ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ರೂಪ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು
ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸು
ವಿಮಾನ

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ R ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾದರಿಯು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ

ಮೇಲೆ
ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು
ಕೇವಲ ಒಂದು ಪಂದ್ಯಗಳು
ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ!

ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ - ಶುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಲು

ಸೆಟ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ
ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಆಯಾಮ -
ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆ -
ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ a+bi ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು
ಪಾಯಿಂಟ್ (ಎ; ಬಿ) ಸಮನ್ವಯ ಸಮತಲ.
i=0+1i ಬಿಂದುವಿಗೆ (0;1) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
2+3i ಬಿಂದು (2;3) ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ
-i-4 ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (-4;-1)
5=5+1i ವಿಷಣ್ಣತೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (5;0)

ಸಂಯೋಗದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

! ಸಂಯೋಗದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಅಕ್ಷೀಯವಾಗಿದೆ
ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿ.
!! ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ
ಮೂಲ.
!!! ಚಿತ್ರಿಸುವ ವಾಹಕಗಳು
ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಒಲವು
ಅಡಿಯಲ್ಲಿ abscissa ಅದೇ ಕೋನ, ಆದರೆ
ಪ್ರಕಾರ ಇದೆ ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳುನಿಂದ
ಈ ಅಕ್ಷ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿತ್ರ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿತ್ರ

ಬೀಜಗಣಿತ
ದಾರಿ
ಚಿತ್ರಗಳು:
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ
a+bi ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಪ್ಲೇನ್ ಪಾಯಿಂಟ್
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ
(ಎ;ಬಿ)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

(ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
z=x+yi , ಇದಕ್ಕಾಗಿ
x=-4. ಇದು ಸಮೀಕರಣ
ನೇರ,
ಸಮಾನಾಂತರ ಅಕ್ಷ
ಆರ್ಡಿನೇಟ್)
ನಲ್ಲಿ
X= - 4
ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ
ಭಾಗ -4
0
X

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ:

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ
ಸಮವಾಗಿದೆ
ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧ
ನೈಸರ್ಗಿಕ
ಸಂಖ್ಯೆ
(ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
z=x+yi, ಇದಕ್ಕಾಗಿ
y=2,4,6,8.
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರ
ನಾಲ್ಕು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ
ನೇರ, ಸಮಾನಾಂತರ
x-ಅಕ್ಷ)
ನಲ್ಲಿ
8
6
4
2
0
X

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ

ಪ್ರದರ್ಶನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪ. ಸಂಕೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ. ಮೊವಿರ್ ಸೂತ್ರ.

ಆರಂಭಿಕ ಮಾಹಿತಿಓ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಹೊಸ ಪ್ರಕಾರದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯವು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತುಡಿ< 0 (здесь ಡಿ- ತಾರತಮ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ). ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ ಭೌತಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ: ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಹೈಡ್ರೋ- ಮತ್ತು ಏರೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:a+bi. ಇಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ – ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು , ಎ i – ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ, ಅಂದರೆ.ಇ. i 2 = –1. ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ, ಎ ಬಿ - ಆರ್ಡಿನೇಟ್ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆa + bi.ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುa+biಮತ್ತು a–bi ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಯೋಗಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಮುಖ್ಯ ಒಪ್ಪಂದಗಳು:

1. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಎರೂಪದಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದುಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ:a+ 0 iಅಥವಾ a - 0 i. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಾಖಲೆಗಳು 5 + 0iಮತ್ತು 5 - 0 iಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರ್ಥ 5 .

2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 0 + ದ್ವಿಎಂದು ಕರೆದರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿದ್ವಿಅಂದರೆ 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ + ದ್ವಿ.

3. ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುa+bi ಮತ್ತುc + diಇದ್ದರೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆa = cಮತ್ತು ಬಿ = ಡಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸೇರ್ಪಡೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತa+biಮತ್ತು c + diಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (a+c ) + (ಬಿ+ಡಿ ) i.ಹೀಗಾಗಿ, ಸೇರಿಸುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯವಕಲನ. ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸa+bi(ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು c + di(subtrahend) ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (a–c ) + (ಬಿ–ಡಿ ) i.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಕಾರ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನa+biಮತ್ತು c + di ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

(ಎಸಿ-ಬಿಡಿ ) + (ad+bc ) i.ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

1) ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a+biಮತ್ತು c + diಬೀಜಗಣಿತದಂತೆ ಗುಣಿಸಬೇಕುದ್ವಿಪದಗಳು,

2) ಸಂಖ್ಯೆ iಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:i 2 = – 1.

ಉದಾಹರಣೆ ( a+ bi )(a–bi) = ಎ 2 + ಬಿ 2 . ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲಸ

ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ವಿಭಾಗ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿa+bi (ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ) ಇನ್ನೊಂದರಿಂದc + di(ವಿಭಾಜಕ) - ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರ್ಥಇ + ಎಫ್ ಐ(ಚಾಟ್), ಇದು ಭಾಜಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗc + di, ಲಾಭಾಂಶದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳುa + bi.

ಭಾಜಕ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ವಿಭಜನೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ ಹುಡುಕಿ (8 +i ) : (2 – 3 i) .

ಪರಿಹಾರ ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು 2 + 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದುi

ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ವಿಷಯವಿದೆ ಎಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ –3, ಡಾಟ್ಬಿ- ಸಂಖ್ಯೆ 2, ಮತ್ತು ಓ- ಶೂನ್ಯ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡೂ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮಾಪಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಯತಾಕಾರದ (ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆa+bi ಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಪಿ ಎ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಬಿ (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ). ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನ .

ಘಟಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವಾಗಿದೆಆಪ್, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ( ಸಮಗ್ರ) ವಿಮಾನ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್a+biಸೂಚಿಸಿದ | a+bi| ಅಥವಾ ಪತ್ರ ಆರ್

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ a, b - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು. ಆದರೆ ಕ್ರಮಿಸಿದ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹೀಗೆ, ಈ ಬಿಂದುವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ಗೆ ಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ), ಮತ್ತು Oy ಅಕ್ಷವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ (ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ಬಿಂದು (ಎ, ಬಿ) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ಅನ್ನು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಅಫಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (a = 0 ಗಾಗಿ) ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಂದು O ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ 8 ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ (ಚಿತ್ರ 8 ರಲ್ಲಿನ ಅಂಕಗಳು) ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಬಿಂದು M, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ OM (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 93 ನೋಡಿ), O ನಿಂದ M ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ; ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 9, a ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಲಗಳು ಅಥವಾ ವೇಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು). ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಜೊತೆಗೆ ಸೇರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ವಿರುದ್ಧ ವೆಕ್ಟರ್(ಚಿತ್ರ 9, ಬಿ).

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ (ಐಟಂ 8), ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅದರ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಹೀಗಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ಅಫಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಜೂರದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 10 ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ತ್ರಿಜ್ಯ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಸಂಖ್ಯೆ.

M ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವನ್ನು ಈ ಬಿಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದವನ್ನು (ಬಿಂದುವಿನ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನದಂತೆ) ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ; ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು: ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗೆ ಇದು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಏಕವಚನ, ನೀಡಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಹೊಂದಿರುವ. ವಿಶೇಷ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಾದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಕರೆಯಲು ಒಬ್ಬರು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಾದದ ಮುಖ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ

(ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು).

ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಾವು ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು (ಅಂತೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಅಂಕಗಳನ್ನು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ( ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಅಂಕಗಳು) ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (8.3):

ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು ಶಿಲಾಯುಗಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿನದು - ಪ್ಯಾಲಿಯೊಮೆಲಿಟಿಕ್. ಇವುಗಳು "ಒಂದು", "ಕೆಲವು" ಮತ್ತು "ಹಲವು". ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಟುಗಳು, ಗಂಟುಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಮಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಆಸ್ತಿಯ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಲು ಮನುಷ್ಯನನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸಿತು. ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡದ್ದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಎನ್, ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಎಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಜನರು ಉದ್ದಗಳು, ಪ್ರದೇಶಗಳು, ಸಂಪುಟಗಳು, ಸಮಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಬಳಸಿದ ಅಳತೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದ್ದು ಹೀಗೆ. ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಸಮರ್ಥನೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ Z- ಇವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಒಂದು ಸೆಟ್ ರಚಿಸಿದರು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಶ್ನೆ,ಆದರೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಸ್ಥಿರ. ಜೆನೆಸಿಸ್ ಮತ್ತೆ ಗಣಿತದ ಅಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ: ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆ X 2 = 3, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು I.ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಒಕ್ಕೂಟ ಪ್ರಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು I- ನೈಜ (ಅಥವಾ ನೈಜ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆರ್. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ತುಂಬಲಾಯಿತು: ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಹಲವರ ಮೇಲೆ ಆರ್ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ X 2 = – ಎ 2. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. 1545 ರಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು. ಅವರ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತ ಜೆ. ಕಾರ್ಡಾನೊ ಅವರನ್ನು "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ" ಎಂದು ಕರೆದರು. "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು 1637 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಆರ್. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, 1777 ರಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಫ್ರೆಂಚ್ ಸಂಖ್ಯೆ iಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು. ಈ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕೆ.ಗೌಸ್ ಅವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿತು.

17 ಮತ್ತು 18 ನೇ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಚರ್ಚೆಯು ಮುಂದುವರೆಯಿತು. ಡೇನ್ ಜಿ. ವೆಸೆಲ್, ಫ್ರೆಂಚ್ ಜೆ. ಅರ್ಗಾನ್ ಮತ್ತು ಜರ್ಮನ್ ಕೆ. ಗಾಸ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೂಲದಿಂದ ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಇನ್ನಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂತರ ಅದು ಬದಲಾಯಿತು.

18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಮ್ಮ ಸರಿಯಾದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡವು. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಅವರ ಮೊದಲ ಬಳಕೆಯು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿದೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳುಮತ್ತು ಹೈಡ್ರೊಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ Xಮತ್ತು ವೈನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು i- ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ, .

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ, .

ವೇಳೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ; ವೇಳೆ , ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದರರ್ಥ ಸೆಟ್ ಆರ್ ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲಿ ಇದರೊಂದಿಗೆ- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್.

ಸಂಯೋಜಿತಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂ(X, ವೈ) ವಿಮಾನ ಆಕ್ಸಿ.ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಯು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡುವೆ, ಒಬ್ಬರು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ನಿಜವಾದ ಭಾಗ X.

ಹುದ್ದೆ: X= ರೆ z(ಲ್ಯಾಟಿನ್ ರಿಯಾಲಿಸ್ ನಿಂದ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ವೈ.

ಹುದ್ದೆ: ವೈ= Im z(ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಇಮ್ಯಾಜಿನೇರಿಯಸ್ ನಿಂದ).

ರೆ zಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಠೇವಣಿ ಇಡಲಾಗಿದೆ ( ಓ), Im zಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಠೇವಣಿ ಇಡಲಾಗಿದೆ ( ಓಹ್), ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂ(X, ವೈ), (ಅಥವಾ ಎಂ(ರಿ z, Im z)) (ಚಿತ್ರ 1).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದರೊಂದಿಗೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.ಘಟಕಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = (X, ವೈ) ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:, ಅಂದರೆ. .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6.ವಾದಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ( ಓಹ್) ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್: .

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ: ಬೀಜಗಣಿತ(x+iy), ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ(ಆರ್(ಕೋಸ್+ಐಸಿನ್ )), ಸೂಚಕ(ಮರು ಐ ).

ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z=x+iy ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು XOU ವಿಮಾನಬಿಂದು A(x,y) ರೂಪದಲ್ಲಿ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸಮತಲವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ z ನ ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ z ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ).

OX ಅಕ್ಷವು ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. OU ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ.

x+iy- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ.

ನಾವು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ: , ಅಂದರೆ.

ಆರ್ (ಕಾಸ್+ಐಸಿನ್) - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪವು ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:
, ನಂತರ

z= ಮರು i - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

1. ಜೊತೆಗೆ. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . ವ್ಯವಕಲನ. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. ಗುಣಾಕಾರ. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . ವಿಭಾಗ. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ. z=x+iy (z=x-iy) ಅನ್ನು ಸಂಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲಸ.

z1=r(cos +ಐಸಿನ್ ); z2=r(cos +ಐಸಿನ್ ).

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆ ಉತ್ಪನ್ನ z1*z2 ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: , ಅಂದರೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ವಾದವು ಅಂಶಗಳ ವಾದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

;
;

ಖಾಸಗಿ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ.

ಘಾತ.

1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ.

z=x+iy, ನಂತರ z n ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರ:

- m ನ n ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (m ನಿಂದ n ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಧಿಕಾರಗಳನ್ನು i ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

i 0 =1 ಇಲ್ಲಿಂದ, ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: i 4k =1

i 1 = i 4k+1 = i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

ಉದಾಹರಣೆ.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪ.

z=r(cos +ಐಸಿನ್ ), ಅದು

- ಮೊವಿರ್ ಸೂತ್ರ.

ಇಲ್ಲಿ n "+" ಅಥವಾ "-" (ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಆಗಿರಬಹುದು.

3. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಸೂಚಕ ರೂಪ:

ರೂಟ್ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
.

ಇದರ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ n ನೇ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ z ನ n ನೇ ಮೂಲವು ನಿಖರವಾಗಿ n ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಮೌಲ್ಯಗಳು). ಮೂಲ ಇಂದಿನ ದಿನಾಂಕ n ನೇ ಪದವಿಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ n ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ.

ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ರೂಪ:

z=r(cos +ಐಸಿನ್ ), ನಂತರ z ನ n ನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ: