ፖሊኖሚል መፍጠር። ክፍል 1
ፋክተርላይዜሽን- ይህ ለመፍታት የሚያግዝ ሁለንተናዊ ዘዴ ነው ውስብስብ እኩልታዎችእና አለመመጣጠን. በቀኝ በኩል ዜሮ ያለበትን እኩልታ እና እኩልነት ሲፈታ ወደ አእምሮህ መምጣት ያለበት የመጀመሪያው ሀሳብ ለማስፋፋት መሞከር ነው። ግራ ጎንበማባዣዎች.
ዋናውን እንዘርዝር ፖሊኖሚል የመለኪያ መንገዶች:
- የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ውስጥ በማስቀመጥ ላይ
- አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን በመጠቀም
- በፋካሬሽን ቀመር መሠረት ኳድራቲክ ሶስትዮሽ
- የመቧደን ዘዴ
- ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ መከፋፈል
- እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶች ዘዴ
በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በመጀመሪያዎቹ ሦስት ዘዴዎች ላይ በዝርዝር እንኖራለን;
1. የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ማውጣት.
የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ለማውጣት መጀመሪያ ማግኘት አለብዎት። የጋራ ማባዣ ምክንያትየሁሉም ጥምርታዎች ከታላቁ የጋራ አካፋይ ጋር እኩል ነው።
የደብዳቤ ክፍልየጋራው ሁኔታ በእያንዳንዱ ቃል ውስጥ ከተካተቱት አገላለጾች በትንሹ አርቢ ጋር እኩል ነው።
የጋራ ብዜት የመመደብ እቅድ ይህን ይመስላል።
ትኩረት!
በቅንፍ ውስጥ ያሉት የቃላት ብዛት ከዋናው አገላለጽ ጋር እኩል ነው። ከቃላቶቹ አንዱ ከተስማማ የጋራ ምክንያት, ከዚያም በተለመደው ሁኔታ ስንካፈል አንድ እናገኛለን.
ምሳሌ 1.
ብዙ ቁጥር ያለው ምክንያት፡-
የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ውስጥ እናውጣ። ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ እናገኘዋለን.
1. ትልቁን ያግኙ የጋራ አካፋይየፖሊኖሚል ሁሉም ጥምርታዎች፣ ማለትም. ቁጥሮች 20, 35 እና 15. ከ 5 ጋር እኩል ነው.
2. ተለዋዋጩ በሁሉም ቃላቶች ውስጥ እንደያዘ እና ከጠፊዎቹ ውስጥ ትንሹ ከ 2 ጋር እኩል እንደሆነ እናረጋግጣለን.
ተለዋዋጭው በሁለተኛው ቃል ውስጥ ብቻ ነው, ስለዚህ የጋራው አካል አይደለም.
ስለዚህ አጠቃላይ ሁኔታው ነው
3. ከላይ ያለውን ሥዕላዊ መግለጫ በመጠቀም ማባዣውን ከቅንፍ አውጥተናል።
ምሳሌ 2.እኩልታውን ይፍቱ፡
መፍትሄ። የእኩልታውን ግራ ጎን እናድርገው። ነገሩን ከቅንፍ እናውጣ፡-
ስለዚህ እኩልታውን እናገኛለን 
እያንዳንዱን ሁኔታ ከዜሮ ጋር እናመሳስለው፡-
እኛ እናገኛለን - የመጀመሪያው እኩልታ ሥር.
ሥሮች፡
መልስ፡-1፣2፣4
2. አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን በመጠቀም ፋክተር ማድረግ።
በፖሊኖሚል ውስጥ የምንሰራው የቃላቶች ብዛት ከሶስት ያነሰ ወይም እኩል ከሆነ፣ አህጽሮተ-ማባዛት ቀመሮችን ተግባራዊ ለማድረግ እንሞክራለን።
1. ፖሊኖሚል ከሆነየሁለት ቃላት ልዩነት, ከዚያም ለማመልከት እንሞክራለን የካሬ ልዩነት ቀመር:
ወይም የኩብ ቀመር ልዩነት:
ደብዳቤዎቹ እነኚሁና። እና ቁጥር ወይም አልጀብራዊ አገላለጽ ያመለክታሉ።
2. ፖሊኖሚል የሁለት ቃላቶች ድምር ከሆነ ምናልባት በመጠቀም ሊገለጽ ይችላል። የኩብ ቀመሮች ድምር:
3. አንድ ፖሊኖሚል ሶስት ቃላትን ካቀፈ ፣ ከዚያ ለማመልከት እንሞክራለን። የካሬ ድምር ቀመር:
ወይም የካሬ ልዩነት ቀመር:
ወይም እኛ በፋክተር ለማድረግ እንሞክራለን። አራት ማዕዘናዊ ትራይኖሚል ለመፈጠር ቀመር:
እዚህ እና የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ናቸው 
ምሳሌ 3.አገላለጹን አስገባ፡-
መፍትሄ። የሁለት ጊዜ ድምር ከፊታችን አለን። የኩብ ድምር ቀመርን ለመተግበር እንሞክር. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ እያንዳንዱን ቃል እንደ የአንዳንድ አገላለጽ ኩብ መወከል ያስፈልግዎታል እና ከዚያ የኩባዎቹን ድምር ቀመር ይተግብሩ።
ምሳሌ 4.አገላለጹን አስገባ፡- 
ውሳኔ. እዚህ የሁለት መግለጫዎች ካሬዎች ልዩነት አለን. የመጀመሪያ አገላለጽ:, ሁለተኛ አገላለጽ:
የካሬዎችን ልዩነት ቀመር እንተገብረው፡-
ቅንፎችን እንከፍት እና ተመሳሳይ ቃላትን እንጨምር፡-
ፖሊኖሚየሎች መፈጠር ነው። የማንነት ለውጥ, በዚህ ምክንያት ፖሊኖሚል ወደ በርካታ ምክንያቶች ወደ ምርትነት ይለወጣል - ፖሊኖሚሎች ወይም ሞኖሚሎች.
ፖሊኖሚሎችን ለመለየት ብዙ መንገዶች አሉ።
ዘዴ 1. የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ማውጣት.
ይህ ለውጥ የማባዛት አከፋፋይ ህግ ላይ የተመሰረተ ነው፡ ac + bc = c(a + b)። የለውጡ ዋናው ነገር ከግምት ውስጥ ባሉት ሁለት ክፍሎች ውስጥ ያለውን የጋራ ምክንያት መለየት እና ከቅንፍ ውስጥ "ማውጣት" ነው.
ፖሊኖሚል 28x 3 - 35x 4ን እንመዝነው።
መፍትሄ።
1. ለኤለመንቶች 28x3 እና 35x4 የጋራ አካፋይ ያግኙ. ለ 28 እና 35 7 ይሆናል. ለ x 3 እና x 4 - x 3። በሌላ አገላለጽ፣ የእኛ የጋራ ሁኔታ 7x 3 ነው።
2. እያንዳንዱን ንጥረ ነገር እንደ ምክንያቶች ውጤት እንወክላለን, ከነዚህም አንዱ
7x 3፡ 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x።
3. የጋራውን ሁኔታ በቅንፍ ውስጥ እናወጣለን
7x 3፡ 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x)።
ዘዴ 2. አጠር ያሉ የማባዛት ቀመሮችን በመጠቀም። ይህንን ዘዴ የመጠቀም “ሊቃውንት” በገለፃው ውስጥ ካሉት አህጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን አንዱን ማስተዋል ነው።
ፖሊኖሚል x 6 – 1ን እንመዝን።
መፍትሄ።
1. የካሬዎች ቀመር ልዩነት በዚህ አገላለጽ ላይ ተግባራዊ ማድረግ እንችላለን. ይህንን ለማድረግ x 6ን አስቡት (x 3) 2፣ እና 1 እንደ 1 2፣ i.e. 1. አገላለጹ ቅጹን ይይዛል፡-
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1)።
2. ለተፈጠረው አገላለጽ የኩቦች ድምር እና ልዩነት ቀመርን ተግባራዊ ማድረግ እንችላለን-
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)።
ስለዚህ፣
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)
ዘዴ 3. መቧደን. የመቧደን ዘዴ የፖሊኖሚል አካላትን በማጣመር በእነሱ ላይ ክወናዎችን ለማከናወን ቀላል በሆነ መንገድ (መደመር ፣ መቀነስ ፣ የጋራ ምክንያት መቀነስ)።
ፖሊኖሚል x 3 – 3x 2 + 5x – 15ን እንይ።
መፍትሄ።
1. ክፍሎቹን በዚህ መንገድ እንቧድናቸው፡ 1ኛ ከ 2 ኛ እና 3 ኛ ከ 4 ኛ ጋር
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15)።
2. በተፈጠረው አገላለጽ, የተለመዱትን ነገሮች ከቅንፍ ውስጥ እናወጣለን-x 2 በመጀመሪያው ጉዳይ ላይ እና 5 በሁለተኛው ውስጥ.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3)።
3. የጋራ ፋክተር x - 3ን ከቅንፍ አውጥተን እናገኛለን፡-
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5)።
ስለዚህ፣
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).
ቁሳቁሱን እንጠብቅ።
ፖሊኖሚሉ ምክንያት 2 – 7ab + 12b 2።
መፍትሄ።
1. ሞኖሚል 7abን እንደ ድምር 3ab + 4ab እንወክል። መግለጫው የሚከተለውን ቅጽ ይይዛል-
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
ቅንፎችን እንከፍትና ለማግኘት፡-
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.
2. የፖሊኖሚል አካላትን በዚህ መንገድ እንቧድናቸው-1ኛ ከ 2 ኛ እና 3 ኛ ከ 4 ኛ ጋር። እናገኛለን፡-
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12ለ 2)
3. የተለመዱትን ነገሮች ከቅንፍ ውስጥ እናውጣ፡-
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b (a – 3b)።
4. የጋራውን ምክንያት (a - 3ለ) ከቅንፍ ውስጥ እናውጣ፡-
ሀ (a - 3 ለ) - 4 ለ (a - 3 ለ) = (a - 3 ለ) ∙ (ሀ - 4 ለ)
ስለዚህ፣
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (ሀ - 3 ለ) ∙ (ሀ - 4ለ)።
ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።
8 የፋክተሪንግ ፖሊኖሚሎች ምሳሌዎች ተሰጥተዋል። ኳድራቲክ እና የመፍታት ምሳሌዎችን ያካትታሉ ባለ ሁለትዮሽ እኩልታዎችየሦስተኛ እና አራተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚሎች ኢንቲጀር ስሮች ከማግኘት ጋር ምሳሌዎችን የሚያንፀባርቁ ብዙ ቁጥር ያላቸው ምሳሌዎች።
1. ኳድራቲክ እኩልታን ከመፍታት ጋር ምሳሌዎች
ምሳሌ 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
መፍትሄ
እኛ x እናወጣለን 2
ከቅንፍ ውጭ;
.
2 + x - 6 = 0:
.
የእኩልታው መነሻዎች፡-
, .
.
መልስ
ምሳሌ 1.2
የሶስተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ምክንያት;
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
መፍትሄ
xን ከቅንፍ እናውጣ፡-
.
የኳድራቲክ እኩልታ x 2 + 6 x + 9 = 0:
አድሏዊነቱ፡.
ከአድልዎ ጀምሮ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።, ከዚያም የእኩልታው ሥሮች ብዙ ናቸው:;
.
ከዚህ የፖሊኖሚል ማባዛትን እናገኛለን-
.
መልስ
ምሳሌ 1.3
የአምስተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ምክንያት፡-
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
መፍትሄ
እኛ x እናወጣለን 3
ከቅንፍ ውጭ;
.
የኳድራቲክ እኩልታ x 2 - 2 x + 10 = 0.
አድሏዊነቱ፡.
አድሏዊው ከዜሮ ያነሰ ስለሆነ, የእኩልታው ሥሮች ውስብስብ ናቸው;
, .
የፖሊኖሚል ማባዛት ቅጹ አለው፡-
.
ከእውነተኛ ቅንጅቶች ጋር ፋክተሪላይዜሽን ፍላጎት ካለን፣ እንግዲያውስ፡-
.
መልስ
ቀመሮችን በመጠቀም ፖሊኖሚሎችን የመፍጠር ምሳሌዎች
የሁለት-ኳድራቲክ ፖሊኖሚሎች ምሳሌዎች
ምሳሌ 2.1
የሁለትዮሽ ፖሊኖሚል ምክንያት
x 4 + x 2 - 20.
መፍትሄ
ቀመሮቹን እንተገብረው፡-
ሀ 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ሀ 2 - b 2 = (a - ለ) (a + ለ).
;
.
መልስ
ምሳሌ 2.2
ወደ ሁለትዮሽነት የሚቀንስ ፖሊኖሚል ምክንያት፡-
x 8 + x 4 + 1.
መፍትሄ
ቀመሮቹን እንተገብረው፡-
ሀ 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ሀ 2 - b 2 = (a - ለ) (a + ለ):
;
;
.
መልስ
ምሳሌ 2.3 ከአንጸባራቂ ፖሊኖሚል ጋር
አንጸባራቂ ፖሊኖሚል ምክንያት፡
.
መፍትሄ
ተገላቢጦሽ ፖሊኖሚል ያልተለመደ ዲግሪ አለው። ስለዚህ ሥር አለው x = - 1
. ፖሊኖሚሉን በ x - ይከፋፍሉት (-1) = x + 1. በውጤቱም እኛ እናገኛለን:
.
ምትክ እንሥራ፡-
, ;
;
;
.
መልስ
የኢንቲጀር ስሮች ያላቸው ፖሊኖሚሎችን የማባዛት ምሳሌዎች
ምሳሌ 3.1
ብዙ ቁጥር ያለው ምክንያት፡-
.
መፍትሄ
ሒሳብ እንውሰድ
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6· (-6) 2 + 11· (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6· (-3) 2 + 11· (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6· (-2) 2 + 11· (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6· (-1) 2 + 11· (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
ስለዚህ ፣ ሶስት ሥሮችን አገኘን-
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
የመጀመሪያው ፖሊኖሚል የሶስተኛ ደረጃ ስለሆነ ከሶስት ሥሮች ያልበለጠ ነው. ሶስት ሥሮች ስላገኘን ቀላል ናቸው. ከዚያም
.
መልስ
ምሳሌ 3.2
ብዙ ቁጥር ያለው ምክንያት፡-
.
መፍትሄ
ሒሳብ እንውሰድ
ቢያንስ አንድ አለው ሙሉ ሥር. ከዚያም የቁጥር አካፋይ ነው 2
(ያለ x አባል)። ማለትም ፣ አጠቃላይ ሥሩ ከቁጥሮች ውስጥ አንዱ ሊሆን ይችላል-
-2, -1, 1, 2
.
እነዚህን እሴቶች አንድ በአንድ እንተካቸዋለን፡-
(-2) 4 + 2· (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4· (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2· (-1) 3 + 3· (-1) 3 + 4· (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
ይህ እኩልታ የኢንቲጀር ሥር አለው ብለን ከወሰድን የቁጥር አካፋይ ነው። 2
(ያለ x አባል)። ማለትም ፣ አጠቃላይ ሥሩ ከቁጥሮች ውስጥ አንዱ ሊሆን ይችላል-
1, 2, -1, -2
.
x = እንተካ -1
:
.
ስለዚህ፣ ሌላ ስርወ x አግኝተናል 2
= -1
. ልክ እንደበፊቱ ሁኔታ፣ ፖሊኖሚሉን በ መከፋፈል ይቻል ነበር፣ ግን ውሎቹን እንቧድናቸዋለን፡-
.
ከሒሳብ x 2 + 2 = 0 የለውም እውነተኛ ሥሮች, ከዚያም የፖሊኖሚል ማባዛት ቅጹ አለው.
ምርት ለማግኘት ፖሊኖሚሎችን ማስፋፋት አንዳንድ ጊዜ ግራ የሚያጋባ ሊመስል ይችላል። ግን ሂደቱን ደረጃ በደረጃ ከተረዱት ያን ያህል አስቸጋሪ አይደለም. ጽሁፉ የኳድራቲክ ትሪኖሚል እንዴት እንደሚወሰን በዝርዝር ይገልጻል።
ብዙ ሰዎች የካሬ ትሪኖሚል እንዴት እንደሆነ አይረዱም፣ እና ይህ ለምን እንደተደረገ። መጀመሪያ ላይ ከንቱ የአካል ብቃት እንቅስቃሴ ሊመስል ይችላል። ነገር ግን በሂሳብ ምንም ነገር ለከንቱ አይደረግም. ለውጡ አገላለጽ እና ቀላል ስሌትን ለማቃለል አስፈላጊ ነው.
የቅጹ ብዙ ቁጥር - ax²+bx+c፣ ኳድራቲክ ትሪኖሚል ይባላል።"ሀ" የሚለው ቃል አሉታዊ ወይም አወንታዊ መሆን አለበት። በተግባር ይህ አገላለጽ ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል። ስለዚህ, አንዳንድ ጊዜ በተለየ መንገድ ይላሉ-አራት ማዕዘን እኩልታ እንዴት እንደሚሰፋ.
የሚስብ!ፖሊኖሚል ካሬ ተብሎ የሚጠራው በእሱ ምክንያት ነው። በከፍተኛ መጠን- ካሬ. እና ሶስትዮሽ - በ 3 ክፍሎች ምክንያት.
አንዳንድ ሌሎች የፖሊኖሚል ዓይነቶች፡-
- መስመራዊ ሁለትዮሽ (6x+8);
- ኪዩቢክ ኳድሪኖሚል (x³+4x²-2x+9)።
ባለአራት ትሪኖሚል ምክንያት
በመጀመሪያ ፣ አገላለጹ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ ከዚያ የ x1 እና x2 ሥሮቹን እሴቶች ማግኘት ያስፈልግዎታል። ሥሮች ላይኖር ይችላል, አንድ ወይም ሁለት ሥሮች ሊኖሩ ይችላሉ. ስሮች መኖራቸው የሚወሰነው በአድሎአዊነት ነው. ቀመሩን በልብ ማወቅ አለብህ፡ D=b²-4ac።
ውጤቱ ዲ አሉታዊ ከሆነ, ምንም ሥሮች የሉም. አዎንታዊ ከሆነ, ሁለት ሥሮች አሉ. ውጤቱ ዜሮ ከሆነ, ሥሩ አንድ ነው. ሥሮቹም ቀመሩን በመጠቀም ይሰላሉ.
አድሏዊውን ሲያሰሉ ውጤቱ ዜሮ ከሆነ ማንኛውንም ቀመሮችን መጠቀም ይችላሉ። በተግባር, ቀመሩ በቀላሉ አጭር ነው: -b / 2a.
ቀመሮች ለ የተለያዩ ትርጉሞችአድልዎ ይለያያሉ።
ዲ አዎንታዊ ከሆነ፡-
D ዜሮ ከሆነ፡-
የመስመር ላይ አስሊዎች
በይነመረብ ላይ አለ። የመስመር ላይ ማስያ. ፋክታላይዜሽን ለማከናወን ሊያገለግል ይችላል። አንዳንድ መገልገያዎች መፍትሄውን ደረጃ በደረጃ ለማየት እድሉን ይሰጣሉ. እንደነዚህ ያሉ አገልግሎቶች ርዕሱን በተሻለ ለመረዳት ይረዳሉ, ነገር ግን በደንብ ለመረዳት መሞከር ያስፈልግዎታል.
ጠቃሚ ቪዲዮ፡ ባለ አራት ማዕዘናት ትሪኖሚል መፈጠር
ምሳሌዎች
እንድትመለከቱ ጋብዘናል። ቀላል ምሳሌዎችኳድራቲክ እኩልታ እንዴት እንደሚሰላ።
ምሳሌ 1
ይህ በግልጽ የሚያሳየው ውጤቱ ሁለት x ነው ምክንያቱም ዲ አዎንታዊ ነው። በቀመር ውስጥ መተካት አለባቸው. ሥሮቹ ወደ አሉታዊነት ከተቀየሩ, በቀመር ውስጥ ያለው ምልክት ወደ ተቃራኒው ይለወጣል.
ባለ አራት ማዕዘናት ትሪኖሚል ለመፈጠር ቀመርን እናውቃለን፡ a(x-x1)(x-x2)። እሴቶቹን በቅንፍ ውስጥ እናስቀምጣለን: (x+3) (x+2/3)። በኃይል ውስጥ ካለው ቃል በፊት ምንም ቁጥር የለም. ይህ ማለት እዚያ አለ, ይወርዳል.
ምሳሌ 2
ይህ ምሳሌ አንድ ሥር ያለው እኩልታ እንዴት እንደሚፈታ በግልፅ ያሳያል።
የተገኘውን እሴት እንተካለን-
ምሳሌ 3
የተሰጠው፡ 5x²+3x+7
በመጀመሪያ፣ እንደቀደሙት ጉዳዮች አድሎአዊውን እናሰላው።
መ = 9-4 * 5 * 7 = 9-140 = -131.
አድልዎ አሉታዊ ነው, ይህም ማለት ሥሮች የሉም.
ውጤቱን ከተቀበሉ በኋላ ቅንፎችን መክፈት እና ውጤቱን ማረጋገጥ አለብዎት. ዋናው ሶስትዮሽ መታየት አለበት.
አማራጭ መፍትሔ
አንዳንድ ሰዎች ከአድልዎ ጋር ጓደኝነት መመሥረት ፈጽሞ አልቻሉም። ኳድራቲክ ትሪኖሚል የሚሠራበት ሌላ መንገድ አለ። ለመመቻቸት, ዘዴው በምሳሌ ይታያል.
የተሰጠው፡ x²+3x-10
2 ቅንፎችን ማግኘት እንዳለብን እናውቃለን፡(_)(_)። አገላለጹ ይህን ይመስላል፡- x²+bx+c፣ በእያንዳንዱ ቅንፍ መጀመሪያ ላይ x: (x_)(x_) እናስቀምጣለን። የተቀሩት ሁለት ቁጥሮች "ሐ" የሚሰጡ ምርቶች ናቸው, ማለትም በዚህ ሁኔታ -10. እነዚህ ቁጥሮች ምን እንደሆኑ ለማወቅ ብቸኛው መንገድ በመምረጥ ነው. የተተኩት ቁጥሮች ከቀሪው ቃል ጋር መዛመድ አለባቸው።
ለምሳሌ ማባዛት። የሚከተሉት ቁጥሮችይሰጣል -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10። አይ.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10። አይ.
- (x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10። አይ.
- (x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10። የሚመጥን
ይህ ማለት የ x2+3x-10 አገላለጽ ለውጥ ይህን ይመስላል፡(x-2)(x+5)።
አስፈላጊ!ምልክቶቹ ግራ እንዳይጋቡ መጠንቀቅ አለብዎት.
ውስብስብ የሶስትዮሽ መስፋፋት
ከሆነ" ከአንድ በላይ, ችግሮች ይጀምራሉ. ነገር ግን ሁሉም ነገር የሚመስለውን ያህል አስቸጋሪ አይደለም.
ፋብሪካን ለመሥራት መጀመሪያ የሆነ ነገር ሊገለጽ ይችል እንደሆነ ማየት ያስፈልግዎታል።
ለምሳሌ፡- 3x²+9x-30 የሚለውን አገላለጽ ተሰጥቷል። እዚህ ቁጥር 3 ከቅንፍ ወጥቷል፡
3(x²+3x-10)። ውጤቱ ቀድሞውኑ የታወቀው ትሪኖሚል ነው. መልሱ ይህን ይመስላል፡ 3(x-2)(x+5)
በካሬው ውስጥ ያለው ቃል አሉታዊ ከሆነ እንዴት መበስበስ ይቻላል? ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይቁጥሩ -1 ከቅንፍ ውስጥ ይወሰዳል. ለምሳሌ፡- -x²-10x-8። ከዚያም አገላለጹ ይህን ይመስላል፡-
መርሃግብሩ ከቀዳሚው ትንሽ የተለየ ነው። ጥቂት አዳዲስ ነገሮች ብቻ አሉ። አገላለጹ ተሰጥቷል እንበል፡ 2x²+7x+3። መልሱ በ(_)(_) መሞላት በሚያስፈልጋቸው 2 ቅንፎች ተጽፏል። በ 2 ኛ ቅንፍ x ተጽፏል, በ 1 ኛ ደግሞ የቀረው. ይህን ይመስላል፡ (2x_)(x_)። አለበለዚያ የቀደመው እቅድ ይደገማል.
ቁጥር 3 በቁጥር ይሰጣል፡-
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
እነዚህን ቁጥሮች በመተካት እኩልታዎችን እንፈታለን። የሚመጥን የመጨረሻው አማራጭ. ይህ ማለት የ2x²+7x+3 አገላለጽ ለውጥ ይህን ይመስላል፡(2x+1)(x+3)።
ሌሎች ጉዳዮች
አገላለጽ ሁልጊዜ መለወጥ አይቻልም። በሁለተኛው ዘዴ, እኩልታውን መፍታት አያስፈልግም. ነገር ግን ውሎችን ወደ ምርት የመቀየር እድሉ በአድሎው በኩል ብቻ ነው የሚመረመረው።
ለመወሰን ልምምድ ማድረግ ተገቢ ነው ኳድራቲክ እኩልታዎችቀመሮችን ሲጠቀሙ ምንም ችግሮች እንዳይኖሩ.
ጠቃሚ ቪዲዮ፡- ትሪኖሚል ማድረግ
ማጠቃለያ
በማንኛውም መንገድ ሊጠቀሙበት ይችላሉ. ነገር ግን ሁለቱም አውቶማቲክ እስኪሆኑ ድረስ መለማመዱ የተሻለ ነው. እንዲሁም ህይወታቸውን ከሂሳብ ጋር ለማገናኘት ላሰቡት ባለአራት እኩልታዎችን እና ፋክተር ፖሊኖሚሎችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ መማር አስፈላጊ ነው። ሁሉም የሚከተሉት የሂሳብ ርእሶች የተገነቡት በዚህ ላይ ነው።
በአልጀብራ ውስጥ የ “ፖሊኖሚል” እና “ፖሊኖሚል መፈጠር” ፅንሰ-ሀሳቦች ብዙ ጊዜ ያጋጥሟቸዋል ፣ ምክንያቱም በቀላሉ በትላልቅ ስሌቶች ለማካሄድ እነሱን ማወቅ ያስፈልግዎታል። ባለብዙ-አሃዝ ቁጥሮች. ይህ ጽሑፍ በርካታ የመበስበስ ዘዴዎችን ይገልፃል. ሁሉም ለመጠቀም በጣም ቀላል ናቸው ለእያንዳንዱ ጉዳይ ትክክለኛውን መምረጥ ያስፈልግዎታል.
የፖሊኖሚል ጽንሰ-ሐሳብ
ፖሊኖሚል የአንድ ሞኖሚሎች ድምር ነው፣ ማለትም፣ የማባዛት ሥራን ብቻ የያዙ መግለጫዎች።
ለምሳሌ, 2 * x * y monomial ነው, ነገር ግን 2 * x * y + 25 ፖሊኖሚል ነው 2 monomials: 2 * x * y እና 25. እንደዚህ ያሉ ፖሊኖሚሎች ቢኖሚሎች ይባላሉ.
አንዳንድ ጊዜ ምሳሌዎችን ለመፍታት ምቾት ብዙ ዋጋ ያላቸው ትርጉሞችአገላለጹ መለወጥ አለበት ፣ ለምሳሌ ፣ ወደ የተወሰኑ ምክንያቶች መበስበስ ፣ ማለትም ፣ ቁጥሮች ወይም መግለጫዎች የማባዛት እርምጃ የሚከናወነው። ፖሊኖሚልን ለመለካት ብዙ መንገዶች አሉ። በመጀመሪያ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ ጥቅም ላይ ከሚውሉት በጣም ጥንታዊው ጀምሮ እነሱን ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው።
መቧደን (በአጠቃላይ መዝገብ)
የመቧደን ዘዴን በመጠቀም ፖሊኖሚል ለመፍጠር ፎርሙላ አጠቃላይ እይታይህን ይመስላል፡-
ac + bd + bc + ማስታወቂያ = (ac + bc) + (ማስታወቂያ + bd)
እያንዳንዱ ቡድን አንድ የጋራ ምክንያት እንዲኖረው ሞኖሚሎችን ማቧደን አስፈላጊ ነው. በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ ይህ ምክንያት ሐ ነው, እና በሁለተኛው - መ. ይህ ከቅንፉ ውስጥ ለማስወጣት ይህ መደረግ አለበት, በዚህም ስሌቶችን ቀላል ያደርገዋል.
የተወሰነ ምሳሌ በመጠቀም የመበስበስ አልጎሪዝም
የመቧደን ዘዴን በመጠቀም ፖሊኖሚል የመፍጠር ቀላሉ ምሳሌ ከዚህ በታች ቀርቧል።
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ ቃላቶቹን ከቁጥር ሀ ጋር መውሰድ ያስፈልግዎታል, ይህም የተለመደ ይሆናል, እና በሁለተኛው ውስጥ - ከፋይል ለ. በተጠናቀቀው አገላለጽ ላይ ለ + እና - ምልክቶች ትኩረት ይስጡ. በመነሻ አገላለጽ ውስጥ ያለውን ምልክት ከ monomial ፊት ለፊት አስቀመጥን. ያም ማለት በ 25a አገላለጽ ሳይሆን በ -25 አገላለጽ መስራት ያስፈልግዎታል. የመቀነስ ምልክቱ ከጀርባው ባለው አገላለጽ ላይ "የተጣበቀ" ይመስላል እና ሁልጊዜ ሲሰላ ግምት ውስጥ ይገባል.
በርቷል ቀጣዩ ደረጃፋክተሩን ፣ የተለመደውን ፣ ከቅንፍ ውስጥ መውሰድ ያስፈልግዎታል ። መቧደኑም ለዚህ ነው። ከቅንፉ ውጭ ማስቀመጥ ማለት በቅንፍ ውስጥ ባሉት ቃላቶች ሁሉ በትክክል የሚደጋገሙትን ሁሉንም ነገሮች ከማቀፊያው በፊት መፃፍ ማለት ነው። በቅንፍ ውስጥ 2 ካልሆነ ግን 3 ወይም ከዚያ በላይ ቃላቶች ከሌሉ የተለመደው ነገር በእያንዳንዳቸው ውስጥ መያዝ አለበት, አለበለዚያ ከቅንፉ ውስጥ ሊወጣ አይችልም.
በእኛ ሁኔታ በቅንፍ ውስጥ 2 ውሎች ብቻ አሉ። አጠቃላይ ብዜት ወዲያውኑ ይታያል. በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ a ነው, በሁለተኛው ውስጥ ለ. እዚህ ለዲጂታል ቅንጅቶች ትኩረት መስጠት አለብዎት. በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ ሁለቱም ውህዶች (10 እና 25) የ 5 ብዜቶች ናቸው. ይህ ማለት a ብቻ ሳይሆን 5a ደግሞ ከቅንፉ ውስጥ ሊወጣ ይችላል. ከቅንፉ በፊት 5a ን ይፃፉ እና እያንዳንዱን ቃላቶች በቅንፍ ውስጥ በተወሰደው የጋራ ሁኔታ ይከፋፍሏቸው እና እንዲሁም ምልክቱን + ሳይረሱ በቅንፍ ውስጥ ይፃፉ እና - በሁለተኛው ቅንፍ ተመሳሳይ ያድርጉት ፣ ይውሰዱት። ከ7 ለ፣ እንዲሁም 14 እና 35 ብዜት ከ7።
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b(2c - 5)።
2 ውሎች አግኝተናል፡ 5a(2c - 5) እና 7b(2c - 5)። እያንዳንዳቸው አንድ የተለመደ ነገር ይይዛሉ (በቅንፍ ውስጥ ያለው አጠቃላይ መግለጫ እዚህ አንድ ነው, ይህም ማለት የተለመደ ምክንያት ነው): 2c - 5. እንዲሁም ከቅንፉ ውስጥ ማውጣት ያስፈልገዋል, ማለትም, ውሎች 5a እና 7b ይቀራሉ. በሁለተኛው ቅንፍ ውስጥ;
5a (2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)።
ስለዚህ ሙሉ መግለጫው የሚከተለው ነው-
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)።
ስለዚህ, ፖሊኖሚል 10ac + 14bc - 25a - 35b በ 2 ምክንያቶች ተበላሽቷል: (2c - 5) እና (5a + 7b). በሚጽፉበት ጊዜ በመካከላቸው ያለው የማባዛት ምልክት ሊቀር ይችላል
አንዳንድ ጊዜ እንደዚህ አይነት አገላለጾች ያጋጥሙዎታል፡ 5a 2 + 50a 3፣ እዚህ ላይ ሀ ወይም 5a ብቻ ሳይሆን 5a 2ንም ጭምር ከቅንፍ ማውጣት ይችላሉ። ሁልጊዜ ትልቁን የጋራ ምክንያት ከቅንፉ ውስጥ ለማውጣት መሞከር አለብዎት. በእኛ ሁኔታ፣ እያንዳንዱን ቃል በጋራ ምክንያት ከከፈልን፣ እናገኘዋለን፡-
5a 2/5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(የበርካታ ኃይሎችን ጥቅስ ሲያሰላ እኩል ነው።መሰረቱ ተጠብቆ እና አርቢው ተቀንሷል)። ስለዚህ ክፍሉ በቅንፍ ውስጥ ይቆያል (በምንም ሁኔታ ከቃላቶቹ ውስጥ አንዱን ከቅንፉ ውስጥ ካወጡት አንድ መፃፍ አይረሱም) እና የመከፋፈል ጥቅሱ 10 ሀ. እንዲህ ሆነ።
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
የካሬ ቀመሮች
ለማስላት ቀላልነት, በርካታ ቀመሮች ተወስደዋል. እነዚህ አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮች ይባላሉ እና ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ። እነዚህ ቀመሮች ዲግሪዎችን የያዙ ፖሊኖማሎችን ይረዳሉ። ይህ ሌላ ነው። ውጤታማ መንገድፋክተሬሽን. ስለዚህ እነዚህ ናቸው፡-
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -“የድምሩ ስኩዌር” ተብሎ የሚጠራ ቀመር ፣ ወደ ካሬ በመበላሸቱ ምክንያት ፣ በቅንፍ ውስጥ የተካተቱት የቁጥሮች ድምር ይወሰዳል ፣ ማለትም ፣ የዚህ ድምር ዋጋ በራሱ 2 ጊዜ ተባዝቷል ፣ እና ስለሆነም ማባዛት.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - ለ) 2 - የልዩነቱ ካሬ ቀመር ፣ ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው። ውጤቱም ልዩነት, በቅንፍ ውስጥ ተዘግቷል, በካሬው ኃይል ውስጥ ይገኛል.
- a 2 - b 2 = (a + b) (a - ለ)- ይህ የካሬዎች ልዩነት ቀመር ነው ፣ ምክንያቱም በመጀመሪያ ፖሊኖሚሉ 2 ካሬ ቁጥሮች ወይም መግለጫዎች ያቀፈ ሲሆን በመካከላቸው መቀነስ ይከናወናል። ምናልባትም, ከተጠቀሱት ሦስቱ, ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.
የካሬ ቀመሮችን በመጠቀም ለስሌቶች ምሳሌዎች
ለእነሱ ስሌቶች በጣም ቀላል ናቸው. ለምሳሌ:
- 25x2 + 20xy + 4y 2 - "የድምሩ ካሬ" የሚለውን ቀመር ይጠቀሙ.
- 25x 2 የ5x ካሬ ነው። 20xy የ2*(5x*2y) ድርብ ምርት ሲሆን 4y 2 ደግሞ የ2y ካሬ ነው።
- ስለዚህም 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y)። ይህ ብዙ ቁጥር ያለውበ 2 ምክንያቶች የተከፋፈለ ነው (ምክንያቶቹ ተመሳሳይ ናቸው, ስለዚህም በካሬ ኃይል እንደ መግለጫ ተጽፏል).
የካሬው ልዩነት ቀመር በመጠቀም ድርጊቶች የሚከናወኑት በተመሳሳይ መልኩ ነው. የቀረው ቀመር የካሬዎች ልዩነት ነው. የዚህ ቀመር ምሳሌዎች ከሌሎች አገላለጾች መካከል ለመለየት እና ለማግኘት በጣም ቀላል ናቸው። ለምሳሌ:
- 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20)። ከ 25a 2 = (5a) 2 እና 400 = 20 2 ጀምሮ
- 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y)። ከ 36x 2 = (6x) 2፣ እና 25y 2 = (5y 2) ጀምሮ
- ሐ 2 - 169 ለ 2 = (ሐ - 13 ለ) (ሐ + 13 ለ)። ከ 169 ለ 2 = (13 ለ) 2
እያንዳንዱ ቃላቶች የአንዳንድ አገላለጾች ካሬ መሆናቸው አስፈላጊ ነው። ከዚያም ይህ ፖሊኖሚል በካሬዎች ቀመር ልዩነት በመጠቀም መፈጠር አለበት. ለዚህም, ሁለተኛው ዲግሪ ከቁጥሩ በላይ መሆን አስፈላጊ አይደለም. የያዙ ፖሊኖሚሎች አሉ። ትልቅ ዲግሪዎች, ግን አሁንም ለእነዚህ ቀመሮች ተስማሚ ነው.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
ውስጥ በዚህ ምሳሌእና 8 እንደ (ሀ 4) 2፣ ማለትም የአንድ የተወሰነ አገላለጽ ካሬ ሊወከል ይችላል። 25 5 2 ነው፣ እና 10a 4 ነው። - ይህ የ 2 * a 4 * 5 ድርብ ውጤት ነው። ያውና ይህ አገላለጽ, ትላልቅ ገላጭ ያላቸው ዲግሪዎች ቢኖሩም, ከነሱ ጋር አብሮ ለመስራት በ 2 ምክንያቶች ሊበላሽ ይችላል.
የኩብ ቀመሮች
ኩቦችን የያዙ ፖሊኖሚሎችን ለመፈጠር ተመሳሳይ ቀመሮች አሉ። ካሬ ካላቸው ይልቅ ትንሽ የተወሳሰቡ ናቸው፡-
- a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ይህ ቀመር ከ ውስጥ ጀምሮ የኩቦች ድምር ተብሎ ይጠራል የመጀመሪያ ቅጽፖሊኖሚል የሁለት አባባሎች ወይም የቁጥሮች ድምር ነው።
- a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ የሆነ ቀመር እንደ ኩቦች ልዩነት ተወስኗል።
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - የአንድ ድምር ኩብ ፣ በስሌቶች ምክንያት ፣ የቁጥሮች ወይም መግለጫዎች ድምር በቅንፍ ውስጥ ተዘግቷል እና በራሱ 3 ጊዜ ተባዝቷል ፣ ማለትም ፣ በኩብ ውስጥ ይገኛል
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -ከቀዳሚው ጋር በማመሳሰል የተጠናቀረ ቀመር አንዳንድ ምልክቶች ብቻ ተለውጠዋል የሂሳብ ስራዎች(ሲደመር እና ሲቀነስ)፣ “ልዩነት ኪዩብ” የሚል ስም አለው።
የመጨረሻዎቹ ሁለቱ ቀመሮች ውስብስብ ስለሆኑ ፖሊኖሚል ለመመስረት ጥቅም ላይ አይውሉም ፣ እና እነዚህን ቀመሮች በመጠቀም ሊመረመሩ የሚችሉ ፖሊኖሚሎችን በትክክል ከዚህ መዋቅር ጋር የሚዛመዱ ፖሊኖሚሎችን ማግኘት በጣም አልፎ አልፎ ነው። ነገር ግን ወደ ውስጥ በሚገቡበት ጊዜ ስለሚፈለጉ አሁንም ልታውቃቸው ይገባል። የተገላቢጦሽ አቅጣጫ- ቅንፍ ሲከፈት.
በኩብ ቀመሮች ላይ ምሳሌዎች
አንድ ምሳሌ እንመልከት፡- 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a-2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2) ).
በጣም ቀላል ቁጥሮች እዚህ ተወስደዋል, ስለዚህ ወዲያውኑ 64a 3 (4a) 3, እና 8b 3 (2ለ) 3 መሆኑን ማየት ይችላሉ. ስለዚህ, ይህ ፖሊኖሚል እንደ ኩቦች ቀመር ልዩነት ወደ 2 ምክንያቶች ይሰፋል. የኩብ ድምር ቀመርን በመጠቀም ድርጊቶች በአናሎግ ይከናወናሉ.
ሁሉም ፖሊኖሚሎች ቢያንስ በአንድ መንገድ ሊሰፉ እንደማይችሉ መረዳት በጣም አስፈላጊ ነው. ነገር ግን ከካሬ ወይም ከኩብ የሚበልጡ ሀይሎችን የያዙ አገላለጾች አሉ ነገር ግን ወደ አህጽሮተ ማባዛት ቅጾች ሊሰፉ ይችላሉ። ለምሳሌ፡- x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5ይ) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 - x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4+5y) ( x 8 - 5x 4 y + 25y 2)።
ይህ ምሳሌ እስከ 12 ዲግሪዎች ድረስ ይዟል. ነገር ግን እንኳን የኩብ ፎርሙላ ድምርን በመጠቀም ሊሰራ ይችላል። ይህንን ለማድረግ, x 12 እንደ (x 4) 3, ማለትም, እንደ አንዳንድ አገላለጾች ኩብ ማሰብ ያስፈልግዎታል. አሁን፣ ከሀ ይልቅ፣ በቀመር ውስጥ መተካት አለብህ። ደህና፣ 125y 3 የሚለው አገላለጽ የ5y ኩብ ነው። በመቀጠልም ቀመሩን በመጠቀም ምርቱን ማዘጋጀት እና ስሌቶችን ማከናወን ያስፈልግዎታል.
በመጀመሪያ ወይም በጥርጣሬ, ሁልጊዜ ማረጋገጥ ይችላሉ የተገላቢጦሽ ማባዛት. በውጤቱ አገላለጽ ውስጥ ቅንፎችን መክፈት እና ድርጊቶቹን ማከናወን ብቻ ያስፈልግዎታል ተመሳሳይ ቃላት. ይህ ዘዴ በተዘረዘሩት ሁሉም የመቀነሻ ዘዴዎች ላይ ተፈፃሚ ይሆናል-ሁለቱም በጋራ ምክንያት እና በቡድን ለመስራት እና በኩብስ እና ባለአራት ሀይሎች ቀመሮች ለመስራት።