Twierdzenie o istnieniu przynajmniej górnej granicy. Istnienie dokładnej górnej granicy dla zbioru ograniczonego powyżej

OPR1.

OPR2. dokładna górna granica i jest wyznaczony sup A.

OPR2'.

UTV. OPR2. ó OPR2’.

=> OPR2 jest spełniony, czyli M = sup A – najmniejsza ze wszystkich górnych granic => M – górna granica zbioru A => (tj. 1) OPR2’ został ukończony).

Dm 2) przez sprzeczność, tj. górną granicą zbioru A, a M nie jest najmniejszą górną granicą – sprzeczność, gdyż M jest górną granicą => właściwość 2) OPR2’ jest spełniony.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Ponieważ M. na górze. Ścianka zbioru A, sl-but, M – spełniona jest najmniejsza górna granica zbioru A => OPR2.

Bilet nr 2 strona 2

OPR3.

OPR4. dokładnie dolna krawędź i jest wyznaczony inf A.

OPR4'.

UTV. OPR4. ó OPR4’

Dowód jest podobny do UTV. OPR2. ó OPR2’.

TWIERDZENIE!!!

DOC-VO!!!

Komentarz: jeśli zbiór A nie jest ograniczony powyżej => nie ma górnych granic =>

Bilet nr 1 „ZESTAWY LIMITOWANE I NIELIMITOWANE. PRZYKŁADY”.

OPR1: numer Imię. ograniczony powyżej, Jeśli . W tym przypadku M jest górą. krawędź mn-va A.

Przykład: I jest ograniczone od góry. M = 3 – górna granica. Dowolna liczba większa niż 3 jest górną granicą.

OPR2: numer Imię. ograniczony poniżej, Jeśli . W tym przypadku m jest dolne. krawędź mn-va A.

Przykład:

N – ograniczony od dołu. m = 1 – dolna granica. Dowolna liczba mniejsza niż 1 będzie dolną granicą.

OPR3: numer Imię. ograniczony, jeśli jest ograniczony od góry i od dołu, tj. .

OPR3': numer Imię. ograniczony, Jeśli

DOWODNIMY, ŻE OPR3 – OPR3’

=> N.D. OPR3 => OPR3’

Mamy: Niech

Te. zrobione OPR3'

<= Н.Д. ОПР3’ =>OPR3

Mamy: ,tj. zrobione OPR3.

OPR4. Mn – w A nazywa się Nieograniczony, Jeśli

Bilet nr 3 „SEKWENCJE NUMERYCZNE”.

OPR. Jeśli dla każdej liczby naturalnej umieścimy w korespondencji liczbę zgodnie z jakimś prawem, to liczba jest zbiorem liczb , zwany ciągiem liczbowym. oznaczmy numer ostatniego. ; liczby - elementy ciągu

Przykład:

OPR. Liczbę a nazywa się granicą ostatniej. , jeśli (dla dowolnej liczby dodatniej)

Wskazany przez:

Przykład:

Oznaczenie: sąsiedztwo t.a.

Bilet nr 4 „B.M. OSTATNI I ICH ŚWIĘCI (2 TWIERDZENIA).”

OPR. To ostatnie nazywa się nieskończenie małym (nieskończenie małym), jeśli

Przykład: b.m.ostatni

SV-VA:

TWIERDZENIE_1!!! niech tak będzie - b.m. po porodzie, to:

1) Po porodzie b.m.ostatni

2) Po porodzie b.m.ostatni

DOC-VO!!!

1) podano: b.m, tj.

Dm, co b.m. po porodzie, tj.

Wybierzmy i oznaczmy to.

Ponieważ b.m. => dla liczby ,

B.m. => dla liczby

Ponieważ wstaw numer =>

2) Hm, co b.m.ostatni

Wybierzmy go i oznaczmy.

B.m. => dla liczby,

B.m. => dla liczby

Numer biletu 4 Strona 2

Ponieważ wstaw numer => def. b.m. dla , tj. b.m.

TWIERDZENIE_2!!!

Niech b.m.ostatni, ograniczony. zatem pozytywny poród b.m.sekwencja dodatnia

OPR. Po urodzeniu. ograniczony Jeśli

DOC-VO!!!

Naprawiamy to.

Limit. =>

B.m.ostatni => za

Konsekwencja:

Niech b.m. trwa. Potem dla ostatni b.m.

Rzeczywiście, rozważ po urodzeniu.

Ogr po urodzeniu. b.m, tk b.m.

Przykład:

TO. zgodnie z TWIERDZENIEM_2!!!

Komentarz:

Z TWIERDZENIA_1!!! Podąża za tym

1) suma dowolnej skończonej liczby b.m. po urodzeniu. jest b.m.ostatni.

2) iloczyn dowolnej skończonej liczby b.m. po urodzeniu. jest b.m. po urodzeniu.

Bilet nr 5 „SEKWENCJE BB I ICH ZWIĄZEK Z SEKWENCJAMI BM”.

OPR. niech się to nazywa b.b.last, jeśli

Oznaczmy

TWIERDZENIE!!! Niech b.b.ostatni., Następnie b.m.ostatni.

DOC-VO!!!

Naprawił Po urodzeniu

TO.
b.m. po urodzeniu.

POŁĄCZENIE BB Z SEKWENCJAMI BM.

Nocleg ze śniadaniem. po urodzeniu. b.m. po urodzeniu. Odwrotna relacja.

Bilet 18 Właściwości granic funkcji (a) niepowtarzalność granicy. B) ograniczone funkcje, które mają limit.)

Wyjątkowość limitu

TWIERDZENIE!!! Jeżeli f-i ma granicę w K®0, to jest ona unikalna

DOC-VO!!!(z przeciwnej strony)

Pozwalać I

Rassm X nie " N

Ponieważ Þ dla zadanej (X n ) sekwencji

Þ dla danej ( X n ) sekwencji

To. ( f(x)-ch.p-t)przeciwieństwo, ponieważ nie można mieć

b¹c 2 różne granice Þ in = c

.Z

Konsekwencje

Pytanie nr 22 Drugi cudowny limit

Konsekwencje

(an-nie a x =lna)

Bil22str4
Bilet 23 właściwości bm funkcje

funkcje biletu 24 bb i ich związek z bb

Bilet 26.równoważność bm f-ii.(tabela, t.)

bilet 26 strona 2

Bilet 25. Porównanie bm f-y.

Bilet 28. Nepr-t f-ii w punkcie.

pokonać.28

BILET 30. Klasyfikacja punktów nieciągłości funkcji (definicja i przykłady)

Niech f(x) def. w niektórych U(a) (mb. z wyłączeniem samego t.a.). t.a. zwany punkt przerwania funkcje f(x), jeśli f nie jest stałe w t.a. niech t.a będzie punktem nieciągłości funkcji f(x).

def. 1) t.a. punkt przerwania 1. rodzaj, if (tj. rzeczowniki są skończone jednostronne)

2) Jeśli dodatkowo, to t.a- usuwalny punkt przerwania.

3) t.a. - punkt przerwania Drugi rodzaj , jeśli nie jest to pęknięcie I rodzaju.

Przykłady. 1)y=znak(x). x=0-t.r. pierwszego rodzaju, ponieważ

2)y= , x=0 –t. urządzenie raz, ponieważ

3) y= x=0 – t.r. II rodzaju, ponieważ

,

Punkt nieciągłości II rodzaju.

3).

,

x=0 jest punktem nieciągłości II rodzaju.

4).

Nie ma punktu x=0 - punktu nieciągłości II rodzaju.

, . Punkt x=0 jest punktem nieciągłości II rodzaju.

Bilet nr 2 „GÓRNA I DOLNA GRANICA ZBIORU NUMERYCZNEGO. TWIERDZENIE O ISTNIENIU DOKŁADNEJ DOLNEJ I GÓRNEJ GRANIC ZBIORU.

OPR1. M – górna granica zbioru Aó jeśli .

OPR2. najmniejsza ze wszystkich górnych ścian zbioru A, tzw dokładna górna granica i jest wyznaczony sup A.

OPR2'. Liczbę M nazywa się dokładną górną krawędzią liczby A jeśli

UTV. OPR2. ó OPR2’.

=> OPR2 jest spełniony, czyli M = sup A – najmniejsza ze wszystkich górnych granic => M – górna granica zbioru A => (tj. 1) OPR2’ został ukończony).

Dm 2) przez sprzeczność, tj. górną granicą zbioru A, a M nie jest najmniejszą górną granicą – sprzeczność, gdyż M jest górną granicą => właściwość 2) OPR2’ jest spełniony.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

Jest oczywiste, że M jest najmniejszą górną granicą.

Dm przez sprzeczność, tj. Niech M będzie nie-najmniejszą górną ścianą. Przeznaczenie według św. 2) dla tej sprzeczności.

Ponieważ M. na górze. Ścianka zbioru A, sl-but, M – spełniona jest najmniejsza górna granica zbioru A => OPR2.

Bilet nr 2 strona 2

OPR3. m – dolna granica zbioru Aó jeśli .

OPR4. największa ze wszystkich dolnych ścian zbioru A, tzw dokładnie dolna krawędź i jest wyznaczony inf A.

OPR4'. Liczbę m nazywa się dokładną infimum zbioru A jeśli

UTV. OPR4. ó OPR4’

Dowód jest podobny do UTV. OPR2. ó OPR2’.

TWIERDZENIE!!! Każdy niepusty zbiór ograniczony powyżej (poniżej) ma dokładną górną (dolną) granicę.

DOC-VO!!! Zbiór niepusty A – limitowany. z góry, to zbiór A ma co najmniej jedną górną granicę. Niech Y będzie zbiorem wszystkich górnych ścian zbioru A, tj. , a zbiór Y jest niepusty, ponieważ zbiór A ma co najmniej jedną górną granicę.

TO. niepuste ciągi A i Y oraz ciągłe w zależności od pochodzenia. ważny liczby tj. górna granica mn-va A. M = sup A.

Komentarz: jeśli zbiór A nie jest ograniczony powyżej => nie ma górnych granic => nie ma dokładnej górnej granicy. W tym przypadku czasami się tak uważa . Podobnie, jeśli zbiór A nie jest ograniczony. od dołu, czasami tak się uważa

Istnienie dowolnego zbioru ograniczonego powyżej (poniżej) dokładną górną (dokładnie dolną) granicą nie jest oczywiste i wymaga dowodu. Udowodnimy następujące główne twierdzenie.

Główne twierdzenie 2.1. Jeśli zbiór liczb przedstawiany jako nieskończone ułamki dziesiętne jest ograniczony powyżej (odpowiednio poniżej) i zawiera co najmniej jeden element, to zbiór ten ma dokładną górną (odpowiednio dolną) granicę.

Dowód. Skupimy się jedynie na dowodzie istnienia dokładnej górnej granicy dla dowolnego zbioru ograniczonego powyżej, gdyż istnienie dokładnej dolnej granicy dla dowolnego zbioru ograniczonego poniżej udowadnia się w zupełnie podobny sposób.

Niech więc zbiór będzie ograniczony z góry, czyli istnieje taka liczba M, że każdy element x zbioru spełnia nierówność

Mogą wystąpić dwa przypadki:

1°. Wśród elementów zbioru znajduje się co najmniej jedna liczba nieujemna. 2°. Wszystkie elementy zbioru są liczbami ujemnymi. Rozpatrzymy te przypadki osobno.

1°. Rozważmy tylko liczby nieujemne, które są częścią zbioru. Przedstawmy każdą z tych liczb jako nieskończony ułamek dziesiętny i rozważmy części całkowite tych ułamków dziesiętnych. Ze względu na nierówność wszystkie części całkowite nie przekraczają liczby M, dlatego istnieje największa z części całkowitych, którą oznaczamy przez Do liczb nieujemnych zestawu zachowajmy te, których część całkowita jest równa i odrzućmy wszystkie inne liczby. W przypadku liczb przechowywanych należy wziąć pod uwagę pierwsze miejsca po przecinku. Największy z tych znaków oznaczamy poprzez Pozostawienie wśród nieujemnych liczb zbioru tych, których część całkowita jest równa, a pierwsze miejsce po przecinku jest równe i odrzuć wszystkie pozostałe liczby. W przypadku liczb przechowywanych należy wziąć pod uwagę drugie miejsce po przecinku. Największy z tych znaków oznaczamy Kontynuując dalej podobne rozumowanie, będziemy sukcesywnie wyznaczać miejsca po przecinku określonej liczby

Udowodnijmy, że ta liczba x jest dokładną górną granicą zbioru. W tym celu wystarczy udowodnić dwa stwierdzenia: 1) każdy element x zbioru spełnia nierówność 2) niezależnie od tego, czy liczba x jest mniejsza od x, istnieje co najmniej jeden element zbioru x spełniający nierówność

Udowodnijmy najpierw twierdzenie 1). Ponieważ x ze względu na konstrukcję jest liczbą nieujemną, to każdy ujemny element zbioru x z pewnością spełnia nierówność

Wystarczy zatem udowodnić, że dowolny nieujemny element zbioru x spełnia nierówność

Załóżmy, że jakiś element nieujemny nie spełnia nierówności. Wtedy zgodnie z regułą porządkowania istnieje taka liczba, że ​​Ale ostatnie relacje są sprzeczne

zaprzeczają faktowi, że największe z miejsc po przecinku tych elementów, których część całkowita i pierwsze miejsca po przecinku są odpowiednio równe, przyjmuje się jako

Powstała sprzeczność potwierdza stwierdzenie 1).

Udowodnimy teraz twierdzenie 2). Niech x będzie dowolną liczbą spełniającą warunek. Należy wykazać, że w zbiorze x istnieje przynajmniej jeden element spełniający nierówność

Jeśli liczba x jest ujemna, to z pewnością nierówność jest spełniona przez nieujemny element zbioru x (z założenia istnieje co najmniej jeden taki element).

Pozostaje rozważyć przypadek, gdy liczba x spełniająca warunek jest nieujemna. Z warunku i reguły porządkowania niech wynika, że ​​istnieje liczba taka, że

Natomiast z konstrukcji liczby (2.9) wynika, że ​​dla dowolnej liczby istnieje nieujemny element zbioru taki, że część całkowita i wszystkie pierwsze miejsca po przecinku są takie same jak w liczbie x . Innymi słowy, dla liczby istnieje element x taki, że

Limitowany zestaw. Precyzyjne krawędzie

Wzór Moivre’a

Została odnaleziona przez A. Moivre’a w 1707 r.; jego współczesną notację zaproponował L. Euler w 1748 roku.

z n = r n mi w J =r n(sałata N J + ja grzech N J). (3)

Wzór (3) dowodzi się przez indukcję N.

Mnożenie liczb zespolonych

Najwyraźniej ma rację. Załóżmy, że dla niektórych jest to prawda N, udowodnijmy to N+1. Mamy:

Dla danego znajdziemy taki, który spełnia równanie, innymi słowy znajdziemy pierwiastek N-ta potęga liczby zespolonej. Mamy r n e w j = r e ja y Þ rz j=y+2p k, kÎZ , r= skąd mamy wzory

które służą do obliczenia pierwiastka N-ta potęga liczby zespolonej. Proces znajdowania korzenia N-ta potęga liczby zespolonej z można opisać następująco. Jeśli liczba ta nie jest równa 0, wówczas będą dokładnie takie pierwiastki N. Wszystkie będą szczytami poprawności N– kwadrat wpisany w okrąg o promieniu . Jeden z wierzchołków tego wielokąta ma argument równy.

Przykład. Oblicz. W tym przypadku przyjmuje zatem trzy wartości:

Ryż. 1.7

Komentarz: Znaki porównania mniejsze niż, większe niż (<, >) nie są zdefiniowane w C .

1.3. Górna i dolna granica zbioru liczb rzeczywistych

Ograniczenia i granice wielości.

Zbiór E ograniczony powyżej:$B"XÎ Były£ B.

B - górna granica zbioru:"xÎE:x£ B.

Zbiór ograniczony:$A"XÎ mi: X³ A.

A - dolna część zbioru:"xÎE: x ³ a.

Supremum zbioru: b = pić małymi łykami E jest liczbą spełniającą dwie własności:

1)(b - górna krawędź)"XÎ Były£ B.

2) (nie mniej) "e>0 $ XÎ E: x > b- mi.

Dokładną wysokość dolną określa się w podobny sposób a = inf mi.zbiór ograniczonyE:$B"XÎ MI: .

Komentarz: Jeśli b = pić małymi łykami mi, To -b= inf E¢, Gdzie E¢- lustro do mi pęczek, E¢={xÎR:(-X)TJ} .

Twierdzenie 1. Niepusty zbiór ograniczony powyżej ma supremum.

Dowód: Pozwalać B górna granica zbioru mi I AÎ MI. Oznaczmy przez [ A 1 ,B 1 ] segment, jeśli zawiera punkty z MI. W przeciwnym razie poprzez [ A 1 ,B 1 ] oznaczają segment

Ryż. 1.8

Zwróćmy uwagę na właściwości tak skonstruowanego segmentu:

1) "xÎE: x£ B 1 .

2) miÇ[ A 1 ,B 1 ] ¹ Ć .

Powtarzamy tę procedurę dla [ A 1 ,B 1 ] itd. W efekcie otrzymujemy ciąg zagnieżdżonych segmentów [ a k, b k], spełniający następujące właściwości:

1)"xÎE: x £ b k .

2) miÇ[ A k, B k ] ¹ Ć .

Dowód tego przeprowadza się metodą indukcji. Załóżmy, że odcinek [ a k, b k]o określonych właściwościach. Podziel go na pół kropką. Poprzez [ k + 1 ,b k + 1 ] oznaczają ten jeden z segmentów , który ma niepuste przecięcie z mi. Jeśli oba zawierają

Ryż. 1.9

punkty z MI, To [ k + 1 ,b k + 1 ] niech będzie odcinek prawy. Powstały segment ma właściwości 1), 2). Długości tych odcinków b k - a k =(b-a)/ 2k ma tendencję do 0, więc jest to pojedyncza liczba C wspólne dla wszystkich tych segmentów. Ta liczba jest dokładną górną granicą tego zbioru. Naprawdę:

1) "XÎ E: x £ c.

Załóżmy odwrotnie: $ XÎ Np.:x>c, przyjmijmy, że istnieje wtedy, skąd wynika b n< x , co jest sprzeczne z warunkiem XÎ[ an, b n].

Ryż. 1.10

2)"e> 0$ xÎE: x > c - mi.

Dla dowolnego e istnieje n: b n - an n< mi . Wybierzmy dowolny XÎ[ an, b n] . Ze względu na własność 1) będzie to prawdą X< c, Oprócz

c-x£ b n - a n< e . Zatem wymagane X.

Ryż. 1.11

Podobnie można to udowodnić niepustego zbioru ograniczonego poniżej istnieje infimum.

Twierdzenie 2. Dokładne supremum (jeśli istnieje) jest unikalne.

Dowód: Niech będą dwie dokładne twarze B 2 ,B 1 , B 1 2 . Weź e = B 2 -B 1 > 0. Określenie dokładnej górnej granicy (np B 2)$XÎ N: x > b 2 - mi = b 1, co jest sprzeczne z czym B 1 górna krawędź.

Ryż. 1.12

Komentarz. W podobny sposób udowadnia się, że dolna część jest wyjątkowa.

Jeśli E nie jest ograniczone powyżej, napisz pić małymi łykami E = +¥, podobnie, jeśli E nie jest ograniczone poniżej, to napisz inf E= -¥ .

Udowodnijmy kolejne twierdzenie, które opiera się na własności ciągłości liczb rzeczywistych.

Motyw o istnieniu górnej (dolnej) twarzy. Na początek wprowadźmy kilka definicji.

Definicja. Zestaw numeryczny X nazywa się ograniczonym powyżej, jeśli istnieje liczba M taka, że x ≤ M dla dowolnego elementu X od wielu X .

Definicja. Zestaw numeryczny X nazywa się ograniczonym poniżej, jeśli istnieje liczba M takie, że x ≥ m dla dowolnego elementu X od wielu X .

Definicja. Zestaw numeryczny X nazywa się ograniczonym, jeśli jest ograniczony od góry i od dołu.

W zapisie symbolicznym definicje te wyglądałyby następująco:

pęczek X ograniczony powyżej jeśli ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

ograniczony poniżej jeśli ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m I

ograniczone, jeśli ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Definicja. Na dowolny numer A R liczba nieujemna

to jest nazwane całkowita wartość Lub moduł. Dla wartości bezwzględnych liczb obowiązuje następująca nierówność: |a+b| < |a|, co wynika z definicji modułu liczby oraz z aksjomatów dodawania i porządku.

Twierdzenie 4.3.1. Zestaw numeryczny X jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba C taka, że ​​dla wszystkich elementów x z tej liczby wyznaczana jest nierówność ≤ C.

Dowód. Niech zestaw X ograniczony. Włóżmy C = maks. (m, M)- największa z liczb m i M. Następnie korzystając z właściwości modułu liczb rzeczywistych otrzymujemy nierówności x ≤M≤M ≤C i x≥m≥ –m≥ –C, co oznacza, że ​​≤ C .

I odwrotnie, jeśli zachodzi nierówność ≤ C, to −C ≤ x ≤ C . Jest to wymagane, jeśli umieścimy M = C i m = −C .◄

Numer M, ograniczając zestaw X na górze tzw górna granica zbioru. Jeśli M- górna granica zbioru X, a następnie dowolna liczba M', co jest większe M, będzie również górną granicą tego zbioru. Można zatem mówić o zbiorze górnych granic zbioru X. Oznaczmy zbiór górnych granic przez . Następnie, ∀x ∈ X i ∀M ∈ nierówność zostanie spełniona x ≤M zatem z aksjomatu ciągłości istnieje liczba taka, że x ≤ ≤ M. Ten numer nazywa się dokładną górną granicą zbioru liczb X lub górną granicą tego zbioru lub supremum zbioru X i jest wyznaczony = sup X. W ten sposób udowodniliśmy, że każdy niepusty zbiór liczb ograniczony powyżej zawsze ma górną granicę.

To oczywiste, że równość = sup X jest równoważne dwóm warunkom:

1) ∀x ∈ X zachodzi nierówność x ≤, tj. - górna granica zbioru X ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X tak że zachodzi nierówność xε > −ε, tj. limitu tego nie można poprawić (zmniejszyć).

Podobnie można udowodnić, że jeśli zbiór jest ograniczony poniżej, to ma dolną część tego nazywa się także dolną częścią zbioru X i oznacza się przez inf X. Równość =inf X jest równoważna warunkom:

1) ∀x ∈ X nierówność zachodzi x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X tak aby nierówność zachodzi xε< + ε .

Jeżeli zbiór X ma największy element, to go nazwiemy

maksymalny element zbioru X i oznacz = max X . Następnie

supX =. Podobnie, jeśli w zbiorze jest najmniejszy element, to nazwiemy go minimalnym, oznaczymy minX i będzie to minimum zbioru X .

Sformułujmy kilka właściwości górnej i dolnej ściany:

Właściwość 1. Pozwalać X- jakiś zestaw liczbowy. Oznaczmy przez −X pęczek (− x| x ∈ X ). Następnie sup (− X) = − inf X I inf (− X) = − sup X .

Własność 2. Pozwalać X- jakiś zbiór liczb λ – liczba rzeczywista. Oznaczmy przez λX pęczek (λx | x ∈ X). Wtedy jeśli λ ≥ 0, to sup(λX) = λ supX, inf(λ X)= λ infX i jeśli λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .

Własność 3. Pozwalać X1 i X2- zestawy numeryczne. Oznaczmy przez X1+X2 pęczek ( x1+ x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 ) i przez X1-X2 pęczek (x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2). Następnie sup(X1 + X2)=nadX1+nadX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 – X2) = sup X1 – inf X2 i inf (X1 – X2) = inf X1 – sup X2 .

Właściwość 4. Niech X1 i X2 będą zbiorami liczbowymi, których wszystkie elementy są nieujemne. Następnie sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .

Udowodnijmy na przykład pierwszą równość Własności 3. Niech x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 i x=x1+x2. Następnie x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 I x ≤ sup X1 + sup X2, Gdzie sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .

Aby udowodnić przeciwną nierówność, weź liczbę y . Następnie możemy znaleźć elementy ∈ X1 i ∈ X2 takie, że ^{y . Oznacza to, że istnieje element = + ∈ X1+X2, które jest większe od liczby y i sup X1 + sup X2 = sup (X1 + X2). Pozostałe zależności dowodzimy analogicznie.}

Zasadę Archimedesa oraz istnienie granicy górnej i dolnej można postulować jako aksjomat zamiast aksjomatu ciągłości, wtedy z tego nowego aksjomatu będzie wynikał aksjomat ciągłości. (Spróbuj to udowodnić sam).

ANALIZA MATEMATYCZNA

Część I

TEORIA OGRANICZEŃ. Limit sekwencji i limit funkcji. Twierdzenie o istnieniu dla supremum dokładnego.

Niech zmienna X N przyjmuje nieskończony ciąg wartości

X 1 , X 2 , ..., X N , ..., (1)

i znane jest prawo zmiany zmiennej X N, tj. dla każdej liczby naturalnej N możesz określić odpowiednią wartość X N. Dlatego przyjmuje się, że zmienna X N jest funkcją N:

X N = f(n)

Zdefiniujmy jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej - granicę ciągu, czyli, co to samo, granicę zmiennej X N, przechodząc przez sekwencję X 1 , X 2 , ..., X N , ... . .

Definicja. Stała liczba A zwany granica ciągu X 1 , X 2 , ..., X N , ... . lub granicę zmiennej X N, jeśli dla dowolnie małej liczby dodatniej e istnieje taka liczba naturalna N(tj. liczba N), że wszystkie wartości zmiennej X N, zaczynając od X N, różnią A w wartości bezwzględnej mniejszej niż o e. Definicja ta jest w skrócie zapisana w następujący sposób:

| X N -A |< (2)

przed wszystkimi N  N lub, co to jest to samo,

Wyznaczanie granicy Cauchy'ego. Liczbę A nazywamy granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeżeli funkcja ta jest określona w jakimś sąsiedztwie punktu a, z możliwym wyjątkiem samego punktu a, i dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 tak, że dla wszystkich x spełnia warunek |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Wyznaczanie granicy Heinego. Liczbę A nazywamy granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeżeli funkcja ta jest określona w jakimś sąsiedztwie punktu a, z możliwym wyjątkiem samego punktu a, i dla dowolnego ciągu takiego, że zbieżny do liczby a, odpowiednia sekwencja wartości funkcji zbiega się do liczby A.

Jeżeli funkcja f(x) ma granicę w punkcie a, to granica ta jest jedyna.

Liczbę A 1 nazywa się granicą funkcji f (x) po lewej stronie w punkcie a jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ >

Liczbę A 2 nazywamy granicą funkcji f (x) po prawej stronie w punkcie a jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że nierówność zachodzi dla wszystkich

Granicę po lewej stronie oznaczono granicą po prawej stronie - Granice te charakteryzują zachowanie funkcji po lewej i prawej stronie punktu a. Są one często nazywane limitami jednokierunkowymi. Przy wyznaczaniu jednostronnych granic dla x → 0 zwykle pomija się pierwsze zero: i. A więc dla funkcji

Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje takie sąsiedztwo δ punktu, że dla wszystkich x spełniających warunek |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, wówczas mówią, że funkcja f (x) ma nieskończoną granicę w punkcie a:

Zatem funkcja ma nieskończoną granicę w punkcie x = 0. Często rozróżnia się granice równe +∞ i –∞. Więc,

Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x > δ nierówność |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Twierdzenie o istnieniu dla supremum dokładnego

Definicja:АR mR, m jest górną (dolną) ścianą А, jeśli аА аm (аm).

Definicja: Zbiór A jest ograniczony z góry (od dołu), jeśli istnieje m takie, że zachodzi aA, am (am).

Definicja: SupA=m, jeśli 1) m jest supremum A

2) m’: m’ m’ nie jest supremum A

InfA = n, jeśli 1) n jest końcem A

2) n’: n’>n => n’ nie jest minimum A

Definicja: SupA=m jest liczbą taką, że: 1)  aA am

2) >0 a  A, tak że a  a-

InfA = n jest liczbą taką, że: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, tak że a E a+

Twierdzenie: Każdy niepusty zbiór AR ograniczony z góry ma supremum dokładne i unikalne.

Dowód:

Skonstruujmy liczbę m na osi liczbowej i udowodnijmy, że jest to supremum A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - górna granica A

Odcinek [[m],[m]+1] - podzielony na 10 części

m 1 =maks.:aA)]

m 2 = maks., m 1:aA)]

m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - górna krawędź A

Udowodnijmy, że m=[m],m 1 ...m K jest supremum i jest jedyne:

k: wtedy jest punkt, w którym funkcja osiąga maksimum, jest punkt, w którym funkcja osiąga minimum.

Dowód:

Niech funkcja f(x) będzie ciągła na , to zgodnie z Twierdzeniem 1 jest ona ograniczona na tym przedziale. W związku z tym zbiór wartości funkcji jest ograniczony. Następnie, na mocy zasady supremum, zbiór ten ma dokładną górną i dokładną dolną granicę.

Oznaczamy: i pokazujemy, że będzie to największa wartość funkcji f(x) na odcinku : .

Załóżmy odwrotnie, tzn.

Ponieważ , to f(x)< .

przedstawmy tę funkcję . Funkcja jest ciągła na , ponieważ -f(x) 0. Wtedy, na mocy pierwszego twierdzenia Weierstrassa, funkcja jest ograniczona na .

, gdzie >0

Ponieważ ta nierówność zachodzi, liczba nie jest dokładną górną granicą zbioru wartości funkcji. Dochodzimy do sprzeczności, co oznacza, że ​​nasze założenie jest błędne. Podobnie można udowodnić, że funkcja ciągła osiąga w segmencie wartość minimalną. Twierdzenie zostało udowodnione.

FUNKCJE RÓŻNICZKOWE Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a. Formuła TEylor z resztą w formie Lagrange'a.

Twierdzenie Rolle'a. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale domkniętym [a, b], ma pochodną wewnątrz tego przedziału oraz if

f(a) = f(b)

wówczas wewnątrz przedziału [a, b] znajduje się co najmniej jedna taka wartość x 0 (A< x 0 < b), что

f” (x 0 ) = 0.

Dowód. Rozważmy dwa przypadki.

1. Funkcja k(x) jest stała w przedziale [ a, b]; Następnie f” (x) = 0 dla kazdego x(a< x < b) , tj. stwierdzenie twierdzenia Rolle'a odbywa się automatycznie.

2. Funkcja k(x) nie jest stała (rysunek 1); następnie osiąga największą lub najmniejszą lub obie te wartości w wewnętrznym punkcie przedziału, ponieważ f(b) = f(a), i jeśli fa)- najmniejsza wartość, następnie największa wartość funkcja wartości k(x) zajmie wnętrze interwału.

Niech na przykład f(x 0 ) - największa wartość funkcji k(x) w przedziale [ a, b] I X 0 - punkt wewnętrzny tego przedziału. Następnie f(x 0 ) jest maksimum funkcji: f(x 0 )  k(x) dla wszystkich X z dość małej dzielnicy X 0 [dla tego sąsiedztwa można jednak przyjąć przedział ( a, b)].

Ponieważ pod warunkiem k(x) ma w tym punkcie X 0 pochodna, następnie przez twierdzenie o koniecznym kryterium ekstremum,

f” (x 0 ) = 0 ,

i twierdzenie Rolle'a zostało udowodnione.

Twierdzenie Rolle'a ma prostą interpretację geometryczną: jeżeli dany jest łuk AB krzywej y = f(x), w którym w każdym punkcie znajduje się styczna, a końce A i B znajdują się w tej samej odległości od osi Ox, to na tym łuku znajduje się co najmniej jeden punkt, w którym styczna t do krzywej będzie równoległa do cięciwy zaciskającej łuk, a zatem do osi Wółu(patrz rysunek 1).

Jeśli obrócimy osie współrzędnych o kąt a, to końce A I Błuki AB nie będzie już w tej samej odległości od osi Wół", ale styczne T nadal będzie równoległy do ​​akordu AB(patrz rysunek 1). Dlatego naturalne jest oczekiwanie, że twierdzenie zachodzi: Jeżeli dany jest łuk AB krzywej y = f(x) o zmieniającej się w sposób ciągły stycznej, to na tym łuku istnieje co najmniej jeden punkt, w którym styczna jest równoległa do leżącej na niej cięciwy AB(Rysunek 2).

Twierdzenie to jest geometryczną parafrazą następującego twierdzenia, znanego jako Twierdzenia Lagrange'a.

Twierdzenie Lagrange'a. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale domkniętym[a, b] a wewnątrz ma pochodną f”(x), to istnieje co najmniej jedna taka wartość x 0 (A< x 0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f "(x).

Dowód. Rozważmy funkcję pomocniczą

F(x) = f(x) – k(x – a),

Gdzie - współczynnik kątowy cięciwy AB(patrz rysunek 2).

Funkcja ta spełnia wszystkie warunki twierdzenia Rolle’a.

Właściwie kiedy x = a mamy F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), Na x = b mamy

Co więcej, ponieważ funkcja k(x) I k(x - a) ciągły na [ a, b] i różniczkowalna w ( a, b), a następnie funkcja F(x) = f(x) – k(x – a) jest ciągły w [ a, b] i różniczkowalna w ( a, b).

Zatem, zgodnie z twierdzeniem Rolle’a, w przedziale ( a, b) jest taki punkt X 0 , Co

F” (x 0 ) = 0 ,

f” (x 0 ) - k = 0

Stąd mamy

f(b) - f(a) = (b - a)f " (x 0 ) ,

co było do okazania

Ponieważ za + (b - a) = b, a następnie wartość +(b-a), gdzie Q jest właściwym ułamkiem dodatnim (0 <  < 1) , jest równe pewnej liczbie w przedziale ( a, b), zatem wzór Lagrange’a można zapisać w postaci

f(b) - f(a) = (b - a)f "

Jeśli umieścisz a = x, b = x +X, Gdzie b - a =X, wówczas wzór Lagrange'a zostanie zapisany w postaci

y = f(x +x) - f(x) =xf”(x+X).

Udowodniono wcześniej, że jeśli funkcja jest równa stałej C przy dowolnej wartości X w przerwie (a, b), to jego pochodna jest równa zeru.

Udowodnimy teraz twierdzenie odwrotne, będące konsekwencją twierdzenia Lagrange’a:

Jeżeli pochodna f”(x) zniknie dla dowolnych wartości x w przedziale (a, b), to w tym przedziale f(x) = C.

Faktycznie, jeśli X 1 I X 2 - dowolne dwie wartości w przedziale (a, b), to zgodnie z twierdzeniem Lagrange’a mamy

f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 -X 1 )f”(x 0 ),

Gdzie, X 1 < x 0 < x 2 . Lecz odkąd f” (x 0 ) = 0 , To

f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,

co potwierdza nasze twierdzenie.

Bezpośrednio z tego wynika ważne twierdzenie:

Jeśli dwie funkcje f 1 (x) i f 2 (x) mają tę samą pochodną w przedziale (a, b), to różnią się od siebie o stałą wartość w tym przedziale.

Rzeczywiście, rozważ funkcję

(x) = f 2 (x)-f 1 (X).

Następnie dla dowolnej wartości X z interwału (a, b)

„(x) = f 2 „(x)-f 1 „(x) = 0.

Ale to oznacza, że ​​ (x) = C i dlatego

F 2 (x)-f 1 (x) = C.

Wzór Taylora. Niech w przerwiefunkcja f(x) jest różniczkowalna n razy i zachodzą równości:

f(a) = f(b) = f "(a) = f ""(a)= ... = f (n-1) (a) = 0

Następnie w przedzialeistnieje co najmniej jedna wartość,w którym

F (N) (c) = 0

Dowód. Przez Twierdzenie Rolle'a mamy

f” (x 0 ) = 0 ,

Gdzie A< x 0 < b . Następnie f "(x) na przedziale spełnia twierdzenie Rolle’a, ponieważ pod warunkiem fa "(a) = 0 I f” (x 0 ) = 0 , i dlatego

f "" (x 1 ) = 0 ,

Gdzie A< x 1 < x 0 .

Sukcesywne stosowanie twierdzenia Rolle'a do funkcji f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (X), w końcu znajdujemy:

F (N) (c) = 0,

Gdzie A< c < x n-1 < b . Twierdzenie zostało udowodnione.

Wyprowadźmy teraz Wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange'a.

Niech funkcja k(x) różniczkowalne N razy w przerwie.

Rozważmy funkcję pomocniczą

(x) = f(x) - P(x),

Rozróżniajmy N razy funkcja  (X). Wtedy będziemy mieli

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 (n-1) (x) = f (n-1) (x)-A n-1 - A N (x - a),

 (N) (x) = f (N) (x)-A N

Wymagamy, aby funkcja  (X) spełnił warunki uogólnionego twierdzenia Rolle'a. Wtedy będziemy mieli

(1) .

Ponieważ funkcja  (X) spełnia warunki uogólnionego twierdzenia Rolle’a, to istnieje taka wartość z (a< c < b) , Co

 (N) (c) = f (N) (c) - A N = 0 (2)