సగటు మరియు రూట్ మీన్ స్క్వేర్ విలువలు ప్రదర్శించబడ్డాయి. సహజ మరియు దశాంశ భిన్నాలు

రెండు నాన్-నెగటివ్ సంఖ్యల సగటు వర్గము a, b అనేది నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య, దీని స్క్వేర్ a మరియు b సంఖ్యల వర్గాల యొక్క అంకగణిత సగటు, అనగా సంఖ్య

సమస్య 351. నిర్వచనం అంకగణిత సగటుతో వ్యవహరిస్తుంది. మీరు దానిని రేఖాగణిత సగటుతో భర్తీ చేస్తే ఏమి జరుగుతుంది?

సమస్య 352. రెండు సంఖ్యల సగటు స్క్వేర్ వాటి అంకగణిత సగటు కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉందని నిరూపించండి:

(ఉదాహరణకు, 0 మరియు a సంఖ్యల స్క్వేర్ మీన్ సమానం , మరియు అంకగణిత సగటు సమానం )

పరిష్కారం. చతురస్రాలను సరిపోల్చండి మరియు నిరూపించండి

4 ద్వారా గుణించండి మరియు బ్రాకెట్లను తెరవండి

మళ్ళీ ఎడమ వైపు ఒక చతురస్రం మరియు అందువల్ల ప్రతికూలం కాదు.

సమస్య 353. a మరియు b దేనికి స్క్వేర్ మీన్ అంకగణిత సగటుకు సమానం?

సమస్య 354. రేఖాగణిత సగటు క్వాడ్రాటిక్ మీన్‌ను మించదని నిరూపించండి.

రేఖాగణిత దృష్టాంతం అంజీర్‌లో చూపబడింది. 31. గ్రాఫ్ గీద్దాం. పాయింట్‌లను దానిపై ఉన్న కోఆర్డినేట్‌లతో సెగ్మెంట్‌తో కనెక్ట్ చేద్దాం. ఈ సెగ్మెంట్ మధ్యలో కోఆర్డినేట్‌లు ఉంటాయి, అవి చివరల కోఆర్డినేట్‌ల యొక్క అంకగణిత సగటు, అనగా.

గ్రాఫ్‌లో దాని క్రింద ఒక పాయింట్ ఉంది

అందువల్ల, అంకగణిత సగటు మరియు సగటు చతురస్రం గురించి అసమానత అంటే గ్రాఫ్ కుంభాకారంగా క్రిందికి ఉంటుంది (వక్రరేఖ తీగ క్రింద ఉంటుంది.

సమస్య 355. x మరియు y అక్షాలను మార్చుకోవడం ద్వారా, గ్రాఫ్ నుండి మనం ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పొందుతాము, ఇది ఏదైనా దాని తీగల పైన ఉంది (Fig. 32 చూడండి). ఇది ఏ అసమానతకు అనుగుణంగా ఉంటుంది?

ఏదైనా నాన్-నెగటివ్ a మరియు b కోసం అని ఇప్పుడు మనకు తెలుసు

ఈ మూడు రకాల సగటు కోసం, మేము పాయింట్లను (a, b) గీస్తాము, దీని కోసం సగటు 1 మించదు (Fig. 33 a-c చూడండి).

వాటిని ఒక చిత్రంలో కలపడం (Fig. 34), మేము పెద్ద సగటు, చిన్న సంబంధిత ప్రాంతం అని చూస్తాము.

సమస్య 356. మూడు సంఖ్యల కోసం అంకగణిత సగటు మరియు సగటు వర్గానికి సంబంధించిన అసమానతను నిరూపించండి:

సమస్య 357. (ఎ) రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల మొత్తం 2. వాటి వర్గాల మొత్తం కనిష్ట విలువ ఎంత?

(బి) మూడు ధనాత్మక సంఖ్యల స్క్వేర్‌ల మొత్తానికి ఒకే ప్రశ్న, దీని మొత్తం 3.

మొత్తంలో ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పరిమాణం యొక్క సాధారణీకరించే లక్షణంగా నిర్వచించబడింది. ఇది అంకగణిత సగటు నుండి లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువల యొక్క సగటు వర్గ విచలనం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం, అనగా. యొక్క మూలం మరియు ఇలా కనుగొనవచ్చు:

1. ప్రాథమిక వరుస కోసం:

2. వైవిధ్య శ్రేణి కోసం:

ప్రామాణిక విచలనం సూత్రం యొక్క రూపాంతరం ఆచరణాత్మక గణనలకు మరింత అనుకూలమైన రూపానికి తీసుకువస్తుంది:

ప్రామాణిక విచలనంనిర్దిష్ట ఎంపికలు వాటి సగటు విలువ నుండి సగటున ఎంత వైదొలగుతున్నాయో నిర్ణయిస్తుంది మరియు ఇది ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క సంపూర్ణ కొలత మరియు ఎంపికల వలె అదే యూనిట్లలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది మరియు అందువల్ల బాగా వివరించబడుతుంది.

ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణలు: ,

ప్రత్యామ్నాయ లక్షణాల కోసం, ప్రామాణిక విచలనం సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఇక్కడ p అనేది నిర్దిష్ట లక్షణాన్ని కలిగి ఉన్న జనాభాలోని యూనిట్ల నిష్పత్తి;

q అనేది ఈ లక్షణం లేని యూనిట్ల నిష్పత్తి.

సగటు సరళ విచలనం యొక్క భావన

సగటు సరళ విచలనంనుండి వ్యక్తిగత ఎంపికల విచలనాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుగా నిర్వచించబడింది.

1. ప్రాథమిక వరుస కోసం:

2. వైవిధ్య శ్రేణి కోసం:

మొత్తం n ఎక్కడ ఉంది వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీల మొత్తం.

సగటు సరళ విచలనాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణ:

వైవిధ్యం యొక్క పరిధిపై వ్యాప్తి యొక్క కొలతగా సగటు సంపూర్ణ విచలనం యొక్క ప్రయోజనం స్పష్టంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఈ కొలత సాధ్యమయ్యే అన్ని విచలనాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కానీ ఈ సూచిక ముఖ్యమైన లోపాలను కలిగి ఉంది. విచలనాల యొక్క బీజగణిత సంకేతాల యొక్క ఏకపక్ష తిరస్కరణ ఈ సూచిక యొక్క గణిత శాస్త్ర లక్షణాలు ప్రాథమికానికి దూరంగా ఉన్నాయనే వాస్తవానికి దారి తీస్తుంది. సంభావ్య గణనలతో కూడిన సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఇది సగటు సంపూర్ణ విచలనాన్ని ఉపయోగించడం చాలా కష్టతరం చేస్తుంది.

అందువల్ల, ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క కొలతగా సగటు సరళ విచలనం గణాంక ఆచరణలో చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది, అనగా ఖాతా సంకేతాలను తీసుకోకుండా సూచికలను సంగ్రహించడం ఆర్థిక అర్ధవంతం. దాని సహాయంతో, ఉదాహరణకు, విదేశీ వాణిజ్యం యొక్క టర్నోవర్, కార్మికుల కూర్పు, ఉత్పత్తి యొక్క లయ మొదలైనవి విశ్లేషించబడతాయి.

చదరపు అర్థం

సగటు చతురస్రం వర్తింపజేయబడింది, ఉదాహరణకు, n చదరపు విభాగాల భుజాల సగటు పరిమాణాన్ని లెక్కించేందుకు, ట్రంక్లు, పైపులు మొదలైన వాటి యొక్క సగటు వ్యాసాలు ఇది రెండు రకాలుగా విభజించబడింది.

సాధారణ సగటు చతురస్రం. ఒక లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువలను సగటు విలువతో భర్తీ చేసేటప్పుడు, అసలు విలువల యొక్క చతురస్రాల మొత్తాన్ని మార్చకుండా ఉంచడం అవసరం అయితే, సగటు చతురస్రాకార సగటు విలువ అవుతుంది.

ఇది వ్యక్తిగత లక్షణ విలువల యొక్క స్క్వేర్‌ల మొత్తాన్ని వాటి సంఖ్యతో విభజించే గుణకం యొక్క వర్గమూలం:

బరువున్న సగటు చతురస్రం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

ఇక్కడ f అనేది బరువు గుర్తు.

సగటు క్యూబిక్

సగటు క్యూబిక్ వర్తిస్తుంది, ఉదాహరణకు, ఒక వైపు మరియు ఘనాల యొక్క సగటు పొడవును నిర్ణయించేటప్పుడు. ఇది రెండు రకాలుగా విభజించబడింది.
సాధారణ క్యూబిక్:

విరామ పంపిణీ శ్రేణిలో సగటు విలువలు మరియు వ్యాప్తిని లెక్కించేటప్పుడు, లక్షణం యొక్క నిజమైన విలువలు విరామాల యొక్క కేంద్ర విలువలతో భర్తీ చేయబడతాయి, ఇవి విరామంలో చేర్చబడిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి. వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించేటప్పుడు ఇది క్రమబద్ధమైన లోపానికి దారితీస్తుంది. వి.ఎఫ్. అని షెపర్డ్ నిర్ణయించాడు వ్యత్యాస గణనలో లోపం, సమూహ డేటాను ఉపయోగించడం వల్ల ఏర్పడుతుంది, వ్యత్యాసం యొక్క పైకి మరియు క్రిందికి రెండింటిలోనూ విరామం యొక్క స్క్వేర్‌లో 1/12 ఉంటుంది.

షెప్పర్డ్ సవరణపంపిణీ సాధారణ స్థాయికి దగ్గరగా ఉంటే, వైవిధ్యం యొక్క నిరంతర స్వభావానికి సంబంధించిన లక్షణానికి సంబంధించినది మరియు ప్రారంభ డేటా (n > 500) యొక్క గణనీయమైన మొత్తంపై ఆధారపడి ఉంటే ఉపయోగించాలి. అయితే, కొన్ని సందర్భాల్లో రెండు లోపాలు, వేర్వేరు దిశల్లో పని చేయడం, ఒకదానికొకటి భర్తీ చేయడం అనే వాస్తవం ఆధారంగా, కొన్నిసార్లు దిద్దుబాట్లను పరిచయం చేయడానికి నిరాకరించడం సాధ్యమవుతుంది.

చిన్న వ్యత్యాసం మరియు ప్రామాణిక విచలనం, మరింత సజాతీయ జనాభా మరియు మరింత సాధారణ సగటు ఉంటుంది.
గణాంకాల ఆచరణలో, వివిధ లక్షణాల యొక్క వైవిధ్యాలను పోల్చడం తరచుగా అవసరం. ఉదాహరణకు, కార్మికుల వయస్సు మరియు వారి అర్హతలు, సేవ యొక్క పొడవు మరియు వేతనాలు, ఖర్చులు మరియు లాభాలు, సేవ యొక్క పొడవు మరియు కార్మిక ఉత్పాదకత మొదలైనవాటిలో వైవిధ్యాలను పోల్చడం చాలా ఆసక్తిని కలిగిస్తుంది. అటువంటి పోలికలకు, లక్షణాల యొక్క సంపూర్ణ వైవిధ్యం యొక్క సూచికలు తగనివి: సంవత్సరాలలో వ్యక్తీకరించబడిన పని అనుభవం యొక్క వైవిధ్యాన్ని, రూబిళ్లలో వ్యక్తీకరించబడిన వేతనాల వైవిధ్యంతో పోల్చడం అసాధ్యం.

అటువంటి పోలికలను నిర్వహించడానికి, అలాగే వివిధ అంకగణిత సగటులతో అనేక జనాభాలో ఒకే లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పోలికలు, వైవిధ్యం యొక్క సాపేక్ష సూచిక ఉపయోగించబడుతుంది - వైవిధ్యం యొక్క గుణకం.

నిర్మాణ సగటులు

గణాంక పంపిణీలలో కేంద్ర ధోరణిని వర్గీకరించడానికి, అంకగణిత సగటుతో పాటు, లక్షణం X యొక్క నిర్దిష్ట విలువను ఉపయోగించడం తరచుగా హేతుబద్ధంగా ఉంటుంది, ఇది పంపిణీ శ్రేణిలో దాని స్థానం యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణాల కారణంగా, దాని స్థాయిని వర్గీకరించవచ్చు.

పంపిణీ శ్రేణిలో ఒక లక్షణం యొక్క విపరీతమైన విలువలు అస్పష్టమైన సరిహద్దులను కలిగి ఉన్నప్పుడు ఇది చాలా ముఖ్యం. ఈ విషయంలో, అంకగణిత సగటు యొక్క ఖచ్చితమైన నిర్ణయం సాధారణంగా అసాధ్యం లేదా చాలా కష్టం. అటువంటి సందర్భాలలో, సగటు స్థాయిని తీసుకోవడం ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు, ఉదాహరణకు, ఫ్రీక్వెన్సీ సిరీస్ మధ్యలో ఉన్న లేదా ప్రస్తుత శ్రేణిలో చాలా తరచుగా సంభవించే లక్షణం యొక్క విలువ.

ఇటువంటి విలువలు పౌనఃపున్యాల స్వభావంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటాయి, అనగా పంపిణీ నిర్మాణంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. అవి పౌనఃపున్యాల శ్రేణిలో విలక్షణమైనవి, అందువల్ల అటువంటి విలువలు పంపిణీ కేంద్రం యొక్క లక్షణాలుగా పరిగణించబడతాయి మరియు అందువల్ల నిర్మాణాత్మక సగటుల నిర్వచనాన్ని పొందింది. అవి గుణ విలువల పంపిణీ శ్రేణి యొక్క అంతర్గత నిర్మాణం మరియు నిర్మాణాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ఉపయోగించబడతాయి. అటువంటి సూచికలలో ఇవి ఉన్నాయి:

వైవిధ్యం యొక్క అత్యంత ఖచ్చితమైన లక్షణం సగటు చదరపు విచలనం, దీనిని ప్రామాణికం (లేదా ప్రామాణిక విచలనం) అంటారు. ప్రామాణిక విచలనం() అంకగణిత సగటు నుండి లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువల యొక్క సగటు వర్గ విచలనం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం:

ప్రామాణిక విచలనం సులభం:

సమూహ డేటాకు బరువున్న ప్రామాణిక విచలనం వర్తించబడుతుంది:

సాధారణ పంపిణీ పరిస్థితుల్లో రూట్ మీన్ స్క్వేర్ మరియు మీన్ లీనియర్ విచలనాల మధ్య కింది నిష్పత్తి ఏర్పడుతుంది: ~ 1.25.

ప్రామాణిక విచలనం, వైవిధ్యం యొక్క ప్రధాన సంపూర్ణ కొలత, సాధారణ పంపిణీ వక్రరేఖ యొక్క ఆర్డినేట్ విలువలను నిర్ణయించడంలో, నమూనా పరిశీలన యొక్క సంస్థకు సంబంధించిన గణనలలో మరియు నమూనా లక్షణాల యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని స్థాపించడంలో, అలాగే అంచనా వేయడంలో ఉపయోగించబడుతుంది. సజాతీయ జనాభాలో ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పరిమితులు.

వ్యాప్తి, దాని రకాలు, ప్రామాణిక విచలనం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వైవిధ్యం- ఇచ్చిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ్యాప్తి యొక్క కొలత, అనగా, గణిత అంచనా నుండి దాని విచలనం. గణాంకాలలో, సంజ్ఞామానం లేదా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. వైవిధ్యం యొక్క వర్గమూలాన్ని ప్రామాణిక విచలనం, ప్రామాణిక విచలనం లేదా ప్రామాణిక వ్యాప్తి అంటారు.

మొత్తం వైవిధ్యం (σ 2) ఈ వైవిధ్యానికి కారణమైన అన్ని కారకాల ప్రభావంతో ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని పూర్తిగా కొలుస్తుంది. అదే సమయంలో, సమూహ పద్ధతికి ధన్యవాదాలు, సమూహ లక్షణం మరియు లెక్కించబడని కారకాల ప్రభావంతో ఉత్పన్నమయ్యే వైవిధ్యం కారణంగా వైవిధ్యాన్ని గుర్తించడం మరియు కొలవడం సాధ్యమవుతుంది.

ఇంటర్‌గ్రూప్ వైవిధ్యం (σ 2 మి.గ్రా) క్రమబద్ధమైన వైవిధ్యాన్ని వర్ణిస్తుంది, అనగా, లక్షణం యొక్క ప్రభావంతో ఉత్పన్నమయ్యే అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క విలువలో తేడాలు - సమూహం యొక్క ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రామాణిక విచలనం(పర్యాయపదాలు: ప్రామాణిక విచలనం, ప్రామాణిక విచలనం, చదరపు విచలనం; సంబంధిత నిబంధనలు: ప్రామాణిక విచలనం, ప్రామాణిక వ్యాప్తి) - సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు గణాంకాలలో, దాని గణిత అంచనాకు సంబంధించి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల వ్యాప్తికి అత్యంత సాధారణ సూచిక. విలువల నమూనాల పరిమిత శ్రేణులతో, గణిత అంచనాకు బదులుగా, నమూనాల సమితి యొక్క అంకగణిత సగటు ఉపయోగించబడుతుంది.

ప్రామాణిక విచలనం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క యూనిట్లలో కొలవబడుతుంది మరియు అంకగణిత సగటు యొక్క ప్రామాణిక లోపాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, విశ్వాస అంతరాలను నిర్మించేటప్పుడు, గణాంకపరంగా పరికల్పనలను పరీక్షించేటప్పుడు, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మధ్య సరళ సంబంధాన్ని కొలిచేటప్పుడు ఉపయోగించబడుతుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క భేదం యొక్క వర్గమూలంగా నిర్వచించబడింది.

ప్రామాణిక విచలనం:

ప్రామాణిక విచలనం(యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం యొక్క అంచనా xదాని వైవిధ్యం యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనా ఆధారంగా దాని గణిత నిరీక్షణకు సంబంధించి):

వ్యాప్తి ఎక్కడ ఉంది; - iఎంపిక యొక్క మూలకం; - నమూనా పరిమాణం; - నమూనా యొక్క అంకగణిత సగటు:

రెండు అంచనాలు పక్షపాతంగా ఉన్నాయని గమనించాలి. సాధారణ సందర్భంలో, నిష్పాక్షికమైన అంచనాను నిర్మించడం అసాధ్యం. అయితే, నిష్పాక్షికమైన వ్యత్యాస అంచనా ఆధారంగా అంచనా స్థిరంగా ఉంటుంది.

మోడ్ మరియు మధ్యస్థాన్ని నిర్ణయించడానికి సారాంశం, పరిధి మరియు విధానం.

గణాంకాలలో శక్తి సగటులతో పాటు, విభిన్న లక్షణం యొక్క విలువ యొక్క సాపేక్ష లక్షణం మరియు పంపిణీ శ్రేణి యొక్క అంతర్గత నిర్మాణం కోసం, నిర్మాణాత్మక సగటులు ఉపయోగించబడతాయి, ఇవి ప్రధానంగా సూచించబడతాయి ఫ్యాషన్ మరియు మధ్యస్థ.

ఫ్యాషన్- ఇది సిరీస్ యొక్క అత్యంత సాధారణ రూపాంతరం. ఫ్యాషన్ ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, కస్టమర్లలో ఎక్కువ డిమాండ్ ఉన్న బట్టలు మరియు బూట్ల పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడంలో. వివిక్త శ్రేణికి సంబంధించిన మోడ్ అత్యధిక పౌనఃపున్యం కలిగినది. విరామ వైవిధ్య శ్రేణి కోసం మోడ్‌ను లెక్కించేటప్పుడు, మీరు మొదట మోడల్ విరామాన్ని (గరిష్ట ఫ్రీక్వెన్సీ ఆధారంగా) నిర్ణయించాలి, ఆపై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లక్షణం యొక్క మోడల్ విలువ యొక్క విలువను నిర్ణయించాలి:

- - ఫ్యాషన్ విలువ

- — మోడల్ విరామం యొక్క తక్కువ పరిమితి

- — విరామం పరిమాణం

- — మోడల్ విరామం ఫ్రీక్వెన్సీ

- — మోడల్‌కు ముందు విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ

- — మోడల్ తరువాత విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ

మధ్యస్థ -ఇది ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణికి ఆధారమైన మరియు ఈ శ్రేణిని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించే లక్షణం యొక్క విలువ.

పౌనఃపున్యాల సమక్షంలో వివిక్త శ్రేణిలో మధ్యస్థాన్ని నిర్ణయించడానికి, ముందుగా పౌనఃపున్యాల సగం మొత్తాన్ని లెక్కించి, ఆపై వేరియంట్ యొక్క ఏ విలువ దానిపై పడుతుందో నిర్ణయించండి. (క్రమబద్ధీకరించబడిన శ్రేణిలో బేసి సంఖ్య లక్షణాలు ఉంటే, మధ్యస్థ సంఖ్య సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

M e = (n (మొత్తం లక్షణాల సంఖ్య) + 1)/2,

సరి సంఖ్య లక్షణాల విషయంలో, మధ్యస్థం అడ్డు వరుస మధ్యలో ఉన్న రెండు లక్షణాల సగటుకు సమానంగా ఉంటుంది).

లెక్కించేటప్పుడు మధ్యస్థులువిరామ వైవిధ్య శ్రేణి కోసం, మొదట మధ్యస్థం ఉన్న మధ్యస్థ విరామాన్ని నిర్ణయించండి, ఆపై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మధ్యస్థ విలువను నిర్ణయించండి:

- — అవసరమైన మధ్యస్థం

- - మధ్యస్థాన్ని కలిగి ఉన్న విరామం యొక్క తక్కువ పరిమితి

- — విరామం పరిమాణం

- — ఫ్రీక్వెన్సీల మొత్తం లేదా సిరీస్ నిబంధనల సంఖ్య

మధ్యస్థానికి ముందు విరామాల సంచిత పౌనఃపున్యాల మొత్తం

- — మధ్యస్థ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ

ఉదాహరణ. మోడ్ మరియు మధ్యస్థాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:
ఈ ఉదాహరణలో, మోడల్ విరామం 25-30 సంవత్సరాల వయస్సులో ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఈ విరామం అత్యధిక పౌనఃపున్యం (1054) కలిగి ఉంటుంది.

మోడ్ యొక్క పరిమాణాన్ని గణిద్దాం:

అంటే విద్యార్థుల మోడల్ వయసు 27 సంవత్సరాలు.

మధ్యస్థాన్ని లెక్కిద్దాం. మధ్యస్థ విరామం 25-30 సంవత్సరాల వయస్సులో ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఈ వ్యవధిలో జనాభాను రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించే ఎంపిక ఉంది (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). తరువాత, మేము సూత్రంలోకి అవసరమైన సంఖ్యా డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు మధ్యస్థ విలువను పొందుతాము:

అంటే సగం మంది విద్యార్థులు 27.4 ఏళ్లలోపు వారు కాగా, మిగతా సగం మంది 27.4 ఏళ్లు పైబడిన వారు.

మోడ్ మరియు మధ్యస్థంతో పాటు, క్వార్టైల్స్ వంటి సూచికలను ఉపయోగించవచ్చు, ర్యాంక్ చేయబడిన సిరీస్‌ను 4 సమాన భాగాలుగా విభజించడం, డెసిల్స్- 10 భాగాలు మరియు పర్సంటైల్స్ - 100 భాగాలకు.

ఎంపిక పరిశీలన మరియు దాని పరిధి యొక్క భావన.

ఎంపిక పరిశీలననిరంతర నిఘా ఉపయోగించినప్పుడు వర్తిస్తుంది భౌతికంగా అసాధ్యంపెద్ద మొత్తంలో డేటా కారణంగా లేదా ఆర్థికంగా సాధ్యం కాదు. భౌతిక అసంభవం సంభవిస్తుంది, ఉదాహరణకు, ప్రయాణీకుల ప్రవాహాలు, మార్కెట్ ధరలు మరియు కుటుంబ బడ్జెట్‌లను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు. వాటి విధ్వంసంతో సంబంధం ఉన్న వస్తువుల నాణ్యతను అంచనా వేసేటప్పుడు ఆర్థిక అసమర్థత ఏర్పడుతుంది, ఉదాహరణకు, రుచి, బలం కోసం ఇటుకలను పరీక్షించడం మొదలైనవి.

పరిశీలన కోసం ఎంపిక చేయబడిన గణాంక యూనిట్లు నమూనా ఫ్రేమ్ లేదా నమూనాను కలిగి ఉంటాయి మరియు వాటి మొత్తం శ్రేణి సాధారణ జనాభా (GS)ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, నమూనాలోని యూనిట్ల సంఖ్య ద్వారా సూచించబడుతుంది n, మరియు మొత్తం HSలో - ఎన్. వైఖరి n/Nనమూనా యొక్క సాపేక్ష పరిమాణం లేదా నిష్పత్తి అని పిలుస్తారు.

నమూనా పరిశీలన ఫలితాల నాణ్యత నమూనా యొక్క ప్రాతినిధ్యంపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అంటే, ఇది GSలో ఎంత ప్రతినిధిగా ఉంది. నమూనా యొక్క ప్రాతినిధ్యాన్ని నిర్ధారించడానికి, దానిని పాటించడం అవసరం యూనిట్ల యాదృచ్ఛిక ఎంపిక సూత్రం, ఇది నమూనాలో HS యూనిట్‌ని చేర్చడం అనేది అవకాశం కాకుండా మరే ఇతర అంశం ద్వారా ప్రభావితం చేయబడదని ఊహిస్తుంది.

ఉనికిలో ఉంది యాదృచ్ఛిక ఎంపిక యొక్క 4 మార్గాలునమూనాకు:

1. నిజానికి యాదృచ్ఛికంఎంపిక లేదా “లోట్టో పద్ధతి”, నిర్దిష్ట వస్తువులపై (ఉదాహరణకు, బారెల్స్) రికార్డ్ చేయబడిన గణాంక పరిమాణాలు క్రమ సంఖ్యలను కేటాయించినప్పుడు, అవి కొన్ని కంటైనర్‌లో (ఉదాహరణకు, ఒక బ్యాగ్‌లో) కలపబడతాయి మరియు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడతాయి. ఆచరణలో, ఈ పద్ధతి యాదృచ్ఛిక సంఖ్యల జనరేటర్ లేదా యాదృచ్ఛిక సంఖ్యల గణిత పట్టికలను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది.
2. మెకానికల్ప్రతి దాని ప్రకారం ఎంపిక ( N/n) - సాధారణ జనాభా యొక్క విలువ. ఉదాహరణకు, ఇది 100,000 విలువలను కలిగి ఉంటే మరియు మీరు 1,000 ఎంచుకోవాలి, అప్పుడు ప్రతి 100,000 / 1000 = 100వ విలువ నమూనాలో చేర్చబడుతుంది. అంతేకాకుండా, వారు ర్యాంక్ చేయకపోతే, మొదటి వంద నుండి యాదృచ్ఛికంగా మొదటిది ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు ఇతరుల సంఖ్యలు వంద ఎక్కువగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి యూనిట్ నంబర్ 19 అయితే, తదుపరిది నంబర్ 119, ఆపై నంబర్ 219, ఆపై నంబర్ 319, మొదలైనవి ఉండాలి. జనాభా యూనిట్లు ర్యాంక్ చేయబడితే, మొదట నంబర్ 50, ఆపై నంబర్ 150, ఆపై నంబర్ 250, మరియు మొదలైనవి ఎంపిక చేయబడతాయి.
3. భిన్నమైన డేటా శ్రేణి నుండి విలువల ఎంపిక నిర్వహించబడుతుంది స్తరీకరించబడింది(స్ట్రాటిఫైడ్) పద్ధతి, జనాభాను మొదట సజాతీయ సమూహాలుగా విభజించినప్పుడు యాదృచ్ఛిక లేదా యాంత్రిక ఎంపిక వర్తించబడుతుంది.
4. ఒక ప్రత్యేక నమూనా పద్ధతి క్రమఎంపిక, దీనిలో వారు యాదృచ్ఛికంగా లేదా యాంత్రికంగా వ్యక్తిగత విలువలను ఎంచుకుంటారు, కానీ వాటి శ్రేణి (కొన్ని సంఖ్య నుండి వరుసగా కొంత సంఖ్య వరకు వరుసలు), దానిలో నిరంతర పరిశీలన నిర్వహించబడుతుంది.

నమూనా పరిశీలనల నాణ్యత కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది నమూనా రకం: పునరావృతంలేదా పునరావృతం కానిది.

వద్ద తిరిగి ఎంపికనమూనాలో చేర్చబడిన గణాంక విలువలు లేదా వాటి శ్రేణిని ఉపయోగించిన తర్వాత సాధారణ జనాభాకు అందించబడతాయి, కొత్త నమూనాలో చేర్చబడే అవకాశం ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, జనాభాలోని అన్ని విలువలు నమూనాలో చేర్చడానికి ఒకే సంభావ్యతను కలిగి ఉంటాయి.

పునరావృతం లేని ఎంపికఅంటే నమూనాలో చేర్చబడిన గణాంక విలువలు లేదా వాటి శ్రేణిని ఉపయోగించిన తర్వాత సాధారణ జనాభాకు తిరిగి రాలేవు మరియు తరువాతి యొక్క మిగిలిన విలువలకు తదుపరి నమూనాలో చేర్చబడే సంభావ్యత పెరుగుతుంది.

పునరావృతం కాని నమూనా మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాలను ఇస్తుంది, కాబట్టి ఇది తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. కానీ అది దరఖాస్తు చేయలేనప్పుడు పరిస్థితులు ఉన్నాయి (ప్రయాణికుల ప్రవాహాలు, వినియోగదారుల డిమాండ్ మొదలైనవి అధ్యయనం చేయడం) ఆపై పునరావృత ఎంపిక నిర్వహించబడుతుంది.

గరిష్ట పరిశీలన నమూనా లోపం, సగటు నమూనా లోపం, వాటి గణన కోసం విధానం.

పైన జాబితా చేయబడిన నమూనా జనాభాను రూపొందించే పద్ధతులు మరియు అలా చేసినప్పుడు తలెత్తే లోపాలను వివరంగా పరిశీలిద్దాం. ప్రాతినిధ్యం .
సరిగ్గా యాదృచ్ఛికంగానమూనా అనేది ఎటువంటి క్రమబద్ధమైన అంశాలు లేకుండా యాదృచ్ఛికంగా జనాభా నుండి యూనిట్లను ఎంచుకోవడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సాంకేతికంగా, వాస్తవ యాదృచ్ఛిక ఎంపిక లాట్‌లను గీయడం ద్వారా (ఉదాహరణకు, లాటరీలు) లేదా యాదృచ్ఛిక సంఖ్యల పట్టికను ఉపయోగించడం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది.

"దాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో" సరైన యాదృచ్ఛిక ఎంపిక ఎంపిక పరిశీలన యొక్క అభ్యాసంలో చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది, అయితే ఇది ఇతర రకాల ఎంపికలలో అసలైనది, ఇది ఎంపిక పరిశీలన యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను అమలు చేస్తుంది. నమూనా పద్ధతి యొక్క సిద్ధాంతం మరియు సాధారణ యాదృచ్ఛిక నమూనా కోసం దోష సూత్రం యొక్క కొన్ని ప్రశ్నలను పరిశీలిద్దాం.

నమూనా పక్షపాతంసాధారణ జనాభాలో పరామితి యొక్క విలువ మరియు నమూనా పరిశీలన ఫలితాల నుండి లెక్కించబడిన దాని విలువ మధ్య వ్యత్యాసం. సగటు పరిమాణాత్మక లక్షణం కోసం, నమూనా లోపం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

సూచికను మార్జినల్ నమూనా లోపం అంటారు.
నమూనా సగటు అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, ఇది నమూనాలో ఏ యూనిట్లు చేర్చబడిందనే దానిపై ఆధారపడి విభిన్న విలువలను తీసుకోవచ్చు. అందువల్ల, నమూనా లోపాలు కూడా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మరియు విభిన్న విలువలను తీసుకోవచ్చు. అందువల్ల, సాధ్యమయ్యే లోపాల సగటు నిర్ణయించబడుతుంది - సగటు నమూనా లోపం, ఇది ఆధారపడి ఉంటుంది:

నమూనా పరిమాణం: పెద్ద సంఖ్య, చిన్న సగటు లోపం;

అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణంలో మార్పు యొక్క డిగ్రీ: లక్షణం యొక్క చిన్న వైవిధ్యం మరియు, తత్ఫలితంగా, వ్యాప్తి, చిన్న సగటు నమూనా లోపం.

వద్ద యాదృచ్ఛిక పునః ఎంపికసగటు లోపం లెక్కించబడుతుంది:
.
ఆచరణలో, సాధారణ వైవిధ్యం ఖచ్చితంగా తెలియదు, కానీ లో సంభావ్యత సిద్ధాంతంఅని నిరూపించబడింది
.
తగినంత పెద్ద n విలువ 1కి దగ్గరగా ఉన్నందున, మనం దానిని ఊహించవచ్చు. అప్పుడు సగటు నమూనా దోషాన్ని లెక్కించవచ్చు:
.
కానీ చిన్న నమూనా విషయంలో (n తో<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

వద్ద యాదృచ్ఛిక పునరావృతం కాని నమూనాఇచ్చిన సూత్రాలు విలువ ద్వారా సర్దుబాటు చేయబడతాయి. అప్పుడు సగటు పునరావృతం కాని నమూనా లోపం:
మరియు .
ఎందుకంటే ఎల్లప్పుడూ తక్కువగా ఉంటుంది, అప్పుడు గుణకం () ఎల్లప్పుడూ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. పునరావృతం కాని ఎంపిక సమయంలో సగటు లోపం ఎల్లప్పుడూ పునరావృత ఎంపిక సమయంలో కంటే తక్కువగా ఉంటుందని దీని అర్థం.
మెకానికల్ నమూనాసాధారణ జనాభాను ఏదో ఒక విధంగా ఆర్డర్ చేసినప్పుడు ఉపయోగించబడుతుంది (ఉదాహరణకు, ఆల్ఫాబెటికల్ ఓటరు జాబితాలు, టెలిఫోన్ నంబర్లు, ఇంటి నంబర్లు, అపార్ట్మెంట్ నంబర్లు). యూనిట్ల ఎంపిక నిర్దిష్ట విరామంలో నిర్వహించబడుతుంది, ఇది నమూనా శాతం యొక్క విలోమానికి సమానం. కాబట్టి, 2% నమూనాతో, ప్రతి 50 యూనిట్ = 1/0.02 ఎంపిక చేయబడుతుంది, 5% నమూనాతో, సాధారణ జనాభాలో ప్రతి 1/0.05 = 20 యూనిట్.

రిఫరెన్స్ పాయింట్ వివిధ మార్గాల్లో ఎంపిక చేయబడింది: యాదృచ్ఛికంగా, విరామం మధ్య నుండి, రిఫరెన్స్ పాయింట్‌లో మార్పుతో. క్రమబద్ధమైన లోపాన్ని నివారించడం ప్రధాన విషయం. ఉదాహరణకు, 5% నమూనాతో, మొదటి యూనిట్ 13వది అయితే, తదుపరివి 33, 53, 73, మొదలైనవి.

ఖచ్చితత్వం పరంగా, యాంత్రిక ఎంపిక వాస్తవ యాదృచ్ఛిక నమూనాకు దగ్గరగా ఉంటుంది. అందువల్ల, యాంత్రిక నమూనా యొక్క సగటు లోపాన్ని గుర్తించడానికి, సరైన యాదృచ్ఛిక ఎంపిక సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి.

వద్ద సాధారణ ఎంపిక సర్వే చేయబడిన జనాభాను ప్రాథమికంగా సజాతీయ, సారూప్య సమూహాలుగా విభజించారు. ఉదాహరణకు, సంస్థలను సర్వే చేస్తున్నప్పుడు, ఇవి పరిశ్రమలు, ఉప-విభాగాలు కావచ్చు; జనాభాను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు, ఇవి ప్రాంతాలు, సామాజిక లేదా వయస్సు సమూహాలు కావచ్చు. అప్పుడు ప్రతి సమూహం నుండి స్వతంత్ర ఎంపిక యాంత్రికంగా లేదా పూర్తిగా యాదృచ్ఛికంగా చేయబడుతుంది.

ఇతర పద్ధతుల కంటే సాధారణ నమూనా మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాలను ఇస్తుంది. సాధారణ జనాభాను టైప్ చేయడం వలన ప్రతి టైపోలాజికల్ సమూహం నమూనాలో ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుందని నిర్ధారిస్తుంది, ఇది సగటు నమూనా లోపంపై ఇంటర్‌గ్రూప్ వ్యత్యాసం యొక్క ప్రభావాన్ని తొలగించడం సాధ్యం చేస్తుంది. పర్యవసానంగా, వ్యత్యాసాలు () జోడించే నియమం ప్రకారం సాధారణ నమూనా యొక్క లోపాన్ని కనుగొన్నప్పుడు, సమూహ వ్యత్యాసాల సగటును మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం. అప్పుడు సగటు నమూనా లోపం:
తిరిగి ఎంపికపై
,
పునరావృతం కాని ఎంపికతో
,
ఎక్కడ - నమూనాలోని సమూహంలోని వ్యత్యాసాల సగటు.

సీరియల్ (లేదా గూడు) ఎంపిక నమూనా సర్వే ప్రారంభానికి ముందు జనాభా శ్రేణి లేదా సమూహాలుగా విభజించబడినప్పుడు ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ సిరీస్ పూర్తయిన ఉత్పత్తులు, విద్యార్థి సమూహాలు, జట్ల ప్యాకేజింగ్ కావచ్చు. పరీక్ష కోసం సిరీస్ యాంత్రికంగా లేదా పూర్తిగా యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు సిరీస్‌లో యూనిట్‌ల యొక్క నిరంతర పరీక్ష నిర్వహించబడుతుంది. కాబట్టి, సగటు నమూనా దోషం ఇంటర్‌గ్రూప్ (ఇంటర్‌సిరీస్) వ్యత్యాసంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

ఇక్కడ r అనేది ఎంచుకున్న శ్రేణుల సంఖ్య;
- i-th సిరీస్ యొక్క సగటు.

సగటు సీరియల్ నమూనా లోపం లెక్కించబడుతుంది:

మళ్లీ ఎంపిక చేసిన తర్వాత:
,
పునరావృతం కాని ఎంపికతో:
,
ఇక్కడ R అనేది మొత్తం ఎపిసోడ్‌ల సంఖ్య.

కలిపిఎంపికపరిగణించబడిన ఎంపిక పద్ధతుల కలయిక.

ఏదైనా నమూనా పద్ధతి కోసం సగటు నమూనా లోపం ప్రధానంగా నమూనా యొక్క సంపూర్ణ పరిమాణంపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు కొంతవరకు, నమూనా శాతంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మొదటి సందర్భంలో 4,500 యూనిట్ల జనాభా నుండి మరియు రెండవది 225,000 యూనిట్ల జనాభా నుండి 225 పరిశీలనలు జరిగాయని అనుకుందాం. రెండు సందర్భాల్లోనూ వ్యత్యాసాలు 25కి సమానంగా ఉంటాయి. తర్వాత మొదటి సందర్భంలో, 5% ఎంపికతో, నమూనా లోపం ఇలా ఉంటుంది:

రెండవ సందర్భంలో, 0.1% ఎంపికతో, ఇది సమానంగా ఉంటుంది:

ఈ విధంగా, నమూనా శాతం 50 రెట్లు తగ్గడంతో, నమూనా పరిమాణం మారనందున నమూనా లోపం కొద్దిగా పెరిగింది.
నమూనా పరిమాణం 625 పరిశీలనలకు పెంచబడిందని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, నమూనా లోపం:

అదే జనాభా పరిమాణంతో నమూనాను 2.8 రెట్లు పెంచడం వలన నమూనా లోపం యొక్క పరిమాణాన్ని 1.6 రెట్లు ఎక్కువ తగ్గిస్తుంది.

నమూనా జనాభాను రూపొందించడానికి పద్ధతులు మరియు పద్ధతులు.

గణాంకాలలో, నమూనా జనాభాను రూపొందించే వివిధ పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి, ఇది అధ్యయనం యొక్క లక్ష్యాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది మరియు అధ్యయనం యొక్క వస్తువు యొక్క ప్రత్యేకతలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

నమూనా సర్వేను నిర్వహించడానికి ప్రధాన షరతు ఏమిటంటే, సాధారణ జనాభాలోని ప్రతి యూనిట్‌ను నమూనాలో చేర్చడానికి సమాన అవకాశం అనే సూత్రాన్ని ఉల్లంఘించడం వల్ల ఉత్పన్నమయ్యే క్రమబద్ధమైన లోపాలు సంభవించకుండా నిరోధించడం. నమూనా జనాభాను రూపొందించడానికి శాస్త్రీయంగా ఆధారిత పద్ధతులను ఉపయోగించడం ద్వారా క్రమబద్ధమైన లోపాల నివారణ సాధించబడుతుంది.

జనాభా నుండి యూనిట్లను ఎంచుకోవడానికి క్రింది పద్ధతులు ఉన్నాయి:

1) వ్యక్తిగత ఎంపిక - నమూనా కోసం వ్యక్తిగత యూనిట్లు ఎంపిక చేయబడతాయి;

2) సమూహ ఎంపిక - నమూనాలో గుణాత్మకంగా సజాతీయ సమూహాలు లేదా అధ్యయనం చేయబడిన యూనిట్ల శ్రేణి ఉంటుంది;

3) సంయుక్త ఎంపిక అనేది వ్యక్తిగత మరియు సమూహ ఎంపికల కలయిక.
ఎంపిక పద్ధతులు నమూనా జనాభాను రూపొందించడానికి నియమాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి.

నమూనా కావచ్చు:

• నిజానికి యాదృచ్ఛికంగాసాధారణ జనాభా నుండి వ్యక్తిగత యూనిట్ల యాదృచ్ఛిక (అనుకోకుండా) ఎంపిక ఫలితంగా నమూనా జనాభా ఏర్పడిందనే వాస్తవాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, నమూనా జనాభాలో ఎంపిక చేయబడిన యూనిట్ల సంఖ్య సాధారణంగా ఆమోదించబడిన నమూనా నిష్పత్తి ఆధారంగా నిర్ణయించబడుతుంది. నమూనా నిష్పత్తి అనేది నమూనా జనాభా nలోని యూనిట్ల సంఖ్యకు సాధారణ జనాభా Nలోని యూనిట్ల సంఖ్యకు నిష్పత్తి, అనగా.

• యాంత్రికనమూనా జనాభాలో యూనిట్ల ఎంపిక సాధారణ జనాభా నుండి తయారు చేయబడుతుంది, సమాన వ్యవధిలో (సమూహాలు) విభజించబడింది. ఈ సందర్భంలో, జనాభాలో విరామం యొక్క పరిమాణం నమూనా నిష్పత్తి యొక్క విలోమానికి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, 2% నమూనాతో, ప్రతి 50వ యూనిట్ ఎంచుకోబడుతుంది (1:0.02), 5% నమూనాతో, ప్రతి 20వ యూనిట్ (1:0.05) మొదలైనవి. అందువలన, ఎంపిక యొక్క ఆమోదించబడిన నిష్పత్తికి అనుగుణంగా, సాధారణ జనాభా, యాంత్రికంగా సమాన పరిమాణంలో సమూహాలుగా విభజించబడింది. ప్రతి సమూహం నుండి, నమూనా కోసం ఒక యూనిట్ మాత్రమే ఎంపిక చేయబడుతుంది.
• సాధారణ -దీనిలో సాధారణ జనాభా మొదట సజాతీయ విలక్షణ సమూహాలుగా విభజించబడింది. అప్పుడు, ప్రతి సాధారణ సమూహం నుండి, నమూనా జనాభాలో యూనిట్లను వ్యక్తిగతంగా ఎంచుకోవడానికి పూర్తిగా యాదృచ్ఛిక లేదా యాంత్రిక నమూనా ఉపయోగించబడుతుంది. సాధారణ నమూనా యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణం ఏమిటంటే, నమూనా జనాభాలో యూనిట్లను ఎంచుకునే ఇతర పద్ధతులతో పోలిస్తే ఇది మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాలను ఇస్తుంది;
• క్రమ- దీనిలో సాధారణ జనాభా సమాన పరిమాణంలోని సమూహాలుగా విభజించబడింది - సిరీస్. నమూనా జనాభాలో సిరీస్ ఎంపిక చేయబడింది. శ్రేణిలో, సిరీస్లో చేర్చబడిన యూనిట్ల నిరంతర పరిశీలన నిర్వహించబడుతుంది;
• కలిపి- నమూనా రెండు దశలుగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, జనాభా మొదట సమూహాలుగా విభజించబడింది. అప్పుడు సమూహాలు ఎంపిక చేయబడతాయి మరియు తరువాతి లోపల వ్యక్తిగత యూనిట్లు ఎంపిక చేయబడతాయి.

గణాంకాలలో, నమూనా జనాభాలో యూనిట్లను ఎంచుకోవడానికి క్రింది పద్ధతులు ప్రత్యేకించబడ్డాయి::

• ఒకే వేదికనమూనా - ఎంచుకున్న ప్రతి యూనిట్ వెంటనే ఇచ్చిన ప్రమాణం ప్రకారం అధ్యయనం చేయబడుతుంది (సరైన యాదృచ్ఛిక మరియు సీరియల్ నమూనా);
• బహుళ-దశనమూనా - వ్యక్తిగత సమూహాల సాధారణ జనాభా నుండి ఎంపిక చేయబడుతుంది మరియు సమూహాల నుండి వ్యక్తిగత యూనిట్లు ఎంపిక చేయబడతాయి (నమూనా జనాభాలో యూనిట్లను ఎంచుకునే యాంత్రిక పద్ధతితో సాధారణ నమూనా).

అదనంగా, ఉన్నాయి:

• తిరిగి ఎంపిక- తిరిగి వచ్చిన బంతి పథకం ప్రకారం. ఈ సందర్భంలో, నమూనాలో చేర్చబడిన ప్రతి యూనిట్ లేదా సిరీస్ సాధారణ జనాభాకు తిరిగి ఇవ్వబడుతుంది మరియు అందువల్ల మళ్లీ నమూనాలో చేర్చబడే అవకాశం ఉంది;
• పునరావృత ఎంపిక- తిరిగిరాని బంతి పథకం ప్రకారం. ఇది అదే నమూనా పరిమాణంతో మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాలను కలిగి ఉంది.

అవసరమైన నమూనా పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడం (విద్యార్థి యొక్క t-టేబుల్ ఉపయోగించి).

నమూనా సిద్ధాంతంలోని శాస్త్రీయ సూత్రాలలో ఒకటి తగిన సంఖ్యలో యూనిట్లు ఎంపిక చేయబడిందని నిర్ధారించడం. సిద్ధాంతపరంగా, ఈ సూత్రానికి కట్టుబడి ఉండవలసిన అవసరం సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో పరిమితి సిద్ధాంతాల రుజువులలో ప్రదర్శించబడుతుంది, ఇది జనాభా నుండి ఏ యూనిట్ల వాల్యూమ్‌ను ఎంచుకోవాలి, తద్వారా ఇది సరిపోతుంది మరియు నమూనా యొక్క ప్రాతినిధ్యాన్ని నిర్ధారిస్తుంది.

ప్రామాణిక నమూనా లోపంలో తగ్గుదల మరియు అందువల్ల అంచనా యొక్క ఖచ్చితత్వం పెరుగుదల ఎల్లప్పుడూ నమూనా పరిమాణంలో పెరుగుదలతో ముడిపడి ఉంటుంది, కాబట్టి, ఇప్పటికే నమూనా పరిశీలనను నిర్వహించే దశలో, పరిమాణం ఏమిటో నిర్ణయించడం అవసరం. పరిశీలన ఫలితాల యొక్క అవసరమైన ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ధారించడానికి నమూనా జనాభా ఉండాలి. అవసరమైన నమూనా పరిమాణం యొక్క గణన ఒక నిర్దిష్ట రకం మరియు ఎంపిక పద్ధతికి అనుగుణంగా గరిష్ట నమూనా దోషాల (A) కోసం సూత్రాల నుండి తీసుకోబడిన సూత్రాలను ఉపయోగించి నిర్మించబడింది. కాబట్టి, యాదృచ్ఛిక పునరావృత నమూనా పరిమాణం (n) కోసం మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

ఈ ఫార్ములా యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, అవసరమైన సంఖ్య యొక్క యాదృచ్ఛిక పునరావృత ఎంపికతో, నమూనా పరిమాణం విశ్వాస గుణకం యొక్క వర్గానికి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. (t2)మరియు వైవిధ్య లక్షణం (?2) యొక్క వైవిధ్యం మరియు గరిష్ట నమూనా లోపం (?2) యొక్క వర్గానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ప్రత్యేకించి, గరిష్ట లోపం రెండు రెట్లు పెరగడంతో, అవసరమైన నమూనా పరిమాణాన్ని నాలుగు రెట్లు తగ్గించవచ్చు. మూడు పారామితులలో, రెండు (t మరియు?) పరిశోధకుడిచే సెట్ చేయబడ్డాయి.

అదే సమయంలో, పరిశోధకుడు, ఆధారంగానమూనా సర్వే యొక్క ప్రయోజనం మరియు లక్ష్యాల నుండి, ప్రశ్న తప్పనిసరిగా పరిష్కరించబడాలి: సరైన ఎంపికను నిర్ధారించడానికి ఈ పారామితులను ఏ పరిమాణాత్మక కలయికలో చేర్చడం మంచిది? ఒక సందర్భంలో, అతను ఖచ్చితత్వం (?) యొక్క కొలత కంటే పొందిన (t) ఫలితాల విశ్వసనీయతతో మరింత సంతృప్తి చెందవచ్చు, మరొకటి - దీనికి విరుద్ధంగా. గరిష్ట నమూనా లోపం యొక్క విలువకు సంబంధించిన సమస్యను పరిష్కరించడం చాలా కష్టం, ఎందుకంటే నమూనా పరిశీలనను రూపొందించే దశలో పరిశోధకుడికి ఈ సూచిక లేదు, కాబట్టి ఆచరణలో గరిష్ట నమూనా లోపం యొక్క విలువను సెట్ చేయడం ఆచారం, సాధారణంగా లక్షణం యొక్క అంచనా సగటు స్థాయిలో 10% లోపల ఉంటుంది. అంచనా వేయబడిన సగటును స్థాపించడం వివిధ మార్గాల్లో చేరుకోవచ్చు: ఇలాంటి మునుపటి సర్వేల నుండి డేటాను ఉపయోగించడం లేదా నమూనా ఫ్రేమ్ నుండి డేటాను ఉపయోగించడం మరియు చిన్న పైలట్ నమూనాను నిర్వహించడం.

నమూనా పరిశీలనను రూపొందించేటప్పుడు స్థాపించడం చాలా కష్టమైన విషయం ఫార్ములా (5.2)లోని మూడవ పరామితి - నమూనా జనాభా యొక్క వ్యాప్తి. ఈ సందర్భంలో, గతంలో నిర్వహించిన ఇలాంటి మరియు పైలట్ సర్వేలలో పొందిన పరిశోధకుడి పారవేయడం వద్ద మొత్తం సమాచారాన్ని ఉపయోగించడం అవసరం.

నిర్వచనం గురించి ప్రశ్ననమూనా సర్వేలో నమూనా యూనిట్ల యొక్క అనేక లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తే అవసరమైన నమూనా పరిమాణం మరింత క్లిష్టంగా మారుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ప్రతి లక్షణాల యొక్క సగటు స్థాయిలు మరియు వాటి వైవిధ్యం, ఒక నియమం వలె, భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు అందువల్ల, ఏ లక్షణాలకు ప్రాధాన్యత ఇవ్వాలో నిర్ణయించడం అనేది ప్రయోజనం మరియు లక్ష్యాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. సర్వే.

నమూనా పరిశీలనను రూపొందించేటప్పుడు, ఒక నిర్దిష్ట అధ్యయనం యొక్క లక్ష్యాలు మరియు పరిశీలన ఫలితాల ఆధారంగా ముగింపుల సంభావ్యతకు అనుగుణంగా అనుమతించదగిన నమూనా లోపం యొక్క ముందుగా నిర్ణయించిన విలువ ఊహించబడుతుంది.

సాధారణంగా, నమూనా సగటు యొక్క గరిష్ట లోపం కోసం సూత్రం మాకు గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది:

నమూనా జనాభా యొక్క సూచికల నుండి సాధారణ జనాభా యొక్క సూచికల యొక్క సాధ్యమైన వ్యత్యాసాల పరిమాణం;

అవసరమైన నమూనా పరిమాణం, అవసరమైన ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ధారిస్తుంది, దీనిలో సాధ్యమయ్యే లోపం యొక్క పరిమితులు నిర్దిష్ట పేర్కొన్న విలువను మించవు;

నమూనాలో లోపం పేర్కొన్న పరిమితిని కలిగి ఉండే సంభావ్యత.

విద్యార్థుల పంపిణీసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, ఇది ఖచ్చితంగా నిరంతర పంపిణీల యొక్క ఒక-పారామితి కుటుంబం.

డైనమిక్ సిరీస్ (విరామం, క్షణం), క్లోజింగ్ డైనమిక్ సిరీస్.

డైనమిక్స్ సిరీస్- ఇవి ఒక నిర్దిష్ట కాలక్రమానుసారం ప్రదర్శించబడే గణాంక సూచికల విలువలు.

ప్రతి సమయ శ్రేణిలో రెండు భాగాలు ఉంటాయి:

1) కాల వ్యవధుల సూచికలు (సంవత్సరాలు, త్రైమాసికాలు, నెలలు, రోజులు లేదా తేదీలు);

2) సమయ వ్యవధిలో లేదా సంబంధిత తేదీలలో అధ్యయనంలో ఉన్న వస్తువును వర్గీకరించే సూచికలు, వీటిని సిరీస్ స్థాయిలు అంటారు.

సిరీస్ స్థాయిలు వ్యక్తీకరించబడ్డాయిసంపూర్ణ మరియు సగటు లేదా సాపేక్ష విలువలు రెండూ. సూచికల స్వభావాన్ని బట్టి, సంపూర్ణ, సాపేక్ష మరియు సగటు విలువల సమయ శ్రేణి నిర్మించబడింది. సాపేక్ష మరియు సగటు విలువల నుండి డైనమిక్ సిరీస్ సంపూర్ణ విలువల ఉత్పన్న శ్రేణి ఆధారంగా నిర్మించబడింది. డైనమిక్స్ యొక్క విరామం మరియు క్షణం సిరీస్ ఉన్నాయి.

డైనమిక్ ఇంటర్వెల్ సిరీస్నిర్దిష్ట కాలానికి సూచిక విలువలను కలిగి ఉంటుంది. విరామ శ్రేణిలో, ఎక్కువ కాలం పాటు దృగ్విషయం యొక్క పరిమాణాన్ని లేదా సేకరించిన మొత్తాలు అని పిలవబడే స్థాయిలను పొందేందుకు స్థాయిలను సంగ్రహించవచ్చు.

డైనమిక్ మూమెంట్ సిరీస్ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో (సమయం తేదీ) సూచికల విలువలను ప్రతిబింబిస్తుంది. క్షణాల శ్రేణిలో, పరిశోధకుడు నిర్దిష్ట తేదీల మధ్య శ్రేణి స్థాయి మార్పును ప్రతిబింబించే దృగ్విషయాల వ్యత్యాసంపై మాత్రమే ఆసక్తి కలిగి ఉండవచ్చు, ఎందుకంటే ఇక్కడ స్థాయిల మొత్తానికి అసలు కంటెంట్ ఉండదు. సంచిత మొత్తాలు ఇక్కడ లెక్కించబడవు.

సమయ శ్రేణి యొక్క సరైన నిర్మాణానికి అత్యంత ముఖ్యమైన షరతు వివిధ కాలాలకు చెందిన సిరీస్ స్థాయిల పోలిక. స్థాయిలు తప్పనిసరిగా సజాతీయ పరిమాణంలో ప్రదర్శించబడాలి మరియు దృగ్విషయం యొక్క వివిధ భాగాల కవరేజ్ యొక్క సమాన సంపూర్ణత ఉండాలి.

ఆ క్రమంలోనిజమైన డైనమిక్స్ యొక్క వక్రీకరణను నివారించడానికి, గణాంక అధ్యయనంలో ప్రాథమిక గణనలు నిర్వహించబడతాయి (డైనమిక్స్ సిరీస్‌ను మూసివేయడం), ఇది సమయ శ్రేణి యొక్క గణాంక విశ్లేషణకు ముందు ఉంటుంది. డైనమిక్ శ్రేణిని మూసివేయడం అనేది రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సిరీస్‌ల యొక్క ఒక శ్రేణిలో కలయికగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది, వీటి స్థాయిలు వేర్వేరు పద్ధతులను ఉపయోగించి లెక్కించబడతాయి లేదా ప్రాదేశిక సరిహద్దులకు అనుగుణంగా ఉండవు, మొదలైనవి. డైనమిక్స్ శ్రేణిని మూసివేయడం అనేది డైనమిక్స్ శ్రేణి యొక్క సంపూర్ణ స్థాయిలను ఒక సాధారణ ప్రాతిపదికన తీసుకురావడాన్ని సూచిస్తుంది, ఇది డైనమిక్స్ శ్రేణి స్థాయిల సాటిలేనితను తటస్థీకరిస్తుంది.

డైనమిక్స్ సిరీస్, కోఎఫీషియంట్స్, గ్రోత్ మరియు గ్రోత్ రేట్ల పోలిక భావన.

డైనమిక్స్ సిరీస్- ఇవి కాలక్రమేణా సహజ మరియు సామాజిక దృగ్విషయాల అభివృద్ధిని వివరించే గణాంక సూచికల శ్రేణి. రష్యా స్టేట్ స్టాటిస్టిక్స్ కమిటీ ప్రచురించిన గణాంక సేకరణలు పట్టిక రూపంలో పెద్ద సంఖ్యలో డైనమిక్స్ సిరీస్‌లను కలిగి ఉన్నాయి. డైనమిక్ సిరీస్ అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయాల అభివృద్ధి నమూనాలను గుర్తించడం సాధ్యం చేస్తుంది.

డైనమిక్స్ సిరీస్‌లో రెండు రకాల సూచికలు ఉంటాయి. సమయ సూచికలు(సంవత్సరాలు, త్రైమాసికాలు, నెలలు మొదలైనవి) లేదా పాయింట్లు (సంవత్సరం ప్రారంభంలో, ప్రతి నెల ప్రారంభంలో మొదలైనవి). వరుస స్థాయి సూచికలు. డైనమిక్స్ సిరీస్ స్థాయిల సూచికలు సంపూర్ణ విలువలు (టన్నులు లేదా రూబిళ్లు ఉత్పత్తి ఉత్పత్తి), సాపేక్ష విలువలు (% లో పట్టణ జనాభా వాటా) మరియు సగటు విలువలు (సంవత్సరానికి పరిశ్రమ కార్మికుల సగటు వేతనాలు. , మొదలైనవి). పట్టిక రూపంలో, సమయ శ్రేణిలో రెండు నిలువు వరుసలు లేదా రెండు అడ్డు వరుసలు ఉంటాయి.

సమయ శ్రేణి యొక్క సరైన నిర్మాణానికి అనేక అవసరాలను నెరవేర్చడం అవసరం:

1. డైనమిక్స్ శ్రేణి యొక్క అన్ని సూచికలు తప్పనిసరిగా శాస్త్రీయంగా ఆధారితంగా మరియు విశ్వసనీయంగా ఉండాలి;
2. డైనమిక్స్ శ్రేణి యొక్క సూచికలు కాలక్రమేణా పోల్చదగినవిగా ఉండాలి, అనగా. అదే సమయ వ్యవధిలో లేదా అదే తేదీలలో లెక్కించబడాలి;
3. అనేక డైనమిక్స్ యొక్క సూచికలు భూభాగం అంతటా పోల్చదగినవిగా ఉండాలి;
4. డైనమిక్స్ శ్రేణి యొక్క సూచికలు తప్పనిసరిగా కంటెంట్‌లో పోల్చదగినవిగా ఉండాలి, అనగా. ఒకే పద్దతి ప్రకారం లెక్కించబడుతుంది, అదే విధంగా;
5. అనేక డైనమిక్స్ యొక్క సూచికలు పరిగణనలోకి తీసుకున్న పొలాల పరిధిలో పోల్చదగినవిగా ఉండాలి. డైనమిక్స్ శ్రేణి యొక్క అన్ని సూచికలు తప్పనిసరిగా అదే కొలత యూనిట్లలో ఇవ్వాలి.

గణాంక సూచికలుఒక నిర్దిష్ట సమయంలో అధ్యయనం చేయబడిన ప్రక్రియ యొక్క ఫలితాలను లేదా ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం యొక్క స్థితిని వర్గీకరించవచ్చు, అనగా. సూచికలు విరామం (ఆవర్తన) మరియు మొమెంటరీ కావచ్చు. దీని ప్రకారం, ప్రారంభంలో డైనమిక్స్ సిరీస్ విరామం లేదా క్షణం కావచ్చు. మూమెంట్ డైనమిక్స్ సిరీస్, క్రమంగా, సమాన లేదా అసమాన సమయ వ్యవధిలో ఉంటుంది.

అసలు డైనమిక్స్ శ్రేణిని సగటు విలువల శ్రేణిగా మరియు సాపేక్ష విలువల శ్రేణిగా (గొలుసు మరియు ప్రాథమిక) మార్చవచ్చు. అటువంటి సమయ శ్రేణిని ఉత్పన్నమైన సమయ శ్రేణి అంటారు.

డైనమిక్స్ సిరీస్‌లో సగటు స్థాయిని గణించే పద్దతి డైనమిక్స్ సిరీస్ రకాన్ని బట్టి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణలను ఉపయోగించి, మేము సగటు స్థాయిని లెక్కించడానికి డైనమిక్స్ సిరీస్ మరియు సూత్రాల రకాలను పరిశీలిస్తాము.

సంపూర్ణంగా పెరుగుతుంది (Δy) మునుపటి స్థాయి (gr. 3. - గొలుసు సంపూర్ణ పెరుగుదల) లేదా ప్రారంభ స్థాయి (gr. 4. - ప్రాథమిక సంపూర్ణ పెరుగుదల)తో పోల్చితే శ్రేణి యొక్క తదుపరి స్థాయి ఎన్ని యూనిట్లు మార్చబడిందో చూపుతుంది. గణన సూత్రాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

సిరీస్ యొక్క సంపూర్ణ విలువలు తగ్గినప్పుడు, వరుసగా "తగ్గింపు" లేదా "తగ్గింపు" ఉంటుంది.

సంపూర్ణ వృద్ధి సూచికలు సూచిస్తున్నాయి, ఉదాహరణకు, 1998లో, ఉత్పత్తి "A" ఉత్పత్తి 1997తో పోలిస్తే 4 వేల టన్నులు పెరిగింది మరియు 1994తో పోలిస్తే 34 వేల టన్నులు పెరిగింది; ఇతర సంవత్సరాలకు, పట్టిక చూడండి. 11.5 గ్రా 3 మరియు 4.

వృద్ధి రేటుమునుపటి స్థాయి (gr. 5 - పెరుగుదల లేదా క్షీణత యొక్క గొలుసు గుణకాలు) లేదా ప్రారంభ స్థాయి (gr. 6 - పెరుగుదల లేదా క్షీణత యొక్క ప్రాథమిక గుణకాలు)తో పోలిస్తే సిరీస్ స్థాయి ఎన్ని సార్లు మారిందని చూపిస్తుంది. గణన సూత్రాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

వృద్ధి రేట్లుమునుపటి స్థాయి (గ్రా. 7 - చైన్ గ్రోత్ రేట్లు) లేదా ప్రారంభ స్థాయి (గ్రా. 8 - బేసిక్ గ్రోత్ రేట్లు)తో పోల్చితే సిరీస్ యొక్క తదుపరి స్థాయి ఎంత శాతం ఉందో చూపుతుంది. గణన సూత్రాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 1997లో, 1996తో పోలిస్తే ఉత్పత్తి “A” ఉత్పత్తి పరిమాణం 105.5% (

వృద్ధి రేటుమునుపటి (కాలమ్ 9 - చైన్ గ్రోత్ రేట్లు) లేదా ప్రారంభ స్థాయి (కాలమ్ 10 - ప్రాథమిక వృద్ధి రేట్లు)తో పోలిస్తే రిపోర్టింగ్ పీరియడ్ స్థాయి ఎంత శాతం పెరిగింది. గణన సూత్రాలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

T pr = T r - 100% లేదా T pr = మునుపటి కాలం యొక్క సంపూర్ణ వృద్ధి / స్థాయి * 100%

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 1996లో, 1995తో పోలిస్తే, “A” ఉత్పత్తి 3.8% (103.8% - 100%) లేదా (8:210)x100% ఎక్కువ, మరియు 1994తో పోలిస్తే - 9% (109% - 100%).

సిరీస్‌లోని సంపూర్ణ స్థాయిలు తగ్గితే, అప్పుడు రేటు 100% కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు తదనుగుణంగా, క్షీణత రేటు ఉంటుంది (మైనస్ గుర్తుతో పెరుగుదల రేటు).

సంపూర్ణ విలువ 1% పెరుగుదల(కాలమ్ 11) ఇచ్చిన వ్యవధిలో ఎన్ని యూనిట్లు తప్పనిసరిగా ఉత్పత్తి చేయబడాలి, తద్వారా మునుపటి కాలం స్థాయి 1% పెరుగుతుంది. మా ఉదాహరణలో, 1995 లో 2.0 వేల టన్నుల ఉత్పత్తి అవసరం, మరియు 1998 లో - 2.3 వేల టన్నులు, అనగా. చాలా పెద్దది.

1% వృద్ధి యొక్క సంపూర్ణ విలువను రెండు విధాలుగా నిర్ణయించవచ్చు:

మునుపటి కాలం స్థాయి 100 ద్వారా విభజించబడింది;

గొలుసు సంపూర్ణ పెరుగుదలలు సంబంధిత గొలుసు వృద్ధి రేటుతో విభజించబడ్డాయి.

1% పెరుగుదల యొక్క సంపూర్ణ విలువ =

డైనమిక్స్‌లో, ముఖ్యంగా చాలా కాలం పాటు, ప్రతి శాతం పెరుగుదల లేదా తగ్గుదల యొక్క కంటెంట్‌తో వృద్ధి రేటు యొక్క ఉమ్మడి విశ్లేషణ ముఖ్యం.

సమయ శ్రేణిని విశ్లేషించడానికి పరిగణించబడిన పద్దతి సమయ శ్రేణికి వర్తిస్తుందని గమనించండి, వాటి స్థాయిలు సంపూర్ణ విలువలలో (t, వెయ్యి రూబిళ్లు, ఉద్యోగుల సంఖ్య మొదలైనవి) వ్యక్తీకరించబడతాయి మరియు సమయ శ్రేణికి, వాటి స్థాయిలు సాపేక్ష సూచికలలో (% లోపాలలో ,% బొగ్గు యొక్క బూడిద కంటెంట్ మొదలైనవి) లేదా సగటు విలువలలో (c/haలో సగటు దిగుబడి, సగటు వేతనం మొదలైనవి) వ్యక్తీకరించబడతాయి.

పరిగణించబడిన విశ్లేషణాత్మక సూచికలతో పాటు, మునుపటి లేదా ప్రారంభ స్థాయితో పోల్చితే ప్రతి సంవత్సరం లెక్కించబడుతుంది, డైనమిక్స్ సిరీస్‌ను విశ్లేషించేటప్పుడు, కాలానికి సగటు విశ్లేషణాత్మక సూచికలను లెక్కించడం అవసరం: సిరీస్ యొక్క సగటు స్థాయి, సగటు వార్షిక సంపూర్ణ పెరుగుదల (తగ్గింపు) మరియు సగటు వార్షిక వృద్ధి రేటు మరియు వృద్ధి రేటు.

డైనమిక్స్ శ్రేణి యొక్క సగటు స్థాయిని లెక్కించే పద్ధతులు పైన చర్చించబడ్డాయి. మేము పరిశీలిస్తున్న ఇంటర్వెల్ డైనమిక్స్ సిరీస్‌లో, సిరీస్ యొక్క సగటు స్థాయి సాధారణ అంకగణిత సగటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

1994-1998లో ఉత్పత్తి యొక్క సగటు వార్షిక ఉత్పత్తి పరిమాణం. మొత్తం 218.4 వేల టన్నులు.

సగటు వార్షిక సంపూర్ణ వృద్ధి సాధారణ అంకగణిత సగటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కూడా లెక్కించబడుతుంది:

వార్షిక సంపూర్ణ పెరుగుదలలు 4 నుండి 12 వేల టన్నుల వరకు మారుతూ ఉంటాయి (కాలమ్ 3 చూడండి), మరియు 1995 - 1998 మధ్య కాలంలో ఉత్పత్తిలో సగటు వార్షిక పెరుగుదల. మొత్తం 8.5 వేల టన్నులు.

సగటు వృద్ధి రేటు మరియు సగటు వృద్ధి రేటును గణించే పద్ధతులు మరింత వివరణాత్మక పరిశీలన అవసరం. పట్టికలో ఇవ్వబడిన వార్షిక శ్రేణి స్థాయి సూచికల ఉదాహరణను ఉపయోగించి వాటిని పరిశీలిద్దాం.

డైనమిక్స్ సిరీస్ యొక్క సగటు స్థాయి.

డైనమిక్ సిరీస్ (లేదా సమయ శ్రేణి)- ఇవి ఒక నిర్దిష్ట గణాంక సూచిక యొక్క సంఖ్యా విలువలు వరుస క్షణాలు లేదా సమయ వ్యవధిలో (అనగా, కాలక్రమానుసారం అమర్చబడి ఉంటాయి).

డైనమిక్స్ సిరీస్‌ను రూపొందించే ఒకటి లేదా మరొక గణాంక సూచిక యొక్క సంఖ్యా విలువలు అంటారు సిరీస్ స్థాయిలుమరియు సాధారణంగా అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది వై. సిరీస్ మొదటి టర్మ్ y 1ప్రారంభ లేదా అని పిలుస్తారు ప్రాథమిక స్థాయి, మరియు చివరిది y n - చివరి. స్థాయిలు సంబంధించిన క్షణాలు లేదా కాలాలు వీరిచే సూచించబడతాయి t.

డైనమిక్స్ సిరీస్ సాధారణంగా పట్టిక లేదా గ్రాఫ్ రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది మరియు అబ్సిస్సా అక్షం వెంట టైమ్ స్కేల్ నిర్మించబడుతుంది. t, మరియు ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట - సిరీస్ స్థాయిల స్కేల్ వై.

డైనమిక్స్ సిరీస్ యొక్క సగటు సూచికలు

డైనమిక్స్ యొక్క ప్రతి శ్రేణిని నిర్దిష్ట సెట్‌గా పరిగణించవచ్చు nసగటులుగా సంగ్రహించబడే సమయ-మార్పు సూచికలు. వివిధ కాలాలలో, వివిధ దేశాలలో మొదలైన వాటిలో నిర్దిష్ట సూచికలో మార్పులను పోల్చినప్పుడు ఇటువంటి సాధారణీకరించిన (సగటు) సూచికలు ముఖ్యంగా అవసరం.

డైనమిక్స్ శ్రేణి యొక్క సాధారణీకరించిన లక్షణం మొదటగా ఉపయోగపడుతుంది, మధ్య వరుస స్థాయి. సగటు స్థాయిని గణించే పద్ధతి సిరీస్ క్షణికమైనదా లేదా విరామం (ఆవర్తన) అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఎప్పుడు విరామంశ్రేణి యొక్క, దాని సగటు స్థాయి సిరీస్ స్థాయిల యొక్క సాధారణ అంకగణిత సగటు సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, అనగా.

=
అందుబాటులో ఉంటే క్షణంవరుస కలిగి nస్థాయిలు ( y1, y2, …, yn) తేదీల (సమయాల) మధ్య సమాన విరామాలతో, అటువంటి శ్రేణిని సగటు విలువల శ్రేణిగా సులభంగా మార్చవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, ప్రతి వ్యవధి ప్రారంభంలో సూచిక (స్థాయి) ఏకకాలంలో మునుపటి వ్యవధి ముగింపులో సూచికగా ఉంటుంది. అప్పుడు ప్రతి కాలానికి సూచిక యొక్క సగటు విలువ (తేదీల మధ్య విరామం) విలువల మొత్తంలో సగంగా లెక్కించబడుతుంది వద్దకాలం ప్రారంభంలో మరియు ముగింపులో, అనగా. ఎలా . అటువంటి సగటుల సంఖ్య ఉంటుంది. ముందుగా చెప్పినట్లుగా, సగటు విలువల శ్రేణి కోసం, సగటు స్థాయి అంకగణిత సగటును ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది.

కాబట్టి, మనం వ్రాయవచ్చు:
.
న్యూమరేటర్‌ను మార్చిన తర్వాత మనకు లభిస్తుంది:
,

ఎక్కడ Y1మరియు యన్- వరుస యొక్క మొదటి మరియు చివరి స్థాయిలు; యి- ఇంటర్మీడియట్ స్థాయిలు.

ఈ సగటును గణాంకాలలో అంటారు సగటు కాలక్రమానుసారంక్షణం సిరీస్ కోసం. ఇది "క్రోనోస్" (సమయం, లాటిన్) అనే పదం నుండి దాని పేరును పొందింది, ఎందుకంటే ఇది కాలక్రమేణా మారే సూచికల నుండి లెక్కించబడుతుంది.

అసమాన సందర్భంలోతేదీల మధ్య విరామాలు, క్షణాల శ్రేణికి సంబంధించిన కాలక్రమానుసారం సగటును ప్రతి జంట క్షణాల స్థాయిల సగటు విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుగా లెక్కించవచ్చు, తేదీల మధ్య దూరాల (సమయ విరామాలు) ద్వారా బరువు ఉంటుంది, అనగా.
.
ఈ విషయంలోతేదీల మధ్య విరామాలలో స్థాయిలు వేర్వేరు విలువలను తీసుకున్నాయని భావించబడుతుంది మరియు మేము తెలిసిన ఇద్దరిలో ఒకరిగా ఉన్నాము ( యిమరియు yi+1) మేము సగటులను నిర్ణయిస్తాము, దాని నుండి మేము మొత్తం విశ్లేషించబడిన కాలానికి మొత్తం సగటును గణిస్తాము.
ప్రతి విలువ అని భావించినట్లయితే యితదుపరి వరకు మారదు (i+ 1)- వ క్షణం, అనగా. స్థాయిలలో మార్పు యొక్క ఖచ్చితమైన తేదీ తెలిస్తే, బరువున్న అంకగణిత సగటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణనను నిర్వహించవచ్చు:
,

స్థాయి మారకుండా ఉన్న సమయం ఎక్కడ ఉంది.

డైనమిక్స్ సిరీస్‌లో సగటు స్థాయికి అదనంగా, ఇతర సగటు సూచికలు లెక్కించబడతాయి - సిరీస్ స్థాయిలలో సగటు మార్పు (ప్రాథమిక మరియు గొలుసు పద్ధతులు), మార్పు యొక్క సగటు రేటు.

బేస్‌లైన్ అంటే సంపూర్ణ మార్పుమార్పుల సంఖ్యతో భాగించబడిన చివరి అంతర్లీన సంపూర్ణ మార్పు యొక్క భాగం. అంటే

చైన్ అంటే సంపూర్ణ మార్పు శ్రేణి యొక్క స్థాయిలు అనేది అన్ని గొలుసు సంపూర్ణ మార్పుల మొత్తాన్ని మార్పుల సంఖ్యతో భాగించే గుణకం, అంటే

సగటు సంపూర్ణ మార్పుల సంకేతం సగటున ఒక దృగ్విషయంలో మార్పు యొక్క స్వభావాన్ని అంచనా వేయడానికి కూడా ఉపయోగించబడుతుంది: పెరుగుదల, క్షీణత లేదా స్థిరత్వం.

ప్రాథమిక మరియు గొలుసు సంపూర్ణ మార్పులను నియంత్రించే నియమం నుండి ప్రాథమిక మరియు గొలుసు సగటు మార్పులు తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి.

సగటు సంపూర్ణ మార్పుతో పాటు, సాపేక్ష సగటు కూడా ప్రాథమిక మరియు గొలుసు పద్ధతులను ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది.

బేస్లైన్ సగటు సాపేక్ష మార్పుసూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

చైన్ సగటు సాపేక్ష మార్పుసూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

సహజంగానే, ప్రాథమిక మరియు గొలుసు సగటు సాపేక్ష మార్పులు తప్పనిసరిగా ఒకే విధంగా ఉండాలి మరియు వాటిని ప్రమాణం విలువ 1తో పోల్చడం ద్వారా, దృగ్విషయంలో సగటు మార్పు యొక్క స్వభావం గురించి ఒక తీర్మానం చేయబడుతుంది: పెరుగుదల, క్షీణత లేదా స్థిరత్వం.
బేస్ లేదా గొలుసు సగటు సంబంధిత మార్పు నుండి 1ని తీసివేయడం ద్వారా, సంబంధితంగా ఉంటుంది మార్పు యొక్క సగటు రేటు, ఈ డైనమిక్స్ శ్రేణి ద్వారా ప్రతిబింబించే అధ్యయనంలో ఉన్న దృగ్విషయంలో మార్పు యొక్క స్వభావాన్ని కూడా నిర్ధారించగల సంకేతం ద్వారా.

కాలానుగుణ హెచ్చుతగ్గులు మరియు కాలానుగుణ సూచికలు.

కాలానుగుణ హెచ్చుతగ్గులు స్థిరమైన అంతర్గత-వార్షిక హెచ్చుతగ్గులు.

గరిష్ట ప్రభావాన్ని పొందడానికి నిర్వహణ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రం ఆదాయాన్ని పెంచడం మరియు ఖర్చులను తగ్గించడం. కాలానుగుణ హెచ్చుతగ్గులను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, గరిష్ట సమీకరణం యొక్క సమస్య సంవత్సరంలో ప్రతి స్థాయిలో పరిష్కరించబడుతుంది.

కాలానుగుణ హెచ్చుతగ్గులను అధ్యయనం చేసినప్పుడు, రెండు పరస్పర సంబంధం ఉన్న సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి:

1. ఇంట్రా-వార్షిక డైనమిక్స్‌లో దృగ్విషయం యొక్క అభివృద్ధి యొక్క ప్రత్యేకతల గుర్తింపు;

2. కాలానుగుణ తరంగ నమూనాను నిర్మించడంతో కాలానుగుణ హెచ్చుతగ్గులను కొలవడం;

కాలానుగుణ వైవిధ్యాన్ని కొలవడానికి, కాలానుగుణ టర్కీలు సాధారణంగా లెక్కించబడతాయి. సాధారణంగా, అవి సైద్ధాంతిక సమీకరణాలకు డైనమిక్స్ శ్రేణి యొక్క ప్రారంభ సమీకరణాల నిష్పత్తి ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి, ఇవి పోలికకు ఆధారంగా పనిచేస్తాయి.

కాలానుగుణ హెచ్చుతగ్గులపై యాదృచ్ఛిక విచలనాలు అధికంగా ఉంటాయి కాబట్టి, వాటిని తొలగించడానికి కాలానుగుణ సూచికలు సగటున ఉంటాయి.

ఈ సందర్భంలో, వార్షిక చక్రం యొక్క ప్రతి కాలానికి, సాధారణీకరించిన సూచికలు సగటు కాలానుగుణ సూచికల రూపంలో నిర్ణయించబడతాయి:

సగటు కాలానుగుణ హెచ్చుతగ్గుల సూచికలు ప్రధాన అభివృద్ధి ధోరణి యొక్క యాదృచ్ఛిక విచలనాల ప్రభావం నుండి ఉచితం.

ట్రెండ్ యొక్క స్వభావాన్ని బట్టి, సగటు కాలానుగుణ సూచిక సూత్రం క్రింది రూపాలను తీసుకోవచ్చు:

1.అభివృద్ధి యొక్క స్పష్టంగా వ్యక్తీకరించబడిన ప్రధాన ధోరణితో అంతర్గత-వార్షిక డైనమిక్స్ సిరీస్ కోసం:

2. ఇంట్రా-వార్షిక డైనమిక్స్ శ్రేణిలో పెరుగుదల లేదా తగ్గుదల ధోరణి లేదు లేదా తక్కువగా ఉంటుంది:

మొత్తం సగటు ఎక్కడ ఉంది;

ప్రధాన ధోరణిని విశ్లేషించే పద్ధతులు.

కాలక్రమేణా దృగ్విషయాల అభివృద్ధి విభిన్న స్వభావం మరియు ప్రభావం యొక్క బలం యొక్క కారకాలచే ప్రభావితమవుతుంది. వాటిలో కొన్ని యాదృచ్ఛికంగా ఉంటాయి, మరికొన్ని దాదాపు స్థిరమైన ప్రభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి మరియు డైనమిక్స్‌లో ఒక నిర్దిష్ట అభివృద్ధి ధోరణిని ఏర్పరుస్తాయి.

వివిధ యాదృచ్ఛిక కారకాల ప్రభావం నుండి విముక్తి పొందిన సిరీస్‌లో ట్రెండ్ డైనమిక్‌లను గుర్తించడం గణాంకాల యొక్క ముఖ్యమైన పని. ఈ ప్రయోజనం కోసం, సమయ శ్రేణిని విస్తరించే విరామాలు, కదిలే సగటు మరియు విశ్లేషణాత్మక లెవలింగ్ మొదలైన పద్ధతుల ద్వారా ప్రాసెస్ చేయబడతాయి.

విరామ విస్తరణ పద్ధతికాల వ్యవధుల విస్తరణపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇందులో డైనమిక్స్ శ్రేణి స్థాయిలు ఉంటాయి, అనగా. చిన్న కాల వ్యవధులకు సంబంధించిన డేటాను పెద్ద కాలాల కోసం డేటాతో భర్తీ చేయడం. సిరీస్ యొక్క ప్రారంభ స్థాయిలు తక్కువ వ్యవధికి సంబంధించి ఉన్నప్పుడు ఇది ప్రత్యేకంగా ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, రోజువారీ ఈవెంట్‌లకు సంబంధించిన సూచికల శ్రేణి వారంవారీ, నెలవారీ మొదలైన వాటికి సంబంధించిన సిరీస్‌తో భర్తీ చేయబడుతుంది. ఇది మరింత స్పష్టంగా చూపుతుంది "దృగ్విషయం యొక్క అభివృద్ధి అక్షం". విస్తారిత వ్యవధిలో లెక్కించబడిన సగటు, ప్రధాన అభివృద్ధి ధోరణి యొక్క దిశ మరియు స్వభావాన్ని (త్వరణం లేదా వృద్ధి మందగమనం) గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది.

కదిలే సగటు పద్ధతిమునుపటి మాదిరిగానే, కానీ ఈ సందర్భంలో వాస్తవ స్థాయిలు వరుసగా కదిలే (స్లైడింగ్) విస్తరించిన విరామాలను కవర్ చేయడానికి లెక్కించిన సగటు స్థాయిలతో భర్తీ చేయబడతాయి. mసిరీస్ స్థాయిలు.

ఉదాహరణకి, మేము అంగీకరిస్తే m=3,అప్పుడు మొదట సిరీస్ యొక్క మొదటి మూడు స్థాయిల సగటు లెక్కించబడుతుంది, ఆపై - అదే స్థాయిల సంఖ్య నుండి, కానీ రెండవ నుండి ప్రారంభించి, ఆపై - మూడవది నుండి మొదలవుతుంది. అందువలన, డైనమిక్స్ సిరీస్‌లో సగటు "స్లయిడ్‌లు" ఒక పదం ద్వారా కదులుతున్నాయి. నుండి లెక్కించబడింది mసభ్యులు, కదిలే సగటులు ప్రతి విరామం మధ్యలో (కేంద్రాన్ని) సూచిస్తాయి.

ఈ పద్ధతి యాదృచ్ఛిక హెచ్చుతగ్గులను మాత్రమే తొలగిస్తుంది. సిరీస్ కాలానుగుణ తరంగాని కలిగి ఉన్నట్లయితే, కదిలే సగటు పద్ధతిని ఉపయోగించి సున్నితంగా చేసిన తర్వాత కూడా అది కొనసాగుతుంది.

విశ్లేషణాత్మక అమరిక. యాదృచ్ఛిక హెచ్చుతగ్గులను తొలగించడానికి మరియు ధోరణిని గుర్తించడానికి, విశ్లేషణాత్మక సూత్రాలను (లేదా విశ్లేషణాత్మక లెవలింగ్) ఉపయోగించి సిరీస్ స్థాయిల లెవలింగ్ ఉపయోగించబడుతుంది. అనుభావిక (వాస్తవ) స్థాయిలను సైద్ధాంతిక వాటితో భర్తీ చేయడం దీని సారాంశం, ఇది గణిత ధోరణి నమూనాగా స్వీకరించబడిన నిర్దిష్ట సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది, ఇక్కడ సైద్ధాంతిక స్థాయిలు సమయం యొక్క విధిగా పరిగణించబడతాయి: ఈ సందర్భంలో, ప్రతి వాస్తవ స్థాయి రెండు భాగాల మొత్తంగా పరిగణించబడుతుంది: , ఇక్కడ ఒక క్రమబద్ధమైన భాగం మరియు నిర్దిష్ట సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది మరియు ఇది ట్రెండ్ చుట్టూ హెచ్చుతగ్గులకు కారణమయ్యే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్.

విశ్లేషణాత్మక అమరిక యొక్క పని క్రిందికి వస్తుంది:

1. అధ్యయనంలో ఉన్న సూచిక యొక్క అభివృద్ధి ధోరణిని చాలా తగినంతగా ప్రతిబింబించే ఊహాజనిత ఫంక్షన్ రకం యొక్క వాస్తవ డేటా ఆధారంగా నిర్ధారణ.

2. అనుభావిక డేటా నుండి పేర్కొన్న ఫంక్షన్ (సమీకరణం) యొక్క పారామితులను కనుగొనడం

3. సైద్ధాంతిక (సమలేఖనం చేయబడిన) స్థాయిల కనుగొన్న సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి గణన.

ఒక నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఎంపిక, ఒక నియమం వలె, అనుభావిక డేటా యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం ఆధారంగా నిర్వహించబడుతుంది.

నమూనాలు రిగ్రెషన్ సమీకరణాలు, వీటిలో పారామితులు కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి లెక్కించబడతాయి

సమయ శ్రేణిని సమలేఖనం చేయడానికి అత్యంత సాధారణంగా ఉపయోగించే రిగ్రెషన్ సమీకరణాలు దిగువన ఉన్నాయి, అవి ప్రతిబింబించడానికి ఏ నిర్దిష్ట అభివృద్ధి ధోరణులను అత్యంత అనుకూలమైనవిగా సూచిస్తాయి.

పై సమీకరణాల పారామితులను కనుగొనడానికి, ప్రత్యేక అల్గోరిథంలు మరియు కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లు ఉన్నాయి. ప్రత్యేకించి, సరళ రేఖ సమీకరణం యొక్క పారామితులను కనుగొనడానికి, క్రింది అల్గోరిథం ఉపయోగించవచ్చు:

సమయం యొక్క కాలాలు లేదా క్షణాలు St = 0 అని లెక్కించబడితే, పై అల్గారిథమ్‌లు గణనీయంగా సరళీకృతం చేయబడతాయి మరియు మారుతాయి

చార్ట్‌లో సమలేఖనం చేయబడిన స్థాయిలు ఈ డైనమిక్ సిరీస్ యొక్క వాస్తవ స్థాయిల నుండి అత్యంత సమీప దూరం వద్ద ఒక సరళ రేఖపై ఉంటాయి. స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం యాదృచ్ఛిక కారకాల ప్రభావం యొక్క ప్రతిబింబం.

దానిని ఉపయోగించి, మేము సమీకరణం యొక్క సగటు (ప్రామాణిక) లోపాన్ని లెక్కిస్తాము:

ఇక్కడ n అనేది పరిశీలనల సంఖ్య, మరియు m అనేది సమీకరణంలోని పారామితుల సంఖ్య (మాకు వాటిలో రెండు ఉన్నాయి - b 1 మరియు b 0).

ప్రధాన ధోరణి (ధోరణి) క్రమబద్ధమైన కారకాలు డైనమిక్స్ శ్రేణి స్థాయిలను ఎలా ప్రభావితం చేస్తాయో చూపిస్తుంది మరియు ట్రెండ్ () చుట్టూ ఉన్న స్థాయిల హెచ్చుతగ్గులు అవశేష కారకాల ప్రభావం యొక్క కొలతగా ఉపయోగపడుతుంది.

ఉపయోగించిన సమయ శ్రేణి మోడల్ నాణ్యతను అంచనా వేయడానికి, ఇది కూడా ఉపయోగించబడుతుంది ఫిషర్ యొక్క F పరీక్ష. ఇది రెండు వ్యత్యాసాల నిష్పత్తి, అవి తిరోగమనం వల్ల కలిగే వ్యత్యాసం యొక్క నిష్పత్తి, అనగా. అధ్యయనం చేయబడిన అంశం, యాదృచ్ఛిక కారణాల వల్ల ఏర్పడే వైవిధ్యానికి, అనగా. అవశేష వ్యాప్తి:

విస్తరించిన రూపంలో, ఈ ప్రమాణం యొక్క సూత్రాన్ని క్రింది విధంగా ప్రదర్శించవచ్చు:

ఇక్కడ n అనేది పరిశీలనల సంఖ్య, అనగా. వరుస స్థాయిల సంఖ్య,

m అనేది సమీకరణంలోని పారామితుల సంఖ్య, y అనేది సిరీస్ యొక్క వాస్తవ స్థాయి,

సమలేఖనం చేయబడిన అడ్డు వరుస స్థాయి - మధ్య వరుస స్థాయి.

ఇతరుల కంటే ఎక్కువ విజయవంతమైన మోడల్ ఎల్లప్పుడూ తగినంత సంతృప్తికరంగా ఉండకపోవచ్చు. దాని ప్రమాణం F తెలిసిన క్లిష్టమైన పరిమితిని దాటిన సందర్భంలో మాత్రమే ఇది గుర్తించబడుతుంది. ఈ సరిహద్దు F-పంపిణీ పట్టికలను ఉపయోగించి ఏర్పాటు చేయబడింది.

సూచికల సారాంశం మరియు వర్గీకరణ.

గణాంకాలలో, సూచిక అనేది సమయం, స్థలం లేదా ఏదైనా ప్రమాణంతో పోల్చినప్పుడు దృగ్విషయం యొక్క పరిమాణంలో మార్పును సూచించే సాపేక్ష సూచికగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది.

ఇండెక్స్ రిలేషన్ యొక్క ప్రధాన అంశం ఇండెక్స్ చేయబడిన విలువ. సూచిక చేయబడిన విలువ గణాంక జనాభా యొక్క లక్షణం యొక్క విలువగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది, దీని మార్పు అధ్యయనం యొక్క వస్తువు.

సూచికలను ఉపయోగించి, మూడు ప్రధాన పనులు పరిష్కరించబడతాయి:

1) సంక్లిష్ట దృగ్విషయంలో మార్పుల అంచనా;

2) సంక్లిష్ట దృగ్విషయంలో మార్పులపై వ్యక్తిగత కారకాల ప్రభావాన్ని నిర్ణయించడం;

3) ఒక దృగ్విషయం యొక్క పరిమాణాన్ని గత కాలం యొక్క పరిమాణం, మరొక భూభాగం యొక్క పరిమాణం, అలాగే ప్రమాణాలు, ప్రణాళికలు మరియు అంచనాలతో పోల్చడం.

సూచికలు 3 ప్రమాణాల ప్రకారం వర్గీకరించబడ్డాయి:

2) జనాభా యొక్క అంశాల కవరేజ్ డిగ్రీ ప్రకారం;

3) సాధారణ సూచికలను లెక్కించే పద్ధతుల ప్రకారం.

కంటెంట్ ద్వారాసూచిక పరిమాణాలు, సూచికలు పరిమాణాత్మక (వాల్యూమ్) సూచికలు మరియు గుణాత్మక సూచికల సూచికలుగా విభజించబడ్డాయి. పరిమాణాత్మక సూచికల సూచికలు - పారిశ్రామిక ఉత్పత్తుల భౌతిక వాల్యూమ్ యొక్క సూచికలు, అమ్మకాల భౌతిక పరిమాణం, హెడ్‌కౌంట్, మొదలైనవి. గుణాత్మక సూచికల సూచికలు - ధరలు, ఖర్చులు, కార్మిక ఉత్పాదకత, సగటు వేతనాలు మొదలైనవి.

జనాభా యూనిట్ల కవరేజ్ స్థాయి ప్రకారం, సూచికలు రెండు తరగతులుగా విభజించబడ్డాయి: వ్యక్తిగత మరియు సాధారణ. వాటిని వర్గీకరించడానికి, మేము సూచిక పద్ధతిని ఉపయోగించే ఆచరణలో అనుసరించిన క్రింది సంప్రదాయాలను పరిచయం చేస్తాము:

q- భౌతిక పరంగా ఏదైనా ఉత్పత్తి యొక్క పరిమాణం (వాల్యూమ్). ; ఆర్- యూనిట్ ధర; z- యూనిట్ ఉత్పత్తి ఖర్చు; t- ఉత్పత్తి యూనిట్ ఉత్పత్తికి వెచ్చించే సమయం (కార్మిక తీవ్రత) ; w- యూనిట్ సమయానికి విలువ పరంగా ఉత్పత్తుల ఉత్పత్తి; v- యూనిట్ సమయానికి భౌతిక పరంగా ఉత్పత్తి అవుట్‌పుట్; టి- గడిపిన మొత్తం సమయం లేదా ఉద్యోగుల సంఖ్య.

ఇండెక్స్ చేయబడిన పరిమాణాలు ఏ కాలం లేదా వస్తువుకు చెందినవని గుర్తించడానికి, సంబంధిత చిహ్నం యొక్క దిగువ కుడి వైపున సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లను ఉంచడం ఆచారం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, డైనమిక్స్ సూచికలలో, ఒక నియమం వలె, సబ్‌స్క్రిప్ట్ 1 పోల్చబడిన కాలాలకు (ప్రస్తుత, రిపోర్టింగ్) మరియు పోలిక చేయబడిన కాలాల కోసం ఉపయోగించబడుతుంది,

వ్యక్తిగత సూచికలుసంక్లిష్ట దృగ్విషయం యొక్క వ్యక్తిగత అంశాలలో మార్పులను వర్గీకరించడానికి ఉపయోగపడుతుంది (ఉదాహరణకు, ఒక రకమైన ఉత్పత్తి యొక్క అవుట్పుట్ పరిమాణంలో మార్పు). అవి డైనమిక్స్ యొక్క సాపేక్ష విలువలను సూచిస్తాయి, బాధ్యతల నెరవేర్పు, ఇండెక్స్డ్ విలువల పోలిక.

ఉత్పత్తుల యొక్క భౌతిక వాల్యూమ్ యొక్క వ్యక్తిగత సూచిక నిర్ణయించబడుతుంది

విశ్లేషణాత్మక దృక్కోణం నుండి, ఇవ్వబడిన వ్యక్తిగత డైనమిక్స్ సూచికలు వృద్ధి గుణకాలు (రేట్లు) వలె ఉంటాయి మరియు బేస్ పీరియడ్‌తో పోలిస్తే ప్రస్తుత వ్యవధిలో ఇండెక్స్డ్ విలువలో మార్పును వర్గీకరిస్తాయి, అనగా అవి ఎన్ని సార్లు పెరిగిందో (తగ్గింది) లేదా అది ఎంత శాతం వృద్ధి (తగ్గింపు). సూచిక విలువలు గుణకాలు లేదా శాతాలలో వ్యక్తీకరించబడతాయి.

సాధారణ (మిశ్రమ) సూచికసంక్లిష్ట దృగ్విషయం యొక్క అన్ని అంశాలలో మార్పులను ప్రతిబింబిస్తుంది.

సమగ్ర సూచికఅనేది సూచిక యొక్క ప్రాథమిక రూపం. దీని లవం మరియు హారం “సంకలనాలు” సమితి కాబట్టి దీనిని సముదాయం అంటారు.

సగటు సూచికలు, వాటి నిర్వచనం.

మొత్తం సూచికలతో పాటు, వాటి యొక్క మరొక రూపం గణాంకాలలో ఉపయోగించబడుతుంది - బరువున్న సగటు సూచికలు. అందుబాటులో ఉన్న సమాచారం సాధారణ మొత్తం సూచికను లెక్కించడానికి అనుమతించనప్పుడు వారి గణన ఆశ్రయించబడుతుంది. అందువల్ల, ధరలపై డేటా లేనప్పటికీ, ప్రస్తుత కాలంలో ఉత్పత్తుల ధరపై సమాచారం ఉంటే మరియు ప్రతి ఉత్పత్తికి వ్యక్తిగత ధర సూచికలు తెలిసినట్లయితే, సాధారణ ధర సూచికను మొత్తంగా నిర్ణయించలేము, కానీ అది సాధ్యమే వ్యక్తిగత వాటిని సగటుగా లెక్కించేందుకు. అదే విధంగా, ఉత్పత్తి చేయబడిన ఉత్పత్తుల యొక్క వ్యక్తిగత రకాల పరిమాణాలు తెలియకపోయినా, వ్యక్తిగత సూచికలు మరియు బేస్ పీరియడ్ యొక్క ఉత్పత్తి వ్యయం తెలిసినట్లయితే, ఉత్పత్తి యొక్క భౌతిక పరిమాణం యొక్క సాధారణ సూచికను బరువున్న సగటుగా నిర్ణయించవచ్చు. విలువ.

సగటు సూచిక -ఈవ్యక్తిగత సూచికల సగటుగా లెక్కించబడిన సూచిక. సమగ్ర సూచిక అనేది సాధారణ సూచిక యొక్క ప్రాథమిక రూపం, కాబట్టి సగటు సూచిక తప్పనిసరిగా మొత్తం సూచికకు సమానంగా ఉండాలి. సగటు సూచికలను లెక్కించేటప్పుడు, సగటు యొక్క రెండు రూపాలు ఉపయోగించబడతాయి: అంకగణితం మరియు హార్మోనిక్.

వ్యక్తిగత సూచికల బరువులు మొత్తం సూచిక యొక్క హారం యొక్క నిబంధనలు అయితే అంకగణిత సగటు సూచిక మొత్తం సూచికకు సమానంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో మాత్రమే, అంకగణిత సగటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించిన సూచిక విలువ మొత్తం సూచికకు సమానంగా ఉంటుంది.

ఈ వ్యాసంలో నేను మాట్లాడతాను ప్రామాణిక విచలనాన్ని ఎలా కనుగొనాలి. గణితంపై పూర్తి అవగాహన కోసం ఈ పదార్థం చాలా ముఖ్యమైనది, కాబట్టి గణిత బోధకుడు ఒక ప్రత్యేక పాఠాన్ని లేదా అనేక పాఠాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి కేటాయించాలి. ఈ వ్యాసంలో మీరు ప్రామాణిక విచలనం మరియు దానిని ఎలా కనుగొనాలో వివరించే వివరణాత్మక మరియు అర్థమయ్యే వీడియో ట్యుటోరియల్‌కి లింక్‌ను కనుగొంటారు.

ప్రామాణిక విచలనంఒక నిర్దిష్ట పరామితిని కొలిచే ఫలితంగా పొందిన విలువల వ్యాప్తిని అంచనా వేయడం సాధ్యం చేస్తుంది. చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది (గ్రీకు అక్షరం "సిగ్మా").

గణన సూత్రం చాలా సులభం. ప్రామాణిక విచలనాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోవాలి. కాబట్టి ఇప్పుడు మీరు "భేదం అంటే ఏమిటి?" అని అడగాలి.

వైవిధ్యం అంటే ఏమిటి

వైవిధ్యం యొక్క నిర్వచనం ఇలా ఉంటుంది. విక్షేపణం అనేది సగటు నుండి విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల యొక్క అంకగణిత సగటు.

వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడానికి, కింది గణనలను వరుసగా చేయండి:

• సగటును నిర్ణయించండి (విలువల శ్రేణి యొక్క సాధారణ అంకగణిత సగటు).
• ఆపై ప్రతి విలువ నుండి సగటును తీసివేసి, ఫలిత వ్యత్యాసాన్ని వర్గీకరించండి (మీకు లభిస్తుంది స్క్వేర్డ్ తేడా).
• ఫలిత స్క్వేర్డ్ తేడాల యొక్క అంకగణిత సగటును లెక్కించడం తదుపరి దశ (క్రింద ఉన్న చతురస్రాలు ఎందుకు ఖచ్చితంగా ఉన్నాయో మీరు కనుగొనవచ్చు).

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. మీరు మరియు మీ స్నేహితులు మీ కుక్కల ఎత్తు (మిల్లీమీటర్లలో) కొలవాలని నిర్ణయించుకున్నారని అనుకుందాం. కొలతల ఫలితంగా, మీరు క్రింది ఎత్తు కొలతలు (విథర్స్ వద్ద) అందుకున్నారు: 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm మరియు 300 mm.

సగటు, వ్యత్యాసం మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని గణిద్దాం.

మొదట సగటు విలువను కనుగొనండి. మీకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, దీన్ని చేయడానికి మీరు అన్ని కొలిచిన విలువలను జోడించాలి మరియు కొలతల సంఖ్యతో విభజించాలి. గణన పురోగతి:

సగటు మి.మీ.

కాబట్టి, సగటు (అంకగణిత సగటు) 394 మిమీ.

ఇప్పుడు మనం నిర్ణయించుకోవాలి సగటు నుండి ప్రతి కుక్క ఎత్తు యొక్క విచలనం:

చివరగా, వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి, మేము ప్రతి ఫలిత వ్యత్యాసాన్ని వర్గీకరిస్తాము, ఆపై పొందిన ఫలితాల యొక్క అంకగణిత సగటును కనుగొంటాము:

వ్యాప్తి mm 2 .

అందువలన, వ్యాప్తి 21704 mm 2.

ప్రామాణిక విచలనాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

కాబట్టి మనం ఇప్పుడు వైవిధ్యాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా ప్రామాణిక విచలనాన్ని ఎలా లెక్కించవచ్చు? మనకు గుర్తున్నట్లుగా, దాని వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి. అంటే, ప్రామాణిక విచలనం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:

Mm (మిమీలో సమీప పూర్ణ సంఖ్యకు గుండ్రంగా ఉంటుంది).

ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి, కొన్ని కుక్కలు (ఉదాహరణకు, Rottweilers) చాలా పెద్ద కుక్కలు అని మేము కనుగొన్నాము. కానీ చాలా చిన్న కుక్కలు కూడా ఉన్నాయి (ఉదాహరణకు, డాచ్‌షండ్‌లు, కానీ మీరు వాటిని చెప్పకూడదు).

అత్యంత ఆసక్తికరమైన విషయం ఏమిటంటే, ప్రామాణిక విచలనం ఉపయోగకరమైన సమాచారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఇప్పుడు మనం సగటు (దాని రెండు వైపులా) నుండి ప్రామాణిక విచలనాన్ని ప్లాట్ చేస్తే మనకు లభించే విరామంలోపు పొందిన ఎత్తు కొలత ఫలితాలలో ఏది చూపవచ్చు.

అంటే, ప్రామాణిక విచలనాన్ని ఉపయోగించి, మేము "ప్రామాణిక" పద్ధతిని పొందుతాము, ఇది విలువలలో ఏది సాధారణమో (గణాంక సగటు) మరియు ఇది అసాధారణంగా పెద్దది లేదా దీనికి విరుద్ధంగా చిన్నది అని తెలుసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది.

ప్రామాణిక విచలనం అంటే ఏమిటి

కానీ... విశ్లేషిస్తే అన్నీ కాస్త భిన్నంగా ఉంటాయి నమూనాసమాచారం. మా ఉదాహరణలో మేము పరిగణించాము సామాన్య జనాభా.అంటే, మా 5 కుక్కలు ప్రపంచంలో మాకు ఆసక్తి కలిగించే ఏకైక కుక్కలు.

కానీ డేటా నమూనా అయితే (విలువలు పెద్ద జనాభా నుండి ఎంపిక చేయబడతాయి), అప్పుడు లెక్కలు భిన్నంగా చేయాలి.

విలువలు ఉంటే, అప్పుడు:

సగటు యొక్క నిర్ణయంతో సహా అన్ని ఇతర గణనలు అదేవిధంగా నిర్వహించబడతాయి.

ఉదాహరణకు, మన ఐదు కుక్కలు కుక్కల జనాభాకు ఒక నమూనా అయితే (గ్రహం మీద ఉన్న అన్ని కుక్కలు), మనం విభజించాలి 4, 5 కాదు,అవి:

నమూనా వ్యత్యాసం = mm 2.

ఈ సందర్భంలో, నమూనా యొక్క ప్రామాణిక విచలనం సమానంగా ఉంటుంది mm (సమీప పూర్ణ సంఖ్యకు గుండ్రంగా ఉంటుంది).

మా విలువలు కేవలం చిన్న నమూనాగా ఉన్న సందర్భంలో మేము కొన్ని "దిద్దుబాటు" చేసామని చెప్పవచ్చు.

గమనిక. ఎందుకు ఖచ్చితంగా స్క్వేర్డ్ తేడాలు?

అయితే వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించేటప్పుడు మనం సరిగ్గా స్క్వేర్డ్ తేడాలను ఎందుకు తీసుకుంటాము? కొన్ని పరామితిని కొలిచేటప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది విలువలను అందుకున్నారని చెప్పండి: 4; 4; -4; -4. మనం సగటు (తేడాలు) నుండి సంపూర్ణ విచలనాలను కలిపితే... ప్రతికూల విలువలు సానుకూల వాటితో రద్దు చేయబడతాయి:

.

ఈ ఎంపిక పనికిరానిదని తేలింది. అప్పుడు విచలనాల యొక్క సంపూర్ణ విలువలను (అంటే, ఈ విలువల మాడ్యూల్స్) ప్రయత్నించడం విలువైనదేనా?

మొదటి చూపులో, ఇది బాగా మారుతుంది (ఫలితం విలువ, మార్గం ద్వారా, సగటు సంపూర్ణ విచలనం అని పిలుస్తారు), కానీ అన్ని సందర్భాల్లోనూ కాదు. మరొక ఉదాహరణను ప్రయత్నిద్దాం. కింది విలువల సెట్‌లో కొలత ఫలితాన్ని ఇవ్వనివ్వండి: 7; 1; -6; -2. అప్పుడు సగటు సంపూర్ణ విచలనం:

వావ్! తేడాలు చాలా పెద్ద స్ప్రెడ్‌ను కలిగి ఉన్నప్పటికీ, మళ్లీ మనకు 4 ఫలితం వచ్చింది.

ఇప్పుడు మనం తేడాలను వర్గీకరిస్తే (ఆ తర్వాత వాటి మొత్తం యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకుంటే) ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం.

మొదటి ఉదాహరణ కోసం ఇది ఉంటుంది:

.

రెండవ ఉదాహరణ కోసం ఇది ఉంటుంది:

ఇప్పుడు ఇది పూర్తిగా భిన్నమైన విషయం! వ్యత్యాసాల వ్యాప్తి ఎంత ఎక్కువగా ఉంటే, ప్రామాణిక విచలనం అంత ఎక్కువగా ఉంటుంది.. దీనినే మనం లక్ష్యంగా చేసుకున్నాం.

వాస్తవానికి, ఈ పద్ధతి పాయింట్ల మధ్య దూరాన్ని లెక్కించేటప్పుడు అదే ఆలోచనను ఉపయోగిస్తుంది, వేరొక విధంగా మాత్రమే వర్తించబడుతుంది.

మరియు గణిత శాస్త్ర దృక్కోణం నుండి, స్క్వేర్‌లు మరియు వర్గమూలాలను ఉపయోగించడం వలన సంపూర్ణ విచలనం విలువల నుండి మనం పొందగలిగే దానికంటే ఎక్కువ ప్రయోజనాలను అందిస్తుంది, దీని వలన ఇతర గణిత సమస్యలకు ప్రామాణిక విచలనం వర్తిస్తుంది.

ప్రామాణిక విచలనాన్ని ఎలా కనుగొనాలో సెర్గీ వాలెరివిచ్ మీకు చెప్పారు

పరిశీలన యూనిట్లను ఎంచుకున్నప్పుడు, పక్షపాత లోపాలు సాధ్యమే, అనగా. అటువంటి సంఘటనలు, వాటి సంభవం ఖచ్చితంగా ఊహించలేము. ఈ లోపాలు లక్ష్యం మరియు సహజమైనవి. నమూనా అధ్యయనం యొక్క ఖచ్చితత్వం యొక్క డిగ్రీని నిర్ణయించేటప్పుడు, నమూనా ప్రక్రియలో సంభవించే లోపం మొత్తం అంచనా వేయబడుతుంది. ఇటువంటి లోపాలు యాదృచ్ఛికంగా పిలువబడతాయి లోపాలు ఆర్ఇ మొదలైనవిలేకుండా ఉద్దేశపూర్వకంగాతో మీరు(మీ),

ఆచరణలో, గణాంక పరిశోధనను నిర్వహించేటప్పుడు సగటు నమూనా దోషాన్ని గుర్తించడానికి, క్రింది సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి:

1) సగటు విలువ (M) యొక్క సగటు లోపాన్ని (m m) లెక్కించేందుకు:

, ఇక్కడ σ అనేది ప్రామాణిక విచలనం;

n - నమూనా పరిమాణం.

ఇది పెద్ద నమూనా కోసం మరియు చిన్న n-1 కోసం

92 ప్రామాణిక విచలనం. గణన పద్ధతి, డాక్టర్ పనిలో అప్లికేషన్.

వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క వైవిధ్యాన్ని అంచనా వేయడానికి సుమారు పద్ధతి పరిమితిని నిర్ణయించడం, అనగా. పరిమాణాత్మక లక్షణం యొక్క కనిష్ట మరియు గరిష్ట విలువలు మరియు వ్యాప్తి - అనగా. అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువ ఎంపిక (Vmax - Vmin) మధ్య వ్యత్యాసం. అయితే, పరిమితి మరియు వ్యాప్తి సిరీస్‌లోని వేరియంట్ విలువలను పరిగణనలోకి తీసుకోదు.

వైవిధ్య శ్రేణిలోని పరిమాణాత్మక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క ప్రధాన సాధారణంగా ఆమోదించబడిన కొలత σ - సిగ్మా).

రెండు ఆసుపత్రుల్లో చికిత్స యొక్క సగటు వ్యవధి ఒకే విధంగా ఉంటుంది , అయినప్పటికీ, రెండవ ఆసుపత్రిలో వైవిధ్యం ఎక్కువగా ఉంది.

ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించే పద్ధతి క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

2. అంకగణిత సగటు (V-M=d) నుండి వ్యక్తిగత ఎంపికల విచలనాలను నిర్ణయించండి. వైద్య గణాంకాలలో, సగటు నుండి విచలనాలు d (విచలనం)గా సూచించబడతాయి. అన్ని విచలనాల మొత్తం సున్నాకి సమానం (కాలమ్ 3 . పట్టిక 5)

3. ప్రతి విచలనాన్ని స్క్వేర్ చేయండి (కాలమ్ 4 . పట్టిక 5)

4. సంబంధిత పౌనఃపున్యాల d2*p (కాలమ్ 5, టేబుల్ 5) ద్వారా విచలనాల చతురస్రాలను గుణించండి.

5. సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి:

n 30 కంటే ఎక్కువ ఉన్నప్పుడు, లేదా
. n అనేది 30 కంటే తక్కువగా లేదా సమానంగా ఉన్నప్పుడు, ఇక్కడ n అనేది అన్ని ఎంపికల సంఖ్య

ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించే పద్ధతి టేబుల్ 5లో ఇవ్వబడింది.

ప్రామాణిక విచలనం సగటు యొక్క విలక్షణత యొక్క డిగ్రీని స్థాపించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది , పరిధి స్కాటరింగ్ పరిమితులు, అనేక పంపిణీ వరుసల వైవిధ్యాన్ని సరిపోల్చండి. , వైవిధ్యం యొక్క గుణకం (Cv)

పట్టిక 5

రోజుల సంఖ్య V	రోగుల సంఖ్య Ρ

M=20 n=95 Σ=252

ఉదాహరణ: ఒక ప్రత్యేక అధ్యయనం ప్రకారం, N నగరంలో 7 సంవత్సరాల వయస్సు గల అబ్బాయిల సగటు ఎత్తు 117.7 cm (σ=5 . 1 సెం.మీ.) , మరియు సగటు బరువు 21.7 kg (σ = 2.4 kg). బరువు మరియు ఎత్తు పరిమాణాలు అని పేరు పెట్టబడినందున, ప్రామాణిక విచలనాలను పోల్చడం ద్వారా ఎత్తు మరియు బరువు యొక్క వైవిధ్యాన్ని అంచనా వేయడం అసాధ్యం. అందువల్ల, సాపేక్ష విలువ ఉపయోగించబడుతుంది - వైవిధ్యం యొక్క గుణకం:

,

ఎత్తు (4.3%) మరియు బరువు (11.2%) కోసం వైవిధ్యం యొక్క గుణకాల పోలిక చూపిస్తుంది , బరువు వైవిధ్యం యొక్క అధిక గుణకం కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి, తక్కువ స్థిరమైన లక్షణం.

వైవిధ్యం యొక్క అధిక గుణకం ,

ఆరోగ్య సంరక్షణ కార్మికుల రోజువారీ పనిలో సగటు విలువలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి. వారు భౌతిక అభివృద్ధిని వర్గీకరించడానికి ఉపయోగిస్తారు , ప్రధాన ఆంత్రోపోమెట్రిక్ లక్షణాలు: ఎత్తు, బరువు . ఛాతీ చుట్టుకొలత , డైనమోమెట్రీ, మొదలైనవి శరీరధర్మాన్ని విశ్లేషించడం ద్వారా రోగి యొక్క పరిస్థితిని అంచనా వేయడానికి సగటు విలువలు ఉపయోగించబడతాయి , శరీరంలో జీవరసాయన మార్పులు: రక్తపోటు స్థాయిలు , గుండెవేగం . శరీర ఉష్ణోగ్రత, జీవరసాయన సూచికల స్థాయి , హార్మోన్ కంటెంట్, మొదలైనవి. వైద్య సంస్థల కార్యకలాపాలను విశ్లేషించడంలో సగటు విలువలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి, ఉదాహరణకు: ఆసుపత్రుల పనిని విశ్లేషించేటప్పుడు, సగటు వార్షిక బెడ్ ఆక్యుపెన్సీ సూచికలు, మంచంలో రోగి యొక్క సగటు పొడవు, మొదలైన వాటిని లెక్కిస్తారు.

ప్రామాణిక విచలనం (σ - సిగ్మా)

1. అంకగణిత సగటు (M)ని కనుగొనండి.

ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువ సాధారణంగా ఒకే రకమైన సిరీస్ యొక్క వైవిధ్యాన్ని పోల్చడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. విభిన్న లక్షణాలతో రెండు సిరీస్‌లను పోల్చినట్లయితే (ఎత్తు మరియు బరువు, ఆసుపత్రి చికిత్స యొక్క సగటు వ్యవధి మరియు ఆసుపత్రి మరణాలు మొదలైనవి), అప్పుడు సిగ్మా పరిమాణాల యొక్క ప్రత్యక్ష పోలిక అసాధ్యం. , ఎందుకంటే ప్రామాణిక విచలనం అనేది సంపూర్ణ సంఖ్యలలో వ్యక్తీకరించబడిన పేరు గల విలువ. ఈ సందర్భాలలో, ఉపయోగించండి వైవిధ్యం యొక్క గుణకం (Cv) , ఇది సాపేక్ష విలువ: అంకగణిత సగటుకు ప్రామాణిక విచలనం యొక్క శాతం నిష్పత్తి.

వైవిధ్యం యొక్క గుణకం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

వైవిధ్యం యొక్క అధిక గుణకం , ఈ సిరీస్ యొక్క వైవిధ్యం ఎక్కువ. 30% కంటే ఎక్కువ వైవిధ్యం యొక్క గుణకం జనాభా యొక్క గుణాత్మక వైవిధ్యతను సూచిస్తుందని నమ్ముతారు.

81. ప్రామాణిక విచలనం, గణన పద్ధతి, అప్లికేషన్.

వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క వైవిధ్యాన్ని అంచనా వేయడానికి ఒక ఉజ్జాయింపు పద్ధతి పరిమితి మరియు వ్యాప్తిని నిర్ణయించడం, కానీ సిరీస్‌లోని వేరియంట్ యొక్క విలువలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడవు. వైవిధ్య శ్రేణిలోని పరిమాణాత్మక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క ప్రధాన సాధారణంగా ఆమోదించబడిన కొలత ప్రామాణిక విచలనం (σ - సిగ్మా). ప్రామాణిక విచలనం ఎంత పెద్దదైతే, ఈ శ్రేణి యొక్క హెచ్చుతగ్గుల స్థాయి ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించే పద్ధతి క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1. అంకగణిత సగటు (M)ని కనుగొనండి.

2. అంకగణిత సగటు (d=V-M) నుండి వ్యక్తిగత ఎంపికల విచలనాలను నిర్ణయించండి. వైద్య గణాంకాలలో, సగటు నుండి విచలనాలు d (విచలనం)గా సూచించబడతాయి. అన్ని విచలనాల మొత్తం సున్నా.

3. ప్రతి విచలనం d2 స్క్వేర్ చేయండి.

4. విచలనాల చతురస్రాలను సంబంధిత పౌనఃపున్యాల d2*p ద్వారా గుణించండి.

5. ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని కనుగొనండి (d2*p)

6. సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి:

n 30 కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు లేదా n 30 కంటే తక్కువగా లేదా సమానంగా ఉన్నప్పుడు, ఇక్కడ n అనేది అన్ని ఎంపికల సంఖ్య.

ప్రామాణిక విచలనం విలువ:

1. ప్రామాణిక విచలనం సగటు విలువకు సంబంధించి వేరియంట్ యొక్క వ్యాప్తిని వర్ణిస్తుంది (అనగా, వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క వైవిధ్యం). పెద్ద సిగ్మా, ఈ శ్రేణి యొక్క వైవిధ్యం యొక్క డిగ్రీ ఎక్కువగా ఉంటుంది.

2. ప్రామాణిక విచలనం లెక్కించబడిన వైవిధ్య శ్రేణికి అంకగణిత సగటు యొక్క కరస్పాండెన్స్ డిగ్రీ యొక్క తులనాత్మక అంచనా కోసం ఉపయోగించబడుతుంది.

సామూహిక దృగ్విషయం యొక్క వైవిధ్యాలు సాధారణ పంపిణీ నియమానికి కట్టుబడి ఉంటాయి. ఈ పంపిణీని సూచించే వక్రరేఖ మృదువైన గంట-ఆకారపు సుష్ట వక్రరేఖ (గాస్సియన్ వక్రరేఖ) వలె కనిపిస్తుంది. సంభావ్యత యొక్క సిద్ధాంతం ప్రకారం, సాధారణ పంపిణీ యొక్క చట్టాన్ని పాటించే దృగ్విషయాలలో, అంకగణిత సగటు మరియు ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువల మధ్య కఠినమైన గణిత సంబంధం ఉంది. సజాతీయ వైవిధ్య శ్రేణిలో వేరియంట్ యొక్క సైద్ధాంతిక పంపిణీ మూడు-సిగ్మా నియమాన్ని పాటిస్తుంది.

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్‌ల వ్యవస్థలో పరిమాణాత్మక లక్షణం (వైవిధ్యాలు) యొక్క విలువలు అబ్సిస్సా అక్షంపై పన్నాగం చేయబడి ఉంటే మరియు వైవిధ్య శ్రేణిలో వేరియంట్ సంభవించే ఫ్రీక్వెన్సీని ఆర్డినేట్ అక్షం మీద ప్లాట్ చేస్తే, అప్పుడు పెద్ద మరియు చిన్న వైవిధ్యాలు విలువలు అంకగణిత సగటు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి.

లక్షణం యొక్క సాధారణ పంపిణీతో ఇది స్థాపించబడింది:

ఎంపిక యొక్క 68.3% విలువలు M1 లోపల ఉన్నాయి

ఎంపిక యొక్క 95.5% విలువలు M2 లోపల ఉన్నాయి

ఎంపిక యొక్క 99.7% విలువలు M3 లోపల ఉన్నాయి

3. ప్రామాణిక విచలనం క్లినికల్ మరియు బయోలాజికల్ పారామితుల కోసం సాధారణ విలువలను ఏర్పాటు చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. వైద్యశాస్త్రంలో, M1 విరామం సాధారణంగా అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయానికి సాధారణ పరిధిగా తీసుకోబడుతుంది. అంకగణిత సగటు నుండి 1 కంటే ఎక్కువ అంచనా విలువ యొక్క విచలనం కట్టుబాటు నుండి అధ్యయనం చేయబడిన పరామితి యొక్క విచలనాన్ని సూచిస్తుంది.

4. వైద్యశాస్త్రంలో, త్రీ-సిగ్మా నియమం పిల్లల శారీరక అభివృద్ధి స్థాయిని (సిగ్మా విచలనం పద్ధతి) వ్యక్తిగతంగా అంచనా వేయడానికి, పిల్లల దుస్తులకు ప్రమాణాల అభివృద్ధికి పీడియాట్రిక్స్‌లో ఉపయోగించబడుతుంది.

5. అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క డిగ్రీని వర్గీకరించడానికి మరియు అంకగణిత సగటు యొక్క లోపాన్ని లెక్కించడానికి ప్రామాణిక విచలనం అవసరం.

ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువ సాధారణంగా ఒకే రకమైన సిరీస్ యొక్క వైవిధ్యాన్ని పోల్చడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. విభిన్న లక్షణాలతో రెండు సిరీస్‌లను పోల్చినట్లయితే (ఎత్తు మరియు బరువు, ఆసుపత్రి చికిత్స యొక్క సగటు వ్యవధి మరియు ఆసుపత్రి మరణాలు మొదలైనవి), అప్పుడు సిగ్మా పరిమాణాల యొక్క ప్రత్యక్ష పోలిక అసాధ్యం. , ఎందుకంటే ప్రామాణిక విచలనం అనేది సంపూర్ణ సంఖ్యలలో వ్యక్తీకరించబడిన పేరు గల విలువ. ఈ సందర్భాలలో, ఉపయోగించండి వైవిధ్యం యొక్క గుణకం (Cv) , ఇది సాపేక్ష విలువ: అంకగణిత సగటుకు ప్రామాణిక విచలనం యొక్క శాతం నిష్పత్తి.

వైవిధ్యం యొక్క గుణకం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

వైవిధ్యం యొక్క అధిక గుణకం , ఈ సిరీస్ యొక్క వైవిధ్యం ఎక్కువ. 30% కంటే ఎక్కువ వైవిధ్యం యొక్క గుణకం జనాభా యొక్క గుణాత్మక వైవిధ్యతను సూచిస్తుందని నమ్ముతారు.

అంకగణిత సగటు మరియు హార్మోనిక్ సగటు

సగటు విలువల యొక్క సారాంశం మరియు అర్థం, వాటి రకాలు

గణాంక సూచిక యొక్క అత్యంత సాధారణ రూపం సగటు పరిమాణం. సగటు విలువ రూపంలోని సూచిక మొత్తంలో లక్షణం యొక్క సాధారణ స్థాయిని వ్యక్తపరుస్తుంది. సగటు విలువల యొక్క విస్తృత ఉపయోగం వివిధ జనాభాకు చెందిన యూనిట్లలో ఒక లక్షణం యొక్క విలువలను పోల్చడానికి ఒకరిని అనుమతించడం ద్వారా వివరించబడింది. ఉదాహరణకు, మీరు పని దినం యొక్క సగటు పొడవు, కార్మికుల సగటు వేతన వర్గం మరియు వివిధ సంస్థల సగటు వేతన స్థాయిని పోల్చవచ్చు.

సగటు విలువల యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే అవి యాదృచ్ఛిక కారకాల చర్య వల్ల సంభవించే జనాభాలోని వ్యక్తిగత యూనిట్లలోని లక్షణం యొక్క విలువలలోని విచలనాలను రద్దు చేస్తాయి. అందువల్ల, తగినంత పెద్ద జనాభా కోసం సగటులు తప్పనిసరిగా లెక్కించబడాలి (పెద్ద సంఖ్యల చట్టం ప్రకారం). సగటు విలువల విశ్వసనీయత మొత్తంలో లక్షణ విలువల యొక్క వైవిధ్యంపై కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది. సాధారణంగా, ఒక లక్షణం యొక్క చిన్న వైవిధ్యం మరియు సగటు విలువ నిర్ణయించబడిన జనాభా పెద్దది, ఇది మరింత నమ్మదగినది.

సగటు విలువ యొక్క విలక్షణత కూడా నేరుగా సంబంధించినది గణాంక జనాభా యొక్క సజాతీయత.గుణాత్మకంగా సజాతీయ జనాభా నుండి లెక్కించబడినప్పుడు సగటు విలువ లక్షణం యొక్క సాధారణ స్థాయిని మాత్రమే ప్రతిబింబిస్తుంది. లేకపోతే, సమూహ పద్ధతితో కలిపి సగటు పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. జనాభా వైవిధ్యంగా ఉంటే, సాధారణ సగటులు గుణాత్మకంగా సజాతీయ సమూహాల కోసం లెక్కించబడిన సమూహ సగటుల ద్వారా భర్తీ చేయబడతాయి లేదా భర్తీ చేయబడతాయి.

సగటుల రకాన్ని ఎంచుకోవడంఅధ్యయనంలో ఉన్న సూచిక యొక్క ఆర్థిక కంటెంట్ మరియు మూల డేటా ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. గణాంకాలలో కింది రకాల సగటులు చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి: శక్తి సగటులు (అంకగణితం, హార్మోనిక్, జ్యామితీయ, చతుర్భుజం, క్యూబిక్, మొదలైనవి), కాలక్రమ సగటు మరియు నిర్మాణ సగటులు (మోడ్ మరియు మధ్యస్థం).

అంకగణిత అర్థంచాలా తరచుగా సామాజిక-ఆర్థిక పరిశోధనలో కనుగొనబడింది. అంకగణిత సగటు సాధారణ సగటు మరియు బరువున్న సగటు రూపంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

ఫార్ములా (4.1) ఆధారంగా సమూహం చేయని డేటా నుండి గణించబడింది:

ఎక్కడ x- లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువలు (ఐచ్ఛికాలు);

n- జనాభాలో యూనిట్ల సంఖ్య.

ఉదాహరణ. ఒక కార్మికుడు (ముక్కలు) ఉత్పత్తి చేసిన ఉత్పత్తుల సంఖ్య తెలిసినట్లయితే, 15 మంది వ్యక్తులతో కూడిన బృందంలో ఒక కార్మికుడి సగటు ఉత్పత్తిని కనుగొనడం అవసరం: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

సాధారణ అంకగణిత సగటుఫార్ములా (4.2) ఆధారంగా సమూహం చేయని డేటా నుండి లెక్కించబడుతుంది:

ఇక్కడ f అనేది లక్షణం (వేరియంట్) యొక్క సంబంధిత విలువ యొక్క పునరావృతం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ;

∑f అనేది జనాభా యూనిట్ల మొత్తం సంఖ్య (∑f = n).

ఉదాహరణ. బృందంలోని కార్మికుల పంపిణీపై అందుబాటులో ఉన్న డేటా ఆధారంగా, వారు ఉత్పత్తి చేసే ఉత్పత్తుల సంఖ్య ప్రకారం, బృందంలోని కార్మికుడి సగటు ఉత్పత్తిని కనుగొనడం అవసరం.

గమనిక 1.మొత్తంలో ఒక లక్షణం యొక్క సగటు విలువ లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువల ఆధారంగా మరియు జనాభాలోని వ్యక్తిగత భాగాల కోసం లెక్కించిన సమూహం (ప్రైవేట్) సగటుల ఆధారంగా రెండింటినీ లెక్కించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, అంకగణిత సగటు సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది మరియు సమూహం (పాక్షిక) సగటులు ( x జె).

ఉదాహరణ.ప్లాంట్ యొక్క వర్క్‌షాప్‌లలో కార్మికుల సగటు సేవ పొడవుపై డేటా ఉంది. మొత్తంగా కర్మాగారం కోసం కార్మికుల సేవ యొక్క సగటు పొడవును నిర్ణయించడం అవసరం.

గమనిక 2.సగటున ఉన్న లక్షణం యొక్క విలువలు విరామాల రూపంలో పేర్కొనబడినప్పుడు, అంకగణిత సగటు విలువను లెక్కించేటప్పుడు, ఈ విరామాల యొక్క సగటు విలువలు సమూహాలలో లక్షణం యొక్క విలువలుగా తీసుకోబడతాయి ( X’) అందువలన, విరామ శ్రేణి వివిక్త శ్రేణిగా మార్చబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ఓపెన్ విరామాల విలువ, ఏదైనా ఉంటే (నియమం ప్రకారం, ఇవి మొదటి మరియు చివరివి), షరతులతో వాటికి ప్రక్కనే ఉన్న విరామాల విలువకు సమానం.

ఉదాహరణ. వేతన స్థాయి ద్వారా ఎంటర్ప్రైజ్ కార్మికుల పంపిణీపై డేటా ఉంది.

హార్మోనిక్ సగటు విలువఅంకగణిత సగటు యొక్క మార్పు. ఒక లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువలు తెలిసిన సందర్భాల్లో ఇది ఉపయోగించబడుతుంది, అనగా వైవిధ్యాలు ( x), మరియు వేరియంట్ యొక్క ఉత్పత్తి మరియు ఫ్రీక్వెన్సీ (xf = M), కానీ పౌనఃపున్యాలు తెలియవు ( f).

వెయిటెడ్ హార్మోనిక్ మీన్ ఫార్ములా (4.3) ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

ఉదాహరణ. వేతన నిధి మరియు ప్రతి సంస్థకు ఉద్యోగుల సగటు జీతం తెలిసినట్లయితే, మూడు సంస్థలతో కూడిన అసోసియేషన్ యొక్క ఉద్యోగుల సగటు జీతం నిర్ణయించడం అవసరం.

గణాంకాల సాధనలో సరళమైన హార్మోనిక్ మీన్ చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది. xf = Mm = const ఉన్న సందర్భాలలో, వెయిటెడ్ హార్మోనిక్ మీన్ సాధారణ హార్మోనిక్ మీన్‌గా మారుతుంది (4.4):

ఉదాహరణ. రెండు కార్లు ఒకే దారిలో ప్రయాణించాయి. అదే సమయంలో, వాటిలో ఒకటి గంటకు 60 కిమీ వేగంతో కదులుతోంది, రెండవది - గంటకు 80 కిమీ వేగంతో. మార్గం వెంట కార్ల సగటు వేగాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.

ఇతర రకాల శక్తి సగటులు. సగటు కాలక్రమానుసారం

సగటు డైనమిక్స్ సూచికలను లెక్కించేటప్పుడు రేఖాగణిత సగటు విలువ ఉపయోగించబడుతుంది. రేఖాగణిత సగటు సాధారణ సగటు (సమూహం చేయని డేటా కోసం) మరియు వెయిటెడ్ సగటు (సమూహ డేటా కోసం) రూపంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

రేఖాగణిత సగటు సాధారణ (4.5):

ఇక్కడ n అనేది గుణ విలువల సంఖ్య;

P - ఉత్పత్తి సంకేతం.

బరువున్న రేఖాగణిత సగటు (4.6):

రూట్ అంటే చదరపు విలువవైవిధ్య సూచికలను లెక్కించేటప్పుడు ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది సరళమైన మరియు బరువున్న రూపంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

సాధారణ సగటు చతురస్రం (4.7):

బరువున్న సగటు చతురస్రం (4.8):

క్యూబిక్ సగటు వక్రత మరియు కుర్టోసిస్‌ను లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది సాధారణ బరువు రూపంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

సగటు క్యూబిక్ సింపుల్ (4.9): మోడ్ చాలా సరళంగా నిర్ణయించబడుతుంది - గరిష్ట ఫ్రీక్వెన్సీ ద్వారా. విరామ వైవిధ్య శ్రేణిలో, మోడ్ ఇంచుమించుగా మోడల్ ఇంటర్వెల్ మధ్యలో ఉంటుంది, అనగా అధిక పౌనఃపున్యం (ఫ్రీక్వెన్సీ) ఉన్న విరామం. మోడల్ తరువాత విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ.

మధ్యస్థం (నేను) అనేది ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణి మధ్యలో ఉన్న లక్షణం యొక్క విలువ. ర్యాంక్ చేయడం ద్వారా మేము లక్షణం విలువల ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో క్రమం చేయబడిన శ్రేణిని సూచిస్తాము. మధ్యస్థం ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణిని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది, వాటిలో ఒకటి మధ్యస్థం కంటే ఎక్కువ విలువలను కలిగి ఉండదు మరియు మరొకటి తక్కువ కాదు.

బేసి సంఖ్యతో కూడిన ర్యాంక్ సిరీస్ కోసం, మధ్యస్థం అనేది సిరీస్ మధ్యలో ఉన్న ఎంపిక. ఫార్ములా (4.13) ప్రకారం శ్రేణి యొక్క యూనిట్ యొక్క క్రమ సంఖ్య ద్వారా మధ్యస్థ స్థానం నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ n అనేది ర్యాంక్ చేయబడిన సిరీస్‌లోని సభ్యుల సంఖ్య.

సరి సంఖ్యతో కూడిన ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణికి, మధ్యస్థం అనేది సిరీస్ మధ్యలో ఉన్న రెండు ప్రక్కనే ఉన్న విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు.

మధ్యస్థ విరామం ఫ్రీక్వెన్సీ.

ఉదాహరణ. 9 మందితో కూడిన పని బృందంప్రజలు, క్రింది సుంకాలు కలిగి ఉన్నారు అంకెలు: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. టారిఫ్ వర్గం యొక్క మోడల్ మరియు మధ్యస్థ విలువలను నిర్ణయించడం అవసరం.

ఈ బ్రిగేడ్‌లో 3వ కేటగిరీకి చెందిన అత్యధిక మంది కార్మికులు ఉన్నందున, ఈ వర్గం మోడల్‌గా ఉంటుంది, అంటే మో = 3.

మధ్యస్థాన్ని నిర్ణయించడానికి గుణ విలువల ఆరోహణ క్రమంలో అసలైన శ్రేణిని ర్యాంక్ చేద్దాం:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

ఈ శ్రేణిలోని కేంద్ర విలువ లక్షణం యొక్క ఐదవ విలువ. దీని ప్రకారం, నేను = 4.

ఉదాహరణ. కింది పంపిణీ శ్రేణిలోని డేటా ఆధారంగా ఫ్యాక్టరీ కార్మికుల మోడల్ మరియు మధ్యస్థ టారిఫ్ వర్గాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం.

అసలు పంపిణీ శ్రేణి వివిక్తమైనది కాబట్టి, మోడల్ విలువ గరిష్ట పౌనఃపున్య సూచిక ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. ఈ ఉదాహరణలో, ప్లాంట్‌లో 3వ కేటగిరీ (f max = 30)కి చెందిన అత్యధిక మంది కార్మికులు ఉన్నారు, అనగా. ఈ ఉత్సర్గ మోడల్ (Mo = 3).

మధ్యస్థ స్థితిని నిర్ణయిస్తాము. ప్రారంభ పంపిణీ శ్రేణి ర్యాంక్ చేయబడిన సిరీస్ ఆధారంగా నిర్మించబడింది, లక్షణం యొక్క విలువలను పెంచడం ద్వారా ఆర్డర్ చేయబడింది. శ్రేణి మధ్యలో లక్షణం విలువల 50వ మరియు 51వ క్రమ సంఖ్యల మధ్య ఉంటుంది. ఈ క్రమ సంఖ్యలు కలిగిన కార్మికులు ఏ గ్రూపుకు చెందినవారో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము సేకరించిన పౌనఃపున్యాలను లెక్కిస్తాము. సంచిత పౌనఃపున్యాలు సుంకం వర్గం యొక్క మధ్యస్థ విలువ మూడు (నేను = 3)కి సమానం అని సూచిస్తున్నాయి, ఎందుకంటే 50 మరియు 51తో సహా 39 నుండి 68 వరకు క్రమ సంఖ్యలతో లక్షణం యొక్క విలువలు 3కి సమానం.

ఉదాహరణ. కింది పంపిణీ శ్రేణిలోని డేటా ఆధారంగా ఫ్యాక్టరీ కార్మికుల మోడల్ మరియు మధ్యస్థ వేతనాలను నిర్ణయించడం అవసరం.

అసలు పంపిణీ శ్రేణి విరామం కాబట్టి, వేతనాల మోడల్ విలువ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, మోడల్ విరామం 360-420 గరిష్ట ఫ్రీక్వెన్సీ 30.

మధ్యస్థ జీతం విలువ కూడా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, మధ్యస్థం విరామం 360-420, ఇది సంచిత పౌనఃపున్యం 70, అయితే మునుపటి విరామం యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యం 100కి సమానమైన మొత్తం యూనిట్ల సంఖ్యతో 40 మాత్రమే.