Khả năng toán học là gì và làm thế nào để phát triển chúng?
Gần đây phải chịu đựng một thất bại khác trong toán học, tôi tự hỏi: chính xác thì khả năng toán học là gì? Chúng ta đang nói về những đặc tính cụ thể nào của tư duy con người? Và làm thế nào để phát triển chúng? Sau đó, tôi quyết định khái quát hóa câu hỏi này và xây dựng nó như sau: khả năng của khoa học chính xác là gì? Họ có điểm gì chung và sự khác biệt của họ là gì? Suy nghĩ của một nhà toán học khác với suy nghĩ của một nhà vật lý, nhà hóa học, kỹ sư, lập trình viên, v.v. như thế nào? Hầu như không có tài liệu dễ hiểu nào được tìm thấy trên Internet. Điều duy nhất tôi thích là bài viết này về việc liệu có bất kỳ khả năng cụ thể nào về hóa học hay không và liệu chúng có liên quan đến khả năng vật lý và toán học hay không.
Tôi xin hỏi ý kiến độc giả. Và dưới đây tôi sẽ phác thảo cách nhìn chủ quan của mình về vấn đề.
Để bắt đầu, tôi sẽ cố gắng hình thành, theo tôi, điều gì là trở ngại khi thành thạo toán học.
Đối với tôi, có vẻ như vấn đề chính xác nằm ở bằng chứng. Những bằng chứng chính thức và chặt chẽ vốn rất cụ thể và chủ yếu được tìm thấy trong toán học và triết học (hãy sửa tôi nếu tôi sai). Không phải ngẫu nhiên mà nhiều bộ óc vĩ đại đồng thời là nhà toán học và triết học: Bertrand Russell, Leibniz, Whitehead, Descartes, danh sách này còn lâu mới đầy đủ. Ở trường họ hầu như không dạy cách chứng minh; họ chủ yếu tập trung vào môn hình học. Tôi đã gặp khá nhiều người có năng khiếu về kỹ thuật, là chuyên gia trong lĩnh vực của họ, nhưng đồng thời họ lại rơi vào trạng thái sững sờ khi nhìn thấy. lý thuyết toán học và khi bạn cần tiến hành chứng minh đơn giản nhất.
Điểm tiếp theo có liên quan chặt chẽ với điểm trước. Các nhà toán học tư duy phản biệnđạt đến độ cao hoàn toàn không thể tưởng tượng được. và luôn có mong muốn chứng minh và xác minh ngay từ cái nhìn đầu tiên sự thật hiển nhiên. Tôi nhớ kinh nghiệm của mình khi nghiên cứu đại số và lý thuyết nhóm, nó có lẽ không đáng để một người suy nghĩ, nhưng tôi luôn cảm thấy nhàm chán với việc suy ra một số sự kiện nổi tiếng từ đại số tuyến tính và tôi không thể tự mình làm được 20 cách chứng minh về các tính chất của không gian tuyến tính, và tôi sẵn sàng tin lời mình, điều kiện của định lý, miễn là chúng để tôi yên.
Theo hiểu biết của tôi, để thành thạo toán học, một người phải có những kỹ năng sau:
1. Khả năng cảm ứng.
2. Khả năng suy luận.
3. Khả năng hoạt động với lượng thông tin lớn trong đầu. Một bài kiểm tra tốt là bài toán Einstein
Người ta có thể nhớ lại nhà toán học Liên Xô Pontryagin, người bị mù năm 14 tuổi.
4. Sự kiên trì, khả năng suy nghĩ nhanh chóng, cộng với sự quan tâm có thể làm bừng sáng những nỗ lực sẽ phải thực hiện nhưng không được điều kiện cần thiết và thậm chí còn hơn thế nữa là đủ.
5. Yêu thích những trò chơi trí óc và khái niệm trừu tượng hoàn toàn trừu tượng
Ở đây chúng ta có thể trích dẫn cấu trúc liên kết và lý thuyết số làm ví dụ. Một tình huống buồn cười khác có thể được quan sát thấy ở những người nghiên cứu các phương trình vi phân từng phần theo quan điểm toán học thuần túy và gần như hoàn toàn bỏ qua việc giải thích vật lý.
6. Đối với các nhà hình học, cần có tư duy không gian.
Về phần tôi, tôi đã xác định được điểm yếu của mình. Tôi muốn bắt đầu với lý thuyết về bằng chứng, logic toán học và toán học rời rạc, cũng như tăng lượng thông tin tôi có thể xử lý. Đặc biệt đáng chú ý là những cuốn sách của D. Poya “Toán học và lý luận hợp lý”, “Cách giải quyết vấn đề”
Bạn nghĩ gì là chìa khóa để thành công trong môn toán và các môn khác? khoa học chính xác? Và làm thế nào để phát triển những khả năng này?
Tags: Toán học, vật lý
ĐẶC BIỆT CỦA PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN
Liên quan đến vấn đề hình thành và phát triển năng lực, cần lưu ý rằng một số nghiên cứu của các nhà tâm lý học nhằm xác định cấu trúc năng lực của học sinh đối với các loại hoạt động khác nhau. Đồng thời, năng lực được hiểu là tổng thể những đặc điểm tâm lý cá nhân của một người đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện thực hiện thành công. Vì vậy, khả năng là một sự hình thành tinh thần phức tạp, toàn vẹn, là một loại tổng hợp các đặc tính, hay như chúng được gọi là các thành phần.
Quy luật chung của việc hình thành các khả năng là chúng được hình thành trong quá trình thành thạo và thực hiện các loại hoạt động cần thiết.
Năng lực không phải là thứ được xác định trước một lần và mãi mãi, chúng được hình thành và phát triển trong quá trình học tập, trong quá trình rèn luyện, làm chủ hoạt động tương ứng, do đó cần phải hình thành, phát triển, giáo dục, nâng cao năng lực của trẻ và nó không thể dự đoán trước chính xác sự phát triển này có thể đi được bao xa.
Nói về khả năng toán học như một đặc điểm của hoạt động trí óc, trước hết chúng ta nên chỉ ra một số quan niệm sai lầm phổ biến của giáo viên.
Đầu tiên, nhiều người cho rằng khả năng toán học chủ yếu nằm ở khả năng thực hiện các phép tính nhanh và chính xác (đặc biệt là trong trí óc). Trên thực tế, khả năng tính toán không phải lúc nào cũng gắn liền với việc hình thành khả năng toán học (sáng tạo) thực sự. Thứ hai, nhiều người cho rằng học sinh giỏi toán có trí nhớ tốt về công thức, số liệu, số.
Tuy nhiên, như học giả A. N. Kolmogorov đã chỉ ra, thành công trong toán học ít nhất dựa trên khả năng ghi nhớ nhanh chóng và chắc chắn. một số lượng lớn sự kiện, số liệu, công thức. Cuối cùng, họ tin rằng một trong những chỉ số đánh giá khả năng toán học là tốc độ. quá trình suy nghĩ.
Bản thân tốc độ làm việc đặc biệt nhanh không liên quan gì đến khả năng toán học. Một đứa trẻ có thể làm việc chậm rãi và có chủ ý, nhưng đồng thời cũng có suy nghĩ chín chắn, sáng tạo và tiến bộ thành công trong việc thành thạo toán học.
Krutetsky V. A. trong cuốn “Tâm lý học năng lực toán học của trẻ mẫu giáo” đã phân biệt 9 khả năng (thành phần của năng lực toán học):
1) Khả năng hình thức hóa tài liệu toán học, tách hình thức khỏi nội dung, trừu tượng hóa khỏi các mối quan hệ định lượng cụ thể và các hình thức không gian và vận hành với các cấu trúc hình thức, cấu trúc của các mối quan hệ và kết nối;
2) Khả năng khái quát hóa tài liệu toán, tách biệt cái chính, trừu tượng hóa cái không quan trọng, nhìn ra cái chung ở cái khác bên ngoài;
3) Khả năng hoạt động với các ký hiệu số và ký hiệu;
4) Khả năng “lý luận logic nhất quán, được mổ xẻ chính xác” gắn liền với nhu cầu về bằng chứng, biện minh và kết luận;
5) Khả năng rút ngắn quá trình suy luận, suy nghĩ theo cấu trúc thu gọn;
6) Khả năng đảo ngược quá trình suy nghĩ (chuyển từ trực tiếp sang đột quỵ ngược suy nghĩ);
7) Tính linh hoạt trong tư duy, khả năng chuyển từ hoạt động tinh thần này sang hoạt động tinh thần khác, không bị ảnh hưởng ràng buộc của các khuôn mẫu và giấy nến;
8) Trí nhớ toán học. Có thể cho rằng những nét đặc trưng của nó cũng xuất phát từ những đặc điểm khoa học toán học, rằng đây là bộ nhớ dành cho những khái quát hóa, những cấu trúc hình thức hóa, Hợp lý;
9) Khả năng biểu diễn không gian, liên quan trực tiếp đến sự hiện diện của một nhánh toán học như hình học.
Nhiều bậc cha mẹ tin rằng điều quan trọng nhất khi chuẩn bị đi học là cho trẻ làm quen với các con số và dạy trẻ viết, đếm, cộng và trừ (trên thực tế, điều này thường dẫn đến việc trẻ phải cố gắng ghi nhớ kết quả của phép cộng và phép trừ trong phạm vi 10). . Tuy nhiên, khi dạy toán bằng sách giáo khoa của các hệ thống phát triển hiện đại (hệ thống của L. V. Zankov, hệ thống của V. V. Davydov, hệ thống “Harmony”, “School 2100”, v.v.), những kỹ năng này không giúp ích được lâu cho trẻ trong các bài học toán. Kho kiến thức ghi nhớ sẽ hết rất nhanh (trong một hoặc hai tháng) và thiếu sự hình thành kỹ năng riêng tư duy hiệu quả (tức là thực hiện độc lập các hoạt động tinh thần nêu trên dựa trên nội dung toán học) rất nhanh chóng dẫn đến sự xuất hiện “các vấn đề về toán học”.
Đồng thời, một đứa trẻ có tư duy logic phát triển luôn có nhiều cơ hội hơn thành công trong môn toán ngay cả khi anh ta không được dạy trước các nguyên tố chương trình giáo dục(đếm, tính toán và
vân vân.) . Không phải ngẫu nhiên mà những năm trướcỞ nhiều trường làm việc về các chương trình phát triển, một cuộc phỏng vấn được thực hiện với trẻ em vào lớp một, nội dung chính là các câu hỏi và nhiệm vụ mang tính chất logic chứ không chỉ số học. Cách tiếp cận này trong việc lựa chọn trẻ em đi học có hợp lý không? Đúng, đó là điều đương nhiên, vì sách giáo khoa toán của các hệ thống này được cấu trúc sao cho ngay trong những bài học đầu tiên, trẻ phải sử dụng khả năng so sánh, phân loại, phân tích và khái quát hóa kết quả hoạt động của mình.
Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng tư duy logic phát triển là món quà tự nhiên, sự có mặt hay vắng mặt của nó đều phải được chấp nhận. Có rất nhiều nghiên cứu khẳng định rằng việc phát triển tư duy logic có thể và nên được thực hiện (kể cả trong trường hợp khuynh hướng tự nhiên trẻ em ở khu vực này rất khiêm tốn). Trước hết, chúng ta hãy tìm hiểu tư duy logic bao gồm những gì.
Thủ thuật logic hành động tinh thần- so sánh, khái quát hóa, phân tích, tổng hợp, phân loại, tuần tự, loại suy, hệ thống hóa, trừu tượng hóa - trong văn học chúng còn được gọi là phương pháp tư duy logic. Khi tổ chức công việc phát triển đặc biệt về hình thành và phát triển các kỹ thuật tư duy logic, hiệu quả của quá trình này sẽ tăng lên đáng kể, bất kể mức độ phát triển ban đầu của trẻ.
Để phát triển những kỹ năng và khả năng toán học nhất định, cần phát triển tư duy logic của trẻ mẫu giáo. Ở trường các em sẽ cần các kỹ năng so sánh, phân tích, xác định và khái quát hóa.
Vì vậy cần dạy trẻ cách quyết định tình huống có vấn đề, rút ra những kết luận nhất định, đi đến một kết luận hợp lý. Giải quyết các vấn đề logic phát triển khả năng làm nổi bật các khái quát hóa cần thiết và độc lập (xem Phụ lục).
Trò chơi logic nội dung toán học được dạy cho trẻ em sở thích nhận thức, khả năng tìm kiếm sáng tạo, mong muốn và khả năng học hỏi. Một tình huống trò chơi bất thường với những yếu tố rắc rối đặc trưng của từng nhiệm vụ giải trí luôn khơi dậy sự hứng thú ở trẻ.
Nhiệm vụ giải trí góp phần phát triển khả năng trẻ nhận thức nhanh các nhiệm vụ nhận thức và tìm ra giải pháp phù hợp cho chúng. Trẻ bắt đầu hiểu rằng để đưa ra quyết định đúng đắn vấn đề logic họ cần tập trung, họ bắt đầu nhận ra rằng một vấn đề mang tính giải trí như vậy có chứa một “thủ thuật” nào đó và để giải quyết nó, họ cần hiểu thủ thuật đó là gì.
Câu đố logic có thể như sau:
Hai chị em mỗi người có một anh trai. Có bao nhiêu người con trong gia đình? (Trả lời: 3)
Hiển nhiên là hoạt động mang tính xây dựng Trong quá trình thực hiện các bài tập này, trẻ không chỉ phát triển khả năng toán học và tư duy logic mà còn cả sự chú ý, trí tưởng tượng, rèn luyện các kỹ năng vận động, mắt, khái niệm không gian, độ chính xác, v.v.
Mỗi bài tập được đưa ra trong Phụ lục đều nhằm mục đích phát triển kỹ thuật tư duy logic. Ví dụ, bài tập 4 dạy trẻ so sánh; bài tập 5 - so sánh và khái quát hóa, cũng như phân tích; bài tập 1 dạy phân tích, so sánh; bài tập 2 - tổng hợp; bài tập 6 - phân loại thực tế theo thuộc tính.
Phát triển logic Sự phát triển của trẻ cũng liên quan đến việc phát triển khả năng hiểu và theo dõi mối quan hệ nhân quả của các hiện tượng và khả năng xây dựng các kết luận đơn giản dựa trên mối quan hệ nhân quả.
Vì vậy, hai năm trước khi đi học có thể có tác động đáng kể đến sự phát triển khả năng toán học của trẻ mẫu giáo. Ngay cả khi đứa trẻ không chắc chắn là người chiến thắng Olympic toán học, anh ấy có vấn đề với toán học trường tiểu học sẽ không có, và nếu chúng không tồn tại ở trường tiểu học, thì có mọi lý do để mong đợi rằng chúng sẽ không tồn tại ở đó trong tương lai.
Nghiên cứu năng lực toán học trong tâm lý học nước ngoài.
Những đại diện nổi bật của một số xu hướng nhất định trong tâm lý học như A. Binet, E. Trondijk và G. Revesh đã góp phần nghiên cứu các khả năng toán học, v.v. nhà toán học xuất sắc, như A. Poincare và J. Hadamard.
Nhiều hướng đi khác nhau cũng quyết định sự đa dạng trong cách tiếp cận nghiên cứu năng lực toán học, trong phương tiện phương pháp luận và khái quát hóa lý thuyết.
Điều duy nhất mà tất cả các nhà nghiên cứu đều đồng ý, có lẽ là quan điểm cho rằng cần phải phân biệt giữa các khả năng thông thường, “trường học” trong việc tiếp thu kiến thức toán học, tái tạo và tái tạo chúng. sử dụng độc lập và khả năng toán học sáng tạo gắn liền với sáng tạo độc lập một sản phẩm độc đáo và có giá trị xã hội.
Các nhà nghiên cứu nước ngoài thể hiện sự thống nhất lớn về quan điểm về vấn đề năng lực toán học bẩm sinh hoặc có được. Nếu ở đây chúng ta phân biệt hai khía cạnh khác nhau của những khả năng này - “trường học” và khả năng sáng tạo, thì trong mối quan hệ với cái sau có sự thống nhất hoàn toàn - khả năng sáng tạo của một nhà toán học là sự hình thành bẩm sinh, chỉ cần một môi trường thuận lợi cho sự biểu hiện của chúng và phát triển. Về khả năng học tập (học tập), các nhà tâm lý học nước ngoài không nhất trí như vậy. Ở đây, có lẽ lý thuyết chủ đạo là tác động song song của hai yếu tố - tiềm năng sinh học và môi trường.
Câu hỏi chính trong việc nghiên cứu các khả năng toán học (cả giáo dục và sáng tạo) ở nước ngoài vẫn là câu hỏi về bản chất của nền giáo dục tâm lý phức tạp này. Về vấn đề này, có thể xác định được ba vấn đề quan trọng.
1. Vấn đề tính đặc thù của năng lực toán học. Liệu khả năng toán học có thực sự tồn tại như một nền giáo dục cụ thể, khác với phạm trù trí thông minh tổng quát? Hoặc khả năng toán học là sự chuyên môn hóa về mặt chất lượng của các quá trình tinh thần nói chung và các đặc tính nhân cách, nghĩa là những đặc điểm chung khả năng trí tuệ, được phát triển liên quan đến hoạt động toán học? Nói cách khác, có thể nói rằng năng khiếu toán học không gì khác hơn là trí thông minh tổng quát cộng với niềm yêu thích toán học và xu hướng làm toán?
2. Vấn đề cấu trúc năng lực toán học. Tài năng toán học là một thuộc tính đơn nhất (đơn không thể phân tách) hay toàn thể (phức tạp)? TRONG trường hợp sau người ta có thể đặt câu hỏi về cấu trúc của khả năng toán học, về các thành phần của sự hình thành tinh thần phức tạp này.
3. Vấn đề sự khác biệt về loại hình trong khả năng toán học. Có ở đó không Nhiều loại khác nhau tài năng toán học hay, dựa trên cùng một cơ sở, có phải chỉ có sự khác biệt về sở thích và khuynh hướng đối với một số ngành toán học nhất định?
Năng lực sư phạm là tổng hợp những đặc điểm tâm lý cá nhân trong nhân cách người giáo viên đáp ứng yêu cầu hoạt động sư phạm và quyết định sự thành công trong việc làm chủ hoạt động này. Sự khác biệt giữa năng lực sư phạm và kỹ năng sư phạm là năng lực sư phạm là những nét tính cách, còn năng lực sư phạm là những hành vi hoạt động sư phạm cá nhân được thực hiện bởi một người cấp độ cao.
Mỗi khả năng có cấu trúc riêng, nó phân biệt giữa thuộc tính dẫn đầu và thuộc tính phụ trợ.
Những đặc tính hàng đầu của khả năng giảng dạy là:
khéo léo sư phạm;
quan sát;
tình yêu dành cho trẻ em;
nhu cầu chuyển giao kiến thức.
Kỹ năng sư phạm là việc giáo viên tuân thủ nguyên tắc chừng mực trong giao tiếp với trẻ trong nhiều lĩnh vực hoạt động, khả năng lựa chọn phương pháp tiếp cận phù hợp với học sinh.
Bí quyết sư phạm giả định trước:
· tôn trọng học sinh và tính chính xác đối với anh ta;
· phát triển tính độc lập của sinh viên trong tất cả các loại hoạt động và hướng dẫn sư phạm vững chắc cho công việc của họ;
· chú ý đến trạng thái tinh thần của học sinh cũng như tính hợp lý và nhất quán của các yêu cầu đối với học sinh;
· tin tưởng vào sinh viên và xác minh một cách có hệ thống công việc giáo dục của họ;
· sự kết hợp hợp lý về mặt sư phạm giữa kinh doanh và bản chất tình cảm mối quan hệ với sinh viên, v.v.
Quan sát sư phạm là khả năng của người giáo viên, thể hiện ở khả năng nhận thấy những đặc điểm nổi bật, đặc trưng, thậm chí tinh tế của học sinh. Nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng quan sát sư phạm là một phẩm chất nhân cách của giáo viên, bao gồm sự phát triển cao về khả năng tập trung chú ý vào một đối tượng cụ thể của quá trình sư phạm.
năng lực sư phạm toán
6.11. Đánh giá ngắn nghiên cứu về khả năng toán học
Trong nghiên cứu do V.A. Krutetsky phản ánh các cấp độ khác nhau của việc nghiên cứu vấn đề về khả năng toán học, văn học và kỹ thuật xây dựng. Tuy nhiên, tất cả các nghiên cứu đều được tổ chức và thực hiện theo một sơ đồ chung:
Giai đoạn 1 – nghiên cứu bản chất, cấu trúc của các khả năng cụ thể;
Giai đoạn 2 – nghiên cứu về tuổi tác và sự khác biệt cá nhân trong cơ cấu năng lực cụ thể, động lực phát triển cơ cấu lứa tuổi;
Giai đoạn 3 – nghiên cứu cơ sở tâm lý của sự hình thành và phát triển năng lực.
Các tác phẩm của V. A. Krutetsky, I. V. Dubrovina, S. I. Shapiro đã đưa ra một bức tranh tổng thể về sự phát triển năng lực toán học của học sinh theo lứa tuổi trong suốt quá trình đi học.
Tiến hành một nghiên cứu đặc biệt về khả năng toán học của học sinh V.A. Krutetsky(1968). Dưới khả năng nghiên cứu toán học anh ta hiểu được những đặc điểm tâm lý cá nhân (chủ yếu là đặc điểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động giáo dục toán học và quyết định, những điều khác không đổi, sự thành công của việc nắm vững sáng tạo toán học như một môn học, cụ thể là tương đối nhanh chóng, dễ dàng. và nắm vững sâu sắc kiến thức, kỹ năng và khả năng trong lĩnh vực toán học. Trong cấu trúc năng lực toán học, ông xác định được các thành phần chủ yếu sau:
1) khả năng nhận thức chính thức tài liệu toán học, nắm bắt cấu trúc hình thức của một vấn đề;
2) khả năng khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, mối quan hệ và hành động toán học;
3) khả năng thu gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các hành động tương ứng - khả năng suy nghĩ theo các cấu trúc thu gọn;
4) tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;
5) khả năng sắp xếp lại hướng của quá trình suy nghĩ một cách nhanh chóng và tự do, chuyển từ luồng suy nghĩ trực tiếp sang luồng suy nghĩ ngược lại;
6) mong muốn về sự rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm và hợp lý của các quyết định;
7) trí nhớ toán học (trí nhớ tổng quát về các quan hệ toán học, các mô hình lý luận và chứng minh, phương pháp giải quyết vấn đề và nguyên tắc tiếp cận chúng). Phương pháp nghiên cứu năng lực toán học của V.A. Krutetsky (1968).
Dubrovina I.V. Một sửa đổi của kỹ thuật này đã được phát triển cho học sinh lớp 2–4.
Phân tích các tài liệu được trình bày trong công việc này cho phép chúng tôi rút ra kết luận sau đây.
1. Dành cho học sinh nhỏ tuổi có năng lực toán tuổi đi học Các thành phần của khả năng toán học như khả năng nhận thức phân tích và tổng hợp các điều kiện của vấn đề, khả năng khái quát hóa tài liệu toán học và tính linh hoạt của quá trình tư duy được bộc lộ khá rõ ràng. Ở độ tuổi này ít được thể hiện rõ ràng hơn là những thành phần của khả năng toán học như khả năng nén lý luận và hệ thống các hành động tương ứng, mong muốn tìm ra cách giải quyết vấn đề hợp lý, tiết kiệm (thanh lịch) nhất.
Những thành phần này chỉ được thể hiện rõ ràng nhất ở những học sinh thuộc nhóm “Rất có năng lực” (VA). Điều tương tự cũng áp dụng cho đặc điểm trí nhớ toán học của học sinh nhỏ tuổi. Chỉ ở những học sinh thuộc nhóm OS mới có thể phát hiện được dấu hiệu của trí nhớ toán học tổng quát.
2. Tất cả các thành phần năng lực toán học nêu trên được thể hiện trên tài liệu toán học mà học sinh tiểu học có thể tiếp cận được, do đó ít nhiều ở dạng tiểu học.
3. Sự phát triển của tất cả các thành phần trên thể hiện rõ ở học sinh có năng lực toán từ lớp 2 đến lớp 4: theo năm tháng xu hướng nhận thức phân tích - tổng hợp tương đối đầy đủ về điều kiện của bài toán ngày càng tăng; việc khái quát hóa tài liệu toán học trở nên rộng hơn, nhanh hơn và tự tin hơn; có sự phát triển khá đáng chú ý về khả năng cắt giảm lý luận và hệ thống các hành động tương ứng, ban đầu được hình thành trên cơ sở cùng một loại bài tập, và theo năm tháng nó ngày càng xuất hiện “tại chỗ”; đến lớp 4, học sinh chuyển đổi dễ dàng hơn nhiều từ thao tác trí óc này sang thao tác trí óc khác, có chất lượng khác nhau và thường thấy nhiều cách để giải quyết một vấn đề cùng một lúc; bộ nhớ dần dần được giải phóng khỏi việc lưu trữ những tài liệu riêng tư cụ thể, mọi thứ Giá trị cao hơnđạt được khả năng ghi nhớ các mối quan hệ toán học.
4. Ở những học sinh năng lực thấp (MS) được nghiên cứu ở độ tuổi tiểu học, tất cả các thành phần năng lực toán học nêu trên đều xuất hiện ở mức độ phát triển tương đối thấp (khả năng khái quát hóa tài liệu toán học, tính linh hoạt của quá trình tư duy) hoặc không được phát hiện. cả (khả năng quy giản lý luận và hệ thống các hành động tương ứng, trí nhớ toán học tổng quát).
5. Trẻ em thuộc nhóm MS có thể hình thành các thành phần chính của khả năng toán học ở mức độ ít nhiều thỏa đáng trong quá trình học tập thực nghiệm chỉ nhờ vào sự làm việc bền bỉ, bền bỉ và có hệ thống của cả hai người thực nghiệm và các sinh viên.
6. Sự khác biệt theo tuổi trong việc phát triển các thành phần năng lực toán học ở trẻ nhỏ có ít năng lực toán học được thể hiện yếu và không rõ ràng.
Trong bài viết S.I. Shapiro“Phân tích tâm lý cấu trúc năng lực toán học lứa tuổi THPT” cho thấy, trái ngược với những học sinh kém năng lực, thông tin thường được lưu trữ trong bộ nhớ dưới dạng rất cụ thể, rải rác và không phân biệt, những học sinh có năng lực toán học ghi nhớ, vận dụng và tái tạo tài liệu ở dạng khái quát, “sụp đổ”.
Mối quan tâm đáng kể là nghiên cứu về khả năng toán học và các điều kiện tiên quyết tự nhiên của chúng. I.A. Lyovochkina, người tin rằng mặc dù khả năng toán học không phải là chủ đề được xem xét đặc biệt trong các tác phẩm của B.M. Teplov, nhưng câu trả lời cho nhiều câu hỏi liên quan đến nghiên cứu của họ có thể được tìm thấy trong các tác phẩm của ông dành cho các vấn đề về khả năng. Trong số đó, hai tác phẩm chuyên khảo chiếm một vị trí đặc biệt - “Tâm lý học về khả năng âm nhạc” và “Tâm trí của một người chỉ huy”, đã trở thành những ví dụ kinh điển về nghiên cứu tâm lý về khả năng và kết hợp các nguyên tắc phổ quát để tiếp cận vấn đề này. , có thể và nên được sử dụng khi nghiên cứu bất kỳ loại khả năng nào.
Trong cả hai tác phẩm, B.M. Teplov không chỉ đưa ra những phân tích tâm lý xuất sắc về các loại hoạt động cụ thể mà còn sử dụng các ví dụ về những đại diện xuất sắc của nghệ thuật âm nhạc và quân sự, tiết lộ những yếu tố cần thiết tạo nên những tài năng sáng giá trong các lĩnh vực này. B.M. Teplov đặc biệt chú ý đến vấn đề mối quan hệ giữa khả năng chung và khả năng đặc biệt, chứng minh rằng sự thành công trong bất kỳ loại hoạt động nào, kể cả âm nhạc và quân sự, không chỉ phụ thuộc vào các thành phần đặc biệt (ví dụ: trong âm nhạc - thính giác, cảm giác nhịp điệu). ), mà còn về các đặc điểm chung của sự chú ý, trí nhớ và trí thông minh. Đồng thời, khả năng trí tuệ nói chung gắn bó chặt chẽ với các khả năng đặc biệt và ảnh hưởng đáng kể đến mức độ phát triển của khả năng sau này.
Vai trò của năng lực chung được thể hiện rõ nhất trong tác phẩm “Tâm trí người chỉ huy”. Chúng ta hãy tập trung vào việc xem xét các quy định chính của tác phẩm này, vì chúng có thể được sử dụng để nghiên cứu các loại khả năng khác liên quan đến hoạt động tinh thần, bao gồm cả khả năng toán học. Sau khi nghiên cứu sâu về hoạt động của người chỉ huy, B.M. Teplov đã chỉ ra vị trí của chức năng trí tuệ trong đó. Họ cung cấp phân tích về các tình huống quân sự phức tạp, xác định các chi tiết quan trọng riêng lẻ có thể ảnh hưởng đến kết quả của các trận chiến sắp tới. Khả năng phân tích cung cấp những thông tin đầu tiên giai đoạn cần thiết trong việc đưa ra quyết định đúng đắn, trong việc vạch ra kế hoạch tác chiến. Sau công việc phân tích là giai đoạn tổng hợp, cho phép chúng ta kết hợp nhiều chi tiết khác nhau thành một tổng thể duy nhất. Theo B.M. Teplov, hoạt động của người chỉ huy đòi hỏi sự cân bằng giữa các quá trình phân tích và tổng hợp, với mức độ phát triển bắt buộc cao.
Trí nhớ chiếm một vị trí quan trọng trong hoạt động trí tuệ của người chỉ huy. Nó không nhất thiết phải mang tính phổ quát. Điều quan trọng hơn nhiều là nó có tính chọn lọc, tức là trước hết nó giữ lại những chi tiết cần thiết, thiết yếu. Là một ví dụ kinh điển về trí nhớ như vậy, B.M. Teplov trích dẫn những tuyên bố về ký ức của Napoléon, người đã nhớ theo đúng nghĩa đen mọi thứ liên quan trực tiếp đến hoạt động quân sự của ông, từ số đơn vị cho đến khuôn mặt của những người lính. Đồng thời, Napoléon không thể ghi nhớ những tài liệu vô nghĩa, nhưng có đặc điểm quan trọng là tiếp thu ngay những gì cần phân loại, một quy luật logic nhất định.
B.M. Teplov đi đến kết luận rằng “khả năng tìm kiếm và làm nổi bật tính hệ thống hóa thiết yếu và liên tục của tài liệu là điều kiện quan trọng nhất, đảm bảo sự thống nhất giữa phân tích và tổng hợp, sự cân bằng giữa các khía cạnh của hoạt động tinh thần để phân biệt công việc của tâm trí chỉ huy tốt". Ngoài trí tuệ vượt trội, người chỉ huy phải có những phẩm chất cá nhân nhất định. Trước hết, đây là lòng dũng cảm, sự quyết tâm, nghị lực, tức là liên quan đến lãnh đạo quân sự, thường được biểu thị bằng khái niệm “ý chí”. Một phẩm chất cá nhân quan trọng không kém là khả năng chống lại căng thẳng. Cảm xúc của người chỉ huy tài ba được thể hiện ở sự kết hợp giữa cảm xúc hưng phấn chiến đấu và khả năng tập trung, tập trung.
Một vị trí đặc biệt trong hoạt động trí tuệ của chỉ huy B.M. Teplov cho rằng có sự hiện diện của một phẩm chất như trực giác. Ông đã phân tích phẩm chất này của tâm trí người chỉ huy, so sánh nó với trực giác của một nhà khoa học. Có rất nhiều điểm chung giữa họ. Sự khác biệt chính, theo B.M. Teplov là việc người chỉ huy cần đưa ra một quyết định khẩn cấp, điều này có thể phụ thuộc vào sự thành công của chiến dịch, đồng thời nhà khoa học không bị giới hạn bởi khung thời gian. Nhưng trong cả hai trường hợp, “sự sáng suốt” phải đi trước sự làm việc chăm chỉ, trên cơ sở đó mới có thể đưa ra quyết định duy nhất. quyết định đúng đắn Các vấn đề.
Xác nhận các điều khoản được phân tích và tóm tắt bởi B.M. Teplov từ quan điểm tâm lý học, có thể được tìm thấy trong các công trình của nhiều nhà khoa học xuất sắc, bao gồm cả nhà toán học. Vì vậy, trong nghiên cứu tâm lý học “Sáng tạo toán học”, Henri Poincaré đã mô tả chi tiết tình huống mà ông đã thực hiện được một trong những khám phá của mình. Điều này được thực hiện trước bởi một công việc chuẩn bị lâu dài, một lượng lớn trọng lượng riêng mà theo nhà khoa học, đó là quá trình của vô thức. Giai đoạn “hiểu biết sâu sắc” nhất thiết phải được theo sau bởi giai đoạn thứ hai - công việc có ý thức cẩn thận để sắp xếp bằng chứng theo thứ tự và xác minh nó. A. Poincaré đi đến kết luận rằng vị trí quan trọng nhất trong khả năng toán học là khả năng xây dựng một cách logic một chuỗi các hoạt động, điều này sẽ dẫn đến giải pháp của vấn đề. Có vẻ như bất kỳ người nào có khả năng tư duy logic đều có thể tiếp cận được điều này. Tuy nhiên, không phải ai cũng có thể vận hành các ký hiệu toán học một cách dễ dàng như khi giải các bài toán logic.
Đối với một nhà toán học, chỉ có trí nhớ tốt và sự chú ý thôi là chưa đủ. Theo Poincaré, những người có khả năng toán học được phân biệt bằng khả năng nắm bắt trật tự, trong đó phải đặt các phần tử cần thiết cho chứng minh toán học. Sự hiện diện của loại trực giác này là yếu tố chính của sự sáng tạo toán học. Một số người không có giác quan tinh tế này và không có trí nhớ cũng như sự chú ý mạnh mẽ nên không thể hiểu được toán học. Những người khác có trực giác yếu nhưng lại có trí nhớ tốt và khả năng tập trung cao độ, do đó có thể hiểu và áp dụng toán học. Vẫn còn những người khác có trực giác đặc biệt như vậy và ngay cả khi không có trí nhớ xuất sắc, họ không chỉ có thể hiểu toán học mà còn có thể thực hiện những khám phá toán học.
Ở đây chúng ta đang nói về sáng tạo toán học, ít người có thể tiếp cận được. Tuy nhiên, như J. Hadamard đã viết, “giữa việc học sinh giải một bài toán đại số hoặc hình học và Công việc có tính sáng tạo sự khác biệt duy nhất là ở mức độ và chất lượng, vì cả hai tác phẩm đều có tính chất tương tự nhau.” Để hiểu những phẩm chất nào vẫn cần thiết để đạt được thành công trong toán học, các nhà nghiên cứu đã phân tích hoạt động toán học: quá trình giải quyết vấn đề, phương pháp chứng minh, suy luận logic, đặc điểm của trí nhớ toán học. Phân tích này đã dẫn đến việc tạo ra Các tùy chọn khác nhau cấu trúc của khả năng toán học, phức tạp theo cách riêng của họ thành phần kết hợp. Đồng thời, ý kiến của hầu hết các nhà nghiên cứu đều thống nhất một điều - rằng không có và không thể có một khả năng toán học nào được thể hiện rõ ràng - đây là một đặc điểm tích lũy phản ánh đặc điểm của các quá trình tâm thần khác nhau: nhận thức, tư duy, trí nhớ, trí tưởng tượng .
Trong số nhiều nhất thành phần quan trọng khả năng toán học nổi bật khả năng cụ thể để khái quát hóa tài liệu toán học, khả năng biểu diễn không gian, khả năng tư duy trừu tượng. Một số nhà nghiên cứu còn xác định khả năng toán học là một thành phần độc lập trí nhớ toán học về các mô hình lý luận và chứng minh, các phương pháp giải quyết vấn đề và nguyên tắc tiếp cận chúng. Nghiên cứu về khả năng toán học cũng bao gồm việc giải quyết một trong những vấn đề quan trọng nhất - tìm kiếm các điều kiện tiên quyết hoặc khuynh hướng tự nhiên của loại khả năng này. Trong một khoảng thời gian dài khuynh hướng được coi là yếu tố quyết định trước mức độ và hướng phát triển của các khả năng. Kinh điển của tâm lý học Nga B.M. Teplov và S.L. Rubinstein đã chứng minh một cách khoa học tính bất hợp pháp của cách hiểu như vậy về khuynh hướng và cho thấy rằng nguồn gốc của sự phát triển các khả năng là sự tương tác chặt chẽ giữa các điều kiện bên ngoài và bên trong. Mức độ nghiêm trọng của phẩm chất sinh lý này hay phẩm chất sinh lý khác không hề cho thấy sự phát triển bắt buộc của một loại khả năng cụ thể. Đó chỉ có thể là điều kiện thuận lợi cho sự phát triển này. Các thuộc tính loại hình được bao gồm trong quá trình tạo ra và là một thành phần quan trọng của chúng phản ánh điều đó đặc điểm cá nhân hoạt động của cơ thể, như giới hạn hoạt động, đặc điểm tốc độ của phản ứng thần kinh, khả năng sắp xếp lại phản ứng để đáp ứng với những thay đổi của tác động bên ngoài.
Của cải hệ thần kinh, liên quan chặt chẽ đến tính chất của tính khí, đến lượt nó lại ảnh hưởng đến sự biểu hiện các đặc điểm tính cách của cá nhân (V.S. Merlin, 1986). B.G. Ananyev, phát triển các ý tưởng về cơ sở tự nhiên chung cho sự phát triển tính cách và khả năng, đã chỉ ra sự hình thành trong quá trình hoạt động các mối liên hệ giữa khả năng và tính cách, dẫn đến sự hình thành tinh thần mới, được biểu thị bằng các thuật ngữ “tài năng” và “nghề nghiệp”. (Ananyev B.G., 1980). Do đó, khí chất, khả năng và hình thức tính cách dường như là một chuỗi các cấu trúc con được kết nối với nhau trong cấu trúc của nhân cách và cá tính, có một cơ sở tự nhiên(E.A. Golubeva, 1993).
Các nguyên tắc cơ bản của cách tiếp cận loại hình tích hợp để nghiên cứu khả năng và tính cách cá nhân được E.A. Golubeva trong chương tương ứng của chuyên khảo. Một trong những nguyên tắc quan trọng nhất là việc sử dụng, cùng với phân tích định tính, các phương pháp đo lường để chẩn đoán các đặc điểm khác nhau của cá nhân. Dựa vào cái này, I.A. Lyovochkina xây dựng một nghiên cứu thực nghiệm về khả năng toán học. Nhiệm vụ cụ thể bao gồm chẩn đoán các đặc tính của hệ thần kinh, được coi là khuynh hướng của khả năng toán học, nghiên cứu đặc điểm cá nhân của những học sinh có năng khiếu toán học và đặc điểm trí thông minh của họ. Các thí nghiệm được thực hiện tại trường số 91 ở Moscow, nơi có các lớp học chuyên toán. Các lớp này nhận học sinh trung học từ khắp Moscow, chủ yếu là những người đoạt giải Olympic khu vực và thành phố đã vượt qua một cuộc phỏng vấn bổ sung. Toán học được dạy ở đây theo một chương trình chuyên sâu hơn, với một khóa học bổ sung về phân tích toán học. Nghiên cứu được thực hiện cùng với E.P. Guseva và giáo viên thực nghiệm V.M. Sapozhnikov.
Tất cả học sinh mà nhà nghiên cứu có cơ hội làm việc cùng ở lớp 8-10 đều đã quyết định sở thích và khuynh hướng của mình. Họ kết nối các nghiên cứu sâu hơn và làm việc với toán học. Thành công của họ trong môn toán vượt xa đáng kể sự thành công của học sinh trong các lớp không học toán. Nhưng mặc dù tỷ lệ thành công chung cao, vẫn có sự khác biệt đáng kể giữa các cá nhân trong nhóm học sinh này. Nghiên cứu được cấu trúc theo cách này: học sinh được quan sát trong giờ học, bài kiểm tra của họ được phân tích với sự trợ giúp của các chuyên gia và các nhiệm vụ thử nghiệm được đưa ra để giải quyết, nhằm xác định các thành phần nhất định của khả năng toán học. Ngoài ra, một loạt các thí nghiệm tâm lý và tâm sinh lý đã được tiến hành với học sinh. Mức độ phát triển và tính nguyên bản của các chức năng trí tuệ đã được nghiên cứu, các đặc điểm cá nhân và đặc điểm hình thái của hệ thần kinh đã được tiết lộ. Tổng cộng, 57 học sinh có khả năng toán học rõ rệt đã được kiểm tra trong nhiều năm.
kết quả
Một phép đo khách quan về mức độ phát triển trí tuệ bằng bài kiểm tra Wechsler ở trẻ có năng khiếu toán học cho thấy hầu hết các em đều có trí thông minh tổng quát rất cao. Các giá trị số về trí thông minh chung của nhiều học sinh được chúng tôi kiểm tra vượt quá 130 điểm. Theo một số phân loại tiêu chuẩn, các giá trị có cường độ này chỉ được tìm thấy ở 2,2% dân số. Trong phần lớn các trường hợp, người ta quan sát thấy trí thông minh bằng lời nói chiếm ưu thế hơn so với trí thông minh phi ngôn ngữ. Việc trẻ em có khả năng toán học rõ rệt có trí thông minh nói chung và trí thông minh phát triển cao không phải là điều bất ngờ. Nhiều nhà nghiên cứu về khả năng toán học đã lưu ý rằng mức độ phát triển cao của các chức năng logic-lời nói là điều kiện cần thiết cho khả năng toán học. I.A. Lyovochkina không chỉ quan tâm đến các đặc điểm định lượng của trí thông minh mà còn quan tâm đến mối liên hệ của nó với các đặc điểm tâm sinh lý và tự nhiên của học sinh. Các đặc điểm riêng của hệ thần kinh được chẩn đoán bằng kỹ thuật điện não đồ. Là các chỉ số về đặc tính của hệ thần kinh, nền tảng và đặc điểm phản ứng của điện não đồ đã được sử dụng, được ghi lại trên máy ghi não 17 kênh. Những chỉ số này được sử dụng để chẩn đoán sức mạnh, khả năng hoạt động và khả năng kích hoạt của hệ thần kinh.
I.A. Lyovochkina đã chứng minh bằng cách sử dụng các phương pháp phân tích thống kê rằng những người có hệ thần kinh khỏe hơn có mức độ thông minh bằng lời nói và trí thông minh tổng quát cao hơn trong mẫu này. Họ cũng có điểm học tập cao hơn trong các môn khoa học và nhân văn. Theo dữ liệu từ các nhà nghiên cứu khác thu được từ học sinh trung học vị thành niên ở các trường cấp hai, những học sinh có hệ thần kinh yếu có mức độ thông minh cao hơn và kết quả học tập tốt hơn (Golubeva E.A. và cộng sự 1974, Kadyrov B.R. 1977). Nguyên nhân của sự khác biệt này có lẽ trước hết phải được tìm kiếm ở bản chất của chính hoạt động giáo dục. Học sinh trong các lớp toán phải trải qua khối lượng học tập lớn hơn đáng kể so với học sinh trong các lớp học thông thường. Các em được giao thêm các môn tự chọn; ngoài ra, ngoài các bài tập bắt buộc về nhà và bài tập trên lớp, các em còn giải quyết nhiều nhiệm vụ liên quan đến việc chuẩn bị vào các cơ sở giáo dục đại học. Lợi ích của những kẻ này đang chuyển sang tải tinh thần liên tục ngày càng tăng. Những điều kiện hoạt động như vậy đặt ra yêu cầu ngày càng cao về sức bền và hiệu suất, và vì đặc điểm chính xác định sức mạnh của hệ thần kinh là khả năng chịu được sự kích thích kéo dài mà không rơi vào trạng thái ức chế cực độ, nên rõ ràng là vậy. Vì vậy, thành tích cao nhất được thể hiện bởi những học sinh có những đặc điểm của hệ thần kinh như sức bền và hiệu suất.
V.A. Krutetsky khi nghiên cứu hoạt động toán học của những học sinh có năng lực toán học, đã chú ý đến đặc điểm nổi bật của họ - khả năng duy trì căng thẳng trong thời gian dài, khi học sinh có thể học lâu và tập trung mà không tỏ ra mệt mỏi. Những quan sát này cho phép ông gợi ý rằng một đặc tính như sức mạnh của hệ thần kinh có thể là một trong những điều kiện tiên quyết tự nhiên thuận lợi cho sự phát triển khả năng toán học. Các mối quan hệ chúng tôi thu được phần nào xác nhận giả định này. Tại sao chỉ một phần? Nhiều nhà nghiên cứu ghi nhận sự giảm mệt mỏi trong giờ học toán ở những học sinh có năng lực toán so với những học sinh không có năng lực. I.A. Lyovochkina đã kiểm tra một mẫu chỉ bao gồm những học sinh có năng lực. Tuy nhiên, trong số họ không chỉ có những người có hệ thần kinh khỏe mạnh mà còn có những người được cho là có hệ thần kinh yếu. Điều này có nghĩa là không chỉ có thành tích chung cao, vốn là cơ sở tự nhiên thuận lợi để thành công trong loại hoạt động này, mới có thể đảm bảo sự phát triển các khả năng toán học.
Phân tích đặc điểm nhân cách cho thấy, nhìn chung, nhóm học sinh có hệ thần kinh yếu hơn có nhiều đặc điểm nhân cách như lý trí, thận trọng, kiên trì (yếu tố J+ theo Cattell), cũng như tính độc lập, độc lập (yếu tố Q2+). ). Những cá nhân có điểm cao về yếu tố J chú ý nhiều đến hành vi lập kế hoạch, phân tích sai lầm của mình, đồng thời thể hiện “chủ nghĩa cá nhân thận trọng”. Điểm cao ở yếu tố Q2 được trao cho những người có xu hướng đưa ra quyết định độc lập và có khả năng chịu trách nhiệm về những quyết định đó. Yếu tố này được gọi là “suy nghĩ hướng nội”. Có khả năng những người có hệ thần kinh yếu sẽ đạt được thành công trong loại hoạt động này, bao gồm cả việc phát triển các phẩm chất như lập kế hoạch hành động và tính độc lập.
Cũng có thể giả định rằng các cực khác nhau của đặc tính này của hệ thần kinh có thể liên quan đến các thành phần khác nhau của khả năng toán học. Được biết, đặc tính suy yếu của hệ thần kinh được đặc trưng bởi sự nhạy cảm tăng lên. Chính điều này có thể làm nền tảng cho khả năng hiểu sự thật một cách đột ngột, trực quan, “cái nhìn sâu sắc” hoặc phỏng đoán, vốn là một trong những thành phần quan trọng của khả năng toán học. Và mặc dù đây chỉ là một giả định, nhưng sự xác nhận của nó có thể được tìm thấy trong các ví dụ cụ thể ở những học sinh có năng khiếu toán học. Đây hai sáng nhất trong số này ví dụ. Dima Dựa trên kết quả chẩn đoán tâm sinh lý khách quan, anh ta có thể được xếp vào loại đại diện của một loại hệ thần kinh mạnh. Anh ấy là “ngôi sao hạng nhất” trong lớp toán. Điều quan trọng cần lưu ý là anh ấy đạt được thành công rực rỡ mà không cần bất kỳ nỗ lực rõ ràng nào, một cách dễ dàng. Không bao giờ phàn nàn về sự mệt mỏi. Bài học và toán học là môn thể dục tinh thần liên tục cần thiết đối với anh ấy. Ưu tiên đặc biệt được dành cho việc giải quyết các vấn đề phi tiêu chuẩn, nhiệm vụ phức tạp, đòi hỏi tư duy căng thẳng, phân tích sâu sắc, logic chặt chẽ. Dima không cho phép sự thiếu chính xác trong cách trình bày tài liệu. Nếu giáo viên mắc phải những thiếu sót logic khi giải thích, Dima chắc chắn sẽ chú ý đến điều này. Ông nổi bật bởi nền văn hóa trí tuệ cao. Điều này được xác nhận bởi kết quả kiểm tra. Dima có chỉ số trí thông minh chung cao nhất trong nhóm được kiểm tra - 149 đơn vị thông thường.
Anton- một trong những đại diện nổi bật nhất của loại hệ thần kinh yếu mà chúng tôi có cơ hội quan sát thấy ở những đứa trẻ có năng khiếu toán học. Anh ấy rất nhanh mệt mỏi trong lớp, không thể làm việc lâu và tập trung, và thường giao một số nhiệm vụ cho người khác mà không suy nghĩ đầy đủ. Sẽ xảy ra trường hợp anh ta từ chối giải quyết một vấn đề nếu anh ta thấy trước rằng nó sẽ đòi hỏi nỗ lực rất lớn. Tuy nhiên, bất chấp những đặc điểm này, các giáo viên đánh giá rất cao khả năng toán học của cậu. Thực tế là anh ấy có trực giác toán học tuyệt vời. Chuyện thường xảy ra là anh ấy là người đầu tiên quyết định những nhiệm vụ khó khăn nhất, tạo ra kết quả cuối cùng và bỏ qua tất cả các giai đoạn trung gian của lời giải. Anh ta được đặc trưng bởi khả năng "sáng suốt". Anh ấy không buồn giải thích tại sao giải pháp cụ thể này lại được chọn, nhưng khi thử nghiệm, nó tỏ ra tối ưu và độc đáo.
Khả năng toán học rất phức tạp và nhiều mặt trong cấu trúc của chúng. Chưa hết, dường như có hai loại người chính với biểu hiện của họ - đó là “nhà hình học” và “nhà phân tích”. Trong lịch sử toán học, những ví dụ nổi bật về điều này có thể là những cái tên như Pythagoras và Euclid (các nhà hình học lớn nhất), Kovalevskaya và Klein (các nhà phân tích, người tạo ra lý thuyết về hàm số). Sự phân chia này chủ yếu dựa trên đặc điểm nhận thức cá nhân về thực tế, bao gồm cả tài liệu toán học. Nó không được xác định bởi chủ đề mà nhà toán học làm việc: các nhà phân tích vẫn là nhà phân tích về hình học, trong khi các nhà hình học thích nhận thức bất kỳ thực tế toán học nào theo nghĩa bóng. Về vấn đề này, thật thích hợp khi trích dẫn câu nói của A. Poincaré: “Không phải vấn đề họ thảo luận buộc họ phải sử dụng phương pháp này hay phương pháp khác. Nếu người ta thường nói về một số người rằng họ là nhà phân tích và những người khác được gọi là nhà hình học, thì điều này không ngăn cản những người trước đây tiếp tục là nhà phân tích còn lại, ngay cả khi họ nghiên cứu các câu hỏi về hình học, trong khi những người khác là nhà hình học, ngay cả khi họ tham gia vào phân tích thuần túy. ”
Trong thực tế ở trường, khi làm việc với những học sinh có năng khiếu, những khác biệt này không chỉ thể hiện ở mức độ thành công khác nhau trong việc thông thạo các phần khác nhau của toán học mà còn ở thái độ ưu tiên đối với các nguyên tắc giải quyết vấn đề. Một số học sinh cố gắng giải quyết mọi vấn đề bằng cách sử dụng các công thức và lý luận logic, trong khi những học sinh khác sử dụng các biểu diễn không gian bất cứ khi nào có thể. Hơn nữa, những khác biệt này rất ổn định. Tất nhiên, trong số học sinh cũng có những người có sự cân bằng nhất định về những đặc điểm này. Họ thành thạo tất cả các ngành toán học một cách trôi chảy như nhau, bằng cách sử dụng nguyên tắc khác nhau cách tiếp cận để giải quyết các vấn đề khác nhau. Sự khác biệt cá nhân giữa các học sinh trong cách tiếp cận giải quyết vấn đề và phương pháp giải quyết chúng đã được I.A. Lyovochkina không chỉ thông qua việc quan sát học sinh khi làm việc trên lớp mà còn thông qua thử nghiệm. Để phân tích các thành phần riêng lẻ của khả năng toán học, giáo viên thực nghiệm V.M. Sapozhnikov đã phát triển một loạt các bài toán thí nghiệm đặc biệt. Phân tích kết quả giải các bài toán trong loạt bài này giúp có được cái nhìn khách quan về bản chất hoạt động tinh thần của học sinh và mối quan hệ giữa các thành phần tượng hình và phân tích của tư duy toán học.
Học sinh được xác định là ai giỏi giải các bài toán đại số hơn, cũng như những ai giỏi giải các bài toán hình học hơn. Thí nghiệm cho thấy trong số học sinh có những đại diện thuộc kiểu tư duy toán học phân tích, được đặc trưng bởi thành phần logic-lời nói chiếm ưu thế rõ ràng. Họ không cần những sơ đồ trực quan; họ thích làm việc với những biểu tượng mang tính biểu tượng hơn. Tư duy của những học sinh thích các nhiệm vụ hình học được đặc trưng bởi thành phần hình ảnh và hình ảnh rõ ràng hơn. Những học sinh này có nhu cầu thể hiện và diễn giải bằng hình ảnh trong việc diễn đạt các mối quan hệ và sự phụ thuộc toán học.
Từ tổng số học sinh có năng khiếu toán học tham gia thí nghiệm, những “nhà phân tích” và “nhà hình học” sáng giá nhất đã được xác định, tạo thành hai nhóm cực đoan. Nhóm “nhà phân tích” bao gồm 11 người, những đại diện nổi bật nhất của kiểu tư duy logic-lời nói. Nhóm “hình học” gồm 5 người có lối tư duy hình ảnh – tượng hình sáng sủa. Theo chúng tôi, việc có thể chọn ít học sinh hơn đáng kể vào nhóm đại diện xuất sắc của các “nhà hình học” có thể được giải thích là do hoàn cảnh sau đây. Khi tổ chức các cuộc thi toán và Olympic, vai trò của các thành phần hình ảnh và nghĩa bóng của tư duy không được tính đến đầy đủ. Trong các nhiệm vụ thi đấu, tỷ lệ bài toán hình học thấp - từ 4 đến 5 nhiệm vụ mỗi bài. kịch bản hay nhất người ta nhằm mục đích xác định các khái niệm không gian ở học sinh. Vì vậy, trong quá trình tuyển chọn, những nhà toán học và hình học có năng lực tiềm tàng với kiểu tư duy hình tượng-hình ảnh sáng sủa sẽ bị “cắt bỏ”. Phân tích sâu hơn được thực hiện bằng phương pháp so sánh thống kê sự khác biệt nhóm(Bài kiểm tra t của học sinh) về tất cả các chỉ số tâm sinh lý và tâm lý hiện có.
Được biết, khái niệm hình học của I.P. Ngoài ra Pavlova lý thuyết sinh lý Các đặc tính của hệ thần kinh bao gồm việc phân loại các loại hoạt động thần kinh cấp cao cụ thể của con người, khác nhau về tỷ lệ của các hệ thống tín hiệu. Đây là những “nghệ sĩ”, với ưu thế là những người đầu tiên hệ thống tín hiệu, “những người suy nghĩ”, với ưu thế là hệ thống tín hiệu thứ hai và loại trung bình, với sự cân bằng của cả hai hệ thống. Đối với “các nhà tư tưởng”, đặc điểm nổi bật nhất là cách xử lý thông tin trừu tượng-hợp lý, trong khi “nghệ sĩ” có nhận thức sinh động, giàu trí tưởng tượng, tổng thể về thực tế. Tất nhiên, những khác biệt này không phải là tuyệt đối mà chỉ phản ánh những hình thức phản ứng chiếm ưu thế. Những nguyên tắc tương tự tạo nên sự khác biệt giữa “nhà phân tích” và “nhà hình học”. Những người trước đây thích các phương pháp phân tích để giải quyết bất kỳ vấn đề toán học nào, nghĩa là chúng gần giống với các “nhà tư tưởng” về mặt loại hình. “Các nhà hình học” cố gắng tách biệt các thành phần tượng trưng trong các vấn đề, từ đó hành động theo cách đặc trưng của các “nghệ sĩ”.
Gần đây, một số tác phẩm đã xuất hiện trong đó người ta đã cố gắng kết hợp học thuyết về các đặc tính cơ bản của hệ thần kinh với những ý tưởng về loại người cụ thể - “nghệ sĩ” và “nhà tư tưởng”. Người ta đã xác định rằng những người có hệ thần kinh mạnh mẽ, không ổn định và kích hoạt sẽ thiên về loại “nghệ thuật”, còn những người có hệ thần kinh yếu, trơ và bất hoạt sẽ thiên về loại “tinh thần” (Pechenkov V.V., 1989). Trong tác phẩm của I.A. Levochkina, trong số các chỉ số về các đặc tính khác nhau của hệ thần kinh, đặc điểm tâm sinh lý có nhiều thông tin nhất trong việc chẩn đoán các kiểu tư duy toán học hóa ra lại là đặc điểm về đặc tính mạnh-yếu của hệ thần kinh. Nhóm “nhà phân tích” bao gồm những người có hệ thần kinh tương đối yếu hơn so với nhóm “hình học”, nghĩa là sự khác biệt được xác định giữa các nhóm về đặc tính điểm mạnh-điểm yếu của hệ thần kinh phù hợp với kết quả thu được trước đó. Không có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê nào được tìm thấy ở hai đặc tính còn lại của hệ thần kinh (khả năng ổn định, khả năng kích hoạt) và các xu hướng mới nổi không mâu thuẫn với các giả định ban đầu.
Một phân tích so sánh về kết quả chẩn đoán các đặc điểm tính cách thu được bằng bảng câu hỏi Cattell cũng được thực hiện. Sự khác biệt có ý nghĩa thống kê giữa các nhóm được thiết lập dựa trên hai yếu tố - H và J. Đối với yếu tố H, nhóm “nhà phân tích” nhìn chung có thể được mô tả là tương đối dè dặt hơn, với phạm vi quan tâm hạn chế (H-). Thông thường, những người có điểm thấp ở yếu tố này thường khép kín và không cố gắng tiếp xúc thêm với mọi người. Nhóm “hình học” có giá trị cao về yếu tố cá nhân này (H+) và được phân biệt bởi tính bất cẩn và hòa đồng nhất định. Những người như vậy không gặp khó khăn trong giao tiếp, họ sẵn sàng liên lạc nhiều và không bị lạc trong những tình huống bất ngờ. Họ có tính nghệ thuật và có thể chịu được căng thẳng cảm xúc đáng kể. Đối với yếu tố J, yếu tố thường đặc trưng cho đặc điểm tính cách của chủ nghĩa cá nhân, nhóm “nhà phân tích” có giá trị trung bình nhóm cao. Điều này có nghĩa là họ được đặc trưng bởi tính hợp lý, thận trọng và kiên trì. Những người đạt điểm cao ở yếu tố này chú ý nhiều đến việc lập kế hoạch cho hành vi của mình, đồng thời vẫn thu mình và hành động cá nhân.
Ngược lại, những chàng trai trong nhóm “hình học” lại rất năng động và biểu cảm. Họ thích sự hợp tác, sẵn sàng tham gia nhóm lợi ích và đồng thời thể hiện hoạt động của mình. Những khác biệt nổi lên cho thấy các nhóm học sinh có năng khiếu toán học được nghiên cứu khác nhau nhiều nhất ở hai yếu tố, một mặt đặc trưng cho một xu hướng cảm xúc nhất định (kiềm chế, thận trọng - vô tư, biểu cảm), mặt khác là đặc điểm trong mối quan hệ giữa các cá nhân (khép kín). - tính xã hội). Điều thú vị là, việc mô tả những đặc điểm này phần lớn trùng khớp với mô tả về các kiểu người hướng ngoại và hướng nội do Eysenck đề xuất. Đổi lại, những loại này có một cách giải thích tâm sinh lý nhất định. Người hướng ngoại mạnh mẽ, không ổn định, năng động; người hướng nội yếu đuối, trì trệ, bất hoạt. Bộ đặc điểm tâm sinh lý tương tự cũng có được đối với các loại hoạt động thần kinh cao hơn cụ thể của con người - “nghệ sĩ” và “nhà tư tưởng”.
Kết quả thu được của I.A. Levochkina, cho phép chúng ta xây dựng một số hội chứng nhất định về mối quan hệ giữa các đặc điểm tâm sinh lý, tâm lý và các kiểu tư duy toán học.
“Nhà phân tích” “Nhà địa lý”
(trừu tượng-logic (kiểu tư duy trực quan-tượng hình)
kiểu tư duy)
ns yếu Mạnh mẽ n.s. thận trọng vô tư cô lập hòa đồng người hướng nội người hướng ngoại
Do đó, được thực hiện bởi I.A. Nghiên cứu toàn diện của Lyovochkina về học sinh có năng khiếu toán học đã giúp xác nhận bằng thực nghiệm sự hiện diện của một sự kết hợp nhất định giữa các yếu tố tâm lý và tâm sinh lý tạo thành cơ sở thuận lợi cho sự phát triển khả năng toán học. Điều này áp dụng cho cả khía cạnh chung và khía cạnh đặc biệt trong việc thể hiện loại khả năng này.
Một vài lời về khả năng đọc bản vẽ.
Trong lúc học N. P. Linkova“Khả năng đọc bản vẽ ở học sinh THCS” đã chứng minh khả năng đọc và thực hiện bản vẽ là một trong những điều kiện đảm bảo sự thành công của các hoạt động trong lĩnh vực công nghệ. Vì vậy, việc nghiên cứu khả năng đọc bản vẽ được đưa vào như một phần không thể thiếu trong nghiên cứu về sáng tạo kỹ thuật.
Thông thường, một nhà thiết kế sử dụng các hình vẽ để thể hiện những suy nghĩ nảy sinh trong quá trình giải quyết vấn đề.
Nhà thiết kế cần có trình độ đọc bản vẽ thành thạo như vậy, tại đó quá trình tạo hình ảnh từ hình ảnh phẳng của nó chuyển từ mục đích đặc biệt thành phương tiện giúp giải quyết một số vấn đề khác.
Sự khác biệt giữa hai cấp độ kỹ năng đọc bản vẽ này không chỉ nằm ở mục tiêu được đặt ra - thể hiện một đối tượng từ hình ảnh của nó hoặc sử dụng hình ảnh thu được để giải quyết vấn đề mà còn ở bản chất của hoạt động.
Thí nghiệm được thực hiện với học sinh nhỏ tuổi, khẳng định kết quả thu được khi làm việc với học sinh trung học.
Để thành thạo kỹ thuật đọc bản vẽ, điều quan trọng nhất là học sinh có khả năng thực hiện các thao tác logic nhất định. Trước hết, những điều này bao gồm khả năng tiến hành phân tích logic các hình ảnh và liên hệ chúng với nhau, đưa ra các giả thuyết dự đoán các quyết định, đưa ra kết luận logic dựa trên các hình ảnh có sẵn và thực hiện xác minh cần thiết các giả định của một người.
Khả năng thành thạo loại hoạt động này, thường được gọi là khả năng suy nghĩ logic, có thể được coi là trung tâm trong số các thành phần đảm bảo khả năng đọc bản vẽ thành công.
Nó phải được kết hợp với sự linh hoạt trong suy nghĩ, với khả năng từ bỏ con đường sai lầm mà một quyết định đã đưa ra, hoặc thậm chí là quyết định đã nhận được.
Sự hình dung trong tâm trí về hình ảnh của một vật thể dựa trên hình ảnh của nó chỉ có thể xuất hiện nhờ sự phân tích như vậy.
Sự xuất hiện của một hình ảnh là kết quả của một số hành động nhất định. Nếu nhiệm vụ quá dễ dàng đối với học sinh, những hành động này sẽ bị cắt giảm và không được chú ý. Nhưng chúng sẽ xuất hiện ngay lập tức nếu nhiệm vụ trở nên phức tạp hơn hoặc nếu có bất kỳ khó khăn nào phát sinh trong quá trình giải quyết.
Sự thành công của việc đọc bản vẽ được đảm bảo đồng thời bằng cả khả năng phân tích logic của hình ảnh và hoạt động của trí tưởng tượng không gian, nếu không có sự xuất hiện của hình ảnh là không thể. Tuy nhiên, phân tích logic đóng vai trò chủ đạo trong công việc này. Nó xác định hướng tìm kiếm giải pháp - phân tích không thành công hoặc không đầy đủ dẫn đến xuất hiện hình ảnh không chính xác.
Khả năng tạo ra hình ảnh ổn định và sống động trong tình huống này sẽ chỉ làm phức tạp thêm tình hình.
2. Thí nghiệm đã chỉ ra rằng ở một số học sinh tiểu học, các thành phần khả năng cần thiết để thành thạo kỹ thuật đọc bản vẽ đã đạt đến mức các em có thể dễ dàng hoàn thành nhiều nhiệm vụ khác nhau trong khóa học vẽ ở trường.
Đối với đa số học sinh ở độ tuổi này, việc phải phân tích logic các hình ảnh, đưa ra kết luận và biện minh cho quyết định của mình gây ra những khó khăn nghiêm trọng. Chúng ta đang nói về mức độ phát triển khả năng suy nghĩ logic.
Kết luận: việc học vẽ hình chiếu có thể bắt đầu từ bậc tiểu học. Khả năng tổ chức khóa đào tạo như vậy đã được thử nghiệm trong một thí nghiệm đặc biệt được thực hiện cùng với E.A. Faraponova (Linkova, Faraponova, 1967).
Nhưng khi tổ chức đào tạo như vậy cần phải có những thay đổi nghiêm túc về phương pháp.
Trước hết, những thay đổi này sẽ đi theo hướng làm suy yếu các yêu cầu phân tích logic ở giai đoạn đào tạo đầu tiên. Điều quan trọng không kém là nếu không dỡ bỏ thì ít nhất cũng không làm phức tạp các yêu cầu về trí tưởng tượng không gian bằng cách đưa ra các kỹ thuật giải thích vật liệu như thiết kế các điểm trên mặt phẳng. góc tam giác, xoay chuyển tinh thần của các mô hình hoặc hình ảnh của họ.
Yêu cầu này được giải thích không quá nhiều bởi sự phát triển kém về trí tưởng tượng không gian ở trẻ em ở độ tuổi này (phần lớn nó khá phát triển), mà bởi chúng không chuẩn bị để thực hiện đồng thời một số thao tác.
Nghiên cứu cho thấy có sự khác biệt rất lớn giữa các học sinh về mức độ phát triển các khả năng cần thiết để thành thạo kỹ thuật đọc bản vẽ, bắt đầu từ thời điểm các em đến trường. Câu hỏi về nguyên nhân của những khác biệt này và cách thức phát triển những khả năng này không được xem xét trong nghiên cứu của N.P. Linkova.
"KHÔNG không một đứa trẻ Không có khả năng, tầm thường. Quan trọng, ĐẾN cái này tâm trí, cái này tài năng trở nên nền tảng thành công V. giảng bài, ĐẾN không một học sinh Không đã học dưới của họ cơ hội” (Sukhomlinsky V.A.)
Khả năng toán học là gì? Hay chúng chẳng qua là sự chuyên môn hóa về mặt chất lượng của các quá trình tâm thần nói chung và đặc điểm tính cách, tức là những khả năng trí tuệ tổng quát được phát triển liên quan đến hoạt động toán học? Khả năng toán học là một thuộc tính thống nhất hay toàn vẹn? Trong trường hợp sau, chúng ta có thể nói về cấu trúc của khả năng toán học, về các thành phần của khả năng này giáo dục phức tạp. Các nhà tâm lý học và nhà giáo dục đã tìm kiếm câu trả lời cho những câu hỏi này từ đầu thế kỷ này, nhưng vẫn chưa có một quan điểm thống nhất nào về vấn đề khả năng toán học. Chúng ta hãy cố gắng hiểu những vấn đề này bằng cách phân tích công việc của một số chuyên gia hàng đầu đã nghiên cứu vấn đề này.
Trong tâm lý học rất coi trọng vấn đề năng lực nói chung và vấn đề năng lực học sinh nói riêng. Toàn bộ dòng Nghiên cứu của các nhà tâm lý học nhằm xác định cấu trúc năng lực của học sinh đối với các loại hoạt động khác nhau.
Trong khoa học, đặc biệt là tâm lý học, vẫn tiếp tục có những cuộc tranh luận về bản chất của các khả năng, cấu trúc, nguồn gốc và sự phát triển của chúng. Không đi sâu vào chi tiết các cách tiếp cận truyền thống và mới đối với vấn đề năng lực, chúng tôi sẽ chỉ ra một số điểm gây tranh cãi chính nhiều điểm khác nhau quan điểm của các nhà tâm lý học về khả năng. Tuy nhiên, không ai trong số họ cách tiếp cận chungđến vấn đề này.
Sự khác biệt trong cách hiểu bản chất của các khả năng trước hết nằm ở chỗ chúng được coi là tài sản có được về mặt xã hội hay được thừa nhận là tự nhiên. Một số tác giả hiểu khả năng là tập hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của một người đáp ứng yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó, không giới hạn ở sự chuẩn bị, kiến thức, kỹ năng và khả năng hiện có. Ở đây bạn nên chú ý đến một số sự thật. Thứ nhất, khả năng là những đặc điểm cá nhân, nghĩa là những gì phân biệt người này với người khác. Thứ hai, đây không chỉ là những tính năng mà còn đặc điểm tâm lý. Và cuối cùng, khả năng không phải là bất kỳ đặc điểm tâm lý cá nhân nào mà chỉ là những đặc điểm đáp ứng yêu cầu của một hoạt động nhất định.
Với cách tiếp cận khác, được thể hiện rõ ràng nhất bởi K.K. Platonov, một khả năng được coi là bất kỳ phẩm chất nào của “cấu trúc chức năng năng động của một nhân cách” nếu nó đảm bảo sự phát triển và thực hiện thành công một hoạt động. Tuy nhiên, theo ghi nhận của V.D. Shadrikov, “với cách tiếp cận khả năng này, khía cạnh bản thể học của vấn đề được chuyển sang sự sáng tạo, được hiểu là những đặc điểm giải phẫu và sinh lý của con người, làm cơ sở cho sự phát triển các khả năng. Giải pháp cho vấn đề tâm sinh lý đã đi vào ngõ cụt trong bối cảnh năng lực như vậy, vì năng lực, như phạm trù tâm lý không được coi là tài sản của não. Dấu hiệu của sự thành công không còn hiệu quả nữa, bởi vì sự thành công của một hoạt động được quyết định bởi mục tiêu, động lực và nhiều yếu tố khác." Theo lý thuyết về khả năng của ông, có thể định nghĩa một cách hiệu quả các khả năng là những đặc điểm chỉ liên quan đến khả năng của chúng. cá nhân và phổ quát.
Phổ quát (chung) cho từng khả năng của V.D. Shadrikov đặt tên cho tài sản trên cơ sở thực hiện một chức năng tinh thần cụ thể. Mỗi thuộc tính đại diện cho đặc tính thiết yếu hệ thống chức năng. Để nhận ra đặc tính này mà một điều kiện cụ thể hệ thống chức năng trong quá trình phát triển tiến hóa của con người, ví dụ, khả năng phản ánh đầy đủ thế giới khách quan(nhận thức) hoặc đặc tính ghi lại những ảnh hưởng bên ngoài (trí nhớ), v.v. Tài sản đó thể hiện trong quá trình hoạt động. Vì vậy, giờ đây có thể định nghĩa các khả năng từ vị trí của cái phổ quát như một đặc tính của một hệ thống chức năng thực hiện các chức năng tinh thần cá nhân.
Có hai loại thuộc tính: loại không có cường độ và do đó không thể thay đổi nó, và loại có cường độ, nghĩa là chúng có thể lớn hơn hoặc ít hơn. Khoa học nhân đạo chủ yếu đề cập đến các thuộc tính thuộc loại thứ nhất, các thuộc tính tự nhiên có thuộc tính thuộc loại thứ hai. Các chức năng tâm thần được đặc trưng bởi các đặc tính có cường độ, thước đo mức độ nghiêm trọng. Điều này cho phép bạn xác định khả năng từ vị trí của một cá nhân (riêng biệt, cá nhân). Số ít sẽ được thể hiện bằng thước đo mức độ nghiêm trọng của tài sản;
Do đó, theo lý thuyết trình bày ở trên, khả năng có thể được định nghĩa là các thuộc tính của hệ thống chức năng thực hiện các chức năng tinh thần riêng lẻ, có thước đo biểu hiện riêng, thể hiện ở sự thành công và tính độc đáo về chất lượng của việc phát triển và thực hiện các hoạt động. Khi đánh giá thước đo cá nhân về mức độ nghiêm trọng của khả năng, nên sử dụng các thông số tương tự như khi mô tả bất kỳ hoạt động nào: năng suất, chất lượng và độ tin cậy (về chức năng tâm thần được đề cập).
Một trong những người khởi xướng nghiên cứu khả năng toán học của học sinh là nhà toán học xuất sắc người Pháp A. Poincaré. Ông nêu đặc điểm của khả năng toán học sáng tạo và xác định thành phần quan trọng nhất của chúng - trực giác toán học. Kể từ đó, việc nghiên cứu vấn đề này bắt đầu. Sau đó, các nhà tâm lý học đã xác định được ba loại khả năng toán học - số học, đại số và hình học. Đồng thời, câu hỏi về sự hiện diện của khả năng toán học vẫn chưa được giải quyết.
Ngược lại, các nhà nghiên cứu W. Haecker và T. Ziegen đã xác định bốn thành phần phức tạp chính: không gian, logic, số, biểu tượng, là “cốt lõi” của khả năng toán học. Trong các thành phần này, họ phân biệt giữa hiểu, ghi nhớ và vận hành.
Cùng với thành phần chính của tư duy toán học là khả năng tư duy chọn lọc, suy luận suy diễn trong lĩnh vực số và biểu tượng, khả năng tư duy trừu tượng, A. Blackwell cũng nêu bật khả năng điều khiển các vật thể không gian. Ông cũng ghi chú khả năng nói và khả năng lưu giữ dữ liệu trong bộ nhớ một cách chính xác và theo thứ tự nghiêm ngặt và ý nghĩa.
Một phần đáng kể trong số đó được quan tâm ngày nay. Trong cuốn sách có tựa đề ban đầu là “Tâm lý học đại số”, E. Thorndike lần đầu tiên trình bày là phổ biến toán học khả năng: khả năng xử lý các ký hiệu, lựa chọn và thiết lập các mối quan hệ, khái quát hóa và hệ thống hóa, lựa chọn các yếu tố, dữ liệu cần thiết theo một cách nhất định, đưa ý tưởng và kỹ năng vào một hệ thống. Ông cũng nhấn mạnh đặc biệt đại số khả năng: khả năng hiểu và soạn các công thức, thể hiện các mối quan hệ định lượng dưới dạng công thức, biến đổi công thức, tạo phương trình biểu thị các mối quan hệ định lượng này, giải phương trình, thực hiện các phép biến đổi đại số giống hệt nhau, biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm số của hai đại lượng, v.v.
Một trong những nghiên cứu quan trọng nhất về khả năng toán học kể từ khi công trình của E. Thorndike được xuất bản thuộc về nhà tâm lý học người Thụy Điển I. Werdelin. Ông đưa ra một định nghĩa rất rộng về khả năng toán học, phản ánh các khía cạnh sinh sản và sản xuất, sự hiểu biết và ứng dụng, nhưng ông tập trung vào khía cạnh quan trọng nhất trong số những khía cạnh này - khía cạnh năng suất, được khám phá trong quá trình giải quyết vấn đề. Nhà khoa học tin rằng bản chất của khả năng toán học có thể bị ảnh hưởng bởi phương pháp giảng dạy.
Nhà tâm lý học hàng đầu Thụy Sĩ J. Piaget đã đưa ra tầm quan trọng lớn hoạt động tinh thần, làm nổi bật sự phát triển bản thể của trí thông minh, giai đoạn của các hoạt động cụ thể được chính thức hóa kém liên quan đến dữ liệu cụ thể và giai đoạn của các hoạt động chính thức hóa tổng quát, khi các cấu trúc toán tử được tổ chức. Ông liên hệ cái sau với ba cấu trúc toán học cơ bản được xác định bởi N. Bourbaki: đại số, cấu trúc trật tự và tôpô. J. Piaget khám phá ra tất cả các loại cấu trúc này trong quá trình phát triển các phép tính số học và hình học trong tâm trí trẻ cũng như trong các đặc điểm của trẻ. các phép toán logic. Từ đó rút ra kết luận về sự cần thiết phải tổng hợp cấu trúc toán học và cấu trúc toán tử của tư duy trong quá trình dạy học toán.
Trong tâm lý học, V.A. đã nghiên cứu vấn đề về khả năng toán học. Krutetsky. Trong cuốn sách “Tâm lý học năng lực toán học của học sinh”, ông đưa ra những nhận xét sau: sơ đồ chung cấu trúc năng lực toán học của học sinh. Thứ nhất, thu thập thông tin toán học - khả năng nhận thức hình thức tài liệu toán học và nắm bắt cấu trúc của bài toán. Thứ hai, xử lý thông tin toán học - khả năng tư duy logic trong lĩnh vực quan hệ định lượng và không gian, biểu tượng số và ký hiệu, khả năng suy nghĩ bằng ký hiệu toán học, khả năng khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng toán học, các mối quan hệ và hành động, khả năng thu gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống hành động phù hợp, khả năng suy nghĩ theo cấu trúc thu gọn. Tính linh hoạt của quá trình suy nghĩ trong hoạt động toán học, mong muốn sự rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm và hợp lý của các quyết định cũng cần thiết. Ở đây, một vai trò thiết yếu được thể hiện bởi khả năng sắp xếp lại hướng của quá trình suy nghĩ một cách nhanh chóng và tự do, chuyển từ dòng suy nghĩ trực tiếp sang đảo ngược (tính đảo ngược của quá trình suy nghĩ trong lý luận toán học). Thứ ba, việc lưu trữ thông tin toán học là trí nhớ toán học (trí nhớ tổng quát về các quan hệ toán học, các đặc điểm điển hình, các hình thức suy luận và chứng minh, các phương pháp giải quyết vấn đề và nguyên tắc tiếp cận chúng). Và cuối cùng, thành phần tổng hợp chung là định hướng toán học của tâm trí. Tất cả các nghiên cứu trên đều cho rằng yếu tố suy luận toán học tổng quát làm nền tảng cho năng lực trí tuệ nói chung và năng lực toán học có cơ sở trí tuệ tổng quát.
Từ sự hiểu biết khác nhau bản chất của khả năng theo sau phương pháp khác nhauđến việc tiết lộ cấu trúc của chúng, mà đối với các tác giả khác nhau, nó xuất hiện dưới dạng một tập hợp phẩm chất khác nhau, được xếp loại bởi vì nhiều lý do và theo tỷ lệ khác nhau.
Không có câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi về nguồn gốc và sự phát triển của các khả năng, mối liên hệ của chúng với hoạt động. Cùng với tuyên bố rằng các khả năng ở dạng chung tồn tại ở một người trước khi hoạt động như một điều kiện tiên quyết để thực hiện nó. Một quan điểm khác, trái ngược nhau cũng được bày tỏ: khả năng không tồn tại trước hoạt động của B.M. Teplov. Vị trí cuối cùng dẫn đến ngõ cụt, vì không rõ hoạt động bắt đầu được thực hiện như thế nào nếu không có khả năng thực hiện. Trên thực tế, những khả năng một mức độ nhất định sự phát triển của chúng tồn tại trước hoạt động, và khi bắt đầu hoạt động, chúng xuất hiện và sau đó phát triển trong hoạt động nếu nó ngày càng thể hiện nhiều hơn. yêu cầu caođến một người.
Tuy nhiên, điều này không tiết lộ mối quan hệ giữa kỹ năng và khả năng. Một giải pháp cho vấn đề này đã được đề xuất bởi V.D. Shadrikov. Ông tin rằng bản chất của sự khác biệt về mặt bản thể giữa khả năng và kỹ năng là như sau: khả năng được mô tả bởi một hệ thống chức năng, một trong những yếu tố bắt buộc của nó là thành phần tự nhiên, trong đó các cơ chế chức năng của khả năng hoạt động và các kỹ năng được mô tả bằng một hệ thống đẳng hình, một trong những thành phần chính của nó là các khả năng thực hiện trong hệ thống này những chức năng thực hiện các cơ chế chức năng trong hệ thống khả năng. Như vậy, hệ thống chức năng của kỹ năng dường như phát triển từ hệ thống khả năng. Đây là một hệ thống ở cấp độ tích hợp thứ cấp (nếu chúng ta lấy hệ thống khả năng làm chính).
Nói về khả năng nói chung, cần lưu ý rằng khả năng có nhiều cấp độ khác nhau, có tính giáo dục và sáng tạo. Khả năng học tậpđã được liên kết với sự đồng hóa phương pháp đã biết thực hiện các hoạt động, tiếp thu kiến thức, kỹ năng và khả năng. Sự sáng tạo gắn liền với việc tạo ra một sản phẩm mới, độc đáo, với việc tìm ra những cách thức thực hiện hoạt động mới. Từ quan điểm này, ví dụ, có sự khác biệt giữa khả năng học và nghiên cứu toán học và khả năng sáng tạo toán học. Nhưng, như J. Hadamard đã viết, “giữa công việc của sinh viên, người giải quyết vấn đề... và tác phẩm sáng tạo, sự khác biệt chỉ ở mức độ, vì cả hai tác phẩm đều có tính chất tương tự nhau."
Tuy nhiên, những điều kiện tiên quyết tự nhiên rất quan trọng, chúng không phải là khả năng thực tế mà là khuynh hướng. Bản thân những khuynh hướng không có nghĩa là một người sẽ phát triển những khả năng tương ứng. Sự phát triển năng lực phụ thuộc vào nhiều điều kiện xã hội (giáo dục, nhu cầu giao tiếp, hệ thống giáo dục).
Các loại khả năng:
1. Khả năng bẩm sinh (tự nhiên).
Chúng phổ biến ở con người và động vật: nhận thức, trí nhớ và khả năng giao tiếp cơ bản. Những khả năng này liên quan trực tiếp đến khả năng bẩm sinh. Trên cơ sở những khuynh hướng này ở một người, với sự hiện diện của các năng lực cơ bản Trải nghiệm sống, thông qua cơ chế học tập, những năng lực cụ thể được hình thành.
2. Khả năng cụ thể.
Tổng quát: quyết định sự thành công của một người trong các hoạt động khác nhau (khả năng trí tuệ, lời nói, độ chính xác của các động tác thủ công).
Đặc biệt: quyết định sự thành công của một người trong các loại cụ thể các hoạt động đòi hỏi một loại khuynh hướng đặc biệt và sự phát triển của chúng (khả năng âm nhạc, toán học, ngôn ngữ, kỹ thuật, nghệ thuật).
Ngoài ra, khả năng được chia thành lý thuyết và thực hành. Những lý thuyết xác định trước xu hướng của một người đối với những suy nghĩ lý thuyết trừu tượng và những xu hướng thực tế - đối với những hành động thực tế cụ thể. Thông thường, khả năng lý thuyết và thực hành không kết hợp với nhau. Hầu hết mọi người đều có loại khả năng này hoặc loại khả năng khác. Cùng nhau chúng cực kỳ hiếm.
Ngoài ra còn có sự phân chia thành khả năng giáo dục và sáng tạo. Cái trước quyết định sự thành công của việc học tập, tiếp thu kiến \u200b\u200bthức, kỹ năng và khả năng, còn cái sau quyết định khả năng khám phá và phát minh, sáng tạo ra những đối tượng mới của văn hóa vật chất và tinh thần.
3. Khả năng sáng tạo.
Trước hết, đây là khả năng của một người trong việc tìm ra góc nhìn đặc biệt về những sự việc hoặc công việc quen thuộc hàng ngày. Kỹ năng này trực tiếp phụ thuộc vào tầm nhìn của một người. Càng biết nhiều, anh ta càng dễ dàng nhìn vấn đề đang nghiên cứu từ các góc độ khác nhau. Người sáng tạo không ngừng nỗ lực tìm hiểu thêm về thế giới xung quanh chúng ta, không chỉ trong lĩnh vực hoạt động cốt lõi mà còn trong các ngành liên quan. Trong hầu hết các trường hợp người sáng tạo- trước hết nó là bản gốc người đàn ông biết suy nghĩ có khả năng giải pháp phi tiêu chuẩn.
Các cấp độ phát triển năng lực:
- 1) Xu hướng - điều kiện tiên quyết tự nhiên cho khả năng;
- 2) Khả năng - sự hình thành phức tạp, toàn diện, tinh thần, sự tổng hợp độc đáo của các đặc tính và thành phần;
- 3) Năng khiếu là sự kết hợp độc đáo của các khả năng mang đến cho một người cơ hội thực hiện thành công bất kỳ hoạt động nào;
- 4) Thành thạo - sự hoàn hảo trong một loại hoạt động cụ thể;
- 5) Tài năng - mức độ phát triển cao của các khả năng đặc biệt (đây là sự kết hợp nhất định của các khả năng phát triển cao, vì một khả năng biệt lập, thậm chí là một khả năng rất phát triển, không thể được gọi là tài năng);
- 6) Thiên tài là mức độ phát triển năng lực cao nhất (trong toàn bộ lịch sử văn minh chỉ có không quá 400 thiên tài).
Là phổ biến tâm thần khả năng- đây là những khả năng cần thiết để thực hiện không chỉ một mà nhiều loại hoạt động. Nói chung khả năng tinh thần bao gồm, ví dụ, những phẩm chất của tâm trí như hoạt động tinh thần, khả năng phê phán, tính hệ thống và sự chú ý tập trung. Con người được bẩm sinh có những khả năng chung. Bất kỳ hoạt động nào cũng được thành thạo trên nền tảng những khả năng chung phát triển trong hoạt động này.
Theo ghi nhận của V.D. Shadrikov," đặc biệt khả năng" Có khả năng chungđã đạt được các đặc điểm của hiệu quả dưới tác động của các yêu cầu hoạt động." Khả năng đặc biệt là những khả năng cần thiết để thành công trong việc thành thạo bất kỳ kỹ năng nào một số hoạt động nhất định. Những khả năng này cũng thể hiện sự thống nhất của các khả năng riêng tư của mỗi cá nhân. Ví dụ, như một phần của toán học khả năng vai trò lớn trí nhớ toán học chơi; khả năng tư duy logic trong lĩnh vực quan hệ định lượng và không gian; khái quát nhanh và rộng các tài liệu toán học; chuyển đổi dễ dàng và tự do từ hoạt động trí óc này sang hoạt động trí óc khác; mong muốn về sự rõ ràng, tính kinh tế, tính hợp lý của lý luận, v.v. Tất cả các khả năng cụ thể được thống nhất bởi khả năng cốt lõi là định hướng toán học của tâm trí (được hiểu là xu hướng cô lập các mối quan hệ không gian và định lượng, sự phụ thuộc chức năng trong nhận thức), gắn liền với nhu cầu hoạt động toán học.
A. Poincaré đã đi đến kết luận rằng vị trí quan trọng nhất trong khả năng toán học là khả năng xây dựng một cách hợp lý một chuỗi các phép toán sẽ dẫn đến việc giải quyết một vấn đề. Hơn nữa, nó không đủ để một nhà toán học có tri nho tot và sự chú ý. Theo Poincaré, những người có năng lực toán học được phân biệt bằng khả năng nắm bắt thứ tự các yếu tố cần thiết cho chứng minh toán học. Sự hiện diện của loại trực giác này là yếu tố chính của sự sáng tạo toán học.
LA Wenger cho rằng khả năng toán học là những đặc điểm của hoạt động tinh thần như khái quát hóa các đối tượng, mối quan hệ và hành động toán học, tức là khả năng nhìn nhận cái chung trong các biểu thức và nhiệm vụ cụ thể khác nhau; khả năng suy nghĩ “sụp đổ”, theo đơn vị lớn và “về mặt kinh tế”, không có chi tiết không cần thiết;
Để hiểu những phẩm chất nào khác cần có để đạt được thành công trong toán học, các nhà nghiên cứu đã phân tích hoạt động toán học: quá trình giải quyết vấn đề, phương pháp chứng minh, suy luận logic, đặc điểm của trí nhớ toán học. Phân tích này đã dẫn đến việc tạo ra các biến thể khác nhau của cấu trúc khả năng toán học, phức tạp trong thành phần thành phần của chúng. Đồng thời, ý kiến của hầu hết các nhà nghiên cứu đều thống nhất một điều: không có và không thể có khả năng toán học duy nhất được thể hiện rõ ràng, đó là đặc điểm tích lũy phản ánh đặc điểm của các quá trình tâm thần khác nhau: nhận thức, tư duy, trí nhớ; , trí tưởng tượng.
Việc xác định các thành phần quan trọng nhất của năng lực toán học được trình bày trên Hình 1:
Bức tranh 1
Một số nhà nghiên cứu còn xác định trí nhớ toán học là một thành phần độc lập cho các mô hình lý luận và chứng minh, các phương pháp giải quyết vấn đề và cách tiếp cận chúng. Một trong số đó là V.A. Krutetsky. Ông định nghĩa năng lực toán học như sau: “Qua khả năng nghiên cứu toán học, chúng ta hiểu được những đặc điểm tâm lý cá nhân (chủ yếu là đặc điểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động giáo dục toán học và những yếu tố khác không đổi, quyết định sự thành công của việc làm chủ sáng tạo toán học như một môn học, đặc biệt là việc nắm vững kiến thức, kỹ năng và khả năng tương đối nhanh, dễ và sâu trong lĩnh vực toán học.”
Trong công việc của mình, chúng tôi chủ yếu dựa vào nghiên cứu của nhà tâm lý học cụ thể này, vì nghiên cứu của ông về vấn đề này cho đến nay là mang tính toàn cầu nhất và các kết luận được chứng minh bằng thực nghiệm nhiều nhất.
Vì thế, V.A. Krutetsky phân biệt chín các thành phần toán học khả năng:
- 1. Khả năng hình thức hóa tài liệu toán học, tách hình thức khỏi nội dung, trừu tượng hóa khỏi các mối quan hệ định lượng cụ thể và các hình thức không gian và vận hành với các cấu trúc hình thức, cấu trúc của các mối quan hệ và kết nối;
- 2. Khả năng khái quát hóa tài liệu toán học, tách biệt cái chính, trừu tượng hóa cái không quan trọng, nhìn cái tổng quát ở những gì khác biệt bên ngoài;
- 3. Khả năng hoạt động với các ký hiệu số và ký hiệu;
- 4. Khả năng “lý luận logic nhất quán, được mổ xẻ chính xác” gắn với nhu cầu chứng cứ, biện minh, kết luận;
- 5. Khả năng rút ngắn quá trình suy luận, suy nghĩ theo cấu trúc thu gọn;
- 6. Khả năng đảo ngược quá trình suy nghĩ (chuyển từ dòng suy nghĩ trực tiếp sang dòng suy nghĩ ngược);
- 7. Tính linh hoạt trong tư duy, khả năng chuyển từ hoạt động tinh thần này sang hoạt động tinh thần khác, không bị ảnh hưởng bởi những khuôn mẫu và giấy nến;
- 8. Trí nhớ toán học. Có thể giả định rằng những đặc điểm của nó cũng kế thừa từ những đặc điểm của khoa học toán học, đó là trí nhớ dành cho những khái quát hóa, những cấu trúc hình thức hóa, những sơ đồ logic;
- 9. Khả năng biểu diễn không gian, liên quan trực tiếp đến sự hiện diện của một nhánh toán học như hình học.
Ngoài những thành phần được liệt kê, còn có những thành phần mà sự hiện diện của chúng trong cấu trúc năng lực toán học tuy hữu ích nhưng không cần thiết. Giáo viên, trước khi phân loại một học sinh có năng lực hay không có năng lực về toán, phải tính đến điều này. Các thành phần sau đây không bắt buộc trong cấu trúc năng khiếu toán học:
- 1. Tốc độ của quá trình suy nghĩ là một đặc điểm tạm thời.
- 2. Không có nhịp độ làm việc riêng có tầm quan trọng quyết định. Học sinh có thể suy nghĩ nhàn nhã, chậm rãi nhưng kỹ lưỡng và sâu sắc.
- 3. Khả năng thực hiện các phép tính nhanh và chính xác (đặc biệt là tính toán trí óc). Trên thực tế, khả năng tính toán không phải lúc nào cũng gắn liền với việc hình thành khả năng toán học (sáng tạo) thực sự.
- 4. Trí nhớ về số, số, công thức. Như Viện sĩ A.N. đã chỉ ra. Kolmogorov, nhiều nhà toán học kiệt xuất không có trí nhớ xuất sắc nào thuộc loại này.
Hầu hết các nhà tâm lý học và giáo viên khi nói về khả năng toán học đều dựa chính xác vào cấu trúc khả năng toán học này của V.A. Krutetsky. Tuy nhiên, trong quá trình nghiên cứu khác nhau hoạt động toán học của những học sinh thể hiện khả năng về vấn đề này môn học, một số nhà tâm lý học đã xác định được các thành phần khác của khả năng toán học. Đặc biệt, chúng tôi quan tâm đến kết quả công việc nghiên cứu Z.P. Gorelchenko. Ông lưu ý rằng những học sinh có năng lực toán học Các tính năng sau đây. Đầu tiên, ông làm rõ và mở rộng thành phần cấu trúc năng lực toán học, được gọi theo cách hiện đại là văn học tâm lý"sự khái quát khái niệm toán học" và bày tỏ ý tưởng về sự thống nhất giữa hai xu hướng tư duy trái ngược nhau của học sinh theo hướng khái quát hóa và “thu hẹp” các khái niệm toán học. Trong thành phần này có thể thấy sự phản ánh sự thống nhất giữa quy nạp và quy nạp. phương pháp suy diễn kiến thức của học sinh về những điều mới trong toán học. Thứ hai, những cơ sở biện chứng trong tư duy của học sinh khi nắm vững kiến thức toán mới. Điều này được thể hiện ở chỗ hầu hết mọi cá nhân thực tế toán học Những sinh viên có năng lực nhất cố gắng nhìn và hiểu thực tế ngược lại, hoặc ít nhất là xem xét trường hợp giới hạn của hiện tượng đang nghiên cứu. Thứ ba, ông lưu ý sự chú ý đặc biệt ngày càng tăng đến các mô hình toán học mới đang nổi lên trái ngược với những mô hình đã được thiết lập trước đó.
Một trong tính năng đặc trưng Khả năng toán học ngày càng tăng của học sinh và sự chuyển đổi của họ sang tư duy toán học trưởng thành cũng có thể được coi là sự hiểu biết tương đối sớm về sự cần thiết của các tiên đề như là chân lý ban đầu trong chứng minh. Việc học tiên đề và phương pháp tiên đề có thể tiếp cận được góp phần rất lớn vào việc thúc đẩy sự phát triển tư duy suy diễn của học sinh. Người ta cũng lưu ý rằng ý thức thẩm mỹ trong công việc toán học biểu hiện khác nhau ở những học sinh khác nhau. Các học sinh khác nhau phản ứng khác nhau trước những nỗ lực giáo dục và phát triển ở các em ý thức thẩm mỹ tương ứng với tư duy toán học của các em. Ngoài các thành phần nêu trên về khả năng toán học có thể và cần được phát triển, cũng cần phải tính đến thực tế là sự thành công của hoạt động toán học là kết quả của sự kết hợp các phẩm chất nhất định: thái độ tích cực tích cực đối với toán học, quan tâm đến nó, mong muốn tham gia vào nó, điều này biến thành niềm đam mê ở mức độ đam mê phát triển cao. Bạn cũng có thể xác định một số đặc điểm đặc trưng như: làm việc chăm chỉ, có tổ chức, tính độc lập, quyết tâm, kiên trì cũng như phẩm chất trí tuệ ổn định, cảm giác hài lòng khi làm việc chăm chỉ trí óc, niềm vui sáng tạo, khám phá, v.v. .
Có sẵn trong quá trình thực hiện các hoạt động các điều kiện thuận lợi để thực hiện trạng thái tinh thần, chẳng hạn như trạng thái hứng thú, sự tập trung, sức khỏe “tinh thần” tốt, v.v. Có nền tảng kiến thức, kỹ năng và khả năng nhất định trong lĩnh vực liên quan. Một số đặc điểm tâm lý cá nhân trong lĩnh vực giác quan và tinh thần đáp ứng yêu cầu của hoạt động này.
Những học sinh có năng lực toán học cao nhất được phân biệt bởi một phong cách tư duy toán học thẩm mỹ đặc biệt. Nó cho phép họ hiểu tương đối dễ dàng một số điểm tinh tế về mặt lý thuyết trong toán học, nắm bắt logic và vẻ đẹp hoàn hảo của lý luận toán học, đồng thời khắc phục những điểm thô hoặc thiếu chính xác nhỏ nhất trong cấu trúc logic của các khái niệm toán học. Mong muốn độc lập, bền vững về một giải pháp độc đáo, tinh tế và độc đáo vấn đề toán học, trước sự thống nhất hài hòa giữa các thành phần hình thức và ngữ nghĩa của việc giải quyết vấn đề, những phỏng đoán xuất sắc, đôi khi đi trước các thuật toán logic, đôi khi khó dịch sang ngôn ngữ ký hiệu, cho thấy sự hiện diện trong tư duy của một ý thức nhìn trước toán học phát triển tốt, đó là một trong những khía cạnh tư duy thẩm mỹ Trong toán học. Cảm xúc thẩm mỹ tăng lên trong quá trình tư duy toán học chủ yếu là đặc điểm của những học sinh có khả năng toán học phát triển cao và cùng với tính thẩm mỹ của tư duy toán học, có thể là một dấu hiệu quan trọng cho thấy sự hiện diện của năng lực toán học ở học sinh.