Dua pasang garis selari. Garis lurus

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk menyediakan anda maklumat peribadi bila-bila masa anda hubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menghantar permintaan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman seperti pengauditan, analisis data dan pelbagai kajian untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, V perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada Agensi-agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses tanpa kebenaran, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Tanda-tanda keselarian dua baris

Teorem 1. Jika, apabila dua garis bersilang dengan sekan:

sudut bersilang adalah sama, atau

sudut sepadan adalah sama, atau

jumlah sudut satu sisi ialah 180°, maka

garisan adalah selari(Rajah 1).

Bukti. Kami mengehadkan diri kami untuk membuktikan kes 1.

Biarkan garis bersilang a dan b bersilang dan sudut AB adalah sama. Contohnya, ∠ 4 = ∠ 6. Mari kita buktikan bahawa a || b.

Katakan garis a dan b tidak selari. Kemudian mereka bersilang pada satu titik M dan, oleh itu, salah satu sudut 4 atau 6 akan menjadi sudut luar segitiga ABM. Untuk kepastian, biarkan ∠ 4 ialah sudut luar bagi segi tiga ABM, dan ∠ 6 sudut dalam. Daripada teorem tentang sudut luaran segi tiga ia mengikuti bahawa ∠ 4 adalah lebih besar daripada ∠ 6, dan ini bercanggah dengan keadaan, yang bermaksud bahawa garis a dan 6 tidak boleh bersilang, jadi ia adalah selari.

Akibat 1. Dua garis berbeza dalam satah berserenjang dengan garis yang sama adalah selari(Gamb. 2).

Komen. Cara kita baru saja membuktikan kes 1 Teorem 1 dipanggil kaedah pembuktian dengan percanggahan atau pengurangan kepada tidak masuk akal. Kaedah ini mendapat nama pertama kerana pada permulaan hujah dibuat andaian yang bertentangan (berlawanan) dengan apa yang perlu dibuktikan. Ia dipanggil membawa kepada tidak masuk akal kerana fakta bahawa, penaakulan berdasarkan andaian yang dibuat, kita sampai kepada kesimpulan yang tidak masuk akal (kepada yang tidak masuk akal). Menerima kesimpulan sedemikian memaksa kita untuk menolak andaian yang dibuat pada mulanya dan menerima yang perlu dibuktikan.

Tugasan 1. Bina garisan yang melaluinya titik ini M dan selari dengan garis a yang diberi, tidak melalui titik M.

Penyelesaian. Kami melukis garis lurus p melalui titik M berserenjang dengan garis lurus a (Rajah 3).

Kemudian kita lukis garis b melalui titik M berserenjang dengan garis p. Garis b adalah selari dengan garis a mengikut akibat Teorem 1.

Kesimpulan penting berikut dari masalah yang dipertimbangkan:
melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, ia sentiasa mungkin untuk melukis garis selari dengan garis yang diberikan.

Sifat utama garis selari adalah seperti berikut.

Aksiom garis selari. Melalui titik tertentu yang tidak terletak pada garis tertentu, terdapat hanya satu garis yang selari dengan garis yang diberikan.

Mari kita pertimbangkan beberapa sifat garis selari yang mengikuti dari aksiom ini.

1) Jika garis memotong satu daripada dua garis selari, maka ia juga bersilang dengan yang lain (Rajah 4).

2) Jika dua garisan berbeza selari dengan garis ketiga, maka ia selari (Rajah 5).

Teorem berikut juga benar.

Teorem 2. Jika dua garis selari bersilang oleh rentas lintang, maka:

sudut bersilang adalah sama;

sudut sepadan adalah sama;

jumlah sudut satu sisi ialah 180°.

Akibat 2. Jika garis berserenjang dengan salah satu daripada dua garis selari, maka ia juga berserenjang dengan yang lain.(lihat Rajah 2).

Komen. Teorem 2 dipanggil sebaliknya Teorem 1. Kesimpulan Teorem 1 ialah syarat Teorem 2. Dan syarat Teorem 1 ialah kesimpulan Teorem 2. Tidak setiap teorem mempunyai sebalik, iaitu jika teorem ini adalah benar, maka teorem songsang mungkin tidak benar.

Mari kita jelaskan perkara ini menggunakan contoh teorem tentang sudut menegak. Teorem ini boleh dirumuskan seperti berikut: jika dua sudut adalah menegak, maka ia adalah sama. Teorem sebaliknya ialah: jika dua sudut adalah sama, maka ia adalah menegak. Dan ini, tentu saja, tidak benar. dua sudut yang sama tidak perlu menegak sama sekali.

Contoh 1. Dua garis selari disilang oleh satu pertiga. Adalah diketahui bahawa perbezaan antara dua sudut sebelah dalam ialah 30°. Cari sudut ini.

Penyelesaian. Biarkan Rajah 6 memenuhi syarat.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang garis selari, memberikan definisi, dan menggariskan tanda-tanda dan syarat-syarat paralelisme. Untuk kejelasan bahan teori Kami akan menggunakan ilustrasi dan penyelesaian kepada contoh biasa.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Garis selari pada satah– dua garis lurus pada satah yang tidak mempunyai titik sepunya.

Definisi 2

Garis selari dalam ruang tiga dimensi – dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi, terletak dalam satah yang sama dan tidak mempunyai titik sepunya.

Perlu diingat bahawa untuk menentukan garis selari di angkasa, penjelasan "berbaring dalam satah yang sama" adalah sangat penting: dua garis dalam ruang tiga dimensi yang tidak mempunyai titik sepunya dan tidak terletak dalam satah yang sama tidak selari. , tetapi bersilang.

Untuk menunjukkan garis selari, adalah biasa untuk menggunakan simbol ∥. Iaitu, jika garis a dan b yang diberi adalah selari, syarat ini hendaklah ditulis secara ringkas seperti berikut: a ‖ b. Keselarian verbal garis ditunjukkan dengan cara berikut: garis a dan b selari, atau garis a selari dengan garis b, atau garis b selari dengan garis a.

Mari kita rumuskan satu kenyataan yang bermain peranan penting dalam topik yang dipelajari.

Aksiom

Melalui titik yang bukan kepunyaan garis tertentu, terdapat satu-satunya garis lurus yang selari dengan garis yang diberikan. Pernyataan ini tidak boleh dibuktikan berdasarkan aksiom planimetri yang diketahui.

Dalam kes kita bercakap tentang mengenai ruang, teorem adalah benar:

Teorem 1

Melalui mana-mana titik dalam ruang yang bukan milik garis tertentu, akan ada satu garis lurus selari dengan garis yang diberi.

Teorem ini mudah dibuktikan berdasarkan aksiom di atas (program geometri untuk gred 10 - 11).

Terdapat tanda paralelisme keadaan yang mencukupi, di mana keselarian garisan dijamin. Dalam erti kata lain, pemenuhan syarat ini sudah memadai untuk mengesahkan hakikat keselarian.

Khususnya, terdapat syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan pada satah dan di angkasa. Mari kita jelaskan: perlu bermaksud syarat yang memenuhinya adalah perlu untuk garisan selari; jika tidak dipenuhi, garisan tidak selari.

Untuk meringkaskan, syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan ialah syarat yang dipatuhi adalah perlu dan mencukupi untuk garisan selari antara satu sama lain. Di satu pihak, ini adalah tanda paralelisme, sebaliknya, ia adalah sifat yang wujud dalam garis selari.

Sebelum memberikan rumusan yang tepat tentang syarat yang perlu dan mencukupi, mari kita ingat beberapa konsep tambahan.

Definisi 3

Garisan secant– garis lurus yang bersilang setiap dua garis lurus tidak bertepatan.

Bersilang dua garis lurus, rentas melintang membentuk lapan sudut yang belum berkembang. Untuk merumuskan keadaan yang perlu dan mencukupi, kami akan menggunakan jenis sudut seperti bersilang, sepadan dan satu sisi. Mari kita tunjukkan mereka dalam ilustrasi:

Teorem 2

Jika dua garis dalam satah bersilang oleh rentas, maka untuk garis yang diberikan selari adalah perlu dan mencukupi bahawa sudut bersilang adalah sama, atau sudut yang sepadan adalah sama, atau jumlah sudut satu sisi adalah sama dengan 180 darjah.

Marilah kita menggambarkan secara grafik keadaan yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan pada satah:

Bukti syarat ini terdapat dalam program geometri untuk gred 7 - 9.

Secara amnya, syarat-syarat ini juga terpakai pada ruang tiga dimensi, dengan syarat dua garisan dan satu sekan tergolong dalam satah yang sama.

Mari kita nyatakan beberapa lagi teorem yang sering digunakan untuk membuktikan fakta bahawa garis adalah selari.

Teorem 3

Pada satah, dua garis selari dengan satu pertiga adalah selari antara satu sama lain. Ciri ini dibuktikan berdasarkan aksiom selari yang ditunjukkan di atas.

Teorem 4

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis selari dengan satu pertiga adalah selari antara satu sama lain.

Bukti sesuatu tanda dipelajari dalam kurikulum geometri gred 10.

Mari kita berikan ilustrasi tentang teorem ini:

Mari kita nyatakan satu lagi pasangan teorem yang membuktikan keselarian garis.

Teorem 5

Pada satah, dua garis berserenjang dengan satu pertiga adalah selari antara satu sama lain.

Mari kita rumuskan perkara yang sama untuk ruang tiga dimensi.

Teorem 6

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis berserenjang dengan satu pertiga adalah selari antara satu sama lain.

Mari kita gambarkan:

Semua teorem, tanda dan syarat di atas memungkinkan untuk membuktikan keselarian garis dengan mudah menggunakan kaedah geometri. Iaitu, untuk membuktikan keselarian garis, seseorang boleh menunjukkan bahawa sudut yang sepadan adalah sama, atau menunjukkan fakta bahawa dua garis yang diberikan adalah berserenjang dengan yang ketiga, dsb. Tetapi ambil perhatian bahawa selalunya lebih mudah untuk menggunakan kaedah koordinat untuk membuktikan keselarian garisan pada satah atau dalam ruang tiga dimensi.

Keselarian garisan dalam sistem koordinat segi empat tepat

Dalam sesuatu yang diberikan sistem segi empat tepat koordinat, garis lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus pada satah salah satu daripada jenis yang mungkin. Begitu juga, garis lurus yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang tiga dimensi sepadan dengan beberapa persamaan untuk garis lurus dalam ruang.

Mari kita tuliskan syarat-syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan dalam sistem koordinat segi empat tepat bergantung kepada jenis persamaan yang menerangkan garisan yang diberikan.

Mari kita mulakan dengan keadaan selari garisan pada satah. Ia berdasarkan takrifan vektor arah garis dan vektor normal garis pada satah.

Teorem 7

Untuk dua garisan tidak bertepatan selari pada satah, adalah perlu dan mencukupi bahawa vektor arah garis yang diberikan adalah kolinear, atau vektor normal garis yang diberi adalah kolinear, atau vektor arah satu garis adalah berserenjang dengan vektor normal baris yang satu lagi.

Ia menjadi jelas bahawa keadaan selari garisan pada satah adalah berdasarkan keadaan kolineariti vektor atau keadaan keserenjangan dua vektor. Iaitu, jika a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) ialah vektor arah bagi garis a dan b ;

dan n b → = (n b x , n b y) ialah vektor normal bagi garisan a dan b, maka kita tuliskan keadaan perlu dan mencukupi di atas seperti berikut: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y atau n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y atau a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , dengan t ialah beberapa nombor nyata. Koordinat panduan atau vektor lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus yang diberikan. Mari kita lihat contoh utama.

Garis a dalam sistem koordinat segi empat tepat ditentukan oleh persamaan am garis: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; garis lurus b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Kemudian vektor normal bagi garisan yang diberikan akan mempunyai koordinat (A 1, B 1) dan (A 2, B 2), masing-masing. Kami menulis keadaan paralelisme seperti berikut:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

Garis a diterangkan oleh persamaan garis dengan kecerunan dalam bentuk y = k 1 x + b 1 . Garis lurus b - y = k 2 x + b 2. Kemudian vektor normal garis yang diberikan akan mempunyai koordinat (k 1, - 1) dan (k 2, - 1), masing-masing, dan kami akan menulis keadaan selari seperti berikut:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Oleh itu, jika garis selari pada satah dalam sistem koordinat segi empat tepat diberikan oleh persamaan dengan pekali sudut, maka cerun garisan yang diberikan akan sama. Dan pernyataan yang bertentangan adalah benar: jika garis tidak bertepatan pada satah dalam sistem koordinat segi empat tepat ditentukan oleh persamaan garis dengan pekali sudut yang sama, maka garis yang diberikan ini adalah selari.

Garis a dan b dalam sistem koordinat segi empat tepat ditentukan oleh persamaan kanonik garis pada satah: x - x 1 a x = y - y 1 a y dan x - x 2 b x = y - y 2 b y atau dengan persamaan parametrik bagi garisan pada satah: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y dan x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Kemudian vektor arah garis yang diberikan ialah: a x, a y dan b x, b y, masing-masing, dan kami akan menulis keadaan selari seperti berikut:

a x = t b x a y = t b y

Mari lihat contoh.

Contoh 1

Dua baris diberi: 2 x - 3 y + 1 = 0 dan x 1 2 + y 5 = 1. Ia adalah perlu untuk menentukan sama ada ia selari.

Penyelesaian

Mari kita tulis persamaan garis lurus dalam segmen dalam bentuk persamaan am:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Kita lihat bahawa n a → = (2, - 3) ialah vektor normal bagi garis 2 x - 3 y + 1 = 0, dan n b → = 2, 1 5 ialah vektor normal bagi garis x 1 2 + y 5 = 1.

Vektor yang terhasil bukan kolinear, kerana tidak ada nilai tat yang mana persamaan itu akan menjadi benar:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Oleh itu, syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan pada satah tidak dipenuhi, yang bermaksud garisan yang diberikan tidak selari.

Jawapan: garisan yang diberikan tidak selari.

Contoh 2

Garis y = 2 x + 1 dan x 1 = y - 4 2 diberi. Adakah mereka selari?

Penyelesaian

Jom tukar persamaan kanonik garis lurus x 1 = y - 4 2 kepada persamaan garis lurus dengan kecerunan:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Kami melihat bahawa persamaan garis y = 2 x + 1 dan y = 2 x + 4 adalah tidak sama (jika sebaliknya, garis tersebut akan bertepatan) dan pekali sudut garis adalah sama, yang bermaksud garisan yang diberi adalah selari.

Mari cuba selesaikan masalah secara berbeza. Mula-mula, mari kita semak sama ada baris yang diberikan bertepatan. Kami menggunakan mana-mana titik pada garis y = 2 x + 1, sebagai contoh, (0, 1), koordinat titik ini tidak sepadan dengan persamaan garis x 1 = y - 4 2, yang bermaksud garisan itu tidak bertepatan.

Langkah seterusnya adalah untuk menentukan sama ada keadaan selari garisan yang diberikan dipenuhi.

Vektor normal bagi garis y = 2 x + 1 ialah vektor n a → = (2 , - 1) , dan vektor arah garis kedua diberi ialah b → = (1 , 2) . Produk skalar daripada vektor ini adalah sama dengan sifar:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Oleh itu, vektor adalah serenjang: ini menunjukkan kepada kita pemenuhan syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk keselarian garis asal. Itu. garisan yang diberi adalah selari.

Jawapan: garisan ini selari.

Untuk membuktikan keselarian garisan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi, keadaan perlu dan mencukupi berikut digunakan.

Teorem 8

Untuk dua garisan tidak bertepatan dalam ruang tiga dimensi selari, adalah perlu dan mencukupi bahawa vektor arah garisan ini adalah kolinear.

Itu. di persamaan yang diberikan garis lurus dalam ruang tiga dimensi, jawapan kepada soalan: adakah ia selari atau tidak, didapati dengan menentukan koordinat vektor arah garis lurus yang diberikan, serta memeriksa keadaan kolinearitinya. Dalam erti kata lain, jika a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) masing-masing ialah vektor arah bagi garis lurus a dan b, maka agar ia selari, kewujudan sedemikian nombor sebenar t supaya kesaksamaan memegang:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Contoh 3

Garis x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dan x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ diberi. Ia adalah perlu untuk membuktikan keselarian garis-garis ini.

Penyelesaian

Syarat masalah diberikan oleh persamaan kanonik satu garis lurus dalam ruang dan persamaan parametrik satu lagi garisan di angkasa. Vektor panduan a → dan b → garisan yang diberi mempunyai koordinat: (1, 0, - 3) dan (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , kemudian a → = 1 2 · b → .

Akibatnya, syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan dalam ruang dipenuhi.

Jawapan: keselarian garisan yang diberikan terbukti.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Artikel ini adalah mengenai garis selari dan garis selari. Pertama, definisi garis selari pada satah dan dalam ruang diberikan, tatatanda diperkenalkan, contoh dan ilustrasi grafik garis selari diberikan. Seterusnya, tanda dan syarat bagi keselarian garisan dibincangkan. Kesimpulannya, penyelesaian kepada masalah tipikal untuk membuktikan keselarian garisan ditunjukkan, yang diberikan oleh persamaan tertentu garis dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah dan dalam ruang tiga dimensi.

Navigasi halaman.

Garis selari - maklumat asas.

Definisi.

Dua garis dalam satah dipanggil selari, jika mereka tidak mempunyai mata yang sama.

Definisi.

Dua garis dalam ruang tiga dimensi dipanggil selari, jika mereka terletak dalam satah yang sama dan tidak mempunyai titik sepunya.

Sila ambil perhatian bahawa klausa "jika mereka terletak dalam satah yang sama" dalam definisi garis selari di angkasa adalah sangat penting. Mari kita jelaskan perkara ini: dua garis dalam ruang tiga dimensi yang tidak mempunyai titik sepunya dan tidak terletak dalam satah yang sama tidak selari, tetapi bersilang.

Berikut adalah beberapa contoh garis selari. Tepi bertentangan helaian buku nota terletak pada garisan selari. Garis lurus sepanjang satah dinding rumah bersilang dengan satah siling dan lantai adalah selari. Rel kereta api di atas tanah rata juga boleh dianggap sebagai garis selari.

Untuk menandakan garis selari, gunakan simbol "". Iaitu, jika garis a dan b adalah selari, maka kita boleh menulis b secara ringkas.

Sila ambil perhatian: jika garis a dan b adalah selari, maka kita boleh mengatakan bahawa garis a adalah selari dengan garis b, dan juga garis b adalah selari dengan garis a.

Marilah kita menyuarakan pernyataan yang memainkan peranan penting dalam kajian garis selari pada satah: melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, terdapat satu-satunya garis lurus yang selari dengan yang diberikan. Pernyataan ini diterima sebagai fakta (ia tidak boleh dibuktikan berdasarkan aksiom planimetri yang diketahui), dan ia dipanggil aksiom garis selari.

Untuk kes dalam ruang, teorem adalah sah: melalui mana-mana titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, terdapat melepasi satu garis lurus selari dengan yang diberikan. Teorem ini mudah dibuktikan menggunakan aksiom garis selari di atas (anda boleh mendapatkan buktinya dalam buku teks geometri untuk gred 10-11, yang disenaraikan di penghujung artikel dalam senarai rujukan).

Keselarian garisan - tanda dan syarat keselarian.

Tanda keselarian garisan adalah syarat yang mencukupi untuk garisan selari, iaitu syarat yang memenuhinya menjamin garisan selari. Dalam erti kata lain, pemenuhan syarat ini adalah mencukupi untuk membuktikan fakta bahawa garisan adalah selari.

Terdapat juga syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan pada satah dan dalam ruang tiga dimensi.

Mari kita jelaskan maksud frasa "keadaan yang perlu dan mencukupi untuk garis selari."

Kami telah menangani syarat yang mencukupi untuk garis selari. Dan apakah " syarat yang perlu keselarian garisan"? Dari nama "perlu" jelas bahawa pemenuhan syarat ini diperlukan untuk garis selari. Dalam erti kata lain, jika syarat yang diperlukan untuk garisan selari tidak dipenuhi, maka garisan tersebut tidak selari. Oleh itu, keadaan yang perlu dan mencukupi untuk garis selari adalah satu syarat yang pemenuhannya adalah perlu dan mencukupi untuk garis selari. Iaitu, di satu pihak, ini adalah tanda selari garis, dan sebaliknya, ini adalah sifat yang mempunyai garis selari.

Sebelum merumuskan syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk keselarian garisan, adalah dinasihatkan untuk mengingat beberapa definisi tambahan.

Garisan secant ialah garis yang memotong setiap dua garisan tidak bertepatan yang diberi.

Apabila dua garis lurus bersilang dengan rentas, lapan garis yang belum berkembang terbentuk. Dalam perumusan syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan, yang dipanggil berbaring melintang, sepadan Dan sudut satu sisi. Mari tunjukkan mereka dalam lukisan.

Teorem.

Jika dua garis lurus dalam satah bersilang oleh rentas rentas, maka untuk kedua-duanya selari adalah perlu dan memadai bahawa sudut bersilang adalah sama, atau sudut yang sepadan adalah sama, atau jumlah sudut satu sisi adalah sama dengan 180 darjah.

Mari kita tunjukkan ilustrasi grafik keadaan yang perlu dan mencukupi ini untuk keselarian garisan pada satah.

Anda boleh mendapatkan bukti syarat ini untuk keselarian garisan dalam buku teks geometri untuk gred 7-9.

Ambil perhatian bahawa keadaan ini juga boleh digunakan dalam ruang tiga dimensi - perkara utama ialah dua garis lurus dan sekan terletak pada satah yang sama.

Berikut adalah beberapa lagi teorem yang sering digunakan untuk membuktikan keselarian garis.

Teorem.

Jika dua garis dalam satah adalah selari dengan garis ketiga, maka ia adalah selari. Bukti kriteria ini berikutan dari aksiom garis selari.

wujud keadaan yang serupa keselarian garisan dalam ruang tiga dimensi.

Teorem.

Jika dua garis dalam ruang selari dengan garis ketiga, maka ia adalah selari. Bukti kriteria ini dibincangkan dalam pelajaran geometri dalam gred 10.

Mari kita menggambarkan teorem yang dinyatakan.

Mari kita kemukakan satu lagi teorem yang membolehkan kita membuktikan keselarian garisan pada satah.

Teorem.

Jika dua garis dalam satah berserenjang dengan garis ketiga, maka ia adalah selari.

Terdapat teorem yang sama untuk garisan dalam ruang.

Teorem.

Jika dua garis dalam ruang tiga dimensi berserenjang dengan satah yang sama, maka ia adalah selari.

Mari kita lukis gambar yang sepadan dengan teorem ini.

Semua teorem, kriteria dan syarat yang perlu dan mencukupi yang dirumuskan di atas adalah sangat baik untuk membuktikan keselarian garisan menggunakan kaedah geometri. Iaitu, untuk membuktikan keselarian dua garisan yang diberikan, anda perlu menunjukkan bahawa ia selari dengan garis ketiga, atau menunjukkan kesamaan sudut berbaring silang, dsb. Sekumpulan tugasan yang serupa diselesaikan dalam pelajaran geometri dalam sekolah Menengah. Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa dalam banyak kes adalah mudah untuk menggunakan kaedah koordinat untuk membuktikan keselarian garisan pada satah atau dalam ruang tiga dimensi. Mari kita rumuskan syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan yang dinyatakan dalam sistem koordinat segi empat tepat.

Keselarian garisan dalam sistem koordinat segi empat tepat.

Dalam perenggan artikel ini kami akan rumuskan syarat yang perlu dan mencukupi untuk garis selari dalam sistem koordinat segi empat tepat, bergantung pada jenis persamaan yang menentukan garis lurus ini, dan kami juga membentangkan penyelesaian terperinci tugas ciri.

Mari kita mulakan dengan keadaan selari dua garis pada satah dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxy. Buktinya adalah berdasarkan definisi vektor arah garis dan definisi vektor normal garis pada satah.

Teorem.

Untuk dua garisan tidak bertepatan selari dalam satah, adalah perlu dan mencukupi bahawa vektor arah garisan ini adalah kolinear, atau vektor normal garis ini adalah kolinear, atau vektor arah satu garis adalah berserenjang dengan garis biasa. vektor baris kedua.

Jelas sekali, keadaan selari dua garisan pada satah dikurangkan kepada (vektor arah garisan atau vektor garis biasa) atau kepada (vektor arah satu garis dan vektor normal baris kedua). Oleh itu, jika dan ialah vektor arah bagi garis a dan b, dan Dan ialah vektor normal garis a dan b, masing-masing, maka keadaan yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garis a dan b akan ditulis sebagai , atau , atau , dengan t ialah beberapa nombor nyata. Sebaliknya, koordinat panduan dan (atau) vektor normal garis a dan b didapati menggunakan persamaan garis yang diketahui.

Khususnya, jika garis lurus a dalam sistem koordinat segi empat tepat Oksi pada satah mentakrifkan persamaan garis lurus am bagi bentuk , dan garis lurus b - , maka vektor normal garis ini mempunyai koordinat dan, masing-masing, dan syarat untuk keselarian garis a dan b akan ditulis sebagai .

Jika garis a sepadan dengan persamaan garis dengan pekali sudut bentuk , dan garis b - , maka vektor normal garis ini mempunyai koordinat dan , dan syarat untuk keselarian garisan ini mengambil bentuk . Akibatnya, jika garisan pada satah dalam sistem koordinat segi empat tepat adalah selari dan boleh ditentukan oleh persamaan garis dengan pekali sudut, maka pekali sudut garis akan sama. Dan sebaliknya: jika garisan tidak bertepatan pada satah dalam sistem koordinat segi empat tepat boleh ditentukan oleh persamaan garis dengan pekali sudut yang sama, maka garis tersebut selari.

Jika garis a dan garis b dalam sistem koordinat segi empat tepat ditentukan oleh persamaan kanonik garis pada satah bentuk Dan , atau persamaan parametrik bagi garis lurus pada satah bentuk Dan oleh itu, vektor arah garisan ini mempunyai koordinat dan , dan syarat untuk keselarian garis a dan b ditulis sebagai .

Mari kita lihat penyelesaian kepada beberapa contoh.

Contoh.

Adakah garisan selari? Dan ?

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula persamaan garis dalam segmen dalam bentuk persamaan am garis: . Sekarang kita dapat melihat bahawa itu adalah vektor biasa garis , a ialah vektor normal bagi garis itu. Vektor-vektor ini bukan kolinear, kerana tidak ada nombor nyata t yang persamaannya ( ). Akibatnya, syarat yang perlu dan mencukupi untuk keselarian garisan pada satah tidak dipenuhi, oleh itu, garisan yang diberikan tidak selari.

Jawapan:

Tidak, garisan tidak selari.

Contoh.

Adakah garis lurus dan selari?

Penyelesaian.

Mari kita kurangkan persamaan kanonik garis lurus kepada persamaan garis lurus dengan pekali sudut: . Jelas sekali, persamaan garis dan tidak sama (dalam kes ini, garis yang diberikan akan sama) dan pekali sudut garis adalah sama, oleh itu, garis asal adalah selari.

Untuk soalan 1. Berikan definisi garis selari. Dua segmen yang manakah dipanggil selari? diberikan oleh penulis Sasha Nizhevyasov jawapan yang terbaik ialah yang tidak akan bersilang di atas kapal terbang

Jawapan daripada Adaptasi[guru]
Garis selari ialah garisan yang terletak pada satah yang sama dan sama ada bertepatan atau tidak bersilang.

Jawapan daripada Naumenko[guru]
segmen. tergolong dalam garis selari. adalah selari.
garis lurus pada satah dipanggil selari. jika mereka tidak bersilang atau bertepatan.

Jawapan daripada Pakar neuropatologi[orang baru]
Dua garis lurus terletak dalam satah yang sama dan mempunyai no titik persamaan, dipanggil selari

Jawapan daripada Tambah[tuan]

Jawapan daripada Varvara Lamekina[orang baru]
dua garis dalam satah dipanggil selari jika mereka tidak bersilang)

Jawapan daripada Maxim Ivanov[orang baru]
Yang tidak akan bersilang di atas kapal terbang.

Jawapan daripada Sem2805[aktif]
dua garis dalam satah dipanggil selari jika ia tidak bersilang (gred 7)

Jawapan daripada Sasha Klyuchnikov[orang baru]
Garis selari dalam geometri Euclidean ialah garisan yang terletak pada satah yang sama dan tidak bersilang. Dalam geometri mutlak, melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, terdapat sekurang-kurangnya satu garis yang tidak bersilang dengan garis yang diberikan. Dalam geometri Euclidean hanya terdapat satu garisan sedemikian. Fakta ini bersamaan dengan postulat V Euclid (pada selari). Dalam geometri Lobachevsky (lihat geometri Lobachevsky) dalam satah melalui titik C (lihat rajah) di luar garis lurus yang diberi laluan AB set tak terhingga garis lurus tidak bersilang AB. Daripada jumlah ini, hanya dua yang dipanggil selari dengan AB. Garis CE dipanggil selari dengan garis AB dalam arah dari A ke B jika: 1) titik B dan E terletak pada sisi yang sama garis AC 2) garis CE tidak bersilang dengan sebarang sinar yang melalui dalam sudut ACE bersilang; sinar AB Garis lurus CF, selari dengan AB dalam arah dari B ke A, ditakrifkan sama.

Jawapan daripada Anatoly Mishin[orang baru]
Dua garisan di angkasa dipanggil selari jika ia terletak pada satah yang sama dan tidak bersilang.

Jawapan daripada Oliya[aktif]
Garis selari ialah garis yang tidak bersilang

Jawapan daripada Kata Charakov[orang baru]
Garis selari ialah dua garis yang terletak pada satah yang sama dan tidak mempunyai titik sepunya.
Melalui satu titik anda hanya boleh melukis satu garis lurus selari dengan satah tertentu.

Jawapan daripada Oliya Nemtyreva[orang baru]
Garis selari ialah garisan yang terletak pada satah yang sama dan sama ada bertepatan atau tidak bersilang. ..Lobachevsky geometri) dalam satah melalui titik C (lihat rajah) di luar garis AB yang diberikan terdapat melalui bilangan garis lurus yang tidak terhingga yang tidak bersilang dengan AB. Daripada jumlah ini, hanya dua yang dipanggil selari dengan AB

Jawapan daripada Oksana Tyshchenko[orang baru]
Garis selari ialah dua garis dalam satah yang tidak bersilang. Dua segmen dipanggil selari jika ia terletak pada garis selari.