W tym artykule przedstawiono przegląd właściwości operacji na liczbach wymiernych. Najpierw ogłaszane są podstawowe właściwości, na których opierają się wszystkie inne właściwości. Następnie podano inne często używane właściwości operacji na liczbach wymiernych.
Nawigacja strony.
Zróbmy listę podstawowe własności operacji na liczbach wymiernych(a, b i c są dowolnymi liczbami wymiernymi):
- Właściwość przemienna dodawania a+b=b+a.
- Pasująca nieruchomość dodawanie (a+b)+c=a+(b+c) .
- Istnienie elementu neutralnego przez dodanie - zero, którego dodanie z dowolną liczbą nie zmienia tej liczby, czyli a+0=a.
- Dla każdej liczby wymiernej a istnieje liczba przeciwna −a taka, że a+(−a)=0.
- Właściwość przemienna mnożenia liczb wymiernych a·b=b·a.
- Kombinatywna własność mnożenia (a·b)·c=a·(b·c) .
- Istnienie elementu neutralnego dla mnożenia jest jednostką, mnożeniem, przez które żadna liczba nie zmienia tej liczby, czyli a·1=a.
- Dla każdej niezerowej liczby wymiernej a istnieje liczba odwrotna a −1 taka, że a·a −1 =1 .
- Wreszcie dodawanie i mnożenie liczb wymiernych powiązane jest rozdzielnością mnożenia względem dodawania: a·(b+c)=a·b+a·c.
Wymienione właściwości operacji na liczbach wymiernych są podstawowe, ponieważ można z nich uzyskać wszystkie inne właściwości.
Inne ważne właściwości
Oprócz dziewięciu wymienionych podstawowych właściwości operacji na liczbach wymiernych istnieje szereg bardzo szeroko stosowanych właściwości. Przedstawmy im krótki przegląd.
Zacznijmy od właściwości, która jest zapisywana za pomocą liter jak a·(−b)=−(a·b) lub na mocy przemienności mnożenia jako (-a) b=-(a b). Zasada mnożenia liczb wymiernych o różnych znakach bezpośrednio wynika z tej właściwości; jej dowód podano również w tym artykule. Określona właściwość wyjaśnia zasadę „plus pomnożony przez minus daje minus, a minus pomnożony przez plus daje minus”.
Oto następująca właściwość: (−a)·(−b)=a·b. Jest to zgodne z zasadą mnożenia ujemnych liczb wymiernych; w tym artykule znajdziesz także dowód powyższej równości. Ta właściwość odpowiada zasadzie mnożenia „minus razy minus to plus”.
Niewątpliwie warto skupić się na pomnożeniu dowolnej liczby wymiernej a przez zero: a·0=0 Lub 0 a=0. Udowodnijmy tę własność. Wiemy, że 0=d+(−d) dla dowolnego wymiernego d, to a·0=a·(d+(−d)) . Właściwość rozkładu pozwala na przepisanie powstałego wyrażenia jako a·d+a·(−d) , a ponieważ a·(−d)=−(a·d) , to a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). W ten sposób doszliśmy do sumy dwóch liczby przeciwne, równe a·d i −(a·d), ich suma daje zero, co dowodzi równości a·0=0.
Łatwo zauważyć, że powyżej wymieniliśmy tylko właściwości dodawania i mnożenia, natomiast nie powiedziano ani słowa o właściwościach odejmowania i dzielenia. Wynika to z faktu, że na zbiorze liczb wymiernych działania odejmowania i dzielenia są określone odpowiednio jako odwrotność dodawania i mnożenia. Oznacza to, że różnica a−b jest sumą a+(−b), a iloraz a:b jest iloczynem a·b−1 (b≠0).
Znając te definicje odejmowania i dzielenia, a także podstawowe właściwości dodawania i mnożenia, można udowodnić dowolne właściwości operacji na liczbach wymiernych.
Jako przykład udowodnijmy rozkład mnożenia względem odejmowania: a·(b−c)=a·b−a·c. Zachodzi następujący łańcuch równości: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, co jest dowodem.
Prawa autorskie należą do mądrych studentów
Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny www., łącznie z materiałami wewnętrznymi i wyglądem, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.
Badamszyńska Liceum №2
matematyka
w 6 klasie
„Działania z liczbami wymiernymi”
przygotowany
nauczyciel matematyki
Babenko Larisa Grigoriewna
Z. Badamsza
2014
Temat lekcji:« Działania na liczbach wymiernych».
Typ lekcji :
Lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy.
Cele Lekcji:
edukacyjny:
Podsumować i usystematyzować wiedzę uczniów na temat zasad działania na liczbach dodatnich i ujemnych;
Wzmocnić umiejętność stosowania zasad podczas ćwiczeń;
Rozwijaj umiejętności niezależnej pracy;
rozwijanie:
Rozwijać logiczne myślenie, przemówienie matematyczne,umiejętności komputerowe; - rozwinąć umiejętność zastosowania zdobytej wiedzy do rozwiązań stosowane problemy; - poszerzanie horyzontów;
wychowywanie:
Wychowanie zainteresowanie poznawcze do tematu.
Sprzęt:
Arkusze z tekstami zadań, zadaniami dla każdego ucznia;
Matematyka. Podręcznik dla klasy 6 instytucje edukacyjne/
N.Ya. Vilenkin, V.I. Żochow, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – M., 2010.
Plan lekcji:
Organizowanie czasu.
Pracuj ustnie
Przegląd zasad dodawania i odejmowania liczb za pomocą różne znaki. Aktualizowanie wiedzy.
Rozwiązywanie zadań zgodnie z podręcznikiem
Uruchamianie testu
Podsumowanie lekcji. Zadawanie zadań domowych
Odbicie
Podczas zajęć
Organizowanie czasu.
Pozdrowienia od nauczyciela i uczniów.
Zgłoś temat lekcji, plan pracy na lekcję.
Dzisiaj mamy niezwykła lekcja. Na tej lekcji zapamiętamy wszystkie zasady działania na liczbach wymiernych oraz umiejętność wykonywania operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.
Mottem naszej lekcji będzie chińska przypowieść:
„Powiedz mi, a zapomnę;
Pokaż mi, a zapamiętam;
Pozwól mi to zrobić, a zrozumiem.
Chcę Cię zaprosić w podróż.
Pośrodku przestrzeni, gdzie wyraźnie widać było wschód słońca, rozciągała się wąska, niezamieszkana kraina – oś liczbowa. Nie wiadomo, gdzie się zaczęło i nie wiadomo, gdzie się skończyło. A pierwszymi, które zaludniły ten kraj, były liczby naturalne. Jakie liczby nazywamy liczbami naturalnymi i jak je oznaczamy?
Odpowiedź:
Liczby 1, 2, 3, 4…..używane do liczenia obiektów lub do wskazywania numer seryjny ten czy inny element spośród obiekty jednorodne, nazywane są naturalnymi (N ).
Liczenie werbalne
88-19 72:8 200-60
Odpowiedzi: 134; 61; 2180.
Było ich nieskończona liczba, ale kraj, choć niewielki w szerokości, miał nieskończoną długość, tak że wszystko od jedynki do nieskończoności mieściło się i tworzyło pierwszy stan, zbiór liczb naturalnych.
Praca nad zadaniem.
Kraj był wyjątkowo piękny. Na całym jego terytorium znajdowały się wspaniałe ogrody. Są to wiśnia, jabłko, brzoskwinia. Przyjrzymy się teraz jednemu z nich.
Co trzy dni jest o 20 procent więcej dojrzałych wiśni. Ile dojrzałych owoców będzie miała ta wiśnia po 9 dniach, jeśli na początku obserwacji było na niej 250 dojrzałych wiśni?
Odpowiedź: za 9 dni na tej wiśni będą 432 dojrzałe owoce (300; 360; 432).
Na terytorium pierwszego stanu zaczęły osiedlać się nowe liczby i te liczby wraz z naturalnymi utworzyły nowy stan, dowiemy się który, rozwiązując zadanie.
Uczniowie mają na biurkach dwie kartki papieru:
1. Oblicz:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6x1/3
1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)
Ćwiczenia: Połącz po kolei wszystkie liczby naturalne, nie podnosząc ręki, i nazwij powstałą literę.
Odpowiedzi do testu:
5 68 15 60
72 6 20 16
Pytanie: Co oznacza ten symbol? Jakie liczby nazywamy liczbami całkowitymi?
Odpowiedzi: 1) W lewo, od terytorium pierwszego stanu, osiedliła się liczba 0, na lewo od niej -1, jeszcze dalej w lewo -2, itd. do nieskończoności. Liczby te wraz z liczbami naturalnymi utworzyły nowy stan rozszerzony, zbiór liczb całkowitych.
2) Liczby naturalne, ich przeciwieństwa i zero nazywane są liczbami całkowitymi ( Z ).
Powtarzanie tego, czego się nauczyłeś.
1) Kolejna strona naszej bajki jest zaczarowana. Odczarujmy to, poprawiajmy błędy.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Odpowiedzi:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36: 6
2) Słuchajmy dalej tej historii.
NA wolne miejsca do osi liczbowej dodano ułamki 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;... Ułamki wraz z pierwszymi osadnikami utworzyły kolejny stan rozwinięty – zbiór liczb wymiernych. ( Q)
1) Jakie liczby nazywamy wymiernymi?
2) Czy jakakolwiek liczba całkowita lub ułamek dziesiętny jest liczbą wymierną?
3) Pokaż, że dowolna liczba całkowita lub ułamek dziesiętny jest liczbą wymierną.
Zadanie na tablicy: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Odpowiedzi:
1) Liczba, którą można zapisać w postaci stosunku , gdzie a jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną, nazywa się liczbą wymierną .
2) Tak.
3) .
Znasz już liczby całkowite i ułamki zwykłe, dodatnie i liczby ujemne, a także cyfra zero. Wszystkie te liczby nazywane są racjonalnymi, co w języku rosyjskim oznacza „ podlega umysłowi.”
dodatnie zero ujemne
cały ułamek cały ułamek
Aby w przyszłości z powodzeniem studiować matematykę (i nie tylko matematykę), trzeba dobrze znać zasady działań arytmetycznych na liczbach wymiernych, w tym zasady znaków. A są tak różne! Nie trzeba długo czekać, aż się pogubisz.
Minuta wychowania fizycznego.
Dynamiczna pauza.
Nauczyciel: Każda praca wymaga przerwy. Odpocznijmy!
Zróbmy ćwiczenia regeneracyjne:
1) Raz, dwa, trzy, cztery, pięć -
Raz! Wstań, podciągnij się,
Dwa! Pochyl się, wyprostuj,
Trzy! Trzy klaśnięcia w dłonie,
Trzy skinienia głową.
Cztery oznacza szersze ręce.
Pięć - machaj rękami. Sześć - usiądź cicho przy biurku.
(Dzieci wykonują ruchy podążając za nauczycielem zgodnie z treścią tekstu.)
2) Mrugnij szybko, zamknij oczy i siedź tak, licząc do pięciu. Powtórz 5 razy.
3) Zamknij mocno oczy, policz do trzech, otwórz je i spójrz w dal, licząc do pięciu. Powtórz 5 razy.
Strona historyczna.
W życiu, jak w bajkach, ludzie „odkrywali” liczby wymierne stopniowo. Początkowo przy liczeniu obiektów pojawiały się liczby naturalne. Na początku było ich niewielu. Początkowo powstały tylko cyfry 1 i 2. Słowa „solista”, „słońce”, „solidarność” pochodzą od łacińskiego „solus” (jeden). Wiele plemion nie miało innych cyfr. Zamiast „3” powiedzieli „raz-dwa”, zamiast „4” powiedzieli „dwa-dwa”. I tak dalej, aż do szóstej. A potem przyszło „dużo”. Ludzie spotykali się z ułamkami przy podziale łupów i mierzeniu ilości. Aby ułatwić pracę z ułamkami, zostały wymyślone dziesiętne. W Europie zostały wprowadzone w 1585 roku przez holenderskiego matematyka.
Praca nad równaniami
Nazwisko matematyka poznasz rozwiązując równania i wykorzystując linię współrzędnych do znalezienia litery odpowiadającej danej współrzędnej.
1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y – 3,4 = -7,4
4) – 0,8: x = -0,4 5)a · (-8) =0 6)M + (- )=
JEŚĆ M I O W R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Odpowiedzi:
6 (C) 4)2 (B)
-2 (T) 5) 0 (I)
-4(E) 6)4(H)
STEVIN – holenderski matematyk i inżynier (Simon Stevin)
Strona historyczna.
Nauczyciel:
Bez poznania przeszłości w rozwoju nauki nie da się zrozumieć jej teraźniejszości. Ludzie nauczyli się wykonywać operacje na liczbach ujemnych jeszcze przed naszą erą. Indyjscy matematycy uważali liczby dodatnie za „właściwości”, a liczby ujemne za „długi”. Oto jak indyjski matematyk Brahmagupta (VII w.) określił pewne zasady wykonywania operacji na liczbach dodatnich i ujemnych:
„Suma dwóch właściwości jest własnością”
„Suma dwóch długów to dług”
„Suma majątku i długu jest równa ich różnicy”
„Produktem dwóch aktywów lub dwóch długów jest własność”, „Produktem aktywów i długu jest dług”.
Chłopaki, przetłumaczcie starożytne indyjskie zasady na współczesny język.
Wiadomość nauczyciela:
Jak nie ma życia bez ciepło słońca,
Bez zimowego śniegu i bez liści kwiatów,
W matematyce nie ma działań bez znaków!
Dzieci proszone są o odgadnięcie, jakiego znaku akcji brakuje.
Ćwiczenia. Uzupełnij brakujący znak.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Odpowiedzi: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :
Niezależna praca(zapisz odpowiedzi do zadań na kartce):
Porównaj liczby
znajdź ich moduły
porównać z zerem
znajdź ich sumę
znajdź ich różnicę
znaleźć pracę
znajdź iloraz
wpisz liczby znajdujące się naprzeciwko nich
znajdź odległość między tymi liczbami
10) ile liczb całkowitych znajduje się między nimi
11) znajdź sumę wszystkich liczb całkowitych znajdujących się między nimi.
Kryteria oceny: wszystko zostało rozwiązane poprawnie – „5”
1-2 błędy - „4”
3-4 błędy - „3”
więcej niż 4 błędy - „2”
Praca indywidualna przez karty(Dodatkowo).
Karta 1. Rozwiąż równanie: 8,4 – (x – 3,6) = 18
Karta 2. Rozwiąż równanie: -0,2x · (-4) = -0,8
Karta 3. Rozwiąż równanie: =
Odpowiedzi na karty :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Gra „Egzamin”.
Mieszkańcy kraju żyli szczęśliwie, grali w gry, rozwiązywali problemy, równania i zapraszali nas do zabawy w celu podsumowania wyników.
Uczniowie podchodzą do tablicy, biorą kartę i odpowiadają na pytanie zapisane na odwrocie.
Pytania:
1. Którą z dwóch liczb ujemnych uważa się za większą?
2. Sformułuj zasadę dzielenia liczb ujemnych.
3. Sformułuj zasadę mnożenia liczb ujemnych.
4. Sformułuj zasadę mnożenia liczb o różnych znakach.
5. Sformułuj zasadę dzielenia liczb o różnych znakach.
6. Sformułuj zasadę dodawania liczb ujemnych.
7. Sformułuj zasadę dodawania liczb o różnych znakach.
8.Jak znaleźć długość odcinka na linii współrzędnych?
9.Jakie liczby nazywane są liczbami całkowitymi?
10. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?
Zreasumowanie.
Nauczyciel: Dzisiaj Praca domowa będzie kreatywny:
Przygotuj wiadomość „Liczby dodatnie i ujemne wokół nas” lub ułóż bajkę.
« Dziękuję za lekcję!!!"
Rysunek. Działania arytmetyczne nad liczbami wymiernymi.
Tekst:
Zasady operacji na liczbach wymiernych:
. podczas dodawania liczb za pomocą identyczne znaki konieczne jest zsumowanie ich modułów i umieszczenie ich przed sumą znak ogólny;
. dodając dwie liczby o różnych znakach, od liczby o większym module odejmij liczbę o mniejszym module i przed wynikową różnicą postaw znak liczby o większym module;
. Odejmując jedną liczbę od drugiej, należy dodać do odejmowanej liczbę przeciwną do odejmowanej: a - b = a + (-b)
. przy mnożeniu dwóch liczb o tych samych znakach ich moduły są mnożone, a przed otrzymanym iloczynem umieszczany jest znak plus;
. przy mnożeniu dwóch liczb o różnych znakach ich moduły są mnożone, a przed otrzymanym iloczynem umieszczany jest znak minus;
. przy dzieleniu liczb o tych samych znakach moduł dzielnej dzieli się przez moduł dzielnika, a przed otrzymanym ilorazem umieszcza się znak plus;
. przy dzieleniu liczb o różnych znakach moduł dywidendy dzieli się przez moduł dzielnika, a przed wynikowym ilorazem umieszcza się znak minus;
. dzieląc i mnożąc zero przez dowolną liczbę, nie rób tego równy zeru, okazuje się, że jest zero:
. Nie możesz dzielić przez zero.
Na tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe właściwości operacji na liczbach. Nie tylko przejrzymy podstawowe właściwości, ale także dowiemy się, jak zastosować je do liczb wymiernych. Całą zdobytą wiedzę utrwalimy rozwiązując przykłady.
Podstawowe właściwości operacji na liczbach:
Pierwsze dwie właściwości to właściwości dodawania, kolejne dwie to właściwości mnożenia. Piąta właściwość dotyczy obu operacji.
Nie ma w tych obiektach nic nowego. Obowiązywały one zarówno dla liczb naturalnych, jak i całkowitych. Są one również prawdziwe w przypadku liczb wymiernych i będą prawdziwe w przypadku liczb, które będziemy badać dalej (na przykład liczb niewymiernych).
Właściwości permutacyjne:
Zmiana układu terminów lub czynników nie zmienia wyniku.
Właściwości kombinacji:, .
Dodawanie lub mnożenie wielu liczb można wykonać w dowolnej kolejności.
Właściwość dystrybucji:.
Właściwość łączy obie operacje - dodawanie i mnożenie. Ponadto, jeśli czytasz to od lewej do prawej, nazywa się to regułą otwierania nawiasów, a jeśli w Odwrotna strona- zasada orzekania wspólny mnożnik poza nawiasami.
Poniższe dwie właściwości opisują elementy neutralne dla dodawania i mnożenia: dodanie zera i pomnożenie przez jeden nie powoduje zmiany pierwotnej liczby.
Dwie kolejne właściwości, które opisują elementy symetryczne w przypadku dodawania i mnożenia suma liczb przeciwnych wynosi zero; praca liczby wzajemne równa się jeden.
Następna nieruchomość: . Jeśli liczbę pomnożymy przez zero, wynikiem zawsze będzie zero.
Ostatnią właściwością, której się przyjrzymy, jest: .
Mnożąc liczbę przez , otrzymujemy liczbę przeciwną. Ta właściwość ma szczególną cechę. Wszystkie inne rozważane właściwości nie mogły zostać udowodnione przy użyciu pozostałych. Tę samą właściwość można udowodnić, korzystając z poprzednich.
Mnożenie przez
Udowodnijmy, że jeśli pomnożymy liczbę przez , otrzymamy liczbę przeciwną. W tym celu używamy własności dystrybucji: .
Dotyczy to dowolnych liczb. Zastąpmy i zamiast liczby:
Po lewej stronie w nawiasach znajduje się suma wzajemnie przeciwnych liczb. Ich suma wynosi zero (mamy taką własność). Teraz po lewej stronie. Po prawej stronie otrzymujemy: 
.
Teraz mamy zero po lewej stronie i sumę dwóch liczb po prawej. Ale jeśli suma dwóch liczb wynosi zero, to liczby te są wzajemnie przeciwne. Ale liczba ma tylko jedną przeciwną liczbę: . A więc tak: .
Właściwość została udowodniona.
Taka właściwość, którą można udowodnić na podstawie poprzednich właściwości, nazywa się twierdzenie
Dlaczego nie ma tutaj właściwości odejmowania i dzielenia? Na przykład można napisać właściwość rozdzielności dla odejmowania: .
Lecz odkąd:
- Odejmowanie dowolnej liczby można równoważnie zapisać jako dodawanie, zastępując liczbę jej przeciwieństwem:
- Dzielenie można zapisać jako mnożenie przez jego odwrotność:
Oznacza to, że właściwości dodawania i mnożenia można zastosować do odejmowania i dzielenia. W rezultacie lista właściwości, o których należy pamiętać, jest krótsza.
Wszystkie własności, które rozważaliśmy, nie są wyłącznie własnościami liczb wymiernych. Inne liczby, na przykład niewymierne, również podlegają tym wszystkim zasadom. Na przykład suma liczby przeciwnej wynosi zero: .
Teraz przejdziemy do części praktycznej, rozwiązując kilka przykładów.
Liczby wymierne w życiu
Nazywa się te właściwości obiektów, które możemy opisać ilościowo, oznaczyć jakąś liczbą wartości: długość, waga, temperatura, ilość.
Tę samą wielkość można oznaczyć zarówno liczbą całkowitą, jak i ułamkową, dodatnią lub ujemną.
Na przykład twój wzrost to m - liczba ułamkowa. Ale możemy powiedzieć, że jest równy cm - to już liczba całkowita (ryc. 1).
Ryż. 1. Ilustracja na przykład
Jeszcze jeden przykład. Ujemna temperatura w skali Celsjusza będzie dodatnia w skali Kelvina (ryc. 2).
Ryż. 2. Ilustracja na przykład
Budując ścianę domu, jedna osoba może zmierzyć szerokość i wysokość w metrach. Udaje mu się wartości ułamkowe. Wszystkie dalsze obliczenia przeprowadzi na liczbach ułamkowych (wymiernych). Inna osoba może zmierzyć wszystko w liczbie cegieł na szerokość i wysokość. Otrzymawszy jedynie wartości całkowite, przeprowadzi obliczenia na liczbach całkowitych.
Same wielkości nie są ani całkowite, ani ułamkowe, ani ujemne, ani dodatnie. Ale liczba, za pomocą której opisujemy wartość wielkości, jest już dość specyficzna (na przykład ujemna i ułamkowa). To zależy od skali pomiaru. A kiedy przejdziemy od realnych wartości do model matematyczny, wtedy pracujemy z określonym typem liczb
Zacznijmy od dodawania. Terminy można układać w dowolny dla nas dogodny sposób, a czynności wykonywać w dowolnej kolejności. Jeśli terminy różnych znaków kończą się tą samą cyfrą, wygodnie jest najpierw wykonać na nich operacje. Aby to zrobić, zamieńmy warunki. Na przykład:
Ułamki zwykłe z same mianownikiłatwe do złożenia.
Liczby przeciwne sumują się do zera. Liczby z tymi samymi końcami dziesiętnymi można łatwo odjąć. Wykorzystując te właściwości, a także prawo przemienności dodawania, można ułatwić obliczenie wartości na przykład następującego wyrażenia:
Liczby z dopełniającymi końcami dziesiętnymi są łatwe do dodania. Z całością i w częściach ułamkowych liczby mieszane wygodna praca osobno. Korzystamy z tych właściwości przy obliczaniu wartości następującego wyrażenia:
Przejdźmy do mnożenia. Istnieją pary liczb, które można łatwo pomnożyć. Korzystając z właściwości przemienności, możesz zmienić kolejność czynników tak, aby sąsiadowały ze sobą. Można od razu policzyć minusy w produkcie i wyciągnąć wniosek na temat znaku wyniku.
Rozważmy ten przykład:
Jeśli z czynników równy zeru, to iloczyn jest równy zero, na przykład: .
Iloczyn liczb odwrotnych jest równy jeden, a pomnożenie przez jeden nie zmienia wartości iloczynu. Rozważmy ten przykład:
Spójrzmy na przykład wykorzystujący właściwość rozdzielności. Jeśli otworzysz nawiasy, każde mnożenie będzie łatwe.