Herhangi okul müfredatı geometri gibi bir konuyu içerir. Her birimiz öğrenci olarak bu disiplini inceledik ve belirli sorunları çözdük. Ama birçok insan için okul yılları geride bırakıldı ve edinilen bilgilerin bir kısmı hafızadan silindi.

Aniden bir soruya cevap bulmanız gerekirse ne yapmalısınız? okul ders kitabıörneğin bir dik üçgende yükseklik nasıl bulunur? Bu durumda modern ileri düzey bilgisayar kullanıcısı öncelikle interneti açacak ve kendisini ilgilendiren bilgileri bulacaktır.

Üçgenler hakkında temel bilgiler

Bu geometrik şekil birbirine bağlı 3 bölümden oluşur bitiş noktaları ve bu noktaların temas noktaları aynı düz çizgi üzerinde değildir. Bir üçgeni oluşturan parçalara onun kenarları denir. Yanların birleşim yerleri şeklin köşelerini ve köşelerini oluşturur.

Açılara bağlı olarak üçgen türleri

Bu şeklin üç tür açısı olabilir: dar, geniş ve düz. Buna bağlı olarak aşağıdaki üçgen türleri ayırt edilir:

Kenar uzunluklarına göre üçgen çeşitleri

Daha önce de belirtildiği gibi, bu rakamüç bölümden oluşur. Boyutlarına göre ayırt edilirler aşağıdaki türlerüçgenler:

Dik üçgenin yüksekliği nasıl bulunur

İki aynı taraflar Bir dik üçgenin temas noktasında dik açı oluşturan parçalarına bacaklar denir. Bunları birbirine bağlayan bölüme "hipotenüs" adı verilir. Belirli bir geometrik şeklin yüksekliğini bulmak için tepe noktasından bir çizgiyi indirmeniz gerekir. dik açı hipotenüse. Aynı zamanda bu çizgi 90°'lik açıyı tam olarak ikiye bölmeliyiz. Böyle bir segmente açıortay denir.

Yukarıdaki resim gösteriyor dik üçgen, yükseklik bunu hesaplamamız gerekecek. Bu birkaç yolla yapılabilir:

Bir üçgenin etrafına bir daire çizip bir yarıçap çizerseniz değeri hipotenüsün yarısı kadar olacaktır. Buna dayanarak, bir dik üçgenin yüksekliği aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Odnoklassniki'de bir sayfa nasıl silinir Oyun kartlarıyla falcılık: kartların anlamı, gelecek için, aşk için falcılık
Nişanlınız için Noel bayramı falcılığı: sevdikleriniz için fal nasıl söylenir

Sağ üçgen açılarından biri düz, yani 90 dereceye eşit olan bir üçgendir.

• Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir (şekilde gösterilen şekilde) C veya AB)
• Dik açıya bitişik olan tarafa bacak denir. Her dik üçgenin iki bacağı vardır (şekilde bunlar şu şekilde gösterilmiştir: A ve b veya AC ve BC)

Dik üçgenin formülleri ve özellikleri

Formül tanımları:

(yukarıdaki resme bakın)

a, b- bir dik üçgenin bacakları

C- hipotenüs

α, β - bir üçgenin dar açıları

S- kare

H- dik açının tepe noktasından hipotenüse kadar indirilen yükseklik

anne A karşı köşeden ( α )

m b- orta refüj yana çekilmiş B karşı köşeden ( β )

m c- orta refüj yana çekilmiş C karşı köşeden ( γ )

İÇİNDE dik üçgen bacaklardan herhangi biri hipotenüsten küçük(Formül 1 ve 2). Bu özellik Pisagor teoreminin bir sonucudur.

Herhangi bir akut açının kosinüsü birden az (Formül 3 ve 4). Bu özellik öncekinin devamıdır. Bacakların herhangi biri hipotenüsten küçük olduğundan, bacağın hipotenüse oranı her zaman birden küçüktür.

Hipotenüsün karesi toplamına eşit bacakların kareleri (Pisagor teoremi). (Formül 5). Bu özellik problem çözerken sürekli olarak kullanılır.

Dik üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısına eşit (Formül 6)

Kare medyanların toplamı bacaklara eşittir, ortancanın hipotenüsün beş karesine ve hipotenüsün beş karesinin dörde bölünmesine eşittir (Formül 7). Yukarıdakilere ek olarak, 5 formül daha bu nedenle medyanın özelliklerini daha ayrıntılı olarak anlatan “Dik Üçgenin Medyanı” dersini de okumanız önerilir.

Yükseklik Bir dik üçgenin uzunluğu, bacakların çarpımının hipotenüse bölünmesine eşittir (Formül 8)

Bacakların kareleri, hipotenüse indirilen yüksekliğin karesiyle ters orantılıdır (Formül 9). Bu özdeşlik aynı zamanda Pisagor teoreminin sonuçlarından biridir.

Hipotenüs uzunluğuçevrelenen dairenin çapına (iki yarıçap) eşittir (Formül 10). Bir dik üçgenin hipotenüsü çevrel çemberin çapıdır. Bu özellik genellikle problem çözmede kullanılır.

Yazılı yarıçap V dik üçgen daire Bu üçgenin bacaklarının toplamından hipotenüsün uzunluğunun çıkarılmasıyla elde edilen ifadenin yarısı kadar bulunabilir. Veya bacakların çarpımının belirli bir üçgenin tüm kenarlarının (çevresinin) toplamına bölünmesiyle elde edilir. (Formül 11)
Açının sinüsü tam tersiyle ilişki bu açı Bacaktan hipotenüse(sinüs tanımı gereği). (Formül 12). Bu özellik problem çözerken kullanılır. Kenarların boyutlarını bilerek oluşturdukları açıyı bulabilirsiniz.

Bir dik üçgende A açısının (α, alfa) kosinüsü şuna eşit olacaktır: davranış bitişik bu açı Bacaktan hipotenüse(sinüs tanımı gereği). (Formül 13)

Orta seviye

Sağ üçgen. Tam Resimli Kılavuz (2019)

DİKDÖRTGEN ÜÇGEN. GİRİŞ SEVİYESİ.

Sorunlarda dik açı hiç gerekli değildir - sol alt, bu nedenle bu formdaki dik üçgeni tanımayı öğrenmeniz gerekir,

ve bunda

ve bunda

Dik üçgenin nesi iyi? Şey... her şeyden önce, özel şeyler var güzel isimler onun tarafları için.

Çizime dikkat!

Unutmayın ve karıştırmayın: iki bacak var ve sadece bir hipotenüs var(bir ve tek, benzersiz ve en uzun)!

İsimleri tartıştık, şimdi en önemli şey: Pisagor Teoremi.

Pisagor teoremi.

Bu teorem dik üçgenle ilgili birçok problemin çözümünün anahtarıdır. Pisagor bunu tamamen kanıtladı çok eski zamanlardan beri ve o zamandan beri onu tanıyanlara pek çok fayda sağladı. Ve bunun en iyi yanı basit olmasıdır.

Bu yüzden, Pisagor teoremi:

Şakayı hatırlıyor musunuz: "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir!"?

Aynı Pisagor pantolonunu çizelim ve onlara bakalım.

Bir çeşit şorta benzemiyor mu? Peki hangi taraflarda ve nerede eşitler? Şaka neden ve nereden geldi? Ve bu şaka tam olarak Pisagor teoremiyle veya daha kesin olarak Pisagor'un teoremini formüle etme şekliyle bağlantılıdır. Ve bunu şu şekilde formüle etti:

"Toplam karelerin alanları bacaklar üzerine inşa edilmiş, eşittir kare alan, hipotenüs üzerine inşa edilmiştir."

Gerçekten biraz farklı mı geliyor kulağa? Ve böylece Pisagor teoreminin ifadesini çizdiğinde ortaya çıkan resim tam olarak bu oldu.

Bu resimde küçük karelerin alanlarının toplamı büyük karenin alanına eşittir. Ve çocukların bacakların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu daha iyi hatırlaması için, esprili biri Pisagor pantolonuyla ilgili bu şakayı ortaya attı.

Neden şimdi Pisagor teoremini formüle ediyoruz?

Pisagor acı çekip karelerden mi bahsetti?

Görüyorsunuz, eski zamanlarda cebir diye bir şey yoktu! Herhangi bir işaret vs. yoktu. Hiçbir yazıt yoktu. Zavallı eski öğrencilerin her şeyi kelimelerle hatırlamasının ne kadar korkunç olduğunu hayal edebiliyor musunuz??! Ve Pisagor teoreminin basit bir formülasyonuna sahip olduğumuz için sevinebiliriz. Daha iyi hatırlamak için bir kez daha tekrarlayalım:

Artık kolay olmalı:

Hipotenüsün karesi bacakların karelerinin toplamına eşittir.

Dik üçgenlerle ilgili en önemli teorem tartışıldı. Bunun nasıl kanıtlandığıyla ilgileniyorsanız, aşağıdaki teori seviyelerini okuyun ve şimdi devam edelim... karanlık orman... trigonometri! Korkunç kelimeler sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant.

Aslında her şey o kadar da korkutucu değil. Elbette yazıda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın “gerçek” tanımına da bakmak gerekir. Ama gerçekten istemiyorum, değil mi? Sevinebiliriz: Bir dik üçgenle ilgili problemleri çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:

Neden her şey hemen köşede? Köşe nerede? Bunu anlayabilmek için 1'den 4'e kadar olan ifadelerin kelimelerle nasıl yazıldığını bilmeniz gerekir. Bakın, anlayın ve hatırlayın!

1.
Aslında kulağa şöyle geliyor:

Peki ya açı? Köşenin karşısında bir bacak var mı, yani karşıt (bir açı için) bacak var mı? Elbette var! Bu bir bacak!

Peki ya açı? Dikkatlice bakın. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki bacak. Bu, bacağın bitişik olduğu açı için ve

Şimdi dikkat edin! Bakın elimizde ne var:

Ne kadar havalı olduğunu görün:

Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.

Şimdi bunu kelimelerle nasıl yazabilirim? Açıya göre bacak nedir? Elbette karşısında - köşenin karşısında "yalan söylüyor". Peki ya bacak? Köşeye bitişik. Peki elimizde ne var?

Pay ve paydanın nasıl yer değiştirdiğini gördünüz mü?

Ve şimdi yine kornerler ve takas yapıldı:

Sürdürmek

Öğrendiğimiz her şeyi kısaca yazalım.

Pisagor teoremi:

Dik üçgenlerle ilgili ana teorem Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Çok iyi değilse resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini zaten birçok kez kullanmış olmanız oldukça muhtemeldir, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl kanıtlayabilirim? Antik Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar akıllıca uzunluklara ayırdığımızı görün ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz çizime bakıp bunun neden böyle olduğunu düşünüyorsunuz.

Alan neye eşittir? daha büyük kare?

Sağ, .

Daha küçük bir alana ne dersiniz?

Kesinlikle, .

Dört köşenin toplam alanı kalır. Bunları ikişer ikişer alıp hipotenüsleriyle birbirlerine yasladığımızı hayal edin.

Ne oldu? İki dikdörtgen. Bu, “kesiklerin” alanının eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

Hadi dönüştürelim:

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik; onun teoremini eski bir yöntemle kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Dar açının sinüsü orana eşit karşı taraf hipotenüse

Dar bir açının kosinüsü şu orana eşittir: bitişik bacak hipotenüse.

Bir dar açının tanjantı karşı kenarın komşu kenara oranına eşittir.

Bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranına eşittir.

Ve bir kez daha tüm bunlar bir tablet biçiminde:

Çok uygun!

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

I. İki tarafta

II. Bacak ve hipotenüse göre

III. Hipotenüs ve dar açıya göre

IV. Bacak boyunca ve dar açı

A)

B)

Dikkat! Burada bacakların “uygun” olması çok önemlidir. Örneğin, eğer şu şekilde giderse:

O halde ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR aynı dar açıya sahip olmalarına rağmen.

Bu gerekli her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi?

Konuya bir göz atın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için elemanlarından üçünün eşit olması gerektiğine dikkat edin: iki kenar ve aralarındaki açı, iki açı ve aralarındaki kenar veya üç kenar.

Ancak dik üçgenlerin eşitliği için yalnızca karşılık gelen iki öğe yeterlidir. Harika, değil mi?

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri ile durum yaklaşık olarak aynıdır.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

I. Dar bir açı boyunca

II. İki tarafta

III. Bacak ve hipotenüse göre

Dik üçgende medyan

Bu neden böyle?

Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve bir nokta düşünelim; köşegenlerin kesişme noktası. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz?

Peki bundan ne sonuç çıkıyor?

Böylece ortaya çıktı

1. - medyan:

Bu gerçeği unutmayın! Çok yardımcı oluyor!

Daha da şaşırtıcı olan ise bunun tam tersinin de geçerli olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olmasından ne gibi bir fayda elde edilebilir? Hadi resme bakalım

Dikkatlice bakın. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak üçgende üçgenin üç köşesine de mesafeleri eşit olan tek bir nokta vardır ve bu da ÇEMBERİN MERKEZİdir. Peki ne oldu?

O halde şu "ayrıca..." ile başlayalım.

Şimdi ve'ye bakalım.

Ancak benzer üçgenler tüm açılar eşittir!

Aynı şey hakkında da söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Bu “üçlü” benzerlikten ne gibi faydalar elde edilebilir?

Mesela - Dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazalım:

Yüksekliği bulmak için orantıyı çözeriz ve şunu elde ederiz: ilk formül "Dik üçgende yükseklik":

O halde benzerliği uygulayalım: .

Şimdi ne olacak?

Yine orantıyı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:

Bu formüllerin ikisini de çok iyi hatırlamanız ve size hangisi daha uygunsa onu kullanmanız gerekiyor.

Tekrar yazalım

Pisagor teoremi:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir: .

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

• iki tarafta:
• bacak ve hipotenüse göre: veya
• bacak boyunca ve bitişik dar açı boyunca: veya
• bacak boyunca ve karşıt dar açıda: veya
• hipotenüs ve dar açıya göre: veya.

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri:

• bir akut köşe: veya
• iki bacağın orantılılığından:
• bacağın ve hipotenüsün orantılılığından: veya.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant

• Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranıdır: .

Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.

Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir: .

Dik üçgenin alanı:

• bacaklar yoluyla:
• bacak boyunca ve dar açı: .

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ, ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 499 ovmak.

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

(ABC) ve şekilde sunulan özellikleri. Bir dik üçgenin bir hipotenüsü vardır - dik açının karşısında yer alan taraf.

İpucu 1: Dik üçgenin yüksekliğini nasıl bulabilirim?

Dik açı oluşturan kenarlara bacak denir. Resimde yanlar görünüyor AD, DC ve BD, DC- bacaklar ve yanlar klima Ve kuzeydoğu- hipotenüs.

Teorem 1. Açısı 30° olan bir dik üçgende, bu açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısını kıracaktır.

hC

AB- hipotenüs;

reklam Ve DВ

Üçgen
Bir teorem var:
yorum sistemi CACKLe

Çözüm: 1) Herhangi bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir Doğru 2) Bir üçgenin bir dar açısı varsa bu üçgen dardır. Doğru değil. Üçgen türleri. Üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse üçgene dar üçgen denir. 3) Noktanın üzerinde yer alıyorsa.

Veya başka bir girişte,

Pisagor teoremine göre

Dik üçgenin yüksekliğinin formülü nedir?

Bir dik üçgenin yüksekliği

Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, problem tanımındaki verilere bağlı olarak şu veya bu şekilde bulunabilir.

Veya başka bir girişte,

BK ve KC, bacakların hipotenüse (yüksekliğin hipotenüsü böldüğü bölümler) izdüşümleridir.

Hipotenüse olan yükseklik, dik üçgenin alanı aracılığıyla bulunabilir. Bir üçgenin alanını bulmak için formülü uygularsak

(bir kenarın çarpımının yarısı ile bu kenara çizilen yüksekliğin yarısı) hipotenüse ve hipotenüse çizilen yüksekliğe göre şunu elde ederiz:

Buradan yüksekliği üçgenin alanının iki katının hipotenüs uzunluğuna oranı olarak bulabiliriz:

Dik üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısına eşit olduğundan:

Yani hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğu, bacakların çarpımının hipotenüse oranına eşittir. Bacakların uzunluklarını a ve b ile, hipotenüs uzunluğunu ise c ile gösterirsek, formül şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bir dik üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı olduğuna göre yarıya eşit Hipotenüs, yüksekliğin uzunluğu bacaklar ve çevrel dairenin yarıçapı cinsinden ifade edilebilir:

Hipotenüse çizilen yükseklik iki dik üçgen daha oluşturduğundan uzunluğu dik üçgendeki ilişkilerden bulunabilir.

ABK dik üçgeninden

ACK dik üçgeninden

Bir dik üçgenin yüksekliğinin uzunluğu bacakların uzunlukları cinsinden ifade edilebilir. Çünkü

Pisagor teoremine göre

Denklemin her iki tarafının karesini alırsak:

Bir dik üçgenin yüksekliğini bacaklarıyla ilişkilendirmek için başka bir formül elde edebilirsiniz:

Dik üçgenin yüksekliğinin formülü nedir?

Sağ üçgen. Ortalama seviye.

Gücünüzü test etmek ve Birleşik Devlet Sınavına veya Birleşik Devlet Sınavına ne kadar hazır olduğunuzun sonucunu öğrenmek ister misiniz?

Dik üçgenlerle ilgili ana teorem Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Çok iyi değilse resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini zaten birçok kez kullanmış olmanız oldukça muhtemeldir, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl kanıtlayabilirim? Antik Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar akıllıca uzunluklara ayırdığımızı görün ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz çizime bakıp bunun neden böyle olduğunu düşünüyorsunuz.

Büyük karenin alanı nedir? Sağ, . Daha küçük bir alana ne dersiniz? Kesinlikle, . Dört köşenin toplam alanı kalır. Bunları ikişer ikişer alıp hipotenüsleriyle birbirlerine yasladığımızı hayal edin. Ne oldu? İki dikdörtgen. Bu, "kesiklerin" alanının eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik; onun teoremini eski bir yöntemle kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Bir dar açının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir

Bir dar açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranına eşittir.

Bir dar açının tanjantı karşı kenarın komşu kenara oranına eşittir.

Bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranına eşittir.

Ve bir kez daha tüm bunlar bir tablet biçiminde:

Çok kullanışlı bir şeyi fark ettiniz mi? Tabelaya dikkatlice bakın.

Çok uygun!

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

II. Bacak ve hipotenüse göre

III. Hipotenüs ve dar açıya göre

IV. Bacak boyunca ve dar açı

Dikkat! Burada bacakların “uygun” olması çok önemlidir. Örneğin, eğer şu şekilde giderse:

O halde ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR aynı dar açıya sahip olmalarına rağmen.

Bu gerekli Her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi? “Üçgen” konusuna bir göz atın ve “sıradan” üçgenlerin eşitliği için elemanlarından üçünün eşit olması gerektiğine dikkat edin: iki kenar ve aralarındaki açı, iki açı ve aralarındaki kenar veya üç taraflar. Ancak dik üçgenlerin eşitliği için yalnızca karşılık gelen iki öğe yeterlidir. Harika, değil mi?

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri ile durum yaklaşık olarak aynıdır.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

III. Bacak ve hipotenüse göre

Dik üçgende medyan

Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve köşegenlerin kesiştiği noktayı düşünelim. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz?

Köşegenlerin kesişme noktası ikiye bölünür. Köşegenler eşittir.

Peki bundan ne sonuç çıkıyor?

Böylece ortaya çıktı

Bu gerçeği unutmayın! Çok yardımcı oluyor!

Daha da şaşırtıcı olan ise bunun tam tersinin de geçerli olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olmasından ne gibi bir fayda elde edilebilir? Hadi resme bakalım

Dikkatlice bakın. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak üçgende üçgenin üç köşesine de mesafeleri eşit olan tek bir nokta vardır ve bu da ÇEMBERİN MERKEZİdir. Peki ne oldu?

Şu "ayrıca" ile başlayalım. "

Ancak benzer üçgenlerin tüm açıları eşittir!

Aynı şey hakkında da söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Aynı keskin açılara sahipler!

Bu “üçlü” benzerlikten ne gibi faydalar elde edilebilir?

Mesela - Dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazalım:

Yüksekliği bulmak için orantıyı çözeriz ve şunu elde ederiz: İlk formül "Dik üçgende yükseklik":

İkincisini nasıl alabilirim?

Şimdi üçgenlerin benzerliğini uygulayalım.

O halde benzerliği uygulayalım: .

Şimdi ne olacak?

Yine orantıyı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz "Dik üçgende yükseklik":

Bu formüllerin ikisini de çok iyi hatırlamanız ve size hangisi daha uygunsa onu kullanmanız gerekiyor. Tekrar yazalım

Artık bu bilgiyi uygulayarak ve başkalarıyla birleştirerek, dik üçgenle ilgili her türlü sorunu çözeceksiniz!

Yorumlar

Kaynak sayfaya dofollow bağlantısı olması durumunda materyallerin onaysız dağıtımına izin verilir.

Gizlilik Politikası

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler. Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz. Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.

Bir dik üçgenin hipotenüse düşen yüksekliğinin özelliği

Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamusal önem amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz. Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Mesaj için teşekkürler!

Yorumunuz kabul edildi ve denetlendikten sonra bu sayfada yayınlanacak.

Kesimin altında neyin saklı olduğunu öğrenmek ve Birleşik Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmaya ilişkin özel materyaller almak ister misiniz? E-postanızı bırakın

Dik üçgenin özellikleri

Bir dik üçgen düşünün (ABC) ve şekilde sunulan özellikleri. Bir dik üçgenin bir hipotenüsü vardır - dik açının karşısında yer alan taraf. Dik açı oluşturan kenarlara bacak denir. Resimde yanlar görünüyor AD, DC ve BD, DC- bacaklar ve yanlar klima Ve kuzeydoğu- hipotenüs.

Dik üçgenin eşitlik işaretleri:

Teorem 1. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve kenarı başka bir üçgenin hipotenüsüne ve kenarına benzerse, bu üçgenler eştir.

Teorem 2. Bir dik üçgenin iki bacağı başka bir üçgenin iki bacağına eşitse bu üçgenler eştir.

Teorem 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve dar açısı başka bir üçgenin hipotenüsüne ve dar açısına benzerse, bu üçgenler eştir.

Teorem 4. Bir dik üçgenin bir bacağı ve bitişik (karşı) dar açısı, başka bir üçgenin bir bacağına ve bitişik (karşı) dar açısına eşitse, bu tür üçgenler uyumludur.

30° açının karşısındaki bacağın özellikleri:

Teorem 1.

Dik üçgende yükseklik

Açısı 30° olan bir dik üçgende bu açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısını kıracaktır.

Teorem 2. Bir dik üçgende dik kenar hipotenüsün yarısına eşitse, karşıt açı 30° olur.

Yükseklik, dik açının tepesinden hipotenüse çizilirse, böyle bir üçgen, gidene benzer ve birbirine benzer iki küçük üçgene bölünür. Bundan aşağıdaki sonuçlar çıkar:

1. Yükseklik, hipotenüsün iki bölümünün geometrik ortalamasıdır (orantılı ortalama).
2. Üçgenin her bir ayağı hipotenüs ve komşu bölümlerle orantılı ortalamadır.

Dik üçgende bacaklar yükseklik görevi görür. Diklik merkezi, üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasıdır. Şeklin dik açısının tepe noktasına denk gelir.

hC- üçgenin dik açısından çıkan yükseklik;

AB- hipotenüs;

reklam Ve DВ- hipotenüsün yüksekliğe bölünmesiyle ortaya çıkan bölümler.

"Geometri" disiplinine ilişkin bilgileri görüntülemeye geri dönün

Üçgen aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta (köşe) ve bu noktaları birbirine bağlayan üç parçadan oluşan geometrik şekildir. Dik üçgen, açılarından biri 90° (dik açı) olan bir üçgendir.
Bir teorem var: Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı 90°'dir.
yorum sistemi CACKLe

Anahtar kelimeler:üçgen, dik açı, kenar, hipotenüs, Pisagor teoremi, daire

Üçgen denir dikdörtgen eğer dik bir açısı varsa.
Bir dik üçgenin birbirine dik iki kenarı vardır. bacaklar; üçüncü tarafına denir hipotenüs.

• Dik ve eğik çizgilerin özelliklerine göre hipotenüs bacakların her birinden daha uzundur (ancak toplamlarından daha küçüktür).
• Bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı bir dik açıya eşittir.
• Bir dik üçgenin iki yüksekliği bacaklarıyla çakışmaktadır. Bu nedenle dört kişiden biri harika noktalarüçgenin dik açısının köşelerine çarpar.
• Bir dik üçgenin çevrel merkezi hipotenüsün ortasında yer alır.
• Dik açının köşesinden hipotenüse çizilen bir dik üçgenin ortancası, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapıdır.

Rastgele bir dikdörtgen düşünün ABC üçgeni ve dik açısının C köşesinden CD = hc yüksekliğini çizin.

Kırılacak verilen üçgen iki dik üçgene ACD ve BCD; bu üçgenlerin her birinin ABC üçgeniyle ortak bir dar açısı vardır ve bu nedenle ABC üçgenine benzer.

ABC, ACD ve BCD üçgenlerinin üçü de birbirine benzer.

Üçgenlerin benzerliğinden aşağıdaki ilişkiler belirlenir:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pisagor teoremi Bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri.

Geometrik formülasyon. Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir.

Cebirsel formülasyon. Bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.
Yani, üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu c ile, bacaklarının uzunluklarını ise a ve b ile gösteririz:
a2 + b2 = c2

Converse Pisagor teoremi.

Bir dik üçgenin yüksekliği

Her üç için pozitif sayılar a, b ve c, öyle ki
a2 + b2 = c2,
Bacakları a ve b, hipotenüsü c olan bir dik üçgen vardır.

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

• bacak ve hipotenüs boyunca;
• iki ayak üzerinde;
• bacak boyunca ve dar açı;
• hipotenüs ve dar açı boyunca.

Ayrıca bakınız:
Bir üçgenin alanı, İkizkenar üçgen, Eşkenar üçgen

Geometri. 8 Sınıf. Test 4. Seçenek 1 .

reklam : CD = CD : B.D. Dolayısıyla CD2 = AD ∙ B.D. Şöyle diyorlar:

reklam : AC = AC : AB. Dolayısıyla AC2 = AB ∙ MS. Şöyle diyorlar:

BD : MÖ = MÖ : AB. Dolayısıyla BC2 = AB ∙ B.D.

Sorunları çözün:

1.

A) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45cm; E) 53 cm.

2. Hipotenüse çizilen dik üçgenin yüksekliği hipotenüsü 9 ve 36 numaralı parçalara ayırır.

Bu yüksekliğin uzunluğunu belirleyin.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Bir dik üçgenin bacağı 30'dur.

Dik üçgende yükseklik nasıl bulunur?

Bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı 17 ise, dik açının tepe noktasından hipotenüse kadar olan mesafeyi bulun.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Cevapları kontrol edin!

G8.04.1. Dik üçgende orantılı bölümler

Geometri. 8 Sınıf. Test 4. Seçenek 1 .

Δ ABC ∠ACV = 90°'de. AC ve BC bacakları, AB hipotenüsü.

CD, hipotenüse çizilen üçgenin yüksekliğidir.

AC bacağının hipotenüse AD projeksiyonu,

BC bacağının hipotenüse BD izdüşümü.

Yükseklik CD, ABC üçgenini kendisine benzer (ve birbirine) iki üçgene böler: Δ ADC ve Δ CDB.

Benzer Δ ADC ve Δ CDB'nin kenarlarının orantılılığından şu sonuç çıkar:

reklam : CD = CD : B.D.

Bir dik üçgenin hipotenüse düşen yüksekliğinin özelliği.

Dolayısıyla CD2 = AD ∙ B.D. Şöyle diyorlar: Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği,bir ortalama var oransal değer bacakların hipotenüs üzerindeki çıkıntıları arasında.

Δ ADC ve Δ ACB'nin benzerliğinden şu sonuç çıkar:

reklam : AC = AC : AB. Dolayısıyla AC2 = AB ∙ MS. Şöyle diyorlar: her bacak, tüm hipotenüs ile projeksiyon arasındaki ortalama orantılı değerdir bu bacak hipotenüse.

Benzer şekilde Δ CDB ve Δ ACB'nin benzerliğinden şu sonuç çıkar:

BD : MÖ = MÖ : AB. Dolayısıyla BC2 = AB ∙ B.D.

Sorunları çözün:

1. Hipotenüsü 25 cm ve 81 cm'lik parçalara bölen dik üçgenin hipotenüse olan yüksekliğini bulun.

A) 70cm; B) 55cm; C) 65cm; D) 45cm; E) 53 cm.

2. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği hipotenüsü 9 ve 36 numaralı parçalara ayırır. Bu yüksekliğin uzunluğunu belirleyin.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği 22, kenarlardan birinin izdüşümü 16'dır. Diğer bacağın izdüşümünü bulun.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Bir dik üçgenin kenarı 18'dir ve hipotenüse izdüşümü 12'dir. Hipotenüsü bulun.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenüs 32'ye eşittir. Hipotenüse izdüşümü 2'ye eşit olan tarafı bulun.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Bir dik üçgenin hipotenüsü 45'tir. Hipotenüse izdüşümü 9 olan kenarı bulun.

8. Bir dik üçgenin kenarı 30'dur. Bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı 17 ise, dik açının tepe noktasından hipotenüse kadar olan mesafeyi bulun.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Bir dik üçgenin hipotenüsü 41 ve kenarlarından birinin izdüşümü 16'dır. Dik açının tepe noktasından hipotenüse kadar çizilen yüksekliğin uzunluğunu bulun.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki fark 15'tir ve dik açının tepe noktasından hipotenüse olan mesafe 4'tür. Çevreleyen dairenin yarıçapını bulun.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.