Zdefiniuj sekwencję. Sekwencje liczbowe

Jeśli wszyscy Liczba naturalna n jest przypisane do niektórych prawdziwy numer x n , to mówią, że jest dane sekwencja liczb

X 1 , X 2 , … x rz , …

Numer X 1 nazywa się członkiem ciągu z numerem 1 Lub pierwszy wyraz ciągu, numer X 2 - członek sekwencji z numerem 2 lub drugi element sekwencji itp. Nazywa się liczbę x n członek ciągu o numerze N.

Istnieją dwa sposoby określania sekwencji numerów - z i z powtarzalna formuła.

Sekwencja za pomocą wzory na wyraz ogólny ciągu– jest to zadanie sekwencyjne

X 1 , X 2 , … x rz , …

stosując wzór wyrażający zależność wyrazu x n od jego liczby n.

Przykład 1. Sekwencja numerów

1, 4, 9, … N 2 , …

podane przy użyciu powszechnie stosowanego wzoru terminologicznego

x rz = N 2 , N = 1, 2, 3, …

Określanie sekwencji za pomocą wzoru wyrażającego element sekwencji x n poprzez elementy sekwencji z poprzedzającymi numerami nazywa się określaniem sekwencji za pomocą powtarzalna formuła.

X 1 , X 2 , … x rz , …

zwany w kolejności rosnącej, więcej poprzedni członek.

Inaczej mówiąc, dla każdego N

X N + 1 >X N

Przykład 3. Ciąg liczb naturalnych

1, 2, 3, … N, …

Jest sekwencja rosnąca.

Definicja 2. Sekwencja numerów

X 1 , X 2 , … x rz , …

zwany sekwencja malejąca jeśli każdy element tej sekwencji mniej poprzedni członek.

Inaczej mówiąc, dla każdego N= 1, 2, 3, … nierówność jest spełniona

X N + 1 < X N

Przykład 4. Podciąg

podane przez wzór

Jest sekwencja malejąca.

Przykład 5. Sekwencja numerów

1, - 1, 1, - 1, …

podane przez wzór

x rz = (- 1) N , N = 1, 2, 3, …

nie jest ani nie rośnie, ani nie maleje sekwencja.

Definicja 3. Nazywa się rosnące i malejące ciągi liczbowe ciągi monotoniczne.

Sekwencje ograniczone i nieograniczone

Definicja 4. Sekwencja numerów

X 1 , X 2 , … x rz , …

zwany ograniczony powyżej, jeśli istnieje liczba M taka, że każdy członek tej sekwencji mniej liczby m.

Inaczej mówiąc, dla każdego N= 1, 2, 3, … nierówność jest spełniona

Definicja 5. Sekwencja numerów

X 1 , X 2 , … x rz , …

zwany ograniczony poniżej, jeśli istnieje liczba m taka, że każdy członek tej sekwencji więcej liczby m.

Inaczej mówiąc, dla każdego N= 1, 2, 3, … nierówność jest spełniona

Definicja 6. Sekwencja numerów

X 1 , X 2 , … x rz , …

nazywa się ograniczonym, jeśli tak jest ograniczone zarówno powyżej, jak i poniżej.

Innymi słowy, istnieją liczby M i m takie, że dla wszystkich N= 1, 2, 3, … nierówność jest spełniona

M< x n < M

Definicja 7. Ciągi numeryczne, które nie są ograniczone, zwany nieograniczone sekwencje.

Przykład 6. Sekwencja numerów

1, 4, 9, … N 2 , …

podane przez wzór

x rz = N 2 , N = 1, 2, 3, … ,

ograniczony poniżej, na przykład liczba 0. Jednak ta sekwencja nieograniczona z góry.

Przykład 7. Podciąg

podane przez wzór

Jest ograniczona sekwencja , bo dla każdego N= 1, 2, 3, … nierówność jest spełniona

Na naszej stronie możesz zapoznać się także z materiałami edukacyjnymi opracowanymi przez nauczycieli ośrodka szkoleniowego Resolventa, przygotowującymi do Egzaminu Jednolitego oraz Egzaminu Państwowego z matematyki.

Dla uczniów, którzy chcą dobrze się przygotować i zdać Jednolity egzamin państwowy z matematyki lub języka rosyjskiego NA wysoki wynik, Centrum edukacyjne„Resolventa” dyryguje

kursy przygotowawcze dla uczniów klas 10 i 11

Vida y= F(X), X O N, Gdzie N– zbiór liczb naturalnych (lub funkcja argumentu naturalnego), oznaczony y=F(N) Lub y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Wartości y 1 ,y 2 ,y 3 ,… nazywane są odpowiednio pierwszym, drugim, trzecim, ... członkami ciągu.

Na przykład dla funkcji y= N 2 można zapisać:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metody określania sekwencji. Można określić sekwencje różne sposoby, spośród których trzy są szczególnie ważne: analityczna, opisowa i powtarzalna.

1. Ciąg podaje się analitycznie, jeśli podany jest jego wzór N członek:

y n=F(N).

Przykład. y n= 2N - 1 – ciąg liczb nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Opisowy sposób ustawienia sekwencja liczb polega na tym, że wyjaśnia, z jakich elementów zbudowana jest sekwencja.

Przykład 1. „Wszystkie wyrazy ciągu są równe 1.” To znaczy, mówimy o o stacjonarnym ciągu 1, 1, 1, …, 1, ….

Przykład 2. „Sekwencja składa się ze wszystkich liczby pierwsze w kolejności rosnącej”. Zatem podany ciąg to 2, 3, 5, 7, 11, …. Dzięki tej metodzie określania sekwencji w w tym przykładzie trudno odpowiedzieć, czemu równa się, powiedzmy, tysięczny element ciągu.

3. Rekurencyjną metodą określania sekwencji jest określenie reguły umożliwiającej obliczenia N-ty element ciągu, jeśli znane są jego poprzednie elementy. Od czego pochodzi nazwa metoda rekurencyjna Słowo łacińskie nawracający- Wróć. Najczęściej w takich przypadkach wskazywana jest formuła, która pozwala wyrazić N elementu ciągu przez poprzednie i określ 1–2 początkowe elementy ciągu.

Przykład 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 jeśli N = 2, 3, 4,….

Tutaj y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Jak widać, sekwencję uzyskaną w tym przykładzie można również określić analitycznie: y n= 4N - 1.

Przykład 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 jeśli N = 3, 4,….

Tutaj: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sekwencja złożona w tym przykładzie jest specjalnie badana w matematyce, ponieważ ma wiele ciekawe właściwości i aplikacje. Nazywa się ciągiem Fibonacciego i pochodzi od nazwiska włoskiego matematyka z XIII wieku. Bardzo łatwo jest zdefiniować ciąg Fibonacciego w sposób powtarzalny, ale bardzo trudno jest to zrobić analitycznie. N Liczba Fibonacciego jest wyrażana poprzez jej numer seryjny następującą formułę.

Na pierwszy rzut oka formuła N Liczba Fibonacciego wydaje się nieprawdopodobna, ponieważ sam wzór określający ciąg liczb naturalnych zawiera pierwiastki kwadratowe, ale możesz sprawdzić „ręcznie” ważność tej formuły dla pierwszych kilku N.

Własności ciągów liczbowych.

Sekwencja numerów – szczególny przypadek funkcja numeryczna, dlatego w przypadku ciągów uwzględnia się również szereg właściwości funkcji.

Definicja . Podciąg ( y n} nazywa się rosnącym, jeśli każdy z jego wyrazów (z wyjątkiem pierwszego) jest większy od poprzedniego:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definicja.Sekwencja ( y n} nazywa się malejącym, jeśli każdy z jego wyrazów (z wyjątkiem pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Sekwencje rosnące i malejące są łączone termin ogólny– ciągi monotoniczne.

Przykład 1. y 1 = 1; y n= N 2 – ciąg rosnący.

Zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie (charakterystyczna właściwość ciągu arytmetycznego). Ciąg liczb jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jego wyrazów z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego w tym przypadku). skończona sekwencja), jest równa średniej arytmetycznej wyrazów poprzedzających i kolejnych.

Przykład. Przy jakiej wartości X numery 3 X + 2, 5X– 4 i 11 X+ 12 tworzą skończony postęp arytmetyczny?

Według charakterystyczna właściwość, podane wyrażenia muszą spełniać relację

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Rozwiązanie tego równania daje X= –5,5. Przy tej wartości X dane wyrażenia 3 X + 2, 5X– 4 i 11 X+ 12 przyjmują odpowiednio wartości –14,5, –31,5, –48,5. Ten - postęp arytmetyczny, jego różnica wynosi –17.

Postęp geometryczny.

Ciąg liczbowy, którego wszystkie wyrazy są niezerowe i którego każdy wyraz, zaczynając od drugiego, otrzymuje się z poprzedniego wyrazu przez pomnożenie przez tę samą liczbę Q, zwany postęp geometryczny i numer Q- mianownik postępu geometrycznego.

Zatem postęp geometryczny jest ciągiem liczbowym ( b n), zdefiniowane rekurencyjnie przez relacje

B 1 = B, b n = b n –1 Q (N = 2, 3, 4…).

(B I Q - podane liczby, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Przykład 1. 2, 6, 18, 54, ... – rosnący postęp geometryczny B = 2, Q = 3.

Przykład 2. 2, –2, 2, –2, … – postęp geometryczny B= 2,Q= –1.

Przykład 3. 8, 8, 8, 8, … – postęp geometryczny B= 8, Q= 1.

Postęp geometryczny jest ciągiem rosnącym jeśli B 1 > 0, Q> 1 i malejące jeśli B 1 > 0, 0 q

Jedną z oczywistych właściwości postępu geometrycznego jest to, że jeśli ciąg jest postępem geometrycznym, to taki też jest ciąg kwadratów, tj.

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, b n 2,... jest postępem geometrycznym, którego pierwszy wyraz jest równy B 1 2 , a mianownikiem jest Q 2 .

Formuła N- V wyraz ciągu geometrycznego ma postać

b n= B 1 qn– 1 .

Można otrzymać wzór na sumę wyrazów skończonego postępu geometrycznego.

Niech będzie dany skończony postęp geometryczny

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, b n

pozwalać Sn – suma jej członków, tj.

S n= B 1 + B 2 + B 3 + … +b n.

Przyjmuje się, że Q Nr 1. Do ustalenia S n ma zastosowanie sztuczny odbiór: niektóre są wykonywane przekształcenia geometryczne wyrażenia S n q.

S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + b n –1 + b n)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– B 1 .

Zatem, S n q= S n +b n q – b 1 i dlatego

To jest formuła z niezwykłe terminy postępu geometrycznego w przypadku gdy Q≠ 1.

Na Q= 1 wzoru nie trzeba wyprowadzać osobno; jest oczywiste, że w tym przypadku S n= A 1 N.

Postęp nazywa się geometrycznym, ponieważ każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, jest równy średniej geometrycznej wyrazów poprzednich i kolejnych. Rzeczywiście, od

bn=bn- 1 Q;

bn = bn+ 1 /Q,

stąd, b n 2=bn– 1 bn+ 1 i prawdziwe jest następujące twierdzenie (charakterystyczna właściwość ciągu geometrycznego):

ciąg liczb jest postępem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego jego wyrazu, z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego w przypadku ciągu skończonego), równy produktowi poprzednich i kolejnych członków.

Granica spójności.

Niech będzie ciąg ( c n} = {1/N}. Sekwencja ta nazywana jest harmoniczną, ponieważ każdy z jej wyrazów, zaczynając od drugiego, jest średnią harmoniczną między wyrazami poprzednim i kolejnymi. Przeciętny liczby geometryczne A I B jest numer

W W przeciwnym razie ciąg nazywa się rozbieżnym.

Na podstawie tej definicji można na przykład udowodnić istnienie granicy A=0 dla ciągu harmonicznego ( c n} = {1/N). Niech ε będzie dowolnie małe Liczba dodatnia. Brana jest pod uwagę różnica

Czy coś takiego istnieje? N to dla wszystkich n ≥ N nierówność 1 zachodzi /N ? Jeśli przyjmiemy to jako N dowolna liczba naturalna większa niż 1/ε , wtedy dla wszystkich n ≥ N nierówność 1 zachodzi /n ≤ 1/N ε , co było do okazania

Udowodnienie istnienia granicy dla określonej sekwencji może czasami być bardzo trudne. Najczęściej występujące sekwencje są dobrze zbadane i wymienione w podręcznikach. Dostępny ważne twierdzenia, pozwalając na wyciągnięcie wniosku o istnieniu granicy dla danego ciągu (a nawet jej obliczenie) na podstawie już zbadanych ciągów.

Twierdzenie 1. Jeśli ciąg ma granicę, to jest ograniczony.

Twierdzenie 2. Jeśli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to ma granicę.

Twierdzenie 3. Jeśli sekwencja ( jakiś} ma granicę A, to sekwencje ( Móc}, {jakiś+c) i (| jakiś|} mieć granice ok, A +C, |A| odpowiednio (tutaj C– liczba dowolna).

Twierdzenie 4. Jeżeli ciągi ( jakiś} I ( b n) mają granice równe A I B patelnia + qbn) ma granicę rocznie+ qB.

Twierdzenie 5. Jeżeli ciągi ( jakiś) I ( b n) mają granice równe A I B odpowiednio, to sekwencja ( an b n) ma granicę AB.

Twierdzenie 6. Jeżeli ciągi ( jakiś} I ( b n) mają granice równe A I B odpowiednio, a ponadto b n ≠ 0 i B≠ 0, to sekwencja ( a n / b n) ma granicę A/B.

Anna Czugainowa

Podano definicję ciągu liczbowego. Rozważane są przykłady ciągów nieskończenie rosnących, zbieżnych i rozbieżnych. Rozważany jest ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne.

Definicja .
Sekwencja numeryczna (xn) jest prawem (regułą), zgodnie z którym dla każdej liczby naturalnej n = 1, 2, 3, . . . przypisana jest pewna liczba x n.
Nazywa się element xn n-ty termin lub element ciągu.

Ciąg oznacza się jako n-ty wyraz ujęty w nawiasy klamrowe: . Możliwe są także następujące oznaczenia: . Wskazują one wprost, że indeks n należy do zbioru liczb naturalnych, a sam ciąg ma nieskończoną liczbę wyrazów. Oto kilka przykładowych sekwencji:
, , .

Innymi słowy, ciąg liczbowy jest funkcją, której dziedziną definicji jest zbiór liczb naturalnych. Liczba elementów ciągu jest nieskończona. Wśród elementów mogą znajdować się również człony posiadające te same wartości. Sekwencję można również uznać za ponumerowany zbiór liczb składający się z nieskończonej liczby elementów.

Nas będzie głównie interesować pytanie, jak zachowują się ciągi, gdy n dąży do nieskończoności: . Materiał ten przedstawiono w rozdziale Granica ciągu - podstawowe twierdzenia i własności. Tutaj przyjrzymy się kilku przykładom sekwencji.

Przykłady sekwencji

Przykłady ciągów nieskończenie rosnących

Rozważ kolejność. Wspólnym członkiem tej sekwencji jest . Zapiszmy kilka pierwszych terminów:
.
Można zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby n elementy rosną w nieskończoność w kierunku wartości dodatnie. Można powiedzieć, że ciąg ten ma tendencję do: for .

Rozważmy teraz sekwencję ze wspólnym terminem. Oto kilku pierwszych członków:
.
Wraz ze wzrostem liczby n elementy tego ciągu rosną w nieskończoność całkowita wartość, ale nie mam stały znak. Oznacza to, że ta sekwencja ma tendencję do: w .

Przykłady ciągów zbieżnych do liczby skończonej

Rozważ kolejność. Jej wspólny członek. Pierwsze terminy mają następującą postać:
.
Można zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby n elementy tego ciągu zbliżają się do swojej wartości granicznej a = 0 : Na . Zatem każdy kolejny wyraz jest bliżej zera niż poprzedni. W pewnym sensie możemy uznać, że istnieje przybliżona wartość liczby a = 0 z błędem. Oczywiste jest, że wraz ze wzrostem n błąd ten dąży do zera, to znaczy wybierając n, błąd można zmniejszyć do żądanej wartości. Co więcej, dla dowolnego błędu ε > 0 można podać liczbę N taką, aby dla wszystkich elementów o liczbach większych od N: odchylenie liczby od wartości granicznej a nie przekroczyło błędu ε:.

Następnie rozważ kolejność. Jej wspólny członek. Oto niektórzy z pierwszych członków:
.
W tej sekwencji wyrazy o liczbach parzystych są równe zero. Warunki z nieparzystym n są równe. Dlatego wraz ze wzrostem n ich wartości zbliżają się do wartości granicznej a = 0 . Wynika to również z faktu, że
.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie możemy określić dowolnie mały błąd ε > 0 , dla którego można znaleźć liczbę N taką, że elementy o liczbach większych niż N będą odbiegać od wartości granicznej a = 0 o kwotę nieprzekraczającą określonego błędu. Zatem ciąg ten zbiega się do wartości a = 0 : Na .

Przykłady ciągów rozbieżnych

Rozważmy sekwencję z następującym wspólnym terminem:

Oto jej pierwsi członkowie:

.
Można zauważyć, że terminy z liczbami parzystymi:
,
zbiegają się do wartości a 1 = 0 . Członkowie z liczby nieparzyste:
,
zbiegają się do wartości a 2 = 2 . Sam ciąg w miarę wzrostu n nie zbiega się do żadnej wartości.

Sekwencja z wyrazami rozłożonymi w przedziale (0;1)

Przyjrzyjmy się teraz bardziej interesującej sekwencji. Weźmy odcinek na osi liczbowej. Podzielmy to na pół. Otrzymujemy dwa segmenty. Pozwalać
.
Podzielmy każdy z segmentów ponownie na pół. Otrzymujemy cztery segmenty. Pozwalać
.
Podzielmy każdy segment ponownie na pół. Weźmy

.
I tak dalej.

W rezultacie otrzymujemy ciąg, którego elementy są rozmieszczone w przerwa otwarta (0; 1) . Niezależnie od tego, jaki punkt weźmiemy z zamkniętego przedziału , zawsze możemy znaleźć elementy ciągu, które będą dowolnie blisko tego punktu lub będą się z nim pokrywać.

Następnie z ciągu pierwotnego można wybrać podciąg, do którego będzie zbieżny dowolny punkt z interwału . Oznacza to, że wraz ze wzrostem liczby n elementy podciągu będą coraz bardziej zbliżać się do wcześniej wybranego punktu.

Na przykład dla punktu a = 0 możesz wybrać następujący podciąg:
.
= 0 .

Dla punktu a = 1 Wybierzmy następujący podciąg:
.
Wyrazy tego podciągu zbiegają się do wartości a = 1 .

Ponieważ istnieją podciągi zbieżne do różne znaczenia, to sama pierwotna sekwencja nie jest zbieżna do żadnej liczby.

Ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne

Skonstruujmy teraz ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne. Co więcej, każda liczba wymierna pojawi się w takim ciągu nieskończoną liczbę razy.

Liczbę wymierną r można przedstawić w poniższy formularz:
,
gdzie jest liczbą całkowitą; - naturalne.
Musimy powiązać każdą liczbę naturalną n z parą liczb p i q, tak aby każda para p i q znalazła się w naszym ciągu.

Aby to zrobić, narysuj osie p i q na płaszczyźnie. Rysujemy linie siatki poprzez wartości całkowite p i q. Wtedy każdy węzeł tej siatki będzie odpowiadał Liczba wymierna. Cały zbiór liczb wymiernych będzie reprezentowany przez zbiór węzłów. Musimy znaleźć sposób na ponumerowanie wszystkich węzłów, aby nie pominąć żadnego węzła. Łatwo to zrobić, jeśli ponumerujesz węzły kwadratami, których środki znajdują się w punkcie (0; 0) (widzieć zdjęcie). W tym przypadku dolne części kwadratów z q < 1 nie potrzebujemy tego. Dlatego nie są one pokazane na rysunku.

Zatem dla górnej strony pierwszego kwadratu mamy:
.
Następnie numerujemy Górna część następujący kwadrat:

.
Numerujemy górną część następującego kwadratu:

.
I tak dalej.

W ten sposób otrzymujemy ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne. Można zauważyć, że dowolna liczba wymierna pojawia się w tym ciągu nieskończoną liczbę razy. Rzeczywiście, wraz z węzłem, sekwencja ta będzie zawierać także węzły, gdzie jest liczbą naturalną. Ale wszystkie te węzły odpowiadają tej samej liczbie wymiernej.

Następnie ze skonstruowanego przez nas ciągu możemy wybrać podciąg (posiadający nieskończoną liczbę elementów), którego wszystkie elementy są równe określonej z góry liczbie wymiernej. Ponieważ skonstruowana przez nas sekwencja ma podciągi zbieżne różne liczby, to ciąg nie jest zbieżny do żadnej liczby.

Wniosek

Tutaj podaliśmy dokładną definicję ciągu liczbowego. Poruszyliśmy także kwestię jego zbieżności, opartej na intuicyjnych pomysłach. Precyzyjna definicja zbieżność jest omówiona na stronie Wyznaczanie granicy ciągu. Powiązane właściwości i twierdzenia są podane na stronie

Pojęcie ciągu liczbowego.

Niech każda liczba naturalna n odpowiada liczbie a n, wówczas mówimy, że dana jest funkcja a n = f(n), którą nazywamy ciągiem liczbowym. Oznaczone przez n , n=1,2,… lub (an ).

Liczby a 1 , a 2 , ... nazywane są członkami ciągu lub jego elementami, an jest ogólnym członkiem ciągu, n jest numerem członu an .

Z definicji każda sekwencja zawiera nieskończony zbiór elementy.

Przykłady ciągów liczbowych.

Arytmetyka progresja – progresja liczbowa postaci:

czyli ciąg liczb (składników postępu), z których każdy, zaczynając od drugiego, uzyskuje się z poprzedniego, dodając do niego stałą liczbę d (krok lub różnicę postępu):
.

Dowolny wyraz progresji można obliczyć za pomocą ogólnego wzoru na termin:

Każdy członek ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest średnią arytmetyczną poprzednich i kolejnych członków ciągu:

Sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego można wyrazić wzorami:

Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego rozpoczynającego się od wyrazu k:

Przykładem sumy postępu arytmetycznego jest suma szeregu liczb naturalnych do n włącznie:

Geometryczny progresja - ciąg liczb
(członkowie ciągu), w którym każdą kolejną liczbę, zaczynając od drugiej, uzyskuje się z poprzedniej, mnożąc ją przez określoną liczbę q (mianownik ciągu), gdzie
,
:

Dowolny wyraz ciągu geometrycznego można obliczyć korzystając ze wzoru:

Jeśli b 1 > 0 i q > 1, postęp jest sekwencją rosnącą, jeśli 0

Progresja wzięła swoją nazwę od charakterystycznej właściwości:
oznacza to, że każdy termin jest równy średniej geometrycznej swoich sąsiadów.

Iloczyn pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego można obliczyć ze wzoru:

Iloczyn wyrazów ciągu geometrycznego rozpoczynającego się od k-tego wyrazu i kończącego się na n-tym wyrazie można obliczyć ze wzoru:

Suma pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego:

Jeśli

, wtedy, kiedy
, I

Na
.

Granica spójności.

Sekwencję nazywamy rosnącą, jeśli każdy element jest większy od poprzedniego. Ciąg nazywamy malejącym, jeśli każdy element jest mniejszy od poprzedniego.

Ciąg x n nazywamy ograniczonym, jeśli istnieją liczby m i M takie, że dla dowolnej liczby naturalnej n warunek jest spełniony
.

Może się zdarzyć, że wszyscy członkowie ciągu (an) przy nieograniczonym wzroście liczby n dojdą do jakiejś liczby m.

Liczbę a nazywamy granicą ciągu X n, jeśli dla każdego Ε>0 istnieje taka liczba (w zależności od Ε) n 0 =n o (Ε) taka, że dla
nierówność zachodzi
dla wszystkich (naturalnych)n>n 0 .

W tym przypadku piszą
Lub

Zbieżność ciągów.

Mówi się, że ciąg, którego granica jest skończona, zbiega się do:

Jeżeli ciąg nie ma skończonej (przeliczalnej) granicy, nazywamy go rozbieżnym.

Znaczenie geometryczne.

Jeśli
, to wszyscy członkowie tego ciągu, z wyjątkiem ostatniej liczby, znajdą się w dowolnym sąsiedztwie punktu a. Geometrycznie granica ciągu oznacza, że wszystkie jego wartości leżą na pewnym odcinku.