎኖሜትሪ የትሪጎኖሜትሪ ክፍል ነው በትምህርት ቤት ያልተጠና፣ ግን በ ተግባራዊ ሳይንሶችእንደ አስትሮኖሚ እና ጂኦዲሲስ ያሉ ሳይንቲስቶች ይጠቀማሉ። ውስጥ የሶስት ማዕዘን ባህሪ ሉላዊ ትሪግኖሜትሪሁልጊዜ ከ 180 ዲግሪ በላይ ማዕዘኖች ድምር ያለው መሆኑ ነው።
የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች
በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ፣ የማዕዘን ኃጢያት ከተፈለገው አንግል ተቃራኒው የእግር ሬሾ (hypotenuse) ትሪያንግል ነው። በዚህ መሠረት ኮሳይን ጥምርታ ነው የተጠጋ እግርእና hypotenuse. hypotenuse ሁል ጊዜ ከእግር የበለጠ ስለሚረዝም እነዚህ ሁለቱም እሴቶች ሁል ጊዜ ከአንድ ያነሰ መጠን አላቸው ።
የአንድ አንግል ታንጀንት ከሬሾው ጋር እኩል የሆነ እሴት ነው። በተቃራኒው በኩልወደሚፈለገው ማዕዘን አጠገብ, ወይም ሳይን ወደ ኮሳይን. ኮታንጀንት, በተራው, የተፈለገውን ማዕዘን ከጎን በኩል ወደ ተቃራኒው ጎን ያለው ጥምርታ ነው. የማዕዘን ብክለትም አንዱን በታንጀንት እሴት በመከፋፈል ማግኘት ይቻላል.
የክፍል ክበብ
በጂኦሜትሪ ውስጥ ያለ አሃድ ክብ ክብ የማን ራዲየስ ነው። ከአንድ ጋር እኩል ነው።. እንዲህ ዓይነቱ ክበብ የተገነባው በ የካርቴሲያን ስርዓትያስተባብራል, የክበቡ መሃል ከመነሻው ነጥብ ጋር ሲገጣጠም እና መነሻ ቦታራዲየስ ቬክተር የሚወሰነው በ X ዘንግ (abscissa axis) አወንታዊ አቅጣጫ ነው. በክበቡ ላይ ያለው እያንዳንዱ ነጥብ ሁለት መጋጠሚያዎች አሉት: XX እና YY, ማለትም, የ abscissa እና ordinate መጋጠሚያዎች. በኤክስኤክስ አውሮፕላን ውስጥ ባለው ክበብ ላይ ማንኛውንም ነጥብ በመምረጥ እና ከሱ ወደ አቢሲሳ ዘንግ በመጣል ቀጥ ያለ ትሪያንግል በራዲየስ ወደ ተመረጠው ነጥብ (በፊደል ሐ የተገለፀው) ፣ ቀጥ ያለ ወደ X ዘንግ ይሳባል። (የመገናኛ ነጥቡ በጂ ፊደል ይገለጻል)፣ እና የአብሲሳ ዘንግ ክፍል በመጋጠሚያዎች አመጣጥ መካከል ነው (ነጥቡ በፊደል A) እና የመገናኛ ነጥብ G. የተገኘው ትሪያንግል ACG በ ውስጥ የተቀረጸ የቀኝ ትሪያንግል ነው። አንድ ክበብ, AG ሃይፖታነስ ሲሆን AC እና GC ደግሞ እግሮች ናቸው. በክበቡ AC ራዲየስ እና በ abscissa ዘንግ ክፍል መካከል ያለው አንግል AG ከሚለው ስያሜ ጋር α (አልፋ) ተብሎ ይገለጻል። ስለዚህ, cos α = AG/AC. AC ራዲየስ መሆኑን ከግምት በማስገባት ዩኒት ክብ, እና ከአንድ ጋር እኩል ነው, እሱ ነው cos α=AG. እንደዚሁም, ኃጢአት α=CG.
በተጨማሪም ይህንን መረጃ ማወቅ ከ cos α=AG እና sin α=CG ጀምሮ በክበቡ ላይ ያለውን የነጥብ C መጋጠሚያ መወሰን ትችላለህ። የተሰጡ መጋጠሚያዎች(cos α; sin α). ታንጀንት መሆኑን በማወቅ ከሬሾው ጋር እኩል ነውከሳይን እስከ ኮሳይን፣ ያንን ታን α = y/x፣ እና cot α = x/y መወሰን እንችላለን። በአሉታዊ አስተባባሪ ስርዓት ውስጥ ያሉትን ማዕዘኖች ከግምት ውስጥ በማስገባት የአንዳንድ ማዕዘኖች ሳይን እና ኮሳይን እሴቶች አሉታዊ ሊሆኑ እንደሚችሉ ማስላት ይችላሉ።
ስሌቶች እና መሰረታዊ ቀመሮች
ትሪግኖሜትሪክ ተግባር እሴቶች
በክፍል ክበብ በኩል የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ምንነት ከተመለከትን ፣ የእነዚህን ተግባራት እሴቶች ለአንዳንድ ማዕዘኖች ማግኘት እንችላለን ። እሴቶቹ ከዚህ በታች ባለው ሠንጠረዥ ውስጥ ተዘርዝረዋል.
በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች
የትሪግኖሜትሪክ ተግባር ምልክት የያዘባቸው እኩልታዎች ያልታወቀ ዋጋ, ትሪግኖሜትሪክ ይባላሉ. ማንነቶች በ የኃጢአት ዋጋ x = α፣ k - ማንኛውም ኢንቲጀር፡
- ኃጢአት x = 0, x = πk.
- 2. ኃጢአት x = 1, x = π/2 + 2πk.
- ኃጢአት x = -1፣ x = -π/2 + 2πk።
- ኃጢአት x = a, |a| > 1, ምንም መፍትሄዎች የሉም.
- ኃጢአት x = a, |a| ≦ 1፣ x = (-1)^k * አርክሲን α + πk።
k ማንኛውም ኢንቲጀር የሆነበት ዋጋ cos x = a ያላቸው መለያዎች፡-
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1፣ x = 2πk።
- cos x = -1፣ x = π + 2πk።
- cos x = a, |a| > 1, ምንም መፍትሄዎች የሉም.
- cos x = a, |a| ≦ 1፣ x = ±arccos α + 2πk።
k ማንኛውም ኢንቲጀር የሆነበት tg x = a እሴት ያላቸው ማንነቶች፡-
- ታን x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = አርክታን α + πk.
k ማንኛውም ኢንቲጀር የሆነበት እሴት ctg x = a ያላቸው ማንነቶች፡-
- አልጋ x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
የመቀነስ ቀመሮች
ይህ ምድብ ቋሚ ቀመሮችከቅጹ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ወደ የክርክር ተግባራት የሚሸጋገሩባቸውን ዘዴዎች ያሳያል ፣ ማለትም ፣ የማንኛውም እሴት አንግል ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ብክለትን ከ 0 እስከ የጊዜ ክፍተት አንግል ተጓዳኝ አመልካቾችን ይቀንሱ። ለበለጠ የስሌቶች ምቾት 90 ዲግሪ።
የማዕዘን ሳይን ተግባራትን ለመቀነስ ቀመሮች ይህን ይመስላል።
- ኃጢአት (900 - α) = α;
- ኃጢአት (900 + α) = cos α;
- ኃጢአት (1800 - α) = ኃጢአት α;
- ኃጢአት (1800 + α) = -ኃጢአት α;
- ኃጢአት (2700 - α) = -cos α;
- ኃጢአት (2700 + α) = -cos α;
- ኃጢአት (3600 - α) = -ኃጢአት α;
- ኃጢአት (3600 + α) = ኃጢአት α.
ለአንግል ኮሳይን፡-
- cos (900 - α) = ኃጢአት α;
- cos (900 + α) = -ኃጢአት α;
- cos (1800 - α) = -cos α;
- cos (1800 + α) = -cos α;
- cos (2700 - α) = -ሲን α;
- cos (2700 + α) = ኃጢአት α;
- cos (3600 - α) = cos α;
- cos (3600 + α) = cos α.
ከላይ የተጠቀሱትን ቀመሮች መጠቀም በሁለት ህጎች መሠረት ይቻላል. በመጀመሪያ፣ አንግል እንደ እሴት (π/2 ± a) ወይም (3π/2 ± a) መወከል ከቻለ የተግባሩ ዋጋ ይቀየራል።
- ከኃጢአት ወደ ኮስ;
- ከኮስ ወደ ኃጢአት;
- ከ tg እስከ ctg;
- ከ ctg እስከ tg.
አንግል እንደ (π ± a) ወይም (2π ± a) መወከል ከቻለ የተግባሩ ዋጋ ሳይለወጥ ይቆያል።
በሁለተኛ ደረጃ, የተቀነሰው ተግባር ምልክት አይለወጥም: መጀመሪያ ላይ አዎንታዊ ከሆነ, እንደዚያው ይቀራል. ከአሉታዊ ተግባራት ጋር ተመሳሳይ ነው.
የመደመር ቀመሮች
እነዚህ ቀመሮች የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና የሁለት መዞሪያ ማዕዘኖችን ድምር እና ልዩነት በትሪግኖሜትሪክ ተግባራታቸው ይገልፃሉ። በተለምዶ ማዕዘኖቹ እንደ α እና β ይጠቀሳሉ.
ቀመሮቹ ይህን ይመስላል።
- ኃጢአት (α ± β) = ኃጢአት α * cos β ± cos α * ኃጢአት.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ ኃጢአት α * ኃጢአት።
- tan (α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ ታን α * tan β)።
- ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
እነዚህ ቀመሮች ለማንኛውም ማዕዘኖች α እና β የሚሰሩ ናቸው።
ድርብ እና ባለሶስት ማዕዘን ቀመሮች
ድርብ እና ባለሶስት አንግል ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች የማዕዘኖቹን 2α እና 3α ተግባራት በቅደም ተከተል ከማዕዘን α ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ጋር የሚያገናኙ ቀመሮች ናቸው። ከመደመር ቀመሮች የተወሰደ፡-
- sin2α = 2sinα * cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α)።
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)።
ከድምር ወደ ምርት የሚደረግ ሽግግር
ያንን 2sinx*cosy = sin(x+y)+ sin(x-y) ስንመለከት፣ ይህን ቀመር በማቅለል፣ እናገኛለን። ማንነት ኃጢአትα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2. በተመሳሳይ sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos (α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos (α + β)/2 * cos (α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin (α + β)/2 * ኃጢአት (α - β)/2; tanα + tanβ = ኃጢአት (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = ኃጢአት (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)።
ከምርት ወደ ድምር ሽግግር
እነዚህ ቀመሮች ከድምር ወደ ምርት ሽግግር መለያዎች ይከተላሉ፡-
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
የዲግሪ ቅነሳ ቀመሮች
በእነዚህ ማንነቶች ውስጥ ካሬ እና ኪዩቢክ ዲግሪሳይን እና ኮሳይን በበርካታ አንግል የመጀመሪያ ዲግሪ ሳይን እና ኮሳይን በኩል ሊገለጹ ይችላሉ፡
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
ሁለንተናዊ ምትክ
ለዩኒቨርሳል ትሪግኖሜትሪክ መተካት ቀመሮች የግማሽ አንግል ታንጀንት አንፃር ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ይገልፃሉ።
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2)፣ በ x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan ^ 2 x/2) / (1 + tan^2 x/2) ፣ የት x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2)፣ የት x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2)፣ በ x = π + 2πn።
ልዩ ጉዳዮች
የፕሮቶዞዋ ልዩ ሁኔታዎች ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችከዚህ በታች ተሰጥተዋል (k ማንኛውም ኢንቲጀር ነው)።
ለሳይን ጥቅሶች፡-
| ኃጢአት x ዋጋ | x እሴት |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk ወይም 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk ወይም -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk ወይም 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk ወይም -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk ወይም 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk ወይም -2π/3 + 2πk |
የኮሳይን ጥቅሶች፡-
| cos x እሴት | x እሴት |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2k |
| -1 | 2 + 2k |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ± 2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ± 3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ± 5π/6 + 2πk |
የታንጀንት ጥቅሶች፡-
| tg x እሴት | x እሴት |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
የንጽህና መጠበቂያ ጥቅሶች፡-
| ctg x እሴት | x እሴት |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
ቲዎሬሞች
የሳይንስ ቲዎሪ
የንድፈ-ሀሳቡ ሁለት ስሪቶች አሉ - ቀላል እና የተራዘመ። ቀላል ቲዎሪ sines: ሀ/ኃጢአት α = b/ኃጢአት β = ሐ/ኃጢአት γ. በዚህ ሁኔታ, a, b, c የሶስት ማዕዘን ጎኖች ናቸው, እና α, β, γ ተቃራኒ ማዕዘኖች ናቸው.
የተራዘመ ሳይን ቲዎሬም ለ የዘፈቀደ ትሪያንግልሀ/ኃጢአት α = b/sin β = ሐ/ኃጢአት γ = 2R. በዚህ መታወቂያ, R የተሰጠው ሶስት ማዕዘን የተቀረጸበትን የክበብ ራዲየስ ያመለክታል.
ኮሳይን ቲዎረም
ማንነቱ እንደሚከተለው ይታያል፡ a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α። በቀመር ውስጥ a, b, c የሶስት ማዕዘን ጎኖች ናቸው, እና α ከጎን ጋር ተቃራኒ ነው a.
የታንጀንት ቲዎረም
ቀመሩ በሁለት ማዕዘኖች ታንጀንት እና በጎኖቹ ተቃራኒው ርዝመት መካከል ያለውን ግንኙነት ይገልጻል። ጎኖቹ a, b, c የሚል ምልክት ይደረግባቸዋል, እና ተዛማጅ ተቃራኒ ማዕዘኖች α, β, γ ናቸው. የታንጀንት ቲዎረም ቀመር፡ (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)።
የኮታንጀንት ቲዎሪ
በሦስት ማዕዘን ውስጥ የተቀረጸውን የክበብ ራዲየስ ከጎኖቹ ርዝመት ጋር ያገናኛል. a, b, c የሶስት ማዕዘን ጎኖች ከሆኑ እና A, B, C, በቅደም ተከተል, ማዕዘኖቹ ተቃራኒዎቻቸው ናቸው, r የተቀረጸው ክበብ ራዲየስ ነው, እና p የሶስት ማዕዘን ግማሽ ፔሪሜትር ነው, የሚከተለው ነው. ማንነቶች ልክ ናቸው፡-
- cot A/2 = (p-a) / r;
- አልጋ B/2 = (p-b) / r;
- cot C/2 = (p-c)/r.
መተግበሪያ
ትሪግኖሜትሪ - ብቻ አይደለም የንድፈ ሳይንስጋር የተያያዘ የሂሳብ ቀመሮች. ባህሪያቱ፣ ንድፈ ሃሳቦቹ እና ደንቦቹ በተለያዩ ኢንዱስትሪዎች በተግባር ጥቅም ላይ ይውላሉ። የሰዎች እንቅስቃሴ- አስትሮኖሚ, አየር እና የባህር ዳሰሳየሙዚቃ ቲዎሪ፣ ጂኦዲሲ፣ ኬሚስትሪ፣ አኮስቲክስ፣ ኦፕቲክስ፣ ኤሌክትሮኒክስ፣ አርክቴክቸር፣ ኢኮኖሚክስ፣ ሜካኒካል ምህንድስና፣ የመለኪያ ሥራ, የኮምፒውተር ግራፊክስ፣ ካርቶግራፊ ፣ ውቅያኖስ ፣ እና ሌሎች ብዙ።
ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት የትሪጎኖሜትሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ናቸው ፣ በእሱ እርዳታ አንድ ሰው በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ባሉት የጎን ማዕዘኖች እና ርዝመቶች መካከል ያለውን ግንኙነት በሂሳብ መግለጽ እና የሚፈለጉትን መጠኖች በማንነት ፣ በንድፈ ሀሳቦች እና ህጎች ማግኘት ይችላል።
የማጭበርበሪያ ወረቀቶችን እንዳትጽፉ ለማሳመን አልሞክርም። ጻፍ! በትሪጎኖሜትሪ ላይ የማጭበርበሪያ ወረቀቶችን ጨምሮ። በኋላ የማጭበርበር ወረቀቶች ለምን እንደሚያስፈልጉ እና ለምን የማጭበርበሪያ ወረቀቶች ጠቃሚ እንደሆኑ ለማብራራት እቅድ አለኝ. እና እንዴት መማር እንደሌለበት መረጃ እዚህ አለ ፣ ግን የተወሰኑትን ያስታውሱ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች. ስለዚህ - ትሪጎኖሜትሪ ያለ ማጭበርበር! ማህበሮችን ለማስታወስ እንጠቀማለን ።
1. የመደመር ቀመሮች፡-
ኮሳይኖች ሁልጊዜ "በጥንድ ይመጣሉ": ኮሳይን-ኮሲን, ሳይን-ሳይን.
እና አንድ ተጨማሪ ነገር: ኮሲኖች "በቂ ያልሆነ" ናቸው. ለእነሱ "ሁሉም ነገር ትክክል አይደለም" ስለዚህ ምልክቶቹን ይለውጣሉ: "-" ወደ "+", እና በተቃራኒው.
Sinuses - "ድብልቅ": ሳይን-ኮሲን, ኮሳይን-ሳይን.
2. ድምር እና ልዩነት ቀመሮች፡-
ኮሳይኖች ሁልጊዜ "በጥንድ ይመጣሉ". ሁለት ኮሲኖች - "ኮሎቦክስ" በመጨመር ጥንድ ኮሳይን - "ኮሎቦክስ" እናገኛለን. እና በመቀነስ በእርግጠኝነት ምንም ኮሎቦክስ አናገኝም። ሁለት ሳይኖች እናገኛለን. እንዲሁም ከፊት ተቀንሶ ጋር።
Sinuses - "ድብልቅ" :
3. ምርትን ወደ ድምር እና ልዩነት ለመለወጥ ቀመሮች.
የኮሳይን ጥንድ መቼ ነው የምናገኘው? ኮሳይን ስንጨምር. ለዛ ነው
ሁለት ሳይን መቼ ነው የምናገኘው? ኮሳይን ሲቀንስ. ከዚህ፡-
ሳይኖች ሲጨመሩ እና ሲቀነሱ "ድብልቅ" የተገኘ ነው. የበለጠ አስደሳች ምንድነው፡ መደመር ወይም መቀነስ? ልክ ነው እጠፍፍ። እና ለቀመር እነሱ መደመርን ይወስዳሉ-
በመጀመሪያው እና በሶስተኛው ቀመሮች ውስጥ, ድምር በቅንፍ ውስጥ ነው. የውሎቹን ቦታዎች እንደገና ማደራጀት ድምርን አይለውጠውም። ትዕዛዙ ለሁለተኛው ቀመር ብቻ አስፈላጊ ነው. ግን ፣ ግራ ላለመጋባት ፣ ለማስታወስ ምቾት ፣ በመጀመሪያዎቹ ቅንፎች ውስጥ በሶስቱም ቀመሮች ውስጥ ልዩነቱን እንወስዳለን ።
እና ሁለተኛ - መጠኑ
በኪስዎ ውስጥ ያሉ የማጭበርበሪያ ወረቀቶች የአእምሮ ሰላም ይሰጡዎታል: ቀመሩን ከረሱት, መገልበጥ ይችላሉ. እና በራስ መተማመን ይሰጡዎታል-የማጭበርበሪያውን ወረቀት መጠቀም ካልቻሉ ቀመሮቹን በቀላሉ ማስታወስ ይችላሉ።
ሳይን እና ኮሳይን በመጀመሪያ የተነሱት መጠኖችን በትክክለኛው ሶስት መአዘኖች ለማስላት ስለሚያስፈልገው ነው። በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ያሉት ማዕዘኖች የዲግሪ ልኬት ካልተቀየረ ፣ ምጥጥነ ገጽታ ፣ ምንም ያህል ርዝመታቸው ምንም ያህል ቢለወጡ ሁል ጊዜም ተመሳሳይ እንደሆኑ ተስተውሏል።
የሳይን እና ኮሳይን ፅንሰ-ሀሳቦች የተዋወቁት በዚህ መንገድ ነው። ሳይነስ አጣዳፊ ማዕዘንበቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የተቃራኒው ጎን ከ hypotenuse ጋር ያነፃፅራል ፣ እና ኮሳይን ከ hypotenuse አጠገብ ያለው የጎን ሬሾ ነው።
የኮሳይን እና የሳይንስ ቲዎረሞች
ነገር ግን ኮሳይን እና ሳይን ከትክክለኛ ትሪያንግሎች በላይ ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ. ማንኛውም ትሪያንግል አንድ obtuse ወይም ይዘት አንግል ወይም ጎን ዋጋ ለማግኘት, የኮሳይን እና ሳይን ያለውን ቲዎሪ ተግባራዊ ማድረግ በቂ ነው.
የኮሳይን ቲዎሬም በጣም ቀላል ነው፡ “የሶስት ማዕዘን ጎን ካሬ ከድምሩ ጋር እኩል ነው።የሌሎቹ ሁለት ጎኖች አደባባዮች የእነዚህ ጎኖች ምርት ሁለት ጊዜ ሲቀነስ በመካከላቸው ባለው አንግል ኮሳይት”
የሲን ቲዎሬም ሁለት ትርጓሜዎች አሉ-ትንሽ እና የተራዘመ. በትናንሹ መሰረት፡ "በሦስት ማዕዘን ውስጥ, ማዕዘኖቹ ተመጣጣኝ ናቸው ተቃዋሚ ፓርቲዎች». ይህ ቲዎሪብዙውን ጊዜ በተከበበው የሶስት ማዕዘን ንብረት ምክንያት ይሰፋል፡ "በሶስት ማዕዘን ውስጥ ማዕዘኖቹ ከተቃራኒው ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ ናቸው እና የእነሱ ጥምርታ ከተከበበው ክበብ ዲያሜትር ጋር እኩል ነው."
ተዋጽኦዎች
ተዋጽኦው በክርክሩ ላይ ካለው ለውጥ አንጻር አንድ ተግባር ምን ያህል በፍጥነት እንደሚለወጥ የሚያሳይ የሂሳብ መሳሪያ ነው። ተዋጽኦዎች በጂኦሜትሪ ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ, እና በበርካታ ቴክኒካዊ ዘርፎች ውስጥ.
ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ተዋጽኦዎች የሰንጠረዥ እሴቶችን ማወቅ ያስፈልግዎታል-ሳይን እና ኮሳይን። የሳይን አመጣጥ ኮሳይን ነው፣ እና ኮሳይን ሀጢያት ነው፣ ግን የመቀነስ ምልክት ያለው።
ትግበራ በሂሳብ
ሲኒኖች እና ኮሳይኖች በተለይ ሲፈቱ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ የቀኝ ትሪያንግሎችእና ከነሱ ጋር የተያያዙ ተግባራት.
የሳይንስ እና ኮሳይን ምቾት በቴክኖሎጂ ውስጥም ይንጸባረቃል። የኮሳይን እና ሳይን ንድፈ ሃሳቦችን በመጠቀም ማዕዘኖችን እና ጎኖቹን መገምገም ቀላል ነበር። ውስብስብ አሃዞችእና እቃዎች ወደ "ቀላል" ትሪያንግሎች. መሐንዲሶች ብዙውን ጊዜ የገጽታ ሬሾን ስሌት እና የዲግሪ መለኪያዎች, የማይታጠፍ ማዕዘኖች ኮሲኖች እና ሳይኖች ለማስላት ብዙ ጊዜ እና ጥረት አሳልፈዋል።
ከዚያም የብራዲስ ጠረጴዛዎች በሺዎች የሚቆጠሩ ሳይን ፣ ኮሳይኖች ፣ ታንጀንቶች እና ቆሻሻዎች እሴቶችን የያዙ ለማዳን መጡ። የተለያዩ ማዕዘኖች. ውስጥ የሶቪየት ጊዜአንዳንድ መምህራን ተማሪዎቻቸውን የብሬዲስ ጠረጴዛዎችን ገፆች እንዲያስታውሱ አስገድዷቸዋል።
ራዲያን - የማዕዘን መጠንቅስቶች, ርዝመት ራዲየስ ጋር እኩልወይም 57.295779513° ዲግሪ።
ዲግሪ (በጂኦሜትሪ) የክበብ 1/360ኛ ወይም የቀኝ አንግል 1/90ኛ ነው።
π = 3.141592653589793238462… ( ግምታዊ ዋጋፒ ቁጥሮች)።
የኮሳይን ሰንጠረዥ ለማእዘኖች፡ 0°፣ 30°፣ 45°፣ 60°፣ 90°፣ 120°፣ 135°፣ 150°፣ 180°፣ 210°፣ 225°፣ 240°፣ 270°፣ 300°፣ 315°፣ 330°፣ 360°
| አንግል x (በዲግሪ) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| አንግል x (በራዲያን ውስጥ) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት።
የማንኛውም ውስብስብነት ደረጃ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት በመጨረሻ በጣም ቀላል የሆኑትን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት ይወርዳል። እና በዚህ ውስጥ ምርጥ ረዳትእንደገና ትሪግኖሜትሪክ ክብ ሆኖ ይወጣል።
የኮሳይን እና ሳይን ትርጓሜዎችን እናስታውስ።
የማዕዘን ኮሳይን በተሰጠው ማዕዘን በኩል ካለው ሽክርክሪት ጋር የሚዛመደው በንጥል ክበብ ላይ ያለው ነጥብ abcissa (ይህም በዘንጉ ላይ ያለው መጋጠሚያ) ነው።
የማዕዘን ኃጢያት በተሰጠው ማዕዘን በኩል ካለው ሽክርክር ጋር የሚዛመደው በንጥሉ ክብ ላይ ያለ ነጥብ ordinate (ይህም በዘንጉ ላይ ያለው መጋጠሚያ) ነው።
በትሪግኖሜትሪክ ክበብ ላይ ያለው የእንቅስቃሴ አወንታዊ አቅጣጫ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ነው። የ0 ዲግሪ (ወይም 0 ራዲያን) መዞር ከመጋጠሚያዎች ጋር ካለው ነጥብ ጋር ይዛመዳል (1;0)
ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ለመፍታት እነዚህን ትርጓሜዎች እንጠቀማለን።
1. እኩልታውን ይፍቱ
ይህ እኩልታ በክበብ ላይ ካሉት ነጥቦች ጋር በሚዛመደው የማዞሪያው አንግል ዋጋዎች ሁሉ ይረካዋል ፣ ክብደታቸው እኩል ነው።
በ ordinate ዘንግ ላይ አንድ ነጥብ በ ordinate ምልክት እናድርግ፡-
እናድርግ አግድም መስመርከክበቡ ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ ከ x-ዘንግ ጋር ትይዩ. በክበቡ ላይ ተኝተው ሁለት ነጥቦችን እናገኛለን ። እነዚህ ነጥቦች በ ውስጥ እና ራዲያን ከሚዞሩ ማዕዘኖች ጋር ይዛመዳሉ፡-
በራዲያኖች ከሚሽከረከርበት አንግል ጋር የሚዛመደውን ነጥብ ትተን ከሄድን እንዞር ሙሉ ክብ, ከዚያም በእያንዳንዱ ራዲያን ከሚሽከረከርበት አንግል ጋር የሚዛመድ እና ተመሳሳይ ሬንጅ ያለው ነጥብ ላይ እንደርሳለን. ማለትም፣ ይህ የማዞሪያ አንግል የእኛን እኩልነት ያሟላል። ወደ ተመሳሳይ ነጥብ በመመለስ የፈለግነውን ያህል “ስራ ፈት” አብዮቶችን ማድረግ እንችላለን እና እነዚህ ሁሉ የማዕዘን እሴቶች የእኛን እኩልታ ያረካሉ። የ"ስራ ፈት" አብዮቶች ቁጥር በፊደል (ወይም) ይገለጻል። እነዚህን አብዮቶች በአዎንታዊ እና አሉታዊ አቅጣጫዎች ማድረግ ስለምንችል (ወይም) ማንኛውንም የኢንቲጀር እሴቶችን መውሰድ እንችላለን።
ማለትም ፣ ለዋናው እኩልታ የመጀመሪያዎቹ ተከታታይ መፍትሄዎች ቅጹ አላቸው-
፣ ፣ - የኢንቲጀር ስብስብ (1)
በተመሳሳይ, ሁለተኛው ተከታታይ መፍትሄዎች ቅጹ አላቸው:
የት , . (2)
እርስዎ እንደገመቱት, የዚህ ተከታታይ መፍትሄዎች በክበብ ላይ ባለው ነጥብ ላይ የተመሰረተ ነው የማዞሪያው አንግል በ .
እነዚህ ሁለት ተከታታይ መፍትሄዎች በአንድ ግቤት ውስጥ ሊጣመሩ ይችላሉ-
በዚህ ውስጥ ከሆንን ማስታወሻዎቹን እንውሰድ(ይህም, እንኳን), ከዚያም የመጀመሪያዎቹን ተከታታይ መፍትሄዎች እናገኛለን.
በዚህ ግቤት ውስጥ (ማለትም ያልተለመደ) ከወሰድን, ከዚያም ሁለተኛው ተከታታይ መፍትሄዎችን እናገኛለን.
2. አሁን እኩልታውን እንፍታ
ይህ በማእዘን በኩል በማሽከርከር የተገኘው በንጥል ክበብ ላይ ያለው የነጥብ abscissa ስለሆነ ነጥቡን በዘንግ ላይ ባለው abscissa ምልክት እናደርጋለን-
እናድርግ አቀባዊ መስመርከክበቡ ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ ዘንግ ጋር ትይዩ. በክበቡ ላይ ተኝተው እና አቢሲሳ ያላቸው ሁለት ነጥቦችን እናገኛለን. እነዚህ ነጥቦች ወደ ውስጥ እና ራዲያን ከሚዞሩ ማዕዘኖች ጋር ይዛመዳሉ። በሰዓት አቅጣጫ ስንንቀሳቀስ አሉታዊ የማዞሪያ ማዕዘን እናገኛለን፡-
ሁለት ተከታታይ መፍትሄዎችን እንጽፍ፡-
,
,
(ከዋናው ሙሉ ክበብ በመሄድ ወደ ተፈለገው ነጥብ ደርሰናል, ማለትም.
እነዚህን ሁለት ተከታታይ ክፍሎች ወደ አንድ ግቤት እናጣምር፡-
3. እኩልታውን ይፍቱ
የታንጀንት መስመር ከኦአይ ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ የዩኒት ክብ መጋጠሚያዎች (1,0) ጋር ነጥቡን ያልፋል
በላዩ ላይ አንድ ነጥብ ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ምልክት እናድርግ (የየትኛውን ማዕዘኖች ከ 1 ጋር እኩል የሆነውን ታንጀንት እንፈልጋለን)
ይህንን ነጥብ ከመጋጠሚያዎች አመጣጥ ጋር በቀጥታ መስመር እናገናኘው እና የመስመሩን መገናኛ ነጥቦች በክፍል ክበብ ላይ ምልክት ያድርጉ። የቀጥታ መስመር እና የክበቡ መገናኛ ነጥቦች በ ላይ ካለው የማዞሪያ ማዕዘኖች ጋር ይዛመዳሉ እና:
የእኛን እኩልነት የሚያረኩ የማዞሪያ ማዕዘኖች ጋር የሚዛመዱት ነጥቦች እርስ በእርስ በራዲያን ርቀት ላይ ስለሚገኙ መፍትሄውን በዚህ መንገድ መጻፍ እንችላለን-
4. እኩልታውን ይፍቱ
የንጥረቶቹ መስመር ከዘንጉ ጋር ትይዩ ካለው የንጥል ክበብ መጋጠሚያዎች ጋር በነጥቡ በኩል ያልፋል።
አንድ ነጥብ በአብስሲሳ -1 በንጥረ ነገሮች መስመር ላይ ምልክት እናድርግ፡-
ይህንን ነጥብ ከቀጥታ መስመር አመጣጥ ጋር እናገናኘው እና ከክበቡ ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ እንቀጥል. ይህ ቀጥተኛ መስመር ክበቡን ከሚሽከረከርበት እና ራዲያን ጋር በሚዛመዱ ነጥቦች ላይ ያቋርጣል፡
እነዚህ ነጥቦች እርስ በእርሳቸው እኩል ርቀት ስለሚለያዩ, ከዚያ የጋራ ውሳኔይህንን ቀመር እንደሚከተለው መጻፍ እንችላለን-
በጣም ቀላል የሆነውን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች መፍትሄን በሚያሳዩ ምሳሌዎች ውስጥ ፣ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ሰንጠረዥ እሴቶች ጥቅም ላይ ውለዋል ።
ነገር ግን፣ የእኩልታው የቀኝ ጎን ሠንጠረዥ ያልሆነ እሴት ከያዘ፣ እሴቱን ወደ እኩልታው አጠቃላይ መፍትሄ እንተካለን።
ልዩ መፍትሄዎች፡-
ነጥቦቹ 0 በሆነው ክበብ ላይ ምልክት እናድርግ፡-
በክበቡ ላይ አንድ ነጥብ እናስቀምጠው 1 ነው፡-
የክበብ ምልክቱ ከ -1 ጋር እኩል የሆነ አንድ ነጥብ ምልክት እናድርግ፡-
ወደ ዜሮ ቅርብ የሆኑ እሴቶችን መጠቆም የተለመደ ስለሆነ መፍትሄውን እንደሚከተለው እንጽፋለን-
አቢሲሳ ከ 0 ጋር እኩል የሆነ በክበብ ላይ ያሉትን ነጥቦች ምልክት እናድርግ፡-
5.
አቢሲሳ ከ 1 ጋር እኩል የሆነ አንድ ነጠላ ነጥብ በክበብ ላይ ምልክት እናድርግ፡-
አቢሲሳ ከ -1 ጋር እኩል የሆነ አንድ ነጠላ ነጥብ በክበብ ላይ ምልክት እናድርግ፡-
እና ትንሽ ተጨማሪ ውስብስብ ምሳሌዎች:
1.
ክርክሩ እኩል ከሆነ ሳይን ከአንድ ጋር እኩል ነው
የኃጢአታችን ክርክር እኩል ነው፣ ስለዚህ እናገኛለን፡-
ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች በ 3 እንከፋፍላቸው፡-
መልስ፡-
2.
ኮሳይን ከዜሮ ጋር እኩል ነው።, የኮሳይን ክርክር እኩል ከሆነ
የኛ ኮሳይን ክርክር እኩል ነው፣ ስለዚህ እናገኛለን፡-
እንገልፃለን ፣ ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ በተቃራኒው ምልክት ወደ ቀኝ እንሄዳለን ።
ትክክለኛውን ጎን እናቃልል፡-
ሁለቱንም ጎኖች በ -2 ይከፋፍሉ:
k ማንኛውንም የኢንቲጀር ዋጋ ሊወስድ ስለሚችል በቃሉ ፊት ያለው ምልክት እንደማይለወጥ ልብ ይበሉ።
መልስ፡-
እና በመጨረሻም የቪድዮ አጋዥ ስልጠናውን ይመልከቱ "በመጠቀም በትሪግኖሜትሪክ ቀመር ውስጥ ሥሮችን መምረጥ ትሪግኖሜትሪክ ክበብ"
ይህ ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ስለመፍታት ውይይታችንን ያበቃል። በሚቀጥለው ጊዜ እንዴት እንደሚወስኑ እንነጋገራለን.
በዚህ ጽሑፍ ውስጥ አጠቃላይ እይታን እንመለከታለን. መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች በሳይን፣ ኮሳይን፣ ታንጀንት እና በአንድ ማዕዘን መካከል ያለውን ግንኙነት የሚፈጥሩ እኩልነቶች ናቸው፣ እና አንድ ሰው እነዚህን ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት በሚታወቅ ሌላ እንዲያገኝ ያስችለዋል።
በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የምንተነትናቸውን ዋና ዋና ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችን ወዲያውኑ እንዘርዝር። በሰንጠረዥ ውስጥ እንጽፋቸው, እና ከታች የእነዚህን ቀመሮች ውጤት እንሰጣለን እና አስፈላጊውን ማብራሪያ እንሰጣለን.
የገጽ አሰሳ።
የአንድ አንግል ሳይን እና ኮሳይን ግንኙነት
አንዳንድ ጊዜ ከላይ ባለው ሠንጠረዥ ውስጥ ስለ ተዘረዘሩት ዋና ዋና ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች አይናገሩም ፣ ግን ስለ አንድ ነጠላ መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነትዓይነት 
. የዚህ እውነታ ማብራሪያ በጣም ቀላል ነው-እኩልነቶች የሚገኙት ሁለቱንም ክፍሎቹን እና በቅደም ተከተል እና እኩልነት ከተከፋፈለ በኋላ ከዋናው ትሪግኖሜትሪክ ማንነት ነው. 
እና 
ከሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ትርጓሜዎች ይከተሉ። በሚቀጥሉት አንቀጾች ውስጥ ስለዚህ ጉዳይ በበለጠ ዝርዝር እንነጋገራለን.
ያውና, ልዩ ፍላጎትየዋናው ትሪግኖሜትሪክ መለያ ስም የተሰጠውን እኩልነት በትክክል ይወክላል።
ዋናውን ትሪግኖሜትሪክ ማንነት ከማረጋገጥዎ በፊት አጻጻፉን እንሰጣለን-የአንድ ማዕዘን የሳይንና ኮሳይን ካሬዎች ድምር በተመሳሳይ መልኩ ከአንድ ጋር እኩል ነው። አሁን እናረጋግጠው።
መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት በጣም ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል ለውጥ ትሪግኖሜትሪክ መግለጫዎች . የአንድ ማዕዘን የሳይን እና ኮሳይን ካሬዎች ድምር በአንድ እንዲተካ ይፈቅዳል። ብዙ ጊዜ መሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት በ ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል የተገላቢጦሽ ቅደም ተከተል: አሃድ በማንኛውም ማዕዘን ሳይን እና ኮሳይን ካሬዎች ድምር ይተካል.
ታንጀንት እና በሳይን እና ኮሳይን በኩል የሚበከል
ታንጀንት እና ኮንቴንታንትን ከአንድ የእይታ አንግል ሳይን እና ኮሳይን ጋር የሚያገናኙ ማንነቶች እና 
ወዲያውኑ ከሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት እና ኮታንጀንት ትርጓሜዎች ይከተሉ። በእርግጥ፣ በትርጓሜ፣ ሳይን የ y ordinate ነው፣ ኮሳይን የ x abscissa ነው፣ ታንጀንት የ ordinate እና abscissa ሬሾ ነው፣ ማለትም፣ 
, እና ኮንቴይነሩ የአብሲሳ ሬሾ እና ሬንጅ ነው, ማለትም, 
.
ለማንነት ግልጽነት ምስጋና ይግባውና ታንጀንት እና ኮታንጀንት ብዙውን ጊዜ የሚገለጹት በ abcissa እና ordinate ሬሾ ሳይሆን በሳይን እና ኮሳይን ጥምርታ ነው። ስለዚህ የማዕዘን ታንጀንት የሳይኑ እና የዚህ አንግል ኮሳይን ጥምርታ ሲሆን ኮታንጀንት ደግሞ የኮሳይን እና ሳይን ጥምርታ ነው።
በዚህ አንቀፅ መደምደሚያ ላይ ማንነቶች እና በእነሱ ውስጥ የተካተቱት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ትርጉም በሚሰጡባቸው በሁሉም ማዕዘኖች ይካሄዳሉ። ስለዚህ ቀመሩ ለማንም የሚሰራ ነው፣ ካልሆነ (አለበለዚያ አካፋዩ ዜሮ ይኖረዋል፣ እና በዜሮ መከፋፈልን አልገለፅንም) እና ቀመሩ - ለሁሉም ፣ የተለየ ፣ z የት ካለ ።
በታንጀንት እና በቆሻሻ ማጠራቀሚያ መካከል ያለው ግንኙነት
የበለጠ ግልጽ ነው። ትሪግኖሜትሪክ ማንነትከቀደምት ሁለቱ ይልቅ የአንድ የቅጹ አንግል ታንጀንት እና ብክለት የሚያገናኝ መለያ ነው። . ከ፣ ውስጥ በስተቀር ለማንኛውም ማዕዘኖች እንደሚካሄድ ግልጽ ነው። አለበለዚያታንጀንት ወይም ኮታንጀንት አልተገለጸም።
የቀመር ማረጋገጫ በጣም ቀላል. በትርጉም እና ከየት 
. ማስረጃው ትንሽ ለየት ባለ መልኩ ሊከናወን ይችላል። ጀምሮ ፣ ያ 
.
ስለዚህ, ትርጉም የሚሰጡበት ተመሳሳይ ማዕዘን ታንጀንት እና ኮንቴይነንት ናቸው.