Како да се најде волуменот на сферата ако е познат дијаметарот. Формули за пресметување на волуменот на топката и неговата површина

Топката и сферата се, пред сè, геометриски фигури, а ако топката е геометриско тело, тогаш сферата е површината на топката. Овие бројки биле од интерес пред многу илјади години п.н.е.

Последователно, кога беше откриено дека Земјата е сфера, а небото е небесна сфера, се разви нова возбудлива насока во геометријата - геометрија на сфера или сферична геометрија. За да зборувате за големината и волуменот на топката, прво мора да ја дефинирате.

Топка

Топката со радиус R со центар во точката O во геометријата е тело што е создадено од сите точки во просторот кои имаат општ имот. Овие точки се наоѓаат на растојание што не го надминува радиусот на топката, односно го исполнуваат целиот простор помал од радиусот на топката во сите правци од нејзиниот центар. Ако ги земеме предвид само оние точки кои се подеднакво оддалечени од центарот на топката, ќе ја земеме предвид нејзината површина или лушпата на топката.

Како можам да ја добијам топката? Можеме да исечеме круг од хартија и да почнеме да го ротираме околу сопствениот дијаметар. Тоа е, дијаметарот на кругот ќе биде оската на ротација. Образована фигура- ќе има топка. Затоа, топката се нарекува и тело на ротација. Бидејќи може да се формира со ротирање на рамна фигура - круг.

Ајде да земеме авион и да си ја пресечеме топката со него. Исто како што сечевме портокал со нож. Парчето што го отсекуваме од топката се нарекува сферичен сегмент.

ВО Античка Грцијазнаеле не само да работат со топка и сфера како со геометриски фигури, на пример, да ги користат во градежништвото, туку знаеле и како да ја пресметаат површината на топката и волуменот на топката.

Сфера е друго име за површината на топката. Сферата не е тело - таа е површина на тело на револуција. Меѓутоа, бидејќи и Земјата и многу тела имаат сферична форма, на пример капка вода, проучувањето на геометриските односи во сферата стана широко распространето.

На пример, ако поврземе две точки на сфера една со друга со права линија, тогаш оваа права линија ќе се нарече акорд, а ако ова акордот ќе поминениз центарот на сферата, што се совпаѓа со центарот на топката, тогаш акордот се нарекува дијаметар на сферата.

Ако нацртаме права линија која ја допира сферата само во една точка, тогаш оваа права ќе се нарече тангента. Покрај тоа, оваа тангента на сферата во оваа точка ќе биде нормална на радиусот на сферата нацртана до точката на допир.

Ако акордот го прошириме на права линија во едната или другата насока од сферата, тогаш оваа акорд ќе се нарече секант. Или можеме да го кажеме поинаку - секантот кон сферата го содржи својот акорд.

Волумен на топката

Формулата за пресметување на волуменот на топката е:

каде што R е радиусот на топката.

Ако треба да го пронајдете волуменот на сферичен сегмент, користете ја формулата:

V seg =πh 2 (R-h/3), h е висината на сферичниот сегмент.

Површина на топка или сфера

За да се пресмета плоштината на сфера или површината на топката (тие се иста работа):

каде што R е радиусот на сферата.

Архимед многу ги сакал топката и сферата, тој дури побарал да остави цртеж на неговиот гроб во кој топката била впишана во цилиндар. Архимед верувал дека волуменот на топката и неговата површина се еднакви на две третини од волуменот и површината на цилиндерот во кој е впишана топката“.

каде V е потребно волумен на топката, π – 3,14, R – радиус.

Така, со радиус од 10 сантиметри волумен на топкатаеднаква на:

В

3,14 × 10 3

= 4186,7

кубни сантиметри.

Во геометријата топкасе дефинира како одредено тело, кое е збир на сите точки во просторот кои се наоѓаат од центарот на растојание не повеќе од дадено, наречено радиус на топката. Површината на топката се нарекува сфера, а самата топка се формира со ротирање на полукруг околу неговиот дијаметар, останувајќи неподвижна.

Ова геометриско тело често го среќаваат дизајнерските инженери и архитекти, кои често мораат пресметајте го волуменот на сферата. На пример, во дизајнот на предната суспензија на огромното мнозинство на модерни автомобили, се користат таканаречените топчести зглобови, во кои, како што лесно може да се погоди од самото име, топките се еден од главните елементи. Со нивна помош се поврзуваат главините на управуваните тркала и лостовите. За тоа колку ќе биде точно пресметаннивниот волумен во голема мера зависи не само од издржливоста на овие единици и исправноста на нивната работа, туку и од безбедноста во сообраќајот.

Во технологијата најширока дистрибуцијадобиле такви делови како топчести лежишта, со помош на кои оските се прицврстуваат во фиксните делови на различни компоненти и склопови и се обезбедува нивна ротација. Треба да се напомене дека при нивното пресметување, дизајнерите треба најдете го волуменот на сферата(или подобро, топчиња сместени во кафез) со висок степенточност. Што се однесува до производството на метални топчиња за лежишта, тие се произведуваат од метална жица користејќи сложен процес кој вклучува фази на формирање, стврднување, грубо мелење, завршна обработка и чистење. Патем, оние топки кои се вклучени во дизајнот на сите хемиско пенкала, се произведени со користење на истата технологија.

Доста често, топките се користат во архитектурата, каде што најчесто се украсни елементи на згради и други структури. Во повеќето случаи тие се направени од гранит, што често бара високи трошоци рачна работа. Се разбира, почитувајте го ова висока точностПроизводството на овие топки, како оние што се користат во различни единици и механизми, не е потребно.

Таква интересна и популарна игра како билијард е незамислива без топки. За нивно производство се користат разни материјали(коска, камен, метал, пластика) и се користат различни технолошки процеси. Еден од главните барања за билјард топки е нивната висока јачина и способност да издржат високи механички оптоварувања (првенствено удар). Покрај тоа, нивната површина мора да биде точна сфера за да се обезбеди мазно и рамномерно тркалање на површината на масите за базен.

Конечно, без такви геометриски тела, како топки, ниту една Нова Година или елка не е комплетна. Овие украси во повеќето случаи се направени од стакло со методот на дување, и при нивното производство најголемо вниманиеФокусот не е на точноста на димензиите, туку на естетиката на производите. Технолошки процесВо исто време, божиќните топки се речиси целосно автоматизирани, а божиќните топки се пакуваат само рачно.

Радиусот на топката (означен како r или R) е сегментот што го поврзува центарот на топката со која било точка на нејзината површина. Како и кај кругот, радиусот на топката е важна количина потребна за да се најде дијаметарот, обемот, површината и/или волуменот на топката. Но, радиусот на топката може да се најде и со дадена вредностдијаметар, обем и други количини. Користете формула во која можете да ги замените овие вредности.

Чекори

Формули за пресметување на радиусот

Пресметајте го радиусот од дијаметарот.Радиус еднакво на половинадијаметар, затоа користете ја формулата g = D/2. Ова е истата формула што се користи за пресметување на радиусот и дијаметарот на кругот.

• На пример, дадена е топка со дијаметар од 16 cm Радиусот на оваа топка: r = 16/2 = 8 см. Ако дијаметарот е 42 см, тогаш радиусот е 21 см (42/2=21).

1. Пресметајте го радиусот од обемот.Користете ја формулата: r = C/2π. Бидејќи обемот на кругот е C = πD = 2πr, тогаш формулата за пресметување на обемот поделете ја со 2π и добијте ја формулата за наоѓање на радиусот.

   • На пример, дадена е топка со обем од 20 cm Радиусот на оваа топка е: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Истата формула се користи за пресметување на радиусот и обемот на кругот.

2. Пресметајте го радиусот од волуменот на сферата.Користете ја формулата: r = ((V/π) (3/4)) 1/3. Волуменот на топката се пресметува со формулата V = (4/3)πr 3. Изолирајќи го r на едната страна од равенката, ја добивате формулата ((V/π)(3/4)) 3 = r, односно за да го пресметате радиусот, поделете го волуменот на топката со π, помножете го резултатот со 3/4 и подигнете го добиениот резултат на јачина 1/3 (или земете го коренот на коцката).

   • На пример, дадена е топка со волумен од 100 cm 3 . Радиусот на оваа топка се пресметува на следниов начин:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = р
     • (23,87) 1/3 = р
     • 2,88 см= r

3. Пресметајте го радиусот од површината.Користете ја формулата: g = √(A/(4 π)). Површината на топката се пресметува со формулата A = 4πr 2. Изолирајќи го r на едната страна од равенката, ја добивате формулата √(A/(4π)) = r, односно за да го пресметате радиусот, треба да извлечете Квадратен коренод површината поделена со 4π. Наместо да се земе коренот, изразот (A/(4π)) може да се подигне на јачина од 1/2.

   • На пример, дадена е сфера со површина од 1200 cm 3. Радиусот на оваа топка се пресметува на следниов начин:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = р
     • 9,77 см= r

   Определување на основните количини

   1. Запомнете ги основните количини што се релевантни за пресметување на радиусот на топката.Радиусот на топката е сегментот што го поврзува центарот на топката со која било точка на нејзината површина. Радиусот на топката може да се пресмета од дадените вредности на дијаметар, обем, волумен или површина.

      Користете ги вредностите на овие количини за да го пронајдете радиусот.Радиусот може да се пресмета од дадените вредности на дијаметар, обем, волумен и површина. Покрај тоа, наведените вредности може да се најдат од дадена вредност на радиусот. За да го пресметате радиусот, едноставно претворете ги формулите за да ги најдете прикажаните вредности. Подолу се формулите (кои го вклучуваат радиусот) за пресметување на дијаметарот, обемот, волуменот и површината.

   Наоѓање на радиусот од растојанието помеѓу две точки

   1. Најдете ги координатите (x,y,z) на центарот на топката.Радиус на топка еднакво на растојаниетопомеѓу неговиот центар и која било точка што лежи на површината на топката. Ако се познати координатите на центарот на топката и која било точка што лежи на нејзината површина, можете да го најдете радиусот на топката со помош на специјална формула со пресметување на растојанието помеѓу две точки. Прво пронајдете ги координатите на центарот на топката. Имајте на ум дека бидејќи топката е тридимензионална фигура, тогаш точката ќе има три координати (x,y,z), а не две (x,y).

      • Ајде да погледнеме на пример. Дадена е топка со средишни координати (4,-1,12) . Користете ги овие координати за да го пронајдете радиусот на топката.

   2. Најдете ги координатите на точка што лежи на површината на топката.Сега треба да ги најдеме координатите (x,y,z) било којточка лежи на површината на топката. Бидејќи сите точки што лежат на површината на топката се наоѓаат на исто растојание од центарот на топката, можете да изберете која било точка за да го пресметате радиусот на топката.

      • Во нашиот пример, да претпоставиме дека некоја точка што лежи на површината на топката има координати (3,3,0) . Со пресметување на растојанието помеѓу оваа точка и центарот на топката, ќе го најдете радиусот.

   3. Пресметајте го радиусот користејќи ја формулата d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Откако ги дознавте координатите на центарот на топката и точката што лежи на нејзината површина, можете да го најдете растојанието меѓу нив, што е еднакво на радиусот на топката. Растојанието помеѓу две точки се пресметува со формулата d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), каде што d е растојанието помеѓу точките , (x 1, y 1 ,z 1) – координати на центарот на топката, (x 2 , y 2 , z 2) – координати на точка што лежи на површината на топката.

      • Во примерот што се разгледува, наместо (x 1 ,y 1 ,z 1) заменете (4,-1,12), и наместо (x 2,y 2,z 2) заменете (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Ова е саканиот радиус на топката.

   4. Имајте на ум дека во општи случаи r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).Сите точки што лежат на површината на топката се наоѓаат на исто растојание од центарот на топката. Ако во формулата за наоѓање растојание помеѓу две точки „d“ се замени со „r“, се добива формула за пресметување на радиусот на топката од познатите координати (x 1,y 1,z 1) од центарот на топката. и координатите (x 2,y 2,z 2 ) која било точка што лежи на површината на топката.

      • Квадратирајте ги двете страни на оваа равенка и добивате r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Забележете дека оваа равенка одговара на равенката на сфера r 2 = x 2 + y 2 + z 2 со центар на координати (0,0,0).
   • Не заборавајте за редоследот на извршување математички операции. Ако не се сеќавате на овој редослед, а вашиот калкулатор може да работи со загради, користете ги.
   • Оваа статија зборува за пресметување на радиусот на топката. Но, ако имате проблеми со учењето геометрија, најдобро е да започнете со пресметување на количините поврзани со топката користејќи позната вреднострадиус.
   • π (Пи) е буква од грчката азбука која означува константа, еднаков на односотдијаметар на круг до неговиот обем. Пи е ирационален број, што не се пишува како релација реални броеви. Има многу приближувања, на пример, соодносот 333/106 ќе ви овозможи да го пронајдете бројот Пи со точност од четири цифри по децимална точка. Како по правило, тие користат приближна вредностПи, што е 3,14.

Многу тела што ги среќаваме во животот или за кои сме слушнале имаат сферична форма, како фудбалска топка, капка вода што паѓа за време на дожд или нашата планета. Во овој поглед, важно е да се разгледа прашањето како да се најде волуменот на сферата.

Фигура на топка во геометријата

Пред да одговориме на прашањето за топката, да го разгледаме подетално ова тело. Некои луѓе го мешаат со сфера. Однадвор, тие се навистина слични, но топката е предмет исполнет внатре, додека сферата е само надворешната обвивка на топката со бесконечно мала дебелина.

Од гледна точка на геометријата, топката може да биде претставена со збирка точки, а оние од нив што лежат на нејзината површина (формираат сфера) се на исто растојание од центарот на фигурата. Ова растојание се нарекува радиус. Всушност, радиусот е единствениот параметар што може да се користи за опишување на какви било својства на топката, како што е неговата површина или волумен.

Сликата подолу покажува пример на топка.

Ако внимателно го погледнете овој совршен тркалезен предмет, можете да погодите како да го добиете од обичен круг. За да го направите ова, само ротирајте го ова рамна фигураоколу оската што се совпаѓа со нејзиниот дијаметар.

Еден од познатите антички литературни извори, кој ги разгледува доволно деталите за својствата на ова волуметриска фигура, е дело на грчкиот филозоф Евклид - „Елементи“.

Површина и волумен

Кога се разгледува прашањето како да се најде волуменот на топката, покрај оваа вредност, треба да се даде формула за нејзината површина, бидејќи и двата изрази можат да бидат поврзани еден со друг, како што ќе биде прикажано подолу.

Значи, за да го пресметате волуменот на топката, треба да примените една од следните две формули:

• V = 4/3 *pi * R3;
• V = 67/16 * R3.

Овде R е радиусот на сликата. Првата дадена формула е точна, сепак, за да го искористите ова, мора да ја користите соодветниот бројдецимални места за пи. Вториот израз дава целосно добар резултат, што се разликува од првиот за само 0,03%. За ред практични проблемиоваа точност е повеќе од доволна.

Еднаква на оваа вредност за сфера, односно изразена со формулата S = 4 * pi * R2. Ако го изразиме радиусот од тука и потоа го замениме во првата формула за волумен, тогаш добиваме: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi) )).

Така, ги испитавме прашањата како да се најде волуменот на топката низ радиусот и низ неговата површина. Овие изрази можат успешно да се применат во пракса. Подоцна во статијата ќе дадеме пример за нивната употреба.

Проблем со капките дожд

Водата, кога е во бестежинска состојба, добива форма на сферична капка. Ова се должи на присуството на сила површински напон, кои имаат тенденција да ја минимизираат површината. Топката, пак, има најниска вредност меѓу сите геометриски формисо иста маса.

За време на дождот, капката вода што паѓа е во бестежинска состојба, па нејзината форма е сфера (тука ја занемаруваме силата на отпорот на воздухот). Неопходно е да се одреди волуменот, површината и радиусот на оваа капка ако се знае дека неговата маса е 0,05 грама.

Волуменот е лесно да се одреди; за да го направите ова, поделете ја познатата маса со густината на H 2 O (ρ = 1 g / cm 3). Тогаш V = 0,05 / 1 = 0,05 cm 3.

Знаејќи како да го пронајдеме волуменот на топката, треба да го изразиме радиусот од формулата и да ја замениме добиената вредност, имаме: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4 * 3,1416)) = 0,2285 см.

Сега ја заменуваме вредноста на радиусот во изразот за површината на сликата, добиваме: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 cm 2.

Така, знаејќи како да го најдеме волуменот на топката, добивме одговори на сите прашања од проблемот: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 и V = 0,05 cm 3.

Пред да започнете да го проучувате концептот на топка, колкав е волуменот на топката и да ги земете предвид формулите за пресметување на неговите параметри, треба да го запомните концептот на круг, проучен порано во курсот по геометрија. На крајот на краиштата, повеќето дејства во тродимензионалниот простор се слични или следат од дводимензионалната геометрија, приспособена за изгледот на третата координата и третиот степен.

Што е круг?

Круг е фигура на картезијанска рамнина (прикажана на слика 1); најчеста дефиниција е „ локуссите точки на рамнината, растојанието од кое до дадена точка(центар) не надминува одредено ненегативен број, наречен радиус“.

Како што можеме да видиме од сликата, точката О е центарот на сликата, а множеството од апсолутно сите точки што го пополнуваат кругот, на пример, A, B, C, K, E, не се подалеку. даден радиус(не оди подалеку од кругот прикажан на слика 2).

Ако радиусот еднаква на нула, тогаш кругот се претвора во точка.

Проблеми со разбирањето

Учениците често ги мешаат овие концепти. Лесно е да се запамети со аналогија. Обрачот што го вртат децата на час физичка култура, - круг. Со разбирање на ова или сеќавање дека првите букви од двата збора се „О“, децата мнемонички ќе ја разберат разликата.

Воведување на концептот на „топка“

Топката е тело (сл. 3) ограничено со одредена сферична површина. Што е „сферична површина“ ќе стане јасно од нејзината дефиниција: ова е геометрискиот локус на сите точки на површината, растојанието од кое до дадена точка (центар) не надминува одреден ненегативен број наречен радиус. Како што можете да видите, концептите на круг и сферична површина се слични, само просторите во кои се наоѓаат се разликуваат. Ако прикажеме топка во дводимензионален простор, добиваме круг чија граница е круг (границата на топката е сферична површина). На сликата гледаме сферична површина со радиуси OA = OB.

Топката затворена и отворена

Во векторските и метричките простори се разгледуваат и два концепта поврзани со сферичната површина. Ако топката ја вклучува оваа сфера, тогаш таа се нарекува затворена, но ако не, тогаш топката е отворена. Ова се „понапредни“ концепти; тие се изучуваат во институтите како дел од нивниот вовед во анализата. За едноставно, дури употреба во домаќинствотоФормулите што се изучуваат во курсот за стереометрија за 10-11 одделение ќе бидат доволни. Овие се оние кои се достапни за речиси секој просечен човек. образована личностконцептите ќе се дискутираат понатаму.

Концепти што треба да ги знаете за следните пресметки

Радиус и дијаметар.

Радиусот на топката и неговиот дијаметар се одредуваат на ист начин како и за круг.

Радиус е отсечка што ја поврзува секоја точка на границата на топката и точката што е центар на топката.

Дијаметар е отсечка што поврзува две точки на границата на топката и минува низ нејзиниот центар. Слика 5а јасно покажува кои сегменти се радиусите на топката, а на сликата 5б се прикажани дијаметрите на сферата (сегменти кои минуваат низ точката О).

Пресеци во сфера (топка)

Секој дел од сферата е круг. Ако помине низ центарот на топката, се нарекува голем круг (круг со дијаметар AB), останатите делови се нарекуваат мали кругови (круг со дијаметар DC).

Областа на овие кругови се пресметува со помош на следните формули:

Овде S е ознаката за површина, R за радиус, D за дијаметар. Постои и константа еднаква на 3,14. Но, не мешајте го тоа за да пресметате површина голем кругго користат радиусот или дијаметарот на самата топка (сфера), а за одредување на плоштината се потребни димензии на радиусот на малиот круг.

Може да се нацртаат бесконечен број такви делови кои минуваат низ две точки со ист дијаметар што лежат на границата на топката. Како пример, нашата планета: две точки на север и Јужните полови, кои се краевите земјината оска, и во геометриска смисла- краевите на дијаметарот и меридијаните што минуваат низ овие две точки (слика 7). Односно бројот големи круговибројот на сферата се стреми кон бесконечност.

Делови за топки

Ако отсечете „парче“ од сферата користејќи одредена рамнина (Слика 8), тогаш тоа ќе се нарече сферичен или сферичен сегмент. Ќе има висина - нормална од центарот на рамнината на сечењето до сферичната површина O 1 K. Точката К на сферичната површина на која доаѓа висината се нарекува теме сферичен сегмент. Мал круг со радиус O 1 T (ин во овој случај, според сликата, рамнината не поминала низ центарот на сферата, но ако делот минува низ центарот, тогаш кругот на пресекот ќе биде голем), формиран при отсекување на сферичен сегмент, ќе се нарекува основа на нашето парче топка - сферичен сегмент.

Ако ја поврземе секоја основна точка на сферичен сегмент со центарот на сферата, добиваме фигура наречена „сферичен сектор“.

Ако две рамнини минуваат низ сфера и се паралелни една со друга, тогаш тој дел од сферата што е затворен меѓу нив се нарекува топчест слој (слика 9, на која е прикажана сфера со две рамнини и посебен сферичен слој).

Површината (нагласениот дел на Слика 9 десно) на овој дел од сферата се нарекува појас (повторно, за подобро разбирање, може да се направи аналогија со светот, имено со неговиот климатски зони- арктичка, тропска, умерена и сл.), а круговите на попречниот пресек ќе бидат основи на сферичниот слој. Висината на слојот е дел од дијаметарот нацртан нормално на рамнините за сечење од центрите на основите. Постои и концепт на сферична сфера. Се формира кога рамнините кои се паралелни една на друга не ја пресекуваат сферата, туку ја допираат секоја во една точка.

Формули за пресметување на волуменот на топката и неговата површина

Топката се формира со ротирање околу фиксниот дијаметар на полукруг или круг. За пресметки различни параметриовој објект нема да има потреба од многу податоци.

Волуменот на сферата, формулата за пресметување која е дадена погоре, се добива преку интеграција. Ајде да го сфатиме точка по точка.

Сметаме круг во дводимензионална рамнина, бидејќи, како што беше споменато погоре, кругот е основата на конструкцијата на топката. Го користиме само неговиот четврти дел (слика 10).

Земаме круг со единица радиус и центар на почетокот. Равенката на таков круг изгледа вака на следниот начин: X 2 + Y 2 = R 2. Ние го изразуваме Y од тука: Y 2 = R 2 - X 2.

Забележете дека добиената функција е ненегативна, континуирана и се намалува на отсечката X (0; R), бидејќи вредноста на X во случај кога сметаме четвртина круг лежи од нула до вредноста на радиус, односно до единство.

Следното нешто што го правиме е да ја ротираме нашата четвртина околу оската x. Како резултат на тоа, добиваме хемисфера. За да го одредиме неговиот волумен, ќе прибегнеме кон методи на интеграција.

Бидејќи ова е волумен на само една хемисфера, го удвојуваме резултатот, од кој откриваме дека волуменот на топката е еднаков на:

Мали нијанси

Ако треба да го пресметате волуменот на топката преку неговиот дијаметар, запомнете дека радиусот е половина од дијаметарот и заменете ја оваа вредност во горната формула.

Можете исто така да ја достигнете формулата за волуменот на топката преку површината на нејзината гранична површина - сферата. Да потсетиме дека плоштината на сферата се пресметува со формулата S = 4πr 2, интегрирајќи ја, исто така, доаѓаме до горната формула за волумен на сфера. Од истите формули можете да го изразите радиусот ако изјавата за проблемот содржи вредност за волумен.