Cách giải phương trình hữu tỉ phân số. phương trình hữu tỉ

Chúng tôi đã học cách giải quyết phương trình bậc hai. Bây giờ hãy mở rộng các phương pháp đã nghiên cứu sang các phương trình hữu tỉ.

Một biểu hiện hợp lý là gì? Chúng tôi đã gặp phải khái niệm này. biểu thức hợp lý là các biểu thức được tạo thành từ các số, biến, lũy thừa và ký hiệu của các phép toán.

Theo đó, phương trình hữu tỉ là phương trình có dạng: , trong đó - biểu thức hợp lý.

Trước đây, chúng ta chỉ xem xét những phương trình hữu tỉ có thể rút gọn thành phương trình tuyến tính. Bây giờ chúng ta hãy xem xét những phương trình hữu tỉ có thể rút gọn thành phương trình bậc hai.

Ví dụ 1

Giải phương trình: .

Giải pháp:

Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó bằng 0 và mẫu số của nó không bằng 0.

Chúng tôi nhận được hệ thống sau:

Phương trình đầu tiên của hệ thống là phương trình bậc hai. Trước khi giải nó, hãy chia tất cả các hệ số của nó cho 3. Chúng ta có:

Chúng ta có hai gốc: ; .

Vì 2 không bao giờ bằng 0 nên phải thỏa mãn hai điều kiện: . Vì không có nghiệm nào của phương trình thu được ở trên trùng với giá trị không hợp lệ các biến thu được bằng cách giải bất đẳng thức thứ hai, chúng đều là nghiệm phương trình đã cho.

Trả lời:.

Vì vậy, hãy xây dựng một thuật toán để giải phương trình hữu tỉ:

1. Chuyển tất cả các điều khoản sang bên trái, sao cho vế phải bằng 0.

2. Biến đổi và rút gọn vế trái, rút ​​gọn tất cả các phân số thành mẫu số chung.

3. Đánh đồng phân số thu được bằng 0 bằng thuật toán sau: .

4. Viết các nghiệm thu được trong phương trình thứ nhất và thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai trong đáp án.

Hãy xem một ví dụ khác.

Ví dụ 2

Giải phương trình: .

Giải pháp

Ngay từ đầu, hãy chuyển tất cả các điều khoản sang bên trái, sao cho số 0 vẫn ở bên phải.

Bây giờ hãy đưa vế trái của phương trình về mẫu số chung:

Phương trình này tương đương với hệ:

Phương trình đầu tiên của hệ thống là phương trình bậc hai.

Các hệ số của phương trình này: . Chúng tôi tính toán sự phân biệt:

Chúng ta có hai gốc: ; .

Bây giờ chúng ta hãy giải bất đẳng thức thứ hai: tích của các thừa số không bằng 0 khi và chỉ khi không có thừa số nào bằng 0.

Hai điều kiện phải được đáp ứng: . Ta thấy rằng trong hai nghiệm của phương trình thứ nhất chỉ có một nghiệm phù hợp - 3.

Trả lời:.

Trong bài học này, chúng ta đã nhớ biểu thức hữu tỉ là gì, đồng thời cũng học cách giải các phương trình hữu tỉ, đưa chúng về phương trình bậc hai.

Trong bài học tiếp theo, chúng ta sẽ xem các phương trình hữu tỉ như mô hình của các tình huống thực tế, đồng thời cũng xem xét các bài toán chuyển động.

Tài liệu tham khảo

  1. Bashmak M.I. Đại số, lớp 8. - M.: Giáo dục, 2004.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. và những thứ khác. Đại số, 8. tái bản lần thứ 5. - M.: Giáo dục, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Đại số, lớp 8. Hướng dẫn cho cơ sở giáo dục. - M.: Giáo dục, 2006.
  1. Lễ hội ý tưởng sư phạm "Mở bài học" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

bài tập về nhà

Chúng ta đã học cách giải phương trình bậc hai. Bây giờ hãy mở rộng các phương pháp đã nghiên cứu sang các phương trình hữu tỉ.

Một biểu hiện hợp lý là gì? Chúng tôi đã gặp phải khái niệm này. biểu thức hợp lý là các biểu thức được tạo thành từ các số, biến, lũy thừa và ký hiệu của các phép toán.

Theo đó, phương trình hữu tỉ là phương trình có dạng: , trong đó - biểu thức hợp lý.

Trước đây, chúng ta chỉ xem xét những phương trình hữu tỉ có thể rút gọn thành phương trình tuyến tính. Bây giờ chúng ta hãy xem xét những phương trình hữu tỉ có thể rút gọn thành phương trình bậc hai.

Ví dụ 1

Giải phương trình: .

Giải pháp:

Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó bằng 0 và mẫu số của nó không bằng 0.

Chúng tôi nhận được hệ thống sau:

Phương trình đầu tiên của hệ thống là phương trình bậc hai. Trước khi giải nó, hãy chia tất cả các hệ số của nó cho 3. Chúng ta có:

Chúng ta có hai gốc: ; .

Vì 2 không bao giờ bằng 0 nên phải thỏa mãn hai điều kiện: . Vì không có nghiệm nào của phương trình thu được ở trên trùng với các giá trị không hợp lệ của biến thu được khi giải bất đẳng thức thứ hai nên cả hai đều là nghiệm của phương trình này.

Trả lời:.

Vì vậy, hãy xây dựng một thuật toán để giải phương trình hữu tỉ:

1. Di chuyển tất cả các số hạng sang vế trái sao cho vế phải có kết thúc bằng 0.

2. Biến đổi và rút gọn vế trái, đưa tất cả các phân số về mẫu số chung.

3. Đánh đồng phân số thu được bằng 0 bằng thuật toán sau: .

4. Viết các nghiệm thu được trong phương trình thứ nhất và thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai trong đáp án.

Hãy xem một ví dụ khác.

Ví dụ 2

Giải phương trình: .

Giải pháp

Lúc đầu, chúng ta di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái sao cho số 0 vẫn ở bên phải.

Bây giờ hãy đưa vế trái của phương trình về mẫu số chung:

Phương trình này tương đương với hệ:

Phương trình đầu tiên của hệ thống là phương trình bậc hai.

Các hệ số của phương trình này: . Chúng tôi tính toán sự phân biệt:

Chúng ta có hai gốc: ; .

Bây giờ chúng ta hãy giải bất đẳng thức thứ hai: tích của các thừa số không bằng 0 khi và chỉ khi không có thừa số nào bằng 0.

Hai điều kiện phải được đáp ứng: . Ta thấy rằng trong hai nghiệm của phương trình thứ nhất chỉ có một nghiệm phù hợp - 3.

Trả lời:.

Trong bài học này, chúng ta đã nhớ biểu thức hữu tỉ là gì, đồng thời cũng học cách giải các phương trình hữu tỉ, đưa chúng về phương trình bậc hai.

Trong bài học tiếp theo, chúng ta sẽ xem các phương trình hữu tỉ như mô hình của các tình huống thực tế, đồng thời cũng xem xét các bài toán chuyển động.

Tài liệu tham khảo

  1. Bashmak M.I. Đại số, lớp 8. - M.: Giáo dục, 2004.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. và những thứ khác. Đại số, 8. tái bản lần thứ 5. - M.: Giáo dục, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Đại số, lớp 8. Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông. - M.: Giáo dục, 2006.
  1. Ngày hội tư tưởng sư phạm “Bài học mở” ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

bài tập về nhà

Mẫu số chung thấp nhất được sử dụng để đơn giản hóa phương trình này. Phương pháp này được sử dụng khi bạn không thể viết một phương trình đã cho với một biểu thức hữu tỉ ở mỗi vế của phương trình (và sử dụng phương pháp nhân chéo). Phương pháp này được sử dụng khi bạn được đưa ra một phương trình hữu tỉ có 3 phân số trở lên (trong trường hợp có hai phân số, tốt hơn nên sử dụng phép nhân chéo).

  • Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số (hoặc bội số chung nhỏ nhất). NOZ là số nhỏ nhất, chia hết cho mỗi mẫu số.

    • Đôi khi NPD là một con số hiển nhiên. Ví dụ: nếu cho phương trình: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, thì rõ ràng bội số chung nhỏ nhất của các số 3, 2 và 6 là 6.
    • Nếu NCD không rõ ràng, hãy viết bội số của mẫu số lớn nhất và tìm trong số đó một bội số của các mẫu số khác. Thông thường NOD có thể được tìm thấy bằng cách nhân hai mẫu số. Ví dụ: nếu phương trình được cho x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, thì NOS = 8*9 = 72.
    • Nếu một hoặc nhiều mẫu số chứa một biến thì quá trình sẽ trở nên phức tạp hơn một chút (nhưng không phải là không thể). Trong trường hợp này, NOC là một biểu thức (chứa một biến) được chia cho mỗi mẫu số. Ví dụ: trong phương trình 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), vì biểu thức này được chia cho mỗi mẫu số: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

  • Nhân cả tử số và mẫu số của mỗi phân số với một số bằng kết quả chia NOC cho mẫu số tương ứng của mỗi phân số.

    • Vì bạn đang nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số, nên bạn đang nhân phân số với 1 một cách hiệu quả (ví dụ: 2/2 = 1 hoặc 3/3 = 1).
    • Vì vậy, trong ví dụ của chúng ta, nhân x/3 với 2/2 để được 2x/6 và 1/2 nhân với 3/3 để được 3/6 (không cần nhân phân số 3x +1/6 vì nó mẫu số là 6).

  • Tiến hành tương tự khi biến ở mẫu số. Trong ví dụ thứ hai của chúng ta, NOZ = 3x(x-1), vậy hãy nhân 5/(x-1) với (3x)/(3x) để được 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x nhân với 3(x-1)/3(x-1) và bạn nhận được 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) nhân với (x-1)/(x-1) và bạn nhận được 2(x-1)/3x(x-1). Tìm x.

    • Bây giờ bạn đã quy đổi các phân số về mẫu số chung, bạn có thể loại bỏ mẫu số. Để làm điều này, nhân mỗi vế của phương trình với mẫu số chung. Sau đó giải phương trình thu được, tức là tìm “x”. Để làm điều này, hãy tách biến ở một vế của phương trình. Trong ví dụ của chúng ta: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Có thể cộng 2 phân số bằng cùng mẫu số
    • , do đó hãy viết phương trình dưới dạng: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Nhân cả hai vế của phương trình với 6 và loại bỏ mẫu số: 2x+3 = 3x +1. Giải và nhận được x = 2.

    • Trong ví dụ thứ hai của chúng ta (với một biến ở mẫu số), phương trình trông như sau (sau khi rút gọn về mẫu số chung): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình với N3, bạn loại bỏ mẫu số và nhận được: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), hoặc 15x = 3x - 3 + 2x -2, hoặc 15x = x - 5 Giải và nhận được: x = -5/14.

    Trình bày và bài học chuyên đề: "Phương trình hữu tỉ. Thuật toán và ví dụ giải phương trình hữu tỉ"
    Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

    Công cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 8
    Sách hướng dẫn sử dụng sách của Makarychev Yu.N. Sách hướng dẫn sử dụng sách của Mordkovich A.G.

    Giới thiệu về phương trình vô tỉ

    Các bạn ơi, chúng ta đã học cách giải phương trình bậc hai. Nhưng toán học không chỉ giới hạn ở họ. Hôm nay chúng ta sẽ học cách giải các phương trình hữu tỉ. Khái niệm phương trình hữu tỉ về nhiều mặt tương tự như khái niệm số hữu tỉ. Chỉ ngoài số, bây giờ chúng tôi đã giới thiệu một số biến $x$. Và do đó, chúng ta có được một biểu thức trong đó có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa số nguyên.

    Đặt $r(x)$ là biểu hiện hợp lý. Một biểu thức như vậy có thể là một đa thức đơn giản trong biến $x$ hoặc một tỉ số của các đa thức (một phép chia được giới thiệu, như đối với các số hữu tỷ).
    Phương trình $r(x)=0$ được gọi là phương trình hữu tỉ.
    Bất kỳ phương trình nào có dạng $p(x)=q(x)$, trong đó $p(x)$ và $q(x)$ là các biểu thức hữu tỉ, cũng sẽ là phương trình hữu tỉ.

    Hãy xem xét các ví dụ về giải phương trình hữu tỉ.

    Ví dụ 1.
    Giải phương trình: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

    Giải pháp.
    Hãy di chuyển tất cả các biểu thức sang bên trái: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
    Nếu vế trái của phương trình được biểu diễn số thường xuyên, thì chúng ta sẽ đưa hai phân số về mẫu số chung.
    Hãy làm điều này: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
    Chúng ta có phương trình: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

    Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của phân số đó bằng 0 và mẫu số khác 0. Sau đó, chúng ta đánh đồng tử số bằng 0 và tìm nghiệm của tử số.
    $3(x^2+2x-3)=0$ hoặc $x^2+2x-3=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
    Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra mẫu số của phân số: $(x-3)*x≠0$.
    Tích của hai số bằng 0 khi có ít nhất một trong các số này bằng 0. Khi đó: $x≠0$ hoặc $x-3≠0$.
    $x≠0$ hoặc $x≠3$.
    Các nghiệm thu được ở tử số và mẫu số không trùng nhau. Vì vậy chúng ta viết cả hai nghiệm của tử số vào đáp án.
    Trả lời: $x=1$ hoặc $x=-3$.

    Nếu đột nhiên một trong các gốc của tử số trùng với gốc của mẫu số thì nên loại trừ. Những rễ như vậy được gọi là ngoại lai!

    Thuật toán giải phương trình hữu tỉ:

    1. Di chuyển tất cả các biểu thức có trong phương trình sang bên trái của dấu bằng.
    2. Chuyển đổi phần này của phương trình thành phân số đại số: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
    3. Đánh đồng tử số thu được bằng 0, nghĩa là giải phương trình $p(x)=0$.
    4. Cân bằng mẫu số bằng 0 và giải phương trình thu được. Nếu căn của mẫu số trùng với căn của tử số thì chúng sẽ bị loại khỏi câu trả lời.

    Ví dụ 2.
    Giải phương trình: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

    Giải pháp.
    Hãy giải quyết theo các điểm của thuật toán.
    1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
    2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
    $\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
    3. Đánh đồng tử số với 0: $3x^2+7x-10=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
    4. Đánh đồng mẫu số bằng 0:
    $(x-1)(x+1)=0$.
    $x=1$ và $x=-1$.
    Một trong các nghiệm $x=1$ trùng với nghiệm của tử số thì ta không ghi nó vào đáp án.
    Trả lời: $x=-1$.

    Thật thuận tiện khi giải các phương trình hữu tỉ bằng phương pháp đổi biến. Hãy chứng minh điều này.

    Ví dụ 3.
    Giải phương trình: $x^4+12x^2-64=0$.

    Giải pháp.
    Hãy giới thiệu sự thay thế: $t=x^2$.
    Khi đó phương trình của chúng ta sẽ có dạng:
    $t^2+12t-64=0$ - phương trình bậc hai thông thường.
    $t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 đô la.
    Hãy giới thiệu phép thay thế ngược lại: $x^2=4$ hoặc $x^2=-16$.
    Các nghiệm của phương trình đầu tiên là một cặp số $x=±2$. Điều thứ hai là nó không có gốc rễ.
    Trả lời: $x=±2$.

    Ví dụ 4.
    Giải phương trình: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
    Giải pháp.
    Hãy giới thiệu một biến mới: $t=x^2+x+1$.
    Khi đó phương trình sẽ có dạng: $t=\frac(15)(t+2)$.
    Tiếp theo chúng ta sẽ tiến hành theo thuật toán.
    1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
    2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
    3. $t^2+2t-15=0$.
    $t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
    4. $t≠-2$ - các nghiệm không trùng nhau.
    Hãy giới thiệu một sự thay thế ngược lại.
    $x^2+x+1=-5$.
    $x^2+x+1=3$.
    Hãy giải từng phương trình riêng biệt:
    $x^2+x+6=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - không rễ.
    Và phương trình thứ hai: $x^2+x-2=0$.
    Căn nguyên của phương trình này sẽ là các số $x=-2$ và $x=1$.
    Trả lời: $x=-2$ và $x=1$.

    Ví dụ 5.
    Giải phương trình: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

    Giải pháp.
    Hãy giới thiệu phép thay thế: $t=x+\frac(1)(x)$.
    Sau đó:
    $t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ hoặc $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
    Chúng ta có phương trình: $t^2-2+t=4$.
    $t^2+t-6=0$.
    Các nghiệm của phương trình này là cặp:
    $t=-3$ và $t=2$.
    Hãy giới thiệu sự thay thế ngược lại:
    $x+\frac(1)(x)=-3$.
    $x+\frac(1)(x)=2$.
    Chúng tôi sẽ quyết định riêng.
    $x+\frac(1)(x)+3=0$.
    $\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
    $x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
    Hãy giải phương trình thứ hai:
    $x+\frac(1)(x)-2=0$.
    $\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
    $\frac((x-1)^2)(x)=0$.
    Căn nguyên của phương trình này là số $x=1$.
    Trả lời: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

    Vấn đề cần giải quyết độc lập

    Giải phương trình:

    1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

    2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
    3. $x^4-7x^2-18=0$.
    4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
    5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

    « phương trình hữu tỉ với đa thức" là một trong những chủ đề thường gặp nhất trong nhiệm vụ kiểm tra Kỳ thi thống nhất quốc gia về toán học. Vì lý do này, chúng đáng được nhắc lại đặc biệt chú ý. Nhiều học sinh gặp phải vấn đề tìm phân biệt, chuyển chỉ số từ phải sang trái và đưa phương trình về mẫu số chung, đó là lý do tại sao nhiệm vụ tương tự gây ra khó khăn. Giải các phương trình hữu tỉ để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất trên trang web của chúng tôi sẽ giúp bạn nhanh chóng đối phó với bất kỳ vấn đề phức tạp nào và vượt qua bài kiểm tra một cách xuất sắc.

    Hãy chọn cổng giáo dục Shkolkovo để chuẩn bị thành công cho kỳ thi toán thống nhất!

    Để biết các quy tắc tính ẩn số và dễ dàng thu được kết quả chính xác, hãy sử dụng dịch vụ trực tuyến của chúng tôi. Cổng thông tin Shkolkovo là một nền tảng có một không hai chứa mọi thứ cần thiết để chuẩn bị cho Tài liệu thi Thống nhất. Giáo viên của chúng tôi đã hệ thống hóa và trình bày mọi thứ dưới dạng dễ hiểu. quy tắc toán học. Ngoài ra, chúng tôi mời các em học sinh thử sức mình trong việc giải các phương trình hữu tỉ tiêu chuẩn, cơ sở của chúng được cập nhật và mở rộng liên tục.

    Để chuẩn bị thử nghiệm hiệu quả hơn, chúng tôi khuyên bạn nên làm theo phương pháp đặc biệt của chúng tôi và bắt đầu bằng cách lặp lại các quy tắc và giải pháp nhiệm vụ đơn giản, dần dần chuyển sang những cái phức tạp hơn. Vì vậy, sinh viên tốt nghiệp sẽ có thể làm nổi bật cho mình nhiều nhất chủ đề khó và tập trung nghiên cứu chúng.

    Bắt đầu chuẩn bị cho thử nghiệm cuối cùng với Shkolkovo ngày hôm nay, và kết quả sẽ không còn lâu nữa! Chọn nhiều nhất ví dụ dễ hiểu từ những đề xuất đó. Nếu bạn nắm vững cách diễn đạt một cách nhanh chóng, hãy chuyển sang phần khác nhiệm vụ khó khăn. Bằng cách này, bạn có thể nâng cao kiến ​​thức của mình đến mức giải được các bài tập USE trong toán học ở cấp độ chuyên môn.

    Chương trình đào tạo không chỉ dành cho sinh viên tốt nghiệp từ Moscow mà còn dành cho học sinh từ các thành phố khác. Ví dụ: hãy dành vài giờ mỗi ngày để nghiên cứu trên cổng thông tin của chúng tôi và bạn sẽ sớm có thể giải quyết được các phương trình có độ phức tạp bất kỳ!