Først, la oss lære hvordan du finner definisjonsdomene for summen av funksjoner. Det er klart at en slik funksjon gir mening for alle slike verdier av variabelen som alle funksjonene som utgjør summen gir mening for. Derfor er det ingen tvil om gyldigheten av følgende utsagn:
Hvis funksjonen f er summen av n funksjoner f 1, f 2, …, f n, det vil si at funksjonen f er gitt av formelen y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), så er definisjonsdomenet til funksjonen f skjæringspunktet mellom definisjonsdomenene til funksjonene f 1, f 2, ..., f n. La oss skrive dette som .
La oss godta å fortsette å bruke oppføringer som ligner på den forrige, som vi mener skrevet innenfor en krøllete klammeparentes, eller samtidig oppfyllelse av eventuelle betingelser. Dette er praktisk og stemmer helt naturlig med meningen med systemene.
Eksempel.
Funksjonen y=x 7 +x+5+tgx er gitt, og vi må finne dens definisjonsdomene.
Løsning.
Funksjonen f er representert ved summen av fire funksjoner: f 1 - potensfunksjon med eksponent 7, f 2 - potensfunksjon med eksponent 1, f 3 - konstant funksjon og f 4 - tangentfunksjon.
Ser på tabellen over områder for å definere det viktigste elementære funksjoner, finner vi at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , og domenet til definisjon av tangenten er mengden av alle reelle tall unntatt tall 
.
Definisjonsdomenet til funksjonen f er skjæringspunktet mellom definisjonsdomenene til funksjonene f 1, f 2, f 3 og f 4. Det er ganske åpenbart at dette er settet av alle reelle tall, med unntak av tallene .
Svar:
settet med alle reelle tall unntatt .
La oss gå videre til å finne definisjonsdomene for et produkt av funksjoner. For dette tilfellet gjelder en lignende regel:
Hvis funksjonen f er produktet av n funksjoner f 1, f 2, ..., f n, det vil si at funksjonen f er gitt av formelen y=f 1 (x) f 2 (x)... f n (x), da er definisjonsdomenet til funksjonen f skjæringspunktet mellom definisjonsdomenene til funksjonene f 1, f 2, ..., f n. Så, .
Dette er forståelig, i det angitte området er alle produktfunksjoner definert, og derav selve funksjonen f.
Eksempel.
Y=3·arctgx·lnx .
Løsning.
Strukturen til høyre side av formelen som definerer funksjonen kan betraktes som f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), der f 1 er en konstant funksjon, f 2 er den arctangent funksjonen, og f 3 er en logaritmisk funksjon med grunntallet e.
Vi vet at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) og D(f 3)=(0, +∞) . Deretter 
.
Svar:
Definisjonsdomenet til funksjonen y=3·arctgx·lnx er settet av alle reelle positive tall.
La oss separat fokusere på å finne definisjonsdomenet til en funksjon gitt av formelen y=C·f(x), der C er et reelt tall. Det er lett å vise at definisjonsdomenet til denne funksjonen og definisjonsdomenet til funksjonen f sammenfaller. Faktisk er funksjonen y=C·f(x) produktet av en konstant funksjon og en funksjon f. Domenet til en konstant funksjon er mengden av alle reelle tall, og domenet til en funksjon f er D(f) . Da er definisjonsdomenet til funksjonen y=C f(x). 
, som er det som måtte vises.
Så, definisjonsdomenene til funksjonene y=f(x) og y=C·f(x), der C er et reelt tall, faller sammen. For eksempel, domenet til roten er , det blir klart at D(f) er settet av alle x fra domenet til funksjonen f 2 for hvilke f 2 (x) er inkludert i domenet til funksjonen f 1 .
Dermed, definisjonsdomene for en kompleks funksjon y=f 1 (f 2 (x)) er skjæringspunktet mellom to sett: mengden av alle slike x som x∈D(f 2) og mengden av alle slike x som f 2 (x)∈D(f) 1) . Det vil si i notasjonen vi har tatt i bruk 
(dette er i hovedsak et system av ulikheter).
La oss se på noen eksempler på løsninger. Vi vil ikke beskrive prosessen i detalj, da dette er utenfor rammen av denne artikkelen.
Eksempel.
Finn definisjonsdomenet til funksjonen y=lnx 2 .
Løsning.
Den opprinnelige funksjonen kan representeres som y=f 1 (f 2 (x)), der f 1 er en logaritme med grunntall e, og f 2 er strømfunksjon med en indikator på 2.
Vender til kjente områder definisjoner av de grunnleggende elementære funksjonene, har vi D(f 1)=(0, +∞) og D(f 2)=(−∞, +∞) .
Deretter 
Så vi fant definisjonsdomenet til funksjonen vi trengte, det er settet med alle reelle tall unntatt null.
Svar:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Eksempel.
Hva er domenet til en funksjon 
?
Løsning.
Denne funksjonen kompleks, kan det betraktes som y=f 1 (f 2 (x)), der f 1 er en potensfunksjon med eksponent, og f 2 er arcsinusfunksjonen, og vi må finne dens definisjonsdomene.
La oss se hva vi vet: D(f 1)=(0, +∞) og D(f 2)=[−1, 1] . Det gjenstår å finne skjæringspunktet mellom sett med verdier x slik at x∈D(f 2) og f 2 (x)∈D(f 1): 
For å arcsinx>0, husk egenskapene til arcsine-funksjonen. Arcsinen øker gjennom hele definisjonsdomenet [−1, 1] og går til null ved x=0, derfor arcsinx>0 for enhver x fra intervallet (0, 1] .
La oss gå tilbake til systemet: 
Dermed er det nødvendige definisjonsdomenet for funksjonen halvintervallet (0, 1].
Svar:
(0, 1] .
La oss nå gå videre til komplekse funksjoner av den generelle formen y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Definisjonsdomenet til funksjonen f i dette tilfellet finnes som 
.
Eksempel.
Finn domenet til en funksjon 
.
Løsning.
Gitt kompleks funksjon kan skrives som y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), hvor f 1 – sin, f 2 – fjerdegrads rotfunksjon, f 3 – log.
Vi vet at D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪/Tilgangsmodus: Materialer fra nettsteder www.fipi.ru, www.eg
Vedlegg 1
Praktisk arbeid "ODZ: når, hvorfor og hvordan?"
|
valg 1 |
Alternativ 2 |
|
│x+14│= 2 - 2x |
|
|
│3x│=1 - 3x |
Vedlegg 2
Svar på oppgaver praktisk jobb"ODZ: når, hvorfor og hvordan?"
|
valg 1 |
Alternativ 2 |
|
Svar: ingen røtter |
Svar: x-et hvilket som helst tall unntatt x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Svar: ingen røtter |
ODZ: x=-3, x=5. Svar: -3;5. |
|
y= -minker, y= -øker Dette betyr at ligningen har høyst én rot. Svar: x=6. |
ODZ: → →х≥5 Svar: x≥5, x≤-6. |
|
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 tilhører ikke ODZ |
Minker, øker Ligningen har maksimalt én rot. Svar: ingen røtter. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Svar: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Svar: ingen røtter. |
|
x=7, x=1. Svar: ingen løsninger |
Økende - avtagende Svar: x=2. |
|
0 ODZ: x≠15 Svar: x er et hvilket som helst tall bortsett fra x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 tilhører ikke ODZ. Svar: x=-1. |
Bestemmer seg ulike oppgaver, må vi veldig ofte utføre identiske transformasjoner av uttrykk. Men det hender at en form for transformasjon er akseptabel i noen tilfeller, men ikke i andre. Betydelig bistand når det gjelder overvåking av tillatelighet av pågående transformasjoner, tilbys av ODZ. La oss se på dette mer detaljert.
Essensen av tilnærmingen er som følger: ODZ for variabler for det opprinnelige uttrykket sammenlignes med ODZ for variabler for uttrykket oppnådd som et resultat av identiske transformasjoner, og basert på sammenligningsresultatene trekkes passende konklusjoner.
Generelt kan identitetstransformasjoner
- ikke påvirke DL;
- føre til utvidelse av ODZ;
- føre til en innsnevring av ODZ.
La oss illustrere hvert tilfelle med et eksempel.
Tenk på uttrykket x 2 +x+3·x, ODZ for variabelen x for dette uttrykket er settet R. La oss nå gjøre følgende med dette uttrykket identitetstransformasjon– la oss presentere lignende termer, som et resultat vil det ha formen x 2 +4·x. Selvfølgelig er variabelen x i dette uttrykket også et sett R. Dermed endret ikke transformasjonen som ble utført DZ.
La oss gå videre. La oss ta uttrykket x+3/x−3/x. I dette tilfellet bestemmes ODZ av betingelsen x≠0, som tilsvarer settet (−∞, 0)∪(0, +∞) . Dette uttrykket inneholder også lignende vilkår, etter reduksjon kommer vi til uttrykket x, der ODZ er R. Hva vi ser: som et resultat av transformasjonen ble ODZ utvidet (tallet null ble lagt til ODZ for variabelen x for det opprinnelige uttrykket).
Det gjenstår å vurdere et eksempel på å begrense utvalget av akseptable verdier etter transformasjoner. La oss ta uttrykket 
. ODZ for variabelen x bestemmes av ulikheten (x−1)·(x−3)≥0, for dens løsning er den egnet, for eksempel som et resultat har vi (−∞, 1]∪∪; redigert av S. A. Telyakovsky - 17- utg. - M.: Education, 2008. - 240 s.: ill.
Brøklikninger. ODZ.
Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
Vi fortsetter å mestre ligningene. Vi vet allerede hvordan vi jobber med lineære og andregradslikninger. Den siste utsikten igjen - brøklikninger . Eller de kalles også mye mer respektabelt - brøkdel rasjonelle ligninger . Det er det samme.
Brøklikninger.
Som navnet tilsier, inneholder disse ligningene nødvendigvis brøker. Men ikke bare brøker, men brøker som har ukjent i nevneren. I hvert fall i ett. For eksempel:
La meg minne deg på at hvis nevnerne bare er tall, dette er lineære ligninger.
Hvordan bestemme brøklikninger? Først av alt, bli kvitt brøker! Etter dette blir ligningen oftest lineær eller kvadratisk. Og da vet vi hva vi skal gjøre... I noen tilfeller kan det bli en identitet, som 5=5 eller et feil uttrykk, som 7=2. Men dette skjer sjelden. Jeg vil nevne dette nedenfor.
Men hvordan bli kvitt brøker!? Veldig enkelt. Bruker de samme identiske transformasjonene.
Vi må multiplisere hele ligningen med det samme uttrykket. Slik at alle nevner reduseres! Alt vil umiddelbart bli enklere. La meg forklare med et eksempel. La oss løse ligningen:
Som lært i juniorklasser? Vi flytter alt til en side, bringer det til en fellesnevner osv. Glem hvordan grusom drøm! Dette er hva du må gjøre når du legger til eller trekker fra. brøkuttrykk. Eller du jobber med ulikheter. Og i ligninger multipliserer vi umiddelbart begge sider med et uttrykk som vil gi oss muligheten til å redusere alle nevnere (dvs. i hovedsak med fellesnevner). Og hva er dette uttrykket?
På venstre side krever å redusere nevneren multiplisere med x+2. Og til høyre kreves multiplikasjon med 2. Dette betyr at ligningen må multipliseres med 2(x+2). Multiplisere:
Dette vanlig multiplikasjon brøker, men jeg skal skrive det ned i detalj:
Vær oppmerksom på at jeg ikke åpner braketten ennå (x + 2)! Så i sin helhet skriver jeg det:
På venstre side trekker den seg helt sammen (x+2), og til høyre 2. Det som var nødvendig! Etter reduksjon får vi lineær ligningen:
Og alle kan løse denne ligningen! x = 2.
La oss løse et annet eksempel, litt mer komplisert:
Hvis vi husker at 3 = 3/1, og 2x = 2x/ 1, kan vi skrive:
Og igjen blir vi kvitt det vi egentlig ikke liker - brøker.
Vi ser at for å redusere nevneren med X, må vi gange brøken med (x – 2). Og noen få er ikke et hinder for oss. Vel, la oss multiplisere. Alle venstre side Og alle høyre side:
Parentes igjen (x – 2) Jeg røper ikke. Jeg jobber med braketten som en helhet som om det var ett tall! Dette må alltid gjøres, ellers reduseres ingenting.
Med en følelse av dyp tilfredsstillelse reduserer vi (x – 2) og vi får en likning uten brøker, med linjal!
La oss nå åpne parentesene:
Vi tar med lignende, flytter alt til venstre side og får:
Men før det skal vi lære å løse andre problemer. På renter. Det er en rake, forresten!
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Hvordan finne domenet til en funksjon? Ungdomsskoleelever må ofte håndtere denne oppgaven.
Foreldre bør hjelpe barna å forstå dette problemet.
Spesifisere en funksjon.
La oss huske de grunnleggende begrepene i algebra. I matematikk er en funksjon avhengigheten av en variabel av en annen. Vi kan si at dette er en streng matematisk lov som forbinder to tall på en bestemt måte.
I matematikk, når man analyserer formler, erstattes numeriske variabler med alfabetiske symboler. De mest brukte er x ("x") og y ("y"). Variabelen x kalles argumentet, og variabelen y kalles den avhengige variabelen eller funksjonen til x.
Eksistere ulike måter sette variable avhengigheter.
La oss liste dem opp:
- Analytisk type.
- Tabellvisning.
- Grafisk display.
Den analytiske metoden er representert ved formelen. La oss se på eksempler: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Formelen y=2x+3 er typisk for lineær funksjon. Bytter inn gitt formel numerisk verdi argument, får vi verdien av y.
Tabellmetoden er en tabell som består av to kolonner. Den første kolonnen tildeles X-verdiene, og i neste kolonne registreres dataene til spilleren.
Den grafiske metoden regnes som den mest visuelle. En graf er en visning av settet av alle punkter på et plan.
For å konstruere en graf bruk Kartesisk system koordinater Systemet består av to vinkelrette linjer. Identiske enhetssegmenter legges på aksene. Nedtellingen gjøres fra midtpunkt skjæringspunktet mellom rette linjer.
Den uavhengige variabelen indikerer horisontal linje. Det kalles abscisseaksen. Den vertikale linjen (y-aksen) viser den numeriske verdien til den avhengige variabelen. Punkter er markert i skjæringspunktet mellom perpendikulærer til disse aksene. Å koble poengene sammen, får vi solid linje. Det er grunnlaget for timeplanen.
Typer variable avhengigheter
Definisjon.
I generelt syn avhengigheten presenteres som en ligning: y=f(x). Fra formelen følger det at for hver verdi av tallet x er det et bestemt antall u. Verdien av spillet, som tilsvarer tallet x, kalles funksjonens verdi.
Alle mulige verdier som den uavhengige variabelen får, danner definisjonsdomenet for funksjonen. Følgelig bestemmer hele settet med tall for den avhengige variabelen rekkevidden av verdier til funksjonen. Definisjonsdomenet er alle verdiene av argumentet som f(x) gir mening for.
Innledende oppgave for forskning matematiske lover består i å finne definisjonsdomenet. Dette begrepet må være riktig definert. I ellers alle videre beregninger vil være ubrukelige. Tross alt er volumet av verdier dannet på grunnlag av elementene i det første settet.
Omfanget av en funksjon er direkte avhengig av begrensningene. Begrensninger er forårsaket av manglende evne til å utføre visse operasjoner. Det er også grenser for bruk av numeriske verdier.
I fravær av begrensninger er definisjonsdomenet hele tallrommet. Uendeligstegnet har et horisontalt åtte-tall. Hele settet med tall er skrevet slik: (-∞; ∞).
I visse tilfeller datamatrisen består av flere delsett. Omfanget av numeriske intervaller eller mellomrom avhenger av typen lov for parameterendring.
Her er en liste over faktorer som påvirker restriksjonene:
- omvendt proporsjonalitet;
- aritmetisk rot;
- eksponentiering;
- logaritmisk avhengighet;
- trigonometriske former.
Hvis det er flere slike elementer, er søket etter begrensninger delt for hver av dem. Det største problemet representerer identifikasjon kritiske punkter og intervaller. Løsningen på problemet vil være å forene alle numeriske delmengder.
Sett og delsett av tall
Om sett.
Definisjonsdomenet uttrykkes som D(f), og unionstegnet er representert med symbolet ∪. Alle numeriske intervaller vedlagt i parentes. Hvis grensen til nettstedet ikke er inkludert i settet, plasseres en halvsirkelformet brakett. Ellers, når et tall er inkludert i en delmengde, brukes firkantede parenteser.
Invers proporsjonalitet uttrykkes med formelen y=k/x. Funksjonsgrafen er en buet linje som består av to grener. Det kalles ofte en hyperbole.
Siden funksjonen er uttrykt som en brøk, kommer det å finne definisjonsdomenet ned til å analysere nevneren. Det er velkjent at i matematikk er deling med null forbudt. Å løse problemet kommer ned til å utjevne nevneren til null og finne røttene.
Her er et eksempel:
Gitt: y=1/(x+4). Finn definisjonsdomenet.
- Vi likestiller nevneren til null.
x+4=0 - Finne roten til ligningen.
x=-4 - Definer settet med alle mulige verdier argument.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)
Svar: Domenet til funksjonen er alle reelle tall unntatt -4.
Betydningen av tallet under skiltet kvadratrot kan ikke være negativ. I dette tilfellet reduseres det å definere en funksjon med en rot til å løse en ulikhet. Det radikale uttrykket må være større enn null.
Området for bestemmelse av roten er relatert til pariteten til rotindikatoren. Hvis indikatoren er delelig med 2, gir uttrykket mening bare hvis det positiv verdi. Oddetall indikator indikerer tillateligheten av enhver betydning av det radikale uttrykket: både positivt og negativt.
Ulikheter løses på samme måte som ligninger. Det er bare én forskjell. Etter å ha multiplisert begge sider av ulikheten med et negativt tall skiltet skal snus.
Hvis kvadratroten er i nevneren, bør du pålegge tilleggsbetingelse. Tallverdien må ikke være null. Ulikhet beveger seg inn i kategorien strenge ulikheter.
Logaritmiske og trigonometriske funksjoner
Den logaritmiske formen gir mening når positive tall. Dermed definisjonsdomenet logaritmisk funksjon ligner på kvadratrotfunksjonen, bortsett fra null.
La oss vurdere et eksempel på en logaritmisk avhengighet: y=log(2x-6). Finn definisjonsdomenet.
- 2x-6>0
- 2x>6
- x>6/2
Svar: (3; +∞).
Definisjonsdomenet til y=sin x og y=cos x er settet av alle reelle tall. Det er begrensninger for tangent og cotangens. De er assosiert med divisjon med cosinus eller sinus til en vinkel.
Tangensen til en vinkel bestemmes av forholdet mellom sinus og cosinus. La oss indikere vinkelverdiene der tangentverdien ikke eksisterer. Funksjonen y=tg x gir mening for alle verdiene av argumentet bortsett fra x=π/2+πn, n∈Z.
Definisjonsdomenet til funksjonen y=ctg x er hele settet med reelle tall, unntatt x=πn, n∈Z. Hvis argumentet er lik tallet π eller et multiplum av π, sinusen til vinkelen lik null. På disse punktene (asymptoter) kan ikke cotangensen eksistere.
De første oppgavene for å identifisere definisjonsdomenet begynner i timene i 7. klasse. Når studenten først blir introdusert til denne delen av algebra, skal han forstå emnet tydelig.
Det er verdt å merke seg at dette semesteret vil følge studenten, og deretter studenten, gjennom hele studietiden.