Numeriske intervaller inkluderer stråler, segmenter, intervaller og halvintervaller.
Typer numeriske intervaller
| Navn | Bilde | Ulikhet | Betegnelse |
|---|---|---|---|
| Åpen bjelke | x > en | (en; +∞) | |
| x < en | (-∞; en) | ||
| Lukket stråle | x ⩾ en | [en; +∞) | |
| x ⩽ en | (-∞; en] | ||
| Linjestykke | en ⩽ x ⩽ b | [en; b] | |
| Intervall | en < x < b | (en; b) | |
| Halvintervall | en < x ⩽ b | (en; b] | |
| en ⩽ x < b | [en; b) |
I bordet en Og b er grensepunkter, og x- en variabel som kan ta koordinaten til et hvilket som helst punkt som tilhører et numerisk intervall.
Grensepunkt- dette er punktet som definerer grensen for det numeriske intervallet. Et grensepunkt kan tilhøre et numerisk intervall eller ikke. På tegningene er grensepunkter som ikke tilhører det numeriske intervallet som vurderes angitt med en åpen sirkel, og de som tilhører dem er angitt med en fylt sirkel.
Åpen og lukket bjelke
Åpen bjelke er et sett med punkter på en linje som ligger på den ene siden av et grensepunkt som ikke er inkludert i dette settet. Strålen kalles åpen nettopp på grunn av grensepunktet som ikke hører til den.
La oss vurdere et sett med punkter på koordinatlinjen som har en koordinat større enn 2, og derfor ligger til høyre for punkt 2:
Et slikt sett kan defineres av ulikheten x> 2. Åpne stråler er merket med parenteser - (2; +∞), denne oppføringen lyder slik: åpen numerisk stråle fra to til pluss uendelig.
Settet som ulikheten tilsvarer x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Lukket stråle er et sett med punkter på en linje som ligger på den ene siden av et grensepunkt som tilhører et gitt sett. På tegningene er grensepunkter som tilhører settet som vurderes, angitt med en fylt sirkel.
Lukkede tallstråler er definert av ikke-strenge ulikheter. For eksempel ulikheter x 2 og x 2 kan avbildes slik:
Disse lukkede strålene er betegnet som følger: , den leses slik: en numerisk stråle fra to til pluss uendelig og en numerisk stråle fra minus uendelig til to. Den firkantede parentesen i notasjonen indikerer at punkt 2 tilhører det numeriske intervallet.
Linjestykke
Linjestykke er settet med punkter på en linje som ligger mellom to grensepunkter som tilhører et gitt sett. Slike sett er definert av doble ikke-strenge ulikheter.
Tenk på et segment av en koordinatlinje med ender ved punktene -2 og 3:
Settet med punkter som utgjør et gitt segment kan spesifiseres av den doble ulikheten -2 x 3 eller angi [-2; 3], en slik post lyder slik: et segment fra minus to til tre.
Intervall og halvintervall
Intervall- dette er settet med punkter på en linje som ligger mellom to grensepunkter som ikke tilhører dette settet. Slike sett er definert av doble strenge ulikheter.
Tenk på et segment av en koordinatlinje med ender ved punktene -2 og 3:
Settet med punkter som utgjør et gitt intervall kan spesifiseres av den doble ulikheten -2< x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Halvintervall er settet med punkter på en linje som ligger mellom to grensepunkter, hvorav det ene tilhører settet og det andre ikke. Slike sett er definert av doble ulikheter:
Disse halvintervallene er betegnet som følger: (-2; 3] og [-2; 3), det leses slik: halvintervall fra minus to til tre, inkludert 3, og halvintervall fra minus to til tre , inkludert minus to.
Numerisk intervall
Intervall, åpent spenn, intervall- settet med punkter på talllinjen mellom to gitte tall en Og b, det vil si et sett med tall x, som tilfredsstiller betingelsen: en < x < b . Intervallet inkluderer ikke ender og er merket med ( en,b) (Noen ganger ] en,b[ ), i motsetning til segmentet [ en,b] (lukket intervall), inkludert endene, det vil si som består av punkter.
I opptak ( en,b), tall en Og b kalles endene av intervallet. Intervallet inkluderer alle reelle tall, intervallet inkluderer alle tall mindre en og intervallet - alle tall er store en .
Begrep intervall brukt i komplekse termer:
- ved integrering - integrasjonsintervall,
- når du avklarer røttene til ligningen - isolasjonsspenn
- når du bestemmer konvergensen av potensserier - intervall for konvergens av potensserier.
Forresten, på engelsk ordet intervall kalt et segment. Og for å betegne begrepet intervall, brukes begrepet åpent intervall.
Litteratur
- Vygodsky M. Ya Håndbok for høyere matematikk. M.: "Astrel", "AST", 2002
se også
Lenker
Wikimedia Foundation. 2010.
Se hva "Numerisk intervall" er i andre ordbøker:
Fra lat. intervallum intervall, avstand: I musikk: Intervall er forholdet mellom høydene til to toner; forholdet mellom lydfrekvensene til disse tonene. I matematikk: Intervall (geometri) er settet med punkter på en linje mellom punktene A og B, ... ... Wikipedia
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Intervall, åpent intervall, intervall er et sett med punkter på en talllinje innelukket mellom to gitte tall a og b, det vil si et sett med tall x som tilfredsstiller betingelsen: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Et intervall, eller mer presist, et intervall av en talllinje, er et sett med reelle tall som har egenskapen at det, sammen med hvilke som helst to tall, inneholder et hvilket som helst tall som ligger mellom dem. Ved å bruke logiske symboler, denne definisjonen... ... Wikipedia
La oss huske definisjonene av noen grunnleggende delmengder av reelle tall. Hvis, så kalles settet et segment av den utvidede tallinjen R og er betegnet med, det vil si i tilfelle av et segment ... Wikipedia
Rekkefølge En tallsekvens er en sekvens av elementer i tallrom. Numeriske tall... Wikipedia
MIKROSKOP- (fra det greske mikros small og skopeo I look), et optisk instrument for å studere små gjenstander som ikke er direkte synlige for det blotte øye. Det finnes enkle mikroskoper, eller forstørrelsesglass, og komplekse mikroskoper, eller mikroskoper i egentlig forstand. Forstørrelsesglass... ... Great Medical Encyclopedia
GOST R 53187-2008: Akustikk. Støyovervåking av byområder- Terminologi GOST R 53187 2008: Akustikk. Støyovervåking av byområder originaldokument: 1 Daglig estimert lydnivå. 2 Kveldsberegnet maksimalt lydnivå. 3 Natt estimert lydtrykknivå... Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon
Et segment kan kalles ett av to relaterte begreper innen geometri og matematisk analyse. Et segment er et sett med punkter, for å ... Wikipedia
Korrelasjonskoeffisient- (Korrelasjonskoeffisient) Korrelasjonskoeffisienten er en statistisk indikator på avhengigheten av to tilfeldige variabler Definisjon av korrelasjonskoeffisienten, typer korrelasjonskoeffisienter, egenskaper til korrelasjonskoeffisienten, beregning og anvendelse... ... Investor Encyclopedia
Svar - Mengden (-∞;+∞) kalles en talllinje, og et hvilket som helst tall er et punkt på denne linjen. La a være et vilkårlig punkt på tallinjen og δ
Positivt tall. Intervallet (a-δ; a+δ) kalles δ-området til punkt a.
Et sett X er avgrenset ovenfra (nedenfra) hvis det er et tall c slik at for enhver x ∈ X gjelder ulikheten x≤с (x≥c). Tallet c kalles i dette tilfellet den øvre (nedre) grensen til mengden X. En mengde som er avgrenset både over og under, kalles avgrenset. Den minste (største) av de øvre (nedre) grensene til et sett kalles den eksakte øvre (nedre) grensen til dette settet.
Et numerisk intervall er et sammenkoblet sett med reelle tall, det vil si slik at hvis 2 tall tilhører dette settet, så tilhører alle tallene mellom dem også dette settet. Det finnes flere litt forskjellige typer ikke-tomme tallintervaller: Linje, åpen stråle, lukket stråle, segment, halvintervall, intervall
Nummer linje
Settet med alle reelle tall kalles også talllinjen. De skriver.
I praksis er det ikke nødvendig å skille mellom begrepet en koordinat eller tallinje i geometrisk forstand og begrepet en talllinje introdusert av denne definisjonen. Derfor er disse forskjellige konseptene betegnet med samme begrep.
Åpen bjelke
Settet med tall som kalles en åpen tallstråle. De skriver 
eller følgelig: 
.
Lukket stråle
Settet med tall som kalles en lukket talllinje. De skriver 
eller tilsvarende:.
Et sett med tall kalles et tallsegment.
Kommentar. Definisjonen tilsier ikke det. Det forutsettes at saken er mulig. Da blir det numeriske intervallet til et punkt.
Intervall
Et sett med tall som kalles et numerisk intervall.
Kommentar. Sammenfallet av betegnelsene på en åpen stråle, en rett linje og et intervall er ikke tilfeldig. En åpen stråle kan forstås som et intervall, hvor en av endene er fjernet til det uendelige, og en talllinje - som et intervall, hvor begge ender er fjernet til det uendelige.
Halvintervall
Et sett med tall som dette kalles et numerisk halvintervall.
De skriver hhv.
3.Funksjon.Graf av funksjonen. Metoder for å spesifisere en funksjon.
Svar - Hvis to variabler x og y er gitt, så sies variabelen y å være en funksjon av variabelen x hvis en slik sammenheng er gitt mellom disse variablene som gjør at hver verdi unikt kan bestemme verdien av y.
Notasjonen F = y(x) betyr at det vurderes en funksjon som lar en hvilken som helst verdi av den uavhengige variabelen x (blant de som argumentet x vanligvis kan ta) finne den tilsvarende verdien til den avhengige variabelen y.
Metoder for å spesifisere en funksjon.
Funksjonen kan spesifiseres med en formel, for eksempel:
y = 3x2 – 2.
Funksjonen kan spesifiseres med en graf. Ved å bruke en graf kan du bestemme hvilken funksjonsverdi som tilsvarer en spesifisert argumentverdi. Dette er vanligvis en omtrentlig verdi av funksjonen.
4. Hovedkarakteristika for funksjonen: monotonisitet, paritet, periodisitet.
Svar - Periodisitet Definisjon. En funksjon f kalles periodisk hvis det finnes et slikt tall 
, at f(x+ 
)=f(x), for alle x 
D(f). Naturligvis finnes det utallige antall slike tall. Det minste positive tallet ^ T kalles perioden for funksjonen. Eksempler. A. y = cos x, T = 2 
. V. y = tg x, T = 
. S. y = (x), T = 1. D. y = 
, denne funksjonen er ikke periodisk. Paritetsdefinisjon. En funksjon f kalles selv om egenskapen f(-x) = f(x) gjelder for alle x i D(f). Hvis f(-x) = -f(x), kalles funksjonen oddetall. Hvis ingen av de angitte relasjonene er oppfylt, kalles funksjonen en generell funksjon. Eksempler. A. y = cos (x) - jevn; V. y = tg (x) - oddetall; S. y = (x); y=sin(x+1) – funksjoner av generell form. Monotoni Definisjon. En funksjon f: X -> R kalles økende (minkende) hvis for noen 
betingelsen er oppfylt: 
Definisjon. En funksjon X -> R sies å være monoton på X hvis den øker eller avtar på X. Hvis f er monoton på noen delmengder av X, kalles det stykkevis monoton. Eksempel. y = cos x - stykkevis monoton funksjon.
B) Talllinje
Tenk på talllinjen (fig. 6):
Tenk på settet med rasjonelle tall
Hvert rasjonelt tall er representert av et bestemt punkt på tallaksen. Så tallene er markert i figuren.
La oss bevise det.
Bevis. La det være en brøk:. Vi har rett til å betrakte denne brøken som irreduserbar. Siden , da - er tallet partall: - oddetall. Ved å erstatte uttrykket finner vi: , som antyder at det er et partall. Vi har fått en selvmotsigelse som beviser utsagnet.
Så ikke alle punktene på tallaksen representerer rasjonelle tall. De punktene som ikke representerer rasjonelle tall representerer tall som kalles irrasjonell.
Et hvilket som helst tall på formen , , er enten et heltall eller et irrasjonelt tall.
Numeriske intervaller
Numeriske segmenter, intervaller, halvintervaller og stråler kalles numeriske intervaller.
| Ulikhet som spesifiserer et numerisk intervall | Betegnelse på et numerisk intervall | Navn på nummerintervallet | Den lyder slik: |
| a ≤ x ≤ b | [en; b] | Numerisk segment | Segment fra a til b |
| en< x < b | (en; b) | Intervall | Intervall fra a til b |
| a ≤ x< b | [en; b) | Halvintervall | Halvintervall fra en før b, gjelder også en. |
| en< x ≤ b | (en; b] | Halvintervall | Halvintervall fra en før b, gjelder også b. |
| x ≥ a | [en; +∞) | Tallstråle | Tallstråle fra en opp til pluss uendelig |
| x>a | (en; +∞) | Åpen tallstråle | Åpne numerisk bjelke fra en opp til pluss uendelig |
| x ≤ a | (- ∞; en] | Tallstråle | Tallstråle fra minus uendelig til en |
| x< a | (- ∞; en) | Åpen tallstråle | Åpne tallstråle fra minus uendelig til en |
La oss representere tallene på koordinatlinjen en Og b, samt nummeret x mellom dem.
Settet med alle tall som oppfyller betingelsen a ≤ x ≤ b, kalt numerisk segment eller bare et segment. Det er utpekt som følger: [ en; b] - Den lyder slik: et segment fra a til b.
Settet med tall som oppfyller betingelsen en< x < b , kalt intervall. Det er utpekt som følger: ( en; b)
Den lyder slik: intervall fra a til b.
Sett med tall som tilfredsstiller betingelsene a ≤ x< b или en<x ≤ b, er kalt halve intervaller. Betegnelser:
Sett a ≤ x< b обозначается так:[en; b), lyder slik: halvintervall fra en før b, gjelder også en.
En haug med en<x ≤ b er indikert som følger:( en; b], lyder slik: halvintervall fra en før b, gjelder også b.
La oss nå forestille oss Stråle med en prikk en, til høyre og venstre der det er et sett med tall.
en, oppfyller betingelsen x ≥ a, kalt numerisk stråle.
Det er utpekt som følger: [ en; +∞)-Leser slik: en numerisk stråle fra en til pluss uendelig.
Sett med tall til høyre for et punkt en, tilsvarende ulikheten x>a, kalt åpen nummerstråle.
Den er utpekt som følger: ( en; +∞)-Leser slik: en åpen numerisk stråle fra en til pluss uendelig.
en, oppfyller betingelsen x ≤ a, kalt numerisk stråle fra minus uendelig tilen .
Den er betegnet som følger:( - ∞; en]-Leser slik: en numerisk stråle fra minus uendelig til en.
Sett med tall til venstre for punktet en, tilsvarende ulikheten x< a , kalt åpen tallstråle fra minus uendelig tilen .
Den er utpekt som følger: ( - ∞; en)-Les slik: en åpen tallstråle fra minus uendelig til en.
Settet med reelle tall er representert av hele koordinatlinjen. Han blir kalt nummer linje. Det er utpekt som følger: ( - ∞; + ∞ )
3) Lineære ligninger og ulikheter med én variabel, deres løsninger:
En ligning som inneholder en variabel kalles en ligning med én variabel, eller en ligning med én ukjent. For eksempel er en ligning med én variabel 3(2x+7)=4x-1.
Roten eller løsningen til en ligning er verdien av en variabel der ligningen blir en sann numerisk likhet. For eksempel er tallet 1 en løsning på ligningen 2x+5=8x-1. Ligningen x2+1=0 har ingen løsning, fordi venstre side av ligningen er alltid større enn null. Ligningen (x+3)(x-4) =0 har to røtter: x1= -3, x2=4.
Å løse en ligning betyr å finne alle dens røtter eller bevise at det ikke finnes røtter.
Ligninger kalles ekvivalente hvis alle røttene til den første ligningen er røttene til den andre ligningen og omvendt, alle røttene til den andre ligningen er røttene til den første ligningen eller hvis begge ligningene ikke har noen røtter. For eksempel er likningene x-8=2 og x+10=20 ekvivalente, fordi roten av den første likningen x=10 er også roten til den andre likningen, og begge likningene har samme rot.
Ved løsning av ligninger brukes følgende egenskaper:
Hvis du flytter et ledd i en likning fra en del til en annen, og endrer fortegn, vil du få en likning som tilsvarer den gitte.
Hvis begge sider av en ligning multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en ligning tilsvarende den gitte.
Ligningen ax=b, der x er en variabel og a og b er noen tall, kalles en lineær ligning med én variabel.
Hvis a¹0, har ligningen en unik løsning.
Hvis a=0, b=0, tilfredsstilles ligningen med en hvilken som helst verdi av x.
Hvis a=0, b¹0, så har ligningen ingen løsninger, fordi 0x=b kjøres ikke for noen verdi av variabelen.
Eksempel 1. Løs ligningen: -8(11-2x)+40=3(5x-4)
La oss åpne parentesene på begge sider av ligningen, flytte alle ledd med x til venstre side av ligningen, og ledd som ikke inneholder x til høyre side, får vi:
16x-15x=88-40-12
Eksempel 2. Løs ligningene:
x3-2x2-98x+18=0;
Disse ligningene er ikke lineære, men vi skal vise hvordan slike ligninger kan løses.
3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Produktet er lik null, hvis en av faktorene er lik null, får vi x1=0; x2= .
Svar: 0; .
Faktor venstre side av ligningen:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), dvs. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Dette viser at løsningene til denne ligningen er tallene x1=2, x2=3, x3=-3.
c) Tenk deg 7x som 3x+4x, så har vi: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, derav x1=-3, x2=-4.
Svar: -3; - 4.
Eksempel 3. Løs ligningen: ½x+1ç+½x-1ç=3.
La oss huske definisjonen av modulen til et tall: 
For eksempel: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
I denne ligningen er tallene x-1 og x+1 under modultegnet. Hvis x er mindre enn –1, så er tallet x+1 negativt, så ½x+1½=-x-1. Og hvis x>-1, så er ½x+1½=x+1. Ved x=-1 ½x+1½=0.
Dermed, 
like måte
a) Tenk på denne ligningen½x+1½+½x-1½=3 for x £-1, den er ekvivalent med ligningen -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, dette tallet tilhører mengden x £-1.
b) La -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
c) Tenk på tilfellet x>1.
x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Dette tallet tilhører settet x>1.
Svar: x1=-1,5; x2=1,5.
Eksempel 4. Løs ligningen:½x+2½+3½x½=2½x-1½.
La oss vise en kort oversikt over løsningen til ligningen, og avsløre tegnet på modulen "over intervaller".
x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), -4x=4, x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)
Svar: [-2; 0]
Eksempel 5. Løs ligningen: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), for alle verdiene til parameter a.
Det er faktisk to variabler i denne ligningen, men betrakt x som det ukjente og a som parameteren. Det er nødvendig å løse ligningen for variabelen x for enhver verdi av parameteren a.
Hvis a=1, så har ligningen formen 0×x=0.
Hvis a=-1, så ser ligningen ut som 0×x=-2, ikke et eneste tall tilfredsstiller denne ligningen.
Hvis a¹1, a¹-1, så har ligningen en unik løsning.
Svar: hvis a=1, så er x et hvilket som helst tall;
hvis a=-1, så er det ingen løsninger;
hvis a¹±1, så .
B) Lineære ulikheter med én variabel.
Hvis variabelen x gis en numerisk verdi, får vi en numerisk ulikhet som uttrykker enten en sann eller usann påstand. La for eksempel ulikheten 5x-1>3x+2 gis. For x=2 får vi 5·2-1>3·2+2 – en sann setning (sann numerisk setning); for x=0 får vi 5·0-1>3·0+2 – en falsk påstand. Enhver verdi av en variabel der en gitt ulikhet med en variabel blir til en sann numerisk ulikhet kalles en løsning på ulikheten. Å løse en ulikhet med en variabel betyr å finne settet med alle dens løsninger.
To ulikheter med samme variabel x sies å være ekvivalente hvis settene med løsninger på disse ulikhetene faller sammen.
Hovedideen for å løse ulikheten er som følger: vi erstatter den gitte ulikheten med en annen, enklere, men ekvivalent med den gitte; vi erstatter igjen den resulterende ulikheten med en enklere ulikhet tilsvarende den osv.
Slike utskiftninger gjøres på grunnlag av følgende uttalelser.
Teorem 1. Hvis et ledd i en ulikhet med en variabel overføres fra en del av ulikheten til en annen med motsatt fortegn, mens ulikhetens fortegnet forblir uendret, vil en ulikhet tilsvarende den gitte oppnås.
Teorem 2. Hvis begge sider av en ulikhet med én variabel multipliseres eller divideres med det samme positive tallet, og ulikhetens fortegnet forblir uendret, vil en ulikhet tilsvarende den gitte fås.
Teorem 3. Hvis begge sider av en ulikhet med én variabel multipliseres eller divideres med det samme negative tallet, mens man endrer fortegnet på ulikheten til det motsatte, vil man få en ulikhet tilsvarende den gitte.
En ulikhet på formen ax+b>0 kalles lineær (henholdsvis ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Eksempel 1. Løs ulikheten: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
Ved å åpne brakettene får vi 2x-6+5-5x³6x-15,
Numeriske intervaller. Kontekst. Definisjon
En likhet (ligning) har ett punkt på tallinjen (selv om dette punktet avhenger av transformasjonene som er gjort og den valgte roten). Løsningen på selve ligningen vil være et numerisk sett (noen ganger bestående av et enkelt tall). Alt dette på talllinjen (visualisering av et sett med reelle tall) vil imidlertid kun vises punktvis, men det er også mer generaliserte typer forhold mellom to tall - ulikheter. I dem er talllinjen delt med et visst tall, og en viss del er avskåret fra den - verdiene til et uttrykk eller et numerisk intervall.
Det er logisk å diskutere temaet numeriske intervaller sammen med ulikheter, men dette betyr ikke at det bare er forbundet med dem. Numeriske intervaller (intervaller, segmenter, stråler) er et sett med variable verdier som tilfredsstiller en viss ulikhet. Det vil si at dette i hovedsak er settet av alle punkter på tallinjen, begrenset av en slags rammeverk. Derfor er temaet numeriske intervaller nærmest knyttet til konseptet variabel. Der det er en variabel, eller et vilkårlig punkt x på tallinjen, og det brukes, er det også numeriske intervaller, intervaller - x-verdier. Ofte kan verdien være hva som helst, men dette er også et numerisk intervall som dekker hele tallinjen.
La oss introdusere konseptet numerisk intervall. Blant numeriske sett, det vil si sett hvis objekter er tall, skilles det ut såkalte numeriske intervaller. Deres verdi er at det er veldig lett å forestille seg et sett som tilsvarer et spesifisert numerisk intervall, og omvendt. Derfor, med deres hjelp, er det praktisk å skrive ned mange løsninger på en ulikhet. Mens settet med løsninger til ligningen ikke vil være et numerisk intervall, men ganske enkelt flere tall på tallinjen, med ulikheter, med andre ord, eventuelle restriksjoner på verdien av en variabel, vises numeriske intervaller.
Et tallintervall er settet av alle punkter på tallinjen, begrenset av et gitt tall eller tall (punkter på tallinjen).
Et numerisk intervall av noe slag (et sett med x-verdier innelukket mellom visse tall) kan alltid representeres av tre typer matematisk notasjon: spesiell notasjon for intervaller, kjeder av ulikheter (enkelt ulikhet eller dobbel ulikhet) eller geometrisk på et tall linje. I hovedsak har alle disse betegnelsene samme betydning. De gir en begrensning(er) på verdiene til et matematisk objekt, variabel (en eller annen variabel, ethvert uttrykk med en variabel, funksjon, etc.).
Fra ovenstående kan det forstås at siden området til talllinjen kan begrenses på forskjellige måter (det er forskjellige typer ulikheter), så er typene numeriske intervaller forskjellige.
Typer numeriske intervaller
Hver type numerisk intervall har sitt eget navn, en spesiell betegnelse. For å angi numeriske intervaller brukes runde og firkantede parenteser. En parentes betyr at det endelige, grensedefinerende punktet på tallinjen (enden) av denne parentesen ikke er inkludert i settet med punkter i dette intervallet. Den firkantede braketten betyr at enden passer inn i gapet. Med uendelig (på denne siden er intervallet ikke begrenset) bruk en parentes. Noen ganger, i stedet for parenteser, kan du skrive firkantede parenteser snudd i motsatt retning: (a;b) ⇔]a;b[
| Type gap (navn) | Geometrisk bilde (på en talllinje) | Betegnelse | Å skrive ved å bruke ulikheter (alltid lenket for korthets skyld) |
|---|---|---|---|
| Intervall (åpent) | (a;b) | en< x < b | |
| Segment (segment) | a ≤ x ≤ b | ||
| Halvintervall (halvt segment) | en< x ≤ b | ||
| Stråle | x ≤ b | ||
| Åpen bjelke | (a;+∞) | x>a | |
| Åpen bjelke | (-∞;b) | x< b | |
| Settet med alle tall (på en koordinatlinje) | (-∞;+∞) , selv om det her er nødvendig å indikere den spesifikke settbæreren til algebraen som arbeidet utføres med; eksempel: | x ∈(vanligvis snakker de om settet med reelle tall; for å representere komplekse tall bruker de det komplekse planet, ikke den rette linjen) | |
| Likestilling | eller x=a | x = a(et spesielt tilfelle av en ikke-streng ulikhet: a ≤ x ≤ a- et intervall med lengde 1, hvor begge ender faller sammen - et segment som består av ett punkt) | |
| Tomt sett | ∅ | Det tomme settet er også et intervall - variabelen x har ingen verdier (det tomme settet). Betegnelse: x∈∅⇔x∈( ). |
Navnene på intervallene kan være forvirrende: det er et stort antall alternativer. Derfor er det alltid bedre å indikere dem nøyaktig. I engelsk litteratur brukes bare begrepet intervall ("intervall") - åpen, lukket, halvåpen (halvlukket). Det er mange variasjoner.
Intervaller i matematikk brukes til å betegne et veldig stort antall ting: det er intervaller for isolasjon når man løser ligninger, intervaller for integrasjon, intervaller for konvergens av serier. Når du studerer en funksjon, brukes alltid intervaller for å betegne dens verdiområde og definisjonsdomene. Huller er veldig viktige, det er for eksempel Bolzano-Cauchy teorem(du kan finne ut mer på Wikipedia).
Systemer og sett med ulikheter
System av ulikheter
Så, en variabel x eller verdien av et uttrykk kan sammenlignes med en konstant verdi - dette er en ulikhet, men dette uttrykket kan sammenlignes med flere størrelser - en dobbel ulikhet, en kjede av ulikheter osv. Dette er nøyaktig hva som var vist ovenfor - som et intervall og et segment. Begge er system av ulikheter.
Så hvis oppgaven er å finne et sett med felles løsninger på to eller flere ulikheter, så kan vi snakke om å løse et system av ulikheter (akkurat som med ligninger - selv om vi kan si at ligninger er et spesialtilfelle).
Da er det åpenbart at verdien av variabelen som brukes i ulikhetene, ved hvilken hver av dem blir sann, kalles løsningen på ulikhetssystemet.
Alle ulikheter som er inkludert i systemet er kombinert med en krøllete klammeparentes - "(". Noen ganger er de skrevet i formen dobbel ulikhet(som vist ovenfor) eller til og med kjede av ulikheter. Eksempel på en typisk oppføring: f x ≤ 30 g x 5 .
Løsningen på systemer med lineære ulikheter med én variabel i det generelle tilfellet kommer ned til disse 4 typene: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.
Ethvert system kan løses grafisk ved hjelp av talllinjen. Der løsningene av ulikhetene som utgjør systemet krysser hverandre, vil det være en løsning på selve systemet.
La oss presentere en grafisk løsning for hvert enkelt tilfelle.
(1) x>b (2) aVidere kan ulikhetssystemer klassifiseres som likeverdige hvis de har et felles sett med løsninger. Herfra (som du kan se ovenfor) følger det at mer komplekse systemer kan forenkles (for eksempel ved å bruke en geometrisk løsning).
Den krøllete klammeparentesen kan betinget, grovt sett, kalles ekvivalenten til konjunksjonen " OG"for ulikheter
Sett med ulikheter
Det er imidlertid andre tilfeller. Så, i tillegg til skjæringspunktet mellom sett med løsninger, er det deres forening: hvis oppgaven er å finne settet med alle slike verdier av en variabel, som hver er en løsning på minst en av de gitte ulikhetene, så sier de at det er nødvendig å løse settet med ulikheter.
Så alle ulikheter i aggregatet forenes av aggregatparentesen "[". Hvis verdien av en variabel tilfredsstiller minst én ulikhet fra populasjonen, så tilhører den settet med løsninger for hele populasjonen. Det samme gjelder for ligninger (igjen, de kan kalles et spesialtilfelle).
Hvis den krøllete tannreguleringen er Og, da er den samlede parentesen, betinget, i enkelt språk, ekvivalenten til foreningen " ELLER" for ulikheter (selv om dette selvfølgelig vil være en logisk eller, inkludert tilfellet som tilfredsstiller begge betingelsene).
Så løsningen på et sett med ulikheter er verdien av variabelen der minst en ulikhet blir sann.
Settet med løsninger, både samlinger og systemer av ulikheter, kan defineres gjennom to grunnleggende binære operasjoner for arbeid med sett - skjæringspunkt og union. Settet med løsninger på et system av ulikheter er kryss sett med løsninger på ulikheter som utgjør den. Settet med løsninger på et sett med ulikheter er Union sett med løsninger på ulikheter som utgjør den. Dette kan også illustreres. La oss si at vi har et system og et sett med to ulikheter. Vi betegner settet med løsninger til den første EN, og angir settet med løsninger av den andre B. En utmerket illustrasjon ville være Euler-Venn-diagrammet.
A ∪ B - løsning på et system av ulikheter A ∩ B - løsning på et sett med ulikheter