రెండు యుటిలిటీ ఫంక్షన్లను ఇవ్వనివ్వండి
U(x) మరియు U* (x) = h + y U(x) d > 0.
రెండు ప్రత్యామ్నాయాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు రెండవ యుటిలిటీ ఫంక్షన్ ఆధారంగా నిర్ణయం తీసుకునే వ్యక్తి A i h A2 ఫలితానికి వస్తాడు. బదులుగా మొదటి యుటిలిటీ ఫంక్షన్‌పై దృష్టి పెడితే ఏమి మారుతుంది?
రెండవ యుటిలిటీ ఫంక్షన్ U*(x) = h - y మరియు (i) y > 0తో ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంటే మీ సమాధానం ఎలా ఉంటుంది?
U*(x) = h ఉన్నప్పుడు ప్రత్యామ్నాయాలు ఎలా ఆర్డర్ చేయబడతాయి?
* *
"కు
1. రెండు యుటిలిటీ ఫంక్షన్లు అంగీకారానికి దారితీస్తాయి ఒకే విధమైన పరిష్కారాలుసానుకూల సరళ పరివర్తన ద్వారా వాటిని పరస్పరం "అనువదించవచ్చు" (ఈ విషయంపై పేజీ 74 కూడా చూడండి). U(x) అనేది ఫంక్షన్ U*(x) యొక్క సానుకూల సరళ రూపాంతరం అని మనం చూపగలిగితే, అప్పుడు యుటిలిటీ ఫంక్షన్ ఎంపిక ప్రత్యామ్నాయాల క్రమంపై ఎటువంటి ప్రభావం చూపదు. మేము b > 0 కోసం a మరియు b అనే రెండు సంఖ్యల కోసం చూస్తున్నాము, కనుక ఇది నిజం
a + bU*(x) = U(x).
మేము రెండవ యుటిలిటీ ఫంక్షన్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు ఉంటుంది
a + b (h + gU(x)) = U(x).
మొదటి దశలో, U(x)ని గుణించే కారకం ఒకదాని విలువను తీసుకునే విధంగా మేము 6ని నిర్వచించాము. సహజంగానే, మనం తప్పనిసరిగా b = 1 /dని సూచించాలి. అందువలన అది మారుతుంది
a + - + U (x) = U (.g). 9
దీని తర్వాత, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా U(x) మాత్రమే ఉండేలా మనం తప్పనిసరిగా ఎంచుకోవాలి. a = -h/g ఉన్నప్పుడు ఇది జరుగుతుంది.
ఇప్పుడు మేము ఆకార పరివర్తన కోసం చూస్తున్నాము
a + b(h-gU(x)) = U(x).
పొందటానికి ఆశించిన ఫలితం, మనం తప్పనిసరిగా b = - - l/hని సూచించాలి. ఇది ప్రతికూల సరళ రూపాంతరం మరియు ర్యాంక్ క్రమాన్ని రివర్స్ చేస్తుంది.
ఈ యుటిలిటీ ఫంక్షన్ ఇచ్చిన డెసిషన్ మేకర్ అన్ని ప్రత్యామ్నాయాలను ఒకే విలువతో మూల్యాంకనం చేస్తాడు. కాబట్టి, A\ మరియు A.2 ప్రత్యామ్నాయాల మధ్య ఎంపిక చేస్తున్నప్పుడు, అది A i ~ ఫలితానికి రావాలి
అంశంపై మరింత 2.1.5. యుటిలిటీ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రత్యేకత:
- 1. వినియోగదారు ప్రాధాన్యతలు మరియు ఉపాంత ప్రయోజనం. యుటిలిటీ ఫంక్షన్.
- 2.3.2 క్వాడ్రాటిక్ యుటిలిటీ ఫంక్షన్ మరియు ఆశించిన ప్రయోజనం
- యుటిలిటీ మరియు హేతుబద్ధమైన వినియోగదారు. మొత్తం మరియు ఉపాంత ప్రయోజనం. తగ్గుతున్న మార్జినల్ యుటిలిటీ యొక్క చట్టం. యుటిలిటీ గరిష్టీకరణ సూత్రం
- పరిమాణాత్మక ప్రయోజన సిద్ధాంతం. యుటిలిటీ, వినియోగదారు ఎంపిక, మొత్తం మరియు ఉపాంత ప్రయోజనం యొక్క భావనలు.
విమానం యొక్క ప్రతి బిందువు M (లేదా విమానంలో కొంత భాగం)తో నిర్దిష్ట సంఖ్య u అనుబంధించబడి ఉండే నియమం నిర్దేశించబడితే, విమానంలో (లేదా విమానంలో కొంత భాగం) "ఒక పాయింట్ ఫంక్షన్ ఇవ్వబడినది” విమానం, M ఉంది ఏకపక్ష పాయింట్, అప్పుడు A నుండి M కి దూరం పాయింట్ M. B యొక్క ఫంక్షన్ ఈ విషయంలో f(M) = AM.
కొంత ఫంక్షన్ u = f(M) ఇవ్వబడనివ్వండి మరియు అదే సమయంలో కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ప్రవేశపెట్టండి. అప్పుడు ఏకపక్ష పాయింట్ M అనేది x, y అక్షాంశాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. దీని ప్రకారం, పాయింట్ M వద్ద ఈ ఫంక్షన్ యొక్క విలువ x, y, లేదా, వారు కూడా చెప్పినట్లుగా, u = f(M) అనేది x మరియు y అనే రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్. x, y అనే రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ f(x, y) గుర్తుతో సూచించబడుతుంది; f(M) = f(x, y) అయితే u = f(x, y) ఫార్ములా ఎంచుకున్న కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఈ ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణగా పిలువబడుతుంది. కాబట్టి, మునుపటి ఉదాహరణలో f(M)=AM; మీరు కార్టీసియన్‌ని పరిచయం చేస్తే దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థపాయింట్ A వద్ద మూలంతో సమన్వయం చేస్తుంది, మేము ఈ ఫంక్షన్ కోసం వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:
u = √(x 2 + y 2)
146. రెండు పాయింట్లు P మరియు Q ఇచ్చినట్లయితే, వాటి మధ్య దూరం a, మరియు ఫంక్షన్ f(M) = d 2 1 - d 2 2, ఇక్కడ d 1 - MP మరియు d 2 - MQ. పాయింట్ Pని కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా తీసుకుంటే మరియు ఆక్స్ అక్షం PQ సెగ్మెంట్‌లో నిర్దేశించబడితే ఈ ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించండి.
147. సమస్య 146 యొక్క పరిస్థితులలో, f(M) ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించండి (నేరుగా మరియు కోఆర్డినేట్ ట్రాన్స్‌ఫర్మేషన్ ఉపయోగించి, సమస్య 146 ఫలితాన్ని ఉపయోగించి), అయితే:
1) కోఆర్డినేట్‌ల మూలం సెగ్మెంట్ PQ మధ్యలో ఎంపిక చేయబడింది, ఆక్స్ అక్షం సెగ్మెంట్ PQ వెంట నిర్దేశించబడుతుంది.
2) కోఆర్డినేట్‌ల మూలం పాయింట్ P వద్ద ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు ఆక్స్ అక్షం QP విభాగంలో నిర్దేశించబడుతుంది.
148. ఇవ్వబడింది: సైడ్ a మరియు ఫంక్షన్ f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4, ఇక్కడ d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC మరియు d 4 ఉన్న స్క్వేర్ ABCD = MD. స్క్వేర్ యొక్క వికర్ణాలను సమన్వయ అక్షాలుగా తీసుకుంటే ఈ ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించండి (మరియు ఆక్స్ అక్షం సెగ్మెంట్ AC వెంట దర్శకత్వం వహించబడుతుంది, Oy అక్షం సెగ్మెంట్ BD వెంట నిర్దేశించబడుతుంది).
149. సమస్య 148 పరిస్థితులలో, కోఆర్డినేట్‌ల మూలాన్ని పాయింట్ A వద్ద ఎంచుకున్నట్లయితే, f(M) (నేరుగా మరియు కోఆర్డినేట్ పరివర్తనను ఉపయోగించడం, సమస్య 148 ఫలితాన్ని ఉపయోగించడం) కోసం వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించండి దాని వైపులా (ఆక్స్ అక్షం AB సెగ్మెంట్ వెంట, Oy అక్షం - సెగ్మెంట్ AD వెంట ఉంటుంది).
150. ఫంక్షన్ f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y. కోఆర్డినేట్‌ల మూలాన్ని పాయింట్ O"(3; -4)కి తరలించినట్లయితే (గొడ్డలి దిశను మార్చకుండా) కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఈ ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించండి.
151. ఫంక్షన్ ఇచ్చిన f(x, y) = x 2 - y 2 - 16. కోఆర్డినేట్ అక్షాలు -45° కోణంలో తిప్పబడితే కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఈ ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించండి.
152. f(x, y) = x 2 + y 2 ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. కోఆర్డినేట్ అక్షాలు ఒక నిర్దిష్ట కోణం α ద్వారా తిప్పబడితే, కొత్త కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఈ ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించండి.
153. కోఆర్డినేట్‌ల మూలం దానికి బదిలీ చేయబడినప్పుడు, పరివర్తన తర్వాత f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణ మొదటి నిబంధనలను కలిగి ఉండని పాయింట్‌ను కనుగొనండి. కొత్త వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి డిగ్రీ.
154. కోఆర్డినేట్‌ల మూలాన్ని దానికి బదిలీ చేసినప్పుడు, f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణ మొదటి డిగ్రీ నిబంధనలను కలిగి ఉండని పాయింట్‌ను కనుగొనండి. కొత్త వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి.
155. రూపాంతరం తర్వాత f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణ కొత్త వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తితో పదాన్ని కలిగి ఉండకుండా ఉండేలా కోఆర్డినేట్ అక్షాలను ఏ కోణంలో తిప్పాలి ?
156. రూపాంతరం తర్వాత f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణ కొత్త వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తితో పదాన్ని కలిగి ఉండకుండా ఉండేలా కోఆర్డినేట్ అక్షాలను ఏ కోణంలో తిప్పాలి?
2. విధులు. ఫంక్షన్ల యొక్క సరళమైన లక్షణాలు 21 2.11. F (x) అనేది T పీరియడ్‌తో కూడిన ఆవర్తన ఫంక్షన్ అయితే, f (ax) ఫంక్షన్ కూడా T/a పీరియడ్‌తో ఆవర్తనమేనని నిరూపించండి. పరిష్కారం. నిజానికి, f = f (గొడ్డలి + T) = f (గొడ్డలి), అనగా. T /a అనేది ఫంక్షన్ f (ax) యొక్క కాలాలలో ఒకటి. 2.12 f (x) = cos2 x ఫంక్షన్ యొక్క వ్యవధిని కనుగొనండి. 1 + కాస్ 2x సొల్యూషన్. మనం ఇలా వ్రాయవచ్చు: cos2 x = . మనం ఆ కాలం 2ని చూస్తాము cos విధులు 2 x అనేది cos 2x ఫంక్షన్ యొక్క వ్యవధికి సమానం. ఫంక్షన్ cos x కాలం 2πకి సమానం కాబట్టి, సమస్య 2.11 ప్రకారం cos 2x ఫంక్షన్ కాలం πకి సమానం. 2.13 ఫంక్షన్ల కాలాన్ని కనుగొనండి: a) f (x) = sin 2πx; బి) f (x) = | cos x|. సమాధానం: a) T = 1; బి) T = π. కోసం పనులు స్వతంత్ర నిర్ణయం 2.14 f (x) = x2 మరియు ϕ(x) = 2x లెట్. కనుగొను: a) f [ϕ(x)], b) ϕ. 2.15 f (x - 1) = x2 అయితే f (x + 1)ని కనుగొనండి. 1 2.16. f (x) = ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. 1−x కనుగొను ϕ(x) = f (f ). 2.17 f (x) = 3x2 - 4x - 2 ఫంక్షన్ ఇచ్చినట్లయితే. f (2x + 1) ఫంక్షన్‌ని f (2x+1) = = Ax2 + Bx + Cగా సూచించవచ్చని నిరూపించండి. స్థిరాంకాల విలువలను కనుగొనండి A, B, C 2.18. రెండు ఇచ్చారు సరళ విధులు f1 (x) = 5x + 4 మరియు f2 (x) = 3x - 1. f (x) = f2 అనే ఫంక్షన్ కూడా సరళంగా ఉంటుందని నిరూపించండి, అంటే దానికి f (x) = Ax + B అనే రూపం ఉంది. కనుగొనండి స్థిరమైన A మరియు B. 3x + 7 5x + 4 2.19 విలువలు. f1 (x) = మరియు f2 (x) = , 5x + 6 2x − 8 అనే రెండు ఫంక్షన్లను ఫ్రాక్షనల్ లీనియర్ అని పిలుస్తారు. f (x) = f1 ఫంక్షన్ కూడా ఫ్రాక్షనల్ లీనియర్ అని నిరూపించండి, అంటే ఇది Ax + B f (x) = రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. స్థిరాంకాల విలువలను A, B, C, D. Cx + D 22 పరిచయం గణిత విశ్లేషణ 2.20 కొన్ని ఫంక్షన్ f: X ⊂ R → Y ⊂ R, f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3 అని తెలుసు. f (x) ఫంక్షన్‌ని f (x) = Ax2 + Bxగా సూచించవచ్చని నిరూపించండి + C. స్థిరాంకాల A, B, C. 2.21 విలువలను కనుగొనండి. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి క్రింది విధులు: √ 2+x a) f (x) = x + 1; బి) f (x) = lg ; √ 2−x c) f (x) = 2 + x - x2 ; d) f (x) = ఆర్క్సిన్ (లాగ్2 x); 1 + x2 d) f (x) = cos(sin x) + arcsin. 2x 2.22. కింది ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి: √ 1 a) f (x) = x2 + 33x + 270; బి) f (x) = 2; x + 26x + 168 x+2 c) f (x) = లాగ్[(1 + x)(12 - x)]; d) f (x) = ఆర్క్సిన్; x−6 d) f (x) = (x + 9)(x + 8)(x - 14); 15 f) f (x) = ఆర్క్సిన్; x - 11 -x f) f (x) = x2 + 13x + 42 + ఆర్క్సిన్ . 13 2.23. కింది ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను రూపొందించండి: a) f (x, y) = log2 (x + y); √ b) f (x, y) = x2 - 4 + 4 - y 2 ; x2 + y 2 c) f (x, y) = ఆర్క్సిన్; 4 √ g) f (x, y) = xy. 2.24 కింది ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి: 1 − లాగ్ x 3 - 2x ఆర్క్సిన్ ఎ) f (x) = 1 ; బి) f (x) = √ 5 . √ x2 − 4x 3−x 2. విధులు. ఫంక్షన్ల యొక్క సరళమైన లక్షణాలు 23 2.25. కింది ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొని, నిర్మించండి: 4x - y 2 a) f (x, y) = ; లాగ్(1 - x2 - y 2) x2 + 2x + y 2 b) f (x, y) = . x2 - 2x + y 2 2.26. 2 2x + 2−x a) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x − 1| కూడా; 2x - 2-x 3x + 1 బి) ϕ1 (x) =, ϕ2 (x) = x, 2 3 -1 1+x ϕ3 (x) = lg బేసి; 1−x 2 c) ψ1 (x) = sin x - cos x, ψ2 (x) = 2x−x, ψ3 (x) = x3 + x2 - 2 సాధారణ రూపం. 2.27. విధులు ఇవ్వబడ్డాయి: 1 a) y = sin2 x; బి) y = పాపం x2 ; సి) y = 1 + టాన్ x; d) y = పాపం. x వాటిలో ఏవి ఆవర్తనమైనవి? 2x 2.28. ఫంక్షన్ y = విలోమ, 1 + 2x ఉందని నిరూపించండి మరియు దానిని కనుగొనండి. 2.29 ఫంక్షన్ y = x2 - 2x రెండు విలోమాలను కలిగి ఉందని నిరూపించండి: y1 = 1 + x + 1 మరియు y2 = 1 - x + 1. 2.30. కింది విధులు దిగువ నుండి కట్టుబడి ఉన్నాయని నిరూపించండి: a) f1 (x) = x6 - 6x4 + 11x2 ; బి) f2 (x) = x4 - 8x3 + 22x2. 2.31 కింది విధులు పై నుండి కట్టుబడి ఉన్నాయని నిరూపించండి: 1 5 a) f1 (x) = √ ; బి) f1 (x) = √ . 4x2 - 16x + 36 5x 2 - 10x + 55 24 కాలిక్యులస్ పరిచయం 2.32. చిన్నదాన్ని కనుగొనండి మరియు అత్యధిక విలువకింది విధులు: a) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; b) f2 (x) = 5 sin x + 12 cos x. 2.33 కింది ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్ రూపాన్ని వివరించండి: a) z = 1 - x2 - y 2 ; బి) z = x2 + y 2 ; సి) z = x2 + y 2 ; d) z = x2 - y 2 . 2.34 ఈ ఫంక్షన్ల కోసం లెవెల్ లైన్‌లను గీయండి, z విలువలను −3 నుండి +3 వరకు 1: a) z = xy; బి) z = y(x2 + 1). 2.35 ఫంక్షన్ y = x యొక్క గ్రాఫ్‌ను మార్చడం ద్వారా y = 2 −3(x + 1) - 0.5 s √ ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయండి. 2.36 y = sin x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను మార్చడం ద్వారా y = 3 sin(2x - 4) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయండి. 2.37 ప్రాథమిక ఫంక్షన్ పరిశోధన (డెరివేటివ్‌లను ఉపయోగించకుండా) ఉపయోగించి, కింది ఫంక్షన్ల ప్లాట్ గ్రాఫ్‌లు: 1 x a) y = 2 ; బి) y = 2; x +1 x +1 1 c) y = x4 - 2x2 + 5; d) y = 2; x + 4x + 5 2x - 5 డి) y = ; ఇ) y = x2 + 6x + 9 + 10. x−3 2.38. కింది ఫంక్షన్ల ప్లాట్ గ్రాఫ్‌లు: x, అయితే - ∞< x < 1;
1 1
а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;
2
2
4, если 3 < x < +∞;
б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|;
в) f (x) = |x2 − 2x + 1|;
г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π;
д) f (x) = arccos(cos x);
t+5 t+1
е) f (t) = ; ж) f (t) = .
t−7 t2 + 2t + 2
3. Предел функции 25
3. Предел функции
Рекомендуется по పాఠ్యపుస్తకం 1.4 మరియు 1.5 ఉపవిభాగాలను అధ్యయనం చేయండి. చెల్లించాలి ప్రత్యేక శ్రద్ధఉపవిభాగం 1.4కి మరియు అన్ని రకాల పొరుగు ప్రాంతాలు, వాటి హోదాలు మరియు అసమానతల రూపంలో వ్రాసే రూపాలను తెలుసుకోండి. స్టేట్‌మెంట్ lim f (x) = A అంటే: మూలకం A యొక్క ఏదైనా పొరుగు x→x0కి (ముఖ్యంగా, ఏకపక్షంగా చిన్నది) మూలకం A యొక్క పంక్చర్డ్ పొరుగు V (x0) మూలకం x0 ఉంటుంది, అటువంటి పరిస్థితి నుండి x ∈ V˙ (x0) ∩ X అనుసరిస్తుంది, f (x) ∈ U (A), ఇక్కడ X అనేది ఫంక్షన్ f (x) యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, మరియు x0 అనేది సెట్ X యొక్క పరిమితి బిందువు. తరచుగా, బదులుగా ఒక ఏకపక్ష పొరుగు U (A), ఒక సుష్ట పొరుగు Uε (A)గా పరిగణించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, పొరుగు ప్రాంతం ˙ V (x0) సుష్టంగా లేదా అసమానంగా మారవచ్చు, కానీ ఏదైనా అసమాన పొరుగు ప్రాంతం నుండి Vδ (x0) సుష్ట పొరుగును ఎంచుకోవడం సాధ్యమవుతుంది. పొరుగు V (x0) పంక్చర్ అయినందున, అనగా. పాయింట్ x0ని కలిగి ఉండదు, ఆపై x = x0, మరియు పాయింట్ x0 వద్ద f (x) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడకపోవచ్చు. lim f (x) = A అని నిరూపించడానికి, x యొక్క ఆ విలువల యొక్క సెట్ (x)ని x→x0 కనుక్కోవడానికి సరిపోతుంది, దాని కోసం f (x) ⊂ U (A) ఏదైనా పొరుగు ప్రాంతం U ( ఎ) కనుగొనబడిన సెట్ (x) x0 యొక్క పొరుగు ప్రాంతం అయితే, lim f (x) = A అనే స్టేట్‌మెంట్ నిజం, లో లేకుంటేఅది x→x0 తప్పు. ప్రత్యేకించి, x0 పాయింట్ వద్ద f (x) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడి, lim f (x) = f (x0), అప్పుడు సెట్ (x) కూడా x→x0 పాయింట్ x0ని కలిగి ఉంటుంది. పరిమితి యొక్క ఇచ్చిన నిర్వచనం ఏదైనా తరగతి ఫంక్షన్‌లకు వర్తిస్తుంది. ఈ విభాగంలో మేము ప్రధానంగా వ్యవహరిస్తాము సంఖ్యా విధులుఒక సంఖ్యా వాదన. 3.1 పరిమితి యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా, నిరూపించండి: 1 1 a) lim x = x0 ; బి) లిమ్ = ; x→x0 x→2 x 2 1 1 1 సి) లిమ్ = లిమ్ = లిమ్ = 0; x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 గణిత విశ్లేషణ పరిచయం 1 1 డి) లిమ్ = +∞; ఇ) లిమ్ = -∞; x→0+0 x x→0−0 x 1 f) లిమ్ = 2; g) lim x2 = 4. x→1 x x→2 పరిష్కారం: a) lim x = x0 అనే ప్రకటన నేరుగా x→x0 పరిమితి యొక్క నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది. పొరుగు ప్రాంతం Uε (x0) ˙ (|x - x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно
принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε;
1 1
б) докажем, что lim = . По определению предела
x→2 x 2
мы должны доказать, что для любой заданной окрестности
1 ˙
Uε , ε >0 పొరుగు V (2) ఉంది అంటే 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2), అప్పుడు -< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле-
x 2 x 2
дующим двум неравенствам:
1 1
−ε < − < +ε
или x 2
1 1 1
− ε < < + ε.
2 x 2
Так как при достаточ-
но малом ε все части
этого неравенства по-
ложительны, то
2 2