równowaga układ mechaniczny nazywają go stanem, w którym wszystkie punkty rozważanego układu znajdują się w spoczynku względem wybranego układu odniesienia.

Moment siły wokół dowolnej osi jest iloczynem wielkości tej siły F działającej na ramię d.

Warunki równowagi najłatwiej poznać na przykładzie najprostszego układu mechanicznego – punktu materialnego. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki (patrz Mechanika), stan spoczynku (lub jednostajnego ruchu liniowego) punktu materialnego układ inercyjny współrzędne są równe zeru sumy wektorów wszystkich przyłożonych do nich sił.

Przy przechodzeniu do bardziej złożonych układów mechanicznych sam ten warunek nie wystarczy do ich równowagi. Z wyjątkiem ruch do przodu, które jest spowodowane przez nieskompensowane siły zewnętrzne, złożony układ mechaniczny może się obracać lub ulegać deformacji. Znajdźmy warunki równowagi dla ciała absolutnie sztywnego - układu mechanicznego składającego się ze zbioru cząstek, których wzajemne odległości się nie zmieniają.

Możliwość ruchu translacyjnego (z przyspieszeniem) układu mechanicznego można wyeliminować w taki sam sposób, jak w przypadku punktu materialnego, wymagając, aby suma sił przyłożonych do wszystkich punktów układu była równa zeru. Jest to pierwszy warunek równowagi układu mechanicznego.

W naszym przypadku ciało stałe nie może się odkształcić, gdyż ustaliliśmy, że wzajemne odległości pomiędzy jego punktami nie ulegają zmianie. Jednak w przeciwieństwie do punktu materialnego, na całkowicie sztywne ciało można przyłożyć parę równych i przeciwnie skierowanych sił w różnych punktach. Co więcej, ponieważ suma tych dwóch sił wynosi zero, rozważany układ mechaniczny nie będzie wykonywał ruchu postępowego. Wiadomo jednak, że pod wpływem takiej pary sił ciało zacznie się obracać względem określonej osi ze stale rosnącą prędkością kątową.

Wystąpienie w rozważanym systemie ruch obrotowy ze względu na obecność nieskompensowanych momentów siły. Moment siły wokół dowolnej osi jest iloczynem wielkości tej siły $F$ przez ramię $d,$, tj. przez długość pionu opuszczonego z punktu $O$ (patrz rysunek), przez który przechodzi oś , zgodnie z kierunkiem siły. Należy zauważyć, że moment siły w tej definicji jest wielkością algebraiczną: uważa się go za dodatni, jeśli siła prowadzi do obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, i za ujemny, jeśli W przeciwnym razie. Zatem drugim warunkiem równowagi ciała sztywnego jest wymóg, aby suma momentów wszystkich sił względem dowolnej osi obrotu była równa zeru.

W przypadku spełnienia obu znalezionych warunków równowagi ciało stałe będzie w spoczynku, jeśli w chwili działania sił prędkości we wszystkich jego punktach były równe zeru. W przeciwnym razie zostanie popełniony ruch jednolity przez bezwładność.

Rozważana definicja równowagi układu mechanicznego nie mówi nic o tym, co się stanie, jeśli układ nieznacznie wyjdzie ze swojego położenia równowagi. W tym przypadku są trzy możliwości: układ powróci do poprzedniego stanu równowagi; układ pomimo odchylenia nie zmieni stanu równowagi; układ wyjdzie ze stanu równowagi. Pierwszy przypadek to tzw stan stabilny równowaga, druga - obojętna, trzecia - niestabilna. Charakter położenia równowagi zależy od zależności energii potencjalnej układu od współrzędnych. Rysunek przedstawia wszystkie trzy rodzaje równowagi na przykładzie ciężkiej kuli umieszczonej w zagłębieniu (równowaga stabilna), na gładkim poziomym stole (równowaga obojętna), na szczycie guzka (równowaga niestabilna).

Powyższe podejście do problemu równowagi układu mechanicznego rozważali już naukowcy świat starożytny. Tak więc prawo równowagi dźwigni (tj. sztywnego korpusu o ustalonej osi obrotu) odkrył Archimedes w III wieku. pne mi.

W 1717 roku Johann Bernoulli opracował zupełnie inne podejście do znajdowania warunków równowagi układu mechanicznego – metodę przemieszczeń wirtualnych. Opiera się ona na właściwości sił reakcji wiązania wynikającej z prawa zachowania energii: przy niewielkim odchyleniu układu od położenia równowagi całkowita praca sił reakcji wiązania wynosi zero.

Rozwiązując problemy statyki (patrz Mechanika) w oparciu o opisane powyżej warunki równowagi, połączenia istniejące w układzie (podpory, gwinty, pręty) charakteryzują się powstającymi w nich siłami reakcji. Konieczność uwzględnienia tych sił przy wyznaczaniu warunków równowagi w przypadku układów składających się z kilku ciał prowadzi do uciążliwych obliczeń. Jednakże ze względu na to, że praca sił reakcji wiązania jest równa zeru dla małych odchyleń od położenia równowagi, możliwe jest całkowite pominięcie tych sił.

Oprócz sił reakcji na punkty układu mechanicznego działają również siły zewnętrzne. Jaka jest ich praca przy niewielkim odchyleniu od położenia równowagi? Ponieważ układ początkowo znajduje się w spoczynku, w przypadku każdego ruchu konieczne jest jego wykonanie pozytywna praca. W zasadzie pracę tę mogą wykonywać zarówno siły zewnętrzne, jak i siły reakcji wiązania. Ale, jak już wiemy, całkowita praca wykonana przez siły reakcji wynosi zero. Dlatego, aby układ opuścił stan równowagi, należy wykonać całkowitą pracę siły zewnętrzne dla każdego możliwego ruchu musi być dodatni. W konsekwencji warunek niemożności ruchu, czyli stan równowagi, można sformułować jako wymóg, aby całkowita praca sił zewnętrznych była dodatnia dla dowolnego możliwego ruchu: $ΔA≤0.$

Załóżmy, że przy przesuwaniu punktów układu $Δ\overrightarrow(γ)_1…\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ suma pracy sił zewnętrznych okazała się równa $ΔA1.$ I co się dzieje jeśli system wykonuje ruchy $−Δ\overrightarrow(γ ​​)_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ Ruchy te są możliwe w taki sam sposób jak pierwsze; jednakże działanie sił zewnętrznych zmieni teraz znak: $ΔA2 =−ΔA1.$ Rozumując analogicznie jak w poprzednim przypadku dochodzimy do wniosku, że teraz warunek równowagi układu ma postać: $ΔA1≥0,$ tj. praca sił zewnętrznych musi być nieujemna. Jedynym sposobem „pogodzenia” tych dwóch niemal sprzecznych warunków jest żądanie dokładnej równości do zera całkowitej pracy sił zewnętrznych dla każdego możliwego (wirtualnego) ruchu układu z położenia równowagi: $ΔA=0.$ Przez możliwe (wirtualny) ruch mamy tutaj na myśli nieskończenie mały ruch mentalny układu, który nie jest sprzeczny z narzuconymi mu powiązaniami.

Zatem warunek równowagi układu mechanicznego w postaci zasady przemieszczeń wirtualnych formułuje się w następujący sposób:

„Dla równowagi dowolnego układu mechanicznego z idealne połączenia jest to konieczne i wystarczające, aby kwota ta była wystarczająca podstawowa praca siły działające na układ przy każdym możliwym ruchu były równe zeru.”

Wykorzystując zasadę przemieszczeń wirtualnych, rozwiązuje się problemy nie tylko statyki, ale także hydrostatyki i elektrostatyki.

Aby ocenić zachowanie ciała w realne warunki, nie wystarczy wiedzieć, że jest w równowadze. Musimy jeszcze ocenić tę równowagę. Istnieje równowaga stabilna, niestabilna i obojętna.

Równowaga ciała nazywana jest zrównoważony, jeżeli po odchyleniu od niego pojawią się siły, które przywracają ciało do pozycji równowagi (ryc. 1 pozycja 2). W stabilnej równowadze środek ciężkości ciała zajmuje najniższe ze wszystkich pobliskich położeń. Pozycja stabilna równowaga wiąże się z minimalną energią potencjalną w stosunku do wszystkich sąsiadujących ze sobą położeń ciała.

Równowaga ciała nazywana jest nietrwały, jeżeli przy najmniejszym odchyleniu od niej wypadkowa sił działających na ciało powoduje dalsze odchylenie ciała od położenia równowagi (rys. 1, poz. 1). W niestabilnej pozycji równowagi wysokość środka ciężkości jest maksymalna, a energia potencjalna jest maksymalna w stosunku do innych bliskich pozycji ciała.

Równowaga, w której przemieszczenie ciała w dowolnym kierunku nie powoduje zmiany działających na nie sił, a równowaga ciała zostaje zachowana, nazywa się obojętny(Rys. 1 pozycja 3).

Równowaga obojętna związana jest ze stałą energią potencjalną wszystkich stanów bliskich, a wysokość środka ciężkości jest taka sama we wszystkich wystarczająco bliskich pozycjach.

Ciało posiadające oś obrotu (na przykład jednolita linijka, która może obracać się wokół osi przechodzącej przez punkt O, pokazanej na rysunku 2) znajduje się w równowadze, jeśli pionowa linia prosta przechodząca przez środek ciężkości ciała przechodzi przez oś obrotu. Ponadto, jeżeli środek ciężkości C znajduje się wyżej od osi obrotu (rys. 2.1), to przy każdym odchyleniu od położenia równowagi energia potencjalna maleje, a moment ciężkości względem osi O odchyla ciało dalej od położenia równowagi pozycja równowagi. Jest to niestabilna pozycja równowagi. Jeśli środek ciężkości znajduje się poniżej osi obrotu (ryc. 2.2), wówczas równowaga jest stabilna. Jeżeli środek ciężkości i oś obrotu pokrywają się (ryc. 2,3), wówczas położenie równowagi jest obojętne.

Ciało posiadające powierzchnię podparcia znajduje się w równowadze, jeżeli linia pionowa przechodząca przez środek ciężkości ciała nie wychodzi poza powierzchnię podparcia tego ciała, tj. poza obrys utworzony przez punkty styku ciała z podporą. Równowaga w tym przypadku zależy nie tylko od odległości środka ciężkości od podpory (czyli od jej energii potencjalnej w polu grawitacyjnym Ziemi), ale także od lokalizacji i wielkości obszaru podparcia tego ciała.

Rysunek 2 przedstawia korpus w kształcie cylindra. Jeśli przechylisz go pod małym kątem, powróci do pozycja początkowa 1 lub 2. Jeśli zostanie pochylone pod kątem (pozycja 3), nadwozie się przewróci. Dla danej masy i powierzchni podparcia stabilność ciała jest tym większa, im niżej położony jest jego środek ciężkości, tj. im mniejszy jest kąt między linią prostą łączącą środek ciężkości ciała a skrajny punkt kontakt obszaru podparcia z płaszczyzną poziomą.

Wynika z tego, że jeśli suma geometryczna wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do ciała jest równa zeru, wówczas ciało znajduje się w spoczynku lub wykonuje pracę jednorodną ruch prostoliniowy. W tym przypadku zwyczajowo mówi się, że siły przyłożone do ciała równoważą się. Przy obliczaniu wypadkowej wszystkie siły działające na ciało można przyłożyć do środka masy.

Aby ciało niewirujące znajdowało się w równowadze, suma wszystkich sił działających na to ciało musi być równa zeru.

$(\overrightarrow(F))=(\overrightarrow(F_1))+(\overrightarrow(F_2))+...= 0$

Jeżeli ciało może obracać się wokół określonej osi, to dla jego równowagi nie wystarczy, aby wypadkowa wszystkich sił była równa zeru.

Efekt obrotowy siły zależy nie tylko od jej wielkości, ale także od odległości między linią działania siły a osią obrotu.

Długość prostopadłej poprowadzonej od osi obrotu do linii działania siły nazywa się ramieniem siły.

Iloczyn modułu siły $F$ i ramienia d nazywany jest momentem siły M. Momenty sił, które mają tendencję do obracania ciała w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, uważa się za dodatnie.

Zasada momentów: ciało o ustalonej osi obrotu znajduje się w równowadze, jeśli suma algebraiczna momenty wszystkich sił przyłożonych do ciała względem tej osi są równe zeru:

W przypadek ogólny, gdy ciało może poruszać się translacyjnie i obracać, dla równowagi konieczne jest spełnienie obu warunków: siła wypadkowa równa zeru i suma wszystkich momentów sił równa zeru. Obydwa te warunki nie są wystarczające do osiągnięcia pokoju.

Rysunek 1. Równowaga obojętna. Koło się toczy powierzchnia pozioma. Wypadkowa siła i moment sił są równe zeru

Przykładem równowagi obojętnej jest koło toczące się po poziomej powierzchni (rys. 1). Jeśli koło zatrzyma się w jakimkolwiek punkcie, będzie w równowadze. Oprócz równowagi obojętnej mechanika rozróżnia stany równowagi stabilnej i niestabilnej.

Stan równowagi nazywa się stabilnym, jeśli przy niewielkich odchyleniach ciała od tego stanu powstają siły lub momenty siły, które mają tendencję do przywracania ciała do stanu równowagi.

Przy niewielkim odchyleniu ciała od stanu niestabilnej równowagi powstają siły lub momenty siły, które mają tendencję do wyprowadzania ciała z położenia równowagi. Piłka leżąca na płaskiej, poziomej powierzchni znajduje się w stanie obojętnej równowagi.

Rysunek 2. Różne rodzaje równowaga piłki na podporze. (1) -- równowaga obojętna, (2) -- niestabilna równowaga, (3) -- równowaga stabilna

Przykładem równowagi niestabilnej jest kula znajdująca się w najwyższym punkcie kulistego występu. Ostatecznie kula znajdująca się na dnie kulistego wgłębienia znajduje się w stanie stabilnej równowagi (rys. 2).

W przypadku ciała o stałej osi obrotu możliwe są wszystkie trzy rodzaje równowagi. Równowaga obojętna występuje, gdy oś obrotu przechodzi przez środek masy. W równowadze stabilnej i niestabilnej środek masy leży na pionowej linii prostej przechodzącej przez oś obrotu. Ponadto, jeśli środek masy znajduje się poniżej osi obrotu, stan równowagi okazuje się stabilny. Jeżeli środek masy znajduje się powyżej osi, stan równowagi jest niestabilny (rys. 3).

Rysunek 3. Równowaga stabilna (1) i niestabilna (2) jednorodnego krążka kołowego zamocowanego na osi O; punkt C jest środkiem masy dysku; $(\overrightarrow(F))_t\ $-- grawitacja; $(\overrightarrow(F))_(y\ )$-- siła sprężystości osi; d – ramię

Szczególnym przypadkiem jest równowaga ciała na podporze. W tym przypadku sprężysta siła podporowa nie jest przykładana do jednego punktu, ale rozłożona na podstawie ciała. Ciało jest w równowadze, jeśli pionowa linia, pociągnięty przez środek masy ciała, przechodzi przez obszar podparcia, czyli wewnątrz konturu, utworzone przez liniełączenie punktów podparcia. Jeśli ta linia nie przecina obszaru podparcia, ciało przewraca się.

Problem 1

Płaszczyzna nachylona jest nachylona pod kątem 30o do poziomu (rys. 4). Znajduje się na nim ciało P, którego masa wynosi m = 2 kg. Tarcie można pominąć. Nitka przerzucona przez klocek tworzy kąt 45o równia pochyła. Przy jakim ciężarze ładunku Q ciało P będzie w równowadze?

Rysunek 4

Na ciało działają trzy siły: siła ciężkości P, naprężenie nici pod obciążeniem Q oraz siła sprężystości F od strony płaszczyzny naciskającej na nią w kierunku prostopadłym do tej płaszczyzny. Rozłóżmy siłę P na jej składowe: $\overrightarrow(P)=(\overrightarrow(P))_1+(\overrightarrow(P))_2$. Warunek $(\overrightarrow(P))_2=$ Dla równowagi, uwzględniając podwojenie siły przez poruszający się klocek, konieczne jest, aby $\overrightarrow(Q)=-(2\overrightarrow(P))_1$ . Stąd warunek równowagi: $m_Q=2m(sin \widehat((\overrightarrow(P))_1(\overrightarrow(P))_2)\ )$. Podstawiając wartości otrzymujemy: $m_Q=2\cdot 2(sin \left(90()^\circ -30()^\circ -45()^\circ \right)\ )=1,035\ kg$ .

Kiedy wieje wiatr, balon na uwięzi nie wisi nad punktem na Ziemi, do którego przymocowana jest lina (rys. 5). Naciąg liny wynosi 200 kg, kąt z pionem wynosi a=30$()^\circ$. Jaka jest siła parcia wiatru?

\[(\overrightarrow(F))_в=-(\overrightarrow(Т))_1;\ \ \ \ \left|(\overrightarrow(F))_в\right|=\left|(\overrightarrow(Т)) _1\right|=Тg(sin (\mathbf \alpha )\ )\] \[\left|(\overrightarrow(F))_в\right|=\ 200\cdot 9,81\cdot (sin 30()^\circ \ )=981\ N\]

« Fizyka – klasa 10”

Pamiętaj, co to jest moment siły.
W jakich warunkach ciało znajduje się w spoczynku?

Jeżeli ciało znajduje się w spoczynku względem wybranego układu odniesienia, to mówimy, że ciało to znajduje się w równowadze. Budynki, mosty, belki z podporami, części maszyn, książka na stole i wiele innych ciał pozostają w spoczynku, mimo że działają na nie siły z innych ciał. Zadanie badania warunków równowagi ciał ma ogromne znaczenie Praktyczne znaczenie w inżynierii mechanicznej, budownictwie, produkcji instrumentów i innych dziedzinach techniki. Wszystkie rzeczywiste ciała pod wpływem przyłożonych do nich sił zmieniają swój kształt i rozmiar lub, jak to się mówi, ulegają deformacji.

W wielu przypadkach spotykanych w praktyce odkształcenia ciał w stanie równowagi są nieznaczne. W takich przypadkach można pominąć odkształcenia i przeprowadzić obliczenia z uwzględnieniem bryły absolutnie trudne.

Dla zwięzłości będziemy nazywać ciało absolutnie sztywne ciało stałe lub po prostu ciało. Po przestudiowaniu warunków równowagi solidny, znajdziemy warunki równowagi prawdziwe ciała w przypadkach, gdy ich odkształcenia można pominąć.

Przypomnij sobie definicję ciała absolutnie sztywnego.

Dział mechaniki zajmujący się badaniem warunków równowagi ciał absolutnie sztywnych nazywa się statyczny.

W statyce uwzględnia się wielkość i kształt ciał, w tym przypadku istotna jest nie tylko wartość sił, ale także położenie punktów ich przyłożenia.

Najpierw dowiedzmy się, korzystając z praw Newtona, w jakich warunkach dowolne ciało będzie w równowadze. W tym celu rozłóżmy mentalnie całe ciało na duża liczba małe elementy, z których każdy można uznać za punkt materialny. Jak zwykle siły działające na ciało z innych ciał będziemy nazywać zewnętrznymi, a siły, z którymi oddziałują elementy samego ciała, wewnętrznymi (ryc. 7.1). Zatem siła 1,2 to siła działająca na element 1 z elementu 2. Siła 2,1 działa na element 2 z elementu 1. Są to siły wewnętrzne; obejmują one również siły 1.3 i 3.1, 2.3 i 3.2. Jest oczywiste, że suma geometryczna sił wewnętrznych jest równa zeru, ponieważ zgodnie z trzecim prawem Newtona

12 = - 21, 23 = - 32, 31 = - 13 itd.

Statyka - szczególny przypadek dynamiki, gdyż pozostałe ciała, gdy działają na nie siły, są szczególnym przypadkiem ruchu (= 0).

Ogólnie rzecz biorąc, na każdy element może oddziaływać kilka sił zewnętrznych. Przez 1, 2, 3 itd. będziemy rozumieć wszystkie siły zewnętrzne przyłożone odpowiednio do elementów 1, 2, 3, .... W ten sam sposób przez „1”, „2”, „3 itd. oznaczamy sumę geometryczną sił wewnętrznych przyłożonych odpowiednio do elementów 2, 2, 3,… (sił tych nie pokazano na rysunku), tj.

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... itd.

Jeśli ciało znajduje się w spoczynku, przyspieszenie każdego elementu wynosi zero. Dlatego zgodnie z drugim prawem Newtona suma geometryczna wszystkich sił działających na dowolny element również będzie równa zeru. Dlatego możemy napisać:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Każdy z tych trzy równania wyraża stan równowagi elementu ciała sztywnego.

Pierwszy warunek równowagi ciała sztywnego.

Zastanówmy się, jakie warunki muszą spełniać siły zewnętrzne przyłożone do ciała stałego, aby znajdowało się ono w równowadze. Aby to zrobić, dodajemy równania (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

W pierwszych nawiasach tej równości piszemy suma wektorowa wszystkie siły zewnętrzne przyłożone do ciała, a po drugie, suma wektorów wszystkich sił wewnętrznych działających na elementy tego ciała. Ale, jak wiadomo, suma wektorów wszystkich sił wewnętrznych układu jest równa zeru, ponieważ zgodnie z trzecim prawem Newtona dowolna wewnętrzna siła odpowiada sile równej jej wielkości i przeciwnej w kierunku. Zatem po lewej stronie ostatniej równości pozostanie jedynie suma geometryczna sił zewnętrznych przyłożonych do ciała:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

W przypadku ciała absolutnie sztywnego nazywa się warunek (7.2). pierwszy warunek jego równowagi.

Jest to konieczne, ale niewystarczające.

Jeśli więc ciało sztywne znajduje się w równowadze, to suma geometryczna przyłożonych do niego sił zewnętrznych jest równa zeru.

Jeżeli suma sił zewnętrznych wynosi zero, to suma rzutów tych sił na osie współrzędnych również wynosi zero. W szczególności dla rzutów sił zewnętrznych na oś OX możemy napisać:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Te same równania można zapisać dla rzutów sił na osie OY i OZ.

Drugi warunek równowagi ciała sztywnego.

Upewnijmy się, że warunek (7.2) jest konieczny, ale niewystarczający dla równowagi ciała sztywnego. Zastosujmy go do tablicy leżącej na stole w różne punkty dwie siły o równej wielkości i przeciwnie skierowane, jak pokazano na rysunku 7.2. Suma tych sił wynosi zero:

+ (-) = 0. Ale tablica nadal będzie się obracać. W ten sam sposób dwie siły o jednakowej wielkości i przeciwnych kierunkach obracają kierownicę roweru lub samochodu (ryc. 7.3).

Jaki inny warunek działania sił zewnętrznych, oprócz ich sumy równej zero, musi być spełniony, aby ciało sztywne znajdowało się w równowadze? Skorzystajmy z twierdzenia o zmianie energii kinetycznej.

Znajdźmy na przykład warunek równowagi dla pręta zawieszonego na osi poziomej w punkcie O (ryc. 7.4). To proste urządzenie, jak wiadomo z podstawowego kursu fizyki w szkole, jest dźwignią pierwszego rodzaju.

Niech siły 1 i 2 zostaną przyłożone do dźwigni prostopadle do pręta.

Oprócz sił 1 i 2 na dźwignię działa siła skierowana pionowo w górę normalna reakcja 3 od strony osi dźwigni. W równowadze dźwigni suma wszystkiego trzy siły jest równe zeru: 1 + 2 + 3 = 0.

Obliczmy pracę wykonaną przez siły zewnętrzne podczas obracania dźwigni o bardzo mały kąt α. Punkty przyłożenia sił 1 i 2 będą przemieszczać się po torach s 1 = BB 1 i s 2 = CC 1 (łuki BB 1 i CC 1 pod małymi kątami α można uznać za odcinki proste). Praca A 1 = F 1 s 1 siły 1 jest dodatnia, ponieważ punkt B porusza się w kierunku siły, a praca A 2 = -F 2 s 2 siły 2 jest ujemna, ponieważ punkt C przesuwa się w bok , przeciwny kierunek siły 2. Siła 3 nie wykonuje żadnej pracy, ponieważ punkt jej zastosowania nie porusza się.

Przebyte drogi s 1 i s 2 można wyrazić w postaci kąta obrotu dźwigni a, mierzonego w radianach: s 1 = α|VO| i s 2 = α|СО|. Biorąc to pod uwagę, przepiszmy wyrażenia na pracę w następujący sposób:

ZA 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
A 2 = -F 2 α|CO|.

Promienie BO i СО łuków kołowych opisanych punktami przyłożenia sił 1 i 2 są prostopadłymi obniżonymi od osi obrotu na linii działania tych sił

Jak już wiesz, ramię siły to najkrótsza odległość od osi obrotu do linii działania siły. Ramię siły oznaczymy literą d. Następnie |VO| = d 1 - ramię siły 1 i |СО| = d 2 - ramię siły 2. W tym przypadku wyrażenia (7.4) przyjmą formę

ZA 1 = F 1 αd 1, ZA 2 = -F 2 αd 2. (7,5)

Ze wzorów (7.5) jasno wynika, że ​​praca każdej siły jest równa iloczynowi momentu siły i kąta obrotu dźwigni. W związku z tym wyrażenia (7.5) na pracę można przepisać w postaci

ZA 1 = M 1 α, ZA 2 = M 2 α, (7.6)

A Praca na pełen etat siły zewnętrzne można wyrazić wzorem

ZA = ZA 1 + ZA 2 = (M 1 + M 2)α. α, (7,7)

Ponieważ moment siły 1 jest dodatni i równy M 1 = F 1 d 1 (patrz ryc. 7.4), a moment siły 2 jest ujemny i równy M 2 = -F 2 d 2, to dla pracy A mamy może napisać wyrażenie

A = (M 1 - |M 2 |)α.

Kiedy ciało zaczyna się poruszać, to energia kinetyczna wzrasta. Aby zwiększyć energię kinetyczną, siły zewnętrzne muszą wykonać pracę, tj. w tym przypadku A ≠ 0 i odpowiednio M 1 + M 2 ≠ 0.

Jeżeli praca wykonana przez siły zewnętrzne wynosi zero, wówczas energia kinetyczna ciała nie zmienia się (pozostaje równy zeru), a ciało pozostaje w bezruchu. Następnie

M 1 + M 2 = 0. (7.8)

Równanie (7 · 8) jest drugi warunek równowagi ciała sztywnego.

Kiedy ciało sztywne znajduje się w równowadze, suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na nie względem dowolnej osi jest równa zeru.

Tak na wszelki wypadek Jakikolwiek numer sił zewnętrznych, warunki równowagi dla ciała absolutnie sztywnego są następujące:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Drugi warunek równowagi można wyprowadzić z podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego. Zgodnie z tym równaniem, gdzie M jest całkowitym momentem sił działających na ciało, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε - przyspieszenie kątowe. Jeśli ciało sztywne jest nieruchome, to ε = 0, a zatem M = 0. Zatem drugi warunek równowagi ma postać M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.

Jeśli ciało nie jest całkowicie stałe, to pod działaniem przyłożonych do niego sił zewnętrznych może nie pozostać w równowadze, chociaż suma sił zewnętrznych i suma ich momentów względem dowolnej osi jest równa zeru.

Przyłóżmy na przykład do końcówek gumowego sznurka dwie siły o równej wielkości i skierowane wzdłuż sznurka przeciwne strony. Pod wpływem tych sił linka nie będzie w równowadze (linka zostanie rozciągnięta), chociaż suma sił zewnętrznych jest równa zeru i suma ich momentów względem osi przechodzącej przez dowolny punkt linki do zera.

RODZAJE RÓWNOWAGI

W statyce ciała absolutnie sztywnego wyróżnia się trzy rodzaje równowagi.

1. Rozważmy piłkę leżącą na wklęsłej powierzchni. W pozycji pokazanej na rys. 88, kula jest w równowadze: siła reakcji podpory równoważy siłę ciężkości .

Jeśli kula zostanie odchylona od położenia równowagi, wówczas suma wektorów sił ciężkości i reakcji podpory nie jest już równa zeru: powstaje siła , co ma tendencję do przywracania piłki do pierwotnej pozycji równowagi (do punktu O).

To jest przykład stabilnej równowagi.

S u t i a n Nazywa się ten rodzaj równowagi, po wyjściu powstają siły lub momenty sił, które mają tendencję do przywracania ciała do pozycji równowagi.

Energia potencjalna kuli w dowolnym punkcie wklęsłej powierzchni jest większa niż energia potencjalna w położeniu równowagi (w punkcie O). Na przykład w punkcie A(Rys. 88) energia potencjalna jest większa niż energia potencjalna w punkcie O według kwoty mi P ( A) - E n(0) = mgh.

W pozycji stabilnej równowagi energia potencjalna ciała ma minimalną wartość w porównaniu z sąsiednimi pozycjami.

2. Kula na wypukłej powierzchni znajduje się w położeniu równowagi w górnym punkcie (rys. 89), gdzie siła ciężkości równoważy się siłą reakcji podpory. Jeśli odbijesz piłkę od punktu O, wówczas pojawia się siła skierowana od położenia równowagi.

Pod wpływem siły piłka odsunie się od punktu O. Jest to przykład niestabilnej równowagi.

Nietrwały Ten rodzaj równowagi nazywany jest, po wyjściu, które powstają siły lub momenty sił, które mają tendencję do jeszcze większego oddalania ciała od pozycji równowagi.

Energia potencjalna kuli na wypukłej powierzchni wynosi najwyższa wartość(maksimum) w punkcie O. W każdym innym punkcie energia potencjalna piłki jest mniejsza. Na przykład w punkcie A(Rys. 89) energia potencjalna jest mniejsza niż w punkcie O, według kwoty mi P ( 0 ) - E p ( A) = mgh.

W pozycji niestabilnej równowagi energia potencjalna ciała ma maksymalna wartość w porównaniu z sąsiednimi stanowiskami.

3. Na poziomej powierzchni siły działające na piłkę równoważą się w dowolnym punkcie: (ryc. 90). Jeśli na przykład przesuniesz piłkę z punktu O Dokładnie A, a następnie wypadkowa siła
grawitacja i reakcja gruntu nadal wynoszą zero, tj. w punkcie A piłka również znajduje się w położeniu równowagi.

Jest to przykład równowagi obojętnej.

Obojętny Nazywa się ten rodzaj równowagi, po wyjściu z którego ciało pozostaje w nowej pozycji równowagi.

Energia potencjalna piłki we wszystkich punktach powierzchni poziomej (ryc. 90) jest taka sama.

W pozycjach równowagi obojętnej energia potencjalna jest taka sama.

Czasami w praktyce konieczne jest określenie rodzaju równowagi ciał różne kształty w polu grawitacyjnym. Aby to zrobić, musisz pamiętać następujące zasady:

1. Ciało może znajdować się w położeniu stabilnej równowagi, jeśli punkt przyłożenia siły reakcji podłoża znajduje się powyżej środka ciężkości ciała. Co więcej, punkty te leżą na tej samej pionie (ryc. 91).

Na ryc. 91, B Rolę siły reakcji podpory pełni siła naciągu nici.

2. Jeżeli punkt przyłożenia siły reakcji podłoża znajduje się poniżej środka ciężkości, możliwe są dwa przypadki:

Jeśli podpora ma charakter punktowy (powierzchnia podpory jest niewielka), wówczas równowaga jest niestabilna (ryc. 92). Przy niewielkim odchyleniu od położenia równowagi moment siły ma tendencję do zwiększania odchylenia pozycja początkowa;

Jeżeli podpora nie jest punktowa (powierzchnia podpory jest duża), wówczas położenie równowagi jest stabilne w przypadku, gdy linia działania ciężkości AA" przecina powierzchnię podpory ciała
(ryc. 93). W tym przypadku przy niewielkim odchyleniu ciała od położenia równowagi pojawia się moment siły i, który przywraca ciało do pierwotnego położenia.

??? ODPOWIEDZ NA PYTANIA:

1. Jak zmienia się położenie środka ciężkości ciała, jeśli ciało zostanie wyprowadzone z położenia: a) równowagi stabilnej? b) równowaga niestabilna?

2. Jak zmienia się energia potencjalna ciała, jeśli zmienia się jego położenie w równowadze obojętnej?