Aby poprawnie przedstawić prawa natury w fizyce, potrzebne są odpowiednie narzędzia matematyczne.
W geometrii i fizyce istnieją wielkości charakteryzujące się zarówno wartością liczbową, jak i kierunkiem.
Wskazane jest przedstawienie ich jako skierowanych segmentów lub wektory.
W kontakcie z
Wielkości te mają początek (oznaczony kropką) i koniec, oznaczony strzałką. Długość odcinka nazywa się (długością).
- prędkość;
- przyśpieszenie;
- puls;
- siła;
- za chwilę;
- wytrzymałość;
- poruszający;
- siła pola itp.
Współrzędne samolotu
Zdefiniujmy odcinek na płaszczyźnie skierowanej od punktu A (x1,y1) do punktu B (x2,y2). Jego współrzędne a (a1, a2) to liczby a1=x2-x1, a2=y2-y1.
Moduł oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa: 
Początek wektora zerowego pokrywa się z końcem. Współrzędne i długość wynoszą 0.
Suma wektorowa
Istnieć kilka zasad obliczania kwoty
- reguła trójkąta;
- reguła wielokąta;
- reguła równoległoboku.
Zasadę dodawania wektorów można wyjaśnić wykorzystując zagadnienia z dynamiki i mechaniki. Rozważmy dodawanie wektorów zgodnie z zasadą trójkąta na przykładzie sił działających na ciało punktowe i kolejnych ruchów ciała w przestrzeni.
Załóżmy, że ciało przemieszcza się najpierw z punktu A do punktu B, a następnie z punktu B do punktu C. Przemieszczenie końcowe to odcinek skierowany od punktu początkowego A do punktu końcowego C.
Wynik dwóch ruchów lub ich suma s = s1+ s2. Ta metoda nazywa się reguła trójkąta.
Strzałki są ułożone w łańcuch jedna po drugiej, w razie potrzeby wykonując równoległy transfer. Segment całkowity zamyka sekwencję. Jej początek zbiega się z początkiem pierwszego, koniec z końcem ostatniego. W zagranicznych podręcznikach metoda ta nazywa się „od ogona do głowy”.
Współrzędne wyniku c = a + b są równe sumie odpowiednich współrzędnych wyrazów c (a1+ b1, a2+ b2).
Sumę wektorów równoległych (współliniowych) określa także reguła trójkąta.
Jeśli dwa pierwotne odcinki są do siebie prostopadłe, to wynikiem ich dodania jest zbudowana na nich przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Długość sumy oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Przykłady:
- Prędkość ciała rzuconego poziomo wynosi prostopadły przyspieszenie swobodnego spadania.
- Przy jednostajnym ruchu obrotowym prędkość liniowa ciała jest prostopadła do przyspieszenia dośrodkowego.
Dodanie trzech lub więcej wektorów produkować wg reguła wielokąta, „od ogona do głowy”
Załóżmy, że na ciało punktowe działają siły F1 i F2.
Doświadczenie pokazuje, że łączny efekt tych sił jest równoważny działaniu jednej siły skierowanej wzdłuż przekątnej zbudowanego na nich równoległoboku. Ta wypadkowa siła jest równa ich sumie F = F1 + F 2. Nazywa się powyższą metodę dodawania reguła równoległoboku.
Długość w tym przypadku jest obliczana według wzoru
Gdzie θ jest kątem między bokami.
Zasady trójkąta i równoległoboku są wymienne. W fizyce częściej stosuje się regułę równoległoboku, ponieważ kierunkowe wielkości sił, prędkości i przyspieszeń są zwykle przyłożone do ciała jednopunktowego. W trójwymiarowym układzie współrzędnych obowiązuje zasada równoległościanu.
Elementy algebry
- Dodawanie jest operacją binarną: na raz można dodać tylko parę.
- Przemienność: suma z przegrupowania wyrazów nie zmienia się a + b = b + a. Wynika to jasno z reguły równoległoboku: przekątna jest zawsze taka sama.
- Łączność: suma dowolnej liczby wektorów nie zależy od kolejności ich dodawania (a + b) + c = a + (b + c).
- Sumowanie wektorem zerowym nie zmienia kierunku ani długości: a +0= a .
- Dla każdego wektora istnieje naprzeciwko. Ich suma jest równa zeru a +(-a)=0, a długości są takie same.
Mnożenie przez skalar
Wynikiem mnożenia przez skalar jest wektor.
Współrzędne iloczynu uzyskuje się poprzez pomnożenie przez skalar odpowiednich współrzędnych oryginału.
Skalar to wartość liczbowa ze znakiem plus lub minus, większa lub mniejsza niż jeden.
Przykłady wielkości skalarnych w fizyce:
- waga;
- czas;
- opłata;
- długość;
- kwadrat;
- tom;
- gęstość;
- temperatura;
- energia.
Przykład:
Praca jest iloczynem skalarnym siły i przemieszczenia A = Fs.
Macierz rozmiarów m na n.
Matryca rozmiar m na n jest zbiorem mn liczb rzeczywistych lub elementów innej struktury (wielomianów, funkcji itp.), zapisanych w formie prostokątnej tabeli, która składa się z m wierszy i n kolumn i przyjętych w formie okrągłej, prostokątnej lub podwójnej nawiasy proste. W tym przypadku same liczby nazywane są elementami macierzy, a każdy element jest powiązany z dwiema liczbami – numerem wiersza i numerem kolumny.Macierz o wymiarach n na n nazywa się macierzą kwadrat macierz n-tego rzędu, tj. liczba wierszy jest równa liczbie kolumn. Trójkątny - macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poniżej lub powyżej głównej przekątnej są równe zeru. Nazywa się to macierzą kwadratową przekątna , jeśli wszystkie jego elementy niediagonalne są równe zero. Skalarny macierz - macierz diagonalna, której główne elementy przekątne są równe. Szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej jest macierz tożsamości. Przekątna nazywa się macierz, w której wszystkie elementy przekątne są równe 1 pojedynczy macierz i jest oznaczona symbolem I lub E. Macierz, której wszystkie elementy są zerowe, nazywana jest macierzą zero macierz i jest oznaczona symbolem O.
Mnożenie macierzy A przez liczbę λ (symbol: λ A) polega na skonstruowaniu macierzy B, którego elementy otrzymuje się przez pomnożenie każdego elementu macierzy A przez tę liczbę, czyli każdy element macierzy B równa się
Własności mnożenia macierzy przez liczbę
1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
Dodawanie macierzy A + B jest operacją znajdowania macierzy C, którego wszystkie elementy są równe sumie parami wszystkich odpowiednich elementów macierzy A I B, czyli każdy element macierzy C równa się
Właściwości dodawania macierzy
5.przemienność) a+b=b+a
6. skojarzenie.
7.addycja z macierzą zerową;
8.istnienie macierzy przeciwnej (to samo tylko że przed każdą liczbą są minusy)
Mnożenie macierzy - istnieje operacja obliczania macierzy C, których elementy są równe sumie iloczynów elementów w odpowiednim wierszu pierwszego czynnika i kolumnie drugiego.
Liczba kolumn w macierzy A musi odpowiadać liczbie wierszy macierzy B. Jeśli macierz A ma wymiar, B- , a następnie wymiar ich produktu AB = C Jest .
Własności mnożenia macierzy
1. skojarzenie (patrz wyżej)
2. iloczyn nie jest przemienny;
3.iloczyn jest przemienny w przypadku mnożenia przez macierz jednostkową;
4.słuszność prawa rozdzielczego; A*(B+C)=A*B+A*C.
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej pierwszego i n-tego rzędu
Wyznacznikiem macierzy jest wielomian elementów macierzy kwadratowej (czyli takiej, w której liczba wierszy i kolumn jest równa
Określenie poprzez rozwinięcie w pierwszym rzędzie
Dla macierzy pierwszego rzędu wyznacznik jest jedynym elementem samej tej macierzy:
Dla macierzy wyznaczników definiuje się jako
W przypadku macierzy wyznacznik jest podawany rekurencyjnie:
, gdzie jest dodatkowym drugorzędnym elementem A 1J. Ta formuła nazywa się rozbudowa linii.
W szczególności wzór na obliczenie wyznacznika macierzy jest następujący:
= A 11 A 22 A 33 − A 11 A 23 A 32 − A 12 A 21 A 33 + A 12 A 23 A 31 + A 13 A 21 A 32 − A 13 A 22 A 31
Właściwości wyznaczników
Dodając liniową kombinację innych wierszy (kolumn) do dowolnego wiersza (kolumny), wyznacznik nie ulega zmianie.
§ Jeżeli dwa wiersze (kolumny) macierzy pokrywają się, to jej wyznacznik jest równy zeru.
§ Jeżeli dwa (lub kilka) wierszy (kolumn) macierzy jest liniowo zależnych, to jej wyznacznik jest równy zero.
§ Jeśli przestawisz dwa wiersze (kolumny) macierzy, to jej wyznacznik mnożysz przez (-1).
§ Wspólny czynnik elementów dowolnego szeregu wyznacznika można wyjąć ze znaku wyznacznika.
§ Jeżeli chociaż jeden wiersz (kolumna) macierzy ma wartość zero, to wyznacznik jest równy zero.
§ Suma iloczynów wszystkich elementów dowolnego rzędu przez ich uzupełnienia algebraiczne jest równa wyznacznikowi.
§ Suma iloczynów wszystkich elementów dowolnego szeregu przez uzupełnienia algebraiczne odpowiednich elementów szeregu równoległego jest równa zeru.
§ Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego rzędu jest równy iloczynowi ich wyznaczników (patrz także wzór Bineta-Cauchy'ego).
§ Stosując notację indeksową wyznacznik macierzy 3x3 można zdefiniować wykorzystując symbol Levi-Civita z zależności:
Odwrotna macierz.
Odwrotna macierz - taka matryca A-1, po pomnożeniu przez co oryginalna macierz A wyniki w macierzy tożsamości mi:
Warunkowy istnienie:
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest osobliwa, to znaczy jej wyznacznik nie jest równy zero. W przypadku macierzy niekwadratowych i macierzy osobliwych nie ma macierzy odwrotnych.
Formuła znalezienia
Jeśli macierz jest odwracalna, to aby znaleźć macierz odwrotną, można zastosować jedną z następujących metod:
a) Korzystanie z macierzy dodatków algebraicznych
C T- transponowana macierz dodatków algebraicznych;
Wynikowa macierz A−1 i będzie odwrotnością. Złożoność algorytmu zależy od złożoności algorytmu obliczania wyznacznika O det i jest równa O(n²)·O det.
Innymi słowy, macierz odwrotna jest równa jedności podzielonej przez wyznacznik macierzy pierwotnej i pomnożonej przez transponowaną macierz dodatków algebraicznych (moll jest mnożony przez (-1) do potęgi zajmowanej przestrzeni) elementy macierzy pierwotnej.
4. Układ równań liniowych. Rozwiązanie systemowe. Kompatybilność i niekompatybilność systemu. metoda macierzowa rozwiązywania układu n równań liniowych z n zmiennymi. Twierdzenie Krammera.
System M równania liniowe z N nieznany(Lub, układ liniowy) w algebrze liniowej jest układem równań postaci
 | (1) |
Tutaj X 1 , X 2 , …, x rz- niewiadome, które należy ustalić. A 11 , A 12 , …, miesiąc- współczynniki systemowe - i B 1 , B 2 , … b m Zakłada się, że - członkowie wolni - są znani. Wskaźniki współczynników ( ij) systemy oznaczają numery równań ( I) i nieznane ( J), przy którym stoi ten współczynnik, odpowiednio.
Nazywa się system (1). jednorodny, jeśli wszystkie jego wolne terminy są równe zero ( B 1 = B 2 = … = b m= 0), w przeciwnym razie - heterogeniczny.
Nazywa się system (1). kwadrat, jeśli liczba M równania równe liczbie N nieznany.
Rozwiązanie systemy (1) - kpl N liczby C 1 , C 2 , …, c n, tak że podstawienie każdego c ja zamiast x ja w układ (1) zamienia wszystkie swoje równania w tożsamości.
Nazywa się system (1). wspólny, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, oraz nie wspólne, jeśli nie ma jednego rozwiązania.
Układ łączony typu (1) może mieć jedno lub więcej rozwiązań.
Rozwiązania C 1 (1) , C 2 (1) , …, c n(1) i C 1 (2) , C 2 (2) , …, c n(2) nazywane są układy wspólne postaci (1). różny, jeżeli naruszona jest przynajmniej jedna z równości:
| C 1 (1) = C 1 (2) , C 2 (1) = C 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Forma macierzowa
Układ równań liniowych można przedstawić w postaci macierzowej jako:
AX = B.
Jeśli do macierzy A po prawej stronie dodana zostanie kolumna wolnych terminów, wówczas powstałą macierz nazywa się rozszerzoną.
Metody bezpośrednie
Metoda Cramera (reguła Cramera)- metoda rozwiązywania układów kwadratowych liniowych równań algebraicznych z niezerowym wyznacznikiem macierzy głównej (i dla takich równań istnieje unikalne rozwiązanie). Nazwany na cześć Gabriela Cramera (1704–1752), który wynalazł tę metodę.
Opis metody
Dla systemu N równania liniowe z N nieznany (w dowolnym polu)
przy wyznaczniku macierzy układu Δ różnym od zera rozwiązanie zapisuje się w postaci
(i-ta kolumna macierzy systemu zostaje zastąpiona kolumną wolnych terminów).
W innej formie regułę Cramera można sformułować następująco: dla dowolnych współczynników c 1, c 2, ..., c n zachodzi równość:
W tej postaci wzór Cramera obowiązuje bez założenia, że Δ jest różne od zera, nie jest nawet konieczne, aby współczynniki układu były elementami pierścienia całkowego (wyznacznikiem układu może być nawet dzielnik zera w pierścień współczynnikowy). Możemy również założyć, że albo zestawy B 1 ,B 2 ,...,b n I X 1 ,X 2 ,...,x rz lub zestaw C 1 ,C 2 ,...,c n składają się nie z elementów pierścienia współczynnikowego układu, ale z jakiegoś modułu znajdującego się nad tym pierścieniem.
5.Drobny k-tego rzędu. Ranga matrycy. Elementarne przekształcenia macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego o warunkach zgodności układu równań liniowych. Metoda eliminacji zmiennych (Gaussa) dla układu równań liniowych.
Drobny matryce A jest wyznacznikiem kwadratowej macierzy rzędu k(zwany także rządem tego molowego), którego elementy pojawiają się w macierzy A na przecięciu wierszy z liczbami i kolumn z liczbami.
Ranga system wierszy (kolumn) macierzy A Z M linie i N kolumny to maksymalna liczba niezerowych wierszy (kolumn).
Mówi się, że kilka wierszy (kolumn) jest liniowo niezależnych, jeśli żadnego z nich nie można wyrazić liniowo w odniesieniu do pozostałych. Ranga systemu wierszowego jest zawsze równa rangi systemu kolumnowego, a liczba ta nazywana jest rzędem macierzy.
Twierdzenie Kroneckera – Capellego (kryterium spójności układu liniowych równań algebraicznych) -
układ liniowych równań algebraicznych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy stopień jego macierzy głównej jest równy rządowi jej macierzy rozszerzonej (z wyrazami wolnymi), a układ ma jednoznaczne rozwiązanie, jeśli stopień jest równy liczbie niewiadomych i nieskończoną liczbę rozwiązań, jeśli stopień jest mniejszy niż liczba niewiadomych.
Metoda Gaussa - klasyczna metoda rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych (SLAE). Jest to metoda sekwencyjnej eliminacji zmiennych, gdy za pomocą elementarnych przekształceń układ równań sprowadza się do równoważnego układu o postaci schodkowej (lub trójkątnej), z którego wszystkie pozostałe zmienne znajdują się sekwencyjnie, zaczynając od ostatniej (przez liczba) zmiennych.
6. Segment skierowany i wektor. Podstawowe pojęcia algebry wektorowej. Suma wektorów i iloczyn wektora i liczby. Warunek koordynacji wektorów. Własności operacji liniowych na wektorach.
Operacje na wektorach
Dodatek
Operację dodawania wektorów geometrycznych można definiować na różne sposoby, w zależności od sytuacji i rodzaju rozważanych wektorów:
Dwa wektory ty, w i wektor ich sumy
Reguła trójkąta. Aby dodać dwa wektory i zgodnie z zasadą trójkąta, oba te wektory są przenoszone równolegle do siebie, tak aby początek jednego z nich pokrywał się z końcem drugiego. Następnie wektor sumy jest dany przez trzeci bok powstałego trójkąta, a jego początek pokrywa się z początkiem pierwszego wektora, a jego koniec z końcem drugiego wektora.
Reguła równoległoboku. Aby dodać dwa wektory i zgodnie z zasadą równoległoboku, oba te wektory są przenoszone równolegle do siebie, tak aby ich początki pokrywały się. Następnie wektor sumy jest dany przez przekątną zbudowanego na nich równoległoboku, zaczynając od ich wspólnego początku.
Oraz moduł (długość) wektora sumy 
określane przez twierdzenie cosinus, gdzie jest kątem między wektorami, gdy początek jednego pokrywa się z końcem drugiego. Obecnie stosuje się również wzór - kąt między wektorami wychodzącymi z jednego punktu.
Grafika wektorowa
Grafika wektorowa wektor po wektorze to wektor spełniający następujące wymagania:
Właściwości wektora C
§ długość wektora jest równa iloczynowi długości wektorów i sinusa kąta φ między nimi
§ wektor jest ortogonalny do każdego z wektorów i
§ kierunek wektora C wyznacza reguła Buravchika
Właściwości produktu wektorowego:
1. Podczas przestawiania czynników iloczyn wektorowy zmienia znak (przeciwprzemienność), tj. 
2. Iloczyn wektorowy ma właściwość łączenia w odniesieniu do współczynnika skalarnego, to znaczy
3. Iloczyn wektorowy ma właściwość rozkładu:
Podstawa i układ współrzędnych na płaszczyźnie i w przestrzeni. Rozkład wektora według bazy. Podstawa ortonormalna i prostokątny kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie i w przestrzeni. Współrzędne wektora i punktu na płaszczyźnie i w przestrzeni. Rzuty wektora na osie współrzędnych.
Podstawa (starożytne greckie βασις, podstawa) - zbiór wektorów w przestrzeni wektorowej taki, że dowolny wektor w tej przestrzeni można jednoznacznie przedstawić jako liniową kombinację wektorów z tego zbioru - wektory bazowe.
Często wygodnie jest wybrać długość (normę) każdego wektora bazowego, który ma być jednostką, taka baza nazywa się znormalizowany.
Reprezentacja określonego (dowolnego) wektora przestrzeni jako liniowa kombinacja wektorów bazowych (suma wektorów bazowych przez współczynniki liczbowe), na przykład
lub używając znaku sumy Σ:
zwany rozwinięcie tego wektora na tej podstawie.
Współrzędne wektora i punktu na płaszczyźnie i w przestrzeni.
Współrzędna punktu A na osi x jest liczbą równą w wartości bezwzględnej długości odcinka OAx: dodatnią, jeśli punkt A leży na dodatniej osi x, i ujemną, jeśli leży na ujemnej półosi.
Wektor jednostkowy lub wektor jednostkowy to wektor, którego długość jest równa jedności i który jest skierowany wzdłuż dowolnej osi współrzędnych.
Następnie projekcja wektorowa AB na osi l jest różnicą x1 – x2 pomiędzy współrzędnymi rzutów końca i początku wektora na tę oś.
8.Cosinusy długości i kierunku wektora, zależność między cosinusami kierunku. Wektor Ortha. Współrzędne są sumą wektorów, iloczynem wektora i liczby.
Długość wektora określa się ze wzoru
Kierunek wektora wyznaczają utworzone przez niego kąty α, β, γ z osiami współrzędnych Ox, Oy, Oz. Cosinusy tych kątów (tzw wektor cosinusów kierunku
) oblicza się za pomocą wzorów: 
Wektor jednostkowy Lub ort (wektor jednostkowy znormalizowanej przestrzeni wektorowej) jest wektorem, którego norma (długość) jest równa jeden.
Wektor jednostkowy współliniowy z danym (wektor znormalizowany) wyznacza się ze wzoru
Jako wektory bazowe często wybiera się wektory jednostkowe, ponieważ upraszcza to obliczenia. Takie zasady nazywane są znormalizowany. Jeśli te wektory są również ortogonalne, bazę taką nazywamy bazą ortonormalną.
Współrzędne współliniowy
Współrzędne równy
Współrzędne wektor sumy dwa wektory spełniają zależności:
Współrzędne współliniowy wektory spełniają zależność:
Współrzędne równy wektory spełniają zależności:
Suma wektora dwa wektory:
Suma kilku wektorów:
Iloczyn wektora i liczby:
Iloczyn krzyżowy wektorów. Geometryczne zastosowania iloczynu krzyżowego. Warunek kolinearności wektorów. Właściwości algebraiczne produktu mieszanego. Wyrażanie iloczynu wektorowego poprzez współrzędne czynników.
Iloczyn krzyżowy wektora a wektor b nazywany jest wektorem c, który:
1. Prostopadłe do wektorów a i b, czyli c^a i c^b;
2. Ma długość liczbowo równą polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b jako bokach (patrz ryc. 17), tj.
3.Wektory a, b i c tworzą trójkę prawoskrętną.
Zastosowania geometryczne:
Ustalanie kolinearności wektorów
Znalezienie pola równoległoboku i trójkąta
Zgodnie z definicją iloczynu wektorów A oraz b |a xb | =|a| * |b |śpiewać, tj. S par = |a x b |. A zatem DS =1/2|a x b |.
Wyznaczanie momentu siły względem punktu
Z fizyki wiadomo, że moment siły F względem punktu O zwany wektorem M, który przechodzi przez punkt O I:
1) prostopadle do płaszczyzny przechodzącej przez punkty O, A, B;
2) liczbowo równy iloczynowi siły na ramię
3) tworzy prawą trójkę z wektorami OA i A B.
Dlatego M = OA x F.
Znalezienie liniowej prędkości obrotowej
Prędkość v punktu M ciała sztywnego obracającego się z prędkością kątową w wokół ustalonej osi wyznacza się ze wzoru Eulera v = w xr, gdzie r = OM, gdzie O jest pewnym stałym punktem osi (patrz rys. 21).
Warunek kolinearności wektorów - warunkiem koniecznym i wystarczającym kolinearności niezerowego wektora i wektora jest istnienie liczby spełniającej równość.
Właściwości algebraiczne produktu mieszanego
Iloczyn mieszany wektorów nie zmienia się, gdy czynniki są przestawiane kołowo i zmienia znak na przeciwny, gdy dwa czynniki są zamieniane, przy zachowaniu swojego modułu.
Znak mnożenia wektora „ ” wewnątrz iloczynu mieszanego można umieścić pomiędzy dowolnymi jego czynnikami.
Iloczyn mieszany jest dystrybutywny ze względu na którykolwiek ze swoich czynników: (na przykład) jeśli , to
Wyrażanie iloczynu krzyżowego we współrzędnych
prawy układ współrzędnych
lewy układ współrzędnych
12.Mieszany iloczyn wektorów. Znaczenie geometryczne iloczynu mieszanego, warunek współpłaszczyznowości wektorów. Właściwości algebraiczne produktu mieszanego. Wyrażanie iloczynu mieszanego poprzez współrzędne czynników.
Mieszany Iloczyn uporządkowanej trójki wektorów (a,b,c) jest iloczynem skalarnym pierwszego wektora oraz iloczynem wektorowym drugiego i trzeciego wektora.
Właściwości algebraiczne iloczynu wektorowego
Antyprzemienność
Łączność w odniesieniu do mnożenia przez skalar
Rozdzielność przez dodanie
Tożsamość Jacobiego. Działa w R3 i przerywa w R7
Iloczyny wektorów bazowych znajdują się z definicji
Wniosek
gdzie są współrzędne zarówno wektora kierunkowego linii, jak i współrzędnych punktu należącego do linii.
Wektor normalny linii w płaszczyźnie. Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora. Ogólne równanie prostej. Równania prostej ze współczynnikiem kątowym. Względne położenie dwóch prostych na płaszczyźnie
Normalna wektorem linii jest dowolny niezerowy wektor prostopadły do tej linii.
- równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora
Topór + Wu + C = 0- ogólne równanie prostej.
Równanie liniowe postaci y=kx+b
zwany równanie prostej ze spadkiem, a współczynnik k nazywany jest nachyleniem tej linii.
Twierdzenie. W równaniu prostej o nachyleniu y=kx+b
współczynnik kątowy k jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi odciętej:
Wzajemne porozumienie:
– ogólne równania dwóch prostych na płaszczyźnie współrzędnych Oxy. Następnie
1) jeśli , to linie pokrywają się;
2) jeśli , to proste i równoległe;
3) jeśli , to linie przecinają się.
Dowód . Warunek jest równoważny współliniowości wektorów normalnych danych prostych:
Dlatego jeśli , to linie proste przecinać.
Jeśli 
, wtedy , , a równanie prostej ma postać:
Lub 
, tj. prosty mecz. Należy zauważyć, że współczynnik proporcjonalności wynosi , w przeciwnym razie wszystkie współczynniki równania ogólnego byłyby równe zeru, co jest niemożliwe.
Jeśli linie nie pokrywają się i nie przecinają, sprawa pozostaje, tj. prosty równoległy.
Równanie prostej w odcinkach
Jeżeli w ogólnym równaniu prostej Ах + Ву + С = 0 С≠0, to dzieląc przez –С, otrzymujemy: lub , gdzie
Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik A jest współrzędną punktu przecięcia linii z osią Wółu, oraz B– współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.
Równanie normalne linii
Jeżeli obie strony równania Ax + By + C = 0 podzielimy przez liczbę tzw czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
normalne równanie linii.
Znak ± współczynnika normalizującego należy tak dobrać, aby μ ? Z< 0.
p jest długością prostopadłej obniżonej od początku do prostej, a φ jest kątem utworzonym przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Ox.
C Należy zauważyć, że nie każdą linię można przedstawić za pomocą równania w odcinkach, na przykład linie równoległe do osi lub przechodzące przez początek.
17. Elipsa. Równanie kanoniczne elipsy. Właściwości geometryczne i budowa elipsy. Specjalne warunki.
Elipsa - miejsce punktów M Płaszczyzna euklidesowa, dla której suma odległości do dwóch danych punktów F 1 i F 2 (zwane ogniskami) jest stałe i większe od odległości pomiędzy ogniskami, czyli | F 1 M | + | F 2 M | = 2A, i | F 1 F 2 | < 2A.
Równanie kanoniczne
Dla dowolnej elipsy można znaleźć kartezjański układ współrzędnych taki, że elipsę opisuje równanie (równanie kanoniczne elipsy):
Opisuje elipsę wyśrodkowaną w początku układu współrzędnych, której osie pokrywają się z osiami współrzędnych.
Budowa: 1) Korzystanie z kompasu
2) Dwie sztuczki i rozciągnięta nić
3) Elipsograf (Elipsograf składa się z dwóch suwaków, które mogą poruszać się po dwóch prostopadłych rowkach lub prowadnicach. Suwaki są przymocowane do pręta za pomocą zawiasów i znajdują się w stałej odległości od siebie wzdłuż pręta. Suwaki przesuwają się do przodu i do tyłu - każdy wzdłuż własnego rowka, - a koniec pręta opisuje elipsę na płaszczyźnie. Półosie elipsy a i b reprezentują odległości od końca pręta do zawiasów na suwakach. Zwykle odległości aib można zmieniać, a co za tym idzie zmieniać kształt i wymiary opisywanej elipsy)
Ekscentryczność charakteryzuje wydłużenie elipsy. Im mimośród jest bliższy zeru, tym bardziej elipsa przypomina okrąg i odwrotnie, im mimośród jest bliższy jedności, tym jest bardziej wydłużona.
Parametr ogniskowy
Równanie kanoniczne
18.Hiperbola. Równania kanoniczne hiperboli. Właściwości geometryczne i konstrukcja hiperboli. Specjalne warunki
Hiperbola(starożytny grecki ὑπερβολή, od starogreckiego βαλειν - „rzut”, ὑπερ - „nad”) - miejsce punktów M Płaszczyzna euklidesowa, dla której wartość bezwzględna różnicy odległości M do dwóch wybranych punktów F 1 i F 2 (zwane ogniskami) stale. Dokładniej,
Ponadto | F 1 F 2 | > 2A > 0.
Stosunki
Dla charakterystyk zdefiniowanych powyżej hiperboli podlegają one następującym zależnościom
2. Kierownice hiperboli są oznaczone liniami o podwójnej grubości i są wskazane D 1 i D 2. Ekscentryczność ε równy stosunkowi odległości punktów P na hiperboli do ogniska i odpowiedniej kierownicy (pokazanej na zielono). Wierzchołki hiperboli oznaczono jako ± A. Parametry hiperboli oznaczają:
A- odległość od centrum C do każdego z wierzchołków
B- długość prostopadłej opuszczonej z każdego z wierzchołków do asymptot
C- odległość od centrum C do któregokolwiek z punktów skupienia, F 1 i F 2 ,
θ jest kątem utworzonym przez każdą z asymptot i osią narysowaną pomiędzy wierzchołkami.
Nieruchomości
§ Dla dowolnego punktu leżącego na hiperboli stosunek odległości od tego punktu do ogniska do odległości od tego samego punktu do kierownicy jest wartością stałą.
§ Hiperbola ma symetrię lustrzaną względem osi rzeczywistych i urojonych, a także symetrię obrotową po obróceniu o kąt 180° wokół środka hiperboli.
§ Każda hiperbola ma hiperbola sprzężona, dla którego osie rzeczywista i urojona zamieniają się miejscami, ale asymptoty pozostają takie same. Odpowiada to zamiennikowi A I B jedna na drugiej we wzorze opisującym hiperbolę. Hiperbola sprzężona nie jest wynikiem obrotu pierwotnej hiperboli o kąt 90°; obie hiperbole różnią się kształtem.
19. Parabola. Równanie kanoniczne paraboli. Właściwości geometryczne i konstrukcja paraboli. Specjalne warunki.
Parabola - miejsce geometryczne punktów w jednakowej odległości od danej prostej (zwanej kierownicą paraboli) i danego punktu (zwanego ogniskiem paraboli).
Równanie kanoniczne paraboli w prostokątnym układzie współrzędnych:
(lub jeśli zamienisz osie).
Nieruchomości
§ 1. Parabola jest krzywą drugiego rzędu.
§ 2. Posiada oś symetrii zwaną oś paraboli. Oś przechodzi przez ognisko i jest prostopadła do kierownicy.
§ 3Właściwość optyczna. Wiązka promieni równoległa do osi paraboli, odbita w paraboli, jest zbierana w jej ognisku. I odwrotnie, światło ze źródła znajdującego się w ognisku jest odbijane przez parabolę w wiązkę promieni równoległą do jej osi.
§ 4W przypadku paraboli ognisko znajduje się w punkcie (0,25; 0).
W przypadku paraboli ognisko znajduje się w punkcie (0; f).
§ 5. Jeżeli ognisko paraboli odbija się względem stycznej, to jej obraz będzie leżał na kierownicy.
§ 6 Parabola jest antypodą prostej.
§ Wszystkie parabole są podobne. Odległość między ogniskiem a kierownicą określa skalę.
§ 7. Kiedy parabola obraca się wokół osi symetrii, otrzymuje się paraboloidę eliptyczną.
Kierownica paraboli
Promień ogniskowy
20.Normalny wektor płaszczyzny. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt jest prostopadłe do zadanego wektora. Ogólne równanie płaszczyzny, szczególny przypadek ogólnego równania płaszczyzny. Równanie wektorowe płaszczyzny. Względne położenie dwóch płaszczyzn.
Samolot- jedno z podstawowych pojęć geometrii. W systematycznym przedstawianiu geometrii pojęcie płaszczyzny przyjmuje się zwykle jako jedno z pojęć początkowych, które jedynie pośrednio wyznaczają aksjomaty geometrii.
Równanie płaszczyzny przez punkt i wektor normalny
W formie wektorowej
We współrzędnych
Kąt między płaszczyznami
Szczególne przypadki ogólnego równania płaszczyzny.
Studiując różne gałęzie fizyki, mechaniki i nauk technicznych, spotyka się wielkości, które można całkowicie określić poprzez podanie ich wartości liczbowych. Takie ilości nazywane są skalarny lub, w skrócie, skalary.
Ilościami skalarnymi są długość, powierzchnia, objętość, masa, temperatura ciała itp. Oprócz wielkości skalarnych w różnych zadaniach występują wielkości, dla których oprócz wartości liczbowej konieczna jest także znajomość ich kierunku. Takie ilości nazywane są wektor. Fizycznymi przykładami wielkości wektorowych mogą być przemieszczenie punktu materialnego poruszającego się w przestrzeni, prędkość i przyspieszenie tego punktu, a także działająca na niego siła.
Wielkości wektorowe są reprezentowane za pomocą wektorów.
Definicja wektora. Wektor jest skierowanym odcinkiem linii prostej o określonej długości.
Wektor charakteryzuje się dwoma punktami. Jeden punkt jest punktem początkowym wektora, drugi punkt jest punktem końcowym wektora. Jeśli oznaczymy początek wektora kropką A , a końcem wektora jest punkt W , wówczas oznacza się sam wektor . Wektor można również oznaczyć jedną małą literą łacińską z kreską nad nią (na przykład ).
Graficznie wektor jest oznaczony segmentem ze strzałką na końcu.
Nazywa się początek wektora jego punkt zastosowania. Jeśli chodzi o A jest początkiem wektora , wtedy powiemy, że wektor jest zastosowany w punkcie A.
Wektor charakteryzuje się dwiema wielkościami: długością i kierunkiem.
Długość wektora – odległość między punktem początkowym A a punktem końcowym B. Inną nazwą długości wektora jest moduł wektora i jest oznaczony symbolem . Oznacza się moduł wektorowy Wektor , którego długość wynosi 1, nazywa się wektorem jednostkowym. Oznacza to, że warunek wektora jednostkowego
Wektor o zerowej długości nazywany jest wektorem zerowym (oznaczony przez ). Oczywiście wektor zerowy ma ten sam punkt początkowy i końcowy. Wektor zerowy nie ma określonego kierunku.
Definicja wektorów współliniowych. Wektory i znajdujące się na tej samej linii lub na liniach równoległych nazywane są współliniowymi .
Należy pamiętać, że wektory współliniowe mogą mieć różne długości i różne kierunki.
Wyznaczanie wektorów równych. Mówi się, że dwa wektory są równe, jeśli są współliniowe, mają tę samą długość i ten sam kierunek.
W tym przypadku piszą:
Komentarz. Z definicji równości wektorów wynika, że wektor można przenieść równolegle umieszczając jego początek w dowolnym punkcie przestrzeni (w szczególności na płaszczyźnie).
Wszystkie wektory zerowe uważa się za równe.
Wyznaczanie przeciwnych wektorów. Dwa wektory nazywane są przeciwnymi, jeśli są współliniowe, mają tę samą długość, ale przeciwny kierunek.
W tym przypadku piszą:
Innymi słowy, wektor przeciwny do wektora jest oznaczony jako .