Sifa za mistari iliyoelekezwa inayojitokeza kutoka sehemu moja. 1. Perpendicular daima ni fupi kuliko ile iliyoelekezwa ikiwa hutolewa kutoka kwa hatua sawa. 2. Ikiwa wale wanaoelekea ni sawa, basi makadirio yao ni sawa, na kinyume chake. 3. Oblique kubwa inafanana na makadirio makubwa na kinyume chake.
Slaidi ya 10 kutoka kwa uwasilishaji "Perpendicular na inayoelekea kwenye ndege". Saizi ya kumbukumbu iliyo na wasilisho ni 327 KB.Jiometri daraja la 10
muhtasari mawasilisho mengine"Matatizo ya Parallelogram" - Jiometri. Dots. Urefu wa parallelogram. Mraba. Ushahidi. Tanji kwa mduara. Ishara za parallelogram. Mzunguko wa parallelogram. Mduara. Sehemu. Mstari wa kati. Vituo vya miduara. Pembe. Parallelogram. Pata eneo la parallelogram. Miduara miwili. Tabia za parallelogram. Kona kali. Eneo la parallelogram. Ulalo wa parallelogram. Ulalo. Quadrangle. Pembetatu.
"Njia za ujenzi wa sehemu" - Uundaji wa ujuzi katika ujenzi wa sehemu. Wacha tuchunguze kesi nne za kuunda sehemu za parallelepiped. Tengeneza sehemu za tetrahedron. Njia kubuni mambo ya ndani. Kufanya kazi na diski. Parallelepiped ina nyuso sita. Kukata ndege. Ujenzi wa sehemu za polihedra. Kufuatilia ni mstari wa moja kwa moja wa makutano ya ndege ya sehemu na ndege ya uso wowote wa polyhedron. Njia ya kufuatilia. Memo.
""Polihedra ya kawaida" daraja la 10" - Matokeo yaliyotabiriwa. Tetrahedron iliyoelezewa karibu na nyanja ya obiti ya Mirihi. Kituo cha O, mhimili a na ndege. Nyuso za polyhedron. Radiolaria. Maudhui. Polyhedra ya kawaida. Polyhedra ya kawaida katika picha ya falsafa ya Plato ya ulimwengu. Feodaria. Polyhedra ya kawaida hupatikana katika asili hai. Wakati wa madarasa. Hatua (mstari wa moja kwa moja, ndege) inaitwa kituo (mhimili, ndege). Ni ipi kati ya zifuatazo miili ya kijiometri sio polyhedron ya kawaida.
"Uamuzi wa pembe za dihedral" - Pointi K imeondolewa kutoka kila upande. Pointi M na K zipo nyuso tofauti. Kipimo cha shahada kona. Mali pembe tatu. Vidokezo juu ya utatuzi wa shida. Kwenye moja ya kingo angle ya dihedral, sawa na 30, uhakika M iko pembe ya mstari. Chora perpendicular. Mstari wa moja kwa moja unaotolewa katika ndege fulani. Pembe za dihedral katika piramidi. Kutatua tatizo. Pointi K. Piramidi hii. Hatua kwenye makali inaweza kuwa ya kiholela.
"Njia za kuunda sehemu za polihedra" - Ndege yoyote. Wasanii. Sheria za jiometri. Uchunguzi wa Blitz. Mpangilio wa pamoja ndege na polyhedron. Tengeneza sehemu ya polyhedron. Poligoni. Njia ya Axiomatic. Kazi. Meli. Kazi. Axioms. Ujenzi wa sehemu za polihedra. Sehemu kwa ndege tofauti. Kale methali ya Kichina. Kazi ya kujitegemea. Sehemu za diagonal. Ujumuishaji wa maarifa yaliyopatikana. Kukata ndege.
“Poligoni Equilateral” - Hexahedron (Mchemraba) Mchemraba huu una miraba sita. Octahedron Octahedron inaundwa na nane pembetatu za usawa. Tetrahedron ina nyuso 4, wima 4 na kingo 6. Kuna aina 5 polihedra ya kawaida. Polygons za Kawaida. Dodekahedron ina nyuso 12, wima 20 na kingo 30. Icosahedron ina nyuso 20, wima 12 na kingo 30. Kwa hivyo, mchemraba una nyuso 6, wima 8 na kingo 12. Tetrahedron Tetrahedron inaundwa na pembetatu nne za usawa.
Ikiwa kupitia hatua fulani iliyochukuliwa nje ya mstari tunachora mstari ulio sawa kwake, basi kwa ufupi sehemu kutoka kwa hatua hii hadi mstari inaitwa kwa neno moja. perpendicular.
Sehemu ya CO inaendana na mstari wa AB. Point O inaitwa msingi wa perpendicular CO (mchele).
Ikiwa mstari wa moja kwa moja umechorwa hatua hii, huvuka mstari mwingine, lakini sio sawa kwake, basi sehemu yake kutoka kwa sehemu fulani hadi mahali pa makutano na mstari mwingine inaitwa. kutega kwa mstari huu.
Sehemu ya BC - inayoelekea kwenye mstari wa moja kwa moja AO. Point C inaitwa msingi inaelekea (Mtini.).
Ikiwa tutaangusha viambatisho kutoka mwisho wa sehemu fulani kwenye mstari wa kiholela, basi sehemu ya mstari iliyofungwa kati ya misingi ya pembejeo inaitwa. makadirio ya sehemu kwa mstari huu ulionyooka.
Sehemu АВ - makadirio ya sehemu ya AB kwenye EC. Sehemu ya OM pia inaitwa makadirio ya sehemu ya OM kwenye EC.
Makadirio ya sehemu ya KP perpendicular kwa EC itakuwa hatua K (Mchoro.).
2. Mali ya perpendicular na oblique.
Nadharia 1. Perpendicular inayotolewa kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja ni chini ya oblique yoyote inayotolewa kutoka hatua sawa hadi mstari huu wa moja kwa moja.
Sehemu ya AC (Kielelezo) ni perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja wa OB, na AM ni mojawapo ya mistari iliyoelekezwa inayotolewa kutoka kwa uhakika A hadi mstari wa moja kwa moja wa OB. Inahitajika kuthibitisha kuwa AM > AC.
Katika ΔMAC, sehemu ya AM ni hypotenuse, na hypotenuse ni kubwa kuliko kila mguu wa pembetatu hii. Kwa hiyo, AM > AC. Kwa kuwa tulichukua AM iliyoelekezwa kiholela, tunaweza kudai kwamba mstari wowote ulioelekezwa kwa mstari ulionyooka ni mkubwa kuliko perpendicular kwa mstari huu (na perpendicular ni fupi kuliko mstari wowote ulioelekezwa) ikiwa watavutiwa kutoka kwa hatua sawa.
Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli, yaani: ikiwa sehemu ya AC (Mtini.) ni chini ya sehemu nyingine yoyote inayounganisha uhakika wa AC na hatua yoyote kwenye mstari wa moja kwa moja wa OB, basi ni perpendicular kwa OB. Kwa kweli, sehemu ya AC haiwezi kuelekezwa kwa OB, kwani wakati huo haitakuwa fupi zaidi ya sehemu zinazounganisha hatua A na vidokezo vya mstari wa moja kwa moja wa OB. Hii ina maana kwamba inaweza tu kuwa perpendicular kwa OB.
Urefu wa perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika fulani hadi mstari wa moja kwa moja huchukuliwa kama umbali kutoka kwa hatua fulani hadi mstari huu wa moja kwa moja.
Nadharia 2. Ikiwa mistari miwili ya oblique inayotolewa kwenye mstari kutoka kwa hatua sawa ni sawa, basi makadirio yao ni sawa.
Hebu BA na BC ziwe mistari ya kutega kutoka kwa uhakika B hadi mstari wa moja kwa moja AC (Kielelezo), na AB = BC. Inahitajika kudhibitisha kuwa makadirio yao pia ni sawa.
Ili kuthibitisha hili, hebu tupunguze BO perpendicular kutoka kwa uhakika B hadi AC. Kisha AO na OS zitakuwa makadirio ya AB na BC iliyoelekezwa kwenye mstari wa moja kwa moja wa AC. Pembetatu ABC isosceles kulingana na nadharia. VO ni urefu wa pembetatu hii. Lakini urefu ni pembetatu ya isosceles, inayotolewa kwa msingi, wakati huo huo ni wastani wa pembetatu hii.
Kwa hivyo AO = OS.
Nadharia ya 3 (kuzungumza). Ikiwa mistari miwili ya oblique inayotolewa kwa mstari wa moja kwa moja kutoka kwa hatua sawa ina makadirio sawa, basi ni sawa wao kwa wao.
Acha AC na CB zielekee kwenye mstari wa moja kwa moja AB (Mtini.). CO ⊥ AB na AO = OB.
Inahitajika kuthibitisha kuwa AC = BC.
Katika pembetatu za kulia AOC na BOC, miguu AO na OB ni sawa. CO ni mguu wa kawaida wa pembetatu hizi. Kwa hiyo, ΔAOC = ΔBOC. Kutoka kwa usawa wa pembetatu inafuata kwamba AC = BC.
Nadharia 4. Ikiwa miteremko miwili ya oblique hutolewa kutoka hatua moja hadi mstari wa moja kwa moja, basi moja ambayo ina makadirio makubwa kwenye mstari huu wa moja kwa moja ni kubwa zaidi.
Hebu AB na BC waelekee kwenye mstari wa moja kwa moja AO; VO ⊥ AO na AO>CO. Inahitajika kuthibitisha kuwa AB > BC.
1) Zilizowekwa ziko upande mmoja wa perpendicular.
Pembe ya ACE ya nje kwa pembetatu ya kulia SOV (mtini), na kwa hivyo ∠ASV > ∠SOV, yaani yeye ni mjinga. Inafuata kwamba AB > CB.
2) Zilizowekwa ziko pande zote mbili za perpendicular. Ili kuthibitisha hili, hebu tupange sehemu ya OK = OS kwenye AO kutoka kwa uhakika O na kuunganisha uhakika K hadi kumweka B (Mchoro.). Kisha, kwa Nadharia 3, tunayo: VC = BC, lakini AB > VC, kwa hiyo, AB > BC, yaani nadharia ni halali katika kesi hii pia.
Nadharia ya 5 (kuzungumza). Ikiwa mistari miwili iliyoelekezwa imechorwa kutoka sehemu moja hadi mstari wa moja kwa moja, basi mstari mkubwa zaidi wa mwelekeo pia una makadirio makubwa kwenye mstari huu wa moja kwa moja.
Acha KS na BC zielekee kwenye mstari wa moja kwa moja wa CV (Mtini.), SO ⊥ CV na KS > BC. Inahitajika kuthibitisha kwamba KO > OB.
Kati ya sehemu za KO na OB kunaweza kuwa na uhusiano mmoja tu kati ya tatu:
1) KO< ОВ,
2) KO = OV,
3) KO > OV.
KO haiwezi kuwa chini ya OB, kwani wakati huo, kulingana na Theorem 4, KS iliyoelekezwa itakuwa chini ya BC iliyoelekezwa, na hii inapingana na masharti ya nadharia.
Kwa njia hiyo hiyo, KO haiwezi kuwa sawa na OB, kwa kuwa katika kesi hii, kulingana na Theorem 3, KS = BC, ambayo pia inapingana na masharti ya theorem.
Kwa hivyo, ni uhusiano wa mwisho tu ndio unabaki kuwa kweli, yaani, ile KO > OB.
Perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika fulani hadi kupewa ndege, inaitwa sehemu inayounganisha sehemu fulani na ncha kwenye ndege na kulala kwenye mstari ulionyooka, perpendicular kwa ndege. Mwisho wa sehemu hii iliyo kwenye ndege inaitwa msingi wa perpendicular. Umbali kutoka hatua hadi ndege ni urefu wa perpendicular inayotolewa kutoka hatua hii hadi ndege.
Mteremko unaotolewa kutoka kwa sehemu fulani hadi kwa ndege fulani ni sehemu yoyote inayounganisha sehemu fulani kwa uhakika kwenye ndege na sio kuwa ya kawaida kwa ndege hii. Mwisho wa sehemu iliyo kwenye ndege inaitwa msingi uliowekwa. Sehemu inayounganisha misingi ya perpendicular na oblique inayotolewa kutoka kwa hatua sawa inaitwa makadirio ya oblique.
Katika Mchoro 136, kutoka kwa hatua A, AB ya perpendicular na AC iliyoelekezwa huchorwa kwenye ndege. Uhakika B ndio msingi wa kipenyo, hatua C ndio msingi wa ile iliyoelekezwa, BC ni makadirio ya AC iliyoelekezwa kwenye ndege a.
Kwa kuwa umbali kutoka kwa pointi za mstari hadi kwenye ndege inayofanana nayo ni sawa, umbali kutoka kwa mstari hadi kwenye ndege inayofanana nayo ni umbali kutoka kwa hatua yoyote hadi kwenye ndege hii.
Mstari wa moja kwa moja uliochorwa kwenye ndege kupitia msingi wa ndege iliyoelekezwa kwa makadirio yake pia ni ya kawaida kwa ile iliyoelekezwa yenyewe. Na kinyume chake: ikiwa mstari wa moja kwa moja katika ndege ni perpendicular kwa moja inayoelekea, basi pia ni perpendicular kwa makadirio ya moja iliyopendekezwa (nadharia ya perpendiculars tatu).
Katika Mchoro 137, AB perpendicular na AC iliyoinama huchorwa kwenye ndege a. Mstari wa moja kwa moja o, ulio kwenye ndege a, ni sawa na BC - makadirio ya AC iliyoelekezwa kwenye ndege a. Kulingana na T. 2.12, mstari wa moja kwa moja a ni perpendicular kwa kutega AC. Ikiwa inajulikana kuwa mstari wa moja kwa moja a ni perpendicular kwa AC inayoelekea, basi kulingana na T. 2.12 itakuwa perpendicular kwa makadirio yake - BC.
Mfano. Miguu ya mstatili pembetatu ABC ni sawa na 16 na Kutoka juu pembe ya kulia C inatolewa perpendicular kwa ndege ya pembetatu hii CD = 35 m (Mchoro 138). Tafuta umbali kutoka kwa uhakika D hadi hypotenuse AB.
Suluhisho. Hebu tufanye. Kulingana na hali hiyo, DC ni ya kawaida kwa ndege, i.e. DE ina mwelekeo, CE ni makadirio yake, kwa hivyo, kwa nadharia kuhusu perpendiculars tatu, inafuata kutoka kwa hali hiyo.
Kutoka tunapata Kupata urefu wa CE ndani tunapata
Kwa upande mwingine, wapi
Kutoka kwa nadharia ya Pythagorean
46. Perpendicularity ya ndege.
Ndege mbili zinazoingiliana huitwa perpendicular ikiwa ndege yoyote inayoelekea kwenye mstari wa makutano ya ndege hizi inazivuka kwenye mistari ya pembeni.
Mchoro 139 unaonyesha ndege mbili zinazokatiza kwenye mstari ulionyooka a. Ndege y ni perpendicular kwa mstari a na inaingiliana Katika kesi hii, ndege y inaingiliana na ndege kando ya mstari wa moja kwa moja c, na ndege inapita kwenye mstari wa moja kwa moja d, na yaani, kwa ufafanuzi.
T. 2.13. Ikiwa ndege inapita kwenye mstari wa perpendicular kwa ndege nyingine, basi ndege hizi ni perpendicular (ishara ya perpendicularity ya ndege).
Katika Mchoro 140, ndege hupitia mstari wa moja kwa moja, yaani, ndege ni perpendicular.
PEMBE TEMBE.
§ 31. INAYOENDELEA NA INAYOELEKEZWA KWA MOJA KWA MOJA.
1. Makadirio ya sehemu kwenye mstari wa moja kwa moja.
Ikiwa kupitia hatua fulani iliyochukuliwa nje ya mstari tunachora mstari ulio sawa kwake, basi kwa ufupi sehemu kutoka kwa hatua hii hadi mstari inaitwa kwa neno moja. perpendicular.
Sehemu ya CO inaendana na mstari wa AB. Point O inaitwa msingi wa perpendicular CO (mchoro 168).
Ikiwa mstari uliochorwa kupitia sehemu fulani unaingiliana na mstari mwingine, lakini sio sawa kwake, basi sehemu yake kutoka kwa sehemu fulani hadi mahali pa makutano na mstari mwingine inaitwa. kutega kwa mstari huu.
Sehemu ya BC - inayoelekea kwenye mstari wa moja kwa moja AO. Point C inaitwa msingi kutega (Mchoro 169).
Ikiwa tutaangusha viambatisho kutoka mwisho wa sehemu fulani kwenye mstari wa kiholela, basi sehemu ya mstari iliyofungwa kati ya misingi ya pembejeo inaitwa. makadirio ya sehemu kwa mstari huu ulionyooka.
Sehemu A "B" ni makadirio ya sehemu ya AB kwenye EC. Sehemu ya OM" pia inaitwa makadirio ya sehemu ya OM kwenye EC.
Makadirio ya sehemu ya KR perpendicular kwa EU itakuwa uhakika K" (Mchoro 170).
2. Mali ya perpendicular na oblique.
Nadharia 1. Perpendicular inayotolewa kutoka kwa uhakika hadi mstari wa moja kwa moja ni chini ya oblique yoyote inayotolewa kutoka hatua sawa hadi mstari huu wa moja kwa moja.
Sehemu ya AC (Mchoro 171) ni perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja OB, na AM ni mojawapo ya mistari iliyoelekezwa inayotolewa kutoka kwa uhakika A hadi mstari wa moja kwa moja wa OB. Inahitajika kuthibitisha kuwa AM > AC.
KATIKA /\ Sehemu ya MAC AM ni hypotenuse, na hypotenuse ni kubwa kuliko kila mguu wa pembetatu hii (§ 30). Kwa hiyo, AM > AC. Kwa kuwa tulichukua AM iliyoelekezwa kiholela, tunaweza kudai kwamba mstari wowote ulioelekezwa kwa mstari ulionyooka ni mkubwa kuliko perpendicular kwa mstari huu (na perpendicular ni fupi kuliko mstari wowote ulioelekezwa) ikiwa watavutiwa kutoka kwa hatua sawa.
Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli, yaani: ikiwa sehemu ya AC (Kielelezo 171) ni chini ya sehemu nyingine yoyote inayounganisha uhakika wa AC na hatua yoyote kwenye mstari wa moja kwa moja OB, basi ni perpendicular kwa OB. Kwa kweli, sehemu ya AC haiwezi kuelekezwa kwa OB, kwani wakati huo haitakuwa fupi zaidi ya sehemu zinazounganisha hatua A na vidokezo vya mstari wa moja kwa moja wa OB. Hii ina maana kwamba inaweza tu kuwa perpendicular kwa OB.
Urefu wa perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika fulani hadi mstari wa moja kwa moja huchukuliwa kama umbali kutoka kwa hatua fulani hadi mstari huu wa moja kwa moja.
Nadharia 2. Ikiwa mistari miwili ya oblique inayotolewa kwenye mstari kutoka kwa hatua sawa ni sawa, basi makadirio yao ni sawa.
Hebu BA na BC ziwe mistari ya kutega kutoka kwa uhakika B hadi mstari wa moja kwa moja AC (Mchoro 172), na AB = BC. Inahitajika kudhibitisha kuwa makadirio yao pia ni sawa.
Ili kuthibitisha hili, hebu tupunguze BO perpendicular kutoka kwa uhakika B hadi AC. Kisha AO na OS zitakuwa makadirio ya AB na BC iliyoelekezwa kwenye mstari wa moja kwa moja wa AC. Pembetatu ABC ni isosceles kulingana na theorem. VO ni urefu wa pembetatu hii. Lakini urefu katika pembetatu ya isosceles inayotolewa kwa msingi ni wakati huo huo wastani wa pembetatu hii (§ 18).
Kwa hivyo AO = OS.
Nadharia 3(nyuma). Ikiwa mistari miwili ya oblique inayotolewa kwa mstari wa moja kwa moja kutoka kwa hatua sawa ina makadirio sawa, basi ni sawa kwa kila mmoja.
Acha AC na CB zielekee kwenye mstari wa moja kwa moja AB (Mchoro 173). CO_|_ AB na AO = OB.
Inahitajika kuthibitisha kuwa AC = BC.
Katika pembetatu za kulia AOC na BOC, miguu AO na OB ni sawa. CO ni mguu wa kawaida wa pembetatu hizi. Kwa hivyo, /\ AOC = /\ VOS. Kutoka kwa usawa wa pembetatu inafuata kwamba AC = BC.
Nadharia 4. Ikiwa miteremko miwili ya oblique hutolewa kutoka hatua moja hadi mstari wa moja kwa moja, basi moja ambayo ina makadirio makubwa kwenye mstari huu wa moja kwa moja ni kubwa zaidi.
Hebu AB na BC waelekee kwenye mstari wa moja kwa moja AO; VO_|_AO na AO>SO. Inahitajika kuthibitisha kuwa AB > BC.
1) Zilizowekwa ziko upande mmoja wa perpendicular.
Angle ACE ni ya nje kwa heshima ya pembetatu sahihi COB (Mchoro 174), na kwa hiyo / DIA > / BUNDI, yaani ni mjinga. Inafuata kwamba AB > CB.
2) Zilizowekwa ziko pande zote mbili za perpendicular. Ili kuthibitisha hili, hebu tupange sehemu ya OK = OS kwenye AO kutoka kwa uhakika O na kuunganisha hatua K na uhakika B (Mchoro 175). Kisha, kwa Nadharia 3, tunayo: VC = BC, lakini AB > VC, kwa hiyo, AB > BC, yaani nadharia ni halali katika kesi hii pia.
Nadharia 5(nyuma). Ikiwa mistari miwili iliyoelekezwa imechorwa kutoka sehemu moja hadi mstari wa moja kwa moja, basi mstari mkubwa zaidi wa mwelekeo pia una makadirio makubwa kwenye mstari huu wa moja kwa moja.
Acha KS na BC zielekezwe kwenye mstari ulionyooka KB (Kielelezo 176), SO_|_KB na KS > BC. Inahitajika kuthibitisha kwamba KO > OB.
Kati ya sehemu za KO na OB kunaweza kuwa na uhusiano mmoja tu kati ya tatu:
1) KO< ОВ,
2) KO = OV,
3) KO > OV.
KO haiwezi kuwa chini ya OB, kwani wakati huo, kulingana na Theorem 4, KS iliyoelekezwa itakuwa chini ya BC iliyoelekezwa, na hii inapingana na masharti ya nadharia.
Kwa njia hiyo hiyo, KO haiwezi kuwa sawa na OB, kwa kuwa katika kesi hii, kulingana na Theorem 3, KS = BC, ambayo pia inapingana na masharti ya theorem.
Kwa hivyo, uhusiano wa mwisho tu ndio unabaki kuwa kweli, yaani, hiyo
KO > OV.
Nadharia . Ikiwa mistari ya pembeni na iliyoelekezwa imechorwa kutoka sehemu moja nje ya ndege, basi:
1) oblique zilizo na makadirio sawa ni sawa;
2) kati ya hizo mbili zenye mwelekeo, yule ambaye makadirio yake ni makubwa zaidi;
3) obliques sawa zina makadirio sawa;
4) ya makadirio mawili, moja ambayo inafanana na oblique kubwa ni kubwa zaidi.
Nadharia tatu za Perpendicular . Ili mstari wa moja kwa moja ulio kwenye ndege uwe perpendicular kwa moja ya mwelekeo, ni muhimu na ya kutosha kwamba mstari huu wa moja kwa moja uwe perpendicular kwa makadirio ya moja ya mwelekeo (Mchoro 12.3).
Nadharia kwenye eneo la makadirio ya orthogonal ya poligoni kwenye ndege. Eneo la makadirio ya othogonal ya poligoni kwenye ndege ni sawa na bidhaa ya eneo la poligoni na cosine ya pembe kati ya ndege ya poligoni na ndege ya makadirio.
Mfano 1. Kupitia hatua fulani chora mstari wa moja kwa moja sambamba na ndege uliyopewa.
Suluhisho. Uchambuzi. Hebu tufikiri kwamba mstari wa moja kwa moja unajengwa (Mchoro 12.4). Mstari ni sambamba na ndege ikiwa ni sambamba na mstari fulani ulio kwenye ndege (kulingana na usawa wa mstari na ndege). Mistari miwili sambamba iko kwenye ndege moja. Hii ina maana kwamba kwa kujenga ndege inayopitia hatua fulani na mstari wa kiholela katika ndege fulani, itawezekana kujenga mstari wa sambamba.
Ujenzi.
1. Kwenye ndege tunafanya moja kwa moja A.
3. Katika ndege kupitia uhakika A tufanye moja kwa moja b, sambamba na mstari A.
4. Mstari wa moja kwa moja umejengwa b, sambamba na ndege .
Ushahidi. Kulingana na usawa wa mstari wa moja kwa moja na ndege, mstari wa moja kwa moja b sambamba na ndege , kwa kuwa ni sambamba na mstari A, mali ya ndege .
Jifunze. Tatizo lina idadi isiyo na mwisho ya ufumbuzi, tangu mstari wa moja kwa moja A ndani ya ndege huchaguliwa kwa nasibu.
Mfano 2.
Kuamua kwa umbali gani kutoka kwa ndege hatua iko A, ikiwa ni sawa AB huingilia ndege kwa pembe ya 45º, umbali kutoka kwa uhakika A kwa uhakika KATIKA, mali ya ndege, ni sawa na 
sentimita.
Suluhisho. Wacha tufanye mchoro (Mchoro 12.5):
AC- perpendicular kwa ndege
,
AB- mwelekeo, pembe ABC- pembe kati ya mstari wa moja kwa moja AB na ndege
. Pembetatu ABC- mstatili, 
kwa sababu AC- perpendicular. Umbali unaohitajika kutoka kwa uhakika A kwa ndege - hii ni mguu AC pembetatu ya kulia. Kujua pembe 
na hypotenuse 
tutafute mguu AC:
Kwa majibu tunapata : AC = 3 cm.
Mfano 3. Amua kwa umbali gani kutoka kwa ndege ya pembetatu ya isosceles kuna hatua ya cm 13 kutoka kwa kila wima ya pembetatu ikiwa msingi na urefu wa pembetatu ni sawa na 8 cm.
Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Mchoro 12.6). Nukta S mbali na pointi A, KATIKA Na NA kwa umbali sawa. Hivyo, kutega S.A., S.B. Na S.C. sawa, HIVYO- perpendicular ya kawaida ya hizi zinazoelekea. Kwa nadharia ya obliques na makadirio AO = VO = CO.
Nukta KUHUSU- katikati ya duara iliyozungukwa karibu na pembetatu ABC. Wacha tupate radius yake:
Wapi Jua- msingi; AD- urefu wa pembetatu fulani ya isosceles.
Kutafuta pande za pembetatu ABC kutoka pembetatu ya kulia ABD kulingana na nadharia ya Pythagorean:
Sasa tunapata OB:
Fikiria pembetatu SOB:
S.B.= 13 cm, OB= 5 cm Pata urefu wa perpendicular HIVYO kulingana na nadharia ya Pythagorean:
Kwa kujibu tunapata: HIVYO= 12 cm.
Mfano 4. Imepewa ndege sambamba Na . Kupitia hatua M, ambayo sio ya yeyote kati yao, mistari iliyonyooka huchorwa A Na b, ambayo hukatiza ndege kwa pointi A 1 na KATIKA 1 na ndege - kwa pointi A 2 na KATIKA 2. Tafuta A 1 KATIKA 1 ikiwa inajulikana hivyo MA 1 = 8 cm, A 1 A 2 = 12 cm, A 2 KATIKA 2 = 25 cm.
Suluhisho. Kwa kuwa hali hiyo haisemi jinsi hatua iko karibu na ndege zote mbili M, basi chaguzi mbili zinawezekana: (Mchoro 12.7, a, b). Hebu tuangalie kila mmoja wao. Mistari miwili inayokatiza A Na b kufafanua ndege. Ndege hii inakatiza ndege mbili zinazofanana Na pamoja na mistari sambamba A 1 KATIKA 1 na A 2 KATIKA 2 kulingana na Theorem 5 kuhusu mistari sambamba na ndege sambamba.
Pembetatu MA 1 KATIKA 1 na MA 2 KATIKA 2 zinafanana (pembe A 2 MV 2 na A 1 MV 1 - wima, pembe MA 1 KATIKA 1 na MA 2 KATIKA 2 - crosswise ya ndani ya uongo na mistari inayofanana A 1 KATIKA 1 na A 2 KATIKA 2 na secant A 1 A 2). Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu hufuata uwiano wa pande:
Kutoka hapa 
Chaguo a):
Chaguo b):
Tunapata jibu: 10 cm na 50 cm.
Mfano 5. Kupitia hatua A ndege mstari wa moja kwa moja ulichorwa AB, kutengeneza pembe na ndege . Kupitia moja kwa moja AB ndege inachorwa , kutengeneza na ndege kona . Pata pembe kati ya makadirio ya mstari wa moja kwa moja AB kwa ndege na ndege .
Suluhisho.
Hebu tufanye kuchora (Mchoro 12.8). Kutoka kwa uhakika KATIKA kuacha perpendicular kwa ndege
.
Linear dihedral angle kati ya ndege
Na
- hii ni pembe 
Moja kwa moja ADDC, kwa kuzingatia perpendicularity ya mstari wa moja kwa moja na ndege, tangu 
Na 
Kulingana na perpendicularity ya ndege, ndege
perpendicular kwa ndege ya pembetatu DC, kwa kuwa inapita kwenye mstari AD. Tunajenga angle inayotaka kwa kuacha perpendicular kutoka kwa uhakika NA kwa ndege
, hebu tuashirie 
Tafuta sine ya pembe hii ya pembetatu ya kulia MIMI MWENYEWE. Wacha tuanzishe sehemu ya msaidizi BC = a. Kutoka kwa pembetatu ABC:
Kutoka kwa pembetatu Navy
(
)
tutaipata.