Dsr 14 పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలు. హేతుబద్ధ సమీకరణాలు

§ 1 పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలు

ఈ పాఠంలో మనం హేతుబద్ధ సమీకరణం, హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణ, సంపూర్ణ వ్యక్తీకరణ, భిన్న వ్యక్తీకరణ వంటి భావనలను పరిశీలిస్తాము. హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం.

హేతుబద్ధమైన సమీకరణం అనేది ఎడమ మరియు కుడి వైపులా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలుగా ఉండే సమీకరణం.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు:

భిన్నమైన.

పూర్ణాంక వ్యక్తీకరణ సంఖ్యలు, వేరియబుల్స్, పూర్ణాంకాల శక్తులతో కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యతో భాగహారం చేయడం ద్వారా రూపొందించబడింది.

ఉదాహరణకి:

IN పాక్షిక వ్యక్తీకరణలువేరియబుల్ ద్వారా విభజన లేదా వేరియబుల్‌తో వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది. ఉదాహరణకి:

పాక్షిక వ్యక్తీకరణ దానిలో చేర్చబడిన వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని విలువలకు అర్ధవంతం కాదు. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ

x = -9 వద్ద ఇది అర్ధవంతం కాదు, ఎందుకంటే x = -9 వద్ద హారం సున్నాకి వెళుతుంది.

దీని అర్థం హేతుబద్ధమైన సమీకరణం పూర్ణాంకం లేదా భిన్నం కావచ్చు.

మొత్తం హేతుబద్ధమైన సమీకరణం అనేది హేతుబద్ధమైన సమీకరణం, దీనిలో ఎడమ మరియు కుడి వైపులా మొత్తం వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి.

ఉదాహరణకి:

పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం అనేది హేతుబద్ధమైన సమీకరణం, దీనిలో ఎడమ లేదా కుడి వైపులా పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి.

ఉదాహరణకి:

§ 2 మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం

మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణకి:

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా చిన్నదానితో గుణించండి సాధారణ హారందానిలో చేర్చబడిన భిన్నాల హారం.

దీని కొరకు:

1. హారం 2, 3, 6 కోసం సాధారణ హారం కనుగొనండి. ఇది 6కి సమానం;

2. ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, సాధారణ హారం 6ని ప్రతి హారం ద్వారా విభజించండి

భిన్నం కోసం అదనపు కారకం

3. భిన్నాల సంఖ్యలను వాటి సంబంధిత అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి. అందువలన, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము

ఇది ఇచ్చిన సమీకరణానికి సమానం

ఎడమ వైపున ఉన్న బ్రాకెట్లను తెరిచి, కుడి భాగాన్ని ఎడమ వైపుకు తరలించండి, వ్యతిరేక దానికి బదిలీ చేసినప్పుడు పదం యొక్క చిహ్నాన్ని మారుస్తుంది.

బహుపది యొక్క సారూప్య పదాలను తెచ్చి పొందుదాం

సమీకరణం సరళంగా ఉందని మనం చూస్తాము.

దాన్ని పరిష్కరించిన తర్వాత, x = 0.5 అని మేము కనుగొన్నాము.

§ 3 పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం

పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణకి:

1.సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా దానిలో చేర్చబడిన హేతుబద్ధమైన భిన్నాల హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ హారంతో గుణించండి.

x + 7 మరియు x - 1 హారంల కోసం సాధారణ హారంని కనుగొనండి.

ఇది వారి ఉత్పత్తికి సమానం (x + 7)(x - 1).

2. ప్రతి హేతుబద్ధమైన భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి.

దీన్ని చేయడానికి, ప్రతి హారం ద్వారా సాధారణ హారం (x + 7)(x - 1) విభజించండి. భిన్నాలకు అదనపు కారకం

x - 1కి సమానం,

భిన్నం కోసం అదనపు కారకం

x+7కి సమానం.

3. భిన్నాల సంఖ్యలను వాటి సంబంధిత అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి.

మేము ఈ సమీకరణానికి సమానమైన (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) సమీకరణాన్ని పొందుతాము

4.ఎడమ మరియు కుడి ద్విపద ద్వారా ద్విపదను గుణించి క్రింది సమీకరణాన్ని పొందండి

5. మేము కుడి వైపును ఎడమ వైపుకు తరలిస్తాము, వ్యతిరేక పదానికి బదిలీ చేసేటప్పుడు ప్రతి పదం యొక్క చిహ్నాన్ని మారుస్తాము:

6. బహుపది యొక్క సారూప్య నిబంధనలను అందిద్దాం:

7. రెండు వైపులా -1 ద్వారా విభజించవచ్చు. మేము ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

8. దాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, మేము మూలాలను కనుగొంటాము

Eq లో నుండి.

ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు మరియు కొన్ని విలువలకు భిన్న వ్యక్తీకరణలు వేరియబుల్ హారంసున్నాకి వెళ్లవచ్చు, ఆపై x1 మరియు x2 కనుగొనబడినప్పుడు సాధారణ హారం సున్నాకి వెళ్లలేదా అని తనిఖీ చేయడం అవసరం.

x = -27 వద్ద, సాధారణ హారం (x + 7)(x - 1) అదృశ్యం కాదు; x = -1 వద్ద, సాధారణ హారం కూడా అదృశ్యం కాదు సున్నాకి సమానం.

కాబట్టి, రెండు మూలాలు -27 మరియు -1 సమీకరణం యొక్క మూలాలు.

పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని వెంటనే సూచించడం మంచిది. సాధారణ హారం సున్నాకి వెళ్లే విలువలను తొలగించండి.

పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మరొక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణకు, సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం

మేము సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న భిన్నం యొక్క హారంను కారకం చేస్తాము

మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము

హారం (x - 5), x, x (x - 5) కోసం ఉమ్మడి హారంని కనుగొనండి.

ఇది x (x - 5) అనే వ్యక్తీకరణ అవుతుంది.

ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని కనుగొనండి

దీన్ని చేయడానికి, మేము సాధారణ హారంను సున్నా x (x - 5) = 0కి సమం చేస్తాము.

x = 0 వద్ద లేదా x = 5 వద్ద సాధారణ హారం సున్నాకి వెళుతుందని పరిష్కరిస్తూ, మేము ఒక సమీకరణాన్ని పొందుతాము.

అంటే x = 0 లేదా x = 5 మన సమీకరణానికి మూలాలు కావు.

అదనపు మల్టిప్లైయర్‌లను ఇప్పుడు కనుగొనవచ్చు.

హేతుబద్ధమైన భిన్నాలకు అదనపు కారకం

భిన్నం కోసం అదనపు కారకం

ఉంటుంది (x - 5),

మరియు భిన్నం యొక్క అదనపు కారకం

మేము సంబంధిత అదనపు కారకాల ద్వారా న్యూమరేటర్లను గుణిస్తాము.

మనకు x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) సమీకరణం వస్తుంది.

ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న బ్రాకెట్లను తెరవండి, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

బదిలీ చేయబడిన నిబంధనల చిహ్నాన్ని మారుస్తూ నిబంధనలను కుడి నుండి ఎడమకు తరలిద్దాం:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

మరియు సారూప్య నిబంధనలను తీసుకువచ్చిన తర్వాత, మేము x2 - 3x - 10 = 0 అనే చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పొందుతాము. దానిని పరిష్కరించిన తర్వాత, మేము x1 = -2 మూలాలను కనుగొంటాము; x2 = 5.

కానీ x = 5 వద్ద సాధారణ హారం x (x - 5) సున్నాకి వెళుతుందని మేము ఇప్పటికే కనుగొన్నాము. కాబట్టి, మా సమీకరణం యొక్క మూలం

x = -2 అవుతుంది.

§ 4 సంక్షిప్త సారాంశంపాఠం

గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం:

పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి:

1. సమీకరణంలో చేర్చబడిన భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారం కనుగొనండి. అంతేకాకుండా, భిన్నాల హారంలను కారకం చేయగలిగితే, వాటిని కారకం చేసి, ఆపై సాధారణ హారం కనుగొనండి.

2.ఒక సాధారణ హారం ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి: అదనపు కారకాలను కనుగొనండి, అదనపు కారకాల ద్వారా సంఖ్యలను గుణించండి.

3.ఫలితం మొత్తం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

4. సాధారణ హారం అదృశ్యం చేసే వాటిని దాని మూలాల నుండి తొలగించండి.

ఉపయోగించిన సాహిత్యం జాబితా:

మకరిచెవ్ యు.ఎన్., ఎన్.జి.మిండియుక్, నెష్కోవ్ కె.ఐ., సువోరోవా ఎస్.బి. / Telyakovsky ద్వారా సవరించబడింది S.A. బీజగణితం: పాఠ్య పుస్తకం. 8వ తరగతి కోసం. సాధారణ విద్య సంస్థలు. - M.: విద్య, 2013.
మోర్డ్కోవిచ్ A.G. బీజగణితం. 8వ తరగతి: రెండు భాగాలుగా. పార్ట్ 1: పాఠ్య పుస్తకం. సాధారణ విద్య కోసం సంస్థలు. - M.: మ్నెమోసిన్.
రురుకిన్ ఎ.ఎన్. పాఠం-ఆధారిత పరిణామాలుబీజగణితంలో: 8వ తరగతి. - M.: VAKO, 2010.
బీజగణితం 8వ తరగతి: పాఠ్య ప్రణాళికలు Yu.N ద్వారా పాఠ్యపుస్తకం ప్రకారం. మకరిచెవా, N.G. మిన్డ్యూక్, K.I. నెష్కోవా, S.B. సువోరోవా / Auth.-comp. టి.ఎల్. అఫనస్యేవా, L.A. తపిలిన. -వోల్గోగ్రాడ్: టీచర్, 2005.

« హేతుబద్ధ సమీకరణాలుబహుపదాలతో" అనేది పరీక్షలో అత్యంత సాధారణ అంశాలలో ఒకటి ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షల కేటాయింపులుగణితం. ఈ కారణంగా, వాటిని పునరావృతం చేయడం విలువ ప్రత్యేక శ్రద్ధ. చాలా మంది విద్యార్థులు వివక్షను కనుగొనడం, సూచికలను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు బదిలీ చేయడం మరియు సమీకరణాన్ని సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావడం వంటి సమస్యలను ఎదుర్కొంటారు, అందుకే ఇలాంటి పనులుకష్టాలను కలిగిస్తుంది. మా వెబ్‌సైట్‌లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సన్నాహకంగా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క సమస్యలను త్వరగా ఎదుర్కోవటానికి మరియు ఎగిరే రంగులతో పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది.

యూనిఫైడ్ మ్యాథమెటిక్స్ పరీక్షకు విజయవంతంగా సిద్ధం కావడానికి ష్కోల్కోవో విద్యా పోర్టల్‌ను ఎంచుకోండి!

తెలియని వాటిని లెక్కించడానికి మరియు సులభంగా పొందేందుకు నియమాలను తెలుసుకోవడం సరైన ఫలితాలు, మా ఆన్‌లైన్ సేవను ఉపయోగించండి. Shkolkovo పోర్టల్ అనేది ఒక రకమైన ప్లాట్‌ఫారమ్, ఇది సిద్ధం చేయడానికి అవసరమైన ప్రతిదాన్ని కలిగి ఉంటుంది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ మెటీరియల్స్. మా ఉపాధ్యాయులు క్రమబద్ధీకరించారు మరియు ప్రతిదీ అర్థమయ్యే రూపంలో ప్రదర్శించారు. గణిత నియమాలు. అదనంగా, ప్రామాణిక హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో వారి చేతిని ప్రయత్నించమని మేము పాఠశాల పిల్లలను ఆహ్వానిస్తున్నాము, దీని ఆధారంగా నిరంతరం నవీకరించబడుతుంది మరియు విస్తరించబడుతుంది.

పరీక్ష కోసం మరింత ప్రభావవంతమైన తయారీ కోసం, మా ప్రత్యేక పద్ధతిని అనుసరించి, నియమాలు మరియు పరిష్కారాలను పునరావృతం చేయడం ద్వారా ప్రారంభించాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము సాధారణ పనులు, క్రమంగా మరింత సంక్లిష్టమైన వాటికి వెళ్లడం. అందువలన, గ్రాడ్యుయేట్ తనను తాను ఎక్కువగా హైలైట్ చేయగలడు కష్టమైన విషయాలుమరియు వాటిని అధ్యయనం చేయడంపై దృష్టి పెట్టండి.

కోసం సిద్ధం చేయడం ప్రారంభించండి చివరి పరీక్షఈ రోజు ష్కోల్కోవోతో, మరియు ఫలితం రావడానికి ఎక్కువ కాలం ఉండదు! అత్యంత ఎంచుకోండి సులభమైన ఉదాహరణప్రతిపాదించిన వారి నుండి. మీరు వ్యక్తీకరణలో త్వరగా ప్రావీణ్యం సంపాదించినట్లయితే, మరిన్నింటికి వెళ్లండి కష్టమైన పని. ఈ విధంగా మీరు ప్రత్యేక స్థాయిలో గణితంలో USE టాస్క్‌లను పరిష్కరించే స్థాయి వరకు మీ జ్ఞానాన్ని మెరుగుపరచుకోవచ్చు.

శిక్షణ మాస్కో నుండి గ్రాడ్యుయేట్లకు మాత్రమే కాకుండా, ఇతర నగరాల నుండి పాఠశాల పిల్లలకు కూడా అందుబాటులో ఉంది. ఉదాహరణకు, మా పోర్టల్‌లో అధ్యయనం చేయడానికి రోజుకు కొన్ని గంటలు గడపండి మరియు అతి త్వరలో మీరు ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క సమీకరణాలను ఎదుర్కోగలుగుతారు!

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

విద్యాపరమైన:

పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాల భావన ఏర్పడటం;
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వివిధ మార్గాలను పరిగణించండి;
భిన్నం సున్నాకి సమానం అనే షరతుతో సహా పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ను పరిగణించండి;
అల్గోరిథం ఉపయోగించి పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్పడం;
పరీక్ష నిర్వహించడం ద్వారా టాపిక్ యొక్క నైపుణ్యం స్థాయిని తనిఖీ చేయడం.

అభివృద్ధి:

సంపాదించిన జ్ఞానంతో సరిగ్గా పనిచేసే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం మరియు తార్కికంగా ఆలోచించడం;
మేధో నైపుణ్యాల అభివృద్ధి మరియు మానసిక కార్యకలాపాలు- విశ్లేషణ, సంశ్లేషణ, పోలిక మరియు సంశ్లేషణ;
చొరవ అభివృద్ధి, నిర్ణయాలు తీసుకునే సామర్థ్యం మరియు అక్కడ ఆగదు;
అభివృద్ధి క్లిష్టమైన ఆలోచనా;
పరిశోధన నైపుణ్యాల అభివృద్ధి.

విద్య:

పెంపకం అభిజ్ఞా ఆసక్తివిషయానికి;
నిర్ణయం తీసుకోవడంలో స్వతంత్రతను పెంపొందించడం విద్యా పనులు;
తుది ఫలితాలను సాధించడానికి సంకల్పం మరియు పట్టుదల పెంపొందించడం.

పాఠం రకం: పాఠం - కొత్త పదార్థం యొక్క వివరణ.

తరగతుల సమయంలో

1. సంస్థాగత క్షణం.

హలో మిత్రులారా! బోర్డు మీద సమీకరణాలు వ్రాయబడ్డాయి, వాటిని జాగ్రత్తగా చూడండి. మీరు ఈ సమీకరణాలన్నింటినీ పరిష్కరించగలరా? ఏవి కావు మరియు ఎందుకు?

ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలుగా ఉండే సమీకరణాలను పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలు అంటారు. ఈ రోజు మనం తరగతిలో ఏమి చదువుకుంటామని మీరు అనుకుంటున్నారు? పాఠం యొక్క అంశాన్ని రూపొందించండి. కాబట్టి, మీ నోట్‌బుక్‌లను తెరిచి, “పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం” అనే పాఠం యొక్క అంశాన్ని వ్రాయండి.

2. జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం. ఫ్రంటల్ సర్వే, నోటి పనితరగతితో.

మరియు ఇప్పుడు మనం అధ్యయనం చేయవలసిన ప్రధాన సైద్ధాంతిక విషయాలను పునరావృతం చేస్తాము కొత్త అంశం. దయచేసి క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:

సమీకరణం అంటే ఏమిటి? ( వేరియబుల్ లేదా వేరియబుల్స్‌తో సమానత్వం.)
సమీకరణం సంఖ్య 1 పేరు ఏమిటి? ( లీనియర్.) పరిష్కారం సరళ సమీకరణాలు. (తెలియని వాటితో ప్రతిదీ బదిలీ చేయండి ఎడమ వైపుసమీకరణాలు, అన్ని సంఖ్యలు కుడి వైపున ఉన్నాయి. దారి సారూప్య నిబంధనలు. తెలియని కారకాన్ని కనుగొనండి).
సమీకరణం సంఖ్య 3 పేరు ఏమిటి? ( చతురస్రం.) వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు. ( ఎంపిక పూర్తి చతురస్రం, సూత్రాల ద్వారా, వియెటా సిద్ధాంతం మరియు దాని పరిణామాలను ఉపయోగించడం.)
నిష్పత్తి అంటే ఏమిటి? ( రెండు నిష్పత్తుల సమానత్వం.) నిష్పత్తి యొక్క ప్రధాన ఆస్తి. ( నిష్పత్తి సరైనదైతే, దాని తీవ్ర పదాల ఉత్పత్తి మధ్య పదాల ఉత్పత్తికి సమానం.)
సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఏ లక్షణాలు ఉపయోగించబడతాయి? ( 1. మీరు ఒక సమీకరణంలోని పదాన్ని ఒక భాగం నుండి మరొక భాగానికి తరలించి, దాని గుర్తును మార్చినట్లయితే, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు. 2. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణించబడినా లేదా భాగించబడినా, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు.)
ఒక భిన్నం ఎప్పుడు సున్నాకి సమానం అవుతుంది? ( న్యూమరేటర్ సున్నా మరియు హారం సున్నా కానప్పుడు భిన్నం సున్నాకి సమానం..)

3. కొత్త పదార్థం యొక్క వివరణ.

మీ నోట్‌బుక్‌లలో మరియు బోర్డులో సమీకరణ సంఖ్య 2ని పరిష్కరించండి.

సమాధానం: 10.

ఏది పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణంమీరు నిష్పత్తి యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగించి పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించగలరా? (నం. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

మీ నోట్‌బుక్‌లలో మరియు బోర్డులో సమీకరణ సంఖ్య 4ని పరిష్కరించండి.

సమాధానం: 1,5.

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా హారం ద్వారా గుణించడం ద్వారా మీరు ఏ పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించవచ్చు? (నం. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

సమాధానం: 3;4.

ఇప్పుడు కింది పద్ధతుల్లో ఒకదాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణ సంఖ్య 7ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
సమాధానం: 0;5;-2.			సమాధానం: 5;-2.

ఇది ఎందుకు జరిగిందో వివరించండి? ఒక సందర్భంలో మూడు మూలాలు మరియు మరొక సందర్భంలో రెండు ఎందుకు ఉన్నాయి? ఈ పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఏ సంఖ్యలు?

ఇప్పటి వరకు, విద్యార్థులు అదనపు మూల భావనను ఎదుర్కోలేదు; ఇది ఎందుకు జరిగిందో అర్థం చేసుకోవడం వారికి చాలా కష్టం. తరగతిలో ఎవరూ ఈ పరిస్థితికి స్పష్టమైన వివరణ ఇవ్వలేకపోతే, ఉపాధ్యాయుడు ప్రముఖ ప్రశ్నలను అడుగుతాడు.

నం. 2 మరియు 4 సమీకరణాలు నం. 5,6,7 నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? ( నం. 2 మరియు 4 సమీకరణాలలో హారంలో సంఖ్యలు ఉన్నాయి, సంఖ్య 5-7 వేరియబుల్‌తో వ్యక్తీకరణలు.)
సమీకరణం యొక్క మూలం ఏమిటి? ( సమీకరణం నిజమయ్యే వేరియబుల్ విలువ.)
ఒక సంఖ్య సమీకరణం యొక్క మూలం కాదా అని ఎలా కనుగొనాలి? ( చెక్ చేయండి.)

పరీక్షిస్తున్నప్పుడు, కొంతమంది విద్యార్థులు సున్నాతో విభజించాలని గమనించారు. 0 మరియు 5 సంఖ్యలు మూలాలు కాదని వారు నిర్ధారించారు ఇచ్చిన సమీకరణం. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: పాక్షిక హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక మార్గం ఉందా, అది మాకు తొలగించడానికి అనుమతిస్తుంది ఈ లోపం? అవును, ఈ పద్ధతి భిన్నం సున్నాకి సమానం అనే షరతుపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

x=5 అయితే, x(x-5)=0, అంటే 5 అదనపు మూలం.

x=-2 అయితే, x(x-5)≠0.

సమాధానం: -2.

ఈ విధంగా పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. పిల్లలు అల్గోరిథంను స్వయంగా రూపొందిస్తారు.

పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:

ప్రతిదీ ఎడమ వైపుకు తరలించండి.
భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించండి.
వ్యవస్థను సృష్టించండి: లవం సున్నాకి సమానం మరియు హారం సున్నాకి సమానం కానప్పుడు భిన్నం సున్నాకి సమానం.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
అదనపు మూలాలను మినహాయించడానికి అసమానతను తనిఖీ చేయండి.
సమాధానం రాయండి.

చర్చ: మీరు నిష్పత్తి యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగిస్తే మరియు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒక సాధారణ హారం ద్వారా గుణిస్తే పరిష్కారాన్ని ఎలా అధికారికీకరించాలి. (పరిష్కారానికి జోడించు: సాధారణ హారం అదృశ్యం చేసే వాటిని దాని మూలాల నుండి మినహాయించండి).

4. కొత్త పదార్థం యొక్క ప్రారంభ గ్రహణశక్తి.

జంటగా పని చేయండి. విద్యార్థులు సమీకరణ రకాన్ని బట్టి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో ఎంచుకుంటారు. పాఠ్యపుస్తకం "ఆల్జీబ్రా 8" నుండి కేటాయింపులు, యు.ఎన్. మకారిచెవ్, 2007: నం. 600(బి,సి,ఐ); నం. 601(a,e,g). ఉపాధ్యాయుడు విధిని పూర్తి చేయడాన్ని పర్యవేక్షిస్తాడు, తలెత్తే ఏవైనా ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇస్తాడు మరియు తక్కువ పనితీరు కనబరిచిన విద్యార్థులకు సహాయం అందిస్తాడు. స్వీయ పరీక్ష: సమాధానాలు బోర్డుపై వ్రాయబడ్డాయి.

బి) 2 - అదనపు రూట్. సమాధానం: 3.

సి) 2 - అదనపు రూట్. సమాధానం: 1.5.

ఎ) సమాధానం: -12.5.

g) సమాధానం: 1;1.5.

5. హోంవర్క్ సెట్ చేయడం.

పాఠ్యపుస్తకం నుండి పేరా 25 చదవండి, ఉదాహరణలను విశ్లేషించండి 1-3.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను నేర్చుకోండి.
నోట్‌బుక్‌ల సంఖ్య 600 (a, d, e)లో పరిష్కరించండి; నం. 601(g,h).
నం. 696(a) (ఐచ్ఛికం) పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి.

6. అధ్యయనం చేసిన అంశంపై నియంత్రణ పనిని పూర్తి చేయడం.

పని కాగితం ముక్కలపై జరుగుతుంది.

ఉదాహరణ విధి:

ఎ) ఏ సమీకరణాలు పాక్షిక హేతుబద్ధమైనవి?

బి) లవం ______________________ మరియు హారం ______________________ అయినప్పుడు భిన్నం సున్నాకి సమానం.

ప్ర) సంఖ్య -3 సమీకరణ సంఖ్య 6 యొక్క మూలమా?

D) సమీకరణ సంఖ్య 7ను పరిష్కరించండి.

అసైన్‌మెంట్ కోసం అసెస్‌మెంట్ ప్రమాణాలు:

విద్యార్థి 90% కంటే ఎక్కువ పనిని సరిగ్గా పూర్తి చేస్తే “5” ఇవ్వబడుతుంది.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
టాస్క్‌లో 50% కంటే తక్కువ పూర్తి చేసిన విద్యార్థికి “2” ఇవ్వబడుతుంది.
జర్నల్‌లో 2 రేటింగ్ ఇవ్వబడలేదు, 3 ఐచ్ఛికం.

7. ప్రతిబింబం.

స్వతంత్ర పని షీట్లలో, వ్రాయండి:

1 - పాఠం మీకు ఆసక్తికరంగా మరియు అర్థమయ్యేలా ఉంటే;
2 - ఆసక్తికరమైన, కానీ స్పష్టంగా లేదు;
3 - ఆసక్తికరమైన కాదు, కానీ అర్థం;
4 - ఆసక్తికరంగా లేదు, స్పష్టంగా లేదు.

8. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.

కాబట్టి, ఈ రోజు పాఠంలో మనం పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలతో పరిచయం పొందాము, ఈ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నాము వివిధ మార్గాలు, శిక్షణ సహాయంతో వారి జ్ఞానాన్ని పరీక్షించారు స్వతంత్ర పని. మీరు తదుపరి పాఠంలో మీ స్వతంత్ర పని ఫలితాలను నేర్చుకుంటారు మరియు ఇంట్లో మీ జ్ఞానాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి మీకు అవకాశం ఉంటుంది.

మీ అభిప్రాయం ప్రకారం, పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతి ఏది సులభం, మరింత ప్రాప్యత మరియు మరింత హేతుబద్ధమైనది? పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతితో సంబంధం లేకుండా, మీరు ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి? పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాల "మోసపూరిత" అంటే ఏమిటి?

అందరికీ ధన్యవాదాలు, పాఠం ముగిసింది.

మేము ఇప్పటికే పరిష్కరించడం నేర్చుకున్నాము వర్గ సమీకరణాలు. ఇప్పుడు అధ్యయనం చేసిన పద్ధతులను హేతుబద్ధ సమీకరణాలకు విస్తరిద్దాం.

హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అంటే ఏమిటి? మేము ఇప్పటికే ఈ భావనను ఎదుర్కొన్నాము. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలుసంఖ్యలు, వేరియబుల్స్, వాటి శక్తులు మరియు గణిత కార్యకలాపాల చిహ్నాలతో రూపొందించబడిన వ్యక్తీకరణలు.

దీని ప్రకారం, హేతుబద్ధ సమీకరణాలు రూపం యొక్క సమీకరణాలు: , ఎక్కడ - హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు.

ఇంతకుముందు, మేము సరళమైన వాటికి తగ్గించగల హేతుబద్ధ సమీకరణాలను మాత్రమే పరిగణించాము. ఇప్పుడు చతుర్భుజ సమీకరణాలకు తగ్గించగల ఆ హేతుబద్ధ సమీకరణాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .

పరిష్కారం:

ఒక భిన్నం 0కి సమానం మరియు దాని లవం 0కి సమానంగా ఉంటే మరియు దాని హారం 0కి సమానం కాకపోతే మాత్రమే.

మేము ఈ క్రింది వ్యవస్థను పొందుతాము:

వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం చతుర్భుజ సమీకరణం. దాన్ని పరిష్కరించే ముందు, దాని అన్ని కోఎఫీషియంట్‌లను 3 ద్వారా భాగిద్దాం. మనకు లభిస్తుంది:

మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: ; .

2 ఎప్పుడూ 0కి సమానం కాదు కాబట్టి, రెండు షరతులు తప్పక పాటించాలి: . పైన పొందిన సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఏవీ ఏకీభవించవు కాబట్టి చెల్లని విలువలురెండవ అసమానతను పరిష్కరించడం ద్వారా పొందిన వేరియబుల్స్, అవి రెండూ ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు.

సమాధానం:.

కాబట్టి, హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గోరిథంను రూపొందిద్దాం:

1. అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలించండి, తద్వారా కుడి వైపు 0తో ముగుస్తుంది.

2. ఎడమ వైపును మార్చండి మరియు సరళీకృతం చేయండి, అన్ని భిన్నాలను సాధారణ హారంలోకి తీసుకురండి.

3. కింది అల్గోరిథం ఉపయోగించి ఫలిత భిన్నాన్ని 0కి సమం చేయండి: .

4. మొదటి సమీకరణంలో పొందిన మూలాలను వ్రాసి, సమాధానంలో రెండవ అసమానతను తీర్చండి.

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: .

పరిష్కారం

చాలా ప్రారంభంలో, అన్ని నిబంధనలను తరలిద్దాం ఎడమ వైపు, తద్వారా 0 కుడి వైపున ఉంటుంది. మనకు ఇది లభిస్తుంది:

ఇప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ భాగాన్ని సాధారణ హారంకు తీసుకువద్దాం:

ఈ సమీకరణం వ్యవస్థకు సమానం:

వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం చతుర్భుజ సమీకరణం.

ఈ సమీకరణం యొక్క గుణకాలు: . మేము వివక్షను లెక్కిస్తాము:

మేము రెండు మూలాలను పొందుతాము: ; .

ఇప్పుడు రెండవ అసమానతను పరిష్కరిద్దాం: కారకాలు ఏవీ 0కి సమానం కానట్లయితే, కారకాల ఉత్పత్తి 0కి సమానం కాదు.

రెండు షరతులు తప్పక పాటించాలి: . మొదటి సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలలో ఒకటి మాత్రమే సరిపోతుందని మేము కనుగొన్నాము - 3.

సమాధానం:.

ఈ పాఠంలో, హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అంటే ఏమిటో మేము గుర్తుంచుకున్నాము మరియు హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో కూడా నేర్చుకున్నాము, ఇది వర్గ సమీకరణాలకు తగ్గించబడుతుంది.

తదుపరి పాఠంలో మనం హేతుబద్ధ సమీకరణాలను వాస్తవ పరిస్థితుల నమూనాలుగా చూస్తాము మరియు చలన సమస్యలను కూడా పరిశీలిస్తాము.

గ్రంథ పట్టిక

బాష్మాకోవ్ M.I. ఆల్జీబ్రా, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2004.
డోరోఫీవ్ G.V., సువోరోవా S.B., బునిమోవిచ్ E.A. మరియు ఇతరులు ఆల్జీబ్రా, 8. 5వ ఎడిషన్. - M.: విద్య, 2010.
నికోల్స్కీ S.M., పొటాపోవ్ M.A., రెషెట్నికోవ్ N.N., షెవ్కిన్ A.V. ఆల్జీబ్రా, 8వ తరగతి. కోసం ట్యుటోరియల్ విద్యా సంస్థలు. - M.: విద్య, 2006.

పండుగ బోధనా ఆలోచనలు "పబ్లిక్ పాఠం" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

ఇంటి పని

అంశంపై ప్రదర్శన మరియు పాఠం: "హేతుబద్ధ సమీకరణాలు. అల్గోరిథం మరియు హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు"

అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.

గ్రేడ్ 8 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో ఎడ్యుకేషనల్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
మకారిచెవ్ యు.ఎన్ ద్వారా పాఠ్య పుస్తకం కోసం ఒక మాన్యువల్. మోర్డ్కోవిచ్ A.G ద్వారా పాఠ్య పుస్తకం కోసం ఒక మాన్యువల్.

అహేతుక సమీకరణాలకు పరిచయం

గైస్, మేము చతురస్రాకార సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నాము. కానీ గణితశాస్త్రం వారికి మాత్రమే పరిమితం కాదు. ఈ రోజు మనం హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకుంటాము. హేతుబద్ధ సమీకరణాల భావన అనేక విధాలుగా భావనను పోలి ఉంటుంది హేతుబద్ధ సంఖ్యలు. సంఖ్యలకు అదనంగా, ఇప్పుడు మేము కొన్ని వేరియబుల్ $x$ని పరిచయం చేసాము. అందువలన మనం కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం మరియు పూర్ణాంకాల శక్తికి పెంచడం వంటి కార్యకలాపాలు ఉండే వ్యక్తీకరణను పొందుతాము.

$r(x)$ ఉండనివ్వండి హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ. అటువంటి వ్యక్తీకరణ $x$ వేరియబుల్‌లో సాధారణ బహుపది కావచ్చు లేదా బహుపదిల నిష్పత్తి కావచ్చు (హేతుబద్ధ సంఖ్యల కోసం విభజన ఆపరేషన్ ప్రవేశపెట్టబడింది).
$r(x)=0$ అనే సమీకరణం అంటారు హేతుబద్ధమైన సమీకరణం.
$p(x)=q(x)$ ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణం, ఇక్కడ $p(x)$ మరియు $q(x)$ హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు కూడా హేతుబద్ధమైన సమీకరణం.

హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

పరిష్కారం.
అన్ని వ్యక్తీకరణలను ఎడమ వైపుకు తరలిద్దాం: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు సూచించబడితే సాధారణ సంఖ్యలు, అప్పుడు మేము రెండు భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంకు తీసుకువస్తాము.
ఇలా చేద్దాం: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
మాకు ఈక్వేషన్ వచ్చింది: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

భిన్నం యొక్క లవం సున్నా అయితే మరియు హారం సున్నా కానిది అయితే మాత్రమే భిన్నం సున్నాకి సమానం. అప్పుడు మనం విడిగా లవంను సున్నాకి సమం చేస్తాము మరియు న్యూమరేటర్ యొక్క మూలాలను కనుగొంటాము.
$3(x^2+2x-3)=0$ లేదా $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
ఇప్పుడు భిన్నం యొక్క హారం తనిఖీ చేద్దాం: $(x-3)*x≠0$.
ఈ సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటి సున్నాకి సమానమైనప్పుడు రెండు సంఖ్యల లబ్ధం సున్నాకి సమానం. తర్వాత: $x≠0$ లేదా $x-3≠0$.
$x≠0$ లేదా $x≠3$.
న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో పొందిన మూలాలు ఏకీభవించవు. కాబట్టి మేము సమాధానంలో న్యూమరేటర్ యొక్క రెండు మూలాలను వ్రాస్తాము.
సమాధానం: $x=1$ లేదా $x=-3$.

అకస్మాత్తుగా న్యూమరేటర్ యొక్క మూలాలలో ఒకటి హారం యొక్క మూలంతో సమానంగా ఉంటే, దానిని మినహాయించాలి. ఇటువంటి మూలాలను అదనపు అని పిలుస్తారు!

హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:

1. సమీకరణంలో ఉన్న అన్ని వ్యక్తీకరణలను సమాన గుర్తు యొక్క ఎడమ వైపుకు తరలించండి.
2. సమీకరణంలోని ఈ భాగాన్ని దీనికి మార్చండి బీజగణిత భిన్నం: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. ఫలిత సంఖ్యను సున్నాకి సమం చేయండి, అంటే $p(x)=0$ అనే సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
4. హారంను సున్నాకి సమం చేసి, ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. హారం యొక్క మూలాలు న్యూమరేటర్ యొక్క మూలాలతో సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు వాటిని సమాధానం నుండి మినహాయించాలి.

ఉదాహరణ 2.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

పరిష్కారం.
అల్గోరిథం యొక్క పాయింట్ల ప్రకారం పరిష్కరిద్దాం.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. సంఖ్యను సున్నాకి సమం చేయండి: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. హారంను సున్నాకి సమం చేయండి:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ మరియు $x=-1$.
$x=1$ మూలాలలో ఒకటి న్యూమరేటర్ యొక్క రూట్‌తో సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు మేము దానిని సమాధానంలో వ్రాయము.
సమాధానం: $x=-1$.

వేరియబుల్స్ పద్ధతిని మార్చడం ద్వారా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. దీనిని ప్రదర్శిద్దాం.

ఉదాహరణ 3.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $x^4+12x^2-64=0$.

పరిష్కారం.
భర్తీని పరిచయం చేద్దాం: $t=x^2$.
అప్పుడు మా సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:
$t^2+12t-64=0$ - సాధారణ వర్గ సమీకరణం.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం: $x^2=4$ లేదా $x^2=-16$.
మొదటి సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఒక జత సంఖ్యలు $x=±2$. రెండవ విషయం ఏమిటంటే దీనికి మూలాలు లేవు.
సమాధానం: $x=±2$.

ఉదాహరణ 4.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
పరిష్కారం.
కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేద్దాం: $t=x^2+x+1$.
అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: $t=\frac(15)(t+2)$.
తరువాత మేము అల్గోరిథం ప్రకారం కొనసాగుతాము.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - మూలాలు ఏకీభవించవు.
రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
ప్రతి సమీకరణాన్ని విడిగా పరిష్కరిద్దాం:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - లేదు మూలాలు.
మరియు రెండవ సమీకరణం: $x^2+x-2=0$.
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు $x=-2$ మరియు $x=1$ సంఖ్యలు.
సమాధానం: $x=-2$ మరియు $x=1$.

ఉదాహరణ 5.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

పరిష్కారం.
భర్తీని పరిచయం చేద్దాం: $t=x+\frac(1)(x)$.
అప్పుడు:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ లేదా $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
మాకు సమీకరణం వచ్చింది: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు జత:
$t=-3$ మరియు $t=2$.
రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయాన్ని పరిచయం చేద్దాం:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
మేము విడిగా నిర్ణయిస్తాము.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
రెండవ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం $x=1$.
సమాధానం: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

స్వతంత్రంగా పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.