సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క విభజన యొక్క ఉత్పన్నం. సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

మీరు నిర్వచనాన్ని అనుసరిస్తే, ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అనేది ఫంక్షన్ Δ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి. వైవాదన పెరుగుదలకు Δ x:

అంతా క్లియర్‌గా ఉన్నట్లుంది. కానీ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి, చెప్పడానికి ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ప్రయత్నించండి f(x) = x 2 + (2x+ 3) · ఇ xపాపం x. మీరు ప్రతిదీ నిర్వచనం ప్రకారం చేస్తే, గణనల యొక్క రెండు పేజీల తర్వాత మీరు కేవలం నిద్రపోతారు. అందువలన, సరళమైన మరియు మరింత ప్రభావవంతమైన మార్గాలు ఉన్నాయి.

ప్రారంభించడానికి, మొత్తం రకాల ఫంక్షన్ల నుండి మనం ప్రాథమిక విధులు అని పిలవబడే వాటిని వేరు చేయగలమని మేము గమనించాము. ఇది సాపేక్షమైనది సాధారణ వ్యక్తీకరణలు, దీని ఉత్పన్నాలు చాలా కాలంగా లెక్కించబడ్డాయి మరియు పట్టికలో జాబితా చేయబడ్డాయి. ఇటువంటి విధులు గుర్తుంచుకోవడం చాలా సులభం - వాటి ఉత్పన్నాలతో పాటు.

ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు

ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్‌లు అన్నీ క్రింద ఇవ్వబడినవే. ఈ ఫంక్షన్ల యొక్క ఉత్పన్నాలు హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవాలి. అంతేకాక, వాటిని గుర్తుంచుకోవడం అస్సలు కష్టం కాదు - అందుకే అవి ప్రాథమికమైనవి.

కాబట్టి, ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు:

పేరు	ఫంక్షన్	ఉత్పన్నం
స్థిరమైన	f(x) = సి, సి ∈ ఆర్	0 (అవును, సున్నా!)
హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి	f(x) = x n	n · x n − 1
సైనస్	f(x) = పాపం x	కాస్ x
కొసైన్	f(x) = cos x	-పాపం x(మైనస్ సైన్)
టాంజెంట్	f(x) = tg x	1/కాస్ 2 x
కోటాంజెంట్	f(x) = ctg x	- 1/పాపం 2 x
సహజ సంవర్గమానం	f(x) = లాగ్ x	1/x
ఏకపక్ష సంవర్గమానం	f(x) = లాగ్ a x	1/(x ln a)
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్	f(x) = ఇ x	ఇ x(ఏమి మారలేదు)

ఒక ప్రాథమిక విధిని ఏకపక్ష స్థిరాంకంతో గుణిస్తే, కొత్త ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కూడా సులభంగా లెక్కించబడుతుంది:

(సి · f)’ = సి · f ’.

సాధారణంగా, ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం నుండి స్థిరాంకాలు తీసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకి:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

సహజంగానే, ప్రాథమిక విధులు ఒకదానికొకటి జోడించబడతాయి, గుణించబడతాయి, విభజించబడతాయి - మరియు మరెన్నో. కొత్త ఫంక్షన్‌లు ఈ విధంగా కనిపిస్తాయి, ఇకపై ప్రత్యేకంగా ప్రాథమికంగా ఉండవు, కానీ వాటికి సంబంధించి కూడా విభిన్నంగా ఉంటాయి కొన్ని నియమాలు. ఈ నియమాలు క్రింద చర్చించబడ్డాయి.

మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పన్నం

విధులు ఇవ్వనివ్వండి f(x) మరియు g(x), వీటిలో ఉత్పన్నాలు మనకు తెలుసు. ఉదాహరణకు, మీరు పైన చర్చించిన ప్రాథమిక విధులను తీసుకోవచ్చు. అప్పుడు మీరు ఈ ఫంక్షన్ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనవచ్చు:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

కాబట్టి, రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల మొత్తానికి (తేడా) సమానం. మరిన్ని నిబంధనలు ఉండవచ్చు. ఉదాహరణకి, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, బీజగణితంలో "వ్యవకలనం" అనే భావన లేదు. ఒక భావన ఉంది" ప్రతికూల మూలకం" అందువలన తేడా f − gమొత్తంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు f+ (-1) g, ఆపై ఒక సూత్రం మాత్రమే మిగిలి ఉంది - మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం.

f(x) = x 2 + పాపం x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

ఫంక్షన్ f(x) అనేది రెండు ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల మొత్తం, కాబట్టి:

f ’(x) = (x 2 + పాపం x)’ = (x 2)' + (పాపం x)’ = 2x+ cos x;

మేము ఫంక్షన్ కోసం అదేవిధంగా కారణం g(x) ఇప్పటికే మూడు పదాలు మాత్రమే ఉన్నాయి (బీజగణితం యొక్క కోణం నుండి):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

సమాధానం:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం

గణితం అనేది ఒక తార్కిక శాస్త్రం, కాబట్టి మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం ఉత్పన్నాల మొత్తానికి సమానం అయితే, ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం అని చాలా మంది నమ్ముతారు. సమ్మె">ఉత్పన్నాల ఉత్పత్తికి సమానం. అయితే స్క్రూ యు! ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం పూర్తిగా భిన్నమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది. అవి:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

ఫార్ములా చాలా సులభం, కానీ ఇది తరచుగా మరచిపోతుంది. మరియు పాఠశాల పిల్లలు మాత్రమే కాదు, విద్యార్థులు కూడా. ఫలితంగా సమస్యలు తప్పుగా పరిష్కరించబడతాయి.

టాస్క్. ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి: f(x) = x 3 కాస్ x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · ఇ x .

ఫంక్షన్ f(x) అనేది రెండు ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి, కాబట్టి ప్రతిదీ చాలా సులభం:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ఖర్చు x + x 3 (కస్ x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- పాపం x) = x 2 (3కోలు x − xపాపం x)

ఫంక్షన్ g(x) మొదటి అంశం కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది, కానీ సాధారణ పథకంఇది మారదు. సహజంగానే, ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి అంశం g(x) అనేది బహుపది మరియు దాని ఉత్పన్నం మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం. మాకు ఉన్నాయి:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · ఇ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · ఇ x + (x 2 + 7x− 7) ( ఇ x)’ = (2x+ 7) · ఇ x + (x 2 + 7x− 7) · ఇ x = ఇ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ఇ x = x(x+ 9) · ఇ x .

సమాధానం:
f ’(x) = x 2 (3కోలు x − xపాపం x);
g ’(x) = x(x+ 9) · ఇ x .

దయచేసి చివరి దశలో ఉత్పన్నం కారకం చేయబడిందని గమనించండి. అధికారికంగా, ఇది చేయవలసిన అవసరం లేదు, కానీ చాలా ఉత్పన్నాలు వాటి స్వంతంగా లెక్కించబడవు, కానీ ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించడానికి. దీని అర్థం మరింత ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం అవుతుంది, దాని సంకేతాలు నిర్ణయించబడతాయి మరియు మొదలైనవి. అటువంటి సందర్భంలో, వ్యక్తీకరణను కారకంగా ఉంచడం మంచిది.

రెండు విధులు ఉంటే f(x) మరియు g(x), మరియు g(x) మనకు ఆసక్తి ఉన్న సెట్‌లో ≠ 0, మేము కొత్త ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించవచ్చు h(x) = f(x)/g(x) అటువంటి ఫంక్షన్ కోసం మీరు ఉత్పన్నాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు:

బలహీనంగా లేదు, అవునా? మైనస్ ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? ఎందుకు g 2? మరియు ఇలా! ఇది చాలా ఒకటి సంక్లిష్ట సూత్రాలు- మీరు బాటిల్ లేకుండా దాన్ని గుర్తించలేరు. అందువల్ల, దానిపై అధ్యయనం చేయడం మంచిది నిర్దిష్ట ఉదాహరణలు.

టాస్క్. ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి:

ప్రతి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం ప్రాథమిక విధులను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి మనకు కావలసిందల్లా గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రం:

సంప్రదాయం ప్రకారం, న్యూమరేటర్‌ను కారకం చేద్దాం - ఇది సమాధానాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తుంది:

సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ తప్పనిసరిగా అర కిలోమీటరు పొడవు గల ఫార్ములా కాదు. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ తీసుకుంటే సరిపోతుంది f(x) = పాపం xమరియు వేరియబుల్ స్థానంలో x, చెప్పండి, న x 2 + ln x. ఇది పని చేస్తుంది f(x) = పాపం ( x 2 + ln x) - ఇది సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్. దీనికి ఉత్పన్నం కూడా ఉంది, కానీ పైన చర్చించిన నియమాలను ఉపయోగించి దాన్ని కనుగొనడం సాధ్యం కాదు.

నేనేం చేయాలి? అటువంటి సందర్భాలలో, వేరియబుల్ మరియు ఉత్పన్న సూత్రాన్ని భర్తీ చేయడం సహాయపడుతుంది క్లిష్టమైన ఫంక్షన్:

f ’(x) = f ’(t) · t', ఉంటే xద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది t(x).

నియమం ప్రకారం, ఈ ఫార్ములాను అర్థం చేసుకునే పరిస్థితి గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం కంటే మరింత విచారకరం. అందువల్ల, నిర్దిష్ట ఉదాహరణలతో వివరించడం కూడా మంచిది వివరణాత్మక వివరణప్రతి అడుగు.

టాస్క్. ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి: f(x) = ఇ 2x + 3 ; g(x) = పాపం ( x 2 + ln x)

ఫంక్షన్‌లో ఉంటే గమనించండి f(x) వ్యక్తీకరణకు బదులుగా 2 x+ 3 సులభం అవుతుంది x, అప్పుడు అది పని చేస్తుంది ప్రాథమిక విధి f(x) = ఇ x. కాబట్టి, మేము భర్తీ చేస్తాము: వీలు 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = ఇ t. మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం చూస్తాము:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (ఇ t)’ · t ’ = ఇ t · t ’

మరియు ఇప్పుడు - శ్రద్ధ! మేము రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ చేస్తాము: t = 2x+ 3. మేము పొందుతాము:

f ’(x) = ఇ t · t ’ = ఇ 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ఇ 2x+ 3 2 = 2 ఇ 2x + 3

ఇప్పుడు ఫంక్షన్ చూద్దాం g(x) సహజంగానే దాన్ని భర్తీ చేయాలి x 2 + ln x = t. మాకు ఉన్నాయి:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (పాపం t)’ · t’ = ఖర్చు t · t ’

రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్: t = x 2 + ln x. అప్పుడు:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

అంతే! నుండి చూడవచ్చు చివరి వ్యక్తీకరణ, మొత్తం సమస్య ఉత్పన్న మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి తగ్గించబడింది.

సమాధానం:
f ’(x) = 2 · ఇ 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) కాస్ ( x 2 + ln x).

చాలా తరచుగా నా పాఠాలలో, "ఉత్పన్నం" అనే పదానికి బదులుగా, నేను "ప్రైమ్" అనే పదాన్ని ఉపయోగిస్తాను. ఉదాహరణకు, మొత్తం నుండి ఒక ప్రధానం మొత్తానికి సమానంస్ట్రోక్స్. అది స్పష్టంగా ఉందా? బాగా, అది మంచిది.

అందువల్ల, ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడం పైన చర్చించిన నిబంధనల ప్రకారం ఇదే స్ట్రోక్‌లను వదిలించుకోవడానికి వస్తుంది. వంటి చివరి ఉదాహరణహేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో ఉత్పన్న శక్తికి తిరిగి వెళ్దాం:

(x n)’ = n · x n − 1

ఆ పాత్రలో చాలా తక్కువ మందికి తెలుసు nబాగా పని చేయవచ్చు ఒక పాక్షిక సంఖ్య. ఉదాహరణకు, మూలం x 0.5 రూట్ కింద ఏదైనా ఫ్యాన్సీ ఉంటే? మళ్ళీ, ఫలితం సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ అవుతుంది - వారు అలాంటి నిర్మాణాలను ఇవ్వడానికి ఇష్టపడతారు పరీక్షలుమరియు పరీక్షలు.

టాస్క్. ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

ముందుగా, మూలాన్ని హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తిగా తిరిగి వ్రాద్దాం:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ఇప్పుడు మేము భర్తీ చేస్తాము: వీలు x 2 + 8x − 7 = t. మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t’ = 0.5 · t−0.5 · t ’.

రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ చేద్దాం: t = x 2 + 8x− 7. మేము కలిగి ఉన్నాము:

f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) -0.5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

చివరగా, మూలాలకు తిరిగి వెళ్ళు:

నిర్ణయించుకోండి భౌతిక పనులులేదా గణితంలో ఉదాహరణలు ఉత్పన్నం మరియు దానిని లెక్కించే పద్ధతుల గురించి తెలియకుండా పూర్తిగా అసాధ్యం. ఉత్పన్నం ఒకటి అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలు గణిత విశ్లేషణ. ఈ ప్రాథమిక అంశంమేము నేటి కథనాన్ని అంకితం చేయాలని నిర్ణయించుకున్నాము. ఉత్పన్నం అంటే ఏమిటి, దాని భౌతిక ఏమిటి మరియు రేఖాగణిత అర్థంఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని ఎలా లెక్కించాలి? ఈ ప్రశ్నలన్నింటినీ ఒకటిగా కలపవచ్చు: ఉత్పన్నాన్ని ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి?

ఉత్పన్నం యొక్క జ్యామితీయ మరియు భౌతిక అర్థం

ఒక ఫంక్షన్ ఉండనివ్వండి f(x) , నిర్దిష్ట విరామంలో పేర్కొనబడింది (ఎ, బి) . x మరియు x0 పాయింట్లు ఈ విరామానికి చెందినవి. x మారినప్పుడు, ఫంక్షన్ కూడా మారుతుంది. వాదనను మార్చడం - దాని విలువలలో వ్యత్యాసం x-x0 . ఈ వ్యత్యాసం ఇలా వ్రాయబడింది డెల్టా x మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ ఇంక్రిమెంట్ అంటారు. ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు లేదా ఇంక్రిమెంట్ అనేది రెండు పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువల మధ్య వ్యత్యాసం. ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం:

ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం అనేది ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ యొక్క నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి మరియు రెండోది సున్నాకి మారినప్పుడు ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్.

లేకపోతే ఇలా వ్రాయవచ్చు:

అలాంటి పరిమితిని కనుగొనడంలో ప్రయోజనం ఏమిటి? మరియు అది ఏమిటో ఇక్కడ ఉంది:

ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం OX అక్షం మధ్య కోణం యొక్క టాంజెంట్ మరియు ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌కు సమానం.

భౌతిక అర్థంఉత్పన్నం: సమయానికి సంబంధించి మార్గం యొక్క ఉత్పన్నం రెక్టిలినియర్ మోషన్ వేగానికి సమానం.

నిజమే, పాఠశాల రోజుల నుండి ప్రతి ఒక్కరికి వేగం ఒక నిర్దిష్ట మార్గం అని తెలుసు x=f(t) మరియు సమయం t . సగటు వేగంఒక నిర్దిష్ట కాలానికి:

ఒక సమయంలో కదలిక వేగాన్ని తెలుసుకోవడానికి t0 మీరు పరిమితిని లెక్కించాలి:

నియమం ఒకటి: స్థిరాంకాన్ని సెట్ చేయండి

స్థిరాంకం ఉత్పన్న సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు. అంతేకాక, ఇది తప్పనిసరిగా చేయాలి. గణితంలో ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు, దానిని ఒక నియమంగా తీసుకోండి - మీరు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయగలిగితే, దానిని సరళీకృతం చేయాలని నిర్ధారించుకోండి .

ఉదాహరణ. ఉత్పన్నాన్ని గణిద్దాం:

నియమం రెండు: ఫంక్షన్ల మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం

రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం ఈ ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల మొత్తానికి సమానం. ఫంక్షన్ల భేదం యొక్క ఉత్పన్నానికి కూడా ఇది వర్తిస్తుంది.

మేము ఈ సిద్ధాంతానికి రుజువు ఇవ్వము, కానీ ఆచరణాత్మక ఉదాహరణను పరిగణించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

రూల్ మూడు: ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం

రెండు భేదాత్మక ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

ఉదాహరణ: ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

పరిష్కారం:

ఇక్కడ సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను లెక్కించడం గురించి మాట్లాడటం ముఖ్యం. కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్‌కు సంబంధించి ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం మరియు స్వతంత్ర వేరియబుల్‌కు సంబంధించి ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం.

పై ఉదాహరణలో మనం వ్యక్తీకరణను చూస్తాము:

IN ఈ విషయంలోఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ ఐదవ శక్తికి 8x. అటువంటి వ్యక్తీకరణ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి, మేము మొదట ఉత్పన్నాన్ని గణిస్తాము బాహ్య ఫంక్షన్ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ ద్వారా, ఆపై స్వతంత్ర చరరాశికి సంబంధించి ఇంటర్మీడియట్ ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం ద్వారా గుణించండి.

నియమం నాలుగు: రెండు ఫంక్షన్ల గుణకం యొక్క ఉత్పన్నం

రెండు ఫంక్షన్ల గుణకం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని నిర్ణయించడానికి సూత్రం:

మేము మొదటి నుండి డమ్మీల కోసం ఉత్పన్నాల గురించి మాట్లాడటానికి ప్రయత్నించాము. ఈ అంశం కనిపించేంత సులభం కాదు, కాబట్టి హెచ్చరించండి: ఉదాహరణలలో తరచుగా ఆపదలు ఉన్నాయి, కాబట్టి ఉత్పన్నాలను లెక్కించేటప్పుడు జాగ్రత్తగా ఉండండి.

దీనిపై మరియు ఇతర అంశాలపై ఏవైనా సందేహాలుంటే, మీరు విద్యార్థి సేవను సంప్రదించవచ్చు. వెనుక తక్కువ సమయంమీరు ఇంతకు ముందెన్నడూ ఉత్పన్నమైన గణనలను చేయనప్పటికీ, అత్యంత క్లిష్టమైన పరీక్షలను పరిష్కరించడంలో మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మేము మీకు సహాయం చేస్తాము.

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రం యొక్క రుజువు ఇవ్వబడింది. సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ ఒకటి లేదా రెండు వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడిన సందర్భాలు వివరంగా పరిగణించబడతాయి. కేసుకు సాధారణీకరణ చేయబడుతుంది ఏదైనా సంఖ్యవేరియబుల్స్.

ఇక్కడ మేము ముగింపును అందిస్తున్నాము క్రింది సూత్రాలుసంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం.
ఉంటే, అప్పుడు
.
ఉంటే, అప్పుడు
.
ఉంటే, అప్పుడు
.

ఒక వేరియబుల్ నుండి సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

వేరియబుల్ x యొక్క ఫంక్షన్‌ని కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్‌గా సూచించనివ్వండి క్రింది రూపం:
,
అక్కడ కొన్ని విధులు ఉన్నాయి. x వేరియబుల్ యొక్క కొంత విలువకు ఫంక్షన్ భేదం ఉంటుంది. ఫంక్షన్ వేరియబుల్ యొక్క విలువ వద్ద భేదం ఉంది.
అప్పుడు కాంప్లెక్స్ (మిశ్రమ) ఫంక్షన్ పాయింట్ x వద్ద భేదం ఉంటుంది మరియు దాని ఉత్పన్నం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
(1) .

ఫార్ములా (1) కూడా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
;
.

రుజువు

కింది సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం.
;
.
ఇక్కడ వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ ఉంది మరియు , వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ ఉంది మరియు . కానీ గణనలను అస్తవ్యస్తం చేయకుండా ఉండటానికి మేము ఈ ఫంక్షన్ల వాదనలను వదిలివేస్తాము.

విధులు మరియు వరుసగా x మరియు , పాయింట్ల వద్ద భేదం ఉన్నందున, ఈ పాయింట్ల వద్ద ఈ ఫంక్షన్‌ల ఉత్పన్నాలు ఉన్నాయి, అవి క్రింది పరిమితులు:
;
.

కింది విధిని పరిగణించండి:
.
వేరియబుల్ u యొక్క స్థిర విలువ కోసం, ఒక ఫంక్షన్. అన్నది సుస్పష్టం
.
అప్పుడు
.

ఫంక్షన్ పాయింట్ వద్ద భేదాత్మక ఫంక్షన్ కాబట్టి, అది ఆ సమయంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది. అందుకే
.
అప్పుడు
.

ఇప్పుడు మనం ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము.

.

సూత్రం నిరూపించబడింది.

పర్యవసానం

ఒక వేరియబుల్ x యొక్క ఫంక్షన్‌ను కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్‌గా సూచించగలిగితే
,
అప్పుడు దాని ఉత్పన్నం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది
.
ఇక్కడ , మరియు కొన్ని విభిన్నమైన విధులు ఉన్నాయి.

ఈ ఫార్ములాను నిరూపించడానికి, సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ని వేరు చేయడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించి మేము ఉత్పన్నాన్ని వరుసగా గణిస్తాము.
సంక్లిష్ట పనితీరును పరిగణించండి
.
దీని ఉత్పన్నం
.
అసలు విధిని పరిగణించండి
.
దీని ఉత్పన్నం
.

రెండు వేరియబుల్స్ నుండి కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఇప్పుడు కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ అనేక వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడి ఉంటుంది. ముందుగా చూద్దాం రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క సందర్భం.

వేరియబుల్ xపై ఆధారపడిన ఒక ఫంక్షన్‌ని క్రింది రూపంలో రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క సంక్లిష్ట ఫంక్షన్‌గా సూచించనివ్వండి:
,
ఎక్కడ
మరియు వేరియబుల్ x యొక్క కొంత విలువకు భిన్నమైన విధులు ఉన్నాయి;
- రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్, పాయింట్ వద్ద భేదం , . అప్పుడు కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ పాయింట్ యొక్క నిర్దిష్ట పరిసరాల్లో నిర్వచించబడుతుంది మరియు ఒక ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
(2) .

రుజువు

విధులు మరియు పాయింట్ వద్ద భేదం ఉన్నందున, అవి ఈ బిందువు యొక్క నిర్దిష్ట పొరుగు ప్రాంతంలో నిర్వచించబడతాయి, పాయింట్ వద్ద నిరంతరం ఉంటాయి మరియు వాటి ఉత్పన్నాలు ఈ క్రింది పరిమితులుగా ఉంటాయి:
;
.
ఇక్కడ
;
.
ఒక సమయంలో ఈ ఫంక్షన్‌ల కొనసాగింపు కారణంగా, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
;
.

ఫంక్షన్ పాయింట్ వద్ద భేదం ఉన్నందున, ఇది ఈ బిందువు యొక్క నిర్దిష్ట పొరుగు ప్రాంతంలో నిర్వచించబడుతుంది, ఈ సమయంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు దాని ఇంక్రిమెంట్ క్రింది రూపంలో వ్రాయబడుతుంది:
(3) .
ఇక్కడ

- దాని వాదనలు విలువలతో పెరిగినప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు ;
;

- వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలు మరియు .
యొక్క స్థిర విలువల కోసం మరియు , మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క విధులు మరియు . అవి సున్నాకి ఉంటాయి మరియు:
;
.
నుండి మరియు , అప్పుడు
;
.

ఫంక్షన్ పెంపు:

. :
.
ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం (3):



.

సూత్రం నిరూపించబడింది.

అనేక వేరియబుల్స్ నుండి సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క వేరియబుల్స్ సంఖ్య రెండు కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు పై తీర్మానాన్ని సులభంగా సాధారణీకరించవచ్చు.

ఉదాహరణకు, f అయితే మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్, ఆ
,
ఎక్కడ
, మరియు వేరియబుల్ x యొక్క కొంత విలువకు డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్‌లు ఉన్నాయి;
- పాయింట్ వద్ద మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క భేదాత్మక ఫంక్షన్, , .
అప్పుడు, ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నిర్వచనం నుండి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
(4)
.
ఎందుకంటే, కొనసాగింపు కారణంగా,
; ; ,
ఆ
;
;
.

(4)ని విభజించడం మరియు పరిమితిని దాటడం, మేము పొందుతాము:
.

మరియు చివరకు, పరిగణలోకి తీసుకుందాం అత్యంత సాధారణ కేసు .
వేరియబుల్ x యొక్క ఫంక్షన్‌ని క్రింది రూపంలో n వేరియబుల్స్ యొక్క సంక్లిష్ట ఫంక్షన్‌గా సూచించనివ్వండి:
,
ఎక్కడ
వేరియబుల్ x యొక్క కొంత విలువకు భిన్నమైన విధులు ఉన్నాయి;
- ఒక పాయింట్ వద్ద n వేరియబుల్స్ యొక్క డిఫరెన్సియబుల్ ఫంక్షన్
, , ... , .
అప్పుడు
.

నిర్వచనం.\(y = f(x)\) ఫంక్షన్ \(x_0\) పాయింట్‌ని కలిగి ఉన్న నిర్దిష్ట విరామంలో నిర్వచించబడనివ్వండి. ఈ విరామాన్ని విడిచిపెట్టకుండా ఆర్గ్యుమెంట్ \(\Delta x \) ఇంక్రిమెంట్ ఇద్దాం. ఫంక్షన్ \(\Delta y \) (పాయింట్ \(x_0 \) నుండి పాయింట్ \(x_0 + \Delta x \))కి సంబంధించిన ఇంక్రిమెంట్‌ని కనుగొని, \(\frac(\Delta) సంబంధాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం y)(\డెల్టా x) \). \(\Delta x \rightarrow 0\) వద్ద ఈ నిష్పత్తికి పరిమితి ఉంటే, అప్పుడు పేర్కొన్న పరిమితిని అంటారు ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం\(y=f(x) \) పాయింట్ వద్ద \(x_0 \) మరియు \(f"(x_0) \)ని సూచిస్తుంది.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

y సంకేతం తరచుగా ఉత్పన్నాన్ని సూచించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది." y" = f(x) అని గమనించండి కొత్త కథనం, కానీ సహజంగా y = f(x) ఫంక్షన్‌తో అనుబంధించబడింది, పైన పేర్కొన్న పరిమితి ఉన్న అన్ని పాయింట్ల x వద్ద నిర్వచించబడింది. ఈ ఫంక్షన్ ఇలా పిలువబడుతుంది: y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థంక్రింది విధంగా ఉంది. y-axisకు సమాంతరంగా లేని abscissa x=aతో పాయింట్ వద్ద y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ని గీయడం సాధ్యమైతే, అప్పుడు f(a) టాంజెంట్ యొక్క వాలును వ్యక్తపరుస్తుంది. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \), అప్పుడు సమానత్వం \(f"(a) = tan(a) \) నిజం.

ఇప్పుడు ఉజ్జాయింపు సమానత్వాల కోణం నుండి ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనాన్ని అర్థం చేసుకుందాం. ఫంక్షన్ \(y = f(x)\) ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
దీనర్థం x పాయింట్ దగ్గర సుమారు సమానత్వం \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ approx f"(x)\), అంటే \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot\ డెల్టా x\). ఫలితంగా వచ్చే ఉజ్జాయింపు సమానత్వం యొక్క అర్ధవంతమైన అర్థం క్రింది విధంగా ఉంది: ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల వాదన యొక్క పెరుగుదలకు "దాదాపు అనుపాతంలో ఉంటుంది" మరియు అనుపాతత యొక్క గుణకం అనేది ఉత్పన్నం యొక్క విలువ. ఇచ్చిన పాయింట్ X. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ \(y = x^2\) కోసం సుమారు సమానత్వం \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \) చెల్లుబాటు అవుతుంది. మేము ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనాన్ని జాగ్రత్తగా విశ్లేషిస్తే, దానిని కనుగొనడానికి ఒక అల్గోరిథం ఉందని మేము కనుగొంటాము.

దానిని సూత్రీకరించుదాము.

y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?

1. \(x\), కనుగొను \(f(x)\) విలువను పరిష్కరించండి
2. ఆర్గ్యుమెంట్ \(x\)కి ఇంక్రిమెంట్ ఇవ్వండి \(\డెల్టా x\), దీనికి వెళ్లండి కొత్త పాయింట్\(x+ \Delta x \), కనుగొను \(f(x+ \Delta x) \)
3. ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌ను కనుగొనండి: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. సంబంధాన్ని సృష్టించండి \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ని లెక్కించండి
ఈ పరిమితి పాయింట్ x వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

ఒక ఫంక్షన్ y = f(x) ఒక పాయింట్ x వద్ద ఉత్పన్నం కలిగి ఉంటే, దానిని x పాయింట్ వద్ద డిఫరెన్సిబుల్ అంటారు. ఫంక్షన్ y = f(x) యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే విధానాన్ని అంటారు భేదంవిధులు y = f(x).

మనం ఈ క్రింది ప్రశ్నను చర్చిద్దాం: ఒకదానికొకటి సంబంధం ఉన్న ఒక సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు మరియు భేదం ఎలా ఉంటాయి?

x పాయింట్ వద్ద y = f(x) ఫంక్షన్ భేదాత్మకంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు పాయింట్ M(x; f(x)) వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు ఒక టాంజెంట్ డ్రా చేయబడుతుంది మరియు గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం f "(x)కి సమానం. అటువంటి గ్రాఫ్ "బ్రేక్" చేయదు. పాయింట్ M వద్ద, అంటే ఫంక్షన్ పాయింట్ x వద్ద నిరంతరంగా ఉండాలి.

ఇవి "హ్యాండ్-ఆన్" వాదనలు. మరింత కఠినమైన తార్కికం ఇద్దాం. x పాయింట్ వద్ద y = f(x) ఫంక్షన్ భేదాత్మకంగా ఉంటే, అప్పుడు సుమారు సమానత్వం \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot \Delta x\) ఉంటుంది. ఈ సమానత్వంలో ఉంటే \(\Delta x \) సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది, ఆపై \(\Delta y \) సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది మరియు ఇది ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు కోసం షరతు.

కాబట్టి, ఒక ఫంక్షన్ ఒక పాయింట్ x వద్ద భేదం అయితే, అది ఆ సమయంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది.

రివర్స్ స్టేట్మెంట్ నిజం కాదు. ఉదాహరణకు: ఫంక్షన్ y = |x| ప్రతిచోటా నిరంతరంగా ఉంటుంది, ప్రత్యేకించి పాయింట్ x = 0 వద్ద, కానీ "జంక్షన్ పాయింట్" (0; 0) వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఉనికిలో లేదు. ఏదో ఒక సమయంలో ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ని గీయలేకపోతే, ఆ సమయంలో ఉత్పన్నం ఉండదు.

ఇంకొక ఉదాహరణ. ఫంక్షన్ \(y=\sqrt(x)\) x = 0 పాయింట్‌తో సహా మొత్తం సంఖ్య రేఖపై నిరంతరంగా ఉంటుంది. మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ x = 0 పాయింట్‌తో సహా ఏ పాయింట్‌లోనైనా ఉంటుంది. కానీ ఈ సమయంలో టాంజెంట్ y-అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది, అనగా, ఇది అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా ఉంటుంది, దాని సమీకరణం x = 0 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వాలు గుణకంఅటువంటి లైన్ లేదు, అంటే \(f"(0) \) కూడా ఉనికిలో లేదు

కాబట్టి, మేము ఫంక్షన్ యొక్క కొత్త ఆస్తితో పరిచయం పొందాము - భేదం. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి అది భేదమైనది అని ఎలా నిర్ధారించవచ్చు?

సమాధానం నిజానికి పైన ఇవ్వబడింది. అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా లేని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు ఏదో ఒక సమయంలో టాంజెంట్‌ని గీయడం సాధ్యమైతే, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ భేదాత్మకంగా ఉంటుంది. ఏదో ఒక సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఉనికిలో లేకుంటే లేదా అది అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా ఉంటే, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ భేదం కాదు.

భేదం యొక్క నియమాలు

ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్ అంటారు భేదం. ఈ ఆపరేషన్ చేస్తున్నప్పుడు, మీరు తరచుగా గుణకాలు, మొత్తాలు, ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తులు, అలాగే "ఫంక్షన్ల విధులు", అంటే సంక్లిష్ట విధులతో పని చేయాలి. ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా, మేము ఈ పనిని సులభతరం చేసే భేదాత్మక నియమాలను పొందవచ్చు. C అయితే - స్థిర సంఖ్యమరియు f=f(x), g=g(x) అనేవి కొన్ని భేదాత్మకమైన విధులు, అప్పుడు కిందివి నిజం భేద నియమాలు:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

కొన్ని ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల పట్టిక

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \ఎడమ(e^x \కుడి) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

విధులు సంక్లిష్ట రకంసంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనానికి ఎల్లప్పుడూ సరిపోవు. y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 రూపం యొక్క ఫంక్షన్ ఉంటే, అది y = sin 2 x వలె కాకుండా సంక్లిష్టంగా పరిగణించబడదు.

ఈ వ్యాసం సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ మరియు దాని గుర్తింపు యొక్క భావనను చూపుతుంది. ముగింపులో పరిష్కారాల ఉదాహరణలతో ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాలతో పని చేద్దాం. డెరివేటివ్ టేబుల్ మరియు డిఫరెన్సియేషన్ నియమాల ఉపయోగం ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే సమయాన్ని గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ప్రాథమిక నిర్వచనాలు

నిర్వచనం 1

కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ అంటే దీని వాదన కూడా ఒక ఫంక్షన్.

ఇది ఈ విధంగా సూచించబడింది: f (g (x)). మేము ఫంక్షన్ g (x) ఒక వాదన f (g (x))గా పరిగణించబడుతుంది.

నిర్వచనం 2

f ఫంక్షన్ ఉంటే మరియు కోటాంజెంట్ ఫంక్షన్ అయితే, g(x) = ln x అనేది ఫంక్షన్ సహజ సంవర్గమానం. కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ f (g (x)) arctg(lnx)గా వ్రాయబడుతుందని మేము కనుగొన్నాము. లేదా f ఫంక్షన్, ఇది 4వ శక్తికి పెంచబడిన ఫంక్షన్, ఇక్కడ g (x) = x 2 + 2 x - 3 పూర్ణాంకంగా పరిగణించబడుతుంది హేతుబద్ధమైన పని, f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 అని మేము కనుగొన్నాము.

సహజంగానే g(x) సంక్లిష్టంగా ఉండవచ్చు. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 ఉదాహరణ నుండి g యొక్క విలువ స్పష్టంగా ఉంది క్యూబ్ రూట్ఒక భిన్నంతో. ఈ వ్యక్తీకరణ y = f (f 1 (f 2 (x))) గా సూచించడానికి అనుమతించబడింది. మనకు ఉన్న చోట నుండి f అనేది సైన్ ఫంక్షన్, మరియు f 1 అనేది కింద ఉన్న ఫంక్షన్ వర్గమూలం, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - పాక్షిక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్.

నిర్వచనం 3

గూడు యొక్క డిగ్రీ ఏదైనా నిర్ణయించబడుతుంది సహజ సంఖ్యమరియు y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) గా వ్రాయబడింది.

నిర్వచనం 4

ఫంక్షన్ కూర్పు యొక్క భావన సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా సమూహ ఫంక్షన్ల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. పరిష్కరించడానికి, రూపం యొక్క సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1

y = (2 x + 1) 2 రూపం యొక్క సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

f అనేది స్క్వేర్ ఫంక్షన్ అని మరియు g(x) = 2 x + 1 అనేది లీనియర్ ఫంక్షన్‌గా పరిగణించబడుతుందని షరతు చూపుతుంది.

సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ కోసం ఉత్పన్న సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం మరియు వ్రాస్దాం:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

ఫంక్షన్ యొక్క సరళీకృత అసలు రూపంతో ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం అవసరం. మాకు దొరికింది:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

ఇక్కడ నుండి మనకు అది ఉంది

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

ఫలితాలు కూడా అలాగే ఉన్నాయి.

ఈ రకమైన సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, f మరియు g (x) ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ ఎక్కడ ఉంటుందో అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం.

ఉదాహరణ 2

మీరు y = sin 2 x మరియు y = sin x 2 రూపం యొక్క సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనాలి.

పరిష్కారం

మొదటి ఫంక్షన్ సంజ్ఞామానం f అనేది స్క్వేర్ ఫంక్షన్ మరియు g(x) అనేది సైన్ ఫంక్షన్ అని చెబుతుంది. అప్పుడు మనకు అది వస్తుంది

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

రెండవ ఎంట్రీ f అనేది సైన్ ఫంక్షన్ అని చూపిస్తుంది మరియు g(x) = x 2 సూచించబడుతుంది శక్తి ఫంక్షన్. కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పత్తిని ఇలా వ్రాస్తాము

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

ఉత్పన్నం y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))))) ఫార్ములా y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (). (f n (x))) · f 1 "(f 2 (f 3. )))) · . . . fn "(x)

ఉదాహరణ 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

ఈ ఉదాహరణ ఫంక్షన్ల స్థానాన్ని వ్రాయడం మరియు నిర్ణయించడంలో క్లిష్టతను చూపుతుంది. అప్పుడు y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) అనేది సైన్ ఫంక్షన్, రైజింగ్ ఫంక్షన్ 3 డిగ్రీ వరకు, లాగరిథమ్ మరియు బేస్ ఇ, ఆర్క్టాంజెంట్ మరియు లీనియర్ ఫంక్షన్‌తో ఫంక్షన్.

సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించే సూత్రం నుండి మనకు అది ఉంది

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

మనం కనుగొనవలసినది మనకు లభిస్తుంది

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ఉత్పన్నాల పట్టిక ప్రకారం సైన్ యొక్క ఉత్పన్నం వలె, ఆపై f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4) x)))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం, తర్వాత f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) సంవర్గమాన ఉత్పన్నంగా, ఆపై f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) ఆర్క్టాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం, ఆపై f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. ఉత్పన్నం f 4 (x) = 2 xని కనుగొన్నప్పుడు, 1కి సమానమైన ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం నుండి 2ని తీసివేయండి, ఆపై f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

మేము ఇంటర్మీడియట్ ఫలితాలను మిళితం చేస్తాము మరియు దానిని పొందుతాము

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

అటువంటి ఫంక్షన్ల విశ్లేషణ గూడు బొమ్మలను గుర్తుకు తెస్తుంది. వ్యుత్పన్న పట్టికను ఉపయోగించి భేద నియమాలు ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా వర్తించబడవు. సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనడానికి తరచుగా మీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.

సంక్లిష్ట ప్రదర్శన మరియు సంక్లిష్ట విధుల మధ్య కొన్ని తేడాలు ఉన్నాయి. దీన్ని వేరు చేయగల స్పష్టమైన సామర్థ్యంతో, ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం చాలా సులభం.

ఉదాహరణ 4

నటీనటుల ఎంపికపై దృష్టి పెట్టాలి ఇదే ఉదాహరణ. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 రూపంలో ఫంక్షన్ ఉంటే, అది g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 రూపం యొక్క సంక్లిష్ట విధిగా పరిగణించబడుతుంది. . సహజంగానే, సంక్లిష్ట ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం అవసరం:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 రూపం యొక్క ఫంక్షన్ సంక్లిష్టంగా పరిగణించబడదు, ఎందుకంటే ఇది t g x 2, 3 t g x మరియు 1 మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అయినప్పటికీ, t g x 2 ఒక సంక్లిష్ట విధిగా పరిగణించబడుతుంది, అప్పుడు మేము g (x) = x 2 మరియు f రూపం యొక్క పవర్ ఫంక్షన్‌ను పొందుతాము, ఇది టాంజెంట్ ఫంక్షన్. దీన్ని చేయడానికి, మొత్తం ద్వారా వేరు చేయండి. మేము దానిని పొందుతాము

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 కాస్ 2 x

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ (t g x 2) యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి ముందుకు వెళ్దాం ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

మనకు y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

సంక్లిష్ట రకానికి చెందిన విధులు సంక్లిష్ట విధులలో చేర్చబడతాయి మరియు సంక్లిష్ట విధులు సంక్లిష్ట రకానికి చెందిన విధుల యొక్క భాగాలుగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ 5

ఉదాహరణకు, y = లాగ్ 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) రూపం యొక్క సంక్లిష్ట విధిని పరిగణించండి.

ఈ ఫంక్షన్‌ని y = f (g (x))గా సూచించవచ్చు, ఇక్కడ f విలువ బేస్ 3 సంవర్గమానం యొక్క ఫంక్షన్, మరియు g (x) అనేది h (x) = రూపంలోని రెండు ఫంక్షన్‌ల మొత్తంగా పరిగణించబడుతుంది. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 మరియు k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . సహజంగానే, y = f (h (x) + k (x)).

ఫంక్షన్ h(x)ని పరిగణించండి. ఇది నిష్పత్తి l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 నుండి m (x) = e x 2 + 3 3

మేము కలిగి ఉన్నాము l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) అనేది రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం n (x) = x 2 + 7 మరియు p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , ఇక్కడ p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) అనేది సంఖ్యా గుణకం 3తో కూడిన సంక్లిష్ట విధి, మరియు p 1 ఒక క్యూబ్ ఫంక్షన్, కొసైన్ ఫంక్షన్ ద్వారా p 2, లీనియర్ ఫంక్షన్ ద్వారా p 3 (x) = 2 x + 1.

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) అనేది q (x) = e x 2 మరియు r (x) = 3 3 అనే రెండు ఫంక్షన్ల మొత్తం అని మేము కనుగొన్నాము, ఇక్కడ q (x) = q 1 (q 2 (x)) అనేది సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్, q 1 అనేది ఘాతాంకంతో కూడిన ఫంక్షన్, q 2 (x) = x 2 అనేది పవర్ ఫంక్షన్.

ఇది h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణకు వెళ్లినప్పుడు, ఫంక్షన్ సంక్లిష్ట s (s) రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుందని స్పష్టమవుతుంది. x) = ln 2 x = s 1 (s 2 (x)) హేతుబద్ధమైన పూర్ణాంకంతో t (x) = x 2 + 1, ఇక్కడ s 1 ఒక స్క్వేర్ ఫంక్షన్, మరియు s 2 (x) = ln x సంవర్గమానంగా ఉంటుంది బేస్ ఇ.

వ్యక్తీకరణ k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.

అప్పుడు మనకు అది వస్తుంది

y = లాగ్ 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ఫంక్షన్ యొక్క నిర్మాణాల ఆధారంగా, వ్యక్తీకరణను భేదిస్తున్నప్పుడు దానిని సరళీకృతం చేయడానికి ఎలా మరియు ఏ సూత్రాలను ఉపయోగించాలో స్పష్టమైంది. సమాచారం కోసం ఇలాంటి పనులుమరియు వాటిని పరిష్కరించే భావన కోసం, ఒక ఫంక్షన్‌ను వేరుచేసే పాయింట్‌కి మారడం అవసరం, అంటే దాని ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి