Hvordan finne ut arealet til en polygon som kjenner omkretsen. Tomter i forskjellige former

Leksjon fra serien " Geometriske algoritmer»

Hei kjære leser.

Løsningen på mange problemer innen beregningsgeometri er basert på funn polygonområde. I denne leksjonen vil vi utlede en formel for å beregne arealet til en polygon gjennom koordinatene til hjørnene, og skrive en funksjon for å beregne dette arealet.

Oppgave. Beregn arealet av polygon, gitt av koordinater hjørnene deres, for å gå rundt dem med klokken.

Innsikt fra Computational Geometry

For å utlede formelen for arealet til en polygon, trenger vi informasjon fra beregningsgeometri, nemlig konseptet med det orienterte området til en trekant.

Det orienterte området til en trekant er et vanlig område utstyrt med et skilt. Tegn på det orienterte området til en trekant ABC det samme som den orienterte vinkelen mellom vektorene og . Det vil si at tegnet avhenger av rekkefølgen toppunktene er oppført i.

På ris. 1 trekant ABC– rektangulær. Det orienterte området er lik (det er større enn null, siden paret er orientert positivt). Den samme verdien kan beregnes på en annen måte.

La OM – vilkårlig poeng flyet. I vår figur området trekant ABC oppnådd ved å trekke fra områdene OAB og OCA fra arealet av trekant OBC. Så du trenger bare legge til orienterte områder trekanter OAB, OBC og OCA. Denne regelen fungerer for alle valg av punkt OM.

På samme måte, for å beregne arealet til en polygon, må du legge sammen de orienterte områdene til trekantene

Summen vil være arealet av polygonet, tatt med et plusstegn hvis polygonet er til venstre når man krysser polygonet (mot klokken krysser grensen), og med et minustegn hvis det er til høyre ( med klokken).

Så, å beregne arealet til en polygon reduseres til å finne arealet til en trekant. La oss se hvordan du uttrykker det i koordinater.

Kryssproduktet av to vektorer på et plan er arealet til et parallellogram konstruert på disse vektorene.

Kryssprodukt uttrykt i form av vektorkoordinater:

Arealet av trekanten vil være lik halvparten av dette området:

Det er praktisk å ta opprinnelsen til koordinatene som punkt O, da vil koordinatene til vektorene som de orienterte områdene beregnes på grunnlag av, falle sammen med koordinatene til punktene.

La (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - koordinatene til toppunktene til en gitt polygon i med eller mot klokken. Da vil dets orienterte område S være lik:

Dette er arbeidsformelen vår, den brukes i programmet vårt.

Hvis koordinatene til toppunktene ble spesifisert i rekkefølge mot klokken, så tallet S, beregnet ved hjelp av denne formelen vil være positiv. I ellers det vil være negativt, og å oppnå det vanlige geometrisk område vi må ta dens absolutte verdi.

Så la oss vurdere et program for å finne arealet til en polygon gitt av koordinatene til toppunktene.

Program geom6; Konst n_max=200; ( maksimalt beløp points+1) type b=post x,y:real; slutt;

myArray= array av b; var input:text; A:myArray; s:ekte; i,n:heltall; prosedyre ZapMas(var n:heltall; var A:myArray); (Fylle arrayet) start assign(input,"input.pas"); reset(inngang); readln(inngang, n); for i:=1 til n do read(input, a[i].x,a[i].y); lukke(inngang); slutt; funksjon Firkant (A:myarray): ekte; (Beregner arealet til en polygon) var i:heltall; S: ekte; begynne a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; for i:=1 til n gjør s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Kvadrat:= S ende; (Kvadrat) begynne (hoved) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Kvadrat(a); writeln("S= ",s:6:2); slutt. Koordinatene til toppunktene leses fra filen input.pas., lagret i en matrise

EN som poster med to felt. For å gjøre det lettere å krysse polygonet, introduseres n+1 elementer i matrisen, hvis verdi er lik verdien til det første elementet i matrisen. En polygon er en flat eller konveks figur, som består av kryssede linjer (mer enn 3) og former et stort nummer av skjæringspunkter mellom linjer. En annen polygon kan defineres som brutt linje, som stenger. På en annen måte kan skjæringspunktene kalles toppunktene til figuren. Avhengig av antall hjørner, kan figuren kalles en femkant, sekskant og så videre. Vinkelen til en polygon er vinkelen som dannes av sidene som møtes i ett toppunkt. Vinkelen er inne i polygonet. Dessuten kan vinklene være forskjellige, opptil 180 grader. Det er også

De rette linjene som deretter krysser hverandre kalles sidene til polygonet. De kan være tilstøtende, tilstøtende eller ikke-tilstøtende. En veldig viktig egenskap ved den presenterte geometriske figuren er at dens ikke-tilstøtende sider ikke krysser hverandre, og derfor ikke har felles punkter. Tilstøtende sider av en figur kan ikke være på samme rette linje.

De toppunktene til en figur som tilhører samme linje kan kalles tilstøtende. Hvis du trekker en linje mellom to hjørner som ikke er tilstøtende, får du diagonalen til en polygon. Når det gjelder området til figuren, er dette indre del plan av en geometrisk figur med stort beløp toppunkter, som skapes ved at polygonsegmentene deler den.

Det er ingen enkelt løsning for å bestemme arealet til den presenterte geometriske figuren, siden det kan være alternativer for figuren uendelig sett og for hvert alternativ er det en løsning. Imidlertid må noen av de vanligste alternativene for å finne området til en figur fortsatt vurderes (de brukes oftest i praksis og er til og med inkludert i skolens læreplan).

Først av alt, la oss vurdere vanlig polygon, det vil si en figur der alle vinklene dannet seg like sider, er også like. Så, hvordan finne arealet til en polygon i spesifikt eksempel? For dette tilfellet er det mulig å finne arealet til en polygonal figur hvis radiusen til sirkelen som er innskrevet i figuren eller omskrevet rundt den er gitt. For å gjøre dette kan du bruke følgende formel:

S = ½∙P∙r, der r er radiusen til en sirkel (innskrevet eller omskrevet), og P er omkretsen til en geometrisk polygonal figur, som kan finnes ved å multiplisere antall sider av figuren med lengden.

Hvordan finne arealet til en polygon

For å svare på spørsmålet om hvordan du finner arealet til en polygon, følg bare følgende interessant eiendom polygonal figur, ble en gang funnet av den berømte østerrikske matematikeren Georg Pieck. For eksempel, ved å bruke formelen S = N + M/2 -1, kan du finne arealet til en polygon hvis toppunkter er plassert ved nodene til et kvadratisk rutenett. I dette tilfellet er S følgelig området; N – antall firkantede rutenettnoder som er plassert inne i en figur med mange hjørner; M er antallet av nodene i det kvadratiske rutenettet som er plassert på toppunktene og sidene av polygonet. Til tross for sin skjønnhet, er Picks formel praktisk talt ikke brukt i praktisk geometri.

Den enkleste og kjent metode Definisjonen av område, som studeres på skolen, er inndelingen av en polygonal geometrisk figur i enklere deler (trapes, rektangler, trekanter). Det er ikke vanskelig å finne området til disse figurene. I dette tilfellet bestemmes arealet av polygonet ganske enkelt: du må finne områdene til alle figurene som polygonet er delt inn i.

I utgangspunktet er definisjonen av arealet til en polygon bestemt i mekanikk (dimensjoner av deler).

Omformer av avstands- og lengdeenheter Omformer av arealenheter Bli med oss © 2011-2017 Dovzhik Mikhail Kopiering av materialer er forbudt. I nettkalkulatoren kan du bruke verdier i de samme måleenhetene! Hvis du har problemer med å konvertere måleenheter, bruk avstands- og lengdeenhetsomformeren og arealenhetsomformeren. Tilleggsfunksjoner firkantet arealkalkulator

Du kan flytte mellom inndatafeltene ved å trykke på "høyre" og "venstre"-tastene på tastaturet.

Teori. Arealet av en firkant En firkant er en geometrisk figur som består av fire poeng(vertekser), hvorav ikke tre ligger på samme linje, og fire segmenter (sider) som forbinder disse punktene i par. En firkant kalles konveks hvis segmentet som forbinder to punkter på denne firkanten er plassert inne i den.

Hvordan finne ut arealet til en polygon?

Formelen for å bestemme arealet bestemmes ved å ta hver kant av polygonen AB, og beregne arealet av trekanten ABO med toppunktet ved origo O, gjennom koordinatene til toppunktene. Når du går rundt en polygon, dannes det trekanter som inkluderer innsiden av polygonen og de som ligger utenfor den. Forskjellen mellom summen av disse områdene er arealet av selve polygonet.

Derfor kalles formelen landmålerens formel, siden "kartografen" befinner seg ved opprinnelsen; hvis han går rundt området mot klokken, legges området til hvis det er til venstre og trekkes fra hvis det er til høyre sett fra opprinnelsens synspunkt. Arealformelen er gyldig for alle selvoppløselige (enkle) polygoner, som kan være konvekse eller konkave. Innhold

1 Definisjon
2 eksempler
3 Mer komplekst eksempel
4 Forklaring av navnet
5 Se

Arealet av en polygon

Merk følgende

Det kan være:

triangel;
firkant;
femkant eller sekskant og så videre.

En slik figur vil absolutt være preget av to posisjoner:

Tilstøtende sider tilhører ikke den samme rette linjen.
Ikke-tilstøtende har nei felles punkter, det vil si at de ikke krysser hverandre.

For å forstå hvilke hjørner som er naboer, må du se om de tilhører samme side. Hvis ja, så naboene. Ellers kan de kobles sammen med et segment, som må kalles en diagonal. De kan bare utføres i polygoner som har mer enn tre hjørner.

Hvilke typer av dem finnes? En polygon med mer enn fire hjørner kan være konveks eller konkav. Forskjellen mellom sistnevnte er at noen av toppene kan ligge langs forskjellige sider fra en rett linje trukket gjennom en vilkårlig side av polygonet.

Hvordan finne arealet til en vanlig og uregelmessig sekskant?

Når du kjenner lengden på siden, multipliserer du den med 6 og får omkretsen til sekskanten: 10 cm x 6 = 60 cm
La oss erstatte resultatene oppnådd med formelen vår:

kvadratrøtter

kvadratcentimeter

vanlig sekskant

Trapesmetoden.
En metode for å beregne arealet av uregelmessige polygoner ved å bruke koordinataksen.
En metode for å bryte en sekskant i andre former.

Avhengig av de første dataene du kjenner, velges en passende metode.

Viktig

Noen uregelmessige sekskanter består av to parallellogrammer. For å bestemme arealet til et parallellogram, multipliser lengden med bredden og legg til de to kjente torg. Video om hvordan du finner arealet til en polygon En likesidet sekskant har seks like sider og er en vanlig sekskant.

Arealet til en likesidet sekskant er lik 6 områder av trekantene som en vanlig sekskantet figur er delt inn i. Alle trekanter i en sekskant med vanlig form er like, så for å finne arealet til en slik sekskant vil det være nok å kjenne arealet til minst en trekant. For å finne arealet til en likesidet sekskant bruker vi selvfølgelig formelen for arealet til en vanlig sekskant beskrevet ovenfor.

404 ikke funnet

Å dekorere et hjem, klær og tegne bilder bidro til prosessen med å danne og akkumulere informasjon innen geometri, som menneskene på den tiden skaffet seg empirisk, bit for bit, og ga videre fra generasjon til generasjon. I dag er kunnskap om geometri nødvendig for kutteren, byggherren, arkitekten og alle til den vanlige mann hjemme. Derfor må du lære å beregne arealet ulike figurer, og husk at hver av formlene kan være nyttige senere i praksis, inkludert formelen for en vanlig sekskant.
Dette kalles en sekskant polygonal figur, hvorav det totale antallet vinkler er seks. En vanlig sekskant er en sekskantet figur som har like sider. Vinklene til en regulær sekskant er også lik hverandre.
I Hverdagen vi kan ofte finne gjenstander som har form som en vanlig sekskant.

Arealkalkulator for en uregelmessig polygon ved sidene

Du vil trenge

- rulett;
— elektronisk avstandsmåler;
- et papirark og en blyant;
- kalkulator.

Instruksjon 1 Hvis du trenger Totalt areal leilighet eller et eget rom, bare les det tekniske passet for leiligheten eller huset, det viser opptakene av hvert rom og det totale opptakene av leiligheten. 2 For å måle arealet til et rektangulært eller kvadratisk rom, ta et målebånd eller elektronisk avstandsmåler og mål lengden på veggene. Når du måler avstander med en avstandsmåler, må du sørge for at retningen på strålen er vinkelrett, ellers kan måleresultatene bli forvrengt. 3 Multipliser deretter den resulterende lengden (i meter) av rommet med bredden (i meter). Den resulterende verdien vil være gulvarealet, det måles i kvadratmeter.

Gaussisk områdeformel

Hvis du trenger å beregne gulvarealet mer enn kompleks design For eksempel, et femkantet rom eller et rom med en rundbue, tegn en skisse på et stykke papir. Deretter deler du kompleks form til flere enkle, for eksempel til en firkant og en trekant eller et rektangel og en halvsirkel. Bruk et målebånd eller avstandsmåler, mål størrelsen på alle sidene av de resulterende figurene (for en sirkel må du vite diameteren) og noter resultatene på tegningen din.

5 Beregn nå arealet til hver figur separat. Regn ut arealet av rektangler og firkanter ved å multiplisere sidene. For å beregne arealet til en sirkel, del diameteren i to og kvadrere den (multipliser den med seg selv), og gang den resulterende verdien med 3,14.
Hvis du bare trenger en halv sirkel, del det resulterende området i to. For å beregne arealet til en trekant, finn P ved å dele summen av alle sidene med 2.

Formel for å beregne arealet til en uregelmessig polygon

Hvis punktene er nummerert sekvensielt i retning mot klokken, så er determinantene i formelen ovenfor positive og modulen i den kan utelates; hvis de er nummerert med klokken, vil determinantene være negative. Dette er fordi formelen kan tenkes som spesielt tilfelle Greens teorem. For å bruke formelen må du kjenne koordinatene til toppunktene til polygonet i det kartesiske planet.

La oss for eksempel ta en trekant med koordinater ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). La oss ta den første x-koordinaten til det første toppunktet og gange den med y-koordinaten til det andre toppunktet, og deretter multiplisere x-koordinaten til det andre toppunktet med y-koordinaten til det tredje. La oss gjenta denne prosedyren for alle hjørner. Resultatet kan bestemmes av følgende formel: En tri.

Formel for å beregne arealet til en uregelmessig firkant

A) _(\tekst(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) hvor xi og yi angir den tilsvarende koordinaten. Denne formelen kan fås ved å åpne parentesene inn generell formel for tilfellet n = 3. Ved å bruke denne formelen kan du finne at arealet av trekanten er lik halvparten av summen av 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, som gir 3. Antall variabler i formelen avhenger av antall sider i polygonet. For eksempel vil formelen for arealet til en femkant bruke variabler opp til x5 og y5: En pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4) )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5) )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A for en firkant - variabler opp til x4 og y4: En firkant.

pedagogisk: lær elevene å finne arealet til en polygon ved å bruke deres valgte metoder, form innledende presentasjoner
polygon, grafikk og måleferdigheter;
utvikling: utvikling av metoder for mental aktivitet til studenter når de utfører oppgaver fra observasjon, beregninger for å avklare mønstrene for å beregne arealet til en polygon;
utdanne: avsløre den subjektive opplevelsen til studenter, oppmuntre til handlinger og ambisjoner til elevene som grunnlag for å pleie positive personlighetstrekk;
metodisk: skape betingelser for manifestasjon kognitiv aktivitet studenter.

Leksjonsutstyr:

Utforming av tavlen: til venstre - polygonfigurer, til høyre - en blank tavle for å skrive i leksjonen, i midten - et polygon-rektangel.
Brosjyre "For forskning".
Verktøy for lærere og elever (kritt, peker, linjal, forskningsark, figurer, Whatman-papir, tusj).

Leksjonsmetode:

Når det gjelder samhandling mellom lærer og elever – dialog-kommunikasjon;
I henhold til metoden for å løse problemer - delvis søk;
Etter metode mental aktivitet- (CUD) utviklingstrening.

Leksjonsformen er frontal, i par, individuell.

Leksjonstype - en leksjon i å mestre ny kunnskap, ferdigheter og evner.

Strukturen i timen er en gradvis fordypning i temaet, fleksibel, dialogisk.

I løpet av timene

Hilsener.

Leksjonen er fantastisk og gir glede når vi tenker og jobber sammen. I dag skal vi se på figurene, bestemme navnene deres, tenke, søke og finne løsninger. La oss ønske hverandre vellykket arbeid.

Oppdatering av kunnskap.

Se på figurene (polygoner på tavlen).

De er alle sammen. Hvorfor? Hva er fellestrekket deres? (Polygoner).

Gi denne polygonen et navn (5-gon, 6-gon...)

Kanskje du vet hva arealet til en polygon er?

Vis deretter på en av figurene.

(Generalisering av læreren: området er en del av planet inne i en lukket geometrisk figur.)

På russisk har dette ordet flere betydninger.

(Eleven bruker ordboken for å introdusere betydningene.)

En del av et plan inne i en lukket geometrisk figur.
Stort ubebygd og flatt område.
Et rom for et eller annet formål.

Hvilken betydning brukes i matematikk?

I matematikk brukes den første verdien.

(Det er en figur på tavlen).

Er dette en polygon? Ja.

Navngi figuren annerledes. Rektangel.

Vis lengde, bredde.

Hvordan finne arealet til en polygon?

Skriv formelen med bokstaver og symboler.

Hvis lengden på rektangelet vårt er 20 cm, er bredden 10 cm. Hva er området?

Arealet er 200 cm2

Tenk på hvordan du bruker en linjal slik at figuren er delt inn i:

Så du hvilke deler figuren består av? Nå, tvert imot, la oss sette det hele sammen bit for bit.

(Delene av figuren ligger på pultene. Barn setter sammen et rektangel av dem.)

Trekk konklusjoner fra dine observasjoner.

Hele figuren kan deles inn i deler og helheten kan lages av delene.

Hus basert på trekanter og firkanter ble bygd opp av figurer og silhuetter. Her er hvordan de ble.

(Demonstrasjon av tegninger laget av elever hjemme. Et av arbeidene er analysert).

Hvilke former brukte du? Du har en kompleks polygon.

Sette en læringsoppgave.

I leksjonen må vi svare på spørsmålet: hvordan finne arealet til en kompleks polygon?

Hvorfor trenger en person å finne et område?

(Barnas svar og lærerens sammendrag).

Problemet med å bestemme området oppsto fra praksis.

(Skoleplassplanen er vist).

For å bygge en skole laget de først en plan. Deretter ble territoriet delt inn i deler av et bestemt område, bygninger, blomsterbed og et stadion ble plassert. I dette tilfellet har området en viss form - formen til en polygon.

Løse et læringsproblem.

(Ark for forskning deles ut).

Det er en figur foran deg. Navngi det.

Polygon, sekskant.

La oss finne arealet av polygonet. Hva bør gjøres for dette?

Del opp i rektangler.

(Hvis du har problemer, vil det være et annet spørsmål: "Hvilke figurer består en polygon av?").

Fra to rektangler.

Bruk en linjal og blyant, del formen i rektangler. Merk de resulterende delene 1 og 2 med tall.

La oss ta målinger.

La oss finne arealet til den første figuren.

(Elevene tilbyr følgende løsninger og skriver dem på tavlen).

S 1 = 5? 2 = 10 cm 2
S2 = 5? 1 = 5 cm 2

Å vite arealet til delene, hvordan finne arealet til hele figuren?

S = 10 + 5 = 15 cm 2

S 1 = 6? 2 = 12 cm 2
S 2 = 3? 1 = 3 cm 2
S = 12 + 3 = 15 cm 2.

Sammenlign resultatene og trekk en konklusjon.

La oss spore handlingene våre

Hvordan fant du arealet til en polygon?

En algoritme er kompilert og skrevet på en plakat:?

1. Del figuren i deler

2. Finn arealene til delene av disse polygonene (S 1, S 2).

3. Finn arealet av hele polygonet (S 1 + S 2).

Snakk algoritmen.

(Flere elever resiterer algoritmen).

Vi fant to måter, kanskje det er flere?

Og du kan fullføre figuren.

Hvor mange rektangler fikk du?

La oss utpeke del 1 og 2. La oss ta målinger.

Finn arealet til hver del av polygonet.

S 1= 6? 5=30 cm 2
S2 = 5? 3 = 15 cm 2

Hvordan finne arealet av sekskanten vår?

S = 30 – 15 = 15 cm 2

La oss lage en algoritme:

Vi fullførte figuren til et rektangel

Fant S 1 og S 2.

Vi fant forskjellen S 1 – S 2.

Sammenlign de to algoritmene. Trekke en konklusjon. Hvilke handlinger er de samme? Hvor skilte våre handlinger seg?

Lukk øynene, senk hodet. Gjenta algoritmen mentalt.

Vi har forsket, sett på forskjellige metoder, og nå kan vi finne arealet til en hvilken som helst polygon.

Ytelsessjekk.

Test deg selv.

Før du er polygoner.

Finn området til en figur du velger, du kan bruke forskjellige metoder.

Arbeidet gjøres selvstendig. Barn velger en figur. Finn området på en av følgende måter. Sjekk - nøkkelen er på tavlen.

Hva kan du si om skjemaet? (Form varierer)

Hva er arealet til disse polygonene? (Arealene til disse polygonene er like)

Vurder resultatene.

Den som har rett, sett "+".

Alle som har tvil eller vanskeligheter – "?"

Konsulenter gir hjelp til barna, ser etter feil og hjelper til med å rette dem.

Hjemmelekser:

Lag dine egne forskningsark og beregn arealet til en polygon på forskjellige måter.

Leksjonssammendrag.

Så, folkens, hva forteller du foreldrene dine om hvordan du finner området til en geometrisk figur - en polygon.

Leksjon fra serien " Geometriske algoritmer»

Hei kjære leser.

Oppgave. Beregn arealet av polygon, gitt av koordinatene til dens toppunkter, i rekkefølgen av deres traversering med klokken.

Innsikt fra Computational Geometry

For å utlede formelen for arealet til en polygon, trenger vi informasjon fra beregningsgeometri, nemlig konseptet med det orienterte området til en trekant.

Det orienterte området til en trekant er et vanlig område utstyrt med et skilt. Tegn på det orienterte området til en trekant ABC det samme som den orienterte vinkelen mellom vektorene og. Det vil si at tegnet avhenger av rekkefølgen toppunktene er oppført i.

På ris. 1 trekant ABC er en rettvinklet trekant. Det orienterte området er lik (det er større enn null, siden paret er positivt orientert). Den samme verdien kan beregnes på en annen måte.

La OM– vilkårlig punkt på flyet. I figuren vår oppnås arealet av trekanten ABC hvis vi trekker fra arealene OAB og OCA fra arealet av trekanten OBC. Så du trenger bare legge til orienterte områder trekanter OAB, OBC og OCA. Denne regelen fungerer for alle valg av punkt OM.

På samme måte, for å beregne arealet til en polygon, må du legge sammen de orienterte områdene til trekantene

Så, å beregne arealet til en polygon reduseres til å finne arealet til en trekant. La oss se hvordan du uttrykker det i koordinater.

Kryssproduktet av to vektorer på et plan er arealet til et parallellogram konstruert på disse vektorene.

Kryssprodukt uttrykt i form av vektorkoordinater:

Hvis koordinatene til toppunktene ble spesifisert i rekkefølge mot klokken, så tallet S, beregnet ved hjelp av denne formelen vil være positiv. Ellers vil det være negativt, og for å oppnå det vanlige geometriske området må vi ta dets absolutte verdi.

Så la oss vurdere et program for å finne arealet til en polygon gitt av koordinatene til toppunktene.

3. Hvis en polygon består av flere polygoner, er arealet lik summen av arealene til disse polygonene.

4. Arealet av et kvadrat med siden \(a\) er lik \(a^2\) .

\[(\Large(\tekst(Areal av et rektangel og parallellogram)))\]

Teorem: Arealet av et rektangel

Arealet til et rektangel med sidene \(a\) og \(b\) er lik \(S=ab\) .

Bevis

La oss bygge rektangelet \(ABCD\) til en firkant med siden \(a+b\), som vist i figuren:

Denne firkanten består av et rektangel \(ABCD\), et annet like stort rektangel og to firkanter med sidene \(a\) og \(b\) . Dermed,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(flerlinje*)\)

Definisjon

Høyden til et parallellogram er perpendikulæren trukket fra toppunktet på parallellogrammet til siden (eller til forlengelsen av siden) som ikke inneholder dette toppunktet.
For eksempel faller høyden \(BK\) på siden \(AD\) , og høyden \(BH\) faller på fortsettelsen av siden \(CD\) :

Teorem: Arealet av et parallellogram

Arealet til et parallellogram er lik produktet av høyden og siden som denne høyden er tegnet til.

Bevis

La oss tegne perpendikulære \(AB"\) og \(DC"\) som vist på figuren. Merk at disse perpendikulærene er lik høyden på parallellogrammet \(ABCD\).

Da er \(AB"C"D\) et rektangel, derfor \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Merk at rette trekanter \(ABB"\) og \(DCC"\) er kongruente. Dermed,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\tekst(Trekantareal)))\]

Definisjon

Vi vil kalle siden som høyden i trekanten er tegnet til, for trekantens basis.

Teorem

Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av basen og høyden trukket til denne basen.

Bevis

La \(S\) være arealet av trekanten \(ABC\) . La oss ta siden \(AB\) som basis av trekanten og tegne høyden \(CH\) . La oss bevise at \ La oss fullføre trekanten \(ABC\) til parallellogrammet \(ABDC\) som vist i figuren:

Trekanter \(ABC\) og \(DCB\) er like på tre sider (\(BC\) er deres felles side, \(AB = CD\) og \(AC = BD\) som motsatte sider av parallellogrammet \(ABDC\)), så arealene deres er like. Derfor er arealet \(S\) av trekanten \(ABC\) lik halve arealet av parallellogrammet \(ABDC\), dvs. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Teorem

Hvis to trekanter \(\triangle ABC\) og \(\triangle A_1B_1C_1\) har like høyder, så er deres arealer relatert til basene som disse høydene er tegnet til.

Konsekvens

Medianen til en trekant deler den i to trekanter med lik areal.

Teorem

Hvis to trekanter \(\triangle ABC\) og \(\triangle A_2B_2C_2\) hver har lik vinkel, så er deres områder relatert som produktet av sidene som danner denne vinkelen.

Bevis

La \(\vinkel A=\vinkel A_2\) . La oss kombinere disse vinklene som vist i figuren (punkt \(A\) justert med punkt \(A_2\)):

La oss finne høydene \(BH\) og \(C_2K\) .

Trekanter \(AB_2C_2\) og \(ABC_2\) har samme høyde \(C_2K\) , derfor: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Trekanter \(ABC_2\) og \(ABC\) har samme høyde \(BH\), derfor: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Multipliserer de to siste likhetene, får vi: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( eller ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pythagoras teorem

I en rettvinklet trekant er kvadratet av lengden på hypotenusen lik summen av kvadratene av lengdene på bena:

Det motsatte er også sant: hvis en trekant har et kvadrat på lengden av en side lik summen kvadrater av lengdene på de to andre sidene, så er en slik trekant rettvinklet.

Teorem

Arealet av en rettvinklet trekant er lik halvparten av produktet av bena.

Teorem: Herons formel

La \(p\) være halvomkretsen av trekanten, \(a\) , \(b\) , \(c\) være lengdene på sidene, så er arealet \

\[(\Large(\tekst(Område med rombe og trapes)))\]

Kommentar

Fordi En rombe er et parallellogram, da gjelder samme formel for den, dvs. Arealet til en rombe er lik produktet av høyden og siden som denne høyden er trukket til.

Teorem

Torget konveks firkant, hvis diagonaler er vinkelrette, er lik halvparten av produktet av diagonalene.

Bevis

Tenk på firkanten \(ABCD\) . La oss betegne \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Merk at denne firkanten består av fire rette trekanter, derfor er arealet lik summen av arealene til disse trekantene:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(flerlinje*)\)

Konsekvens: område av en rombe

Arealet til en rombe er lik halvparten av produktet av diagonalene: \

Definisjon

Høyden på en trapes er en vinkelrett trukket fra toppen av den ene basen til den andre basen.

Teorem: Arealet av en trapes

Arealet til en trapes er lik produktet av halve summen av basene og høyden.

Bevis

Tenk på trapesen \(ABCD\) med baser \(BC\) og \(AD\) . La oss tegne \(CD"\parallell AB\) som vist i figuren:

Da er \(ABCD"\) et parallellogram.

La oss også utføre \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) er høydene til trapesen).

Deretter \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Fordi en trapes består av et parallellogram \(ABCD"\) og en trekant \(CDD"\), så er arealet lik summen av arealene til parallellogrammet og trekanten, det vil si:

\ \[=\dfrac12 CH\venstre(BC+AD"+D"D\høyre)=\dfrac12 CH\venstre(BC+AD\høyre)\]

Alle som studerte matematikk og geometri på skolen kan disse vitenskapene i det minste overfladisk. Men over tid, hvis du ikke praktiserer dem, blir kunnskap glemt. Mange tror til og med at de bare kastet bort tiden sin på å studere geometriske beregninger. De tar imidlertid feil. Tekniske arbeidere utføre daglig arbeid knyttet til geometriske beregninger. Når det gjelder å beregne arealet til en polygon, finner denne kunnskapen også sin anvendelse i livet. De vil være nødvendige i det minste for å beregne arealet av landet. Så la oss lære hvordan du finner arealet til en polygon.

Polygon definisjon

Først, la oss definere hva en polygon er. Dette er en flat geometrisk figur som er dannet som et resultat av skjæringspunktet mellom tre eller flere rette linjer. En annen enkel definisjon: en polygon er en lukket stiplet linje. Naturligvis, når linjer skjærer, dannes skjæringspunkter deres antall er lik antallet linjer som danner polygonen. Skjæringspunktene kalles toppunkter, og segmentene dannet av rette linjer kalles sider av polygonet. Tilstøtende segmenter av en polygon er ikke på samme rette linje. Linjestykker som ikke er sammenhengende er de som ikke går gjennom fellespunkter.

Summen av arealer av trekanter

Hvordan finne arealet til en polygon? Arealet til en polygon er det indre av planet som er dannet av skjæringspunktet mellom segmentene eller sidene av polygonet. Siden en polygon er en kombinasjon av figurer som en trekant, rombe, firkant, trapes, så universell formel det er rett og slett ingen måte å beregne arealet på. I praksis er den mest universelle metoden for å dele en polygon i enklere figurer, hvis område ikke er vanskelig å finne. Ved å legge til summene av arealene til disse enkle figurene, oppnås arealet av polygonet.

Gjennom området til en sirkel

I de fleste tilfeller har en polygon en vanlig form og danner en figur med like sider og vinkler mellom seg. I dette tilfellet er det veldig enkelt å beregne arealet ved å bruke en innskrevet eller omskrevet sirkel. Hvis arealet av sirkelen er kjent, må det multipliseres med polygonens omkrets, og deretter det resulterende produktet delt på 2. Resultatet er en formel for å beregne arealet til en slik polygon: S = ½∙P∙r., der P er arealet av sirkelen, og r er omkretsen til polygonet.

Metoden for å dele en polygon i "praktiske" former er den mest populære innen geometri, den lar deg raskt og riktig finne arealet til en polygon. 4. klasse videregående skole studerer vanligvis slike metoder.

Areal, en av hovedmengdene knyttet til geometriske former. I de enkleste tilfellene måles det ved antall fyllstoffer flat figur enhetsruter, dvs. ruter med en side lik en lengde. Beregning av P. var allerede i antikken... ...

Dette begrepet har andre betydninger, se Område (betydninger). Arealet til en flyfigur er additiv numerisk karakteristikk en figur som helt tilhører ett plan. I det enkleste tilfellet, når en figur kan deles inn i en endelig... ... Wikipedia

I Areal er en av hovedmengdene knyttet til geometriske former. I de enkleste tilfellene måles det ved antall enhetskvadrater som fyller en flat figur, det vil si firkanter med en side lik en lengdeenhet. Beregning av P...... Stor sovjetisk leksikon

Dette begrepet har andre betydninger, se Område (betydninger). Areal Dimensjon L² SI enheter m² ... Wikipedia

G. 1. Del jordens overflate, en plass som er naturlig begrenset eller spesielt tildelt for et eller annet formål. Ott. kropp av vann. Ott. Et stort, flatt sted, plass. 2. Flatt, ubebygd offentlig rom... ... Moderne Ordbok Russisk språk Efremova

Denne artikkelen foreslås slettet. En forklaring av årsakene og den tilhørende diskusjonen finner du på Wikipedia-siden: Skal slettes / 2. september 2012. Mens diskusjonsprosessen ikke er fullført, kan du prøve å forbedre artikkelen, men du bør ... .. . Wikipedia

To stykker i R2 har like områder og følgelig to polygoner M1 og M 2 slik at de kan skjæres til polygoner slik at delene som utgjør M 1 er respektive kongruente med delene som utgjør M 2. For, likt areal ... ... Matematisk leksikon

В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Picks teorem klassiske resultat kombinatorisk geometri og geometri av tall. Arealet av en polygon med et heltall ... Wikipedia

Dette begrepet har andre betydninger, se Picks teorem. В = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 Picks formel (eller Picks teorem) er et klassisk resultat av kombinatorisk geometri og talls geometri. Område... Wikipedia

Region (koblet åpent sett) på grensen til en konveks kropp i euklidisk rom E 3. Hele grensen til en konveks kropp kalles. komplett V. p Hvis kroppen er endelig, kalles komplett V. p. lukket. Hvis kroppen er uendelig, kalles den komplette V.p. endeløs...... Matematisk leksikon