Для початку навчимося знаходити область визначення суми функцій. Зрозуміло, що така функція має сенс всім таких значень змінної, коли він мають сенс всі функції, складові суму. Тому не викликає сумнівів справедливість наступного твердження:
Якщо функція f - це сума n функцій f 1 , f 2 , …, f n , тобто, функція f визначається формулою y = f 1 (x) + f 2 (x) + ... + f n (x) , то областю визначення функції f є перетин областей визначення функцій f 1, f 2, …, f n. Запишемо це як.
Давайте умовимося і далі використовувати записи, подібні до останньої, під якими розумітимемо , записаних усередині фігурної дужки, або одночасне виконання будь-яких умов. Це зручно і досить природно перегукується із змістом систем.
приклад.
Дана функція y=x 7 +x+5+tgx і треба знайти її область визначення.
Рішення.
Функція f представлена сумою чотирьох функцій: f 1 - статечної функції з показником 7, f 2 - статечної функції з показником 1, f 3 - постійної функції та f 4 - функції тангенс.
Подивившись у таблицю областей визначення основних елементарних функцій, знаходимо, що D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , а областю визначення тангенсу є безліч всіх дійсних чисел, крім чисел 
.
Область визначення функції f – це перетин областей визначення функцій f 1, f 2, f 3 та f 4 . Досить очевидно, що це є безліч усіх дійсних чисел, за винятком чисел .
Відповідь:
безліч усіх дійсних чисел, крім .
Переходимо до знаходження галузі визначення добутку функцій. Для цього випадку має місце аналогічне правило:
Якщо функція f - це добуток n функцій f 1, f 2, …, f n, тобто, функція f задається формулою y = f 1 (x) · f 2 (x) · ... · f n (x)то область визначення функції f є перетин областей визначення функцій f 1 , f 2 , ..., f n . Отже, .
Воно й зрозуміло, у зазначеній області визначено всі функції твору, отже, і сама функція f .
приклад.
Y=3·arctgx·lnx .
Рішення.
Структуру правої частини формули, що задає функцію, можна розглядати так f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , де f 1 - це постійна функція, f 2 - це функція арктангенс, а f 3 - логарифмічна функція з основою e.
Нам відомо, що D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) та D(f 3)=(0, +∞) . Тоді 
.
Відповідь:
областю визначення функції y=3·arctgx·lnx є безліч всіх дійсних позитивних чисел.
Окремо зупинимося знаходженні області визначення функції, заданої формулою y=C·f(x) , де З – деяке дійсне число. Легко показати, що область визначення цієї функції область визначення функції f збігаються. Справді, функція y=C·f(x) – це добуток постійної функції та функції f . Області визначення постійної функції є безліч всіх дійсних чисел, а область визначення функції f є D(f) . Тоді область визначення функції y=Cf(x) є 
, Що і потрібно показати.
Отже, області визначення функцій y = f (x) і y = C · f (x) , де С - деяке дійсне число, збігаються. Наприклад, область визначення кореня є , стає ясно, що D(f) - це безліч всіх x з області визначення функції f 2 для яких f 2 (x) входить в область визначення функції f 1 .
Таким чином, область визначення складної функції y=f 1 (f 2 (x)) - це перетин двох множин: множини всіх таких x , що x∈D(f 2) , і множини всіх таких x , для яких f 2 (x)∈D(f 1) . Тобто, у прийнятих нами позначеннях 
(Це насправді система нерівностей).
Давайте розглянемо рішення кількох прикладів. У процесі ми не будемо докладно описувати, оскільки це виходить за рамки цієї статті.
приклад.
Знайти область визначення функції y=lnx2.
Рішення.
Вихідну функцію можна у вигляді y=f 1 (f 2 (x)) , де f 1 – логарифм з основою e , а f 2 – статечна функціяз показником 2 .
Звернувшись до відомим областямвизначення основних елементарних функцій, маємо D(f 1)=(0, +∞) та D(f 2)=(−∞, +∞) .
Тоді 
Так ми знайшли необхідну область визначення функції, їй є безліч всіх дійсних чисел, крім нуля.
Відповідь:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
приклад.
Яка область визначення функції 
?
Рішення.
Ця функціяскладна, її можна розглядати як y=f 1 (f 2 (x)) , де f 1 – статечна функція з показником, а f 2 – функція арксинус, і нам потрібно знайти її область визначення.
Подивимося, що відомо: D(f 1)=(0, +∞) і D(f 2)=[−1, 1] . Залишається знайти перетин множин таких значень x , що x∈D(f 2) і f 2 (x)∈D(f 1) : 
Щоб arcsinx>0 пригадаємо властивості функції арксинус. Арксинус зростає по всій області визначення [−1, 1] і звертається в нуль при x=0 , отже, arcsinx>0 для будь-якого x з проміжку (0, 1] .
Повернемося до системи: 
Таким чином, потрібна область визначення функції є напівінтервалом (0, 1] .
Відповідь:
(0, 1] .
Тепер давайте перейдемо до складних функцій загального вигляду y = f 1 (f 2 (f n (x)))) . Область визначення функції f у разі перебуває як 
.
приклад.
Знайти область визначення функції 
.
Рішення.
Задану складну функціюможна розписати як y = f 1 (f 2 (f 3 (x))), де f 1 - sin , f 2 - функція корінь четвертого ступеня, f 3 - lg.
Ми знаємо, що D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪/Режим доступу: Матеріали сайтів www.fipi.ru, www.eg
Додаток 1
Практична робота «ОДЗ: коли, навіщо та як?»
|
Варіант 1 |
Варіант 2 |
|
│х+14│= 2 - 2х |
|
|
│3-х│=1 - 3х |
Додаток 2
Відповіді до завдань практичної роботи«ОДЗ: коли, навіщо і як?»
|
Варіант 1 |
Варіант 2 |
|
Відповідь: коріння немає |
Відповідь: х-будь-яке число, крім х=5 |
|
9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Відповідь: коріння немає |
ОДЗ: х=-3, х=5. Відповідь:-3;5. |
|
у = -зменшується, у = -зростає Отже, рівняння має трохи більше одного кореня. Відповідь: х = 6. |
ОДЗ: → →х≥5 Відповідь: х≥5, х≤-6. |
|
│х+14│=2-2х ОДЗ: 2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не належить ОДЗ |
Убуває, -зростає Рівняння має трохи більше одного кореня. Відповідь: коріння немає. |
|
0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Відповідь: х≥3,х≤2 |
8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Відповідь: коріння немає. |
|
х = 7, х = 1. Відповідь: рішень немає |
Зростає, - зменшується Відповідь: х = 2. |
|
0 ОДЗ: х≠15 Відповідь: х-будь-яке число, крім х = 15. |
│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не належить ОДЗ. Відповідь: х = -1. |
Вирішуючи різні завданнянам дуже часто доводиться проводити тотожні перетворення виразів. Але буває, що якесь перетворення в одних випадках допустиме, а в інших – ні. Істотну допомогу у плані контролю допустимості перетворень надає ОДЗ. Зупинимося на цьому детальніше.
Суть підходу полягає в наступному: порівнюються ОДЗ змінних для вихідного виразу з ОДЗ змінних для виразу, отриманого в результаті виконання тотожних перетворень, і на підставі результатів порівняння робляться відповідні висновки.
Взагалі тотожні перетворення можуть
- не впливати на ОДЗ;
- призводити до розширення ОДЗ;
- призводити до звуження ОДЗ.
Давайте пояснимо кожний випадок прикладом.
Розглянемо вираз x 2 +x+3·x , ОДЗ змінної x для цього виразу є множина R . Тепер зробимо з цим виразом наступне тотожне перетворення- Наведемо подібні доданки, в результаті воно набуде вигляду x 2 +4 · x. Очевидно, ОДЗ змінної x цього виразу також є безліч R . Таким чином, проведене перетворення не змінило ОДЗ.
Переходимо далі. Візьмемо вираз x+3/x−3/x. У цьому випадку ОДЗ визначається умовою x≠0 , що відповідає множині (−∞, 0)∪(0, +∞) . Цей вираз також містить подібні доданкипісля приведення яких приходимо до виразу x , для якого ОДЗ є R . Що бачимо: у результаті проведеного перетворення відбулося розширення ОДЗ (до ОДЗ змінної x для вихідного виразу додалося число нуль).
Залишилося розглянути приклад звуження області допустимих значень після перетворень. Візьмемо вираз 
. ОДЗ змінною x визначається нерівністю (x−1)·(x−3)≥0 , для його вирішення підходить, наприклад, у результаті маємо (−∞, 1]∪∪; під ред. С. А. Теляковського. - 17- е вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 240 с.
Дробові рівняння. ОДЗ.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Продовжуємо освоювати рівняння. Ми вже в курсі, як працювати з лінійними рівняннями та квадратними. Залишився останній вигляд - дробові рівняння . Або їх ще називають набагато солідніше - дробові раціональні рівняння . Це те саме.
Дробові рівняння.
Як зрозуміло з назви, у цих рівняннях обов'язково присутні дроби. Але не просто дроби, а дроби, які мають невідоме у знаменнику. Хоч би в одному. Наприклад:
Нагадаю, якщо у знаменниках лише числа, це лінійні рівняння
Як вирішувати дробові рівняння? Насамперед – позбутися дробів! Після цього рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне чи квадратне. А далі ми знаємо, що робити... У деяких випадках воно може перетворитися на тотожність типу 5=5 або неправильне вираження типу 7=2. Але це рідко трапляється. Нижче я про це згадаю.
Але як позбутися дробів!? Дуже просто. Застосовуючи ті самі тотожні перетворення.
Нам треба помножити все рівняння на те саме вираз. Так, щоб усі знаменники скорочувалися! Все одразу стане простіше. Пояснюю на прикладі. Нехай нам потрібно вирішити рівняння:
Як навчали у молодших класах? Переносимо все в один бік, ведемо до спільного знаменника і т.д. Забудьте, як страшний сон! Так потрібно робити, коли ви складаєте чи віднімаєте дробові вирази. Або працюєте з нерівностями. А в рівняннях ми відразу множимо обидві частини на вираз, який дасть нам змогу скоротити всі знаменники (тобто, по суті, на спільний знаменник). І який же це вираз?
У лівій частині для скорочення знаменника потрібно множення на х+2. А у правій потрібно множення на 2. Значить, рівняння треба множити на 2(х+2). Примножуємо:
Це звичайне множеннядробів, але розпишу докладно:
Зверніть увагу, я поки що не розкриваю дужку (х + 2)! Так, цілком, її й пишу:
У лівій частині скорочується повністю (х+2), А в правій 2. Що і потрібно! Після скорочення отримуємо лінійнерівняння:
А це рівняння вже вирішить кожен! х = 2.
Вирішимо ще один приклад, трохи складніше:
Якщо згадати, що 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можна записати:
І знову позбавляємося того, що нам не дуже подобається – дробів.
Бачимо, що для скорочення знаменника з іксом, треба помножити дріб на (х – 2). А одиниці нам не завада. Ну і множимо. Всю ліву частинуі всюправу частину:
Знову дужки (х – 2)я не розкриваю. Працюю зі дужкою в цілому, наче це одне число! Так треба робити завжди, бо інакше нічого не скоротиться.
З почуттям глибокого задоволення скорочуємо (х – 2)і отримуємо рівняння без будь-яких дробів, в лінійку!
А ось тепер уже розкриваємо дужки:
Наводимо подібні, переносимо все в ліву частину та отримуємо:
Але до того ми інші завдання навчимося вирішувати. на відсотки. Ті ще граблі, між іншим!
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Як знайти область визначення функції? Учням середніх класів доводиться часто стикатися з цим завданням.
Батькам слід допомогти своїм дітям розібратися у цьому питанні.
Завдання функції.
Нагадаємо основні терміни алгебри. Функцією в математиці називають залежність однієї змінної від іншої. Можна сказати, що це суворий математичний закон, який пов'язує два числа певним чином.
У математиці під час аналізу формул числові змінні замінюють буквеними символами. Найчастіше використовують ікс («х») та ігрек («у»). Змінну х називають аргументом, а змінну у — залежною змінною чи функцією від х.
Існують різні способизавдання залежностей змінних.
Перерахуємо їх:
- аналітичний тип.
- Таблічний вигляд.
- Графічне відображення.
Аналітичний спосіб є формулою. Розглянемо приклади: у=2х+3, у=log(х), у=sin(х). Формула у=2х+3 є типовою для лінійної функції. Підставляючи в задану формулу числове значенняаргументу, одержуємо значення y.
Табличний спосіб є таблицею, що складається з двох стовпців. Перша колонка виділяється для значень ікса, а наступній графі записують дані грека.
Графічний метод вважається найбільш наочним. Графіком називають відображення множини всіх точок на площині.
Для побудови графіка застосовують декартову системукоординат. Система складається із двох перпендикулярних прямих. На осях відкладають однакові одиничні відрізки. Відлік роблять від центральної точкиперетину прямих ліній.
Незалежну змінну вказують на горизонтальній лінії. Її називають віссю абсцис. Вертикальна пряма (вісь ординат) відображає числове значення залежної змінної. Крапки відзначають на перетині перпендикулярів до цих осей. З'єднуючи точки між собою, отримуємо суцільну лінію. Вона є основою графіка.
Види залежностей змінних
Визначення.
У загальному виглядізалежність представляється як рівняння: y=f(x). З формули випливає, що для кожного значення числа х існує певна кількістьу. Величину грека, що відповідає числу ікс, називають значенням функції.
Усі можливі значення, які набуває незалежна змінна, утворюють область визначення функції. Відповідно, все безліч чисел залежної змінної визначає область значень функції. Областью визначення є значення аргументу, у якому f(x) має сенс.
Початкове завдання щодо математичних законівполягає у знаходженні області визначення. Слід чітко визначати цей термін. У в іншому випадкувсі подальші розрахунки будуть марними. Адже обсяг значень формується на основі елементів першої множини.
Область визначення функції знаходиться у прямій залежності від обмежень. Обмеження зумовлюються неможливістю виконання деяких операцій. Також є межі застосування числових значень.
За відсутності обмежень область визначення є все числове простір. Знак нескінченності має символ горизонтальної вісімки. Усі безліч чисел записується так: (-∞; ∞).
У певних випадкахмасив даних складається з кількох підмножин. Рамки числових проміжків або пробілів залежать від закону зміни параметрів.
Вкажемо список факторів, що впливають на обмеження:
- зворотна пропорційність;
- арифметичний корінь;
- зведення у ступінь;
- логарифмічна залежність;
- тригонометричні форми.
Якщо таких елементів кілька, пошук обмежень розбивають для кожного з них. Найбільшу проблемупредставляє виявлення критичних точокта проміжків. Розв'язанням завдання стане об'єднання всіх числових підмножин.
Безліч і підмножина чисел
Про множини.
Область визначення виражається як D(f), а знак об'єднання представлений символом ∪. Усі числові проміжкиукладають у дужки. Якщо межа ділянки не входить до множини, то ставлять напівкруглу дужку. В іншому випадку, коли число включається до підмножини, використовують дужки квадратної форми.
Зворотна пропорційність виражена формулою у=к/г. Графік функції є кривою лінією, що складається з двох гілок. Її прийнято називати гіперболою.
Оскільки функція виражена дробом, знаходження області визначення зводиться до аналізу знаменника. Загальновідомо, що у математиці розподіл на нуль заборонено. Розв'язання задачі зводиться до зрівнювання знаменника до нуля та знаходження коріння.
Наведемо приклад:
Задається: у=1/(х+4). Знайти область визначення.
- Прирівнюємо знаменник до нуля.
х+4=0 - Знаходимо корінь рівняння.
х=-4 - Визначаємо безліч всіх можливих значеньаргументу.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)
Відповідь: областю визначення функції є всі дійсні числа, крім -4.
Значення числа під знаком квадратного кореняможе бути негативним. І тут визначення функції з коренем зводиться до розв'язання нерівності. Підкорене вираз має бути більшим за нуль.
Область визначення кореня пов'язана з парністю показника кореня. Якщо показник ділиться на 2, то вираз має сенс лише за його позитивне значення. Непарне числопоказника свідчить про допустимість будь-якого значення підкореного висловлювання: як позитивного, і негативного.
Нерівність вирішують так само, як рівняння. Існує лише одна відмінність. Після перемноження обох частин нерівності на негативне числослід поміняти знак на протилежний.
Якщо квадратний корінь перебуває у знаменнику, слід накласти додаткова умова. Значення числа не повинно дорівнювати нулю. Нерівність перетворюється на розряд суворих нерівностей.
Логарифмічні та тригонометричні функції
Логарифмічна форма має сенс при позитивних числах. Таким чином, область визначення логарифмічної функціїаналогічна функції квадратного кореня, крім нуля.
Розглянемо приклад логарифмічної залежності: y = log (2x-6). Знайти область визначення.
- 2x-6>0
- 2x>6
- х>6/2
Відповідь: (3; +∞).
Області визначення y=sin x і y=cos x є безліч всіх дійсних чисел. Для тангенсу та котангенсу існують обмеження. Вони пов'язані з розподілом на косинус чи синус кута.
Тангенс кута визначають ставленням синуса до косінус. Вкажемо величини кутів, у яких значення тангенса немає. Функція у=tg x має сенс за всіх значеннях аргументу, крім x=π/2+πn, n∈Z.
Області визначення функції y=ctg x є всі безліч дійсних чисел, виключаючи x=πn, n∈Z. При рівності аргументу числу π або кратному π синус кута дорівнює нулю. У цих точках (асимптомах) котангенс не може існувати.
Перші завдання виявлення області визначення починаються під час уроків у 7 класі. При першому ознайомленні із цим розділом алгебри учень повинен чітко засвоїти тему.
Слід врахувати, що даний термінсупроводжуватиме школяра, а потім і студента протягом усього періоду навчання.