Noktalar arasındaki mesafeyi hesaplayın. Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe

Dikdörtgen bir koordinat sistemi verilsin.

Teorem 1.1. Düzlemin herhangi iki M 1 (x 1;y 1) ve M 2 (x 2;y 2) noktası için, aralarındaki d mesafesi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Kanıt. Sırasıyla M 1 ve M 2 noktalarından M 1 B ve M 2 A dikmelerini bırakalım.

Oy ve Ox ekseninde ve M 1 B ve M 2 A çizgilerinin kesişme noktasını K ile belirtir (Şekil 1.4). Aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) M 1, M 2 ve K noktaları farklıdır. Açıkçası, K noktasının koordinatları vardır (x 2;y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô olduğunu görmek kolaydır. Çünkü ∆M 1 KM 2 dikdörtgenseldir, bu durumda Pisagor teoremine göre d = M 1 M 2 = = .

2) K noktası, M2 noktasıyla çakışır, ancak M1 noktasından farklıdır (Şekil 1.5). Bu durumda y 2 = y 1

ve d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) K noktası M1 noktasıyla çakışır ancak M2 noktasından farklıdır. Bu durumda x 2 = x 1 ve d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) M2 noktası M1 noktasıyla çakışmaktadır. O zaman x 1 = x 2, y 1 = y 2 ve

d = M 1 M 2 = Ö = .

Bu bakımdan bir segmentin bölünmesi.

Düzlemde keyfi bir M 1 M 2 parçası verilsin ve bunun herhangi bir noktası M ─ olsun

M2 noktasından farklı segment (Şekil 1.6). l = eşitliği ile tanımlanan l sayısı , isminde davranış, bu noktada M, M 1 M 2 parçasını böler.

Teorem 1.2. Bir M(x;y) noktası M 1 M 2 parçasını l'ye göre bölerse, bu noktanın koordinatları formüllerle belirlenir.

x = , y = , (4)

burada (x 1;y 1) ─ M 1 noktasının koordinatları, (x 2;y 2) ─ M 2 noktasının koordinatları.

Kanıt. Formüllerden (4) ilkini kanıtlayalım. İkinci formül de benzer şekilde kanıtlanmıştır. İki olası durum vardır.

x = x 1 = = = .

2) M 1 M 2 düz çizgisi Ox eksenine dik değildir (Şekil 1.6). Dikleri M 1, M, M 2 noktalarından Ox eksenine indirelim ve bunların Ox ekseni ile kesişme noktalarını sırasıyla P 1, P, P 2 olarak belirleyelim. Hakkındaki teorem ile orantılı bölümler = 1.

Çünkü P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô ve (x – x 1) ve (x 2 – x) sayıları aynı işarete sahiptir (x 1'de)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 negatif), o halde

ben = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Sonuç 1.2.1. Eğer M 1 (x 1;y 1) ve M 2 (x 2;y 2) iki rastgele noktaysa ve M(x;y) noktası M 1 M 2 doğru parçasının ortasıysa, o zaman

x = , y = (5)

Kanıt. M 1 M = M 2 M olduğundan l = 1 olur ve formül (4)'ü kullanarak formül (5)'i elde ederiz.

Bir üçgenin alanı.

Teorem 1.3. Aynı üzerinde yer almayan herhangi bir A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) ve C(x 3;y 3) noktası için

düz, alan S ABC üçgeni formülle ifade edilir

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Kanıt. Alan ∆ ABC Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.7, aşağıdaki gibi hesaplıyoruz

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Yamukların alanını hesaplıyoruz:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Şimdi elimizde

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Başka bir ∆ ABC konumu için formül (6) benzer şekilde kanıtlanır, ancak “-” işaretiyle sonuçlanabilir. Bu nedenle formül (6)'ya modül işaretini koydular.

Ders 2.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi: asal katsayılı bir doğrunun denklemi, genel denklem doğru, bir doğrunun parçalar halinde denklemi, iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi. Düz çizgiler arasındaki açı, bir düzlemdeki düz çizgilerin paralellik ve diklik koşulları.

2.1. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi ve bir L doğrusu verilsin.

Tanım 2.1. F(x;y) = 0 formundaki bir denklem; değişkenler x ve y denir çizgi denklemi L(V verilen sistem Koordinatlar), eğer bu denklem L doğrusu üzerinde yer alan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanıyorsa ve bu doğru üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanmıyorsa.

Düzlemdeki doğru denklemlerine örnekler.

1) Düz çizgiyi düşünün, eksene paralel Oy dikdörtgen koordinat sistemi (Şekil 2.1). Bu doğrunun Ox ekseniyle kesiştiği noktayı (a;o) ─ or- ile A harfiyle gösterelim.

dinatlar. Denklem x = a verilen doğrunun denklemidir. Aslında bu denklem, bu doğrunun herhangi bir M(a;y) noktasının koordinatları tarafından sağlanır ve bu doğru üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanmaz. Eğer a = 0 ise düz çizgi, x = 0 denklemine sahip olan Oy ekseniyle çakışır.

2) x - y = 0 denklemi, I ve bisektörlerini oluşturan düzlemin noktaları kümesini tanımlar. III koordinatı köşeler

3) Denklem x 2 - y 2 = 0 ─ iki koordinat açısının denklemidir.

4) x 2 + y 2 = 0 denklemi düzlem üzerinde tek bir O(0;0) noktasını tanımlar.

5) Denklem x 2 + y 2 = 25 ─ yarıçapı 5 olan ve merkezi orijinde olan bir dairenin denklemi.

Merhaba,

Kullanılan PHP:

Saygılarımla, İskender.

Merhaba,

Bir süredir bir sorunla uğraşıyorum: İki kişi arasındaki mesafeyi hesaplamaya çalışıyorum. keyfi noktalar Birbirinden 30 ila 1500 metre uzaklıkta bulunanlar.

Kullanılan PHP:

$cx=31.319738; //x ilk noktanın koordinatı
$cy=60.901638; //ilk noktanın y koordinatı
$x=31.333312; //ikinci noktanın x koordinatı
$y=60,933981; //ikinci noktanın y koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //X'teki farkı hesaplıyoruz (ilk ayak) dik üçgen), fonksiyon abs(x) - x x sayısının modülünü döndürür
$benim=abs($cy-$y); //oyuncular arasındaki farkı hesaplıyoruz (sağ üçgenin ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($benim,2)); //Metroya olan mesafeyi bul (kural gereği hipotenüs uzunluğu, hipotenüs bacakların kareleri toplamının köküne eşittir)

Anlaşılmadıysa açıklayayım: İki nokta arasındaki mesafenin bir dik üçgenin hipotenüsü olduğunu hayal ediyorum. O zaman iki noktanın her birinin X'leri arasındaki fark bacaklardan biri olacak, diğer bacak ise aynı iki noktanın I'lerinin farkı olacak. Daha sonra X ve Y'ler arasındaki farkları hesaplayarak hipotenüsün uzunluğunu (yani iki nokta arasındaki mesafeyi) hesaplamak için formülü kullanabilirsiniz.

Bu kuralın Kartezyen koordinat sistemi için iyi çalıştığını biliyorum, ancak az çok uzunlamasına koordinatlarda da çalışması gerekir çünkü iki nokta arasında ölçülen mesafe ihmal edilebilir düzeydedir (30 ila 1500 metre arası).

Ancak bu algoritmaya göre mesafe yanlış hesaplanıyor (örneğin, bu algoritma tarafından hesaplanan mesafe 1, mesafe 2'yi yalnızca %13 aşıyor, oysa gerçekte mesafe 1 1450 metreye, mesafe 2 ise 970 metreye eşittir; aslında fark neredeyse %50'ye ulaşıyor).

Birisi yardım edebilirse çok minnettar olurum.

Saygılarımla, İskender.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("source":"

Merhaba,

Uzun zamandır bir sorunla boğuşuyorum: Birbirine 30 ila 1500 metre uzaklıkta bulunan rastgele iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamaya çalışıyorum.

Kullanılan PHP:

$cx=31.319738; //x ilk noktanın koordinatı
$cy=60.901638; //ilk noktanın y koordinatı
$x=31.333312; //ikinci noktanın x koordinatı
$y=60,933981; //ikinci noktanın y koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //x'teki farkı hesaplayın (bir dik üçgenin ilk ayağı), fonksiyon abs(x) - x x sayısının modülünü döndürür
$benim=abs($cy-$y); //oyuncular arasındaki farkı hesaplıyoruz (sağ üçgenin ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($benim,2)); //Metroya olan mesafeyi bul (kural gereği hipotenüs uzunluğu, hipotenüs bacakların kareleri toplamının köküne eşittir)

Birisi yardım edebilirse çok minnettar olurum.

Saygılarımla, İskender.

Merhaba,

Uzun zamandır bir sorunla boğuşuyorum: Birbirine 30 ila 1500 metre uzaklıkta bulunan rastgele iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamaya çalışıyorum.

Kullanılan PHP:

$cx=31.319738; //x ilk noktanın koordinatı
$cy=60.901638; //ilk noktanın y koordinatı
$x=31.333312; //ikinci noktanın x koordinatı
$y=60,933981; //ikinci noktanın y koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //x'teki farkı hesaplayın (bir dik üçgenin ilk ayağı), fonksiyon abs(x) - x x sayısının modülünü döndürür
$benim=abs($cy-$y); //oyuncular arasındaki farkı hesaplıyoruz (sağ üçgenin ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($benim,2)); //Metroya olan mesafeyi bul (kural gereği hipotenüs uzunluğu, hipotenüs bacakların kareleri toplamının köküne eşittir)

Birisi yardım edebilirse çok minnettar olurum.

Saygılarımla, İskender.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"Çar 27 Haziran 2012 20:07:00 GMT +0000 (UTC)","showPreview":true,"approvedPreview":("source":"

Merhaba,

Uzun zamandır bir sorunla boğuşuyorum: Birbirine 30 ila 1500 metre uzaklıkta bulunan rastgele iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamaya çalışıyorum.

Kullanılan PHP:

$cx=31.319738; //x ilk noktanın koordinatı
$cy=60.901638; //ilk noktanın y koordinatı
$x=31.333312; //ikinci noktanın x koordinatı
$y=60,933981; //ikinci noktanın y koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //x'teki farkı hesaplayın (bir dik üçgenin ilk ayağı), fonksiyon abs(x) - x x sayısının modülünü döndürür
$benim=abs($cy-$y); //oyuncular arasındaki farkı hesaplıyoruz (sağ üçgenin ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($benim,2)); //Metroya olan mesafeyi bul (kural gereği hipotenüs uzunluğu, hipotenüs bacakların kareleri toplamının köküne eşittir)

Birisi yardım edebilirse çok minnettar olurum.

Saygılarımla, İskender.

","html":"Merhaba,","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("source":"

Merhaba,

Uzun zamandır bir sorunla boğuşuyorum: Birbirine 30 ila 1500 metre uzaklıkta bulunan rastgele iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamaya çalışıyorum.

Kullanılan PHP:

$cx=31.319738; //x ilk noktanın koordinatı
$cy=60.901638; //ilk noktanın y koordinatı
$x=31.333312; //ikinci noktanın x koordinatı
$y=60,933981; //ikinci noktanın y koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //x'teki farkı hesaplayın (bir dik üçgenin ilk ayağı), fonksiyon abs(x) - x x sayısının modülünü döndürür
$benim=abs($cy-$y); //oyuncular arasındaki farkı hesaplıyoruz (sağ üçgenin ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($benim,2)); //Metroya olan mesafeyi bul (kural gereği hipotenüs uzunluğu, hipotenüs bacakların kareleri toplamının köküne eşittir)

Birisi yardım edebilirse çok minnettar olurum.

Saygılarımla, İskender.

","html":"Merhaba,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"mesafe ölçümü","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1 -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"commentsEnabled":true,"url": "/blog/mapsapi/15001", "urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%,"fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi,"addCommentUrl":"/blog/ createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/15001","changeCaptchaUrl":"/blog/api/captcha/new ","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":"/blog/post/generateSlug ","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/unpublish","urlRemovePost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d 54c 8/removePost","urlDraft":"/blog/ Mapsapi /15001/draft, "urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft,"urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/removeDraft,"urlTagSuggest":"/blog/api/suggest/mapsapi " ,"urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","unsubscribeUrl":"/blog/api/unsubscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8"," urlPostPage Düzenleme ":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/translate","urlRelateIssue":"/blog/post/updateIssue","urlUpdateTranslate":"/blog/post /updateTranslate ``,`urlLoadTranslate``:"/blog/post/loadTranslate```urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo``,`urlRelatedArticles":"/blog/api/tainedArticles/mapsapi/15001`` yazar" :("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"barındırılan":false),"takma adlar":(),"giriş":" mrdds" ,"display_name":("name":"mrdds","avatar":("default":"0/0-0","boş":true))),"adres":" [e-posta korumalı]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/file_1456488726678/orig")))))">

SADECE boylam koordinatları kullanılarak iki nokta arasındaki mesafenin belirlenmesi.

$benim=abs($cy-$y); //oyuncular arasındaki farkı hesaplıyoruz (sağ üçgenin ikinci ayağı)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($benim,2)); //Metroya olan mesafeyi bul (kural gereği hipotenüs uzunluğu, hipotenüs bacakların kareleri toplamının köküne eşittir)

Birisi yardım edebilirse çok minnettar olurum.

Saygılarımla, İskender.

Öğrenciler için matematik problemlerini çözmek çoğu zaman birçok zorluğu da beraberinde getirir. Öğrencinin bu zorluklarla başa çıkmasına yardımcı olun ve ona sahip olduklarını kullanmayı öğretin. teorik bilgi karar verirken belirli görevler Sitemizin temel amacı olan “Matematik” konusunun tüm bölümlerinde.

Konuyla ilgili problemleri çözmeye başlarken öğrencilerin düzlem üzerinde koordinatlarını kullanarak bir nokta oluşturabilmeleri ve verilen bir noktanın koordinatlarını bulabilmeleri gerekir.

Düzlemde alınan iki A(x A; y A) ve B(x B; y B) noktası arasındaki mesafenin hesaplanması aşağıdaki formül kullanılarak yapılır. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) burada d, düzlemdeki bu noktaları birleştiren parçanın uzunluğudur.

Segmentin uçlarından biri koordinatların kökeni ile çakışıyorsa ve diğeri M(x M; y M) koordinatlarına sahipse, o zaman d'yi hesaplama formülü OM = √(x M 2 + y M 2) formunu alacaktır. ).

1. Bu noktaların verilen koordinatlarına göre iki nokta arasındaki mesafenin hesaplanması

Örnek 1.

Koordinat düzleminde A(2; -5) ve B(-4; 3) noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu bulun (Şekil 1).

Çözüm.

Problem ifadesinde şunu belirtir: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ve y B = 3. d'yi bulun.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Verilen üç noktaya eşit uzaklıktaki bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 2.

A(7; -1) ve B(-2; 2) ve C(-1; -5) noktalarına eşit uzaklıkta olan O 1 noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm.

Sorun koşullarının formülasyonundan şu sonuç çıkıyor: O 1 A = O 1 B = O 1 C. istenilen nokta O 1'in koordinatları vardır (a; b). d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

Ö 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

Ö 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

Ö 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

İki denklemden oluşan bir sistem oluşturalım:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Denklemlerin sol ve sağ taraflarının karesini aldıktan sonra şunu yazarız:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Basitleştirelim, yazalım

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: a = 2; b = -1.

O 1 (2; -1) noktası, aynı düz çizgi üzerinde olmaması koşuluyla belirtilen üç noktaya eşit uzaklıktadır. Bu nokta verilen üç noktadan geçen çemberin merkezidir. (Şekil 2).

3. Apsis (koordinat) ekseni üzerinde yer alan ve üzerinde bulunan bir noktanın apsisinin (koordinat) hesaplanması verilen mesafe bu noktadan

Örnek 3.

B(-5; 6) noktasından Ox ekseni üzerinde bulunan A noktasına olan mesafe 10'dur. A noktasını bulun.

Çözüm.

Problem koşullarının formülasyonundan, A noktasının ordinatının sıfıra eşit olduğu ve AB = 10 olduğu sonucu çıkar.

A noktasının apsisini a ile göstererek A(a; 0) yazarız.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

√((a + 5) 2 + 36) = 10 denklemini elde ederiz. Bunu basitleştirirsek, şunu elde ederiz:

a 2 + 10a – 39 = 0.

Bu denklemin kökleri a 1 = -13; ve 2 = 3.

A 1 (-13; 0) ve A 2 (3; 0) olmak üzere iki puan alıyoruz.

Muayene:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Elde edilen her iki nokta da problemin koşullarına göre uygundur. (Şekil 3).

4. Apsis (koordinat) ekseni üzerinde bulunan ve verilen iki noktadan aynı uzaklıkta olan bir noktanın apsisinin (koordinat) hesaplanması

Örnek 4.

Oy ekseni üzerinde A (6, 12) ve B (-8, 10) noktalarından aynı uzaklıkta olan bir nokta bulun.

Çözüm.

Sorunun koşullarının gerektirdiği Oy ekseni üzerinde bulunan noktanın koordinatları O 1 (0; b) olsun (Oy ekseni üzerinde bulunan noktada apsis sıfırdır). O 1 A = O 1 B koşulundan çıkar.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

Ö 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

Ö 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

√(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) veya 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 denklemine sahibiz.

Sadeleştirmeden sonra şunu elde ederiz: b – 4 = 0, b = 4.

Sorunun koşullarının gerektirdiği O 1 (0; 4) noktası (Şekil 4).

5. Koordinat eksenlerine aynı mesafede bulunan bir noktanın ve belirli bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 5.

Koordinat düzleminde, koordinat eksenlerine ve A(-2; 1) noktasına aynı uzaklıkta bulunan M noktasını bulun.

Çözüm.

Gerekli M noktası, A(-2; 1) noktası gibi, A, P 1 ve P 2 noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan ikinci koordinat açısında bulunur. (Şekil 5). M noktasının koordinat eksenlerine olan uzaklıkları aynıdır, bu nedenle a > 0 olmak üzere koordinatları (-a; a) olacaktır.

Problemin koşullarına göre MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

onlar. |-a| = a.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülünü kullanarak şunu buluruz:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Bir denklem kuralım:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Karesi alındıktan ve sadeleştirildikten sonra elimizde: a 2 – 6a + 5 = 0. Denklemi çözün, a 1 = 1'i bulun; ve 2 = 5.

Problemin koşullarını sağlayan iki M 1 (-1; 1) ve M 2 (-5; 5) noktası elde ediyoruz.

6. Apsis (koordinat) ekseninden ve verilen noktadan aynı uzaklıkta bulunan bir noktanın koordinatlarının hesaplanması

Örnek 6.

Ordinat ekseninden ve A(8; 6) noktasından uzaklığı 5'e eşit olacak bir M noktası bulun.

Çözüm.

Problemin koşullarına göre MA = 5 ve M noktasının apsisi 5'e eşittir. M noktasının ordinatı b'ye eşit olsun, o zaman M(5; b) (Şekil 6).

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formülüne göre elimizde:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Bir denklem kuralım:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Basitleştirirsek şunu elde ederiz: b 2 – 12b + 20 = 0. Bu denklemin kökleri b 1 = 2; b 2 = 10. Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki nokta vardır: M 1 (5; 2) ve M 2 (5; 10).

Pek çok öğrencinin olduğu biliniyor. bağımsız karar Sorunlar, bunları çözmeye yönelik teknikler ve yöntemler konusunda sürekli istişarede bulunulmasını gerektirir. Çoğu zaman öğrenci, öğretmenin yardımı olmadan bir sorunu çözmenin yolunu bulamaz. Öğrenci problemlerin çözümü konusunda gerekli tavsiyeleri web sitemizden alabilir.

Hala sorularınız mı var? Bir uçaktaki iki nokta arasındaki mesafeyi nasıl bulacağınızı bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

TEORİK KONULAR

DÜZLEMDE ANALİTİK GEOMETRİ

1. Koordinat yöntemi: sayı doğrusu, bir doğru üzerindeki koordinatlar; bir düzlemde dikdörtgen (Kartezyen) koordinat sistemi; kutupsal koordinatlar.

Biraz düz çizgi düşünelim. Üzerinde bir yön seçelim (daha sonra bir eksen haline gelecektir) ve bir 0 noktası (koordinatların kökeni) seçelim. Yönü ve başlangıç noktası seçilen düz çizgiye denir koordinat çizgisi(ölçek biriminin seçildiğini varsayıyoruz).

İzin vermek M– Koordinat çizgisi üzerinde rastgele bir nokta. Konuya uygun olarak koyalım M gerçek sayı X, değere eşit OM bölüm: x=OM. Sayı X noktanın koordinatı denir M.

Böylece, koordinat çizgisi üzerindeki her nokta belirli bir gerçek sayıya - onun koordinatına - karşılık gelir. Bunun tersi de doğrudur: her x gerçek sayısı koordinat doğrusu üzerinde belirli bir noktaya, yani böyle bir noktaya karşılık gelir. M, koordinatı x'tir. Bu yazışmaya denir bire bir.

Yani gerçek sayılar bir koordinat çizgisinin noktalarıyla temsil edilebilir; Koordinat çizgisi tüm gerçek sayılar kümesinin bir görüntüsü olarak hizmet eder. Bu nedenle tüm reel sayılar kümesine denir sayı doğrusu ve herhangi bir sayı bu doğru üzerinde bir noktadır. Sayı doğrusu üzerinde bir noktanın yakınında genellikle bir sayı - onun koordinatı - belirtilir.

Bir düzlemde dikdörtgen (veya Kartezyen) koordinat sistemi.

Birbirine dik iki eksen x hakkında Ve senin hakkında sahip olmak genel başlangıç HAKKINDA ve aynı ölçek birimi, form bir düzlemde dikdörtgen (veya Kartezyen) koordinat sistemi.

Eksen AH apsis ekseni denir, eksen OY– koordinat ekseni. Nokta HAKKINDA eksenlerin kesişimine orijin denir. Eksenlerin bulunduğu düzlem AH Ve OY, koordinat düzlemi olarak adlandırılır ve gösterilir Xy hakkında.

Böylece, bir düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemi, düzlemin tüm noktaları kümesi ile sayı çiftleri kümesi arasında bire bir yazışma kurar ve bu da çözmeyi mümkün kılar. geometrik problemler uygula cebirsel yöntemler. Koordinat eksenleri düzlemi 4 parçaya böler, bunlara denir çeyreklerde, kare veya koordinat açıları.

Kutupsal koordinatlar.

Kutupsal koordinat sistemi belirli bir noktadan oluşur HAKKINDA, isminde kutup ve ondan çıkan ışın OE, isminde kutup ekseni. Ayrıca segmentlerin uzunluklarını ölçmek için ölçek birimi de ayarlanır. Verilmesine izin ver kutup sistemi koordinatlar ve izin ver M– düzlemin keyfi noktası. ile belirtelim R– nokta mesafesi M noktadan HAKKINDA ve aracılığıyla φ – ışının kutup eksenini ışınla hizalamak için saat yönünün tersine döndürüldüğü açı OM.

Kutupsal koordinatlar puan M numaraları ara R Ve φ . Sayı R ilk koordinat olarak kabul edilir ve denir kutup yarıçapı, sayı φ – ikinci koordinat çağrılır kutup açısı.

Nokta M kutupsal koordinatlarla R Ve φ aşağıdaki gibi belirlenir: M(;φ). Bir noktanın kutupsal koordinatları ile dikdörtgen koordinatları arasında bağlantı kuralım.
Bu durumda dikdörtgen koordinat sisteminin orijininin kutupta olduğunu ve pozitif yarı apsis ekseninin kutup ekseniyle çakıştığını varsayacağız.

M noktası olsun dikdörtgen koordinatlar X Ve e ve kutupsal koordinatlar R Ve φ .

(1)

Kanıt.

Noktalardan düşme M1 Ve M2 dikler M 1V Ve M1A,. Çünkü (x2;y2). Teoreme göre, eğer M 1 (x 1) Ve M2 (x2) herhangi iki nokta ve α aralarındaki mesafedir, o zaman α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

Bu yazıda teorik olarak noktadan noktaya mesafeyi belirlemenin yollarına ve belirli görev örneklerine bakacağız. Başlangıç olarak bazı tanımları tanıtalım.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

Noktalar arasındaki mesafe mevcut ölçekte bunları bağlayan segmentin uzunluğudur. Uzunluk biriminin ölçülebilmesi için skalanın ayarlanması gerekir. Bu nedenle, temel olarak noktalar arasındaki mesafeyi bulma problemi, noktaların koordinatlarının bir koordinat doğrusu üzerinde, bir koordinat düzleminde veya üç boyutlu uzayda kullanılmasıyla çözülür.

Başlangıç verileri: Ox koordinat çizgisi ve onun üzerinde yer alan rastgele bir A noktasının bir özelliği vardır. gerçek sayı: A noktası için bu belirli bir sayı olsun x Bir, aynı zamanda A noktasının koordinatıdır.

Genel olarak belirli bir parçanın uzunluğunun, belirli bir ölçekte uzunluk birimi olarak alınan parçayla karşılaştırılarak değerlendirildiğini söyleyebiliriz.

A noktası bir tamsayı gerçek sayıya karşılık geliyorsa, O noktasından O A doğru parçası - uzunluk birimleri boyunca sırayla bir noktaya kadar uzanarak, ayrılan birim parçaların toplam sayısından O A parçasının uzunluğunu belirleyebiliriz.

Örneğin, A noktası 3 sayısına karşılık gelir - O noktasından ona ulaşmak için üç birim bölüm bırakmanız gerekecektir. A noktasının koordinatı -4 ise, birim segmentler benzer şekilde ancak farklı, negatif yönde düzenlenir. Böylece, ilk durumda O A mesafesi 3'e eşittir; ikinci durumda O A = 4.

A noktasının koordinatı varsa rasyonel sayı, daha sonra orijinden (O noktası) tam sayı sayıda birim segmenti ve ardından gerekli kısmını bir kenara koyarız. Ancak geometrik olarak ölçüm yapmak her zaman mümkün değildir. Örneğin 4 111 kesrini koordinat doğrusuna çizmek zor görünüyor.

Yukarıdaki yöntemi kullanarak düz bir çizgiye yerleştirin irrasyonel sayı ve tamamen imkansızdır. Örneğin A noktasının koordinatı 11 olsun. Bu durumda soyutlamaya dönmek mümkündür: A noktasının verilen koordinatı sıfırdan büyükse, o zaman O A = x A (sayı mesafe olarak alınır); koordinat sıfırdan küçükse O A = - x A . Genel olarak bu ifadeler herhangi bir x A gerçek sayısı için doğrudur.

Özetlemek gerekirse: Orijinden koordinat doğrusu üzerinde bir gerçel sayıya karşılık gelen noktaya kadar olan mesafe şuna eşittir:

Nokta orijinle çakışıyorsa 0;

x A, eğer x A > 0 ise;

- x A eğer x A< 0 .

Bu durumda, parçanın uzunluğunun negatif olamayacağı açıktır, bu nedenle modül işaretini kullanarak O noktasından A noktasına kadar olan mesafeyi koordinatla yazıyoruz. x bir: O Bir = x Bir

Aşağıdaki ifade doğru olacaktır: bir noktadan diğerine olan mesafe koordinat farkının modülüne eşit olacaktır. Onlar. Herhangi bir konum için aynı koordinat çizgisi üzerinde bulunan ve karşılık gelen koordinatlara sahip A ve B noktaları için x bir Ve x B: Bir B = x B - x A .

Başlangıç verileri: düzlemde yer alan A ve B noktaları dikdörtgen sistem koordinatlar O x y s verilen koordinatlar: A (x A , y A) ve B (x B , y B) .

A ve B noktalarından Ox ve O y koordinat eksenlerine dik çizgiler çizelim ve sonuç olarak projeksiyon noktalarını elde edelim: A x, A y, B x, B y. A ve B noktalarının konumuna bağlı olarak aşağıdaki seçenekler mümkündür:

A ve B noktaları çakışırsa aralarındaki mesafe sıfırdır;

A ve B noktaları bir doğru üzerinde bulunuyorsa, eksene dik O x (apsis eksenleri), o zaman noktalar çakışır ve | AB | = | A y B y | . Noktalar arasındaki mesafe koordinatları farkının modülüne eşit olduğundan, A y B y = y B - y A ve dolayısıyla A B = A y B y = y B - y A.

A ve B noktaları O y eksenine (koordinat ekseni) dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa - ile benzer şekilde önceki paragraf: A B = A x B x = x B - x A

A ve B noktaları koordinat eksenlerinden birine dik bir düz çizgi üzerinde yer almıyorsa, hesaplama formülünü türeterek aralarındaki mesafeyi bulacağız:

A B C üçgeninin dikdörtgen olduğunu görüyoruz. Bu durumda A C = A x B x ve B C = A y B y. Pisagor teoremini kullanarak şu eşitliği yaratırız: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ve sonra bunu dönüştürürüz: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Elde edilen sonuçtan bir sonuç çıkaralım: Düzlemde A noktasından B noktasına olan mesafe, bu noktaların koordinatlarını kullanan formül kullanılarak hesaplanır.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Ortaya çıkan formül aynı zamanda noktaların çakışması durumları veya noktaların eksenlere dik düz çizgiler üzerinde yer aldığı durumlar için önceden oluşturulmuş ifadeleri de doğrular. Yani A ve B noktaları çakışırsa eşitlik doğru olacaktır: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

A ve B noktalarının x eksenine dik bir doğru üzerinde olduğu bir durum için:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

A ve B noktalarının ordinat eksenine dik bir doğru üzerinde yer alması durumunda:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Başlangıç verileri: üzerinde verilen A (x A, y A, z A) ve B (x B, y B, z B) koordinatlarıyla üzerinde rastgele noktalar bulunan dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z. Bu noktalar arasındaki mesafeyi belirlemek gerekir.

düşünelim genel durum A ve B noktaları aşağıdakilerden birine paralel bir düzlemde bulunmadığında koordinat düzlemleri. A ve B noktalarından koordinat eksenlerine dik düzlemler çizelim ve elde edelim. karşılık gelen noktalar projeksiyonlar: A x , A y , A z , B x , B y , B z

A ve B noktaları arasındaki mesafe, ortaya çıkan paralel borunun köşegenidir. Bu paralel borunun ölçümlerine göre: A x B x , A y B y ve A z Bz

Geometri dersinden paralelyüzlü bir diyagonalin karesinin olduğu bilinmektedir. toplamına eşitölçümlerinin kareleri. Bu ifadeye dayanarak şu eşitliği elde ederiz: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Daha önce elde edilen sonuçları kullanarak aşağıdakileri yazıyoruz:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

İfadeyi dönüştürelim:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final Uzaydaki noktalar arasındaki mesafeyi belirlemek için formülşöyle görünecek:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ortaya çıkan formül aşağıdaki durumlarda da geçerlidir:

Noktalar çakışıyor;

Birinin üzerinde yatmak koordinat ekseni veya koordinat eksenlerinden birine paralel düz bir çizgi.

Noktalar arasındaki mesafeyi bulmayla ilgili problem çözme örnekleri

Örnek 1

İlk veriler: bir koordinat çizgisi ve üzerinde verilen A (1 - 2) ve B (11 + 2) koordinatlarına sahip noktalar verilmiştir. O başlangıç noktasından A noktasına ve A ile B noktaları arasındaki mesafeyi bulmak gerekir.

Çözüm

Referans noktasından noktaya olan mesafe bu noktanın koordinat modülüne eşittir, sırasıyla O A = 1 - 2 = 2 - 1
A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bu noktaların koordinatları arasındaki farkın modülü olarak tanımlıyoruz: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Cevap: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Örnek 2

İlk veriler: dikdörtgen bir koordinat sistemi ve üzerinde bulunan iki nokta A (1, - 1) ve B (λ + 1, 3) verilmiştir. λ bir reel sayıdır. Bu sayının A B mesafesinin 5'e eşit olacağı tüm değerlerini bulmak gerekir.

Çözüm

A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bulmak için A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 formülünü kullanmalısınız.

Gerçek koordinat değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Aynı zamanda A B = 5 olan mevcut koşulu da kullanırız ve o zaman şu şekilde olur: gerçek eşitlik:

λ2 + 16 = 5 λ2 + 16 = 25 λ = ± 3

Cevap: λ = ± 3 ise A B = 5.

Örnek 3

Başlangıç verileri: belirtildi üç boyutlu uzay O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde ve içinde yer alan A (1, 2, 3) ve B - 7, - 2, 4 noktaları.

Çözüm

Sorunu çözmek için A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 formülünü kullanıyoruz.

Gerçek değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Cevap: | AB | = 9

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.