యాంటీడెరివేటివ్
నిర్వచనం యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్
- ఫంక్షన్ y=F(x)ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు y=f(x)ఇచ్చిన విరామంలో X,అందరి కోసం అయితే X ∈Xసమానత్వం కలిగి ఉంటుంది: F′(x) = f(x)
రెండు విధాలుగా చదవవచ్చు:
- f ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎఫ్
- ఎఫ్ ఒక ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f
యాంటీడెరివేటివ్స్ యొక్క ఆస్తి
- ఉంటే F(x)- ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ f(x)ఇచ్చిన విరామంలో, f(x) ఫంక్షన్ అనంతమైన అనేక యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు ఈ యాంటీడెరివేటివ్‌లన్నింటినీ రూపంలో వ్రాయవచ్చు F(x) + C, ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం.
రేఖాగణిత వివరణ
- ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల గ్రాఫ్‌లు f(x)ఏదైనా ఒక యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి పొందబడతాయి సమాంతర బదిలీలు O అక్షం వెంట వద్ద.
యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించడానికి నియమాలు
- మొత్తం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ప్రతి ఉత్పన్నాల మొత్తానికి సమానం. ఉంటే F(x)- కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x), మరియు G(x) అనేది యాంటీడెరివేటివ్ g(x), ఆ F(x) + G(x)- కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x) + g(x).
- స్థిరమైన గుణకంఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం నుండి తీసుకోవచ్చు. ఉంటే F(x)- కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x), మరియు కె- స్థిరంగా, అప్పుడు k·F(x)- కోసం యాంటీడెరివేటివ్ k f(x).
- ఉంటే F(x)- కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x), మరియు కె, బి- స్థిరమైన, మరియు k ≠ 0, ఆ 1/k F(kx + b)- కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(kx + b).
గుర్తుంచుకో!
ఏదైనా ఫంక్షన్ F(x) = x 2 + C , ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం, మరియు అటువంటి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఫంక్షన్‌కు యాంటీడెరివేటివ్ f(x) = 2x.
- ఉదాహరణకి:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x,ఎందుకంటే F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x,ఎందుకంటే F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లు మరియు దాని యాంటీడెరివేటివ్ మధ్య సంబంధం:
- ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అయితే f(x)>0 F(x)ఈ విరామంలో పెరుగుతుంది.
- ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అయితే f(x)<0 విరామంలో, ఆపై దాని యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క గ్రాఫ్ F(x)ఈ విరామంలో తగ్గుతుంది.
- ఉంటే f(x)=0, ఆపై దాని యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క గ్రాఫ్ F(x)ఈ సమయంలో పెరగడం నుండి తగ్గడం వరకు మారుతుంది (లేదా వైస్ వెర్సా).
యాంటీడెరివేటివ్‌ను సూచించడానికి, నిరవధిక సమగ్రత యొక్క సంకేతం ఉపయోగించబడుతుంది, అంటే ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను సూచించకుండా సమగ్రమైనది.
నిరవధిక సమగ్ర
నిర్వచనం:
- f(x) ఫంక్షన్ యొక్క నిరవధిక సమగ్రత F(x) + C అనే వ్యక్తీకరణ, అంటే, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ f(x) యొక్క అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి. నిరవధిక సమగ్రత క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- ఇంటిగ్రండ్ ఫంక్షన్ అని పిలుస్తారు;
- f(x) dx- సమగ్ర అని;
- x- ఏకీకరణ యొక్క వేరియబుల్ అని పిలుస్తారు;
- F(x)- ఫంక్షన్ f(x) యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌లలో ఒకటి;
- తో- ఏకపక్ష స్థిరాంకం.
నిరవధిక సమగ్రం యొక్క లక్షణాలు
- indefinite integral యొక్క ఉత్పన్నం సమగ్రానికి సమానం: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- సమగ్ర చిహ్నం యొక్క స్థిరమైన కారకాన్ని సమగ్ర చిహ్నం నుండి తీసుకోవచ్చు: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) యొక్క సమగ్రత ఈ ఫంక్షన్ల సమగ్రాల మొత్తానికి (తేడా) సమానంగా ఉంటుంది: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- ఉంటే కె, బిస్థిరాంకాలు, మరియు k ≠ 0, అప్పుడు \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
యాంటీడెరివేటివ్‌లు మరియు నిరవధిక సమగ్రాల పట్టిక
| ఫంక్షన్ f(x) | యాంటీడెరివేటివ్ F(x) + C | నిరవధిక సమగ్రతలు \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | సి | \int 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా
వీలు f(x)ఈ ఫంక్షన్ ఎఫ్దాని ఏకపక్ష యాంటీడెరివేటివ్.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
ఎక్కడ F(x)- కోసం యాంటీడెరివేటివ్ f(x)
అంటే, ఫంక్షన్ యొక్క సమగ్రత f(x)ఒక విరామంలో పాయింట్ల వద్ద యాంటీడెరివేటివ్‌ల వ్యత్యాసానికి సమానం బిమరియు a.
వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం
కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ ప్రతికూలత లేని మరియు విరామంలో నిరంతరాయంగా ఉండే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో పరిమితం చేయబడిన సంఖ్య f, ఆక్స్ అక్షం మరియు సరళ రేఖలు x = aమరియు x = బి.
న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వక్ర ట్రాపజోయిడ్ యొక్క ప్రాంతం కనుగొనబడింది:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
మునుపు, వివిధ సూత్రాలు మరియు నియమాల ద్వారా మార్గనిర్దేశం చేయబడిన, ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌ను మేము కనుగొన్నాము. ఉత్పన్నానికి అనేక ఉపయోగాలు ఉన్నాయి: ఇది కదలిక వేగం (లేదా, సాధారణంగా, ఏదైనా ప్రక్రియ యొక్క వేగం); ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం; ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించి, మీరు మోనోటోనిసిటీ మరియు ఎక్స్‌ట్రీమా కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించవచ్చు; ఇది ఆప్టిమైజేషన్ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సహాయపడుతుంది.
కానీ తెలిసిన చలన నియమం ప్రకారం వేగాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యతో పాటు, విలోమ సమస్య కూడా ఉంది - తెలిసిన వేగం ప్రకారం చలన నియమాన్ని పునరుద్ధరించడంలో సమస్య. ఈ సమస్యలలో ఒకదానిని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ 1.మెటీరియల్ పాయింట్ సరళ రేఖలో కదులుతుంది, t సమయంలో దాని వేగం v=gt సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. చలన నియమాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం. s = s(t) కావలసిన చలన నియమం. s"(t) = v(t) అని తెలుసు. దీనర్థం, సమస్యను పరిష్కరించడానికి మీరు s = s(t) ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోవాలి, దాని ఉత్పన్నం gtకి సమానం. ఊహించడం కష్టం కాదు. \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
సమాధానం: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
ఉదాహరణ సరిగ్గా పరిష్కరించబడిందని, కానీ అసంపూర్ణంగా ఉందని వెంటనే గమనించండి. మాకు \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) వచ్చింది. వాస్తవానికి, సమస్య అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది: రూపం యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్ \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ఇక్కడ C అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం, ఇది చట్టంగా ఉపయోగపడుతుంది చలనం, నుండి \(\ఎడమ (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
సమస్యను మరింత నిర్దిష్టంగా చేయడానికి, మేము ప్రారంభ పరిస్థితిని పరిష్కరించాల్సి ఉంటుంది: ఏదో ఒక సమయంలో కదిలే బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను సూచించండి, ఉదాహరణకు t = 0 వద్ద. అయితే, చెప్పాలంటే, s(0) = s 0, ఆపై నుండి సమానత్వం s(t) = (gt 2)/2 + C మనకు లభిస్తుంది: s(0) = 0 + C, అంటే C = s 0. ఇప్పుడు చలన నియమం ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడింది: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
గణితంలో, పరస్పర విలోమ కార్యకలాపాలకు వేర్వేరు పేర్లు ఇవ్వబడ్డాయి, ప్రత్యేక సంకేతాలు కనుగొనబడ్డాయి, ఉదాహరణకు: స్క్వేర్ (x 2) మరియు వర్గమూలం (\(\sqrt(x) \)), సైన్ (సిన్ x) మరియు ఆర్క్‌సిన్ (ఆర్క్‌సిన్ x) మరియు మొదలైనవి. ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే ప్రక్రియ అంటారు భేదం, మరియు విలోమ ఆపరేషన్, అంటే ఇచ్చిన ఉత్పన్నం నుండి ఫంక్షన్‌ను కనుగొనే ప్రక్రియ అనుసంధానం.
“ఉత్పన్నం” అనే పదాన్ని “రోజువారీ పరంగా” సమర్థించవచ్చు: ఫంక్షన్ y = f(x) “పుట్టుకనిస్తుంది” అనే కొత్త ఫంక్షన్‌కి y" = f"(x). y = f(x) ఫంక్షన్ “తల్లిదండ్రులు”గా పనిచేస్తుంది, కానీ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, సహజంగానే, దానిని “తల్లిదండ్రులు” లేదా “నిర్మాత” అని పిలవరు, అది y" = f"( x) , ప్రాథమిక చిత్రం లేదా ఆదిమ.
నిర్వచనం.\(x \in X\) కోసం F"(x) = f(x) సమానత్వం కలిగి ఉన్నట్లయితే, X విరామంలో y = F(x) ఫంక్షన్‌ని y = f(x) ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు.
ఆచరణలో, విరామం X సాధారణంగా పేర్కొనబడదు, కానీ సూచించబడుతుంది (ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క సహజ డొమైన్ వలె).
ఉదాహరణలు ఇద్దాం.
1) ఫంక్షన్ y = x 2 ఫంక్షన్ y = 2x కోసం యాంటీడెరివేటివ్, ఎందుకంటే ఏదైనా x సమానత్వం (x 2)" = 2x నిజం
2) y = x 3 ఫంక్షన్ y = 3x 2 ఫంక్షన్‌కు యాంటీడెరివేటివ్, ఎందుకంటే ఏదైనా x సమానత్వం (x 3)" = 3x 2 నిజం
3) ఫంక్షన్ y = sin(x) అనేది y = cos(x) అనే ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్, ఎందుకంటే ఏదైనా xకి సమానత్వం (sin(x))" = cos(x) నిజం
యాంటీడెరివేటివ్‌లు, అలాగే డెరివేటివ్‌లను కనుగొన్నప్పుడు, సూత్రాలు మాత్రమే కాకుండా, కొన్ని నియమాలు కూడా ఉపయోగించబడతాయి. అవి ఉత్పన్నాలను లెక్కించడానికి సంబంధిత నియమాలకు నేరుగా సంబంధించినవి.
మొత్తం యొక్క ఉత్పన్నం దాని ఉత్పన్నాల మొత్తానికి సమానం అని మనకు తెలుసు. ఈ నియమం యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి సంబంధిత నియమాన్ని రూపొందిస్తుంది.
నియమం 1.మొత్తం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అనేది యాంటీడెరివేటివ్‌ల మొత్తానికి సమానం.
ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం నుండి స్థిరమైన కారకాన్ని తీసుకోవచ్చని మనకు తెలుసు. ఈ నియమం యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి సంబంధిత నియమాన్ని రూపొందిస్తుంది.
నియమం 2. F(x) అనేది f(x)కి యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, kf(x) అనేది kf(x)కి యాంటీడెరివేటివ్.
సిద్ధాంతం 1. y = F(x) అనేది y = f(x) ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, y = f(kx + m) ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ \(y=\frac(1)(k)F ఫంక్షన్. (kx+m) \)
సిద్ధాంతం 2. y = F(x) అనేది విరామ Xపై y = f(x) ఫంక్షన్‌కు యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, y = f(x) ఫంక్షన్ అనంతమైన అనేక యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు అవన్నీ y = F(x) రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి. + సి.
ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతులు
వేరియబుల్ రీప్లేస్‌మెంట్ పద్ధతి (ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి)
ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఏకీకరణ పద్ధతి ఒక కొత్త ఇంటిగ్రేషన్ వేరియబుల్ (అంటే, ప్రత్యామ్నాయం) పరిచయం చేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ఇచ్చిన సమగ్రం కొత్త సమగ్రానికి తగ్గించబడుతుంది, ఇది పట్టిక లేదా దానికి తగ్గించదగినది. ప్రత్యామ్నాయాలను ఎంచుకోవడానికి సాధారణ పద్ధతులు లేవు. ప్రత్యామ్నాయాన్ని సరిగ్గా నిర్ణయించే సామర్థ్యం అభ్యాసం ద్వారా పొందబడుతుంది.
సమగ్ర \(\textstyle \int F(x)dx \)ని లెక్కించడం అవసరం. \(x= \varphi(t) \) ప్రత్యామ్నాయాన్ని చేద్దాం, ఇక్కడ \(\varphi(t) \) అనేది ఒక నిరంతర ఉత్పన్నం కలిగి ఉంటుంది.
అప్పుడు \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) మరియు నిరవధిక సమగ్రం కోసం ఇంటిగ్రేషన్ ఫార్ములా యొక్క మార్పులేని లక్షణం ఆధారంగా, మేము ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఏకీకరణ సూత్రాన్ని పొందుతాము:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)
\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) ఫారమ్ యొక్క వ్యక్తీకరణల ఏకీకరణ
m బేసి అయితే, m > 0, అప్పుడు ప్రత్యామ్నాయం sin x = t చేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
n బేసి అయితే, n > 0, అప్పుడు ప్రత్యామ్నాయం cos x = t చేయడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
n మరియు m సమానంగా ఉంటే, ప్రత్యామ్నాయం tg x = t చేయడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
భాగాల ద్వారా ఏకీకరణ
భాగాల వారీగా ఏకీకరణ - ఏకీకరణ కోసం క్రింది సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
లేదా:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
కొన్ని ఫంక్షన్ల యొక్క నిరవధిక సమగ్రాల (యాంటీడెరివేటివ్స్) పట్టిక
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$ఈ పాఠం ఏకీకరణపై వీడియోల శ్రేణిలో మొదటిది. దీనిలో మేము ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అంటే ఏమిటో విశ్లేషిస్తాము మరియు ఈ యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించే ప్రాథమిక పద్ధతులను కూడా అధ్యయనం చేస్తాము.
వాస్తవానికి, ఇక్కడ సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు: ముఖ్యంగా ఇది ఉత్పన్నం అనే భావనకు వస్తుంది, ఇది మీకు ఇప్పటికే తెలిసి ఉండాలి :)
మా కొత్త టాపిక్‌లో ఇది మొదటి పాఠం కాబట్టి, ఈ రోజు సంక్లిష్టమైన లెక్కలు మరియు సూత్రాలు ఉండవని నేను వెంటనే గమనిస్తాను, అయితే ఈ రోజు మనం నేర్చుకునేది సంక్లిష్ట సమగ్రాలు మరియు ప్రాంతాలను లెక్కించేటప్పుడు చాలా క్లిష్టమైన లెక్కలు మరియు నిర్మాణాలకు ఆధారం అవుతుంది. .
అదనంగా, ప్రత్యేకంగా ఇంటిగ్రేషన్ మరియు ఇంటిగ్రల్స్ అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించినప్పుడు, విద్యార్థి ఇప్పటికే డెరివేటివ్‌ల భావనలతో కనీసం సుపరిచితుడని మరియు వాటిని లెక్కించడంలో కనీసం ప్రాథమిక నైపుణ్యాలను కలిగి ఉంటాడని మేము పరోక్షంగా ఊహిస్తాము. దీని గురించి స్పష్టమైన అవగాహన లేకుండా, ఏకీకరణలో చేయవలసిన పని లేదు.
అయితే, ఇక్కడ అత్యంత సాధారణ మరియు కృత్రిమ సమస్యలలో ఒకటి ఉంది. వాస్తవం ఏమిటంటే, వారి మొదటి యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించడం ప్రారంభించినప్పుడు, చాలా మంది విద్యార్థులు వాటిని ఉత్పన్నాలతో గందరగోళానికి గురిచేస్తారు. ఫలితంగా, పరీక్షలు మరియు స్వతంత్ర పని సమయంలో స్టుపిడ్ మరియు అప్రియమైన తప్పులు జరుగుతాయి.
అందువల్ల, ఇప్పుడు నేను యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క స్పష్టమైన నిర్వచనాన్ని ఇవ్వను. బదులుగా, సాధారణ కాంక్రీట్ ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఇది ఎలా లెక్కించబడుతుందో చూడాలని నేను మీకు సూచిస్తున్నాను.
యాంటీడెరివేటివ్ అంటే ఏమిటి మరియు అది ఎలా లెక్కించబడుతుంది?
ఈ ఫార్ములా మాకు తెలుసు:
\[((\left(((x)^(n))) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
ఈ ఉత్పన్నం సరళంగా లెక్కించబడుతుంది:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
ఫలిత వ్యక్తీకరణను జాగ్రత్తగా చూద్దాం మరియు $((x)^(2))$ని వ్యక్తపరచండి:
\[((x)^(2))=\frac(((\ఎడమ((((x))^3)) \కుడి))^(\ప్రైమ్ )))(3)\]
కానీ ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మనం దీన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x))^(3)))(3) \కుడి))^(\ప్రైమ్ ))\]
మరియు ఇప్పుడు శ్రద్ధ: మేము ఇప్పుడే వ్రాసినది యాంటీడెరివేటివ్ యొక్క నిర్వచనం. కానీ సరిగ్గా వ్రాయడానికి, మీరు ఈ క్రింది వాటిని వ్రాయాలి:
కింది వ్యక్తీకరణను అదే విధంగా వ్రాస్దాం:
మేము ఈ నియమాన్ని సాధారణీకరించినట్లయితే, మేము ఈ క్రింది సూత్రాన్ని పొందవచ్చు:
\[((x)^(n))\to \frac((((x)^(n+1)))(n+1)\]
ఇప్పుడు మనం స్పష్టమైన నిర్వచనాన్ని రూపొందించవచ్చు.
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని ఉత్పన్నం అసలు ఫంక్షన్‌కి సమానంగా ఉంటుంది.
యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్ గురించి ప్రశ్నలు
ఇది చాలా సరళమైన మరియు అర్థమయ్యే నిర్వచనం అనిపిస్తుంది. అయితే, అది విన్న తర్వాత, శ్రద్ధగల విద్యార్థికి వెంటనే అనేక ప్రశ్నలు ఉంటాయి:
- సరే, ఈ ఫార్ములా సరైనదేనని చెప్పండి. అయితే, ఈ సందర్భంలో, $n=1$తో, మాకు సమస్యలు ఉన్నాయి: "సున్నా" హారంలో కనిపిస్తుంది మరియు మేము "సున్నా"తో విభజించలేము.
- ఫార్ములా కేవలం డిగ్రీలకు మాత్రమే పరిమితం చేయబడింది. యాంటీడెరివేటివ్‌ను ఎలా లెక్కించాలి, ఉదాహరణకు, సైన్, కొసైన్ మరియు ఏదైనా ఇతర త్రికోణమితి, అలాగే స్థిరాంకాలు.
- అస్తిత్వ ప్రశ్న: యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమేనా? అవును అయితే, మొత్తం, వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి మొదలైన వాటి యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ గురించి ఏమిటి?
నేను చివరి ప్రశ్నకు వెంటనే సమాధానం ఇస్తాను. దురదృష్టవశాత్తు, యాంటీడెరివేటివ్, ఉత్పన్నం వలె కాకుండా, ఎల్లప్పుడూ పరిగణించబడదు. సార్వత్రిక సూత్రం ఏదీ లేదు, దీని ద్వారా ఏదైనా ప్రారంభ నిర్మాణం నుండి మనం ఇదే విధమైన నిర్మాణానికి సమానమైన ఫంక్షన్‌ను పొందుతాము. శక్తులు మరియు స్థిరాంకాల కొరకు, మేము ఇప్పుడు దాని గురించి మాట్లాడుతాము.
పవర్ ఫంక్షన్లతో సమస్యలను పరిష్కరించడం
\[((x)^(-1))\ to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
మీరు గమనిస్తే, $((x)^(-1))$ కోసం ఈ ఫార్ములా పని చేయదు. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: అప్పుడు ఏమి పని చేస్తుంది? మనం $((x)^(-1))$ని లెక్కించలేమా? అయితే మనం చేయగలం. దీన్ని ముందుగా గుర్తుంచుకుందాం:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
ఇప్పుడు ఆలోచిద్దాం: ఏ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం $\frac(1)(x)$కి సమానం. సహజంగానే, ఈ అంశాన్ని కనీసం కొంచెం అధ్యయనం చేసిన ఏ విద్యార్థి అయినా ఈ వ్యక్తీకరణ సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానమని గుర్తుంచుకుంటారు:
\[(\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది వాటిని నమ్మకంగా వ్రాయవచ్చు:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ to \ln x\]
పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం వలె మీరు ఈ సూత్రాన్ని తెలుసుకోవాలి.
కాబట్టి ఇప్పటివరకు మనకు తెలిసినవి:
- పవర్ ఫంక్షన్ కోసం - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- స్థిరాంకం కోసం - $=const\ to \cdot x$
- పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం $\frac(1)(x)\to \ln x$
మరియు మనం సరళమైన ఫంక్షన్‌లను గుణించడం మరియు విభజించడం ప్రారంభిస్తే, అప్పుడు మనం ఉత్పత్తి లేదా గుణకం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌ను ఎలా లెక్కించవచ్చు. దురదృష్టవశాత్తూ, ఉత్పత్తి లేదా గుణకం యొక్క ఉత్పన్నంతో సారూప్యతలు ఇక్కడ పని చేయవు. ప్రామాణిక సూత్రం లేదు. కొన్ని సందర్భాల్లో, గమ్మత్తైన ప్రత్యేక సూత్రాలు ఉన్నాయి - భవిష్యత్తులో వీడియో పాఠాలలో మేము వాటితో పరిచయం చేస్తాము.
అయితే, గుర్తుంచుకోండి: గుణకం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రానికి సమానమైన సాధారణ సూత్రం లేదు.
నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరించడం
పని సంఖ్య 1
ప్రతి పవర్ ఫంక్షన్‌లను విడిగా లెక్కిద్దాం:
\[((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)\]
మా వ్యక్తీకరణకు తిరిగి, మేము సాధారణ నిర్మాణాన్ని వ్రాస్తాము:
సమస్య సంఖ్య 2
నేను ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, రచనల నమూనాలు మరియు వివరాలు "పాయింట్" పరిగణించబడవు. అయితే, ఇక్కడ మీరు చేయవచ్చు క్రింది విధంగా:
మేము భిన్నాన్ని రెండు భిన్నాల మొత్తంగా విభజించాము.
గణితాన్ని చేద్దాం:
శుభవార్త ఏమిటంటే, యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించడానికి సూత్రాలను తెలుసుకోవడం, మీరు ఇప్పటికే మరింత క్లిష్టమైన నిర్మాణాలను లెక్కించవచ్చు. అయితే, మనం మరింత ముందుకు వెళ్లి మన జ్ఞానాన్ని మరికొంత విస్తరించుకుందాం. వాస్తవం ఏమిటంటే, మొదటి చూపులో, $((x)^(n))$తో సంబంధం లేని అనేక నిర్మాణాలు మరియు వ్యక్తీకరణలు శక్తిగా సూచించబడతాయి. హేతుబద్ధమైన సూచిక, అవి:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)((((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
ఈ పద్ధతులన్నీ కలపవచ్చు మరియు కలపాలి. శక్తి వ్యక్తీకరణలు కావచ్చు
- గుణించడం (డిగ్రీలు జోడించడం);
- విభజించు (డిగ్రీలు తీసివేయబడతాయి);
- స్థిరాంకం ద్వారా గుణించండి;
- మొదలైనవి
హేతుబద్ధమైన ఘాతాంకంతో శక్తి వ్యక్తీకరణలను పరిష్కరించడం
ఉదాహరణ #1
ప్రతి మూలాన్ని విడిగా గణిద్దాం:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot ((( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\ to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
మొత్తంగా, మా మొత్తం నిర్మాణాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
ఉదాహరణ సంఖ్య 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=(\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=(\left(((x)^(\frac(\frac(\sqrt(x)\right)) 1)(2))) \కుడి))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
కాబట్టి మేము పొందుతాము:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\ to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
మొత్తంగా, ప్రతిదీ ఒక వ్యక్తీకరణగా సేకరిస్తూ, మనం వ్రాయవచ్చు:
ఉదాహరణ సంఖ్య 3
ప్రారంభించడానికి, మేము ఇప్పటికే $\sqrt(x)$ని లెక్కించాము:
\[\sqrt(x)\ to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2))) నుండి \frac((((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
మళ్లీ వ్రాద్దాం:
మేము ఇప్పుడే అధ్యయనం చేసినవి యాంటీడెరివేటివ్‌ల యొక్క సరళమైన గణనలు, అత్యంత ప్రాథమిక నిర్మాణాలు మాత్రమే అని నేను చెబితే నేను ఎవరినీ ఆశ్చర్యపరచనని ఆశిస్తున్నాను. ఇప్పుడు కొంచెం సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం, దీనిలో, టేబుల్ యాంటీడెరివేటివ్‌లతో పాటు, మీరు పాఠశాల పాఠ్యాంశాలను కూడా గుర్తుంచుకోవాలి, అవి సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు.
మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం
పని సంఖ్య 1
స్క్వేర్డ్ తేడా కోసం సూత్రాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
మన ఫంక్షన్‌ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:
అటువంటి ఫంక్షన్ యొక్క నమూనాను మనం ఇప్పుడు కనుగొనవలసి ఉంది:
\[((x)^(\frac(2)(3))\ to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3))\ to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
అన్నింటినీ కలిపి ఒక సాధారణ రూపకల్పనలో ఉంచుదాం:
సమస్య సంఖ్య 2
ఈ సందర్భంలో, మేము తేడా క్యూబ్‌ను విస్తరించాలి. గుర్తుంచుకోండి:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((బి)^(3))\]
ఈ వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని, మనం దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
మన పనితీరును కొద్దిగా మారుద్దాం:
మేము ఎప్పటిలాగే లెక్కిస్తాము - ప్రతి పదానికి విడిగా:
\[((x)^(-3))\ to \frac((((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac((((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\ to \ln x\]
ఫలిత నిర్మాణాన్ని వ్రాద్దాం:
సమస్య సంఖ్య 3
ఎగువన మనం మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని కలిగి ఉన్నాము, దానిని విస్తరింపజేద్దాం:
\[\frac((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\ఎడమ(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2(x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2))\ to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
తుది పరిష్కారాన్ని వ్రాద్దాం:
ఇప్పుడు శ్రద్ధ! చాలా ముఖ్యమైన విషయం, ఇది లోపాలు మరియు అపార్థాల సింహభాగంతో ముడిపడి ఉంది. వాస్తవం ఏమిటంటే, ఇప్పటి వరకు, ఉత్పన్నాల సహాయంతో యాంటీడెరివేటివ్‌లను లెక్కించడం మరియు పరివర్తనలను తీసుకురావడం, స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం దేనికి సమానం అని మనం ఆలోచించలేదు. కానీ స్థిరాంకం యొక్క ఉత్పన్నం "సున్నా"కి సమానం. దీని అర్థం మీరు ఈ క్రింది ఎంపికలను వ్రాయవచ్చు:
- $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
ఇది అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం: ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఎల్లప్పుడూ ఒకేలా ఉంటే, అదే ఫంక్షన్ అనంతమైన యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. మన యాంటీడెరివేటివ్‌లకు ఏదైనా స్థిరమైన సంఖ్యలను జోడించి, కొత్త వాటిని పొందవచ్చు.
మేము ఇప్పుడే పరిష్కరించిన సమస్యల వివరణలో, "యాంటీడెరివేటివ్స్ యొక్క సాధారణ రూపాన్ని వ్రాయండి" అని వ్రాయడం యాదృచ్చికం కాదు. ఆ. వాటిలో ఒకటి కాదు, కానీ మొత్తం సమూహం లేదని ముందుగానే ఊహించబడింది. కానీ, వాస్తవానికి, అవి చివరికి స్థిరమైన $C$లో మాత్రమే విభేదిస్తాయి. అందువల్ల, మా పనులలో మేము పూర్తి చేయని వాటిని సరిచేస్తాము.
మరోసారి మేము మా నిర్మాణాలను తిరిగి వ్రాస్తాము:
అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు $C$ స్థిరాంకం - $C=const$ అని జోడించాలి.
మా రెండవ ఫంక్షన్‌లో మేము ఈ క్రింది నిర్మాణాన్ని పొందుతాము:
మరియు చివరిది:
మరియు ఇప్పుడు సమస్య యొక్క అసలు స్థితిలో మనకు ఏమి అవసరమో మేము నిజంగా పొందాము.
ఇచ్చిన పాయింట్‌తో యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడంలో సమస్యలను పరిష్కరించడం
ఇప్పుడు మనకు స్థిరాంకాలు మరియు యాంటీడెరివేటివ్‌లను వ్రాయడం యొక్క విశేషాంశాల గురించి తెలుసు, అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితి నుండి, ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళ్ళే ఒకే ఒక్కదాన్ని కనుగొనడం అవసరం అయినప్పుడు తదుపరి రకమైన సమస్య తలెత్తడం చాలా తార్కికం. . ఈ పని ఏమిటి?
వాస్తవం ఏమిటంటే, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌లు అవి నిర్దిష్ట సంఖ్యలో నిలువుగా మార్చబడతాయి. మరియు దీని అర్థం మనం తీసుకున్న కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఏ పాయింట్‌తో సంబంధం లేకుండా, ఒక యాంటీడెరివేటివ్ ఖచ్చితంగా పాస్ అవుతుంది మరియు అంతేకాకుండా, ఒకటి మాత్రమే.
కాబట్టి, మేము ఇప్పుడు పరిష్కరించే సమస్యలు ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడ్డాయి: అసలు ఫంక్షన్ యొక్క సూత్రాన్ని తెలుసుకోవడం, యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడమే కాదు, ఇచ్చిన పాయింట్ గుండా వెళ్ళేదాన్ని ఖచ్చితంగా ఎంచుకోండి, వీటిలో కోఆర్డినేట్లు సమస్యలో ఇవ్వబడతాయి. ప్రకటన.
ఉదాహరణ #1
మొదట, ప్రతి పదాన్ని గణిద్దాం:
\[((x)^(4))\ to \frac((((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac((((x)^(4)))(4)\]
ఇప్పుడు మేము ఈ వ్యక్తీకరణలను మా నిర్మాణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
ఈ ఫంక్షన్ తప్పనిసరిగా $M\left(-1;4 \right)$ పాయింట్ గుండా వెళ్లాలి. ఇది ఒక పాయింట్ గుండా వెళుతుంది అంటే ఏమిటి? అంటే మనం $x$కి బదులుగా $-1$ని ప్రతిచోటా ఉంచినట్లయితే మరియు $F\left(x \right)$ - $-4$కి బదులుగా, మనం సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని పొందాలి. ఇలా చేద్దాం:
మేము $C$ కోసం సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్నాము, కాబట్టి దాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:
మనం వెతుకుతున్న పరిష్కారాన్ని వ్రాసుకుందాం:
ఉదాహరణ సంఖ్య 2
అన్నింటిలో మొదటిది, సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వ్యత్యాసం యొక్క వర్గాన్ని బహిర్గతం చేయడం అవసరం:
\[((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)\]
అసలు నిర్మాణం ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:
ఇప్పుడు $C$ని కనుగొనండి: పాయింట్ $M$ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
మేము $C$ని వ్యక్తపరుస్తాము:
చివరి వ్యక్తీకరణను ప్రదర్శించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది:
త్రికోణమితి సమస్యలను పరిష్కరించడం
మేము ఇప్పుడే చర్చించిన వాటికి తుది స్పర్శగా, త్రికోణమితితో కూడిన మరో రెండు క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిగణలోకి తీసుకోవాలని నేను ప్రతిపాదించాను. వాటిలో, అదే విధంగా, మీరు అన్ని ఫంక్షన్ల కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఆపై ఈ సెట్ నుండి కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని పాయింట్ $M$ గుండా వెళ్ళే ఏకైకదాన్ని ఎంచుకోండి.
ముందుకు చూస్తే, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి మనం ఇప్పుడు ఉపయోగించే సాంకేతికత, వాస్తవానికి, స్వీయ-పరీక్ష కోసం సార్వత్రిక సాంకేతికత అని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను.
పని సంఖ్య 1
కింది సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\cos )^(2))x)\]
దీని ఆధారంగా, మనం వ్రాయవచ్చు:
పాయింట్ $M$ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను మన వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
ఈ వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని వ్యక్తీకరణను తిరిగి వ్రాద్దాం:
సమస్య సంఖ్య 2
ఇది కొంచెం కష్టంగా ఉంటుంది. ఇప్పుడు మీరు ఎందుకు చూస్తారు.
ఈ సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)((\sin )^(2))x)\]
"మైనస్" ను వదిలించుకోవడానికి, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయాలి:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)((\sin )^(2))x)\]
ఇక్కడ మా డిజైన్ ఉంది
పాయింట్ $M$ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
మొత్తంగా, మేము తుది నిర్మాణాన్ని వ్రాస్తాము:
ఈ రోజు నేను మీకు చెప్పాలనుకున్నది అంతే. మేము యాంటీడెరివేటివ్స్ అనే పదాన్ని అధ్యయనం చేసాము, వాటిని ప్రాథమిక విధుల నుండి ఎలా లెక్కించాలి మరియు కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఒక నిర్దిష్ట బిందువు గుండా వెళుతున్న యాంటీడెరివేటివ్‌ను ఎలా కనుగొనాలి.
ఈ క్లిష్టమైన అంశాన్ని కనీసం కొంచెం అయినా అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ పాఠం మీకు సహాయపడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను. ఏదైనా సందర్భంలో, ఇది నిరవధిక మరియు నిరవధిక సమగ్రాలను నిర్మించే యాంటీడెరివేటివ్‌లపై ఉంటుంది, కాబట్టి వాటిని లెక్కించడం ఖచ్చితంగా అవసరం. నాకూ అంతే. మళ్ళీ కలుద్దాం!
అంశంపై పాఠం మరియు ప్రదర్శన: "యాంటిడెరివేటివ్ ఫంక్షన్. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్"
అదనపు పదార్థాలు
ప్రియమైన వినియోగదారులు, మీ వ్యాఖ్యలు, సమీక్షలు, శుభాకాంక్షలు తెలియజేయడం మర్చిపోవద్దు! అన్ని పదార్థాలు యాంటీ-వైరస్ ప్రోగ్రామ్ ద్వారా తనిఖీ చేయబడ్డాయి.
గ్రేడ్ 11 కోసం ఇంటిగ్రల్ ఆన్‌లైన్ స్టోర్‌లో టీచింగ్ ఎయిడ్స్ మరియు సిమ్యులేటర్‌లు
పారామితులతో బీజగణిత సమస్యలు, గ్రేడ్‌లు 9–11
"10 మరియు 11 తరగతుల కోసం అంతరిక్షంలో నిర్మించడంపై ఇంటరాక్టివ్ పనులు"
యాంటీడెరివేటివ్ ఫంక్షన్. పరిచయం
గైస్, వివిధ సూత్రాలు మరియు నియమాలను ఉపయోగించి ఫంక్షన్ల యొక్క ఉత్పన్నాలను ఎలా కనుగొనాలో మీకు తెలుసు. ఈ రోజు మనం ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించే విలోమ ఆపరేషన్‌ను అధ్యయనం చేస్తాము. ఉత్పన్నం అనే భావన నిజ జీవితంలో తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: ఉత్పన్నం అనేది ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క మార్పు రేటు. చలనం మరియు వేగంతో కూడిన ప్రక్రియలు ఈ నిబంధనలలో బాగా వివరించబడ్డాయి.ఈ సమస్యను చూద్దాం: “ఒక సరళ రేఖలో కదిలే వస్తువు యొక్క వేగం $V=gt$ ఫార్ములా ద్వారా వివరించబడింది, ఇది చలన నియమాన్ని పునరుద్ధరించడానికి అవసరం.
పరిష్కారం.
మాకు ఫార్ములా బాగా తెలుసు: $S"=v(t)$, ఇక్కడ S అనేది చలన నియమం.
మా పని $S=S(t)$ $gt$కి సమానమైన డెరివేటివ్‌ని కనుగొనడం. జాగ్రత్తగా చూస్తే, మీరు $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$ అని ఊహించవచ్చు.
ఈ సమస్యకు పరిష్కారం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేద్దాం: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం తెలుసుకోవడం, మేము ఫంక్షన్‌ను కనుగొన్నాము, అంటే, మేము విలోమ ఆపరేషన్ చేసాము.
కానీ ఈ క్షణం దృష్టి పెట్టడం విలువ. మన సమస్యకు పరిష్కారానికి స్పష్టత అవసరం, మేము కనుగొన్న ఫంక్షన్‌కు ఏదైనా సంఖ్యను (స్థిరంగా) జోడిస్తే, అప్పుడు ఉత్పన్నం యొక్క విలువ మారదు: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
గైస్, శ్రద్ధ వహించండి: మా సమస్యకు అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి!
సమస్య ప్రారంభ లేదా కొన్ని ఇతర షరతులను పేర్కొనకపోతే, పరిష్కారానికి స్థిరంగా జోడించడం మర్చిపోవద్దు. ఉదాహరణకు, మా పని కదలిక ప్రారంభంలోనే మన శరీరం యొక్క స్థానాన్ని పేర్కొనవచ్చు. అప్పుడు సున్నాని ఫలిత సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా స్థిరాంకాన్ని లెక్కించడం కష్టం కాదు, మేము స్థిరాంకం యొక్క విలువను పొందుతాము.
ఈ ఆపరేషన్‌ను ఏమని పిలుస్తారు?
భేదం యొక్క విలోమ చర్యను ఏకీకరణ అంటారు.
ఇచ్చిన ఉత్పన్నం నుండి ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడం - ఇంటిగ్రేషన్.
ఫంక్షన్‌నే యాంటీడెరివేటివ్ అని పిలుస్తారు, అంటే, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం పొందిన చిత్రం.
$y=F"(x)=f(x)$ అనే పెద్ద అక్షరంతో యాంటీడెరివేటివ్‌ని రాయడం ఆచారం.
నిర్వచనం. ఏదైనా $хϵХ$ కోసం $F'(x)=f(x)$ సమానత్వం కలిగి ఉన్నట్లయితే, $y=F(x)$ ఫంక్షన్‌ని విరామ Xపై $у=f(x)$ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు. .
వివిధ ఫంక్షన్ల కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌ల పట్టికను తయారు చేద్దాం. ఇది రిమైండర్‌గా ముద్రించబడాలి మరియు గుర్తుంచుకోవాలి.
మా పట్టికలో, ప్రారంభ పరిస్థితులు ఏవీ పేర్కొనబడలేదు. పట్టిక కుడి వైపున ఉన్న ప్రతి వ్యక్తీకరణకు స్థిరాంకం జోడించబడాలని దీని అర్థం. మేము ఈ నియమాన్ని తరువాత స్పష్టం చేస్తాము.
యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడానికి నియమాలు
యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనడంలో మాకు సహాయపడే కొన్ని నియమాలను వ్రాసుకుందాం. అవన్నీ భేదం యొక్క నియమాలకు సమానంగా ఉంటాయి.నియమం 1. మొత్తం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ అనేది యాంటీడెరివేటివ్‌ల మొత్తానికి సమానం. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
ఉదాహరణ.
$y=4x^3+cos(x)$ ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనండి.
పరిష్కారం.
మొత్తం యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ యాంటీడెరివేటివ్‌ల మొత్తానికి సమానం, అప్పుడు మనం అందించిన ప్రతి ఫంక్షన్‌కు యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనాలి.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
అప్పుడు అసలు ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ఇలా ఉంటుంది: $y=x^4+sin(x)$ లేదా $y=x^4+sin(x)+C$ ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా ఫంక్షన్.
నియమం 2. $f(x)$ అనేది $f(x)$కి యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, $k*F(x)$ అనేది $k*f(x)$ ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్.(మేము సులభంగా గుణకాన్ని ఫంక్షన్‌గా తీసుకోవచ్చు).
ఉదాహరణ.
ఫంక్షన్ల యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనండి:
a) $y=8sin(x)$.
బి) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
పరిష్కారం.
ఎ) $sin(x)$ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ మైనస్ $cos(x)$. అప్పుడు అసలు ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ ఫారమ్‌ను తీసుకుంటుంది: $y=-8cos(x)$.
బి) $cos(x)$ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ $sin(x)$. అప్పుడు అసలు ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.
సి) $x^2$కి యాంటీడెరివేటివ్ $\frac(x^3)(3)$. x యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ $\frac(x^2)(2)$. 1 యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ x. అప్పుడు అసలు ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.
నియమం 3. $у=F(x)$ అనేది $y=f(x)$ ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, $y=f(kx+m)$ ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ $y=\frac(1 అనే ఫంక్షన్ అవుతుంది. )(k)* F(kx+m)$.
ఉదాహరణ.
కింది ఫంక్షన్ల యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనండి:
ఎ) $y=cos(7x)$.
బి) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
పరిష్కారం.
ఎ) $cos(x)$ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ $sin(x)$. అప్పుడు $y=cos(7x)$ ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ ఫంక్షన్ అవుతుంది.
బి) $sin(x)$ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ మైనస్ $cos(x)$. అప్పుడు $y=sin(\frac(x)(2))$ ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) ఫంక్షన్ అవుతుంది. )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
సి) $x^3$కి యాంటీడెరివేటివ్ $\frac(x^4)(4)$, ఆపై అసలు ఫంక్షన్ $y=-\frac(1)(2)*\frac((-- 2x+3) )^4)(4)=-\frac((-2x+3))^4)(8)$.
D) $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$కి ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను కొద్దిగా సరళీకృతం చేయండి.
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ దానంతట అదే ఘాతాంక విధి. అసలు ఫంక్షన్ యొక్క యాంటీడెరివేటివ్ $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
సిద్ధాంతం. X విరామంలో $y=F(x)$ అనేది $y=f(x)$ ఫంక్షన్‌కి యాంటీడెరివేటివ్ అయితే, $y=f(x)$ ఫంక్షన్‌లో అనంతమైన యాంటీడెరివేటివ్‌లు ఉంటాయి మరియు అవన్నీ కలిగి ఉంటాయి ఫారమ్ $y=F(x)+С$.
పైన పరిగణించిన అన్ని ఉదాహరణలలో అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితిని కనుగొనడం అవసరం అయితే, స్థిరమైన C ప్రతిచోటా జోడించబడాలి.
$y=cos(7x)$ ఫంక్షన్ కోసం అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌లు ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంటాయి: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
ఫంక్షన్ కోసం $y=(-2x+3)^3$ అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌లు ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంటాయి: $y=-\frac((-2x+3))^4)(8)+C$.
ఉదాహరణ.
ద్వారా ఇచ్చిన చట్టంకాలక్రమేణా శరీరం యొక్క వేగంలో మార్పులు $v=-3sin(4t)$ చలన నియమాన్ని కనుగొనండి $S=S(t)$, ఉంటే ప్రారంభ క్షణంశరీరం 1.75కి సమానమైన కోఆర్డినేట్‌ను కలిగి ఉన్న సమయం.
పరిష్కారం.
$v=S’(t)$ కాబట్టి, మేము ఇచ్చిన వేగం కోసం యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనాలి.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
ఈ సమస్యలో ఇది ఇవ్వబడింది అదనపు పరిస్థితి- సమయం యొక్క ప్రారంభ క్షణం. దీని అర్థం $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
అప్పుడు చలన నియమం సూత్రం ద్వారా వివరించబడింది: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.
స్వతంత్రంగా పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు
1. ఫంక్షన్ల యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనండి:ఎ) $y=-10sin(x)$.
బి) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. కింది ఫంక్షన్ల యాంటీడెరివేటివ్‌లను కనుగొనండి:
ఎ) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
బి) $y=పాపం(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. కాలక్రమేణా శరీరం యొక్క వేగంలో మార్పు యొక్క ఇచ్చిన చట్టం ప్రకారం $v=4cos(6t)$, ప్రారంభ సమయంలో శరీరం ఒక వేగాన్ని కలిగి ఉంటే $S=S(t)$ చలన నియమాన్ని కనుగొనండి కోఆర్డినేట్ 2కి సమానం.