హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ల ఏకీకరణ పాక్షిక - హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ సరళమైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు సాధారణ భిన్నాలుగా హేతుబద్ధమైన భిన్నం యొక్క కుళ్ళిపోవడం సాధారణ భిన్నాల ఏకీకరణ హేతుబద్ధమైన భిన్నాల ఏకీకరణకు సాధారణ నియమం

డిగ్రీ యొక్క బహుపది n. పాక్షిక - హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ ఒక పాక్షిక - హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అనేది రెండు బహుపదాల నిష్పత్తికి సమానమైన ఫంక్షన్: లవం యొక్క డిగ్రీ హారం యొక్క డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉంటే, హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని సరియైనదిగా పిలుస్తారు, అనగా m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

పాక్షిక - హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ సరైన రూపానికి సరికాని భిన్నాన్ని తగ్గించండి: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 x 3 6 4 x 3 6 4 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

సరళమైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు రూపం యొక్క సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు: వాటిని సరళమైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు అంటారు. గొడ్డలి A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నాలుగా విడదీయడం సిద్ధాంతం: ఏదైనా సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నం, దాని యొక్క హారం కారకం చేయబడింది: అంతేకాకుండా, సాధారణ భిన్నాల మొత్తం రూపంలో ఒక ప్రత్యేక పద్ధతిలో సూచించవచ్చు: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నాలుగా విడదీయడం క్రింది ఉదాహరణలను ఉపయోగించి సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రీకరణను వివరిస్తాము: అనిశ్చిత గుణకాలు A, B, C, D... కనుగొనడానికి, రెండు పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి: గుణకాలను పోల్చే పద్ధతి మరియు పద్ధతి వేరియబుల్ యొక్క పాక్షిక విలువలు. ఉదాహరణను ఉపయోగించి మొదటి పద్ధతిని చూద్దాం. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నాలుగా విడదీయడం భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నాల మొత్తంగా అందించండి: సరళమైన భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం ఫలితంగా ఏర్పడే మరియు అసలైన భిన్నాల సంఖ్యలను సమం చేయండి x)52)(1(1) 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. 32 Ax 22 xx CBx 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

సరళమైన భిన్నాల ఏకీకరణ సరళమైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాల సమగ్రాలను కనుగొనండి: ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి రకం 3 భిన్నాల ఏకీకరణను చూద్దాం. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

సాధారణ భిన్నాల ఏకీకరణ 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

సాధారణ భిన్నాల ఏకీకరణ ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి ఈ రకమైన సమగ్రత: రెండు సమగ్రాల మొత్తానికి తగ్గించబడుతుంది: అవకలన చిహ్నం కింద tని ప్రవేశపెట్టడం ద్వారా మొదటి సమగ్రం లెక్కించబడుతుంది. రెండవ సమగ్రత పునరావృత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt N వద్ద dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

సాధారణ భిన్నాల ఏకీకరణ a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 2t) 2t Ct (4)1(

హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను ఏకీకృతం చేయడానికి సాధారణ నియమం భిన్నం సరికాకపోతే, దానిని బహుపది మరియు సరైన భిన్నం మొత్తంగా సూచించండి. సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నం యొక్క హారంను కారకం చేసి, దానిని నిరవధిక గుణకాలతో సాధారణ భిన్నాల మొత్తంగా సూచించండి. గుణకాలను పోల్చే పద్ధతి ద్వారా లేదా వేరియబుల్ యొక్క పాక్షిక విలువల పద్ధతి ద్వారా నిరవధిక గుణకాలను కనుగొనండి. బహుపది మరియు సాధారణ భిన్నాల ఫలిత మొత్తాన్ని ఏకీకృతం చేయండి.

ఉదాహరణ భిన్నాన్ని సరైన రూపంలో ఉంచుదాం. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 2 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 234 234 234 234 234 234 23 x 2x 4x 2x 2x 4x 23 2 2 48 52 5 xxx 5105 2 xx 2 xx 2 xx

ఉదాహరణ సరైన భిన్నం యొక్క హారంని కారకం చేద్దాం, భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నాల మొత్తంగా సూచిస్తాం xxx xx 23 2 2 2 48 2 2)1(48 xx xx )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

ఉదాహరణ dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

"ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఒక కళాకారుడు లేదా కవి వలె, నమూనాలను సృష్టిస్తాడు. మరియు అతని నమూనాలు మరింత స్థిరంగా ఉంటే, అవి ఆలోచనలతో కూడి ఉన్నందున మాత్రమే... ఒక కళాకారుడు లేదా కవి యొక్క నమూనాల మాదిరిగానే గణిత శాస్త్రజ్ఞుడి నమూనాలు అందంగా ఉండాలి; ఆలోచనలు, రంగులు లేదా పదాల మాదిరిగానే, ఒకదానికొకటి అనుగుణంగా ఉండాలి. అందం మొదటి అవసరం: అగ్లీ గణితానికి ప్రపంచంలో చోటు లేదు».

G.H.హార్డీ

మొదటి అధ్యాయంలో, ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్‌ల ద్వారా ఇకపై వ్యక్తీకరించబడని సరళమైన ఫంక్షన్‌ల యాంటీడెరివేటివ్‌లు ఉన్నాయని గుర్తించబడింది. ఈ విషయంలో, వాటి యాంటీడెరివేటివ్‌లు ప్రాథమిక విధులు అని మనం ఖచ్చితంగా చెప్పగల ఫంక్షన్ల తరగతులు అపారమైన ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యతను పొందుతాయి. ఈ తరగతి విధులు ఉన్నాయి హేతుబద్ధమైన విధులు, రెండు బీజగణిత బహుపదిల నిష్పత్తిని సూచిస్తుంది. అనేక సమస్యలు హేతుబద్ధమైన భిన్నాల ఏకీకరణకు దారితీస్తాయి. అందువల్ల, అటువంటి విధులను ఏకీకృతం చేయగలగడం చాలా ముఖ్యం.

2.1.1 పాక్షిక హేతుబద్ధమైన విధులు

హేతుబద్ధమైన భిన్నం(లేదా పాక్షిక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్) రెండు బీజగణిత బహుపదిల సంబంధం అంటారు:

ఎక్కడ మరియు బహుపదిలు ఉన్నాయి.

అది మీకు గుర్తు చేద్దాం బహుపది (బహుపది, మొత్తం హేతుబద్ధమైన పని) nవ డిగ్రీరూపం యొక్క ఫంక్షన్ అని పిలుస్తారు

ఎక్కడ - వాస్తవ సంఖ్యలు. ఉదాహరణకి,

- మొదటి డిగ్రీ యొక్క బహుపది;

- నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది, మొదలైనవి.

హేతుబద్ధమైన భిన్నం (2.1.1) అంటారు సరైన, డిగ్రీ డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉంటే, అనగా. n<m, లేకపోతే భిన్నం అంటారు తప్పు.

ఏదైనా సరికాని భిన్నాన్ని బహుపది (మొత్తం భాగం) మరియు సరైన భిన్నం (పాక్షిక భాగం) మొత్తంగా సూచించవచ్చు.సరికాని భిన్నం యొక్క మొత్తం మరియు పాక్షిక భాగాల విభజన "మూలలో" బహుపదిలను విభజించే నియమం ప్రకారం చేయవచ్చు.

ఉదాహరణ 2.1.1.కింది సరికాని హేతుబద్ధమైన భిన్నాల యొక్క మొత్తం మరియు పాక్షిక భాగాలను గుర్తించండి:

ఎ) , బి) .

పరిష్కారం . a) "మూలలో" డివిజన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

అందువలన, మేము పొందుతాము

.

బి) ఇక్కడ మనం “మూల” డివిజన్ అల్గోరిథంను కూడా ఉపయోగిస్తాము:

ఫలితంగా, మేము పొందుతాము

.

సారాంశం చేద్దాం. సాధారణ సందర్భంలో, హేతుబద్ధమైన భిన్నం యొక్క నిరవధిక సమగ్రతను బహుపది మరియు సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నం యొక్క సమగ్రాల మొత్తంగా సూచించవచ్చు. బహుపదాల యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడం కష్టం కాదు. అందువల్ల, కింది వాటిలో మనం ప్రధానంగా సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను పరిశీలిస్తాము.

2.1.2 సరళమైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు మరియు వాటి ఏకీకరణ

సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాలలో, నాలుగు రకాలుగా వర్గీకరించబడ్డాయి సరళమైన (ప్రాథమిక) హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు:

3) ,

4) ,

పూర్ణాంకం ఎక్కడ ఉంది, , అనగా చతుర్భుజ త్రికోణం అసలు మూలాలు లేవు.

1వ మరియు 2వ రకాల్లోని సాధారణ భిన్నాలను ఏకీకృతం చేయడం వల్ల పెద్ద ఇబ్బందులు ఉండవు:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

ఇప్పుడు మనం 3 వ రకం యొక్క సాధారణ భిన్నాల ఏకీకరణను పరిశీలిద్దాం, కానీ మేము 4 వ రకం యొక్క భిన్నాలను పరిగణించము.

ఫారమ్ యొక్క సమగ్రాలతో ప్రారంభిద్దాం

.

ఈ సమగ్రం సాధారణంగా హారం యొక్క ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని వేరు చేయడం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది. ఫలితం క్రింది ఫారమ్ యొక్క సమగ్ర పట్టిక

లేదా .

ఉదాహరణ 2.1.2.సమగ్రాలను కనుగొనండి:

ఎ) , బి) .

పరిష్కారం . a) చతురస్రాకార త్రికోణం నుండి పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకోండి:

ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము

బి) చతురస్రాకార ట్రినోమియల్ నుండి పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరు చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:

ఈ విధంగా,

.

సమగ్రతను కనుగొనడానికి

మీరు న్యూమరేటర్‌లో హారం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని వేరు చేయవచ్చు మరియు సమగ్రతను రెండు సమగ్రాల మొత్తానికి విస్తరించవచ్చు: వాటిలో మొదటిది ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా రూపానికి వస్తుంది

,

మరియు రెండవది - పైన చర్చించిన దానికి.

ఉదాహరణ 2.1.3.సమగ్రాలను కనుగొనండి:

.

పరిష్కారం . గమనించండి, అది . న్యూమరేటర్‌లో హారం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని వేరు చేద్దాం:

మొదటి సమగ్రత ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది :

రెండవ సమగ్రంలో, మేము హారంలో ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని ఎంచుకుంటాము

చివరగా, మేము పొందుతాము

2.1.3 సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నం విస్తరణ
సాధారణ భిన్నాల మొత్తానికి

ఏదైనా సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నం సాధారణ భిన్నాల మొత్తంగా ఒక ప్రత్యేక పద్ధతిలో సూచించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, హారం తప్పనిసరిగా కారకం చేయబడాలి. అధిక బీజగణితం నుండి ప్రతి బహుపది నిజమైన కోఎఫీషియంట్‌లతో ఉంటుందని తెలుస్తుంది

ఫంక్షన్ల యొక్క అతి ముఖ్యమైన తరగతులలో ఒకటి, ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన సమగ్రతలు హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ల తరగతి.

నిర్వచనం 1. ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ ఎక్కడ
- డిగ్రీల బహుపదాలుnమరియుmహేతుబద్ధంగా పిలుస్తారు. మొత్తం హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్, అనగా. బహుపది, నేరుగా కలిసిపోతుంది. పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను పరంగా కుళ్ళిపోవడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు, ఇవి ప్రధాన పట్టిక సమగ్రాలకు ప్రామాణిక మార్గంలో మార్చబడతాయి.

నిర్వచనం 2. భిన్నం
న్యూమరేటర్ యొక్క డిగ్రీ అయితే సరైనది అంటారుnహారం యొక్క శక్తి కంటే తక్కువm. లవం యొక్క డిగ్రీ హారం యొక్క డిగ్రీ కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉన్న భిన్నాన్ని సరికానిదిగా పిలుస్తారు.

ఏదైనా సరికాని భిన్నాన్ని బహుపది మరియు సరైన భిన్నం మొత్తంగా సూచించవచ్చు. సంఖ్యలను విభజించడం వంటి బహుపదిని బహుపదితో విభజించడం ద్వారా ఇది జరుగుతుంది.

ఉదాహరణ.

ఒక భిన్నాన్ని ఊహించుకుందాం
బహుపది మరియు సరైన భిన్నం మొత్తంగా:

x - 1

3

3

3

మొదటి పదం
గుణకంలో అది ప్రముఖ పదాన్ని విభజించడం వలన పొందబడుతుంది
, ప్రముఖ పదం ద్వారా విభజించబడింది Xడివైడర్ అప్పుడు మనం గుణిస్తాము
ఒక్కో డివైజర్ x-1మరియు ఫలిత ఫలితం డివిడెండ్ నుండి తీసివేయబడుతుంది; అసంపూర్ణ గుణకం యొక్క మిగిలిన పదాలు అదేవిధంగా కనుగొనబడ్డాయి.

బహుపదిలను విభజించిన తరువాత, మనకు లభిస్తుంది:

ఈ చర్యను మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోవడం అంటారు.

నిర్వచనం 3. సరళమైన భిన్నాలు క్రింది రకాల సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాలు:

I.

II.
(K=2, 3, …).

III.
స్క్వేర్ ట్రినోమియల్ ఎక్కడ ఉంది

IV.
ఇక్కడ K=2, 3, …; చతుర్భుజ త్రికోణం
అసలు మూలాలు లేవు.

a) హారం విస్తరించండి
సరళమైన వాస్తవ కారకాలలోకి (బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఈ విస్తరణ రూపం యొక్క సరళ ద్విపదలను కలిగి ఉంటుంది
మరియు చతుర్భుజ త్రిపదాలు
, మూలాలు లేవు);

బి) సాధారణ భిన్నాల మొత్తానికి ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క కుళ్ళిన రేఖాచిత్రాన్ని వ్రాయండి. అంతేకాక, రూపం యొక్క ప్రతి అంశం
అనుగుణంగా ఉంటుంది కెరకాలు I మరియు II యొక్క భాగాలు:

రూపం యొక్క ప్రతి అంశానికి
III మరియు IV రకాల ఇ నిబంధనలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది:

ఉదాహరణ.

భిన్న విస్తరణ పథకాన్ని వ్రాయండి
సరళమైన మొత్తానికి.

సి) పొందిన సరళమైన భిన్నాలను జోడించడం. ఫలితంగా మరియు అసలైన భిన్నాల సంఖ్యల సమానత్వాన్ని వ్రాయండి;

d) సంబంధిత విస్తరణ యొక్క గుణకాలను కనుగొనండి:
(పరిష్కార పద్ధతులు క్రింద చర్చించబడతాయి);

ఇ) గుణకాల యొక్క కనుగొనబడిన విలువలను కుళ్ళిపోయే పథకంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.

కుళ్ళిన తర్వాత ఏదైనా సరైన హేతుబద్ధమైన భిన్నాన్ని దాని సరళమైన పదాలలోకి చేర్చడం క్రింది రకాల్లో ఒకదాని యొక్క సమగ్రాలను కనుగొనడాన్ని తగ్గిస్తుంది:

(కెమరియు ఇ =2, 3, …).

సమగ్రం యొక్క గణన సూత్రం IIIకి తగ్గుతుంది:

సమగ్రమైన - సూత్రం IIకి:

సమగ్రమైన క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ని కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్‌ల ఏకీకరణ సిద్ధాంతంలో పేర్కొన్న నియమం ద్వారా కనుగొనవచ్చు; - ఉదాహరణ 4లో క్రింద చూపిన పరివర్తనల ద్వారా.

ఉదాహరణ 1.

ఎ) కారకం హారం:

బి) సమగ్రతను పరంగా విడదీయడానికి ఒక రేఖాచిత్రాన్ని వ్రాయండి:

సి) సాధారణ భిన్నాలను జోడించడం:

భిన్నాల సంఖ్యల సమానత్వాన్ని వ్రాద్దాం:

d) తెలియని గుణకాలు A, B, Cలను కనుగొనడానికి రెండు పద్ధతులు ఉన్నాయి.

ఒకే శక్తులకు వాటి గుణకాలు సమానంగా ఉంటే మరియు మాత్రమే రెండు బహుపదిలు సమానంగా ఉంటాయి X, కాబట్టి మీరు సంబంధిత సమీకరణాల వ్యవస్థను సృష్టించవచ్చు. పరిష్కార మార్గాలలో ఇది ఒకటి.

వద్ద గుణకాలు

ఉచిత సభ్యులు (గుణకం వద్ద ):4A=8.

వ్యవస్థను పరిష్కరించిన తరువాత, మేము పొందుతాము A=2, B=1, C= - 10.

మరొక పద్ధతి - ప్రైవేట్ విలువలు - క్రింది ఉదాహరణలో చర్చించబడతాయి;

ఇ) కనుగొనబడిన విలువలను కుళ్ళిపోయే పథకంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

సమగ్ర సంకేతం క్రింద ఫలిత మొత్తాన్ని భర్తీ చేయడం మరియు ప్రతి పదాన్ని విడిగా ఏకీకృతం చేయడం, మేము కనుగొంటాము:

ఉదాహరణ 2.

గుర్తింపు అనేది దానిలో చేర్చబడిన తెలియని వాటి విలువలకు చెల్లుబాటు అయ్యే సమానత్వం. దీని ఆధారంగా ప్రైవేట్ విలువ పద్ధతి.ఇవ్వవచ్చు Xఏదైనా విలువలు. సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఏవైనా నిబంధనలను అదృశ్యం చేసే ఆ విలువలను గణనలకు తీసుకోవడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

వీలు x = 0. అప్పుడు 1 = ఎ 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

అదేవిధంగా కోసం x = - 2మన దగ్గర ఉంది 1= - 2V*(-3), వద్ద x = 1మన దగ్గర ఉంది 1 = 3A.

అందుకే,

ఉదాహరణ 3.

d) ముందుగా మనం పాక్షిక విలువ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.

వీలు x = 0, అప్పుడు 1 = ఎ 1, A = 1.

వద్ద x = - 1మన దగ్గర ఉంది - 1+4+2+1 = - B(1+1+1)లేదా 6 = - 3V, B = - 2.

C మరియు D గుణకాలు కనుగొనడానికి, మీరు మరో రెండు సమీకరణాలను సృష్టించాలి. దీని కోసం మీరు ఏదైనా ఇతర విలువలను తీసుకోవచ్చు X, ఉదాహరణకి x = 1మరియు x = 2. మీరు మొదటి పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు, అనగా. ఏదైనా ఒకే శక్తుల వద్ద గుణకాలను సమం చేయండి X, ఉదాహరణకు ఎప్పుడు మరియు . మాకు దొరికింది

1 = A+B+C మరియు 4 = C +డి- IN.

తెలుసుకోవడం A = 1, B = -2, మేము కనుగొంటాము సి = 2, డి = 0 .

అందువల్ల, గుణకాలను లెక్కించేటప్పుడు రెండు పద్ధతులను కలపవచ్చు.

చివరి సమగ్ర కొత్త వేరియబుల్‌ను పేర్కొనే పద్ధతిలో పేర్కొన్న నియమం ప్రకారం మేము విడిగా కనుగొంటాము. హారంలో ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని ఎంచుకుందాం:

అనుకుందాం
అప్పుడు
మాకు దొరికింది:

=

మునుపటి సమానత్వానికి ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము కనుగొంటాము

ఉదాహరణ 4.

కనుగొనండి

బి)

d)

సమగ్రపరచడం, మేము కలిగి ఉన్నాము:

మొదటి సమగ్రతను ఫార్ములా IIIకి మారుద్దాం:

రెండవ సమగ్రతను ఫార్ములా IIకి మారుద్దాం:

మూడవ ఇంటిగ్రల్‌లో మనం వేరియబుల్‌ని భర్తీ చేస్తాము:

(పరివర్తనలు చేస్తున్నప్పుడు, మేము త్రికోణమితి సూత్రాన్ని ఉపయోగించాము

సమగ్రాలను కనుగొనండి:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

స్వీయ-పరీక్ష ప్రశ్నలు.

ఈ హేతుబద్ధమైన భిన్నాలలో ఏది సరైనది:

2. భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నాల మొత్తంగా విడదీసే రేఖాచిత్రం సరిగ్గా వ్రాయబడిందా?

పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క ఏకీకరణ.
అనిశ్చిత గుణకం పద్ధతి

మేము భిన్నాలను ఏకీకృతం చేసే పనిని కొనసాగిస్తున్నాము. మేము ఇప్పటికే పాఠంలోని కొన్ని రకాల భిన్నాల సమగ్రాలను చూశాము మరియు ఈ పాఠం, ఒక కోణంలో, కొనసాగింపుగా పరిగణించబడుతుంది. మెటీరియల్‌ను విజయవంతంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, ప్రాథమిక ఇంటిగ్రేషన్ నైపుణ్యాలు అవసరం, కాబట్టి మీరు ఇప్పుడే ఇంటిగ్రల్స్ అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినట్లయితే, అంటే మీరు ఒక అనుభవశూన్యుడు అయితే, మీరు కథనంతో ప్రారంభించాలి నిరవధిక సమగ్ర. పరిష్కారాల ఉదాహరణలు.

విచిత్రమేమిటంటే, ఇప్పుడు మనం సమగ్రాలను కనుగొనడంలో అంతగా నిమగ్నమై ఉంటాము, కానీ... సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడంలో. ఈ విషయంలో అత్యవసరంగాపాఠానికి హాజరుకావాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.అంటే, మీరు ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతుల్లో బాగా ప్రావీణ్యం కలిగి ఉండాలి (“పాఠశాల” పద్ధతి మరియు సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క పదం వారీగా జోడింపు (వ్యవకలనం) పద్ధతి).

పాక్షిక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అంటే ఏమిటి? సరళంగా చెప్పాలంటే, పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ అనేది ఒక భిన్నం, దీని లవం మరియు హారం బహుపదిలు లేదా బహుపది ఉత్పత్తులను కలిగి ఉంటాయి. అంతేకాకుండా, వ్యాసంలో చర్చించిన వాటి కంటే భిన్నాలు మరింత అధునాతనమైనవి కొన్ని భిన్నాలను సమగ్రపరచడం.

సరైన పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌ను సమగ్రపరచడం

పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను పరిష్కరించడానికి వెంటనే ఒక ఉదాహరణ మరియు సాధారణ అల్గారిథం.

ఉదాహరణ 1

దశ 1.పాక్షిక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను పరిష్కరించేటప్పుడు మనం ఎల్లప్పుడూ చేసే మొదటి పని క్రింది ప్రశ్నను స్పష్టం చేయడం: భిన్నం సరైనదేనా?ఈ దశ మౌఖికంగా నిర్వహించబడుతుంది మరియు ఇప్పుడు నేను ఎలా వివరిస్తాను:

ముందుగా మనం న్యూమరేటర్‌ని చూసి తెలుసుకుంటాం సీనియర్ డిగ్రీబహుపది:

న్యూమరేటర్ యొక్క ప్రధాన శక్తి రెండు.

ఇప్పుడు మనం హారం చూసి తెలుసుకుంటాం సీనియర్ డిగ్రీహారం. బ్రాకెట్‌లను తెరిచి సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడం స్పష్టమైన మార్గం, కానీ మీరు దీన్ని సరళంగా చేయవచ్చు ప్రతిబ్రాకెట్లలో అత్యధిక డిగ్రీని కనుగొనండి

మరియు మానసికంగా గుణించాలి: - అందువలన, హారం యొక్క అత్యధిక డిగ్రీ మూడుకి సమానం. మనం నిజంగా బ్రాకెట్లను తెరిస్తే, మేము మూడు కంటే ఎక్కువ డిగ్రీని పొందలేము.

ముగింపు: మేజర్ డిగ్రీ ఆఫ్ న్యూమరేటర్ కఠినంగాహారం యొక్క అత్యధిక శక్తి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అంటే భిన్నం సరైనదని అర్థం.

ఈ ఉదాహరణలో న్యూమరేటర్ బహుపది 3, 4, 5, మొదలైన వాటిని కలిగి ఉంటే. డిగ్రీలు, అప్పుడు భిన్నం ఉంటుంది తప్పు.

ఇప్పుడు మనం సరైన పాక్షిక హేతుబద్ధమైన విధులను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము. లవం యొక్క డిగ్రీ హారం యొక్క డిగ్రీ కంటే ఎక్కువగా లేదా సమానంగా ఉన్నప్పుడు పాఠం చివరలో చర్చించబడుతుంది.

దశ 2.హారం కారకం చేద్దాం. మన హారం చూద్దాం:

సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఇది ఇప్పటికే కారకాల ఉత్పత్తి, అయితే, మనం మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుంటాము: మరేదైనా విస్తరించడం సాధ్యమేనా? హింస యొక్క వస్తువు నిస్సందేహంగా స్క్వేర్ ట్రినోమియల్ అవుతుంది. వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం:

వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువ, అంటే ట్రినోమియల్ నిజంగా కారకం కావచ్చు:

సాధారణ నియమం: హారంలో కారకం చేయగల ప్రతిదీ - కారకం

పరిష్కారాన్ని రూపొందించడం ప్రారంభిద్దాం:

దశ 3.నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి, మేము సమగ్రతను సాధారణ (ప్రాథమిక) భిన్నాల మొత్తానికి విస్తరిస్తాము. ఇప్పుడు మరింత స్పష్టత వస్తుంది.

మన సమగ్ర పనితీరును చూద్దాం:

మరియు, మీకు తెలుసా, మన పెద్ద భిన్నాన్ని అనేక చిన్నవిగా మార్చడం మంచిది అని ఏదో ఒక స్పష్టమైన ఆలోచన వస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఇలా:

ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, దీన్ని చేయడం కూడా సాధ్యమేనా? మనం ఒక నిట్టూర్పు విడిచిపెడతాము, గణిత విశ్లేషణ యొక్క సంబంధిత సిద్ధాంతం పేర్కొంది - ఇది సాధ్యమే. అటువంటి కుళ్ళిపోవడం ఉనికిలో ఉంది మరియు ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది.

కేవలం ఒక క్యాచ్ ఉంది, అసమానత ఉన్నాయి బైమాకు తెలియదు, అందుకే పేరు - నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి.

మీరు ఊహించినట్లుగా, తదుపరి శరీర కదలికలు అలానే ఉంటాయి, కాకిల్ చేయవద్దు! వాటిని గుర్తించడం మాత్రమే లక్ష్యంగా ఉంటుంది - అవి దేనికి సమానమో తెలుసుకోవడానికి.

జాగ్రత్తగా ఉండండి, నేను ఒక్కసారి మాత్రమే వివరంగా వివరిస్తాను!

కాబట్టి, దీని నుండి నృత్యం ప్రారంభిద్దాం:

ఎడమ వైపున మేము వ్యక్తీకరణను సాధారణ హారంకు తగ్గిస్తాము:

ఇప్పుడు మనం హారంలను సురక్షితంగా వదిలించుకోవచ్చు (అవి ఒకేలా ఉంటాయి కాబట్టి):

ఎడమ వైపున మేము బ్రాకెట్లను తెరుస్తాము, కానీ ప్రస్తుతానికి తెలియని గుణకాలను తాకవద్దు:

అదే సమయంలో, మేము బహుపదిలను గుణించే పాఠశాల నియమాన్ని పునరావృతం చేస్తాము. నేను ఉపాధ్యాయునిగా ఉన్నప్పుడు, ఈ నియమాన్ని సూటిగా ఉచ్చరించడం నేర్చుకున్నాను: బహుపదిని బహుపదితో గుణించడానికి, మీరు ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని ఇతర బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించాలి..

స్పష్టమైన వివరణ దృక్కోణంలో, గుణకాలను బ్రాకెట్లలో ఉంచడం మంచిది (సమయం ఆదా చేయడానికి నేను వ్యక్తిగతంగా దీన్ని ఎప్పుడూ చేయనప్పటికీ):

మేము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను కంపోజ్ చేస్తాము.
మొదట మేము సీనియర్ డిగ్రీల కోసం చూస్తాము:

మరియు మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలో సంబంధిత గుణకాలను వ్రాస్తాము:

ఈ క్రింది అంశాన్ని బాగా గుర్తుంచుకోండి. కుడి వైపున అస్సలు లేకపోతే ఏమి జరుగుతుంది? ఇది ఏ చతురస్రం లేకుండా కేవలం చూపిస్తుంది అని చెప్పండి? ఈ సందర్భంలో, సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణంలో కుడివైపున సున్నాని ఉంచడం అవసరం: . ఎందుకు సున్నా? కానీ కుడి వైపున మీరు ఎల్లప్పుడూ ఇదే చతురస్రాన్ని సున్నాతో కేటాయించవచ్చు: కుడి వైపున వేరియబుల్స్ మరియు/లేదా ఉచిత పదం లేకపోతే, మేము సిస్టమ్ యొక్క సంబంధిత సమీకరణాల కుడి వైపున సున్నాలను ఉంచుతాము.

మేము సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలో సంబంధిత గుణకాలను వ్రాస్తాము:

చివరకు, మినరల్ వాటర్, మేము ఉచిత సభ్యులను ఎంపిక చేస్తాము.

ఔను...నేను ఒక రకంగా జోక్ చేశాను. జోకులు పక్కన పెడితే - గణితం ఒక తీవ్రమైన శాస్త్రం. మా ఇన్‌స్టిట్యూట్‌ గ్రూప్‌లో, అసిస్టెంట్‌ ప్రొఫెసర్‌ మాట్లాడుతూ నంబర్‌ లైన్‌లో నిబంధనలను చెదరగొట్టి, పెద్దవాటిని ఎంచుకుంటానని చెప్పినప్పుడు ఎవరూ నవ్వలేదు. సీరియస్ అయిపోదాం. అయినప్పటికీ... ఈ పాఠం ముగింపును చూడడానికి జీవించే వ్యక్తి ఇప్పటికీ నిశ్శబ్దంగా నవ్వుతారు.

సిస్టమ్ సిద్ధంగా ఉంది:

మేము వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము:

(1) మొదటి సమీకరణం నుండి మనం వ్యక్తీకరిస్తాము మరియు దానిని సిస్టమ్ యొక్క 2వ మరియు 3వ సమీకరణాలలోకి మారుస్తాము. వాస్తవానికి, మరొక సమీకరణం నుండి వ్యక్తీకరించడం (లేదా మరొక అక్షరం) సాధ్యమైంది, అయితే ఈ సందర్భంలో 1వ సమీకరణం నుండి వ్యక్తీకరించడం ప్రయోజనకరంగా ఉంటుంది. అతి చిన్న అసమానతలు.

(2) మేము 2వ మరియు 3వ సమీకరణాలలో ఒకే విధమైన పదాలను ప్రదర్శిస్తాము.

(3) మేము పదం వారీగా 2వ మరియు 3వ సమీకరణాల పదాన్ని జోడిస్తాము, సమానత్వాన్ని పొందడం , దాని నుండి అది అనుసరిస్తుంది

(4) మేము రెండవ (లేదా మూడవ) సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము, అక్కడ నుండి మనం దానిని కనుగొంటాము

(5) ప్రత్యామ్నాయం మరియు మొదటి సమీకరణంలోకి, పొందడం .

సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించే పద్ధతులతో మీకు ఏవైనా ఇబ్బందులు ఉంటే, వాటిని తరగతిలో సాధన చేయండి. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలి?

సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించిన తర్వాత, తనిఖీ చేయడం ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది - కనుగొన్న విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి ప్రతివ్యవస్థ యొక్క సమీకరణం, ఫలితంగా ప్రతిదీ "కన్వర్జ్" కావాలి.

దాదాపు అక్కడ. గుణకాలు కనుగొనబడ్డాయి మరియు:

పూర్తయిన పని ఇలా ఉండాలి:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను కంపోజ్ చేయడం (సరిగ్గా!) మరియు పరిష్కరించడం (సరిగ్గా!) పని యొక్క ప్రధాన కష్టం. మరియు చివరి దశలో, ప్రతిదీ చాలా కష్టం కాదు: మేము నిరవధిక సమగ్ర మరియు ఏకీకృతం యొక్క సరళ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము. ప్రతి మూడు సమగ్రాల క్రింద మనకు “ఉచిత” సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ ఉందని దయచేసి గమనించండి; నేను పాఠంలో దాని ఏకీకరణ యొక్క లక్షణాల గురించి మాట్లాడాను నిరవధిక సమగ్రంలో వేరియబుల్ మార్పు పద్ధతి.

తనిఖీ చేయండి: సమాధానాన్ని వేరు చేయండి:

అసలైన ఇంటిగ్రండ్ ఫంక్షన్ పొందబడింది, అంటే సమగ్రం సరిగ్గా కనుగొనబడింది.
ధృవీకరణ సమయంలో, మేము వ్యక్తీకరణను సాధారణ హారంకు తగ్గించాల్సి వచ్చింది మరియు ఇది ప్రమాదవశాత్తు కాదు. నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి మరియు వ్యక్తీకరణను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం పరస్పర విలోమ చర్యలు.

ఉదాహరణ 2

నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనండి.

మొదటి ఉదాహరణ నుండి భిన్నానికి తిరిగి వెళ్దాం: . హారంలో అన్ని కారకాలు భిన్నంగా ఉన్నాయని గమనించడం సులభం. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, ఉదాహరణకు, కింది భిన్నం ఇచ్చినట్లయితే ఏమి చేయాలి: ? ఇక్కడ మనకు హారంలో డిగ్రీలు ఉన్నాయి, లేదా, గణితశాస్త్రంలో, గుణిజాలు. అదనంగా, కారకం చేయలేని ఒక క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ ఉంది (సమీకరణం యొక్క వివక్షత అని ధృవీకరించడం సులభం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ట్రినోమియల్‌ని కారకం చేయలేము). ఏం చేయాలి? ప్రాథమిక భిన్నాల మొత్తానికి విస్తరణ ఇలా కనిపిస్తుంది ఎగువన తెలియని గుణకాలు లేదా మరేదైనా ఉన్నాయా?

ఉదాహరణ 3

ఒక ఫంక్షన్‌ని పరిచయం చేయండి

దశ 1.మాకు సరైన భిన్నం ఉందో లేదో తనిఖీ చేస్తోంది
ప్రధాన సంఖ్య: 2
హారం యొక్క అత్యధిక డిగ్రీ: 8
, అంటే భిన్నం సరైనదని అర్థం.

దశ 2.హారంలో ఏదైనా కారకం చేయడం సాధ్యమేనా? స్పష్టంగా లేదు, ప్రతిదీ ఇప్పటికే వేయబడింది. పైన పేర్కొన్న కారణాల వల్ల స్క్వేర్ ట్రినోమియల్‌ని ఉత్పత్తిగా విస్తరించడం సాధ్యం కాదు. హుడ్. తక్కువ పని.

దశ 3.పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌ని ప్రాథమిక భిన్నాల మొత్తంగా ఊహించుకుందాం.
ఈ సందర్భంలో, విస్తరణ క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

మన హారం చూద్దాం:
పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌ను ప్రాథమిక భిన్నాల మొత్తానికి విడదీసేటప్పుడు, మూడు ప్రాథమిక అంశాలను వేరు చేయవచ్చు:

1) హారం మొదటి శక్తికి "ఒంటరి" కారకాన్ని కలిగి ఉంటే (మా విషయంలో), అప్పుడు మేము నిరవధిక గుణకాన్ని ఎగువన ఉంచుతాము (మా విషయంలో). ఉదాహరణలు సంఖ్య 1, 2 అటువంటి "ఒంటరి" కారకాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.

2) హారం కలిగి ఉంటే బహుళగుణకం, అప్పుడు మీరు దీన్ని ఇలా విడదీయాలి:
- అంటే, మొదటి నుండి nవ డిగ్రీ వరకు “X” యొక్క అన్ని డిగ్రీలను వరుసగా వెళ్లండి. మా ఉదాహరణలో రెండు బహుళ కారకాలు ఉన్నాయి: మరియు , నేను ఇచ్చిన విస్తరణను మరోసారి పరిశీలించి, ఈ నియమం ప్రకారం అవి ఖచ్చితంగా విస్తరించబడ్డాయని నిర్ధారించుకోండి.

3) హారం రెండవ డిగ్రీ యొక్క విడదీయరాని బహుపదిని కలిగి ఉంటే (మా విషయంలో), అప్పుడు న్యూమరేటర్‌లో కుళ్ళిపోతున్నప్పుడు మీరు నిర్ణయించబడని గుణకాలతో (మా విషయంలో నిర్ణయించబడని గుణకాలతో మరియు ) సరళ ఫంక్షన్‌ను వ్రాయాలి.

వాస్తవానికి, మరొక 4 వ కేసు ఉంది, కానీ నేను దాని గురించి మౌనంగా ఉంటాను, ఎందుకంటే ఆచరణలో ఇది చాలా అరుదు.

ఉదాహరణ 4

ఒక ఫంక్షన్‌ని పరిచయం చేయండి తెలియని గుణకాలతో ప్రాథమిక భిన్నాల మొత్తం.

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.
అల్గోరిథంను ఖచ్చితంగా అనుసరించండి!

మీరు పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్‌ను మొత్తానికి విస్తరించాల్సిన సూత్రాలను అర్థం చేసుకుంటే, మీరు పరిశీలనలో ఉన్న రకానికి చెందిన ఏదైనా సమగ్రతను నమలవచ్చు.

ఉదాహరణ 5

నిరవధిక సమగ్రతను కనుగొనండి.

దశ 1.స్పష్టంగా భిన్నం సరైనది:

దశ 2.హారంలో ఏదైనా కారకం చేయడం సాధ్యమేనా? చెయ్యవచ్చు. ఘనాల మొత్తం ఇక్కడ ఉంది . సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని ఉపయోగించి హారంను కారకం చేయండి

దశ 3.నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి, మేము సమగ్రతను ప్రాథమిక భిన్నాల మొత్తానికి విస్తరిస్తాము:

బహుపదిని కారకం చేయలేమని దయచేసి గమనించండి (వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి), కాబట్టి ఎగువన మేము ఒక అక్షరం కాకుండా తెలియని గుణకాలతో సరళ ఫంక్షన్‌ను ఉంచుతాము.

మేము భిన్నాన్ని సాధారణ హారంకు తీసుకువస్తాము:

సిస్టమ్‌ను కంపోజ్ చేసి పరిష్కరిద్దాం:

(1) మేము మొదటి సమీకరణం నుండి వ్యక్తపరుస్తాము మరియు దానిని సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి మారుస్తాము (ఇది అత్యంత హేతుబద్ధమైన మార్గం).

(2) మేము రెండవ సమీకరణంలో సారూప్య పదాలను ప్రదర్శిస్తాము.

(3) మేము సిస్టమ్ పదం యొక్క రెండవ మరియు మూడవ సమీకరణాలను పదం ద్వారా జోడిస్తాము.

అన్ని తదుపరి గణనలు సూత్రప్రాయంగా, మౌఖికంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే సిస్టమ్ సులభం.

(1) మేము కనుగొన్న కోఎఫీషియంట్స్‌కు అనుగుణంగా భిన్నాల మొత్తాన్ని వ్రాస్తాము.

(2) మేము నిరవధిక సమగ్రం యొక్క సరళ లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము. రెండవ సమగ్రంలో ఏమి జరిగింది? పాఠం యొక్క చివరి పేరాలో మీరు ఈ పద్ధతితో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవచ్చు. కొన్ని భిన్నాలను సమగ్రపరచడం.

(3) మరోసారి మనం సరళత యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము. మూడవ సమగ్రంలో మేము పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేయడం ప్రారంభిస్తాము (పాఠం యొక్క చివరి పేరా కొన్ని భిన్నాలను సమగ్రపరచడం).

(4) మేము రెండవ సమగ్రతను తీసుకుంటాము, మూడవదానిలో మేము పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకుంటాము.

(5) మూడవ సమగ్రతను తీసుకోండి. సిద్ధంగా ఉంది.

హేతుబద్ధమైన భిన్నాలతో సహా ఫంక్షన్ల ఏకీకరణపై పరీక్ష 1వ మరియు 2వ సంవత్సరం విద్యార్థులకు ఇవ్వబడుతుంది. సమగ్రాల ఉదాహరణలు ప్రధానంగా గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, ఆర్థికవేత్తలు మరియు గణాంకవేత్తలకు ఆసక్తిని కలిగిస్తాయి. ఈ ఉదాహరణలు LNUలో పరీక్ష సమయంలో అడిగారు. I. ఫ్రాంక్. కింది ఉదాహరణల షరతులు “సమగ్రతను కనుగొనండి” లేదా “సమగ్రతను లెక్కించండి”, కాబట్టి స్థలం మరియు మీ సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి అవి వ్రాయబడలేదు.

ఉదాహరణ 15. మేము పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ల ఏకీకరణకు వచ్చాము. అవి సమగ్రతలలో ఒక ప్రత్యేక స్థానాన్ని ఆక్రమించాయి, ఎందుకంటే వారు మీ జ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేయడమే కాకుండా లెక్కించడానికి మరియు ఉపాధ్యాయులకు సహాయం చేయడానికి చాలా సమయం కావాలి. ఇంటిగ్రల్ కింద ఫంక్షన్‌ను సులభతరం చేయడానికి, మేము న్యూమరేటర్‌లో వ్యక్తీకరణను జోడిస్తాము మరియు తీసివేస్తాము, అది ఇంటిగ్రల్ కింద ఉన్న ఫంక్షన్‌ను రెండు సాధారణమైనవిగా విభజించడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఫలితంగా, మేము ఒక సమగ్రతను చాలా త్వరగా కనుగొంటాము, రెండవదానిలో మనం భిన్నాన్ని ప్రాథమిక భిన్నాల మొత్తానికి విస్తరించాలి.

సాధారణ హారంకు తగ్గించబడినప్పుడు, మేము ఈ క్రింది సంఖ్యలను పొందుతాము

తరువాత, బ్రాకెట్లు మరియు సమూహాన్ని తెరవండి

మేము కుడి మరియు ఎడమ వైపున ఉన్న “x” యొక్క అదే శక్తులకు విలువను సమం చేస్తాము. ఫలితంగా, మేము మూడు తెలియని వాటితో మూడు సరళ సమీకరణాల (SLAE) వ్యవస్థకు చేరుకుంటాము.

సమీకరణాల వ్యవస్థలను ఎలా పరిష్కరించాలో సైట్‌లోని ఇతర కథనాలలో వివరించబడింది. చివరి సంస్కరణలో మీరు క్రింది SLAE పరిష్కారాన్ని అందుకుంటారు
A=4; B=-9/2; సి=-7/2.
మేము భిన్నాల విస్తరణలో స్థిరాంకాలను సాధారణ వాటినిగా మారుస్తాము మరియు ఏకీకరణను చేస్తాము


ఇది ఉదాహరణను ముగించింది.

ఉదాహరణ 16. మళ్ళీ మనం పాక్షిక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రతను కనుగొనాలి. ప్రారంభించడానికి, భిన్నం యొక్క హారంలో ఉన్న క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని మేము సాధారణ కారకాలుగా విడదీస్తాము

తరువాత, మేము భిన్నాన్ని దాని సరళమైన రూపాల్లోకి విడదీస్తాము

మేము ఒక సాధారణ హారంకు కుడి వైపును తగ్గించి, న్యూమరేటర్లో బ్రాకెట్లను తెరుస్తాము.


మేము వేరియబుల్ యొక్క అదే డిగ్రీల కోసం గుణకాలను సమం చేస్తాము. ముగ్గురు తెలియని వారితో మళ్లీ SLAEకి వస్తాం

మేము A, B, C విలువలను విస్తరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు సమగ్రతను గణిస్తాము

మొదటి రెండు పదాలు సంవర్గమానాన్ని ఇస్తాయి, చివరిది కూడా కనుగొనడం సులభం.

ఉదాహరణ 17. పాక్షిక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ యొక్క హారంలో మనకు ఘనాల తేడా ఉంటుంది. సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించి, మేము దానిని రెండు సాధారణ కారకాలుగా విడదీస్తాము

తరువాత, మేము ఫలిత పాక్షిక ఫంక్షన్‌ను సాధారణ భిన్నాల మొత్తానికి వ్రాసి వాటిని సాధారణ హారంకు తగ్గిస్తాము

న్యూమరేటర్‌లో మనకు ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణ వస్తుంది.

దాని నుండి మేము 3 తెలియని వాటిని లెక్కించడానికి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాము

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
మేము A, B, C ఫార్ములాలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు ఇంటిగ్రేషన్ చేస్తాము. ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది సమాధానానికి చేరుకుంటాము:


ఇక్కడ రెండవ సమగ్రం యొక్క లవం సంవర్గమానంగా మార్చబడింది మరియు సమగ్రం కింద మిగిలిన భాగం ఆర్క్టాంజెంట్‌ను ఇస్తుంది.
ఇంటర్నెట్‌లో హేతుబద్ధమైన భిన్నాల ఏకీకరణపై ఇలాంటి ఉదాహరణలు చాలా ఉన్నాయి. మీరు క్రింది పదార్థాల నుండి ఇలాంటి ఉదాహరణలను కనుగొనవచ్చు.