చతురస్ర త్రికోణం గొడ్డలి 2 +bx+cసూత్రాన్ని ఉపయోగించి సరళ కారకాలుగా కారకం చేయవచ్చు:
గొడ్డలి 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), ఎక్కడ x 1, x 2- వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు గొడ్డలి 2 +bx+c=0.
విస్తరించు చతుర్భుజ త్రికోణముసరళ కారకాలకు:
ఉదాహరణ 1). 2x 2 -7x-15.
పరిష్కారం. 2x 2 -7x-15=0.
a=2; బి=-7; సి=-15. ఈ సాధారణ కేసుపూర్తి వర్గ సమీకరణం కోసం. వివక్షను కనుగొనడం డి.
D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 నిజమైన మూలాలు.
సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
2x 2 -7x-15=2 (x+1.5)(x-5)=(2x+3)(x-5). మేము ఈ త్రికోణాన్ని పరిచయం చేసాము 2x 2 -7x-15 2x+3మరియు x-5.
సమాధానం: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).
ఉదాహరణ 2). 3x 2 +2x-8.
పరిష్కారం.వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
a=3; బి=2;సి=-8. ఈ ప్రత్యేక సంధర్భంసరి రెండవ గుణకంతో పూర్తి వర్గ సమీకరణం కోసం ( బి=2). వివక్షను కనుగొనడం D 1.
సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
మేము త్రికోణాన్ని పరిచయం చేసాము 3x 2 +2x-8ద్విపదల ఉత్పత్తిగా x+2మరియు 3x-4.
సమాధానం: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).
ఉదాహరణ 3). 5x 2 -3x-2.
పరిష్కారం.వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
a=5; బి=-3; సి=-2. కింది షరతుతో పూర్తి వర్గ సమీకరణం కోసం ఇది ఒక ప్రత్యేక సందర్భం: a+b+c=0(5-3-2=0). అలాంటి సందర్భాలలో మొదటి రూట్ఎల్లప్పుడూ ఒకరికి సమానం, ఎ రెండవ మూలంమొదటి గుణకం ద్వారా విభజించబడిన ఉచిత పదం యొక్క భాగానికి సమానం:
సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0.4)=(x-1)(5x+2). మేము త్రికోణాన్ని పరిచయం చేసాము 5x 2 -3x-2ద్విపదల ఉత్పత్తిగా x-1మరియు 5x+2.
సమాధానం: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).
ఉదాహరణ 4). 6x 2 +x-5.
పరిష్కారం.వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
a=6; బి=1; సి=-5. కింది షరతుతో పూర్తి వర్గ సమీకరణం కోసం ఇది ఒక ప్రత్యేక సందర్భం: a-b+c=0(6-1-5=0). అలాంటి సందర్భాలలో మొదటి రూట్ఎల్లప్పుడూ మైనస్ ఒకటికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు రెండవ మూలంఉచిత పదాన్ని మొదటి గుణకం ద్వారా విభజించే మైనస్ కోషెంట్‌కి సమానం:
సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
మేము త్రికోణాన్ని పరిచయం చేసాము 6x 2 +x-5ద్విపదల ఉత్పత్తిగా x+1మరియు 6x-5.
సమాధానం: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).
ఉదాహరణ 5). x 2 -13x+12.
పరిష్కారం.ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
x 2 -13x+12=0. ఇది వర్తించవచ్చో లేదో చూద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, ఒక వివక్షను కనుగొని, అది ఉన్నట్లు నిర్ధారించుకుందాం ఖచ్చితమైన చతురస్రంమొత్తం సంఖ్య.
a=1; బి=-13; సి=12. వివక్షను కనుగొనడం డి.
D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .
వియెటా సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేద్దాం: మూలాల మొత్తం తప్పనిసరిగా రెండవ గుణకం నుండి తీసుకోబడిన దానికి సమానంగా ఉండాలి వ్యతిరేక చిహ్నం, మరియు మూలాల ఉత్పత్తి తప్పనిసరిగా ఉచిత పదానికి సమానంగా ఉండాలి:
x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. x 1 =1 అని స్పష్టంగా ఉంది; x 2 =12.
సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).
x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).
సమాధానం: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).
ఉదాహరణ 6). x 2 -4x-6.
పరిష్కారం. ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
a=1; బి=-4; సి=-6. రెండవ గుణకం - సరి సంఖ్య. వివక్ష D 1ని కనుగొనండి.
వివక్షత అనేది పూర్ణాంకం యొక్క ఖచ్చితమైన చతురస్రం కాదు, కాబట్టి, వియెటా సిద్ధాంతం మాకు సహాయం చేయదు మరియు మేము రెండవ గుణకం కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించి మూలాలను కనుగొంటాము:
సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం: గొడ్డలి 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) మరియు సమాధానం రాయండి.
లక్ష్యాలు:
- అంశంపై జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాలను క్రమబద్ధీకరించండి మరియు సాధారణీకరించండి: మూడవ మరియు నాల్గవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల పరిష్కారాలు.
- అనేక టాస్క్‌లను పూర్తి చేయడం ద్వారా మీ జ్ఞానాన్ని మరింతగా పెంచుకోండి, వాటిలో కొన్ని రకం లేదా పరిష్కార పద్ధతిలో తెలియనివి.
- గణితంలో కొత్త అధ్యాయాలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా గణితంలో ఆసక్తిని ఏర్పరచడం, సమీకరణాల గ్రాఫ్‌ల నిర్మాణం ద్వారా గ్రాఫిక్ సంస్కృతిని పెంపొందించడం.
పాఠం రకం: కలిపి.
సామగ్రి:గ్రాఫిక్ ప్రొజెక్టర్.
దృశ్యమానత:పట్టిక "Viete యొక్క సిద్ధాంతం".
తరగతుల సమయంలో
1. నోటి లెక్కింపు
a) బహుపది p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0ని ద్విపద x-aతో భాగిస్తే మిగిలేది ఏమిటి?
బి) క్యూబిక్ సమీకరణం ఎన్ని మూలాలను కలిగి ఉంటుంది?
c) మేము మూడవ మరియు నాల్గవ డిగ్రీల సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరిస్తాము?
d) ఒక వర్గ సమీకరణంలో b అనేది సరి సంఖ్య అయితే, D మరియు x 1; x 2 విలువ ఎంత
2. స్వతంత్ర పని(సమూహాల్లో)
మూలాలు తెలిసినట్లయితే సమీకరణాన్ని వ్రాయండి (పనులకు సమాధానాలు కోడ్ చేయబడ్డాయి) “వియటా సిద్ధాంతం” ఉపయోగించబడింది
1 సమూహం
మూలాలు: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
సమీకరణాన్ని రూపొందించండి:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
ఇ=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(ఈ సమీకరణం బోర్డ్‌లోని గ్రూప్ 2 ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది)
పరిష్కారం . మేము 36 సంఖ్య యొక్క విభజనలలో మొత్తం మూలాల కోసం చూస్తాము.
р = ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 సంఖ్య 1 సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది, కాబట్టి =1 సమీకరణం యొక్క మూలం. హార్నర్ పథకం ప్రకారం
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 =-3, x 4 =6
సమాధానం: 1;-2;-3;6 మూలాల మొత్తం 2 (పి)
2వ సమూహం
మూలాలు: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
సమీకరణాన్ని రూపొందించండి:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
ఇ=2(-1)2*5=-20;ఇ=-20
8+15+4x-20=0 (గ్రూప్ 3 బోర్డులో ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తుంది)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5
సమాధానం: -1;2;2;5 మూలాల మొత్తం 8(P)
3 సమూహం
మూలాలు: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
సమీకరణాన్ని రూపొందించండి:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
ఇ=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(గ్రూప్ 4 ఈ సమీకరణాన్ని తర్వాత బోర్డులో పరిష్కరిస్తుంది)
పరిష్కారం. మేము సంఖ్య 6 యొక్క విభజనలలో మొత్తం మూలాల కోసం చూస్తాము.
р = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
సమాధానం: -1;1;-2;3 మూలాల మొత్తం 1(O)
4 సమూహం
మూలాలు: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
సమీకరణాన్ని రూపొందించండి:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(ఈ సమీకరణం బోర్డులో సమూహం 5 ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది)
పరిష్కారం. మేము సంఖ్య -36 యొక్క విభజనలలో మొత్తం మూలాల కోసం చూస్తాము
р = ± 1; ± 2; ± 3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
సమాధానం: -2; -2; -3; 3 మూలాల మొత్తం-4 (F)
5 సమూహం
మూలాలు: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
ఒక సమీకరణం వ్రాయండి
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ఈ సమీకరణం బోర్డ్‌లోని గ్రూప్ 6 ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది)
పరిష్కారం . మేము 24 సంఖ్య యొక్క విభజనలలో మొత్తం మూలాల కోసం చూస్తాము.
р = ± 1; ± 2; ± 3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
సమాధానం: -1;-2;-3;-4 మొత్తం-10 (I)
6 సమూహం
మూలాలు: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
ఒక సమీకరణం వ్రాయండి
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (ఈ సమీకరణం బోర్డ్‌లోని గ్రూప్ 1 ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది)
పరిష్కారం . మేము సంఖ్య -24 యొక్క విభజనలలో మొత్తం మూలాల కోసం చూస్తాము.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
సమాధానం: 1;1;-3;8 మొత్తం 7 (ఎల్)
3. పరామితితో సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
1. x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి; మూలాలలో ఒకటి (-1)కి సమానంగా ఉంటే
జవాబును ఆరోహణ క్రమంలో రాయండి
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
షరతు ప్రకారం x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
సమాధానం: - 1; -5; 3
ఆరోహణ క్రమంలో: -5;-1;3. (బి ఎన్ ఎస్)
2. బహుపది x 3 - 3x 2 + గొడ్డలి - 2a + 6 యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనండి, x-1 మరియు x +2 ద్విపదలుగా విభజించబడిన శేషాలు సమానంగా ఉంటే.
పరిష్కారం: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. ఒక సమీకరణాన్ని వ్రాయండి
1 సమూహం. మూలాలు: -4; -2; 1; 7;
2వ సమూహం. మూలాలు: -3; -2; 1; 2;
3 సమూహం. మూలాలు: -1; 2; 6; 10;
4 సమూహం. మూలాలు: -3; 2; 2; 5;
5 సమూహం. మూలాలు: -5; -2; 2; 4;
6 సమూహం. మూలాలు: -8; -2; 6; 7.
సూచనలు
ప్రత్యామ్నాయ విధానం ఒక వేరియబుల్‌ని ఎక్స్‌ప్రెస్ చేసి మరొక సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మీరు మీ అభీష్టానుసారం ఏదైనా వేరియబుల్‌ని వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఉదాహరణకు, రెండవ సమీకరణం నుండి yని వ్యక్తపరచండి:
x-y=2 => y=x-2 తర్వాత అన్నింటినీ మొదటి సమీకరణంలోకి మార్చండి:
2x+(x-2)=10 “x” లేకుండా అన్నింటినీ కుడి వైపుకు తరలించి, లెక్కించండి:
2x+x=10+2
3x=12 తర్వాత, x పొందడానికి, సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3 ద్వారా విభజించండి:
x=4. కాబట్టి, మీరు “xని కనుగొన్నారు. "y"ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు “y”ని వ్యక్తపరిచిన సమీకరణంలో “x”ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
y=x-2=4-2=2
y=2.
చెక్ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, ఫలిత విలువలను సమీకరణాలలోకి మార్చండి:
2*4+2=10
4-2=2
తెలియనివి సరిగ్గా దొరికాయి!
సమీకరణాలను జోడించడానికి లేదా తీసివేయడానికి ఒక మార్గం ఏదైనా వేరియబుల్‌ను వెంటనే వదిలించుకోండి. మా విషయంలో, ఇది “y”తో చేయడం సులభం.
“y”లో “+” గుర్తు మరియు రెండవ దానిలో “-” ఉన్నందున, మీరు అదనంగా ఆపరేషన్ చేయవచ్చు, అనగా. ఎడమ వైపుదీన్ని ఎడమవైపుకు జోడించి, కుడివైపున కుడివైపుకు జోడించండి:
2x+y+(x-y)=10+2మార్చు:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4ఏదైనా సమీకరణంలో “x”ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు “y”ని కనుగొనండి:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21వ పద్ధతి ద్వారా అవి సరిగ్గా కనుగొనబడినట్లు మీరు చూడవచ్చు.
స్పష్టంగా నిర్వచించబడిన వేరియబుల్స్ లేకపోతే, సమీకరణాలను కొద్దిగా మార్చడం అవసరం.
మొదటి సమీకరణంలో మనకు “2x” ఉంది, మరియు రెండవదానిలో మనకు “x” ఉంటుంది. సంకలనం సమయంలో x తగ్గించబడాలంటే, రెండవ సమీకరణాన్ని 2తో గుణించండి:
x-y=2
2x-2y=4అప్పుడు మొదటి సమీకరణం నుండి రెండవదాన్ని తీసివేయండి:
2x+y-(2x-2y)=10-4 బ్రాకెట్‌కు ముందు మైనస్ ఉంటే, తెరిచిన తర్వాత, దానిని వ్యతిరేకానికి మార్చండి:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
ఏదైనా సమీకరణం నుండి వ్యక్తీకరించడం ద్వారా y=2xని కనుగొనండి, అనగా.
x=4
అంశంపై వీడియో
చిట్కా 2: రెండు వేరియబుల్స్‌లో సరళ సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి
సమీకరణం, ax+bу+c=0 సాధారణ రూపంలో వ్రాయబడి, రెండుతో కూడిన సరళ సమీకరణం అంటారు వేరియబుల్స్. ఈ సమీకరణం కూడా కలిగి ఉంటుంది అనంతమైన సెట్పరిష్కారాలు, కాబట్టి సమస్యలలో ఇది ఎల్లప్పుడూ ఏదో ఒకదానితో అనుబంధంగా ఉంటుంది - మరొక సమీకరణం లేదా పరిమితి పరిస్థితులు. సమస్య అందించిన పరిస్థితులపై ఆధారపడి, రెండింటితో సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి వేరియబుల్స్ఉండాలి వివిధ మార్గాలు.
నీకు అవసరం అవుతుంది
- - రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ సమీకరణం;
- - రెండవ సమీకరణం లేదా అదనపు పరిస్థితులు.
సూచనలు
ఇద్దరి వ్యవస్థ ఇస్తే సరళ సమీకరణాలు, దాన్ని పరిష్కరించండి క్రింది విధంగా. గుణకాలు ఉన్న సమీకరణాలలో ఒకదాన్ని ఎంచుకోండి వేరియబుల్స్చిన్నది మరియు వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానిని వ్యక్తీకరించండి, ఉదాహరణకు, x. అప్పుడు y కలిగి ఉన్న ఈ విలువను రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఫలిత సమీకరణంలో ఒకే ఒక వేరియబుల్ y ఉంటుంది, అన్ని భాగాలను yతో ఎడమ వైపుకు మరియు ఉచిత వాటిని కుడి వైపుకు తరలించండి. yని కనుగొని, xని కనుగొనడానికి ఏదైనా అసలు సమీకరణాలలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.
రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి మరొక మార్గం ఉంది. సమీకరణాలలో ఒకదానిని సంఖ్యతో గుణించండి, తద్వారా x వంటి వేరియబుల్స్‌లో ఒకదాని యొక్క గుణకం రెండు సమీకరణాలలో ఒకే విధంగా ఉంటుంది. తర్వాత సమీకరణాలలో ఒకదానిని మరొకదాని నుండి తీసివేయండి (కుడివైపు 0కి సమానంగా లేకుంటే, కుడి వైపున కూడా అదే విధంగా తీసివేయాలని గుర్తుంచుకోండి). మీరు x వేరియబుల్ అదృశ్యమైందని మరియు ఒక y వేరియబుల్ మాత్రమే మిగిలి ఉందని మీరు చూస్తారు. ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి మరియు y యొక్క కనుగొనబడిన విలువను ఏదైనా అసలు సమానత్వంలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. xని కనుగొనండి.
రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి మూడవ మార్గం గ్రాఫికల్. కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను గీయండి మరియు మీ సిస్టమ్‌లో సమీకరణాలు ఇవ్వబడిన రెండు సరళ రేఖలను గ్రాఫ్ చేయండి. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణంలో ఏదైనా రెండు x విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు సంబంధిత yని కనుగొనండి - ఇవి రేఖకు చెందిన పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు. కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఖండనను కనుగొనడానికి అత్యంత అనుకూలమైన మార్గం కేవలం x=0 మరియు y=0 విలువలను భర్తీ చేయడం. ఈ రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు పనులుగా ఉంటాయి.
సమస్య పరిస్థితుల్లో ఒకే ఒక సరళ సమీకరణం ఉంటే, మీరు పరిష్కారాన్ని కనుగొనగలిగే అదనపు షరతులు మీకు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ పరిస్థితులను కనుగొనడానికి సమస్యను జాగ్రత్తగా చదవండి. ఉంటే వేరియబుల్స్ x మరియు y దూరం, వేగం, బరువును సూచిస్తాయి - పరిమితిని x≥0 మరియు y≥0 సెట్ చేయడానికి సంకోచించకండి. x లేదా y ఆపిల్‌ల సంఖ్యను దాచిపెట్టడం చాలా సాధ్యమే. - అప్పుడు విలువలు మాత్రమే ఉంటాయి. x కొడుకు వయస్సు అయితే, అతను ఉండలేడని స్పష్టమవుతుంది తండ్రి కంటే పెద్ద, కాబట్టి దీన్ని విధి పరిస్థితులలో సూచించండి.
మూలాలు:
- ఒక వేరియబుల్‌తో సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి
దానికదే సమీకరణంముగ్గురితో తెలియనిఅనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది, కాబట్టి చాలా తరచుగా ఇది మరో రెండు సమీకరణాలు లేదా షరతులతో భర్తీ చేయబడుతుంది. ప్రారంభ డేటా ఏమిటో ఆధారపడి, నిర్ణయం యొక్క కోర్సు ఎక్కువగా ఆధారపడి ఉంటుంది.
నీకు అవసరం అవుతుంది
- - మూడు తెలియని వాటితో మూడు సమీకరణాల వ్యవస్థ.
సూచనలు
మూడు సిస్టమ్‌లలో రెండు మూడు తెలియని వాటిలో రెండు మాత్రమే కలిగి ఉంటే, కొన్ని వేరియబుల్‌లను ఇతరుల పరంగా వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నించండి మరియు వాటిని ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంచండి. సమీకరణంముగ్గురితో తెలియని. ఈ సందర్భంలో మీ లక్ష్యం సాధారణ స్థితికి మార్చడం సమీకరణంతెలియని వ్యక్తితో. ఇది ఉంటే, తదుపరి పరిష్కారం చాలా సులభం - కనుగొన్న విలువను ఇతర సమీకరణాలలోకి మార్చండి మరియు అన్ని ఇతర తెలియని వాటిని కనుగొనండి.
సమీకరణాల యొక్క కొన్ని వ్యవస్థలను ఒక సమీకరణం నుండి మరొక సమీకరణం ద్వారా తీసివేయవచ్చు. ఒకటి లేదా వేరియబుల్‌ని గుణించడం సాధ్యమేనా అని చూడండి, తద్వారా రెండు తెలియనివి ఒకేసారి రద్దు చేయబడతాయి. అటువంటి అవకాశం ఉంటే, దానిని సద్వినియోగం చేసుకోండి; చాలా మటుకు, తదుపరి పరిష్కారం కష్టం కాదు. సంఖ్యతో గుణించేటప్పుడు, మీరు ఎడమ వైపు మరియు కుడి వైపు రెండింటినీ గుణించాలి అని గుర్తుంచుకోండి. అలాగే, సమీకరణాలను తీసివేసేటప్పుడు, కుడి వైపు కూడా తీసివేయబడాలని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి.
మునుపటి పద్ధతులు సహాయం చేయకపోతే, ఉపయోగించండి సాధారణ మార్గంలోమూడుతో ఏదైనా సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు తెలియని. దీన్ని చేయడానికి, a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 రూపంలో సమీకరణాలను తిరిగి వ్రాయండి. ఇప్పుడు x (A), తెలియని వాటి మాతృక (X) మరియు ఉచిత వాటి (B) కోసం గుణకాల మాతృకను సృష్టించండి. దయచేసి గుణకాల మాతృకను తెలియని వాటి మాతృకతో గుణించడం ద్వారా, మీరు ఉచిత నిబంధనల మాతృకను పొందుతారు, అంటే A*X=B.
ముందుగా కనుగొనడం ద్వారా శక్తి (-1)కి మాతృక Aని కనుగొనండి, అది ఉండకూడదని గమనించండి సున్నాకి సమానం. దీని తరువాత, ఫలిత మాతృకను మాతృక B ద్వారా గుణించండి, ఫలితంగా మీరు కావలసిన మ్యాట్రిక్స్ Xని అందుకుంటారు, ఇది అన్ని విలువలను సూచిస్తుంది.
మీరు క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి మూడు సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్‌కు సంబంధించిన థర్డ్-ఆర్డర్ డిటర్మినెంట్ ∆ని కనుగొనండి. ఆపై సంబంధిత నిలువు వరుసల విలువలకు బదులుగా ఉచిత నిబంధనల విలువలను ప్రత్యామ్నాయంగా ∆1, ∆2 మరియు ∆3 మూడు డిటర్మినేట్‌లను వరుసగా కనుగొనండి. ఇప్పుడు x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆ని కనుగొనండి.
మూలాలు:
- మూడు తెలియని సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు
సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం సవాలుగా మరియు ఉత్తేజకరమైనది. ఎలా మరింత క్లిష్టమైన వ్యవస్థ, దాన్ని పరిష్కరించడం మరింత ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. చాలా తరచుగా గణితంలో ఉన్నత పాఠశాలరెండు తెలియని వాటితో సమీకరణాల వ్యవస్థలు ఉన్నాయి, కానీ ఉన్నత గణితంమరిన్ని వేరియబుల్స్ ఉండవచ్చు. వ్యవస్థలు అనేక పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి.
సూచనలు
సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి అత్యంత సాధారణ పద్ధతి ప్రత్యామ్నాయం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఒక వేరియబుల్‌ను మరొక పరంగా వ్యక్తీకరించాలి మరియు దానిని రెండవదానికి ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి సమీకరణంవ్యవస్థలు, అందువలన దారితీసింది సమీకరణంఒక వేరియబుల్‌కి. ఉదాహరణకు, కింది సమీకరణాలు ఇవ్వబడ్డాయి: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
రెండవ వ్యక్తీకరణ నుండి వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానిని వ్యక్తీకరించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, మిగతావన్నీ వ్యక్తీకరణ యొక్క కుడి వైపుకు తరలించడం, గుణకం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడం మర్చిపోకుండా: x = 3-y.
బ్రాకెట్‌లను తెరవండి: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. మేము ఫలిత విలువ yని వ్యక్తీకరణలో భర్తీ చేస్తాము: x=3-y;x=3-1;x=2 .
మొదటి వ్యక్తీకరణలో అన్ని పదాలు 2, మీరు బ్రాకెట్లలో 2ని ఉంచవచ్చు పంపిణీ ఆస్తిగుణకారం: 2*(2x-y-3)=0. ఇప్పుడు వ్యక్తీకరణ యొక్క రెండు భాగాలను ఈ సంఖ్య ద్వారా తగ్గించవచ్చు, ఆపై yగా వ్యక్తీకరించవచ్చు, ఎందుకంటే దాని మాడ్యులస్ గుణకం ఒకదానికి సమానం: -y = 3-2x లేదా y = 2x-3.
మొదటి సందర్భంలో వలె, మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము ఈ వ్యక్తీకరణరెండవది సమీకరణంమరియు మనకు లభిస్తుంది: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. ఫలిత విలువను వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: y=2x -3;y=4-3=1.
y కోసం కోఎఫీషియంట్ విలువలో ఒకేలా ఉంటుంది, కానీ సంకేతంలో భిన్నంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, ఈ సమీకరణాలను జోడిస్తే, మనం పూర్తిగా y నుండి బయటపడతాము: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0; x=2. సిస్టమ్ యొక్క రెండు సమీకరణాలలో దేనికైనా x విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు y=1 పొందండి.
అంశంపై వీడియో
ద్విచతురస్రాకార సమీకరణంప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది సమీకరణంనాల్గవ డిగ్రీ, సాధారణ రూపంఇది ax^4 + bx^2 + c = 0 అనే వ్యక్తీకరణ ద్వారా సూచించబడుతుంది. దీని పరిష్కారం తెలియని వాటి ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. IN ఈ విషయంలో x^2 మరొక వేరియబుల్ ద్వారా భర్తీ చేయబడింది. అందువలన, ఫలితం సాధారణ చతురస్రం సమీకరణం, ఇది పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది.
సూచనలు
చతుర్భుజాన్ని పరిష్కరించండి సమీకరణం, భర్తీ ఫలితంగా. దీన్ని చేయడానికి, మొదట సూత్రానికి అనుగుణంగా విలువను లెక్కించండి: D = b^2? 4ac. ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్స్ a, b, c మన సమీకరణం యొక్క గుణకాలు.
మూలాలను కనుగొనండి ద్విచతురస్రాకార సమీకరణం. దీన్ని చేయడానికి, పొందిన పరిష్కారాల వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి. ఒక పరిష్కారం ఉంటే, అప్పుడు రెండు ఉంటుంది - వర్గమూలం యొక్క సానుకూల మరియు ప్రతికూల విలువ. రెండు పరిష్కారాలు ఉంటే, ద్విచక్ర సమీకరణం నాలుగు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
అంశంపై వీడియో
సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి శాస్త్రీయ పద్ధతుల్లో ఒకటి గాస్ పద్ధతి. ఇది లో ఉంది స్థిరమైన మినహాయింపుసమీకరణాల వ్యవస్థను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు వేరియబుల్స్ సాధారణ పరివర్తనలుస్టెప్‌వైస్ సిస్టమ్‌లోకి అనువదించబడింది, దీని నుండి అన్ని వేరియబుల్స్ వరుసగా కనుగొనబడతాయి, చివరితో ప్రారంభించబడతాయి.
సూచనలు
మొదట, అన్ని తెలియనివి కఠినమైన క్రమంలో ఉన్నప్పుడు సమీకరణాల వ్యవస్థను అటువంటి రూపంలోకి తీసుకురండి. ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో. ఉదాహరణకు, అన్ని తెలియని X లు ప్రతి పంక్తిలో మొదట కనిపిస్తాయి, అన్ని Y లు X తర్వాత వస్తాయి, అన్ని Z లు Y తర్వాత వస్తాయి మరియు మొదలైనవి. ప్రతి సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున తెలియనివి ఉండకూడదు. ప్రతి తెలియని ముందు ఉన్న గుణకాలను, అలాగే ప్రతి సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న గుణకాలను మానసికంగా నిర్ణయించండి.
మాడ్యులస్‌తో సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోవడానికి, మీరు మాడ్యులస్ యొక్క నిర్వచనాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి మరియు నేర్చుకోవాలి.
నిర్వచనం నుండి ఏదైనా సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ ప్రతికూలమైనది కాదని స్పష్టమవుతుంది. అదనంగా, నిర్వచనం ఎలా సాధ్యమవుతుందో చూపిస్తుంది మాడ్యులస్ గుర్తును వదిలించుకోండి Eq లో
ఆచరణలో ఇది ఇలా జరుగుతుంది:
1) మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద ఉన్న వ్యక్తీకరణలు సున్నాకి మారే వేరియబుల్ విలువలను కనుగొనండి.
2) సంఖ్య రేఖపై అన్ని సున్నాలను గుర్తించండి. వారు ఈ రేఖను కిరణాలు మరియు విరామాలుగా విభజిస్తారు, దానిపై అన్ని సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణలు స్థిరమైన గుర్తును కలిగి ఉంటాయి.
3) మేము ప్రతి విరామంలో సబ్‌మోడ్యులర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ల సంకేతాలను నిర్ణయిస్తాము మరియు అన్ని మాడ్యూల్‌లను విస్తరిస్తాము (వాటిని సబ్‌మోడ్యులర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ల గుర్తును బట్టి ప్లస్ సైన్ లేదా మైనస్ గుర్తుతో సబ్‌మోడ్యులర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లతో భర్తీ చేస్తాము).
4) మేము ప్రతి విరామంలో ఫలిత సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము (అన్ని విరామాలు, అనేక సమీకరణాలు) మేము తప్పనిసరిగా ఇచ్చిన వ్యవధిలో ఉన్న పరిష్కారాలను మాత్రమే ఎంచుకోవాలని దయచేసి గమనించండి (ఫలితంగా వచ్చే పరిష్కారాలు విరామానికి చెందినవి కాకపోవచ్చు).
ఇప్పటికే తగినంత సిద్ధాంతం, మాడ్యులస్‌తో సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో చూడటానికి ఉదాహరణలను చూడాల్సిన సమయం ఆసన్నమైంది. సరళమైన వాటితో ప్రారంభిద్దాం.
మాడ్యులితో సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
ఉదాహరణ 1.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.అప్పటి నుండి. ఒకవేళ , అప్పుడు , మరియు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది.
ఇక్కడ నుండి మనకు లభిస్తుంది.
ఉదాహరణ 2.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.ఇది సమీకరణం నుండి అనుసరిస్తుంది.
కాబట్టి , , మరియు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది లేదా .
నుండి, అసలు సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.
సమాధానం: మూలాలు లేవు.
ఉదాహరణ 3.సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.సమీకరణాన్ని సమాన రూపంలో తిరిగి వ్రాస్దాం.
ఫలిత సమీకరణం రకం సమీకరణాలకు చెందినది.
ఈ రకమైన సమీకరణం అసమానతకు సమానం అని తెలుసు. అందువల్ల, ఇక్కడ మనకు లేదా .
సమాధానం: .
మాడ్యులస్‌తో ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో మీరు ఇప్పటికే కనుగొన్నారని నేను భావిస్తున్నాను. ఎదుర్కోవటానికి ప్రయత్నిద్దాం మరింత సంక్లిష్టమైన సమీకరణం.
ఉదాహరణ 4. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|
సబ్‌మోడ్యులర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ల సున్నాలను కనుగొనడం:
x 2 + 2x = 0, x(x + 2) = 0, x = 0 లేదా x = ‒ 2. ఈ సందర్భంలో, పారాబొలా y = x 2 + 2x విరామాలపై సానుకూలంగా ఉంటుంది (–∞; –2) మరియు (0; +∞), మరియు విరామంలో (–2; 0) ప్రతికూలంగా ఉంటుంది (ఫిగర్ చూడండి).
x 2 ‒ x = 0, x(x – 1) = 0, x = 0 లేదా x = 1. ఈ పారాబొలా y = x 2‒ x విరామాలలో (–∞; 0) మరియు (1; +∞) సానుకూలంగా ఉంటుంది , మరియు విరామంలో (0; 1) ఇది ప్రతికూలంగా ఉంటుంది (ఫిగర్ చూడండి).
2 – x = 0, x = 2, మాడ్యులస్ విరామంలో సానుకూలంగా ఉంటుంది (–∞; 0) మరియు తీసుకుంటుంది ప్రతికూల విలువలువిరామంలో (2; +∞) (చిత్రాన్ని చూడండి).
ఇప్పుడు మేము విరామాలలో సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము:
1) x ≤ ‒2: x = 1/2
2) –2 ≤ x<0: ‒(x 2 + 2x) – (2 – x) = x 2 ‒ x, ‒x 2 ‒ 2x – 2 + x = x 2‒ x, ‒2 x 2 = 2, x 2 = ‒1, పరిష్కారాలు లేవు.
3) 0 ≤ x<1:
x 2 + 2x - (2 – x) = ‒ (x 2 - x), x 2 + 2x - 2 + x = ‒x 2 + x, 2x 2 + 2x – 2 = 0, x 2 + x – 1 = 0, √D = √5,
x 1 = (‒1 ‒ √5)/2 మరియు x 2 = (‒1 + √5)/2.
మొదటి మూలం ప్రతికూలంగా ఉన్నందున, ఇది మన విరామానికి చెందినది కాదు మరియు రెండవ మూలం సున్నా కంటే ఎక్కువ మరియు ఒకటి కంటే తక్కువ; ఈ విరామంలో ఇది మా పరిష్కారం.
4) 1 ≤ x<2: x 2 + 2x – (2 – x) = x 2 – x, x 2 + 2x – 2 + x = x 2 – x, 4x = 2, x= 1/2(పరిశీలనలో ఉన్న వ్యవధిలో చేర్చబడలేదు)
5) x ≥ 2: x 2 + 2x –(‒(2 – x)) = x 2 – x, x 2 + 2x + 2 – x = x 2 – x, 2x = – 2, x = ‒1(పరిశీలనలో ఉన్న వ్యవధిలో చేర్చబడలేదు).
సమాధానం: (‒1 + √5)/2 .
ఈ సమీకరణం మునుపటి వాటి మాదిరిగానే పరిష్కరించబడిందని మీరు గమనించారు, వ్యత్యాసం విరామాల సంఖ్యలో ఉంటుంది. మాడ్యూల్ కింద చతురస్రాకార వ్యక్తీకరణలు ఉన్నందున, ఎక్కువ మూలాలు ఉన్నాయి మరియు తదనుగుణంగా ఎక్కువ ఖాళీలు ఉన్నాయి.
కానీ మాడ్యూల్ మాడ్యూల్ కింద ఉన్న సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.
ఉదాహరణ 5. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి |3 – |x – 2|| = 1
సబ్‌మోడ్యులర్ వ్యక్తీకరణ 1 లేదా – 1 విలువను తీసుకోవచ్చు. మనకు రెండు సమీకరణాలు లభిస్తాయి:
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1లేదా 3 ‒ |x ‒ 2|= 1
మేము ప్రతి సమీకరణాన్ని విడిగా పరిష్కరిస్తాము.
1)
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1, ‒|x ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|x ‒ 2|= ‒4, |x ‒ 2|= 4,
x ‒ 2= 4 లేదా x ‒ 2= ‒ 4, మనం ఎక్కడ నుండి పొందుతాము x 1 = 6, x 2 = ‒2.
2)
3 ‒ |x ‒ 2|= 1, ‒|x ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|x – 2|= ‒2, |x – 2|= 2,
x – 2 = 2 లేదా x – 2 = ‒2,
x 3 = 4, x 4 = 0.
ఈ కథనాన్ని అధ్యయనం చేసిన తర్వాత మీరు మాడ్యులో సమీకరణాలను విజయవంతంగా పరిష్కరించగలరని నేను ఆశిస్తున్నాను. మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే, నాతో పాఠాల కోసం సైన్ అప్ చేయండి. ట్యూటర్ వాలెంటినా గాలినెవ్స్కాయ.
వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.
గణితాన్ని పరిష్కరించడానికి. త్వరగా కనుగొనండి గణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంరీతిలో ఆన్లైన్. వెబ్‌సైట్ www.site అనుమతిస్తుంది సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండిదాదాపు ఏదైనా ఇవ్వబడింది బీజగణితం, త్రికోణమితిలేదా ఆన్‌లైన్‌లో అతీంద్రియ సమీకరణం. వివిధ దశల్లో గణితంలో దాదాపు ఏదైనా శాఖను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు మీరు నిర్ణయించుకోవాలి ఆన్‌లైన్‌లో సమీకరణాలు. తక్షణమే సమాధానాన్ని పొందడానికి మరియు ముఖ్యంగా ఖచ్చితమైన సమాధానం పొందడానికి, దీన్ని చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే వనరు మీకు అవసరం. www.site సైట్‌కి ధన్యవాదాలు ఆన్‌లైన్‌లో సమీకరణాలను పరిష్కరించండికొన్ని నిమిషాలు పడుతుంది. గణితాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు www.site యొక్క ప్రధాన ప్రయోజనం ఆన్‌లైన్‌లో సమీకరణాలు- ఇది అందించిన ప్రతిస్పందన యొక్క వేగం మరియు ఖచ్చితత్వం. సైట్ ఏదైనా పరిష్కరించగలదు ఆన్‌లైన్‌లో బీజగణిత సమీకరణాలు, ఆన్‌లైన్‌లో త్రికోణమితి సమీకరణాలు, ఆన్‌లైన్‌లో అతీంద్రియ సమీకరణాలు, మరియు సమీకరణాలుమోడ్‌లో తెలియని పారామితులతో ఆన్లైన్. సమీకరణాలుశక్తివంతమైన గణిత ఉపకరణంగా పనిచేస్తాయి పరిష్కారాలుఆచరణాత్మక సమస్యలు. సహాయంతో గణిత సమీకరణాలుమొదటి చూపులో గందరగోళంగా మరియు సంక్లిష్టంగా అనిపించే వాస్తవాలు మరియు సంబంధాలను వ్యక్తీకరించడం సాధ్యమవుతుంది. తెలియని పరిమాణాలు సమీకరణాలులో సమస్యను సూత్రీకరించడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు గణితశాస్త్రంరూపంలో భాష సమీకరణాలుమరియు నిర్ణయించుకుంటారుమోడ్‌లో పనిని స్వీకరించారు ఆన్లైన్ www.site వెబ్‌సైట్‌లో. ఏదైనా బీజగణిత సమీకరణం, త్రికోణమితి సమీకరణంలేదా సమీకరణాలుకలిగి ఉంది అతీతమైనదిమీరు సులభంగా చేయగల లక్షణాలు నిర్ణయించుకుంటారుఆన్‌లైన్‌లో మరియు ఖచ్చితమైన సమాధానం పొందండి. సహజ శాస్త్రాలను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మీరు తప్పనిసరిగా అవసరాన్ని ఎదుర్కొంటారు సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఈ సందర్భంలో, సమాధానం ఖచ్చితంగా ఉండాలి మరియు మోడ్‌లో వెంటనే పొందాలి ఆన్లైన్. అందువలన కోసం ఆన్‌లైన్‌లో గణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడంమేము www.site సైట్‌ని సిఫార్సు చేస్తున్నాము, ఇది మీ అనివార్యమైన కాలిక్యులేటర్ అవుతుంది బీజగణిత సమీకరణాలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించండి, ఆన్‌లైన్‌లో త్రికోణమితి సమీకరణాలు, మరియు ఆన్‌లైన్‌లో అతీంద్రియ సమీకరణాలులేదా సమీకరణాలుతెలియని పారామితులతో. వివిధ మూలాలను కనుగొనడంలో ఆచరణాత్మక సమస్యల కోసం గణిత సమీకరణాలువనరు www.. పరిష్కరించడం ఆన్‌లైన్‌లో సమీకరణాలుమీరే, అందుకున్న సమాధానాన్ని ఉపయోగించి తనిఖీ చేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఆన్లైన్ సమీకరణ పరిష్కారం www.site వెబ్‌సైట్‌లో. మీరు సమీకరణాన్ని సరిగ్గా వ్రాసి తక్షణమే పొందాలి ఆన్లైన్ పరిష్కారం, ఆ తర్వాత సమీకరణానికి మీ పరిష్కారంతో సమాధానాన్ని సరిపోల్చడమే మిగిలి ఉంది. సమాధానాన్ని తనిఖీ చేయడానికి ఒక నిమిషం కంటే ఎక్కువ సమయం పట్టదు, ఇది సరిపోతుంది ఆన్‌లైన్‌లో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండిమరియు సమాధానాలను సరిపోల్చండి. ఇది లోపాలను నివారించడానికి మీకు సహాయం చేస్తుంది నిర్ణయంమరియు సమయానికి సమాధానాన్ని సరిచేయండి ఆన్‌లైన్‌లో సమీకరణాలను పరిష్కరించడంగాని బీజగణితం, త్రికోణమితి, అతీతమైనదిలేదా సమీకరణంతెలియని పారామితులతో.