Punktet beveger seg i en rett linje. Jeg

Poenget beveger seg rettlinjet i henhold til loven S = t 4 +2t (S - i meter, t- på sekunder). Finn dens gjennomsnittlige akselerasjon i intervallet mellom øyeblikkene t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, så vel som dens sanne akselerasjon for øyeblikket t 3 = 6 s.

Løsning.

1. Finn hastigheten til punktet som den deriverte av banen S i forhold til tid t, de.

2. Ved å erstatte i stedet for t verdiene t 1 = 5 s og t 2 = 7 s, finner vi hastighetene:

V1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Bestem hastighetsøkningen ΔV for tiden Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Dermed vil gjennomsnittlig akselerasjon av punktet være lik

5. For å bestemme den sanne verdien av akselerasjonen til et punkt, tar vi den deriverte av hastigheten med hensyn til tid:

6. Erstatter i stedet t verdi t 3 = 6 s, får vi akselerasjon på dette tidspunktet

a av =12-63 =432 m/s2.

Kurvilineær bevegelse. På krumlinjet bevegelse hastigheten til et punkt endres i størrelse og retning.

La oss forestille oss et poeng M, som i løpet av tiden Δt, beveger seg langs noen krumlinjet bane, flyttet til posisjon M 1(Fig. 6).

Hastighetsøkning (endring) vektor ΔV vil

Til for å finne vektoren ΔV, flytt vektoren V 1 til punktet M og konstruer en hastighetstrekant. La oss bestemme vektoren for gjennomsnittlig akselerasjon:

Vektor en ons er parallell med vektoren ΔV, siden man deler vektoren med skalær mengde retningen til vektoren endres ikke. Den sanne akselerasjonsvektoren er grensen til hvilken forholdet mellom hastighetsvektoren og det tilsvarende tidsintervallet Δt tenderer til null, dvs.

Denne grensen kalles vektorderivatet.

Dermed, den sanne akselerasjonen til et punkt under krumlinjet bevegelse er lik vektorderiverten med hensyn til hastighet.

Fra fig. 6 er det klart at akselerasjonsvektoren under krumlinjet bevegelse er alltid rettet mot konkaviteten til banen.

For å lette beregningene dekomponeres akselerasjon i to komponenter til bevegelsesbanen: langs en tangent, kalt tangentiell (tangensiell) akselerasjon EN, og langs normalen, kalt normal akselerasjon a n (fig. 7).

I dette tilfellet vil den totale akselerasjonen være lik

Tangentiell akselerasjon faller sammen i retning med punktets hastighet eller er motsatt av det. Den karakteriserer endringen i hastighet og bestemmes følgelig av formelen

Normal akselerasjon er vinkelrett på retningen til punktets hastighet, og numerisk verdi det bestemmes av formelen

hvor r - krumningsradius for banen på det aktuelle punktet.

Siden tangentiell og normal akselerasjon er gjensidig vinkelrett, bestemmes derfor verdien av den totale akselerasjonen av formelen

og dens retning

Hvis , så rettes den tangentielle akselerasjons- og hastighetsvektorene i én retning og bevegelsen vil akselereres.

Hvis , så er den tangentielle akselerasjonsvektoren rettet til siden, motsatt av vektoren hastighet og bevegelsen vil være sakte.

Vektor normal akselerasjon alltid rettet mot krumningssenteret, og det er derfor det kalles sentripetal.

Fysisk betydning derivat. Unified State Exam i matematikk inkluderer en gruppe problemer for å løse som krever kunnskap og forståelse av den fysiske betydningen av derivatet. Spesielt er det problemer der bevegelsesloven til et bestemt punkt (objekt) er gitt, uttrykt ved ligningen og du må finne hastigheten på et bestemt bevegelsestidspunkt, eller tiden etter at objektet vil oppnå en viss gitt hastighet.Oppgavene er veldig enkle, de kan løses i én handling. Så:

La bevegelsesloven være gitt materiell poeng x(t) sammen koordinataksen, hvor x er koordinaten til det bevegelige punktet, er t tid.

Hastighet på et bestemt tidspunkt er den deriverte av koordinaten med hensyn til tid. Dette er hva mekanisk sans derivat.

På samme måte er akselerasjon den deriverte av hastighet med hensyn til tid:

Dermed er den fysiske betydningen av derivatet hastighet. Dette kan være bevegelseshastigheten, endringshastigheten til en prosess (for eksempel vekst av bakterier), hastigheten på arbeidet som utføres (og så videre, anvendte problemer en haug med).

I tillegg må du kjenne den deriverte tabellen (du må kunne den akkurat som multiplikasjonstabellen) og reglene for differensiering. Spesifikt, for å løse de spesifiserte problemene, er kunnskap om de seks første derivatene nødvendig (se tabell):

La oss vurdere oppgavene:

x (t) = t 2 – 7t – 20

hvor x t er tiden i sekunder målt fra begynnelsen av bevegelsen. Finn hastigheten (i meter per sekund) til tiden t = 5 s.

Den fysiske betydningen av et derivat er hastighet (bevegelseshastighet, endringshastighet av en prosess, hastighet på arbeidet, etc.)

La oss finne loven om hastighetsendring: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Ved t = 5 har vi:

Svar: 3

Bestem selv:

Materialpunktet beveger seg rettlinjet i henhold til loven x (t) = 6t 2 – 48t + 17, hvor x- avstand fra referansepunktet i meter, t- tid i sekunder målt fra starten av bevegelsen. Finn hastigheten (i meter per sekund) til tiden t = 9 s.

Materialpunktet beveger seg rettlinjet i henhold til loven x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, hvor xt- tid i sekunder målt fra starten av bevegelsen. Finn hastigheten (i meter per sekund) til tiden t = 6 s.

Et materiell punkt beveger seg rettlinjet i henhold til loven

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Hvor x- avstand fra referansepunktet i meter,t- tid i sekunder målt fra starten av bevegelsen. Finn hastigheten (i meter per sekund) til tiden t = 3 s.

Et materiell punkt beveger seg rettlinjet i henhold til loven

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

der x er avstanden fra referansepunktet i meter, t er tiden i sekunder, målt fra begynnelsen av bevegelsen. På hvilket tidspunkt (i sekunder) var hastigheten lik 6 m/s?

La oss finne loven om hastighetsendring:

For å finne på hvilket tidspunktthastigheten var 3 m/s, det er nødvendig å løse ligningen:

Svar: 3

Bestem selv:

Materialpunktet beveger seg rettlinjet i henhold til loven x (t) = t 2 – 13t + 23, hvor x- avstand fra referansepunktet i meter, t- tid i sekunder målt fra starten av bevegelsen. På hvilket tidspunkt (i sekunder) var hastigheten lik 3 m/s?

Et materiell punkt beveger seg rettlinjet i henhold til loven

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Hvor x- avstand fra referansepunktet i meter, t- tid i sekunder målt fra starten av bevegelsen. På hvilket tidspunkt (i sekunder) var hastigheten lik 2 m/s?

Jeg vil merke at du ikke bare bør fokusere på denne typen oppgaver på Unified State Exam. De kan helt uventet introdusere problemer som er det motsatte av de som presenteres. Når loven om hastighetsendring er gitt og spørsmålet vil handle om å finne bevegelsesloven.

Hint: i dette tilfellet må du finne integralet til hastighetsfunksjonen (dette er også et ett-trinns problem). Hvis du trenger å finne avstanden tilbakelagt på et bestemt tidspunkt, må du erstatte tid i den resulterende ligningen og beregne avstanden. Imidlertid vil vi også analysere slike problemer, ikke gå glipp av det!Jeg ønsker deg suksess!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

− Lærer Dumbadze V.A.
fra skole 162 i Kirov-distriktet i St. Petersburg.

Vår VKontakte-gruppe
Mobilapplikasjoner:

(Hvor x t- tid i sekunder målt fra begynnelsen av bevegelsen). Finn hastigheten (i m/s) på tidspunktet t= 9 s.

På t= 9 s vi har:

Hvorfor utelater vi tallet 17 fra den opprinnelige ligningen?

finn den deriverte av den opprinnelige funksjonen.

det er ingen tall 17 i den deriverte

Hvorfor finne den deriverte?

Hastighet er den deriverte av en koordinat i forhold til tid.

Problemet ber deg finne hastigheten

x- avstand fra referansepunktet i meter, t- tid i sekunder målt fra begynnelsen av bevegelsen). Finn hastigheten i (m/s) på tidspunktet t= 6 s.

La oss finne loven om hastighetsendring:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, ikke 20

husk prosedyren

Siden når er addisjon å foretrekke fremfor subtraksjon?

Multiplikasjon har forrang over addisjon og subtraksjon. Husk barnas skoleeksempel: 2 + 2 · 2. La meg minne deg på at her blir det ikke 8, som noen tror, men 6.

Du forsto ikke gjestens svar.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Så alt er riktig, gjør regnestykket selv.

2) multiplikasjon/divisjon (avhengig av rekkefølgen i ligningen; det som kommer først løses først);

3) addisjon/subtraksjon (tilsvarende avhenger av rekkefølgen i eksemplet).

Multiplikasjon = divisjon, addisjon = subtraksjon =>

Ikke 54 - (36+2), men 54-36+2 = 54+2-36 = 20

For det første for deg - Sergei Batkovich. For det andre, forsto du hva du ville si og til hvem? Jeg forstod deg ikke.

Et materialpunkt beveger seg rettlinjet i henhold til loven (der x er avstanden fra referansepunktet i meter, t er tiden i sekunder målt fra begynnelsen av bevegelsen). Finn hastigheten i (m/s) til tiden s.

La oss finne loven om hastighetsendring: m/s. Når vi har:

Leksjon om temaet: «Differensieringsregler», 11. klasse

Seksjoner: Matematikk

Leksjonstype: generalisering og systematisering av kunnskap.

Leksjonens mål:

pedagogisk:
- generalisere og systematisere materialet om emnet å finne den deriverte;
- konsolidere reglene for differensiering;
- avsløre for studentene den polytekniske og anvendte betydningen av emnet;
utvikle:
- utøve kontroll over tilegnelse av kunnskap og ferdigheter;
- utvikle og forbedre evnen til å anvende kunnskap i en endret situasjon;
- utvikle en talekultur og evnen til å trekke konklusjoner og generalisere;
pedagogisk:
- utvikle den kognitive prosessen;
- Å innpode studentene nøyaktighet i design og besluttsomhet.

Utstyr:

overhead projektor, skjermen;
kort;
datamaskiner;
bord;
differensierte oppgaver i form av multimediapresentasjoner.

I. Sjekke lekser.

1. Lytt til elevrapporter om eksempler på bruk av derivater.

2. Vurder eksempler på bruk av derivater innen fysikk, kjemi, ingeniørfag og andre felt foreslått av studenter.

II. Oppdatering av kunnskap.

Lærer:

Definer den deriverte av en funksjon.
Hvilken operasjon kalles differensiering?
Hvilke differensieringsregler brukes ved beregning av den deriverte? (Ønskede studenter inviteres til å komme til styret).
- derivat av summen;
- avledet av arbeidet;
- derivat som inneholder en konstant faktor;
- derivat av kvotient;
- avledet av en kompleks funksjon;
Gi eksempler på anvendte problemer som fører til begrepet derivat.

En rekke spesielle problemer fra ulike vitenskapsfelt.

Oppgave nr. 1. Kroppen beveger seg i en rett linje i henhold til loven x(t). Skriv ned formelen for å finne hastigheten og akselerasjonen til et legeme på tidspunktet t.

Oppgave nr. 2. Radiusen til sirkelen R varierer i henhold til loven R = 4 + 2t 2. Bestem hastigheten som området endres med V moment t = 2 s. Radiusen til en sirkel måles i centimeter. Svar: 603 cm 2 /s.

Oppgave nr. 3. Et materialpunkt med en masse på 5 kg beveger seg rettlinjet i henhold til loven

S(t) = 2t+ , hvor S- avstand i meter, t– tid i sekunder. Finn kraften som virker på punktet i øyeblikket t = 4 s.

Svar: N.

Oppgave nr. 4. Svinghjulet, holdt av bremsen, svinger bak t s i en vinkel på 3t - 0,1t 2 (rad). Finne:

a) vinkelhastighet for svinghjulets rotasjon i øyeblikket t = 7 Med;
b) på hvilket tidspunkt svinghjulet stopper.

Svar: a) 2,86; b) 150 s.

Eksempler på bruk av derivater kan også inkludere problemer med å finne: spesifikk varmekapasitet stoffer gitt kropp, lineær tetthet og kinetisk energi til kroppen, etc.

III. Utføre differensierte oppgaver.

De som ønsker å fullføre oppgaver på nivå "A" setter seg ved datamaskinen og fullfører en test med et programmert svar. ( applikasjon. )

1. Finn verdien av den deriverte av funksjonen i punktet x 0 = 3.

2. Finn verdien av den deriverte av funksjonen y = xe x i punktet x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Løs ligningen f / (x) = 0 hvis f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Beregn f/(1) hvis f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) i punktet t0 = 1.

6. Punktet beveger seg rettlinjet i henhold til loven: S(t) = t 3 – 3t 2. Velg en formel som spesifiserer bevegelseshastigheten til dette punktet på tidspunktet t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Anvendelse av derivater i fysikk, teknologi, biologi, liv

Presentasjon for leksjonen

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun for informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert denne jobben, last ned fullversjonen.

Leksjonstype: integrert.

Hensikten med leksjonen: studere noen aspekter ved bruken av derivater i ulike områder fysikk, kjemi, biologi.

Oppgaver: utvide ens horisont og kognitiv aktivitet studenter, utvikling logisk tenkning og evnen til å anvende sin kunnskap.

Teknisk støtte: interaktiv tavle; datamaskin og disk.

JEG. Organisering av tid

II. Sette et leksjonsmål

– Jeg vil gjerne holde en leksjon under mottoet til Alexei Nikolaevich Krylov, en sovjetisk matematiker og skipsbygger: "Teori uten praksis er død eller ubrukelig, praksis uten teori er umulig eller skadelig."

– La oss gå gjennom de grunnleggende konseptene og svare på spørsmålene:

– Fortell meg den grunnleggende definisjonen av et derivat?
– Hva vet du om den deriverte (egenskaper, teoremer)?
– Kjenner du til noen eksempler på problemer med bruk av derivater i fysikk, matematikk og biologi?

Betraktning av den grunnleggende definisjonen av et derivat og dets begrunnelse (svar på det første spørsmålet):

Derivat – et av de grunnleggende begrepene i matematikk. Evnen til å løse problemer ved hjelp av derivater krever god kunnskap teoretisk materiale, evne til å utføre forskning i ulike situasjoner.

Derfor vil vi i dag i leksjonen konsolidere og systematisere kunnskapen som er oppnådd, vurdere og evaluere arbeidet til hver gruppe, og ved å bruke eksemplet på noen problemer, vil vi vise hvordan vi løser andre problemer ved å bruke den deriverte og ikke-standardiserte oppgaver ved hjelp av derivater.

III. Forklaring av nytt materiale

1. Øyeblikkelig kraft er resultatet av arbeid med hensyn til tid:

W = lim ΔA/Δt ΔA – jobbskifte.

2. Hvis et legeme roterer rundt en akse, så er rotasjonsvinkelen en funksjon av tiden t
Deretter vinkelhastighet er lik:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Strømstyrke er et derivat Ι = lim Δg/Δt = g′, Hvor g– positiv elektrisk ladning overført gjennom tverrsnittet til en leder over tid Δt.

4. La ΔQ– mengden varme som kreves for å endre temperaturen Δt tid da lim ΔQ/Δt = Q′ = C – spesifikk varme.

5. Oppgave om hastigheten på en kjemisk reaksjon

m(t) – m(t0) – mengde stoff som reagerer over tid t0 før t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. La m være masse radioaktivt stoff. Radioaktiv nedbrytningshastighet: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

I differensiert form har loven om radioaktivt forfall formen: dN/dt = – λN, Hvor N– antall kjerner som ikke har forfalt tid t.

Ved å integrere dette uttrykket får vi: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const på t = 0 antall radioaktive kjerner N = NO, herfra har vi: ln NO = const, derfor

n N = – λt + ln NO.

Ved å potensere dette uttrykket får vi:

– loven om radioaktivt forfall, hvor N0– antall kjerner om gangen t0 = 0, N– antall kjerner som ikke har forfalt i løpet av tiden t.

7. I henhold til Newtons varmeoverføringsligning, varmestrømningshastigheten dQ/dt er direkte proporsjonal med vindusarealet S og temperaturforskjellen ΔT mellom det indre og ytre glasset og omvendt proporsjonalt med dets tykkelse d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Diffusjonsfenomenet er prosessen med å etablere en likevektsfordeling

Innenfor faser av konsentrasjon. Diffusjon går til siden og utjevner konsentrasjonene.

m = D Δc/Δx c – konsentrasjon
m = D c'x x - koordinere, D – diffusjonskoeffisient

9. Det var kjent at det elektriske feltet eksiterer enten elektriske ladninger, eller et magnetfelt som har en enkelt kilde - elektrisk strøm. James Clark Maxwell introduserte en endring av lovene for elektromagnetisme som ble oppdaget før ham: et magnetfelt oppstår også når en endring elektrisk felt. En tilsynelatende liten endring fikk enorme konsekvenser: en helt ny fysisk objekt – elektromagnetisk bølge. Maxwell mesterlig, i motsetning til Faraday, som trodde dens eksistens var mulig, utledet ligningen for det elektriske feltet:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = konstant t

En endring i det elektriske feltet forårsaker utseendet magnetfelt på ethvert punkt i rommet, med andre ord bestemmer endringshastigheten til det elektriske feltet størrelsen på magnetfeltet. Under det store elektrisk støt– større magnetfelt.

IV. Konsolidering av det som er lært

– Du og jeg studerte derivatet og dets egenskaper. Jeg vil gjerne lese filosofisk utsagn Gilbert: «Hver person har et visst syn. Når denne horisonten smalner til det uendelige, blir den til et punkt. Så sier personen at dette er hans synspunkt.»
La oss prøve å måle synspunktet på anvendelsen av derivatet!

Handlingen til "Leaf"(bruk av derivater i biologi, fysikk, liv)

Betrakt fallet som ujevn bevegelse tidsavhengig.

Så: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Teoretisk undersøkelse: mekanisk betydning av avledet).

1. Problemløsning

Løs problemer selv.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

La oss skrive ned Portons II lov, og med tanke på den mekaniske betydningen av derivatet, omskriver vi den i formen: F = mV′ F = mS″

Handlingen til "Wolves, Gophers"

La oss gå tilbake til ligningene: Tenk på differensialligningene for eksponentiell vekst og reduksjon: F = ma F = mV’ F = mS"
Løse mange fysikkproblemer, teknisk biologi Og samfunnsfag er redusert til problemet med å finne funksjoner f"(x) = kf(x), som tilfredsstiller differensialligningen, hvor k = konst .

Menneskelig formel

En person er like mange ganger større enn et atom som han er mindre enn en stjerne:

Det følger at
Dette er formelen som bestemmer menneskets plass i universet. I samsvar med den representerer størrelsen på en person den gjennomsnittlige proporsjonaliteten til en stjerne og et atom.

Jeg vil avslutte leksjonen med ordene til Lobachevsky: "Det er ikke et eneste område av matematikk, uansett hvor abstrakt det måtte være, som en dag ikke vil være anvendelig på fenomenene i den virkelige verden."

V. Løsning av tall fra samlingen:

Uavhengig problemløsning i styret, kollektiv analyse av problemløsninger:

№ 1 Finn bevegelseshastigheten til et materialpunkt på slutten av det tredje sekundet, hvis bevegelsen til punktet er gitt av ligningen s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Punktet beveger seg rettlinjet i henhold til loven s = 6t – t^2. I hvilket øyeblikk vil hastigheten være lik null?

№ 3 To legemer beveger seg rettlinjet: en i henhold til loven s = t^3 – t^2 – 27t, den andre i henhold til loven s = t^2 + 1. Bestem øyeblikket når hastighetene til disse legene viser seg å være like .

№ 4 For en bil som beveger seg med en hastighet på 30 m/s, bestemmes bremselengden av formelen s(t) = 30t-16t^2, hvor s(t) er avstanden i meter, t er bremsetiden i sekunder . Hvor lang tid tar det å bremse før bilen stopper helt? Hvilken avstanden vil gå bilen fra begynnelsen av bremsingen til den stopper helt?

№5 En kropp som veier 8 kg beveger seg rettlinjet i henhold til loven s = 2t^2+ 3t – 1. Finn den kinetiske energien til kroppen (mv^2/2) 3 sekunder etter bevegelsesstart.

Løsning: La oss finne hastigheten kroppsbevegelser når som helst:
V = ds / dt = 4t + 3
La oss beregne hastigheten til kroppen på tidspunktet t = 3:
Vt=3 = 4*3 + 3=15 (m/s).
La oss bestemme den kinetiske energien til kroppen på tidspunktet t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Finn den kinetiske energien til kroppen 4 s etter starten av bevegelsen, hvis massen er 25 kg, og bevegelsesloven har formen s = 3t^2- 1.

№7 Et legeme hvis masse er 30 kg beveger seg rettlinjet i henhold til loven s = 4t^2 + t. Bevis at bevegelsen til en kropp skjer under påvirkning av konstant kraft.
Løsning: Vi har s’ = 8t + 1, s” = 8. Derfor er a(t) = 8 (m/s^2), dvs. med denne bevegelsesloven beveger kroppen seg med konstant akselerasjon 8 m/s^2. Videre, siden kroppens masse er konstant (30 kg), er kraften som virker på den F = ma = 30 * 8 = 240 (H) også en konstant verdi i henhold til Newtons andre lov.

№8 Et legeme som veier 3 kg beveger seg rettlinjet i henhold til loven s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Finn kraften som virker på kroppen til tiden t = 4s.

№9 Et materiell punkt beveger seg i henhold til loven s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Finn akselerasjonen på slutten av det tredje sekundet.

VI. Anvendelse av deriverte i matematikk:

Den deriverte i matematikk viser numerisk uttrykk graden av endring av en mengde lokalisert på samme punkt under påvirkning av forskjellige forhold.

Den derivative formelen dateres tilbake til 1400-tallet. Den store italienske matematikeren Tartagli, som vurderer og utvikler spørsmålet om hvor mye flyrekkevidden til et prosjektil avhenger av pistolens helning, bruker det i sine arbeider.

Den derivative formelen finnes ofte i verk kjente matematikere 17. århundre. Den ble brukt av Newton og Leibniz.

Den berømte vitenskapsmannen Galileo Galilei vier en hel avhandling om rollen til derivater i matematikk. Så begynte derivatet og ulike presentasjoner med dens anvendelse å bli funnet i verkene til Descartes, den franske matematikeren Roberval og engelskmannen Gregory. Store bidrag til studiet av derivatet ble gitt av hjerner som L'Hopital, Bernoulli, Langrange og andre.

1. Tegn en graf og undersøk funksjonen:

Løsning på dette problemet:

Et øyeblikk med avslapning

VII. Anvendelse av derivater i fysikk:

Når man studerer visse prosesser og fenomener, oppstår ofte oppgaven med å bestemme hastigheten på disse prosessene. Løsningen fører til konseptet derivat, som er hovedkonseptet differensialregning.

Metoden for differensialregning ble opprettet på 1600- og 1700-tallet. Navnene på to store matematikere – I. Newton og G.V. – er assosiert med fremveksten av denne metoden. Leibniz.

Newton kom til oppdagelsen av differensialregning når han løste problemer om bevegelseshastigheten til et materialpunkt i dette øyeblikket tid (øyeblikkelig hastighet).

I fysikk brukes den deriverte hovedsakelig for å beregne den største eller laveste verdier noen mengder.

№1 Potensiell energi U feltet til en partikkel der det er en annen, nøyaktig samme partikkel har formen: U = a/r 2 – b/r, Hvor en Og b- positive konstanter, r- avstand mellom partikler. Finn: a) verdi r0 svarende til likevektsposisjonen til partikkelen; b) finne ut om denne situasjonen er stabil; V) Fmax verdien av tiltrekningskraften; d) skildre eksempelgrafer avhengigheter U(r) Og F(r).

Løsning på dette problemet: Å bestemme r0 tilsvarende likevektsposisjonen til partikkelen vi studerer f = U(r) til det ytterste.

Ved hjelp av forbindelsen mellom potensiell energi Enger

U Og F, Deretter F = – dU/dr, vi får F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; hvori r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Bærekraftig eller ustabil likevekt vi bestemmer med tegnet til den andre deriverte:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Tenk på tilfellet når sand renner ut av en fylt plattform.
Endring i momentum over en kort periode:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Term Δ µtu er impulsen til mengden sand som strømmet ut av plattformen i løpet av tiden Δ t. Deretter:
Δ p = MΔ u – µtΔ u – Δ µtΔ u = FΔ t
Del på Δ t og gå videre til grensen Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Eller a1= du/dt= F/(M – µt)

Svar: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Selvstendig arbeid:

Finn deriverte av funksjoner:

Den rette linjen y = 2x er tangent til funksjonen: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Finn abscissen til tangenspunktet.

IX. Oppsummering av leksjonen:

– Hvilke spørsmål ble leksjonen viet?
– Hva lærte du i timen?
– Hvilke teoretiske fakta ble oppsummert i leksjonen?
– Hvilke oppgaver som ble vurdert viste seg å være de vanskeligste? Hvorfor?

Bibliografi:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Matematiske modeller og differensialligninger. – Minsk: forskerskolen, 1982. – 272 s.
Amelkin V.V. Differensialligninger i applikasjoner. M.: Vitenskap. Hovedredaksjon for fysisk og matematisk litteratur, 1987. – 160 s.
Erugin N.P. Bok å lese generelt kurs differensiallikninger. – Minsk: Vitenskap og teknologi, 1979. – 744 s.
.Magazine "Potensial" november 2007 nr. 11
"Algebra og begynnelsen av analyse" 11. klasse S.M. Nikolsky, M.K. Potapov og andre.
"Algebra og matematisk analyse" N.Ya. Vilenkin et al.
"Matematikk" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveitchik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Fysisk betydning av derivat. Oppgaver!

Fysisk betydning av derivat. Unified State Exam i matematikk inkluderer en gruppe problemer for å løse som krever kunnskap og forståelse av den fysiske betydningen av derivatet. Spesielt er det problemer der bevegelsesloven til et bestemt punkt (objekt) er gitt, uttrykt ved en ligning, og det kreves å finne hastigheten på et bestemt tidspunkt i bevegelsestidspunktet, eller tiden etter hvilket objektet vil oppnå en viss gitt hastighet. Oppgavene er veldig enkle, de kan løses i én handling. Så:

La bevegelsesloven til et materialpunkt x (t) langs koordinataksen gis, hvor x er koordinaten til det bevegelige punktet, t er tid.

Hastighet på et bestemt tidspunkt er den deriverte av koordinaten i forhold til tid. Dette er den mekaniske betydningen av derivatet.

På samme måte er akselerasjon den deriverte av hastighet med hensyn til tid:

x (t) = t 2 – 7t – 20

der x er avstanden fra referansepunktet i meter, t er tiden i sekunder, målt fra begynnelsen av bevegelsen. Finn hastigheten (i meter per sekund) til tiden t = 5 s.

Den fysiske betydningen av et derivat er hastighet (bevegelseshastighet, endringshastighet av en prosess, hastighet på arbeidet, etc.)

La oss finne loven om hastighetsendring: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Materialpunktet beveger seg rettlinjet i henhold til loven x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, hvor x- avstand fra referansepunktet i meter, t- tid i sekunder målt fra starten av bevegelsen. Finn hastigheten (i meter per sekund) til tiden t = 6 s.

Et materiell punkt beveger seg rettlinjet i henhold til loven

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Hvor x- avstand fra referansepunktet i meter, t- tid i sekunder målt fra starten av bevegelsen. Finn hastigheten (i meter per sekund) til tiden t = 3 s.

Et materiell punkt beveger seg rettlinjet i henhold til loven

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

der x er avstanden fra referansepunktet i meter, t er tiden i sekunder, målt fra begynnelsen av bevegelsen. På hvilket tidspunkt (i sekunder) var hastigheten lik 6 m/s?

La oss finne loven om hastighetsendring:

For å finne på hvilket tidspunkt t hastigheten var 3 m/s, det er nødvendig å løse ligningen:

Et materiell punkt beveger seg rettlinjet i henhold til loven

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Hvor x- avstand fra referansepunktet i meter, t- tid i sekunder målt fra starten av bevegelsen. På hvilket tidspunkt (i sekunder) var hastigheten lik 2 m/s?

matematikalegko.ru

Algebra og begynnelse matematisk analyse, 11. klasse (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Side nr. 094.

Lærebok:

OCR-versjon av siden fra læreboken (tekst på siden som ligger ovenfor):

Som følger av problemene som ble vurdert i begynnelsen av dette avsnittet, er følgende påstander sanne:

1. Hvis kl rett bevegelse banen s som krysses av et punkt er en funksjon av tiden t, dvs. s = f(t), så er punktets hastighet den deriverte av banen med hensyn til tid, dvs. v(t) =

Dette faktum uttrykker den mekaniske betydningen av derivatet.

2. Hvis det i punktet x 0 trekkes en tangent til grafen til funksjonen y = f (jc), så er tallet f"(xo) tangenten til vinkelen a mellom denne tangenten og den positive retningen til Ox-aksen , dvs. /"(x 0) =

Tga. Denne vinkelen kalles tangentvinkelen.

Dette faktum uttrykker geometrisk betydning derivat.

EKSEMPEL 3. La oss finne tangenten til hellingsvinkelen til tangenten til grafen til funksjonen y = 0,5jc 2 - 2x + 4 i punktet med abscisse x = 0.

La oss finne den deriverte av funksjonen f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 på et hvilket som helst punkt x, ved å bruke likhet (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

La oss beregne verdien av denne deriverte ved punktet x = 0:

Derfor tga = -2. X-grafen til funksjonen y = /(jc) og tangenten til grafen i punktet med abscissen jc = 0 er vist i figur 95.

4.1 La punktet bevege seg rettlinjet i henhold til loven s = t 2. Finne:

a) tidsøkning D£ over tidsintervallet fra t x = 1 til £ 2 - 2;

b) økning av banen As over tidsperioden fra tx = 1 til t2 = 2;

V) gjennomsnittshastighet over tidsintervallet fra t x = 1 til t 2 = 2.

4.2 I oppgave 4.1 finner du:

b) gjennomsnittlig hastighet over tidsintervallet fra t til t + At;

V) øyeblikkelig hastighet på tidspunktet t;

d) øyeblikkelig hastighet på tidspunktet t = 1.

4.3 La punktet bevege seg rettlinjet i henhold til loven:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) økning av banen As over tidsperioden fra t til t + At;

Lærebok: Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 11. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [S. M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin]. - 8. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 464 s.: ill.