Berapakah jumlah semua sudut dalam segitiga. Teorem Jumlah Sudut Segitiga

1) Jumlah sudut segi tiga sama dengan 180°.

Bukti

Biar ABC" - segi tiga sewenang-wenangnya. Mari kita lukis garisan melalui bucu B selari dengan garis AC (garisan sedemikian dipanggil garis Euclidean). Mari kita tandakan titik D di atasnya supaya titik A dan D terletak di sepanjang sisi yang berbeza garis lurus BC Sudut DBC dan ACB adalah sama dengan garis silang silang yang dibentuk oleh BC transversal dengan garis lurus selari AC dan BD. Oleh itu, jumlah sudut segitiga pada bucu B dan C adalah sama dengan sudut ABD. Hasil tambah ketiga-tiga sudut segitiga adalah sama dengan jumlah sudut ABD dan BAC. Oleh kerana ini adalah sudut pedalaman satu sisi untuk AC dan BD selari dengan sekan AB, jumlahnya adalah sama dengan 180°. Teorem terbukti.
2) Sudut luar segitiga pada bucu tertentu ialah sudut yang bersebelahan dengan sudut segi tiga pada bucu ini.

Teorem: Sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak bersebelahan dengannya

Bukti. Biarkan ABC ialah segi tiga yang diberi. Dengan teorem jumlah sudut dalam segitiga
∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB = 180º.
ini membayangkan
∠ ABC + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Teorem terbukti.

Daripada teorem ia berikut:
Sudut luar segitiga adalah lebih besar daripada mana-mana sudut segitiga yang tidak bersebelahan dengannya.
3) Jumlah sudut segi tiga = 180 darjah. Jika satu daripada sudut itu betul (90 darjah) dua yang lain juga 90. Ini bermakna setiap satu daripadanya adalah kurang daripada 90, iaitu ia adalah akut. jika salah satu sudut tumpul, maka dua yang lain kurang daripada 90, iaitu jelas lancip.
4) bodoh - lebih daripada 90 darjah
akut - kurang daripada 90 darjah
5) a. Segitiga yang salah satu sudutnya ialah 90 darjah.
b. Kaki dan hipotenus
6) 6°. Dalam setiap segi tiga, bertentangan dengan sisi yang lebih besar terletak sudut yang lebih besar dan sebaliknya: bertentangan dengan sudut yang lebih besar terletak sebelah besar. Mana-mana segmen mempunyai satu dan hanya satu titik tengah.
7) Mengikut teorem Pythagoras: kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki, yang bermaksud hipotenus lebih besar daripada setiap kaki.
8) --- sama seperti 7
9) Jumlah sudut segitiga ialah 180 darjah. bagaimana jika setiap sisi segitiga itu lebih daripada jumlahnya dua sisi yang lain, maka jumlah sudut akan lebih besar daripada 180, yang mustahil. Oleh itu, setiap sisi segitiga adalah kurang daripada jumlah dua sisi yang lain.
10) Jumlah sudut mana-mana segi tiga ialah 180 darjah.
Oleh kerana segi tiga ini bersudut tegak, salah satu sudutnya adalah tegak, iaitu sama dengan 90 darjah.
Oleh itu, jumlah dua yang lain sudut tajam sama dengan 180-90=90 darjah.
11) 1. pertimbangkan segi empat tepat segi tiga ABC di mana sudut A ialah sudut tegak, sudut B = 30 darjah dan sudut C = 60. Mari kita pasangkan pada segitiga ABC sebuah segi tiga sama ABD. Kami mendapat segitiga BCD di mana sudut B = sudut D = 60 darjah, oleh itu DC = BC. Tetapi mengikut pembinaan, AC ialah 1/2 SM, yang mana perlu dibuktikan.2. Jika kaki segi tiga tepat sama dengan separuh hipotenus, maka sudut yang bertentangan dengan kaki ini adalah sama dengan 30 darjah Mari kita pertimbangkan segi tiga tegak ABC, yang kaki AC adalah sama dengan separuh hipotenus AC. Mari kita pasangkan pada segitiga ABC sebuah segitiga sama ABD. Mendapat segi tiga sama BCD. Sudut segi tiga sama sisi sama antara satu sama lain (kerana sisi yang sama terletak bertentangan sudut yang sama), jadi setiap daripada mereka = 60 darjah. Tetapi sudut DBC = 2 sudut ABC, oleh itu sudut ABC = 30 darjah, itulah yang perlu dibuktikan.

Susulan dari semalam:

Mari kita bermain dengan mozek berdasarkan kisah dongeng geometri:

Pada suatu masa dahulu terdapat segitiga. Begitu serupa bahawa mereka hanya salinan antara satu sama lain.
Mereka entah bagaimana berdiri sebelah menyebelah dalam satu garisan lurus. Dan kerana mereka semua sama tinggi -
maka gasing mereka pada tahap yang sama, di bawah pembaris:

Segitiga suka jatuh dan berdiri di atas kepala mereka. Mereka naik ke barisan atas dan berdiri di sudut seperti akrobat.
Dan kita sudah tahu - apabila mereka berdiri dengan puncak mereka tepat dalam satu barisan,
maka tapak kakinya juga mengikut pembaris - kerana jika seseorang itu sama tinggi, maka mereka juga sama tingginya terbalik!

Mereka adalah sama dalam segala-galanya - ketinggian yang sama, dan tapak kaki yang sama,
dan gelongsor di sisi - satu lebih curam, satu lagi rata - adalah sama panjangnya
dan mereka mempunyai cerun yang sama. Nah, hanya kembar! (hanya dalam pakaian yang berbeza, masing-masing dengan kepingan teka-teki mereka sendiri).

- Di manakah segitiga sisi yang sama? Di manakah sudut yang sama?

Segitiga berdiri di atas kepala mereka, berdiri di sana, dan memutuskan untuk meluncur turun dan berbaring di baris bawah.
Mereka tergelincir dan tergelincir menuruni bukit; tetapi slaid mereka adalah sama!
Jadi mereka sesuai dengan tepat di antara segi tiga yang lebih rendah, tanpa jurang, dan tiada siapa yang menolak sesiapa pun.

Kami melihat sekeliling segitiga dan melihat ciri yang menarik.
Di mana sahaja sudut mereka berkumpul, ketiga-tiga sudut itu pasti akan bertemu:
yang terbesar ialah "sudut kepala", sudut paling tajam dan ketiga, sudut sederhana terbesar.
Mereka juga mengikat reben berwarna supaya ia akan segera jelas yang mana.

Dan ternyata bahawa tiga sudut segitiga, jika anda menggabungkannya -
membentuk satu sudut besar, "sudut terbuka" - seperti kulit buku terbuka,

___________________O ___________________

ia dipanggil sudut terbalik.

Mana-mana segitiga adalah seperti pasport: tiga sudut bersama-sama adalah sama dengan sudut terbentang.
Seseorang mengetuk pintu anda: - ketuk-ketuk, saya segitiga, biarkan saya bermalam!
Dan awak beritahu dia - Tunjukkan kepada saya jumlah sudut dalam bentuk kembang!
Dan ia segera jelas sama ada ini adalah segitiga sebenar atau penipu.
Pengesahan gagal - Pusinglah seratus lapan puluh darjah dan pulanglah!

Apabila mereka menyebut "pusing 180°" bermakna pusing ke belakang dan
pergi ke arah yang bertentangan.

Perkara yang sama dalam ungkapan yang lebih biasa, tanpa "suatu masa dahulu":

Mari lakukannya pemindahan selari segi tiga ABC sepanjang paksi OX
kepada vektor AB sama panjang asas AB.
Garis DF melalui bucu C dan C 1 segi tiga
selari dengan paksi OX, disebabkan oleh fakta bahawa berserenjang dengan paksi OH
segmen h dan h 1 (ketinggian segi tiga sama) adalah sama.
Oleh itu, tapak segi tiga A 2 B 2 C 2 adalah selari dengan tapak AB
dan sama dengan panjangnya (kerana bucu C 1 dianjak relatif kepada C dengan jumlah AB).
Segitiga A 2 B 2 C 2 dan ABC adalah sama pada tiga sisi.
Oleh itu, sudut ∠A 1 ∠B ∠C 2 yang membentuk sudut lurus adalah sama dengan sudut segitiga ABC.
=> Jumlah sudut bagi segi tiga ialah 180°

Dengan pergerakan - "terjemahan", bukti yang dipanggil lebih pendek dan jelas,
kanak-kanak pun boleh memahami kepingan mozek itu.

Tetapi sekolah tradisional:

berdasarkan kesamaan sudut silang silang dalaman terputus pada garis selari

berharga kerana ia memberikan idea mengapa ini berlaku,
kenapa jumlah sudut segitiga sama dengan sudut songsang?

Kerana jika tidak garis selari tidak akan mempunyai sifat yang biasa dengan dunia kita.

Teorem berfungsi kedua-dua cara. Daripada aksiom garis selari ia mengikuti
kesamarataan pembohongan silang dan sudut menegak, dan daripada mereka - jumlah sudut segi tiga.

Tetapi sebaliknya juga benar: selagi sudut segitiga ialah 180°, terdapat garis selari
(sehingga melalui titik yang tidak terletak pada garisan seseorang boleh melukis garis unik || yang diberikan).
Jika suatu hari segitiga muncul di dunia yang jumlah sudutnya tidak sama dengan sudut terbentang -
maka yang selari akan berhenti selari, seluruh dunia akan bengkok dan senget.

Jika jalur dengan corak segi tiga diletakkan satu di atas yang lain -
anda boleh menutup seluruh medan dengan corak berulang, seperti lantai dengan jubin:

anda boleh mengesan bentuk yang berbeza pada grid sedemikian - heksagon, rombus,
poligon bintang dan dapatkan pelbagai parket

Menjubin pesawat dengan parket bukan sahaja permainan yang menyeronokkan, tetapi juga yang relevan. masalah matematik:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Oleh kerana setiap segi empat ialah segi empat tepat, segi empat sama, rombus, dsb.,
boleh terdiri daripada dua segi tiga,
masing-masing, jumlah sudut segiempat: 180° + 180° = 360°

Segitiga sama kaki yang sama dilipat menjadi segi empat sama dengan cara yang berbeza.
Segi empat kecil 2 bahagian. Purata 4. Dan yang terbesar daripada 8.
Berapakah bilangan yang terdapat dalam lukisan itu, yang terdiri daripada 6 segi tiga?

Teorem ini juga dirumuskan dalam buku teks oleh L.S. Atanasyan. , dan dalam buku teks oleh Pogorelov A.V. . Bukti teorem ini dalam buku teks ini tidak berbeza dengan ketara, dan oleh itu kami membentangkan buktinya, sebagai contoh, dari buku teks oleh A.V.

Teorem: Jumlah sudut segitiga ialah 180°

Bukti. Biarkan ABC ialah segi tiga yang diberi. Mari kita lukis garisan melalui bucu B selari dengan garis AC. Mari tandakan titik D di atasnya supaya titik A dan D terletak pada sisi bertentangan garis lurus BC (Rajah 6).

Sudut DBC dan ACB adalah sama dengan sudut silang silang dalaman, dibentuk oleh BC sekan dengan garis lurus selari AC dan BD. Oleh itu, jumlah sudut segitiga pada bucu B dan C adalah sama dengan sudut ABD. Dan hasil tambah ketiga-tiga sudut segitiga adalah sama dengan hasil tambah sudut ABD dan BAC. Oleh kerana ini adalah sudut pedalaman satu sisi untuk AC selari dan BD dan sekan AB, jumlahnya ialah 180°. Teorem terbukti.

Idea bukti ini adalah untuk melaksanakan garis selari dan penetapan kesamaan sudut yang dikehendaki. Mari kita bina semula idea pembinaan tambahan sedemikian dengan membuktikan teorem ini menggunakan konsep eksperimen pemikiran. Bukti teorem menggunakan eksperimen pemikiran. Jadi, subjek eksperimen pemikiran kami ialah sudut segitiga. Marilah kita letakkan dia secara mental dalam keadaan di mana intipatinya dapat didedahkan dengan pasti (peringkat 1).

Keadaan sedemikian akan menjadi susunan sudut segi tiga di mana ketiga-tiga bucunya akan digabungkan pada satu titik. Gabungan sedemikian mungkin jika kita membenarkan kemungkinan "menggerakkan" sudut dengan menggerakkan sisi segitiga tanpa mengubah sudut kecenderungan (Rajah 1). Pergerakan sedemikian pada dasarnya adalah transformasi mental yang berikutnya (peringkat 2).

Dengan menetapkan sudut dan sisi segitiga (Rajah 2), sudut yang diperolehi dengan "bergerak," kita secara mental membentuk persekitaran, sistem sambungan di mana kita meletakkan subjek pemikiran kita (peringkat 3).

Garis AB, "bergerak" di sepanjang garis BC dan tanpa mengubah sudut kecondongan kepadanya, memindahkan sudut 1 ke sudut 5, dan "bergerak" di sepanjang garis AC, memindahkan sudut 2 ke sudut 4. Oleh kerana dengan garis "pergerakan" sedemikian AB tidak mengubah sudut kecondongan kepada garis AC dan BC, maka kesimpulannya adalah jelas: sinar a dan a1 adalah selari dengan AB dan berubah menjadi satu sama lain, dan sinar b dan b1 ialah kesinambungan sisi BC dan AC, masing-masing. Oleh kerana sudut 3 dan sudut antara sinar b dan b1 adalah menegak, ia adalah sama. Jumlah sudut ini adalah sama dengan sudut putaran aa1 - yang bermaksud 180°.

KESIMPULAN

DALAM kerja diploma menjalankan bukti "dibina" beberapa sekolah teorem geometri, menggunakan struktur eksperimen pemikiran, yang mengesahkan hipotesis yang dirumuskan.

Bukti yang dikemukakan adalah berdasarkan idealisasi visual dan deria seperti: "mampatan", "regangan", "gelongsor", yang memungkinkan untuk mengubah yang asal. objek geometri dan menyerlahkan ciri-ciri pentingnya, yang tipikal untuk eksperimen pemikiran. Di mana eksperimen pemikiran bertindak sebagai "alat kreatif" tertentu yang menyumbang kepada kemunculan pengetahuan geometri (contohnya, tentang garis tengah trapezoid atau mengenai sudut segitiga). Idealisasi sedemikian memungkinkan untuk memahami keseluruhan idea pembuktian, idea untuk melaksanakan "pembinaan tambahan", yang membolehkan kita bercakap tentang kemungkinan pemahaman yang lebih sedar oleh pelajar sekolah tentang proses pembuktian deduktif formal teorem geometri.

Percubaan pemikiran adalah salah satu daripada kaedah asas mendapatkan dan menemui teorem geometri. Ia adalah perlu untuk membangunkan metodologi untuk memindahkan kaedah kepada pelajar. Kekal soalan terbuka tentang umur pelajar yang boleh diterima untuk "menerima" kaedah, tentang " kesan sampingan» bukti yang dikemukakan dengan cara ini.

Soalan-soalan ini memerlukan kajian tambahan. Tetapi dalam apa jua keadaan, satu perkara yang pasti: percubaan pemikiran berkembang di kalangan pelajar sekolah pemikiran teori, adalah asasnya dan, oleh itu, keupayaan untuk eksperimen mental perlu dibangunkan.

. (Slaid 1)

Jenis pelajaran: pengajaran mempelajari bahan baharu.

Objektif pelajaran:

Pendidikan:
- pertimbangkan teorem hasil tambah sudut segitiga,
- menunjukkan aplikasi teorem dalam menyelesaikan masalah.
Pendidikan:
- memupuk sikap positif pelajar terhadap pengetahuan,
- Menanamkan keyakinan diri pelajar melalui pelajaran.
Perkembangan:
- pembangunan pemikiran analitikal,
- pembangunan "kemahiran untuk belajar": menggunakan pengetahuan, kemahiran dan kebolehan dalam proses pendidikan,
- pembangunan pemikiran logik, keupayaan untuk merumuskan pemikiran anda dengan jelas.

peralatan: papan putih interaktif, pembentangan, kad.

SEMASA KELAS

saya. mengatur masa

– Hari ini dalam kelas kita akan mengingati takrifan segi tiga tegak, sama kaki dan segi tiga sama. Mari kita ulangi sifat-sifat sudut segi tiga. Menggunakan sifat sudut satu sisi dan dalaman silang silang, kami akan membuktikan teorem tentang hasil tambah sudut segitiga dan mempelajari cara mengaplikasikannya semasa menyelesaikan masalah.

II. Secara lisan(Slaid 2)

1) Cari segi empat tepat, sama kaki, segi tiga sama sisi dalam gambar.
2) Takrifkan segi tiga ini.
3) Rumuskan sifat sudut sama sisi dan sudut sama segi tiga sama kaki.

4) Dalam gambar KE II NH. (slaid 3)

– Tentukan secan untuk baris ini
– Cari sudut sebelah dalam, sudut dalam yang terletak bersilang, namakan sifatnya

III. Penjelasan bahan baru

Teorem. Jumlah sudut bagi segitiga ialah 180°

Menurut rumusan teorem, lelaki itu membina lukisan, menulis syarat dan kesimpulan. Dengan menjawab soalan, mereka secara bebas membuktikan teorem.

Diberi:

Buktikan:

Bukti:

1. Melalui bucu B segi tiga kita melukis garis lurus BD II AC.
2. Tentukan secan untuk garis selari.
3. Apakah yang boleh dikatakan tentang sudut CBD dan ACB? (buat catatan)
4. Apakah yang kita tahu tentang sudut CAB dan ABD? (buat catatan)
5. Gantikan sudut CBD dengan sudut ACB
6. Buat kesimpulan.

IV. Habiskan ayat.(Slaid 4)

1. Jumlah sudut bagi segitiga ialah...
2. Dalam segi tiga, salah satu sudut adalah sama, satu lagi, sudut ketiga segitiga adalah sama dengan...
3. Jumlah sudut lancip bagi segi tiga tegak ialah...
4. Sudut segi tiga sama kaki adalah sama...
5. Sudut bagi segi tiga sama sisi adalah sama...
6. Jika sudut antara sisi sisi segitiga sama kaki ialah 1000, maka sudut pada tapak adalah sama...

V. Sedikit sejarah.(Slaid 5-7)

Bukti teorem pada hasil tambah sudut segitiga “Jumlah dalam sudut segi tiga sama dengan dua sudut tepat" dikaitkan dengan Pythagoras (580-500 SM)
Saintis Yunani Purba Proclus (410-485 AD),