బహుపది 7tని ఏ వ్యక్తీకరణతో గుణించాలి? ఫోరియర్ పరివర్తనను ఉపయోగించి బహుపదిలను వేగంగా గుణించడం సులభం

బహుపదిల ఉత్పత్తిని లెక్కించడానికి నియమం.

బహుపదిల ఉత్పత్తిని పరిగణలోకి తీసుకోవడానికి, ముందుగా బహుపది ద్వారా మోనోమియల్‌ను ఎలా గుణించాలో గుర్తుంచుకోండి.

మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి క్రింది విధంగా కనుగొనబడింది:

• ఒక మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి కంపోజ్ చేయబడింది.
• కుండలీకరణాలు తెరవబడతాయి.
• సంఖ్యలు ఒకే సంఖ్యలతో సమూహం చేయబడ్డాయి వేరియబుల్స్ స్నేహితుడుస్నేహితుడితో.
• సంఖ్యలు గుణించబడతాయి మరియు సంబంధిత ఒకేలాంటి వేరియబుల్స్ యొక్క శక్తులు జోడించబడతాయి.

ఇప్పుడు మనం ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి రెండు బహుపదిల గుణకారాన్ని పరిశీలిద్దాం:

ఉదాహరణ 1

బహుపది $x-y+z$ని $\(xy)^5+y^6-(xz)^5$తో గుణిద్దాం.

ముందుగా, బహుపదాల ఉత్పత్తిని వ్రాస్దాం:

\[\ఎడమ(x-y+z\కుడి)((xy)^5+y^6-(xz)^5)\]

కింది ప్రత్యామ్నాయాన్ని చేద్దాం. $x-y+z=t$ని అనుమతించండి, మేము పొందుతాము:

మేము మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తిని పొందాము. పైన పేర్కొన్న నియమాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని కనుగొనండి.

బ్రాకెట్లను విస్తరింపజేద్దాం:

రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\[(\left(x-y+z\right)xy)^5+(\left(x-y+z\right)y)^6-(\left(x-y+z\right)xz) ^5\]

IN ఈ వ్యక్తీకరణమేము మోనోమియల్స్ మరియు బహుపది యొక్క మూడు ఉత్పత్తుల ఉనికిని చూస్తాము. పై నియమాన్ని ఉపయోగించి వాటిని విడిగా కనుగొనండి:

\[(\ఎడమ(x-y+z\కుడి)xy)^5=x(xy)^5-y(xy)^5+z(xy)^5=(x^2y)^5-(xy) )^6+z(xy)^5\] \[(\left(x-y+z\right)y)^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7 +zy^6\] \[(\left(x-y+z\right)xz)^5=x(xz)^5-y(xz)^5+z(xz)^5=x^2z^ 5-xyz^5+(xz)^6\]

మన వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాస్దాం:

\[\ఎడమ((x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5\కుడి)+\ఎడమ(xy^6-y^7+zy^6\కుడి)-(x^ 2z^5-xyz^5+(xz)^6)\]

బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం. బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ గుర్తు ఉంటే, బ్రాకెట్‌లలోని సంకేతాలు మారవు మరియు బ్రాకెట్‌ల ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంటే, బ్రాకెట్‌లలోని సంకేతాలు విరుద్ధంగా మారుతాయని మీకు గుర్తు చేద్దాం. . మాకు దొరికింది

\[(x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6 \]

మాకు బహుపది వచ్చింది. అతన్ని తీసుకురావడమే మిగిలి ఉంది ప్రామాణిక వీక్షణ. మొత్తంగా, సమాధానం ఇలా ఉంటుంది:

\[(x^2y)^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6\]

పొందిన ఫలితాన్ని నిశితంగా పరిశీలిస్తే, మనకు లభిస్తుంది తదుపరి నియమంబహుపదిని బహుపది ద్వారా గుణించడం:

నియమం: బహుపదిని బహుపది ద్వారా గుణించడానికి, మొదటి బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదం ద్వారా గుణించడం, ఫలిత ఉత్పత్తులను జోడించడం మరియు ఫలితంగా వచ్చే బహుపదిని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించడం అవసరం.

ఉదాహరణ 2

$2x+y$ మరియు $x^2+2y+3$ని గుణించండి.

పనిని వ్రాస్దాం:

\[\ఎడమ(2x+y\కుడి)(x^2+2y+3)\]

\[\ఎడమ(2x+y\కుడి)\ఎడమ(x^2+2y+3\కుడి)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]

ఫలితంగా వచ్చే బహుపది ప్రామాణిక రూపాన్ని కలిగి ఉందని మేము చూస్తాము, అంటే గుణకారం పూర్తయింది.

బహుపదుల ఉత్పత్తికి సంబంధించిన సమస్యల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 3

బహుపదిని బహుపది ద్వారా గుణించండి:

ఎ) $(2z+1)\ మరియు\ (z^2-7z-3)$

బి) $(1-4x^2)\ మరియు\ (5y^2-3x-2)$

పరిష్కారం:

ఎ) $(2z+1)\ మరియు\ (z^2-7z-3)$

ఒక భాగాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం:

\[(2z+1)\cdot (z^2-7z-3)\]

బహుపదాల ఉత్పత్తి నియమం ప్రకారం బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం:

బి) $(1-4x^2)\ మరియు\ (5y^2-3x-2)$

ఒక భాగాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం:

\[(1-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)\]

బహుపదాల ఉత్పత్తి నియమం ప్రకారం బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం:

ఫలితంగా బహుపది ప్రామాణిక రూపాన్ని కలిగి ఉందని మేము చూస్తాము, కాబట్టి:

సమాధానం: $5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2$.

c) $(2n-5n^3)\ మరియు\ (3n^2-n^3+n)$

ఒక భాగాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం:

\[(2n-5n^3)\cdot (3n^2-n^3+n)\]

బహుపదాల ఉత్పత్తి నియమం ప్రకారం బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం:

ఇద్దాం బహుపది ఇచ్చారుప్రామాణిక రూపానికి:

d) $(a^2+a+1)\ మరియు\ (a^2-24a+6)$

ఒక భాగాన్ని కంపోజ్ చేద్దాం:

\[(a^2+a+1)\cdot (a^2-24a+6)\]

బహుపదాల ఉత్పత్తి నియమం ప్రకారం బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం:

ఈ బహుపదిని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గిద్దాం.

బహుపదితో కూడిన ఆపరేషన్లలో ఒకటి బహుపదిని బహుపదితో గుణించడం. ఈ వ్యాసంలో మేము అటువంటి గుణకారం యొక్క నియమాన్ని పరిశీలిస్తాము మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి దానిని వర్తింపజేస్తాము.

బహుపదిని బహుపదితో గుణించడం కోసం నియమం

a + b మరియు అనే రెండు బహుపదాలను నిర్వచిద్దాం సి + డిమరియు వాటి గుణకారాన్ని నిర్వహించండి.

అన్నింటిలో మొదటిది, మేము అసలు బహుపదాల ఉత్పత్తిని వ్రాస్తాము: మేము వాటి మధ్య గుణకార చిహ్నాన్ని ఉంచుతాము, గతంలో బహుపదిలను కుండలీకరణాల్లో చేర్చాము. మాకు దొరికింది: (a + b) (c + d). ఇప్పుడు కారకాన్ని సూచిస్తాము (c+d)ఎలా x, అప్పుడు వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది: (a + b) x, ఇది తప్పనిసరిగా బహుపది మరియు మోనోమియల్ యొక్క ఉత్పత్తి. గుణకారం చేద్దాం: (a + b) x = a x + b x, ఆపై దాన్ని తిరిగి భర్తీ చేయండి X on (c + d) : a · (c + d) + b · (c + d) . బహుపదిని మోనోమియల్ ద్వారా గుణించే నియమాన్ని మళ్లీ వర్తింపజేస్తూ, మేము వ్యక్తీకరణను ఇలా మారుస్తాము: a · c + a · d + b · c + b · d. సంగ్రహంగా చెప్పాలంటే: ఇచ్చిన బహుపదాల ఉత్పత్తి a+bమరియు సి + డిసమానత్వానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.

మేము పైన అందించిన తార్కికం ముఖ్యమైన తీర్మానాలు చేయడం సాధ్యపడుతుంది:

1. బహుపదిని బహుపదితో గుణిస్తే వచ్చే ఫలితం బహుపది. ఈ ప్రకటనఏదైనా గుణించగల బహుపదాలకు చెల్లుబాటు అవుతుంది.
2. బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి అనేది ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదం యొక్క ప్రతి పదం మరొక పదం యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం. కలిగి ఉన్న బహుపదిలను గుణించేటప్పుడు మనం ఎక్కడ నిర్ధారించగలము mమరియు nసభ్యులు తదనుగుణంగా, సభ్యుల యొక్క సూచించిన మొత్తం ఉత్పత్తులను కలిగి ఉంటుంది m nనిబంధనలు.

ఇప్పుడు మనం బహుపదాలను గుణించడం కోసం నియమాన్ని రూపొందించవచ్చు:

నిర్వచనం 1

బహుపదిని బహుపది ద్వారా గుణించడానికి, మీరు ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని మరొక బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించాలి మరియు ఫలిత ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని కనుగొనాలి.

బహుపదిని బహుపదితో గుణించే ఉదాహరణలు

IN ఆచరణాత్మక పరిష్కారంబహుపదాల ఉత్పత్తిని కనుగొనడంలో సమస్యలు అనేక వరుస చర్యలుగా కుళ్ళిపోతాయి:

• గుణించిన బహుపదాల ఉత్పత్తిని రికార్డ్ చేయడం (బహుపదిలు బ్రాకెట్లలో జతచేయబడతాయి మరియు వాటి మధ్య గుణకారం గుర్తు వ్రాయబడుతుంది);
• మొదటి బహుపది యొక్క ప్రతి పదం యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని రెండవ ప్రతి పదం ద్వారా నిర్మించడం. ఈ క్రమంలో, మొదటి బహుపది యొక్క మొదటి పదం రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదం ద్వారా గుణించబడుతుంది, తర్వాత మొదటి బహుపది యొక్క రెండవ పదం రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించబడుతుంది మరియు మొదలైనవి;
• వీలైతే, ఫలిత మొత్తం ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపది వలె వ్రాయబడుతుంది.

ఉదాహరణ 1

బహుపదాలు ఇవ్వబడ్డాయి: 2 - 3 xమరియు x 2 - 7 x + 1

పరిష్కారం

అసలు బహుపదాల ఉత్పత్తిని రాద్దాం. మాకు దొరికింది: (2 - 3 x) (x 2 - 7 x + 1).

బహుపది యొక్క ప్రతి పదం యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని కంపైల్ చేయడం తదుపరి దశ 2 - 3 xబహుపది యొక్క ప్రతి పదానికి x 2 - 7 x + 1. నిశితంగా పరిశీలిద్దాం: మొదటి బహుపది (సంఖ్య 2) యొక్క మొదటి పదాన్ని రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదం ద్వారా గుణించండి, మనకు లభిస్తుంది: 2 x 2, 2 (− 7 x) మరియు 2 1. అప్పుడు మనం మొదటి బహుపది యొక్క రెండవ పదాన్ని రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదం ద్వారా గుణిస్తాము మరియు పొందండి: − 3 x x 2, - 3 x (- 7 x) మరియు − 3 x 1. మేము ఫలిత వ్యక్తీకరణలన్నింటినీ మొత్తంగా సేకరిస్తాము: 2 x 2 + 2 (- 7 x) + 2 1 - 3 x x 2 - 3 x (- 7 x) - 3 x 1.

మేము ఏదైనా నిబంధనల ఉత్పత్తిని కోల్పోయామో లేదో తనిఖీ చేద్దాం: దీన్ని చేయడానికి, మేము వ్రాసిన మొత్తంలో పదాల సంఖ్యను తిరిగి గణిస్తాము, మనకు 6 వస్తుంది. ఇది నిజం ఎందుకంటే అసలు బహుపదాలు 2 మరియు 3 పదాలను కలిగి ఉంటాయి, మొత్తం 6ని ఇస్తుంది.

చివరి చర్యవ్రాత మొత్తాన్ని ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిలోకి మారుద్దాం: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 - 3 x x 2 - 3 x (- 7 x) - 3 x 1 = 2 x 2 - 14 x + 2 - 3 x 3 + 21 = x 3 x 21 = (2 x 2 + 21 x 2) + (- 14 x - 3 x) + 2 - 3 x 3 = 23 · x 2 - 17 · x + 2 - 3 · x 3

క్లుప్తంగా వివరణ లేకుండా, పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:

(2 - 3 x) (x 2 - 7 x + 1) = 2 x 2 + 2 (- 7 x) + 2 1 - 3 x x 2 - 3 x (- 7 x) - 3 x 1 = = 2 x − 14 x + 2 - 3 x 3 + 21 x 2 - 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (- 14 x - 3 x) + 2 - 3 x 3 = 23 x 2 − 2 - 3 x 3

సమాధానం: (2 - 3 x) (x 2 - 7 x + 1) = 23 x 2 - 17 x + 2 - 3 x 3.

అసలైన బహుపదాలను ప్రామాణికం కాని రూపంలో ఇచ్చినప్పుడు, వాటి ఉత్పత్తిని కనుగొనే ముందు, వాటిని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించడం మంచిది. ఫలితంగా, వాస్తవానికి, అదే ఉంటుంది, కానీ పరిష్కారం మరింత సౌకర్యవంతంగా మరియు తక్కువగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 2

బహుపదిలు 1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x y x మరియు x y - 1. మీరు వారి పనిని కనుగొనాలి.

పరిష్కారం

ఇచ్చిన బహుపదిలలో ఒకటి ప్రామాణికం కాని రూపంలో వ్రాయబడింది. దీన్ని ప్రామాణిక ఫారమ్‌కి తీసుకురావడం ద్వారా దీన్ని పరిష్కరిద్దాం:

1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x y x = - 3 7 x 2 + 3 x - 2 7 x 2 y = = - 3 7 x 2 y - 2 7 x 2 y + 3 x = - 5 7 x 2 y + 3 x

ఇప్పుడు అవసరమైన ఉత్పత్తిని కనుగొనండి:

5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = = - 5 7 x 2 y x y - 5 7 x 2 y (- 1) + 3 x x · y + 3 · x · (- 1) = = - 5 7 · x 3 · y 2 + 5 7 · x 2 · y + 3 · x 2 · y - 3 · x = - 5 7 · x 3 · y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

సమాధానం:- 5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = - 5 7 x 3 y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

చివరగా, మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ బహుపదిలను గుణించాల్సిన అవసరం ఉన్న పరిస్థితిని స్పష్టం చేద్దాం. ఈ సందర్భంలో, ఉత్పత్తిని కనుగొనడం అనేది బహుపదిల వరుస గుణకారానికి రెండు ద్వారా తగ్గించబడుతుంది: అనగా. మొదట, మొదటి రెండు బహుపదిలు గుణించబడతాయి; పొందిన ఫలితం మూడవ బహుపదితో గుణించబడుతుంది; ఈ గుణకారం యొక్క ఫలితం నాల్గవ బహుపది మరియు మొదలైనవి.

ఉదాహరణ 3

బహుపదాలు ఇవ్వబడ్డాయి: x 2 + x · y - 1 , x + y మరియు 2 · y - 3 . మీరు వారి పనిని కనుగొనాలి.

పరిష్కారం

పనిని రికార్డ్ చేద్దాం: (x 2 + x y - 1) (x + y) (2 y - 3).

మొదటి రెండు బహుపదాలను గుణిస్తే, మనకు లభిస్తుంది: (x 2 + x y - 1) (x + y) = x 2 x + x 2 y + x y x + x y y - 1 x - 1 · y = = x 3 + 2 · x · y + x · y 2 - x - y .

పని యొక్క ప్రారంభ రికార్డింగ్ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: (x 2 + x y - 1) (x + y) (2 y - 3) = (x 3 + 2 x 2 y + x y 2 - x - y) (2 y - 3).

ఈ గుణకారం యొక్క ఫలితాన్ని కనుగొనండి:

(x 3 + 2 x 2 y + x y 2 - x - y) (2 y - 3) = = x 3 2 y + x 3 (- 3) + 2 x 2 y 2 y + 2 x 2 y (− 3 ) + x y 2 2 y + + x y 2 (- 3) - x 2 y - x (− 3) - y · 2 · y - y · (- 3) = = 2 · x 3 · y − 3 + 4 · x 2 · y 2 - 6 · x 2 · y + 2 · x · y 3 - − 3 x y 2 - 2 x y + 3 x - 2 y 2 + 3 y

సమాధానం:

(x 2 + x y - 1) (x + y) (2 y - 3) = 2 x 3 y - 3 x 3 + 4 x 2 y 2 - 6 x 2 y + + 2 x y 3 - 3 x y 2 x y + 3 x - 2 y 2 + 3 y

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

తిరిగి ముందుకు

శ్రద్ధ! స్లయిడ్ ప్రివ్యూలు సమాచార ప్రయోజనాల కోసం మాత్రమే మరియు ప్రదర్శన యొక్క అన్ని లక్షణాలను సూచించకపోవచ్చు. మీకు ఆసక్తి ఉన్నట్లయితే ఈ పని, దయచేసి పూర్తి వెర్షన్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.

పాఠ్య లక్ష్యాలు:(ప్రదర్శన. స్లయిడ్ 2)

విద్యాపరమైన:

• బహుపదిని బహుపదితో గుణించడం కోసం నియమాన్ని పొందండి;
• ఈ నియమాన్ని వర్తించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి.

విద్యాపరమైన:

• శ్రద్ధ అభివృద్ధి;
• అంశంపై జ్ఞానాన్ని విశ్లేషించే మరియు సాధారణీకరించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం;
• మానసిక గణన నైపుణ్యాల అభివృద్ధి.

విద్యాపరమైన:

• చక్కని విద్య;
• విషయంపై స్థిరమైన ఆసక్తిని పెంపొందించడం.

పాఠం రకం: కొత్త జ్ఞానాన్ని అధ్యయనం చేయడం మరియు ప్రారంభంలో ఏకీకృతం చేయడంపై పాఠం.

తరగతుల సమయంలో

I. నోటి పని(ప్రదర్శన. స్లయిడ్ 3)

గుణకారం చేయండి.

a) a (x – y);

బి) 2p (3 - q);

సి) –2x (x – 4);

d) 4y(y 3 + 0.25);

ఇ) - 0.5 సె 2 (సి 3 + 2);

ఇ) –5x (3x 2 – 4);

g) 2a 4 (a 3 - 0.5);

h) –q 7 (q 3 – q 5).

II. కొత్త మెటీరియల్ యొక్క వివరణ (ప్రెజెంటేషన్. స్లయిడ్ 4)

పాఠ్యపుస్తకంలోని అంశాల ప్రకారం వివరణ అనేక దశల్లో నిర్వహించబడుతుంది.

1. బహుపదిని బహుపదితో గుణించడం కోసం నియమాన్ని పొందండి మరియు దానిని దృశ్యమానంగా స్లయిడ్ (లేదా బోర్డు)పై ప్రదర్శించండి:

2. ఫలిత నియమాన్ని రూపొందించండి మరియు దానిని పునరావృతం చేయమని అనేక మంది విద్యార్థులను అడగండి.

3. నియమం యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలను విశ్లేషించండి.

ఎందుకంటే ఈ అంశంవిద్యార్థులకు కొత్తది, రెండు బహుపదాల గుణకార నియమం యొక్క ప్రత్యక్ష అనువర్తనానికి అనేక సాధారణ ఉదాహరణలను ఇవ్వడం మంచిది. కింది పాఠాలలో అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించడం యొక్క ఉదాహరణలను పరిగణించడం మంచిది.

ఉదాహరణ 1.(ప్రెజెంటేషన్. స్లయిడ్ 5) బహుపదిని (3a - 2b) బహుపది (2a + 3b) ద్వారా గుణించండి.

పరిష్కారం: (3a - 2b)(2a + 3b) = 3a * 2a + 3a * 3b + (- 2b) * 2a + (- 2b) * 3b = 6a 2 + 9ab – 4 ab – 6b 2 = 6a 2 + 5ab – 6b 2 .

ఉదాహరణ 2.(ప్రదర్శన. స్లయిడ్ 6) వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x).

పరిష్కారం: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x) = 10x – 2x 2 – 15 + 3x – 12x + 3x 2 = x 2 + x – 15.

ఉదాహరణ 3.(ప్రెజెంటేషన్. స్లయిడ్ 7) దేనికైనా దానిని నిరూపిద్దాం సహజ విలువ n వ్యక్తీకరణ విలువ (n + 1)(n + 2) – (3n – 1)(n + 3) + 5n(n + 2) + n +7 అనేది 3 యొక్క గుణకం.

పరిష్కారం: (p + 1)(p + 2) – (3p - 1)(p + 3) + 5p (p + 2) + p +7 = p 2 + 2p + p + 2 – 3p 2 – 9p + p + 3 + 5p 2 + 10p + p +7 = 3p 2 + 6p + 12 = 3 (p 2 + 2p + 4).

III. సామర్థ్యాలు మరియు నైపుణ్యాల ఏర్పాటు (ప్రెజెంటేషన్. స్లయిడ్ 8)

పాఠం సమయంలో, బహుపదిని బహుపదితో గుణించే నియమాన్ని వారు నేర్చుకున్నారని నిర్ధారించుకోవడానికి మీరు వీలైనంత ఎక్కువ మంది విద్యార్థులను సర్వే చేయాలి. అందువల్ల, ప్రతి పనిని పూర్తి చేయడానికి ఒకేసారి ముగ్గురు విద్యార్థులను బోర్డుకి పిలవవచ్చు.

1. № 677, № 678.

ఈ బహుపది గుణకార సమస్యలలో, ప్రతి కారకం సరళంగా ఉంటుంది. విద్యార్థులు సంబంధిత నియమం యొక్క దరఖాస్తు యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని పర్యవేక్షించడం మరియు సంకేతాలలో తప్పులు చేయకపోవడం చాలా ముఖ్యం.

2. № 680.

ఈ పనులు కొంత కష్టతరమైనవి, ఎందుకంటే బహుపదిలను గుణించడం కోసం నియమాలను వర్తింపజేయడంతో పాటు, విద్యార్ధులు శక్తుల లక్షణాలను గుర్తుంచుకోవాలి.

c) 12a 4 – a 2 b 2 – b 4;

ఇ) 56p 3 - 51p 2 + 10p.

3. № 682 (ఎ, సి).

a) (x + 10) 2 = (x + 10) (x + 10) = x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100;

c) (3a – 1) 2 = (3a – 1) (3a – 1) = 9a 2 – 3a – 3a – 1 = 9a 2 – 6a + 1.

IV. పాఠం సారాంశం (ప్రెజెంటేషన్. స్లయిడ్ 9)

– మోనోమియల్‌ని బహుపది ద్వారా గుణించడం ఎలా?

– బహుపదిని బహుపదితో గుణించడం కోసం నియమాన్ని రూపొందించండి.

- బహుపదిలను గుణించడం ద్వారా పొందిన పదాలు ఏ సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి:

a) (x + y) (a - b);

బి) (n – m) (p – q)?

వి. ఇంటి పని: (ప్రదర్శన. స్లయిడ్ 10)

నం. 679; నం. 681; నం. 682 (బి, డి).

ఉపయోగించిన పాఠ్యపుస్తకాలు మరియు టీచింగ్ ఎయిడ్స్: (ప్రదర్శన. స్లయిడ్ 11)

1. పాఠ్య పుస్తకం "ఆల్జీబ్రా 7". Yu.N. మకరిచెవ్, N.G. మిన్డ్యూక్, K.I. నెష్కోవ్, S.B. సువోరోవా, S.A. టెల్యకోవ్స్కీచే సవరించబడింది. మాస్కో "జ్ఞానోదయం". 2010.
2. రురుకిన్ A.N., లుపెంకో G.V., మస్లెన్నికోవా I.A. పాఠం-ఆధారిత పరిణామాలుబీజగణితంలో: 7వ తరగతి.

ఉపయోగించిన డిజైన్.

మేము బహుపదాలతో చర్యలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ వ్యాసంలో మనం పరిశీలిస్తాము బహుపదిని బహుపదితో గుణించడం. ఇక్కడ మేము గుణకారం నియమాన్ని పొందుతాము, దాని తర్వాత మేము వివిధ రకాల బహుపదాల గుణకారం యొక్క ఉదాహరణలను పరిష్కరించడంలో దాని అనువర్తనాన్ని పరిశీలిస్తాము.

పేజీ నావిగేషన్.

నియమం

బహుపదిని బహుపది ద్వారా గుణించడం కోసం నియమాన్ని చేరుకోవడానికి, ఒక ఉదాహరణను పరిగణించండి. a+b మరియు c+d అనే రెండు బహుపదాలను తీసుకొని వాటిని గుణిద్దాం.

ముందుగా, వాటి ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేద్దాం; దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రతి బహుపదిని బ్రాకెట్లలో జతచేస్తాము మరియు వాటి మధ్య గుణకారం గుర్తును ఉంచుతాము, మనకు (a+b)·(c+d) . ఇప్పుడు మనం (c+d)ని xగా సూచిస్తాము, ఈ భర్తీ తర్వాత వ్రాసిన ఉత్పత్తి ఫారమ్ (a+b) xని తీసుకుంటుంది. బహుపదిని మోనోమియల్‌తో గుణించిన విధంగానే గుణకారాన్ని చేద్దాం: (a+b) x=a x+b x . ఈ దశలో, మేము xని c+dతో రివర్స్‌గా భర్తీ చేస్తాము, ఇది మనల్ని a·(c+d)+b·(c+d) అనే వ్యక్తీకరణకు దారి తీస్తుంది, ఇది బహుపదితో మోనోమియల్‌ని గుణించే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తుంది, a·c+a· d+b·c+b·d రూపంలోకి రూపాంతరం చెందింది. అందువలన, అసలైన బహుపదాల గుణకారం a+b మరియు c+d సమానత్వానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d.

పై తర్కం నుండి, రెండు తీర్మానాలు చేయవచ్చు: ముఖ్యమైన ముగింపులు. మొదటిది, బహుపదిని బహుపదితో గుణిస్తే వచ్చే ఫలితం బహుపది. ఈ ప్రకటన మనం ఉదాహరణలో తీసుకున్న వాటికి మాత్రమే కాకుండా, ఏదైనా గుణించగల బహుపదాలకు వర్తిస్తుంది. రెండవది, బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదం యొక్క ప్రతి పదం యొక్క ఇతర పదాల మొత్తానికి సమానం. ఇది వరుసగా m మరియు n పదాలను కలిగి ఉన్న బహుపదిలను గుణించేటప్పుడు, పదాల ఉత్పత్తుల యొక్క పేర్కొన్న మొత్తం m n పదాలను కలిగి ఉంటుంది.

ఇప్పుడు గీసిన ముగింపులు బహుపదిలను గుణించడం కోసం నియమాన్ని రూపొందించడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి:
బహుపదిని బహుపదితో గుణించడానికి, మీరు ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని మరొక బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించాలి మరియు ఫలిత ఉత్పత్తులను జోడించాలి.

బహుపదిని బహుపదితో గుణించే ఉదాహరణలు

ఆచరణలో, ఉదాహరణలను పరిష్కరించేటప్పుడు, బహుపదిని బహుపది ద్వారా గుణించే నియమం మునుపటి పేరా, వరుస దశలుగా విభజించబడింది:

• గుణించబడే బహుపదాల ఉత్పత్తిని మొదట ఈ విధంగా వ్రాస్తారు. ఈ సందర్భంలో, గుణించవలసిన బహుపదాలు బ్రాకెట్లలో జతచేయబడతాయి మరియు వాటి మధ్య "·" గుర్తు ఉంచబడుతుంది.
• తరువాత, మొదటి బహుపది యొక్క ప్రతి పదం మరియు రెండవ పదం యొక్క ప్రతి పదం యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం నిర్మించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి బహుపది యొక్క మొదటి పదాన్ని తీసుకోండి మరియు రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించండి. దీని తరువాత, మొదటి బహుపది యొక్క రెండవ పదం తీసుకోబడుతుంది మరియు రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో కూడా గుణించబడుతుంది. మరియు అందువలన న.
• చివరగా, వీలైతే, ఫలిత మొత్తాన్ని ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిలోకి మార్చడం మిగిలి ఉంది.

దీన్ని ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణతో చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

బహుపదిలను 2−3 x మరియు x 2 -7 x+1 గుణించండి.

పరిష్కారం.

మేము ఉత్పత్తిని వ్రాస్తాము: (2−3·x)·(x 2 -7·x+1) .

ఇప్పుడు మనం బహుపది 2−3·x యొక్క ప్రతి పదం యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని బహుపది x 2−7·x+1 యొక్క ప్రతి పదం ద్వారా కంపోజ్ చేస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదటి బహుపది యొక్క మొదటి పదాన్ని తీసుకుంటాము, అనగా 2, మరియు దానిని రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో గుణిస్తే, మనకు 2·x2, 2·(−7·x) మరియు 2·1 ఉంటాయి. ఇప్పుడు మనం మొదటి బహుపది −3 x యొక్క రెండవ పదాన్ని తీసుకుంటాము మరియు దానిని రెండవ బహుపది యొక్క ప్రతి పదంతో గుణిస్తాము, మనకు −3 x x 2, -3 x (−7 x) మరియు −3 x 1 ఉన్నాయి. పొందిన అన్ని వ్యక్తీకరణల నుండి మనం మొత్తాన్ని తయారు చేస్తాము: 2 x 2 +2 (−7 x)+2 1− 3 x x 2 -3 x (−7 x)−3 x 1.

మేము ప్రతిదీ సరిగ్గా చేశామని మరియు ఏదైనా నిబంధనల ఉత్పత్తి గురించి మర్చిపోలేదని నిర్ధారించుకోవడానికి, ఫలిత మొత్తంలో నిబంధనల సంఖ్యను లెక్కించండి. వాటిలో 6 ఉన్నాయి. అసలు బహుపదాలు 2 మరియు 3 పదాలను మరియు 2·3=6ని కలిగి ఉంటాయి కాబట్టి ఇది ఇలాగే ఉంటుంది.

ఫలిత మొత్తాన్ని ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదిలోకి మార్చడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:
2 x 2 +2 (−7 x)+2 1− 3 x x 2 -3 x (−7 x)−3 x 1= 23 x 2 -17 x+2−3 x 3 .

ఈ విధంగా, అసలు బహుపదిలను గుణించడం వలన బహుపది 23 x 2 -17 x+2−3 x 3 వస్తుంది.

సమానత్వం యొక్క గొలుసు రూపంలో పరిష్కారాన్ని వ్రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, ఇది ప్రదర్శించిన అన్ని చర్యలను ప్రతిబింబిస్తుంది. మా ఉదాహరణ కోసం చిన్న పరిష్కారంఅలా కనిపిస్తుంది:
(2−3 x) (x 2 -7 x+1)= 2 x 2 +2 (−7 x)+2 1− 3 x x 2 -3 x (−7 x)−3 x 1= 2 x 2 -14 x+2−3 x 3 +21 x 2 -3 x= (2 x 2 +21 x 2)+(-14 x−3 x)+2−3 x 3 = 23 x 2 -17 x+2−3 x 3 .

సమాధానం:

(2−3 x) (x 2 -7 x+1)=23 x 2 -17 x+2−3 x 3.

గుణించవలసిన బహుపదాలు ప్రామాణిక రూపానికి భిన్నమైన రూపంలో ఇచ్చినట్లయితే, గుణించే ముందు వాటిని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించడం మంచిది. అసలైన నాన్-స్టాండర్డ్ రూపంలో బహుపదిలను గుణించినప్పుడు ఫలితం అదే విధంగా ఉంటుంది, కానీ పరిష్కారం చాలా తక్కువగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ.

బహుపదాలు మరియు x·y−1 గుణకారాన్ని అమలు చేయండి.

పరిష్కారం.

బహుపది ప్రామాణిక రూపంలో ఇవ్వబడలేదు. గుణకారం చేసే ముందు, బహుపదిని దాని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గిద్దాం:

ఇప్పుడు మీరు బహుపదిలను గుణించవచ్చు:

సమాధానం:

ముగింపులో, కొన్నిసార్లు మీరు మూడు, నాలుగు మరియు గుణించాలి మరింతబహుపదాలు. ఇది రెండు బహుపదిల వరుస గుణకారానికి వస్తుంది. అంటే, మొదట మొదటి రెండు బహుపదిలు గుణించబడతాయి, ఫలితంగా వచ్చే ఫలితం మూడవ బహుపదితో గుణించబడుతుంది, ఈ ఫలితం నాల్గవ బహుపదితో గుణించబడుతుంది మరియు మొదలైనవి.

ఉదాహరణ.

మూడు బహుపదాల x 2 +x·y−1, x+y మరియు 2·y−3 ల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.

గ్రంథ పట్టిక.

• బీజగణితం:పాఠ్యపుస్తకం 7వ తరగతి కోసం సాధారణ విద్య సంస్థలు / [యు. N. మకరిచెవ్, N. G. మిండియుక్, K. I. నెష్కోవ్, S. B. సువోరోవా]; ద్వారా సవరించబడింది S. A. టెల్యకోవ్స్కీ. - 17వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2008. - 240 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• మోర్డ్కోవిచ్ A. G.బీజగణితం. 7వ తరగతి. మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు పార్ట్ 1. విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం విద్యా సంస్థలు/ A. G. మోర్డ్కోవిచ్. - 17వ ఎడిషన్, యాడ్. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: అనారోగ్యం. ISBN 978-5-346-02432-3.
• బీజగణితంమరియు ప్రారంభించారు గణిత విశ్లేషణ. 10వ తరగతి: పాఠ్య పుస్తకం. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు: ప్రాథమిక మరియు ప్రొఫైల్. స్థాయిలు / [యు. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. ఫెడోరోవా, M. I. షాబునిన్]; ద్వారా సవరించబడింది A. B. జిజ్చెంకో. - 3వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.- 368 p. : అనారోగ్యం. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• గుసేవ్ V. A., మోర్డ్కోవిచ్ A. G.గణితం (సాంకేతిక పాఠశాలల్లోకి ప్రవేశించే వారి కోసం ఒక మాన్యువల్): Proc. భత్యం.- M.; ఉన్నత పాఠశాల, 1984.-351 p., అనారోగ్యం.