సమీకరణాల వ్యవస్థను (1.1) రూపంలో సూచిస్తాము
సాధారణ లేదా ప్రత్యేక రకాల మాత్రికల మాన్యువల్ లేదా మెషిన్ లెక్కింపు కోసం స్వీకరించబడిన పెద్ద సంఖ్యలో ఎలిమినేషన్ పద్ధతి పథకాలు ఉన్నాయి.
గాస్సియన్ పద్ధతిని మాతృక మొదట ఎగువ త్రిభుజాకార రూపానికి (ఫార్వర్డ్ మూవ్), ఆపై యూనిట్ రూపానికి (రివర్స్ మూవ్) కుదించబడే పద్ధతిగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. సహజంగానే, మాతృక గుర్తింపు అయితే, అప్పుడు x t = బి ఆర్
సిస్టమ్ యొక్క మాతృక (1.3) ఎగువ త్రిభుజాకారంగా ఉండనివ్వండి ఒక tj= 0 వద్ద i>j,అంటే, ప్రధాన వికర్ణం క్రింద ఉన్న అన్ని మూలకాలు సున్నా. చివరి సమీకరణం నుండి మేము వెంటనే నిర్ణయిస్తాము x p.ప్రత్యామ్నాయం x nచివరి సమీకరణంలో, మేము కనుగొంటాము x a_ x, మొదలైనవి సాధారణ సూత్రాలు రూపం కలిగి ఉంటాయి
వద్ద k > Iఅసమానత ఒక ఎస్ = 0.
సిస్టమ్ (1.3) యొక్క మాతృకను ఎగువ త్రిభుజాకారానికి తగ్గిద్దాం. సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం (1.3) నుండి తీసివేద్దాం, మొదటిది, గుణకం సంఖ్యతో గుణించాలి x xసున్నాకి వెళ్తుంది. అన్ని ఇతర సమీకరణాలతో కూడా అదే చేద్దాం. ఫలితంగా, ప్రధాన వికర్ణం క్రింద ఉన్న మొదటి నిలువు వరుస యొక్క అన్ని గుణకాలు సున్నాకి వెళ్తాయి. అప్పుడు, రెండవ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, మేము రెండవ నిలువు వరుస యొక్క సంబంధిత గుణకాలను సున్నాకి మారుస్తాము. ఈ ప్రక్రియను స్థిరంగా కొనసాగిస్తూ, మేము సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్‌ను ఎగువ త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గిస్తాము.
గాస్ పద్ధతి యొక్క సాధారణ సూత్రాలను వ్రాస్దాం. (A - 1)వ నిలువు వరుస నుండి గుణకాలు తొలగించబడనివ్వండి. అప్పుడు ప్రధాన వికర్ణం క్రింద సున్నా కాని మూలకాలతో సమీకరణాలు ఉంటాయి:
గుణించాలి kthసంఖ్యకు పంక్తి tk తో = t > kమరియు తీసివేయండి
mth లైన్ నుండి. ఈ పంక్తి యొక్క మొదటి సున్నా కాని మూలకం సున్నా అవుతుంది మరియు మిగిలినవి సూత్రాల ప్రకారం మారుతాయి
సూచించిన అన్ని సూచికల కోసం ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించి గణనలను నిర్వహించిన తరువాత, మేము మూలకాలను సున్నాకి మారుస్తాము k-roప్రధాన వికర్ణం క్రింద నిలువు వరుసలు. ఇదే విధమైన విధానం సిస్టమ్ యొక్క మాతృకను ఎగువ త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గిస్తుంది మరియు మొత్తం తగ్గింపు ప్రక్రియను గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యక్ష ప్రక్రియ అంటారు. సూత్రాలను (1.4) ఉపయోగించి తెలియని వాటిని లెక్కించడాన్ని రివర్స్ పద్ధతి అంటారు.
ప్రధాన వికర్ణానికి పైన ఉన్న అన్ని గుణకాలు సున్నాకి మారినట్లయితే రివర్స్ తరలింపు భిన్నంగా చేయవచ్చు. ఉదాహరణకు, అంశాలు పి ej^| అయితే వ నిలువు వరుస సున్నా అవుతుంది (-a^V ax t = b | 2l) ద్వారా గుణించండి, ఇక్కడ b^n)- సూచించిన రూపాంతరాల తర్వాత i-th సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు గుణకాలు.
కొన్ని ముందంజలో, గుణకం aj*" * 0, కానీ సిస్టమ్ మాతృకలోని ఇతర మూలకాలతో పోలిస్తే చిన్నది మరియు ప్రత్యేకించి, మొదటి నిలువు వరుసలోని మూలకాలతో పోలిస్తే చిన్నది. సిస్టమ్ గుణకాలను దీని ద్వారా విభజించడం ఒక చిన్న విలువ ముఖ్యమైన రౌండింగ్ లోపాలకు దారి తీస్తుంది.
రౌండింగ్ లోపాలను తగ్గించడానికి ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి. మొదటి నిలువు వరుసలోని అంశాలలో ఎ^ ప్రతి ఇంటర్మీడియట్ మ్యాట్రిక్స్‌లో, అతిపెద్ద మాడ్యులస్ (ప్రధాన) మూలకాన్ని ఎంచుకోండి మరియు i-వ అడ్డు వరుసను ప్రధాన మూలకం ఉన్న అడ్డు వరుసతో తిరిగి అమర్చడం ద్వారా, ప్రధాన మూలకం అగ్రస్థానంలో ఉండేలా చూసుకోండి. గాస్సియన్ తొలగింపు పద్ధతి యొక్క ఈ మార్పును ప్రధాన మూలకం ఎంపికతో గాస్సియన్ పద్ధతి అంటారు. సున్నా మూలకాలు కనిపించే సందర్భం స్వయంగా నివారించబడుతుంది.
పద్ధతిని అమలు చేయడానికి, ఇది సుమారుగా పడుతుంది పిగుణకారం మరియు వంటి 3/3 కార్యకలాపాలు పిఅదనంగా వంటి 3/3 కార్యకలాపాలు. ఆపరేషన్ల సంఖ్య యొక్క అంచనా ప్రధానంగా గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క ఫార్వర్డ్ స్ట్రోక్ చేయడంలో ఖర్చు చేసిన కార్యకలాపాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమానికి సుమారుగా అవసరం n 2ఆపరేషన్లు. అందువల్ల, మీరు రూపం యొక్క సరళ బీజగణిత సమీకరణాల యొక్క అనేక వ్యవస్థలను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంటే గొడ్డలి = బిఒకే మాతృక మరియు విభిన్న కుడి వైపులా, ఆపై పరిష్కరించేటప్పుడు మొత్తం కార్యకలాపాల సంఖ్య ఎస్వ్యవస్థలు అంచనా వేయబడతాయి పరిమాణం(2/3)p 3 + Sn 2 .ఈ సందర్భంలో, గాస్ పద్ధతి అల్గోరిథంను రెండు సబ్‌ట్రౌటీన్‌ల రూపంలో అమలు చేయడం మంచిది: మొదటి సబ్‌ట్రౌటిన్ అల్గోరిథం యొక్క ఫార్వర్డ్ ప్రోగ్రెస్‌ను అమలు చేయాలి మరియు ఎగువ త్రిభుజాకార మాతృకను అవుట్‌పుట్‌గా పొందాలి మరియు రెండవ సబ్‌ట్రౌటిన్ ఫలిత మాతృకను ఉపయోగించాలి. , ఏకపక్ష కుడి వైపు కోసం సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారాన్ని లెక్కించండి.
(SLAE), తెలియని వాటితో సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది:
వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉందని భావించబడుతుంది, అంటే.
ఈ వ్యాసం గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించేటప్పుడు తలెత్తే లోపానికి గల కారణాలను చర్చిస్తుంది, ఈ లోపాన్ని గుర్తించడానికి మరియు తొలగించడానికి (తగ్గించడానికి) మార్గాలు.
పద్ధతి యొక్క వివరణ
సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించే ప్రక్రియ
గాస్ పద్ధతి ప్రకారం 2 దశలు ఉంటాయి:
1. మేము ఊహిస్తాము. అప్పుడు మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని గుణకం ద్వారా విభజిస్తాము మరియు ఫలితంగా మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము. అప్పుడు, మిగిలిన ప్రతి సమీకరణాల నుండి, మొదటిది తీసివేయబడుతుంది, సంబంధిత గుణకం ద్వారా గుణించబడుతుంది. ఫలితంగా, సిస్టమ్ రూపానికి రూపాంతరం చెందుతుంది: 2. మేము రెండవ సమీకరణాన్ని గుణకం ద్వారా విభజిస్తాము మరియు అన్ని తదుపరి సమీకరణాల నుండి తెలియని వాటిని మినహాయిస్తాము. 3. మేము త్రిభుజాకార మాతృకతో సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:- రివర్స్ స్ట్రోక్ తెలియని వ్యక్తుల ప్రత్యక్ష నిర్ధారణ
పద్ధతి యొక్క విశ్లేషణ
ఈ పద్ధతి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యక్ష పద్ధతుల తరగతికి చెందినది, అంటే ఇన్‌పుట్ డేటా (మ్యాట్రిక్స్ మరియు ఈక్వేషన్ యొక్క కుడి వైపు - ) పేర్కొనబడితే, పరిమిత సంఖ్యలో దశల్లో మీరు ఖచ్చితమైన పరిష్కారాన్ని పొందవచ్చు. సరిగ్గా మరియు గణన చుట్టుముట్టకుండా నిర్వహించబడుతుంది. పరిష్కారాన్ని పొందడానికి, గుణకారాలు మరియు విభజనలు అవసరం, అంటే, కార్యకలాపాల క్రమం.
పద్ధతి ఖచ్చితమైన పరిష్కారాన్ని ఉత్పత్తి చేసే పరిస్థితులు ఆచరణలో సాధ్యపడవు - ఇన్‌పుట్ డేటా లోపాలు మరియు చుట్టుముట్టే లోపాలు రెండూ అనివార్యం. అప్పుడు ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఎంత ఖచ్చితమైన పరిష్కారం పొందవచ్చు, పద్ధతి ఎంత సరైనది? ఇన్‌పుట్ పారామితులకు సంబంధించి పరిష్కారం యొక్క స్థిరత్వాన్ని నిర్ధారిద్దాం. అసలు సిస్టమ్‌తో పాటు, గందరగోళ వ్యవస్థను పరిగణించండి:
కొన్ని నియమావళిని ప్రవేశపెట్టనివ్వండి. - మాతృక యొక్క స్థితి సంఖ్య అంటారు.
3 సాధ్యమయ్యే కేసులు ఉన్నాయి:
మాతృక యొక్క షరతు సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది. ఇది పెద్దది అయితే (), అప్పుడు మాతృక అనారోగ్యకరమైనదని చెప్పబడింది. ఈ సందర్భంలో, సిస్టమ్ యొక్క కుడి వైపున ఉన్న చిన్న అవాంతరాలు, ప్రారంభ డేటాను పేర్కొనడంలో సరికాని కారణంగా లేదా గణన లోపాల వల్ల సంభవించేవి, సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా ప్రభావితం చేస్తాయి. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, కుడి-భుజాల దోషం అయితే, పరిష్కారం యొక్క లోపం .
కింది సంఖ్యా ఉదాహరణతో పొందిన ఫలితాలను ఉదహరిద్దాం: సిస్టమ్ ఇవ్వబడింది
ఆమె వద్ద ఒక పరిష్కారం ఉంది.
ఇప్పుడు గందరగోళ వ్యవస్థను పరిగణించండి:
అటువంటి వ్యవస్థకు పరిష్కారం వెక్టర్ అవుతుంది.
కుడి వైపు చాలా చిన్న కలతతో, మేము పరిష్కారం యొక్క అసమానమైన పెద్ద కలవరాన్ని పొందాము. పరిష్కారం యొక్క ఈ “అవిశ్వసనీయత” మాతృక దాదాపు ఏకవచనం అనే వాస్తవం ద్వారా వివరించబడుతుంది: గ్రాఫ్‌లో చూడగలిగే విధంగా రెండు సమీకరణాలకు సంబంధించిన సరళ రేఖలు దాదాపు సమానంగా ఉంటాయి:
మాతృక యొక్క పేలవమైన షరతుల కారణంగా ఈ ఫలితం అంచనా వేయబడింది:
గణన చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది, మొత్తం వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారంతో పోల్చవచ్చు, అందువల్ల, లోపాన్ని అంచనా వేయడానికి క్రూడర్ కానీ అమలు చేయడానికి సరళమైన పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి.
లోపాలను అంచనా వేయడానికి పద్ధతులు
1) మొత్తం తనిఖీ: సాధారణంగా కంప్యూటర్ల సహాయం లేకుండా గణన ప్రక్రియలో యాదృచ్ఛిక లోపాలను నివారించడానికి ఉపయోగిస్తారు.మేము సిస్టమ్ యొక్క నియంత్రణ అంశాలతో కూడిన నియంత్రణ కాలమ్‌ను కంపోజ్ చేస్తాము:
సమీకరణాలను మార్చేటప్పుడు, సమీకరణాల యొక్క ఉచిత నిబంధనల వలె నియంత్రణ మూలకాలపై అదే కార్యకలాపాలు నిర్వహించబడతాయి. ఫలితంగా, ప్రతి కొత్త సమీకరణం యొక్క నియంత్రణ మూలకం తప్పనిసరిగా ఈ సమీకరణం యొక్క గుణకాల మొత్తానికి సమానంగా ఉండాలి. వాటి మధ్య పెద్ద వ్యత్యాసం గణనలలో లోపాలు లేదా గణన లోపానికి సంబంధించి గణన అల్గోరిథం యొక్క అస్థిరతను సూచిస్తుంది.
2) తెలిసిన పరిష్కారం యొక్క సాపేక్ష లోపం గణనీయమైన అదనపు ఖర్చులు లేకుండా నిర్ణయం యొక్క లోపం గురించి తీర్పును పొందేందుకు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
ఒక నిర్దిష్ట వెక్టార్, వీలైతే, కావలసిన పరిష్కారం యొక్క భాగాల వలె అదే క్రమంలో మరియు సంకేతాన్ని కలిగి ఉన్న భాగాలతో పేర్కొనబడింది. వెక్టార్ లెక్కించబడుతుంది మరియు సిస్టమ్ సమీకరణాల అసలు వ్యవస్థతో పాటుగా పరిష్కరించబడుతుంది.
లెట్ మరియు ఈ సిస్టమ్స్ యొక్క వాస్తవానికి పొందిన పరిష్కారాలు. పరికల్పన ఆధారంగా కావలసిన పరిష్కారం యొక్క లోపం గురించి తీర్పును పొందవచ్చు: ఒకే మాతృక మరియు వేర్వేరు కుడి-భుజాలతో వ్యవస్థలను పరిష్కరించేటప్పుడు సంబంధిత లోపాలు, అవి వరుసగా పరిమాణాలు మరియు తొలగింపు పద్ధతి ద్వారా భిన్నంగా ఉండవు. చాలా పెద్ద సంఖ్యలో సార్లు.
3) ప్రమాణాలను మార్చడం - గణనలను చుట్టుముట్టడం వల్ల తలెత్తే లోపం యొక్క నిజమైన పరిమాణం గురించి ఒక ఆలోచనను పొందడానికి ఉపయోగించే సాంకేతికత.
అసలు సిస్టమ్‌తో పాటు, సిస్టమ్ అదే పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది
, ఎక్కడ మరియు సంఖ్యలురౌండింగ్ లోపం లేకుంటే, అసలైన మరియు స్కేల్ చేయబడిన సిస్టమ్‌ల పరిష్కారాలకు సమానత్వం ఉంటుంది: . కాబట్టి, కోసం మరియు , ఇవి రెండు శక్తులు కావు, వెక్టర్స్ యొక్క పోలిక గణన లోపం యొక్క పరిమాణం గురించి ఒక ఆలోచనను ఇస్తుంది
గాస్సియన్ ఎలిమినేషన్ పద్ధతిని మెరుగుపరచడం
క్రింద చర్చించబడిన గాస్ పద్ధతి యొక్క మార్పులు ఫలితం యొక్క లోపాన్ని తగ్గించగలవు.
ప్రధాన మూలకాన్ని ఎంచుకోవడం
గుణకాలు 1%20" alt=" >1 ">గా ఉంటే, ముందంజలో ఉన్న -వ వరుసను గుణించినప్పుడు, ఈ పద్ధతిలో ప్రధాన లోపం ఏర్పడుతుంది. దీనిని నివారించడానికి, ప్రధాన మూలకం యొక్క ఎంపికతో పద్ధతి యొక్క మార్పు వర్తించబడుతుంది.
తెలియని వాటిని తొలగించడం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందనివ్వండి:
, .మనం -e మరియు -e స్థాయిలను మార్చుకునేలా ఏదైనా కనుగొనండి.
అనేక సందర్భాల్లో, అటువంటి పరివర్తన గణనలలో రౌండ్ దోషాలకు పరిష్కారం యొక్క సున్నితత్వాన్ని గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది.
ఫలితం యొక్క పునరావృత మెరుగుదల
ఫలిత పరిష్కారం తీవ్రంగా వక్రీకరించబడిందని అనుమానం ఉంటే, మీరు ఈ క్రింది విధంగా ఫలితాన్ని మెరుగుపరచవచ్చు. పరిమాణాన్ని అవశేషం అంటారు. లోపం సమీకరణాల వ్యవస్థను సంతృప్తిపరుస్తుంది
.ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తూ, మేము ఒక ఉజ్జాయింపును పొందుతాము మరియు ఊహిస్తాము
.ఈ ఉజ్జాయింపు యొక్క ఖచ్చితత్వం సంతృప్తికరంగా లేకుంటే, మేము ఈ చర్యను పునరావృతం చేస్తాము.
అన్ని భాగాలు తగినంత చిన్నవిగా ఉండే వరకు ప్రక్రియను కొనసాగించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, అవశేష వెక్టర్ యొక్క అన్ని భాగాలు తగినంత చిన్నవిగా మారినందున మీరు గణనలను ఆపలేరు: ఇది గుణకం మాతృక యొక్క పేలవమైన కండిషనింగ్ ఫలితంగా ఉండవచ్చు.
సంఖ్యా ఉదాహరణ
ఉదాహరణకు, 7x7 వాండర్‌మోండే మాతృక మరియు 2 విభిన్న కుడి వైపులా పరిగణించండి:
ఈ వ్యవస్థలు రెండు విధాలుగా పరిష్కరించబడ్డాయి. డేటా రకం - ఫ్లోట్. ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది ఫలితాలను పొందాము:
| రెగ్యులర్ పద్ధతి | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 0.999991 | 1 | 0.999996 | 1 |
| 1.00019 | 1 | 7.4774e-005 | 2.33e-008 |
| 0.998404 | 1 | 0.999375 | 1 |
| 1.00667 | 1 | 0.00263727 | 1.12e-006 |
| 0.985328 | 1 | 0.994149 | 1 |
| 1.01588 | 1 | 0.00637817 | 3.27e-006 |
| 0.993538 | 1 | 0.99739 | 1 |
| 0,045479 | 2.9826e-006 | 0,01818 | 8.8362e-006 |
| 0,006497 | 4.2608e-007 | 0,0045451 | 2.209e-006 |
| 0,040152 | 4.344e-005 | 0,083938 | 2.8654e-006 |
| లైన్ ద్వారా ప్రముఖ మూలకం ఎంపికతో | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | -3.57628e-005 | 1.836e-007 |
| 1.00001 | 1 | 1.00031 | 1 |
| 0.999942 | 1 | -0.00133276 | 7.16e-006 |
| 1.00005 | 1 | 1.00302 | 0,99998 |
| 1.00009 | 1 | -0.0033505 | 1.8e-005 |
| 0.99991 | 1 | 1.00139 | 0,99999 |
| 0,000298 | 4.3835e-007 | 0,009439 | 5.0683e-005 |
| 4.2571e-005 | 6.2622e-008 | 0,0023542 | 1.2671e-005 |
| 0,010622 | 9.8016e-007 | 0,29402 | 1.4768e-006 |
మేము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము. ఈ పాఠం అంశంపై మూడవది. సాధారణంగా సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఏమిటో మీకు అస్పష్టమైన ఆలోచన ఉంటే, మీరు టీపాట్ లాగా భావిస్తే, తదుపరి పేజీలోని ప్రాథమిక అంశాలతో ప్రారంభించాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను, పాఠాన్ని అధ్యయనం చేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
గాస్సియన్ పద్ధతి సులభం!ఎందుకు? ప్రసిద్ధ జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జోహాన్ కార్ల్ ఫ్రెడరిక్ గాస్ తన జీవితకాలంలో, ఎప్పటికప్పుడు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా, మేధావిగా గుర్తింపు పొందాడు మరియు "కింగ్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్" అనే మారుపేరును కూడా పొందాడు. మరియు తెలివిగల ప్రతిదీ, మీకు తెలిసినట్లుగా, సులభం!మార్గం ద్వారా, సక్కర్లు మాత్రమే డబ్బు పొందుతారు, కానీ మేధావులు కూడా - గాస్ యొక్క చిత్రం 10 డ్యూచ్‌మార్క్ బ్యాంక్ నోట్‌లో ఉంది (యూరోను ప్రవేశపెట్టడానికి ముందు), మరియు గాస్ ఇప్పటికీ సాధారణ తపాలా స్టాంపుల నుండి జర్మన్లను చూసి రహస్యంగా నవ్వుతాడు.
గాస్ పద్ధతి చాలా సులభం, దీనిలో ప్రావీణ్యం సంపాదించడానికి ఐదవ తరగతి విద్యార్థి యొక్క జ్ఞానం సరిపోతుంది. మీరు జోడించడం మరియు గుణించడం ఎలాగో తెలుసుకోవాలి!పాఠశాల గణిత శాస్త్ర ఎంపికలలో తెలియని వ్యక్తులను వరుసగా మినహాయించే పద్ధతిని ఉపాధ్యాయులు తరచుగా పరిగణించడం యాదృచ్చికం కాదు. ఇది ఒక పారడాక్స్, కానీ విద్యార్థులు గాస్సియన్ పద్ధతిని చాలా కష్టంగా భావిస్తారు. ఆశ్చర్యం ఏమీ లేదు - ఇదంతా పద్దతి గురించి, మరియు నేను యాక్సెస్ చేయగల రూపంలో పద్ధతి యొక్క అల్గోరిథం గురించి మాట్లాడటానికి ప్రయత్నిస్తాను.
మొదట, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల గురించి కొంచెం జ్ఞానాన్ని క్రమబద్ధీకరించుకుందాం. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ వీటిని చేయగలదు:
1) ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండండి. 2) అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉండండి. 3) పరిష్కారాలు లేవు (ఉండండి కాని ఉమ్మడి).
గాస్ పద్ధతి పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి అత్యంత శక్తివంతమైన మరియు సార్వత్రిక సాధనం ఏదైనాసరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు. మనకు గుర్తున్నట్లుగా, క్రామెర్ నియమం మరియు మాతృక పద్ధతిసిస్టమ్ అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న లేదా అస్థిరంగా ఉన్న సందర్భాలలో అనుచితమైనవి. మరియు తెలియని వాటిని క్రమం తప్పకుండా తొలగించే పద్ధతి ఏమైనాసమాధానం మాకు దారి తీస్తుంది! ఈ పాఠంలో, కేసు సంఖ్య 1 (సిస్టమ్‌కు ఏకైక పరిష్కారం) కోసం గాస్ పద్ధతిని మేము మళ్లీ పరిశీలిస్తాము, పాయింట్లు నం. 2-3 యొక్క పరిస్థితులకు ఒక వ్యాసం అంకితం చేయబడింది. పద్ధతి యొక్క అల్గోరిథం మూడు సందర్భాల్లోనూ ఒకే విధంగా పనిచేస్తుందని నేను గమనించాను.
పాఠం నుండి సరళమైన వ్యవస్థకు తిరిగి వెళ్దాం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలి?మరియు గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరించండి.
మొదటి దశ వ్రాయడం పొడిగించిన సిస్టమ్ మాతృక: . గుణకాలు ఏ సూత్రం ద్వారా వ్రాయబడతాయో ప్రతి ఒక్కరూ చూడగలరని నేను భావిస్తున్నాను. మాతృక లోపల నిలువు రేఖకు గణిత శాస్త్ర అర్థం లేదు - ఇది డిజైన్ సౌలభ్యం కోసం స్ట్రైక్‌త్రూ మాత్రమే.
సూచన : మీరు గుర్తుంచుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను నిబంధనలు సరళ బీజగణితం. సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ అనేది తెలియని వ్యక్తుల కోసం గుణకాలతో మాత్రమే రూపొందించబడిన మాతృక, ఈ ఉదాహరణలో సిస్టమ్ యొక్క మాతృక: . విస్తరించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ – ఇది సిస్టమ్ యొక్క అదే మాతృక మరియు ఉచిత నిబంధనల కాలమ్, ఈ సందర్భంలో: . సంక్షిప్తత కోసం, మాత్రికలలో దేనినైనా మాతృక అని పిలుస్తారు.
పొడిగించిన సిస్టమ్ మ్యాట్రిక్స్ వ్రాసిన తర్వాత, దానితో కొన్ని చర్యలను చేయడం అవసరం, వీటిని కూడా పిలుస్తారు ప్రాథమిక రూపాంతరాలు.
కింది ప్రాథమిక రూపాంతరాలు ఉన్నాయి:
1) తీగలుమాత్రికలు చెయ్యవచ్చు తిరిగి అమర్చుకొన్ని చోట్ల. ఉదాహరణకు, పరిశీలనలో ఉన్న మాతృకలో, మీరు మొదటి మరియు రెండవ వరుసలను నొప్పిలేకుండా క్రమాన్ని మార్చవచ్చు: 
2) మ్యాట్రిక్స్‌లో అనుపాత (ప్రత్యేక సందర్భంలో - ఒకేలా) వరుసలు ఉంటే (లేదా కనిపించినట్లయితే, మీరు చేయాలి తొలగించుమాతృక నుండి ఈ వరుసలు ఒకటి తప్ప. ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి 
. ఈ మాతృకలో, చివరి మూడు వరుసలు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి, కాబట్టి వాటిలో ఒకదాన్ని మాత్రమే వదిలివేయడం సరిపోతుంది: 
.
3) పరివర్తన సమయంలో మాతృకలో సున్నా అడ్డు వరుస కనిపించినట్లయితే, అది కూడా ఉండాలి తొలగించు. నేను డ్రా చేయను, అయితే, సున్నా రేఖ ఇందులోని రేఖ అన్ని సున్నాలు.
4) మాతృక అడ్డు వరుస కావచ్చు గుణించండి (భాగించండి)ఏదైనా సంఖ్యకు సున్నా కాని. ఉదాహరణకు, మాతృకను పరిగణించండి. ఇక్కడ మొదటి పంక్తిని –3 ద్వారా విభజించి, రెండవ పంక్తిని 2 ద్వారా గుణించడం మంచిది: 
. ఈ చర్య చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే ఇది మాతృక యొక్క తదుపరి రూపాంతరాలను సులభతరం చేస్తుంది.
5) ఈ పరివర్తన చాలా ఇబ్బందులను కలిగిస్తుంది, కానీ వాస్తవానికి సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. మీరు మాత్రిక యొక్క వరుసకు చేయవచ్చు సంఖ్యతో గుణించబడిన మరొక స్ట్రింగ్‌ను జోడించండి, సున్నాకి భిన్నంగా. ఆచరణాత్మక ఉదాహరణ నుండి మన మాతృకను చూద్దాం: . మొదట నేను పరివర్తనను చాలా వివరంగా వివరిస్తాను. మొదటి పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి: 
, మరియు రెండవ పంక్తికి మనం మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి: 
. ఇప్పుడు మొదటి పంక్తిని “వెనుక” –2: ద్వారా విభజించవచ్చు. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, జోడించబడిన లైన్ LI – మారలేదు. ఎల్లప్పుడూజోడించబడిన లైన్ మారుతుంది UT.
ఆచరణలో, వారు దానిని అంత వివరంగా వ్రాయరు, కానీ క్లుప్తంగా వ్రాయండి: 
మరోసారి: రెండవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి. ఒక లైన్ సాధారణంగా మౌఖికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో గుణించబడుతుంది, మానసిక గణన ప్రక్రియ ఇలా ఉంటుంది:
"నేను మాతృకను తిరిగి వ్రాస్తాను మరియు మొదటి పంక్తిని తిరిగి వ్రాస్తాను: 
»
“మొదటి కాలమ్. దిగువన నేను సున్నా పొందాలి. అందువల్ల, నేను ఎగువన ఉన్నదాన్ని –2: గుణించి, మొదటిదాన్ని రెండవ పంక్తికి జోడిస్తాను: 2 + (–2) = 0. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: 
»
“ఇప్పుడు రెండవ కాలమ్. ఎగువన, నేను -1ని -2తో గుణిస్తాను: . నేను మొదటిదాన్ని రెండవ పంక్తికి జోడిస్తాను: 1 + 2 = 3. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: 
»
“మరియు మూడవ కాలమ్. ఎగువన నేను -5ని -2తో గుణిస్తాను: . నేను మొదటిదాన్ని రెండవ పంక్తికి జోడిస్తాను: –7 + 10 = 3. నేను ఫలితాన్ని రెండవ పంక్తిలో వ్రాస్తాను: 
»
దయచేసి ఈ ఉదాహరణను జాగ్రత్తగా అర్థం చేసుకోండి మరియు సీక్వెన్షియల్ లెక్కింపు అల్గారిథమ్‌ను అర్థం చేసుకోండి, మీరు దీన్ని అర్థం చేసుకుంటే, గాస్సియన్ పద్ధతి ఆచరణాత్మకంగా మీ జేబులో ఉంటుంది. కానీ, వాస్తవానికి, మేము ఇప్పటికీ ఈ పరివర్తనపై పని చేస్తాము.
ఎలిమెంటరీ పరివర్తనాలు సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాన్ని మార్చవు
! అటెన్షన్: అవకతవకలు పరిగణించబడతాయి ఉపయోగించలేరు, మాత్రికలు "వాటంతటవే" ఇవ్వబడే ఒక పనిని మీకు అందిస్తే. ఉదాహరణకు, "క్లాసికల్" తో మాత్రికలతో కార్యకలాపాలుఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ మీరు మాత్రికల లోపల ఏదైనా క్రమాన్ని మార్చకూడదు! మన సిస్టమ్‌కి తిరిగి వెళ్దాం. ఇది ఆచరణాత్మకంగా ముక్కలుగా తీసుకోబడుతుంది.
సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని తగ్గించండి దశల వీక్షణ:
(1) మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –2తో గుణించబడుతుంది. మరలా: మనం మొదటి పంక్తిని –2తో ఎందుకు గుణించాలి? దిగువన సున్నాని పొందడానికి, అంటే రెండవ పంక్తిలోని ఒక వేరియబుల్‌ను వదిలించుకోవడం.
(2) రెండవ పంక్తిని 3 ద్వారా భాగించండి.
ప్రాథమిక రూపాంతరాల ప్రయోజనం
–
మాతృకను దశలవారీగా తగ్గించండి: 
. పని రూపకల్పనలో, వారు సాధారణ పెన్సిల్‌తో “మెట్లను” గుర్తించి, “స్టెప్స్” పై ఉన్న సంఖ్యలను కూడా సర్కిల్ చేస్తారు. "స్టెప్డ్ వ్యూ" అనే పదం పూర్తిగా సైద్ధాంతికమైనది కాదు, దీనిని శాస్త్రీయ మరియు విద్యా సాహిత్యంలో తరచుగా పిలుస్తారు ట్రాపెజోయిడల్ వీక్షణలేదా త్రిభుజాకార వీక్షణ.
ప్రాథమిక పరివర్తనల ఫలితంగా, మేము పొందాము సమానమైనఅసలు సమీకరణాల వ్యవస్థ:
ఇప్పుడు సిస్టమ్ వ్యతిరేక దిశలో “అన్‌వైండ్” చేయాలి - దిగువ నుండి పైకి, ఈ ప్రక్రియ అంటారు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం.
దిగువ సమీకరణంలో మేము ఇప్పటికే సిద్ధంగా ఉన్న ఫలితాన్ని కలిగి ఉన్నాము: .
సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు దానిలో ఇప్పటికే తెలిసిన “y” విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
గాస్సియన్ పద్ధతికి మూడు తెలియని వాటితో మూడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, అత్యంత సాధారణ పరిస్థితిని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ 1
గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: 
సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాద్దాం: 
ఇప్పుడు నేను పరిష్కారం సమయంలో మనం వచ్చే ఫలితాన్ని వెంటనే గీస్తాను: 
మరియు నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి మాతృకను దశలవారీగా తీసుకురావడమే మా లక్ష్యం. ఎక్కడ ప్రారంభించాలి?
ముందుగా, ఎగువ ఎడమవైపు సంఖ్యను చూడండి: 
దాదాపు ఎల్లప్పుడూ ఇక్కడే ఉండాలి యూనిట్. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, –1 (మరియు కొన్నిసార్లు ఇతర సంఖ్యలు) చేస్తాను, కానీ ఏదో ఒకవిధంగా సాంప్రదాయకంగా ఒకటి సాధారణంగా అక్కడ ఉంచబడుతుంది. యూనిట్‌ను ఎలా నిర్వహించాలి? మేము మొదటి నిలువు వరుసను చూస్తాము - మాకు పూర్తి యూనిట్ ఉంది! రూపాంతరం ఒకటి: మొదటి మరియు మూడవ పంక్తులను మార్చుకోండి: 
ఇప్పుడు మొదటి పంక్తి పరిష్కారం ముగిసే వరకు మారదు. ఇప్పుడు బాగానే ఉంది.
ఎగువ ఎడమ మూలలో ఉన్న యూనిట్ నిర్వహించబడింది. ఇప్పుడు మీరు ఈ ప్రదేశాలలో సున్నాలను పొందాలి: 
మేము "కష్టమైన" పరివర్తనను ఉపయోగించి సున్నాలను పొందుతాము. మొదట మేము రెండవ పంక్తితో వ్యవహరిస్తాము (2, –1, 3, 13). మొదటి స్థానంలో సున్నా రావాలంటే ఏం చేయాలి? అవసరం రెండవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –2తో గుణించాలి. మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో, మొదటి పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి: (–2, –4, 2, –18). మరియు మేము స్థిరంగా (మళ్ళీ మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో) అదనంగా నిర్వహిస్తాము, రెండవ పంక్తికి మేము మొదటి పంక్తిని జోడిస్తాము, ఇప్పటికే –2 ద్వారా గుణించబడింది:
మేము రెండవ పంక్తిలో ఫలితాన్ని వ్రాస్తాము: 
మేము అదే విధంగా మూడవ పంక్తితో వ్యవహరిస్తాము (3, 2, -5, -1). మొదటి స్థానంలో సున్నా పొందడానికి, మీరు అవసరం మూడవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి. మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్‌లో, మొదటి పంక్తిని –3 ద్వారా గుణించండి: (–3, –6, 3, –27). మరియు మూడవ పంక్తికి మనం మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి:
మేము మూడవ పంక్తిలో ఫలితాన్ని వ్రాస్తాము:
ఆచరణలో, ఈ చర్యలు సాధారణంగా మౌఖికంగా నిర్వహించబడతాయి మరియు ఒక దశలో వ్రాయబడతాయి: 
అన్నింటినీ ఒకేసారి మరియు అదే సమయంలో లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు. లెక్కల క్రమం మరియు ఫలితాలను "వ్రాయడం" స్థిరమైనమరియు సాధారణంగా ఇది ఇలా ఉంటుంది: మొదట మనం మొదటి పంక్తిని తిరిగి వ్రాస్తాము మరియు నెమ్మదిగా మనల్ని మనం పఫ్ చేసుకుంటాము - స్థిరంగా మరియు శ్రద్ధగా:
మరియు పైన పేర్కొన్న లెక్కల యొక్క మానసిక ప్రక్రియ గురించి నేను ఇప్పటికే చర్చించాను.
ఈ ఉదాహరణలో, మేము రెండవ పంక్తిని –5 ద్వారా భాగిస్తాము (అన్ని సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 5 ద్వారా భాగించబడతాయి). అదే సమయంలో, మేము మూడవ పంక్తిని –2 ద్వారా విభజిస్తాము, ఎందుకంటే చిన్న సంఖ్యలు, సరళమైన పరిష్కారం:
ప్రాథమిక రూపాంతరాల చివరి దశలో, మీరు ఇక్కడ మరొక సున్నాని పొందాలి: 
దీని కొరకు మూడవ పంక్తికి మనం రెండవ పంక్తిని –2తో గుణించాలి:
ఈ చర్యను మీరే గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి - మానసికంగా రెండవ పంక్తిని –2 ద్వారా గుణించండి మరియు అదనంగా చేయండి.
ప్రదర్శించిన చివరి చర్య ఫలితం యొక్క కేశాలంకరణ, మూడవ పంక్తిని 3 ద్వారా విభజించండి.
ప్రాథమిక పరివర్తనల ఫలితంగా, సరళ సమీకరణాల యొక్క సమానమైన వ్యవస్థ పొందబడింది: 
కూల్.
ఇప్పుడు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క రివర్స్ అమలులోకి వస్తుంది. సమీకరణాలు దిగువ నుండి పైకి "విడదీయబడతాయి".
మూడవ సమీకరణంలో మనకు ఇప్పటికే సిద్ధంగా ఫలితం ఉంది:
రెండవ సమీకరణాన్ని చూద్దాం: . "zet" యొక్క అర్థం ఇప్పటికే తెలుసు, ఈ విధంగా:
చివరకు, మొదటి సమీకరణం: . "Igrek" మరియు "zet" అంటారు, ఇది కేవలం చిన్న విషయాల విషయం:
సమాధానం: 
ఇప్పటికే అనేక సార్లు గుర్తించినట్లుగా, సమీకరణాల యొక్క ఏదైనా వ్యవస్థ కోసం ఇది సాధ్యమే మరియు కనుగొన్న పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయడం అవసరం, అదృష్టవశాత్తూ, ఇది సులభం మరియు శీఘ్రమైనది.
ఉదాహరణ 2
ఇది స్వతంత్ర పరిష్కారానికి ఉదాహరణ, తుది రూపకల్పన యొక్క నమూనా మరియు పాఠం చివరిలో సమాధానం.
ఇది మీ అని గమనించాలి నిర్ణయం యొక్క పురోగతినా నిర్ణయ ప్రక్రియతో ఏకీభవించకపోవచ్చు, మరియు ఇది గాస్ పద్ధతి యొక్క లక్షణం. అయితే సమాధానాలు ఒకేలా ఉండాలి!
ఉదాహరణ 3
గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి 
మేము ఎగువ ఎడమ "అడుగు" వైపు చూస్తాము. మన దగ్గర ఒకటి ఉండాలి. సమస్య ఏమిటంటే, మొదటి నిలువు వరుసలో యూనిట్‌లు లేవు, కాబట్టి అడ్డు వరుసలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం దేనినీ పరిష్కరించదు. అటువంటి సందర్భాలలో, యూనిట్ తప్పనిసరిగా ప్రాథమిక పరివర్తనను ఉపయోగించి నిర్వహించబడాలి. ఇది సాధారణంగా అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు. నేను ఇలా చేసాను: (1) మొదటి పంక్తికి మనం రెండవ పంక్తిని కలుపుతాము, అది –1తో గుణించబడుతుంది. అంటే, మేము మానసికంగా రెండవ పంక్తిని –1 ద్వారా గుణించాము మరియు మొదటి మరియు రెండవ పంక్తులను జోడించాము, రెండవ పంక్తి మారలేదు.
ఇప్పుడు ఎగువ ఎడమ వైపున "మైనస్ వన్" ఉంది, ఇది మాకు బాగా సరిపోతుంది. +1 పొందాలనుకునే ఎవరైనా అదనపు కదలికను చేయవచ్చు: మొదటి పంక్తిని –1తో గుణించండి (దాని గుర్తును మార్చండి).
(2) 5తో గుణించిన మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి 3తో గుణించబడిన మొదటి పంక్తికి జోడించబడింది.
(3) మొదటి పంక్తి –1తో గుణించబడింది, సూత్రప్రాయంగా, ఇది అందం కోసం. మూడవ పంక్తి యొక్క సంకేతం కూడా మార్చబడింది మరియు అది రెండవ స్థానానికి తరలించబడింది, తద్వారా రెండవ "అడుగు"లో మనకు అవసరమైన యూనిట్ ఉంది.
(4) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 2తో గుణించబడుతుంది.
(5) మూడవ పంక్తి 3 ద్వారా విభజించబడింది.
గణనలలో లోపాన్ని సూచించే చెడ్డ సంకేతం (మరింత అరుదుగా, అక్షర దోషం) "చెడు" బాటమ్ లైన్. అంటే, మనకు , క్రింద, మరియు, తదనుగుణంగా, 
, అప్పుడు అధిక స్థాయి సంభావ్యతతో ప్రాథమిక పరివర్తనల సమయంలో లోపం జరిగిందని మనం చెప్పగలం.
మేము రివర్స్ వసూలు చేస్తాము, ఉదాహరణల రూపకల్పనలో వారు తరచుగా సిస్టమ్‌ను తిరిగి వ్రాయరు, కానీ సమీకరణాలు "ఇచ్చిన మాతృక నుండి నేరుగా తీసుకోబడతాయి." రివర్స్ స్ట్రోక్, నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను, దిగువ నుండి పైకి పని చేస్తుంది. అవును, ఇక్కడ బహుమతి ఉంది:
సమాధానం: 
.
ఉదాహరణ 4
గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి 
మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ, ఇది కొంత క్లిష్టంగా ఉంటుంది. ఎవరైనా కంగారు పడితే ఫర్వాలేదు. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు నమూనా రూపకల్పన. మీ పరిష్కారం నా పరిష్కారానికి భిన్నంగా ఉండవచ్చు.
చివరి భాగంలో మేము గాస్సియన్ అల్గోరిథం యొక్క కొన్ని లక్షణాలను పరిశీలిస్తాము. మొదటి లక్షణం ఏమిటంటే, కొన్నిసార్లు సిస్టమ్ సమీకరణాల నుండి కొన్ని వేరియబుల్స్ తప్పిపోతాయి, ఉదాహరణకు: 
పొడిగించిన సిస్టమ్ మాతృకను సరిగ్గా ఎలా వ్రాయాలి? నేను ఇప్పటికే ఈ విషయం గురించి క్లాసులో మాట్లాడాను. క్రామెర్ నియమం. మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకలో, తప్పిపోయిన వేరియబుల్స్ స్థానంలో మేము సున్నాలను ఉంచుతాము: 
మార్గం ద్వారా, ఇది చాలా సులభమైన ఉదాహరణ, ఎందుకంటే మొదటి నిలువు వరుసలో ఇప్పటికే ఒక సున్నా ఉంది మరియు నిర్వహించడానికి తక్కువ ప్రాథమిక పరివర్తనలు ఉన్నాయి.
రెండవ విశేషం ఇది. పరిగణించబడిన అన్ని ఉదాహరణలలో, మేము "స్టెప్స్"లో –1 లేదా +1ని ఉంచాము. అక్కడ ఇతర సంఖ్యలు ఉండవచ్చా? కొన్ని సందర్భాల్లో వారు చేయవచ్చు. వ్యవస్థను పరిగణించండి: 
.
ఇక్కడ ఎగువ ఎడమ "దశ"లో మనకు రెండు ఉన్నాయి. కానీ మొదటి నిలువు వరుసలోని అన్ని సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 2 ద్వారా భాగించబడతాయని మేము గమనించాము - మరియు మరొకటి రెండు మరియు ఆరు. మరియు ఎడమ ఎగువన ఉన్న రెండు మనకు సరిపోతాయి! మొదటి దశలో, మీరు క్రింది పరివర్తనలను నిర్వహించాలి: రెండవ పంక్తికి –1 ద్వారా గుణించబడిన మొదటి పంక్తిని జోడించండి; మూడవ పంక్తికి మొదటి పంక్తిని –3తో గుణించాలి. ఈ విధంగా మనం మొదటి నిలువు వరుసలో అవసరమైన సున్నాలను పొందుతాము.
లేదా మరొక సంప్రదాయ ఉదాహరణ: 
. ఇక్కడ రెండవ “దశ”లోని మూడు కూడా మనకు సరిపోతాయి, ఎందుకంటే 12 (మనం సున్నా పొందవలసిన ప్రదేశం) శేషం లేకుండా 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది. కింది పరివర్తనను నిర్వహించడం అవసరం: మూడవ పంక్తికి రెండవ పంక్తిని జోడించండి, –4 ద్వారా గుణించబడుతుంది, దీని ఫలితంగా మనకు అవసరమైన సున్నా పొందబడుతుంది.
గాస్ యొక్క పద్ధతి సార్వత్రికమైనది, కానీ ఒక ప్రత్యేకత ఉంది. మీరు ఇతర పద్ధతులను ఉపయోగించి సిస్టమ్‌లను పరిష్కరించడానికి నమ్మకంగా నేర్చుకోవచ్చు (క్రామెర్ యొక్క పద్ధతి, మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి) అక్షరాలా మొదటిసారి - అవి చాలా కఠినమైన అల్గోరిథం కలిగి ఉంటాయి. కానీ గాస్సియన్ పద్ధతిలో నమ్మకంగా ఉండటానికి, మీరు "మీ దంతాలను పొందండి" మరియు కనీసం 5-10 పది వ్యవస్థలను పరిష్కరించాలి. అందువల్ల, మొదట గణనలలో గందరగోళం మరియు లోపాలు ఉండవచ్చు మరియు దీని గురించి అసాధారణమైన లేదా విషాదకరమైనది ఏమీ లేదు.
కిటికీ వెలుపల వర్షపు శరదృతువు వాతావరణం.... అందువల్ల, వారి స్వంతంగా పరిష్కరించడానికి మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను కోరుకునే ప్రతి ఒక్కరికీ:
ఉదాహరణ 5
గాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించి నాలుగు తెలియని వాటితో 4 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి. 
ఆచరణలో ఇటువంటి పని చాలా అరుదు. ఈ పేజీని క్షుణ్ణంగా అధ్యయనం చేసిన టీపాట్ కూడా అటువంటి వ్యవస్థను అకారణంగా పరిష్కరించే అల్గోరిథంను అర్థం చేసుకుంటుందని నేను భావిస్తున్నాను. ప్రాథమికంగా, ప్రతిదీ ఒకేలా ఉంటుంది - మరిన్ని చర్యలు ఉన్నాయి.
సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాలు లేనప్పుడు (అస్థిరమైన) లేదా అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న సందర్భాలు పాఠంలో చర్చించబడ్డాయి ఒక సాధారణ పరిష్కారంతో అననుకూల వ్యవస్థలు మరియు వ్యవస్థలు. అక్కడ మీరు గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క పరిగణించబడిన అల్గోరిథంను పరిష్కరించవచ్చు.
మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను!
పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:
ఉదాహరణ 2:
పరిష్కారం
:
సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి.
ప్రాథమిక రూపాంతరాలు ప్రదర్శించబడ్డాయి:
(1) మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –2తో గుణించబడుతుంది. మొదటి పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –1తో గుణించబడింది.
శ్రద్ధ!
ఇక్కడ మీరు మూడవ పంక్తి నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేయడానికి శోదించబడవచ్చు, దానిని తీసివేయవద్దని నేను బాగా సిఫార్సు చేస్తున్నాను - లోపం యొక్క ప్రమాదం బాగా పెరుగుతుంది. దాన్ని మడవండి!
(2) రెండవ పంక్తి యొక్క సంకేతం మార్చబడింది (–1తో గుణించాలి). రెండవ మరియు మూడవ లైన్లు మార్చబడ్డాయి.
గమనిక
, "దశల"లో మేము ఒకదానితో మాత్రమే కాకుండా -1 తో కూడా సంతృప్తి చెందాము, ఇది మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
(3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 5తో గుణించబడుతుంది.
(4) రెండవ పంక్తి యొక్క సంకేతం మార్చబడింది (–1తో గుణించాలి). మూడవ పంక్తి 14 ద్వారా విభజించబడింది.
రివర్స్:
సమాధానం
:
.
ఉదాహరణ 4:
పరిష్కారం
:
సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి:
చేసిన మార్పిడులు: (1) మొదటి పంక్తికి రెండవ పంక్తి జోడించబడింది. అందువలన, కావలసిన యూనిట్ ఎగువ ఎడమ "స్టెప్" పై నిర్వహించబడుతుంది. (2) 7తో గుణించిన మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి 6తో గుణించబడిన మొదటి పంక్తికి జోడించబడింది.
రెండవ "దశ" తో ప్రతిదీ అధ్వాన్నంగా ఉంటుంది , దీనికి "అభ్యర్థులు" 17 మరియు 23 సంఖ్యలు, మరియు మనకు ఒకటి లేదా -1 అవసరం. పరివర్తనలు (3) మరియు (4) కావలసిన యూనిట్‌ను పొందడం లక్ష్యంగా ఉంటాయి (3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –1తో గుణించబడుతుంది. (4) మూడవ పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –3తో గుణించబడింది. రెండవ దశలో అవసరమైన అంశం స్వీకరించబడింది. . (5) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 6తో గుణించబడింది. (6) రెండవ పంక్తి –1తో గుణించబడింది, మూడవ పంక్తి -83తో భాగించబడింది.
రివర్స్:
సమాధానం :
ఉదాహరణ 5:
పరిష్కారం
:
సిస్టమ్ యొక్క మాతృకను వ్రాసి, ప్రాథమిక పరివర్తనలను ఉపయోగించి, దానిని దశలవారీగా తీసుకురండి:
చేసిన మార్పిడులు: (1) మొదటి మరియు రెండవ పంక్తులు మార్చబడ్డాయి. (2) మొదటి పంక్తి రెండవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –2తో గుణించబడింది. మొదటి పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –2తో గుణించబడింది. మొదటి పంక్తి నాల్గవ పంక్తికి జోడించబడింది, ఇది –3తో గుణించబడింది. (3) రెండవ పంక్తి మూడవ పంక్తికి జోడించబడింది, 4 ద్వారా గుణించబడింది. రెండవ పంక్తి నాల్గవ పంక్తికి జోడించబడింది, –1తో గుణించబడింది. (4) రెండవ పంక్తి గుర్తు మార్చబడింది. నాల్గవ లైన్ 3 ద్వారా విభజించబడింది మరియు మూడవ లైన్ స్థానంలో ఉంచబడింది. (5) మూడవ పంక్తి నాల్గవ పంక్తికి జోడించబడింది, అది –5తో గుణించబడింది.
రివర్స్:
సమాధానం :
సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు
గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క సరళమైన సంస్కరణ పెద్ద లోపాలను కలిగిస్తుంది. కారణం పెద్ద కోఎఫీషియంట్స్ కనిపించడం, దీని చుట్టుముట్టే పెద్ద సంపూర్ణ లోపం D ~ 0.5 ఏర్పడుతుంది. ప్రతిగా, చిన్న ప్రముఖ గుణకం ద్వారా విభజించిన తర్వాత పెద్ద గుణకాలు పొందబడతాయి 
.
ముగింపు:రౌండింగ్ లోపాల ప్రభావాన్ని తగ్గించడానికి, మీరు 0 నుండి భిన్నంగా కాకుండా తగినంత పెద్దదిగా ఉండే ప్రముఖ మూలకాన్ని ఎంచుకోవాలి.
గాస్ పద్ధతి యొక్క మొదటి మార్పు- స్ట్రింగ్స్ ద్వారా శోధించండి. అల్గోరిథంలో, కండిషన్ నుండి లీడింగ్ ఎలిమెంట్ ఎంచుకోవాలి.
సవరణ లేకపోవడం. x i అనేది D యొక్క లోపంతో కనుగొనబడిందని అనుకుందాం. అప్పుడు, ఏదైనా x s కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు, విలోమ సూత్రం ప్రకారం, గుణించడం అవసరం. ఈ సందర్భంలో, లోపం D కూడా గుణించబడుతుంది. విలువ పెద్దదైతే, లోపం పెరుగుతుంది.
ముగింపు:లీడింగ్ ఎలిమెంట్ పెద్దది కాదు, దాని లైన్‌లో అతిపెద్ద మాడ్యులో అని నిర్ధారించుకోవడం అవసరం. అప్పుడు, లీడింగ్ లైన్‌ను సాధారణీకరించేటప్పుడు, ఫార్ములా (5) ప్రకారం అన్ని ఇతర గుణకాలు సంపూర్ణ విలువలో 1 కంటే తక్కువగా ఉంటాయి మరియు లోపాలు ఉంటాయి తగ్గుదల.
గాస్ పద్ధతి యొక్క రెండవ సవరణ- నిలువు వరుసల ద్వారా శోధించండి. తెలియనివి x i యాదృచ్ఛిక క్రమంలో మినహాయించబడి, ప్రముఖ పంక్తి , బట్వాడా కోసం శోధించబడినట్లయితే ఈ అవసరాన్ని తీర్చవచ్చు. ఇది తదుపరి ప్రముఖ అంశం అవుతుంది. లీడింగ్ ఎలిమెంట్‌ని నిర్ణయించిన తర్వాత, k-th మరియు r-th లను మార్చుకోండి నిలువు వరుసలు.
శ్రద్ధ.అటువంటి భర్తీతో, తెలియని వారి సంఖ్య x i మారుతుంది. అటువంటి భర్తీని నిర్ధారించడానికి, ప్రోగ్రామింగ్ సమయంలో తెలియని వారి వాస్తవ సంఖ్యలతో p 1 ,…p n శ్రేణిని నమోదు చేయడం అవసరం. ఫార్వర్డ్ స్ట్రోక్ ప్రారంభంలో, అన్ని p i = i సాధారణ నంబరింగ్. ప్రముఖ మూలకాన్ని కనుగొన్న తర్వాత, p k మరియు p r లను మార్చుకోండి. రివర్స్ స్ట్రోక్ సమయంలో, రీనంబర్డ్ x i ఫార్ములా (7) ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది. అన్ని తెలియని వాటిని లెక్కించిన తర్వాత, మేము తప్పనిసరిగా ఉంచాలి y]:=x[i], మరియు ఒక శ్రేణి y[i]సమస్యకు తుది పరిష్కారం అవుతుంది.
గాస్ పద్ధతి యొక్క మూడవ సవరణ- పూర్తి శోధన. డెలివరీ చేసే ఎలిమెంట్ లీడర్‌గా ఎంపిక చేయబడింది. ఈ సందర్భంలో, k-th మరియు r-th నిలువు వరుసలు, p k మరియు p r, అలాగే m-th మరియు k-th వరుసలు మార్చబడతాయి. ఈ సవరణ గరిష్ట ఖచ్చితత్వాన్ని అందిస్తుంది, కానీ చాలా క్లిష్టమైనది.
వివిధ లీనియర్ ఆల్జీబ్రా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గాస్ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్
1. మాతృక విలోమం.చతురస్ర మాతృక A యొక్క విలోమ మాతృకను లెక్కించడం అవసరం. X = A –1ని సూచిస్తాము. మీకు తెలిసినట్లుగా, AX = I, ఇక్కడ నేను ఐడెంటిటీ మ్యాట్రిక్స్, దీనిలో 1లు వికర్ణంలో ఉంటాయి మరియు మిగిలిన మూలకాలు 0. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మాతృక I యొక్క i-వ కాలమ్ సమానం
(1 i-వ స్థానంలో ఉంది). x (i) మాతృక X యొక్క i-వ నిలువు వరుసగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, మాతృక గుణకార నియమం (అడ్డు వరుస కాలమ్‌తో గుణించబడుతుంది), మనకు A x (i) = e (i) ఉంటుంది. మాతృకను విలోమం చేయడానికి మనం పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉందని దీని అర్థం nఒకే మాత్రికలు మరియు విభిన్న కుడి-భుజాలతో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు:
ఓహ్ = ఇ (1) ; ఓహ్ = ఇ (2) ; …; ఓహ్ = ఇ (n) . (2.1)
ఈ వ్యవస్థలను పరిష్కరించిన తర్వాత, కనుగొన్న పరిష్కారాలు x (1), x (2), ..., x (n) మాతృక A –1 యొక్క నిలువు వరుసలు అని మేము కనుగొన్నాము.
2. డిటర్మినెంట్ల గణన.గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి మాతృక Aని త్రిభుజాకార రూపంలోకి మార్చే ప్రక్రియలో, మేము దానితో క్రింది చర్యలను చేసాము:
1) పద్ధతి యొక్క మార్పుపై ఆధారపడి వరుసలు లేదా నిలువు వరుసలు పునర్వ్యవస్థీకరించబడ్డాయి;
2) సున్నా కాని లీడింగ్ ఎలిమెంట్ ద్వారా లీడింగ్ లైన్‌ను విభజించండి;
3) మాతృక వరుసలకు నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించబడిన ప్రముఖ అడ్డు వరుస జోడించబడింది.
తెలిసినట్లుగా, అటువంటి పరివర్తనల సమయంలో మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి సంబంధిత మార్పులకు లోనవుతుంది:
1) మార్పుల సంకేతం;
2) అదే మూలకం ద్వారా విభజించబడింది;
3) మారదు.
ముందుకు తరలించిన తర్వాత, మాతృక A ప్రధాన వికర్ణంతో ఎగువ త్రిభుజాకార రూపానికి తగ్గించబడుతుంది. అటువంటి మాతృక యొక్క నిర్ణాయకం స్పష్టంగా 1కి సమానంగా ఉంటుంది. పరివర్తన ప్రక్రియలో మాతృక A యొక్క నిర్ణయాధికారి చేసిన మార్పులను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మనకు ఈ క్రింది సూత్రం ఉంది:
det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n ,
ఇక్కడ j j అనేది లీడింగ్ ఎలిమెంట్స్, s అనేది లీడింగ్ ఎలిమెంట్స్ కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు అడ్డు వరుసలు మరియు/లేదా నిలువు వరుసల ప్రస్తారణల సంఖ్య.
పరీక్ష ప్రశ్నలు మరియు విధులు
1. మానవీయంగాఇచ్చిన సమీకరణాల వ్యవస్థ కోసం గాస్సియన్ పద్ధతిని అమలు చేయండి (అడ్డు వరుసలు, నిలువు వరుసలు, మొత్తం మ్యాట్రిక్స్ అంతటా - టాస్క్ ఎంపికపై ఆధారపడి)
మరియు కింది పనులను పూర్తి చేయండి
1) ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి
2) ఈ సిస్టమ్ యొక్క మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారిని లెక్కించండి ( గాస్సియన్ పద్ధతి- p చూడండి 2 ).
3) ఈ సిస్టమ్ యొక్క మాతృకను విలోమం చేయండి ( గాస్సియన్ పద్ధతి- p చూడండి 1 ).
భవిష్యత్తులో, ఈ సమస్యను పరిష్కరించే ఫలితాన్ని పరీక్ష ఉదాహరణగా ఉపయోగించండి.
2. గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి లీనియర్ సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడానికి ప్రోగ్రామ్‌ను సృష్టించండి (అడ్డు వరుసలు, నిలువు వరుసలు, మొత్తం మ్యాట్రిక్స్ అంతటా - టాస్క్ యొక్క సంస్కరణపై ఆధారపడి) మరియు ఈ ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించి మ్యాట్రిక్స్ విలోమం చేయండి.
సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మార్గాలలో ఒకటి డిటర్మినేట్ల గణన ఆధారంగా ఒక సాంకేతికత ( క్రామెర్ నియమం) దీని ప్రయోజనం ఏమిటంటే, ఇది వెంటనే పరిష్కారాన్ని రికార్డ్ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, సిస్టమ్ యొక్క గుణకాలు సంఖ్యలు కానట్లయితే, కొన్ని పారామితులు. దాని ప్రతికూలత ఏమిటంటే, పెద్ద సంఖ్యలో సమీకరణాల విషయంలో గణనల గజిబిజిగా ఉంటుంది, అంతేకాకుండా, ఈక్వేషన్ల సంఖ్య తెలియని వాటితో ఏకీభవించని వ్యవస్థలకు క్రామెర్ నియమం నేరుగా వర్తించదు. అటువంటి సందర్భాలలో, ఇది సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది గాస్సియన్ పద్ధతి.
ఒకే విధమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉండే సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను అంటారు సమానమైన. సహజంగానే, ఏదైనా సమీకరణాలు మార్చబడినా లేదా సమీకరణాలలో ఒకదానిని కొన్ని సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణించినా లేదా ఒక సమీకరణం మరొకదానికి జోడించబడినా సరళ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాల సమితి మారదు.
గాస్ పద్ధతి (తెలియని వాటిని క్రమం తప్పకుండా తొలగించే పద్ధతి) అంటే ప్రాథమిక పరివర్తనల సహాయంతో సిస్టమ్ దశల రకానికి సమానమైన వ్యవస్థకు తగ్గించబడుతుంది. మొదట, 1 వ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, మేము తొలగిస్తాము xసిస్టమ్ యొక్క అన్ని తదుపరి సమీకరణాలలో 1. అప్పుడు, 2 వ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, మేము తొలగిస్తాము x 3వ మరియు అన్ని తదుపరి సమీకరణాల నుండి 2. ఈ ప్రక్రియ, అంటారు ప్రత్యక్ష గాస్సియన్ పద్ధతి, చివరి సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఒక తెలియనిది మాత్రమే మిగిలి ఉండే వరకు కొనసాగుతుంది x n. దీని తరువాత ఇది జరుగుతుంది గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమం- చివరి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం, మేము కనుగొంటాము x n; ఆ తర్వాత, ఈ విలువను ఉపయోగించి, చివరి సమీకరణం నుండి మనం గణిస్తాము x n-1, మొదలైనవి మేము చివరిదాన్ని కనుగొంటాము xమొదటి సమీకరణం నుండి 1.
పరివర్తనలను సమీకరణాలతో కాకుండా, వాటి గుణకాల మాత్రికలతో చేయడం ద్వారా గాస్సియన్ పరివర్తనలను నిర్వహించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. మాతృకను పరిగణించండి:
అని పిలిచారు సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక,ఎందుకంటే, సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకతో పాటు, ఇది ఉచిత నిబంధనల కాలమ్‌ను కలిగి ఉంటుంది. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృక యొక్క ప్రాథమిక వరుస రూపాంతరాలను (!) ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మాతృకను త్రిభుజాకార రూపానికి (లేదా చతురస్రాకార వ్యవస్థల విషయంలో ట్రాపెజోయిడల్ రూపం) తగ్గించడంపై గాస్సియన్ పద్ధతి ఆధారపడి ఉంటుంది.
ఉదాహరణ 5.1.గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం. సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాద్దాం మరియు మొదటి వరుసను ఉపయోగించి, ఆ తర్వాత మేము మిగిలిన మూలకాలను రీసెట్ చేస్తాము:
మేము మొదటి నిలువు వరుసలో 2వ, 3వ మరియు 4వ వరుసలలో సున్నాలను పొందుతాము:
ఇప్పుడు మనకు 2వ అడ్డు వరుస క్రింద ఉన్న రెండవ నిలువు వరుసలోని అన్ని మూలకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. దీన్ని చేయడానికి, మీరు రెండవ పంక్తిని –4/7 ద్వారా గుణించవచ్చు మరియు దానిని 3 వ పంక్తికి జోడించవచ్చు. అయితే, భిన్నాలతో వ్యవహరించకుండా ఉండటానికి, రెండవ నిలువు వరుసలోని 2వ వరుసలో ఒక యూనిట్‌ని సృష్టిద్దాం మరియు మాత్రమే
ఇప్పుడు, త్రిభుజాకార మాతృకను పొందడానికి, మీరు దీన్ని చేయడానికి 3 వ నిలువు వరుస యొక్క మూలకాన్ని రీసెట్ చేయాలి, మీరు మూడవ వరుసను 8/54 ద్వారా గుణించవచ్చు మరియు దానిని నాల్గవదానికి జోడించవచ్చు. అయితే, భిన్నాలతో వ్యవహరించకుండా ఉండటానికి, మేము 3వ మరియు 4వ వరుసలు మరియు 3వ మరియు 4వ నిలువు వరుసలను మార్చుకుంటాము మరియు ఆ తర్వాత మాత్రమే మేము పేర్కొన్న మూలకాన్ని రీసెట్ చేస్తాము. నిలువు వరుసలను పునర్వ్యవస్థీకరించేటప్పుడు, సంబంధిత వేరియబుల్స్ స్థలాలను మారుస్తాయని గమనించండి మరియు ఇది తప్పనిసరిగా గుర్తుంచుకోవాలి; నిలువు వరుసలతో ఇతర ప్రాథమిక పరివర్తనలు (సంఖ్య ద్వారా జోడించడం మరియు గుణించడం) చేయడం సాధ్యం కాదు!
చివరి సరళీకృత మాతృక అసలైన దానికి సమానమైన సమీకరణాల వ్యవస్థకు అనుగుణంగా ఉంటుంది:
ఇక్కడ నుండి, గాస్సియన్ పద్ధతి యొక్క విలోమాన్ని ఉపయోగించి, మేము నాల్గవ సమీకరణం నుండి కనుగొంటాము x 3 = –1; మూడవ నుండి x 4 = –2, రెండవది నుండి x 2 = 2 మరియు మొదటి సమీకరణం నుండి x 1 = 1. మాతృక రూపంలో, సమాధానం ఇలా వ్రాయబడుతుంది
సిస్టమ్ ఖచ్చితంగా ఉన్నప్పుడు మేము కేసును పరిగణించాము, అనగా. ఒకే ఒక పరిష్కారం ఉన్నప్పుడు. సిస్టమ్ అస్థిరంగా లేదా అనిశ్చితంగా ఉంటే ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం.
ఉదాహరణ 5.2.గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను అన్వేషించండి:
పరిష్కారం. మేము సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి మారుస్తాము
మేము సమీకరణాల సరళీకృత వ్యవస్థను వ్రాస్తాము:
ఇక్కడ, చివరి సమీకరణంలో 0=4 అని తేలింది, అనగా. వైరుధ్యం. పర్యవసానంగా, వ్యవస్థకు పరిష్కారం లేదు, అనగా. ఆమె అననుకూలమైనది. à
ఉదాహరణ 5.3.గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌ను అన్వేషించండి మరియు పరిష్కరించండి:
పరిష్కారం. మేము సిస్టమ్ యొక్క పొడిగించిన మాతృకను వ్రాసి మారుస్తాము:
పరివర్తనల ఫలితంగా, చివరి పంక్తిలో సున్నాలు మాత్రమే ఉంటాయి. అంటే సమీకరణాల సంఖ్య ఒకటి తగ్గింది:
ఈ విధంగా, సరళీకరణల తర్వాత, రెండు సమీకరణాలు మిగిలి ఉన్నాయి మరియు నాలుగు తెలియనివి, అనగా. రెండు తెలియని "అదనపు". వాటిని "మితిమీరిన" గా ఉండనివ్వండి, లేదా, వారు చెప్పినట్లు, ఉచిత వేరియబుల్స్, రెడీ x 3 మరియు x 4 . అప్పుడు
నమ్మకం x 3 = 2aమరియు x 4 = బి, మాకు దొరికింది x 2 = 1–aమరియు x 1 = 2బి–a; లేదా మాతృక రూపంలో
ఈ విధంగా వ్రాసిన పరిష్కారం అంటారు సాధారణ, ఎందుకంటే, పారామితులను ఇవ్వడం aమరియు బివిభిన్న విలువలు, సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన పరిష్కారాలను వివరించవచ్చు. a